Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady."

Transkript

1 Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Existuje li limita, kde je posloupnost částečných součtů řady, nazýváme ji součtem této řady a značíme. Je li navíc, říkáme, že řada konverguje; je li či, říkáme, že řada podstatně diverguje. Neexistuje li limita, říkáme, že řada osciluje. Řady podstatně divergentní a oscilující nazýváme souhrnně divergentní. Buďte, dvě číselné posloupnosti. Říkáme, že řady a mají stejný charakter, pokud obě dvě současně podstatně divergují, obě dvě současně oscilují, nebo obě dvě současně konvergují. Příklad (Geometrická řada). Geometrická řada konverguje právě tehdy, když. Řešení. Podle vzorce pro součet prvních členů geometrické posloupnosti je částečný součet roven Konečná limita výrazu vpravo pro existuje právě tehdy, když. Příklad (Harmonická řada ). Řada je podstatně divergentní. Řešení. Tento výsledek jsme již ukázali v kapitole o posloupnostech. Příklad (Řada ). Řada osciluje. Řešení. Posloupnost částečných součtů má tvar, její limita proto neexistuje. Věta (Linearita řad). Buď (resp. ), nechť jsou dány číselné posloupnosti,. Pak a za předpokladu, že pravé strany mají smysl. Důkaz. Věta plyne z věty o aritmetice limit posloupností. Věta (O součtu komplexní řady). Nechť je komplexní posloupnost. Řada konverguje právě tehdy, když konvergují reálné řady a, a pro její součet v takovém případě platí. Důkaz. Věta plyne z věty o limitě komplexní posloupnosti. Věta (O modifikaci konečného počtu členů řady). Přidáním, vynecháním či změnou konečného počtu členů číselné posloupnosti se nezmění charakter řady. Důkaz. Z věty o aritmetice limit je jasné, že dvě posloupnosti a, kde je libovolná konstanta, buď obě dvě mají vlastní limitu, nebo obě dvě nevlastní limitu, nebo limita obou neexistuje. 1. Sčítání řad Příklad (Součet řady ).

2 Dokažme, že Řešení. Z Moivrovy věty je odkud pro liché substitucí a porovnáním imaginárních částí dostaneme identitu Do této identity dosadíme za postupně čísla, ; na levé straně vyjde vždy. Protože je funkce na intervalu prostá, čísla jsou pro uvedená navzájem různá, takže polynom tého stupně má právě tato čísla (a žádná jiná) za své kořeny. Jejich záporně vzatý součet je podle Vietova vzorce roven koeficientu u ní mocniny, proto platí odkud přičtením dostaneme a protože na (což lze snadno ukázat např. zderivováním), na tomto intervalu platí i resp. i Odtud dostaneme Úpravou dostaneme nerovnost ze které již plyne limitním přechodem podle věty o limitě sevřené posloupnosti zadané tvrzení. 2. Uzávorkování řad Definice (Uzávorkování řady). Nechť je číselná posloupnost, nechť je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Položme,, atd. Pak říkáme, že řada vznikla uzávorkováním řady (pomocí ). Věta (O uzávorkování řady). Je li řada konvergentní nebo podstatně divergentní, každá řada z ní vzniklá uzávorkováním má stejný charakter a stejný součet. Důkaz. Věta plyne z věty o limitě vybrané posloupnosti. Věta (O uzávorkování řady s omezeným počtem sčítanců v závorce). Nechť je číselná posloupnost, nechť řada vznikla uzávorkováním řady pomocí. Nechť a nechť existuje tak, že pro všechna platí. Pak řady a mají stejný charakter a v případě konvergence i stejný součet. Důkaz. Označme jako posloupnost částečných součtů řady, jako posloupnost částečných součtů řady. Je pro všechna

3 . Tvrzení věty plyne z faktu, že je pokryta vybranými posloupnostmi,,,...,. 3. Konvergence řad Věta (Nutná podmínka konvergence řady). Nechť řada konverguje. Pak. Důkaz. Nechť je posloupnost částečných součtů řady. Pak pro všechna. Podle předpokladu existuje číslo resp. tak, že. Z věty o limitě rozdílu dostaneme. Věta (Bolzano Cauchyova podmínka pro konvergenci řady). Řada konverguje platí Důkaz. Nechť je posloupnost částečných součtů řady. Podle Bolzanovy Cauchyovy podmínky pro konvergenci číselné posloupnosti konverguje právě tehdy, když což je zřejmě ekvivalentní podmínce ( ). Věta (O absolutní konvergenci řady). Konverguje li řada, pak konverguje i řada a pro jejich součty platí nerovnost Důkaz. Věta plyne z Bolzanovy Cauchyovy podmínky a z trojúhelníkové nerovnosti Definice (Absolutní konvergence řady). Konverguje li řada, říkáme, že řada konverguje absolutně. Konverguje li řada a diverguje li řada, říkáme, že řada konverguje neabsolutně Řady s kladnými členy Věta (Srovnávací kritérium pro číselné řady (nelimitní tvar)). Nechť pro všechna je. Pak platí: 1. Konverguje li řada, konverguje také řada. 2. Diverguje li řada, diverguje také řada. Důkaz. 1. Pro všechna je odkud limitním přechodem dostaneme přitom limitní přechod je možné provést (limity na obou stranách nerovnosti existují), neboť posloupnosti částečných součtů příslušné oběma řadám jsou rostoucí. Podle předpokladu je limita vpravo konečná, tedy i limita vlevo musí být konečná. 2. Tvrzení je ekvivalentní tvrzení v bodu 1, neboť pro libovolné dva výroky je.

4 Poznámka. Je zřejmé, že podmínku v předpokladu lze zaměnit slabší podmínkou a tvrzení zůstane v platnosti. Podobně je tomu i u dalších kritérií. Věta (Srovnávací kritérium pro číselné řady (limitní tvar)). Nechť pro všechna platí a. Nechť existuje limita. Pak platí: 1. Je li a konverguje, pak i konverguje. 2. Je li a diverguje, pak i diverguje. Důkaz. 1. Konvergenci řady dokážeme pomocí BCP. Zvolme libovolné. Pak z konvergence plyne, že existuje tak, že pro všechna a je Z definice limity existuje tak, že pro všechna je Pro libovolná a je pak i Odtud plyne konvergence řady. 2. Protože, je a je od jistého členu nenulová. Z věty o limitě podílu. Tvrzení plyne z bodu 1, zaměníme li roli posloupnosti a. Věta (Odmocninové (Cauchyovo) kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak platí: 1. a) Existuje li číslo tak, že, pak konverguje. b) Platí li pro nekonečně mnoho indexů vztah, řada diverguje. 2. a) Platí li, řada konverguje. b) Platí li, řada diverguje. Důkaz. 1. a) Pro všechna je. Přitom řada konverguje, tvrzení proto plyne ze srovnávacího kritéria. b) Pro nekonečně mnoho indexů platí. Nemůže být proto splněna nutná podmínka konvergence, řada tedy diverguje. 2. a) Z definice limity plyne, že existuje tak, že od jistého členu je. Tvrzení proto plyne z bodu 1. a). b) Podobně jako v 1. b) nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada diverguje. Lemma (Srovnání podílů po sobě následujících členů). Nechť, jsou posloupnosti kladných čísel a pro všechna platí. Pak: 1. Konverguje li řada, konverguje také řada. 2. Diverguje li řada, diverguje také řada. Důkaz. Pro libovolné z předpokladu postupně dostaneme: takže stačí použít nelimitní tvar srovnávacího kritéria. Věta (Podílové (d'alembertovo) kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak:

5 1. a) Existuje li číslo tak, že pro všechna je, řada konverguje. b) Pokud pro všechna platí, řada diverguje. 2. a) Je li, řada konverguje. b) Je li, řada diverguje. Důkaz. 1. a) Z předpokladu plyne, že pro všechna je, tvrzení proto dostaneme srovnáním s konvergentní geometrickou řadou. b) Z předpokladu plyne, že pro všechna. Posloupnost je tedy rostoucí, takže nemůže být splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, řada proto diverguje. 2. a) Z definice limity dostaneme, že, proto tvrzení plyne z bodu 1. a) s přihlédnutím k poznámce o předpokladech. b) Podobně jako v bodu a) z definice limity dostaneme, že od jistého členu je splněna podmínka a dále stejně jako v 1. b). Věta (Integrální kritérium). Nechť je nezáporná klesající funkce v. Pak platí: konverguje právě tehdy, když konverguje zobecněný Riemannův integrál. Důkaz. Pro všechna a je zřejmě Díky monotonii je integrovatelná, integrací dostaneme nerovnosti neboli Sečtením uvedených nerovností pro dostaneme Nyní provedeme limitní přechod : limity sum na levé a pravé straně existují, neboť posloupnosti částečných součtů jsou rostoucí, limita integrálu uprostřed podle Heineovy věty existuje, neboť je nezáporná a tedy integrál jakožto funkce horní meze je rostoucí. Dostaneme Pokud je součet řady vpravo konečný, musí být konečná i hodnota zobecněného integrálu uprostřed, pokud je konečný integrál uprostřed, musí být konečný součet řady vlevo tím jsou současně dokázány obě implikace. Příklad (Řada ). Vyšetřeme konvergenci řady, kde. Řešení. Podle integrálního kritéria řada konverguje právě tehdy, když konverguje zobecněný Riemannův integrál, což je pro. Příklad (Řada ). Řada diverguje. Řešení. Podle integrálního kritéria stačí ukázat divergenci integrálu. Provedeme substituci Podle věty o substituci pro zobecněný Riemannův integrál tento integrál diverguje právě tehdy, když diverguje integrál integrál je divergentní, je tím divergence původní řady dokázána. Protože poslední

6 Věta (Raabeovo kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak platí: 1. a) Existuje li číslo tak, že pro všechna je, pak konverguje. b) Je li pro všechna splněna podmínka, pak řada diverguje. 2. a) Pokud, řada konverguje. b) Pokud, řada diverguje. Důkaz. 1. a) Zvolme libovolně. Označme. Podle příkladu řada konverguje. Pro konvergenci řady stačí ukázat, že od jistého členu platí podmínka, což je ekvivalentní podmínce Výraz na levé straně je podle předpokladu, dokážeme li proto, že limita výrazu na pravé straně je menší než, důkaz bude hotov. Máme Na poslední limitu použijeme l'hôpitalovo pravidlo a dostaneme Protože, věta je tím dokázána. b) Podmínka z předpokladu je ekvivalentní podmínce kde. Řada přitom diverguje (harmonická řada), proto podle srovnávacího kritéria s podíly konverguje i řada. 2. a, b) Z definice limity plyne, že od jistého členu jsou splněny přepoklady v bodech 1. a), b). Věta (Gaussovo kritérium). Nechť pro všechna platí. Nechť existují konstanty,, a omezená číselná posloupnost tak, že pro všechna platí Pak: 1. Je li, řada konverguje. Důkaz. Protože 2. Je li, řada diverguje. případy a plynou z limitní verze podílového kritéria. Je li, je případy resp. plynou z limitní verze Raabeova kritéria. Zbývá tedy dokázat divergenci řady pro případ. Označme. Řada diverguje. Stačí podle srovnávacího kritéria dokázat, že od jistého členu je Poslední nerovnost je ekvivalentní nerovnosti která jde ještě upravit na tvar

7 Tato nerovnost je od jistého členu jistě splněna, neboť (díky omezenosti ) 3.2. Řady se střídavými znaménky Definice (Řada se střídavými znaménky). Buď reálná posloupnost, nechť platí. Pak říkáme, že je řada se střídavými znaménky. Poznámka. Efektivně to znamená, že řada se střídavými znaménky má tvar buď, nebo, kde. Věta (Leibnizovo kritérium pro řady se střídavými znaménky). Nechť je klesající posloupnost kladných čísel. Pak řada konverguje právě tehdy, když. Důkaz. : jedná se o nutnou podmínku konvergence řady. : označme částečný součet uvažované řady. Pak pro všechna je Z monotonie posloupnosti vyplývá, že Proto je rostoucí a klesající posloupnost. Jejich limity tedy existují. Protože díky předpokladu musí být Zároveň společná limita musí být díky rozdílnému druhu monotonie obou posloupností reálná. Z pokrývací věty dostaneme pak existenci konečné limity posloupnosti, tedy konvergenci příslušné řady. Věta (Modifikované Raabeovo kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak: 1. a) Existuje li tak, že pro všechna je, pak řada konverguje. b) Je li pro všechna výraz, řada diverguje. 2. a) Je li, řada konverguje. b) Je li, řada diverguje. Důkaz. 1. a) K důkazu konvergence řady použijeme Leibnizovo kritérium. Z předpoladu vyplývá, že pro všechna je proto a je tedy klesající posloupnost. Musí mít proto limitu. Vynásobíme li nerovnosti ( ) pro, kde, dostaneme

8 Kdyby, musela by být kladná, neboť je nezáporná posloupnost. V takovém případě by přitom ale podle věty o limitě podílu což je spor. Je tedy a podle Leibnizova kritéria konverguje. b) Z předpokladu plyne pro všechna, je tedy rostoucí posloupnost, proto nemůže mít za limitu nulu, řada diverguje. 2. a), b) Z definice limity plyne, že od jistého členu jsou splněny přepoklady v bodech 1. a), b). Věta (Modifikované Gaussovo kritérium). Nechť pro všechna platí, nechť existují konstanty,, a omezená posloupnost tak, že pro všechna platí Pak: 1. Je li, řada konverguje absolutně. 2. Je li, řada konverguje neabsolutně. 3. Je li, řada diverguje. Důkaz. 1. Případy plynou z Raabeova kritéria. 2. Konvergence řady plyne z modifikovaného Raabeova kritéria. Divergence řady plyne z Gaussova kritéria. 3. Pokud, je a tedy je od jistého členu rostoucí. Tím pádem nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada proto diverguje. Pokud je, je a tedy od jistého členu je, což opět znamená, že je od jistého členu rostoucí, nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada diverguje. Pokud je, je Označme. Je Z toho plyne, že je na ostře klesající a na ostře rostoucí. Přitom, proto pro všechna. Protože je omezená, jistě existuje tak, že pro všechna je. Pro proto Sečteme li nerovnosti ( ) pro, kde, dostaneme Limita pravé strany pro je konečná, označme ji. Dostaneme odkud plyne, že nemůže být splněna nutná podmínka konvergence Řady s obecnými členy

9 Věta (Dirichletovo kritérium pro konvergenci řad). Nechť řada má omezenou posloupnost částečných součtů. Nechť je monotónní posloupnost a. Pak konverguje. Důkaz. Předpokládejme například, že je klesající nezáporná posloupnost. K důkazu užijeme BCP. Zvolme a hledejme tak, aby pro všechna, platilo Sumu v nerovnosti upravíme: označme. Podle předpokladu existuje tak, že pro všechna. Máme odkud Existence tedy plyne z předpokladu. Věta (Abelovo kritérium pro konvergenci řad). Nechť řada konverguje. Nechť je monotónní omezená posloupnost. Pak řada konverguje. Důkaz. Z monotonie plyne existence limity posloupnosti, označme ji. Protože je omezená, je. Řadu pak lze zapsat jako součet dvou konvergentních řad přičemž první řada konverguje podle Dirichletova kritéria a druhá z předpokladu věty. Příklad (Řada ). Podle Dirichletova kritéria řada konverguje, neboť je monotónní posloupnost s nulovou limitou a řada má omezenou posloupnost částečných součtů. 4. Přerovnání řad Definice (Přerovnání řady). Buď číselná posloupnost, bijekce. Říkáme, že řada vznikla z řady přerovnáním. Věta (O absolutně konvergentní přerovnané řadě). Nechť absolutně konverguje. Pak každá řada vzniklá z řady přerovnáním je také absolutně konvergentní a má stejný součet. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že. Pak tedy posloupnost částečných součtů přerovnané řady je shora omezená, takže konverguje a z limitního přechodu plyne, že Zaměníme li roli původní a přerovnané řady, dostaneme opačnou nerovnost. Celkově tedy Předpokládejme nyní, že. Označme

10 Platí tedy Řady a jsou řady s nezápornými členy, které (absolutně) konvergují, neboť jsou to součty resp. rozdíly (podělené dvěma) dvou konvergentních řad. Dají se tedy (dle důkazu výše) přerovnat bez změny součtu. Dostaneme tak což znamená, že řadu lze přerovnat bez změny součtu. Přitom je absolutně konvergentní, neboť Dokažme tvrzení konečně pro obecnou komplexní posloupnost. Rozložíme kde. Posloupnosti a jsou díky nerovnostem absolutně konvergentní, tudíž je lze přerovnat (podle předchozího) bez změny součtu, takže platí Přerovnaná posloupnost je absolutně konvergentní, neboť Věta (O přerovnání neabsolutně konvergentní reálné řady). Buď neabsolutně konvergentní reálná řada. Nechť. Pak existuje přerovnání řady takové, že jeho součet je. Existuje také přerovnání řady, které osciluje. Důkaz. Označme Protože konverguje neabsolutně, je nutně, tedy řady i jsou podstatně divergentní, mají součet. Popíšeme hledané přerovnání slovně. Buď nejprve. Nalezneme nejprve první takové tak, aby To jinými slovy znamená, že vybíráme nejprve kladné členy z posloupnosti tak, že tak dlouho, až jejich součet přesáhne. Poté nalezneme první takové To jinými slovy znamená, že vybíráme záporné členy z posloupnosti tak dlouho, dokud jejich součet (spolu s prvními nezápornými členy) není menší než. Poté nalezneme opět první takové, že a Takto postupujeme stále dál, až nagenerujeme posloupnosti a. Zkonstruované přerovnání přitom musí konvergovat k, neboť Pokud, nalezneme nejprve tak, aby součet prvních nezáporných členů posloupnosti přesáhl číslo. Poté přičteme jeden záporný člen. Následně přičítáme kladné tak dlouho, až součet přesáhne číslo. Pak opět přičteme jeden člen záporný, atd. Takto zkonstruované přerovnání

11 má zřejmě součet. Přerovnání divergující k sestrojíme podobně. Konečně přerovnání, které osciluje, se sestrojí následujícím způsobem: nejprve sčítáme nezáporné členy tak dlouho, až jejich součet přesáhne číslo. Poté přičítáme nekladné členy tak dlouho, až je součet menší než. Poté opět přičítáme nezáporné členy, až součet přesáhne, atd. Takto zkonstruované přerovnání zřejmě osciluje. 5. Součin řad Definition (Součin řad). Nechť, jsou číselné posloupnosti, nechť je bijekce. Označme,, pro všechna. Říkáme, že řada je součinem řad a. Věta (O součinu absolutně konvergentních řad). Nechť a jsou absolutně konvergentní řady. Pak jejich součin je absolutně konvergentní a má součet. Důkaz. Označme. Pak řada je proto absolutně konvergentní. Lze ji bez změny součtu libovolně přerovnat a uzávorkovat. Platí proto kde takže Definice (Součinová řada). Nechť, jsou číselné posloupnosti, nechť. Pak říkáme, že je součinová řada řad a. Věta (O součinu absolutně konvergentní a konvergentní řady). Nechť konverguje absolutně a konverguje. Pak součinová řada těchto dvou řad konverguje k číslu. Důkaz. Nechť je ona součinová řada a její částečný součet. Označme,,,. Pak pro všechna platí odkud Z předpokladů věty plyne, že Zároveň jistě existuje tak, že Zvolme a najděme příslušná, z podmínek výše. Je li, je pak

12 odkud plyne z čehož dostaneme což je tvrzení věty. Příklad. Ukažme, že pokud řady, konvergují, součinová řada nemusí konvergovat. Řešení. Položme Pak součinová řada je, kde a protože dostaneme odhad takže nemůže být. Součinová řada proto diverguje.

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3 VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada.

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada. Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Matematická analýza. L. Pick a J. Spurný

Matematická analýza. L. Pick a J. Spurný Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200 Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika....................................

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

(verze 12. května 2015)

(verze 12. května 2015) Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Kristýna Suchanová. Přírodovědná studia, obor Matematika

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Kristýna Suchanová. Přírodovědná studia, obor Matematika ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY POSLOUPNOSTI A ŘADY: ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI, LIMITY: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kristýna Suchanová Přírodovědná

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Tabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj.

Tabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj. 1 Limity posloupností 1. (a) pro a > 1 je (c) Pro β > 0 a a > 1 Tabulkové ity n! n n = 0 a n n! = 0. n β a n = 0. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj. libovolně malé) ln α n n β = 0. (e)

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni. KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 13

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 13 Příklad 1 Určete poloměr a obor bodové konvergence mocninných řad: a) 1 8 b) +1 c) 3 d) +2+1 e)! f)! 3 g) +2 +3 h) 2 2 1 =8, = 7,9 =1, = 1,1 =3, = 3,3 =1, = 2,0 =+, =,+ =0, =3 =1, = 3,1 = 1 2, = 1 2,1

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Úlohy II. kola kategorie A

Úlohy II. kola kategorie A 5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Lineární algebra : Úvod a opakování

Lineární algebra : Úvod a opakování Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu

Více

Přehled probrané látky

Přehled probrané látky Přehled probrané látky 1. přednáška 5.10.2004. Organizační pokyny. Motivace - řetězovka, brachystochrona, analýza v The Art of Computer Programming D. Knutha. Co probereme v ZS: R, posloupnosti a řady,

Více

Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků

Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků @00. Základní poznatky Umět řešit rovnice a nerovnice je jedna ze stěžejních úloh středoškolské matematiky. Řešit bez problémů základní rovnice by měl umět každý středoškolák, který získal maturitu (jakoukoli,

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Vojtěch Kudrnáč. Nekonečné součiny. Katedra matematické analýzy

Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Vojtěch Kudrnáč. Nekonečné součiny. Katedra matematické analýzy Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vojtěch Kudrnáč Nekonečné součiny Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. Studijní

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací),

V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací), L i t e r a t u r a [1] Calábek, P. Švrček, J.: Úvod do řešení funkcionálních rovnic. MFI, roč. 10 (2000/01), č. 3. [2] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc., 1998. [3]

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další). 0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více