Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady."

Transkript

1 Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Existuje li limita, kde je posloupnost částečných součtů řady, nazýváme ji součtem této řady a značíme. Je li navíc, říkáme, že řada konverguje; je li či, říkáme, že řada podstatně diverguje. Neexistuje li limita, říkáme, že řada osciluje. Řady podstatně divergentní a oscilující nazýváme souhrnně divergentní. Buďte, dvě číselné posloupnosti. Říkáme, že řady a mají stejný charakter, pokud obě dvě současně podstatně divergují, obě dvě současně oscilují, nebo obě dvě současně konvergují. Příklad (Geometrická řada). Geometrická řada konverguje právě tehdy, když. Řešení. Podle vzorce pro součet prvních členů geometrické posloupnosti je částečný součet roven Konečná limita výrazu vpravo pro existuje právě tehdy, když. Příklad (Harmonická řada ). Řada je podstatně divergentní. Řešení. Tento výsledek jsme již ukázali v kapitole o posloupnostech. Příklad (Řada ). Řada osciluje. Řešení. Posloupnost částečných součtů má tvar, její limita proto neexistuje. Věta (Linearita řad). Buď (resp. ), nechť jsou dány číselné posloupnosti,. Pak a za předpokladu, že pravé strany mají smysl. Důkaz. Věta plyne z věty o aritmetice limit posloupností. Věta (O součtu komplexní řady). Nechť je komplexní posloupnost. Řada konverguje právě tehdy, když konvergují reálné řady a, a pro její součet v takovém případě platí. Důkaz. Věta plyne z věty o limitě komplexní posloupnosti. Věta (O modifikaci konečného počtu členů řady). Přidáním, vynecháním či změnou konečného počtu členů číselné posloupnosti se nezmění charakter řady. Důkaz. Z věty o aritmetice limit je jasné, že dvě posloupnosti a, kde je libovolná konstanta, buď obě dvě mají vlastní limitu, nebo obě dvě nevlastní limitu, nebo limita obou neexistuje. 1. Sčítání řad Příklad (Součet řady ).

2 Dokažme, že Řešení. Z Moivrovy věty je odkud pro liché substitucí a porovnáním imaginárních částí dostaneme identitu Do této identity dosadíme za postupně čísla, ; na levé straně vyjde vždy. Protože je funkce na intervalu prostá, čísla jsou pro uvedená navzájem různá, takže polynom tého stupně má právě tato čísla (a žádná jiná) za své kořeny. Jejich záporně vzatý součet je podle Vietova vzorce roven koeficientu u ní mocniny, proto platí odkud přičtením dostaneme a protože na (což lze snadno ukázat např. zderivováním), na tomto intervalu platí i resp. i Odtud dostaneme Úpravou dostaneme nerovnost ze které již plyne limitním přechodem podle věty o limitě sevřené posloupnosti zadané tvrzení. 2. Uzávorkování řad Definice (Uzávorkování řady). Nechť je číselná posloupnost, nechť je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Položme,, atd. Pak říkáme, že řada vznikla uzávorkováním řady (pomocí ). Věta (O uzávorkování řady). Je li řada konvergentní nebo podstatně divergentní, každá řada z ní vzniklá uzávorkováním má stejný charakter a stejný součet. Důkaz. Věta plyne z věty o limitě vybrané posloupnosti. Věta (O uzávorkování řady s omezeným počtem sčítanců v závorce). Nechť je číselná posloupnost, nechť řada vznikla uzávorkováním řady pomocí. Nechť a nechť existuje tak, že pro všechna platí. Pak řady a mají stejný charakter a v případě konvergence i stejný součet. Důkaz. Označme jako posloupnost částečných součtů řady, jako posloupnost částečných součtů řady. Je pro všechna

3 . Tvrzení věty plyne z faktu, že je pokryta vybranými posloupnostmi,,,...,. 3. Konvergence řad Věta (Nutná podmínka konvergence řady). Nechť řada konverguje. Pak. Důkaz. Nechť je posloupnost částečných součtů řady. Pak pro všechna. Podle předpokladu existuje číslo resp. tak, že. Z věty o limitě rozdílu dostaneme. Věta (Bolzano Cauchyova podmínka pro konvergenci řady). Řada konverguje platí Důkaz. Nechť je posloupnost částečných součtů řady. Podle Bolzanovy Cauchyovy podmínky pro konvergenci číselné posloupnosti konverguje právě tehdy, když což je zřejmě ekvivalentní podmínce ( ). Věta (O absolutní konvergenci řady). Konverguje li řada, pak konverguje i řada a pro jejich součty platí nerovnost Důkaz. Věta plyne z Bolzanovy Cauchyovy podmínky a z trojúhelníkové nerovnosti Definice (Absolutní konvergence řady). Konverguje li řada, říkáme, že řada konverguje absolutně. Konverguje li řada a diverguje li řada, říkáme, že řada konverguje neabsolutně Řady s kladnými členy Věta (Srovnávací kritérium pro číselné řady (nelimitní tvar)). Nechť pro všechna je. Pak platí: 1. Konverguje li řada, konverguje také řada. 2. Diverguje li řada, diverguje také řada. Důkaz. 1. Pro všechna je odkud limitním přechodem dostaneme přitom limitní přechod je možné provést (limity na obou stranách nerovnosti existují), neboť posloupnosti částečných součtů příslušné oběma řadám jsou rostoucí. Podle předpokladu je limita vpravo konečná, tedy i limita vlevo musí být konečná. 2. Tvrzení je ekvivalentní tvrzení v bodu 1, neboť pro libovolné dva výroky je.

4 Poznámka. Je zřejmé, že podmínku v předpokladu lze zaměnit slabší podmínkou a tvrzení zůstane v platnosti. Podobně je tomu i u dalších kritérií. Věta (Srovnávací kritérium pro číselné řady (limitní tvar)). Nechť pro všechna platí a. Nechť existuje limita. Pak platí: 1. Je li a konverguje, pak i konverguje. 2. Je li a diverguje, pak i diverguje. Důkaz. 1. Konvergenci řady dokážeme pomocí BCP. Zvolme libovolné. Pak z konvergence plyne, že existuje tak, že pro všechna a je Z definice limity existuje tak, že pro všechna je Pro libovolná a je pak i Odtud plyne konvergence řady. 2. Protože, je a je od jistého členu nenulová. Z věty o limitě podílu. Tvrzení plyne z bodu 1, zaměníme li roli posloupnosti a. Věta (Odmocninové (Cauchyovo) kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak platí: 1. a) Existuje li číslo tak, že, pak konverguje. b) Platí li pro nekonečně mnoho indexů vztah, řada diverguje. 2. a) Platí li, řada konverguje. b) Platí li, řada diverguje. Důkaz. 1. a) Pro všechna je. Přitom řada konverguje, tvrzení proto plyne ze srovnávacího kritéria. b) Pro nekonečně mnoho indexů platí. Nemůže být proto splněna nutná podmínka konvergence, řada tedy diverguje. 2. a) Z definice limity plyne, že existuje tak, že od jistého členu je. Tvrzení proto plyne z bodu 1. a). b) Podobně jako v 1. b) nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada diverguje. Lemma (Srovnání podílů po sobě následujících členů). Nechť, jsou posloupnosti kladných čísel a pro všechna platí. Pak: 1. Konverguje li řada, konverguje také řada. 2. Diverguje li řada, diverguje také řada. Důkaz. Pro libovolné z předpokladu postupně dostaneme: takže stačí použít nelimitní tvar srovnávacího kritéria. Věta (Podílové (d'alembertovo) kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak:

5 1. a) Existuje li číslo tak, že pro všechna je, řada konverguje. b) Pokud pro všechna platí, řada diverguje. 2. a) Je li, řada konverguje. b) Je li, řada diverguje. Důkaz. 1. a) Z předpokladu plyne, že pro všechna je, tvrzení proto dostaneme srovnáním s konvergentní geometrickou řadou. b) Z předpokladu plyne, že pro všechna. Posloupnost je tedy rostoucí, takže nemůže být splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, řada proto diverguje. 2. a) Z definice limity dostaneme, že, proto tvrzení plyne z bodu 1. a) s přihlédnutím k poznámce o předpokladech. b) Podobně jako v bodu a) z definice limity dostaneme, že od jistého členu je splněna podmínka a dále stejně jako v 1. b). Věta (Integrální kritérium). Nechť je nezáporná klesající funkce v. Pak platí: konverguje právě tehdy, když konverguje zobecněný Riemannův integrál. Důkaz. Pro všechna a je zřejmě Díky monotonii je integrovatelná, integrací dostaneme nerovnosti neboli Sečtením uvedených nerovností pro dostaneme Nyní provedeme limitní přechod : limity sum na levé a pravé straně existují, neboť posloupnosti částečných součtů jsou rostoucí, limita integrálu uprostřed podle Heineovy věty existuje, neboť je nezáporná a tedy integrál jakožto funkce horní meze je rostoucí. Dostaneme Pokud je součet řady vpravo konečný, musí být konečná i hodnota zobecněného integrálu uprostřed, pokud je konečný integrál uprostřed, musí být konečný součet řady vlevo tím jsou současně dokázány obě implikace. Příklad (Řada ). Vyšetřeme konvergenci řady, kde. Řešení. Podle integrálního kritéria řada konverguje právě tehdy, když konverguje zobecněný Riemannův integrál, což je pro. Příklad (Řada ). Řada diverguje. Řešení. Podle integrálního kritéria stačí ukázat divergenci integrálu. Provedeme substituci Podle věty o substituci pro zobecněný Riemannův integrál tento integrál diverguje právě tehdy, když diverguje integrál integrál je divergentní, je tím divergence původní řady dokázána. Protože poslední

6 Věta (Raabeovo kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak platí: 1. a) Existuje li číslo tak, že pro všechna je, pak konverguje. b) Je li pro všechna splněna podmínka, pak řada diverguje. 2. a) Pokud, řada konverguje. b) Pokud, řada diverguje. Důkaz. 1. a) Zvolme libovolně. Označme. Podle příkladu řada konverguje. Pro konvergenci řady stačí ukázat, že od jistého členu platí podmínka, což je ekvivalentní podmínce Výraz na levé straně je podle předpokladu, dokážeme li proto, že limita výrazu na pravé straně je menší než, důkaz bude hotov. Máme Na poslední limitu použijeme l'hôpitalovo pravidlo a dostaneme Protože, věta je tím dokázána. b) Podmínka z předpokladu je ekvivalentní podmínce kde. Řada přitom diverguje (harmonická řada), proto podle srovnávacího kritéria s podíly konverguje i řada. 2. a, b) Z definice limity plyne, že od jistého členu jsou splněny přepoklady v bodech 1. a), b). Věta (Gaussovo kritérium). Nechť pro všechna platí. Nechť existují konstanty,, a omezená číselná posloupnost tak, že pro všechna platí Pak: 1. Je li, řada konverguje. Důkaz. Protože 2. Je li, řada diverguje. případy a plynou z limitní verze podílového kritéria. Je li, je případy resp. plynou z limitní verze Raabeova kritéria. Zbývá tedy dokázat divergenci řady pro případ. Označme. Řada diverguje. Stačí podle srovnávacího kritéria dokázat, že od jistého členu je Poslední nerovnost je ekvivalentní nerovnosti která jde ještě upravit na tvar

7 Tato nerovnost je od jistého členu jistě splněna, neboť (díky omezenosti ) 3.2. Řady se střídavými znaménky Definice (Řada se střídavými znaménky). Buď reálná posloupnost, nechť platí. Pak říkáme, že je řada se střídavými znaménky. Poznámka. Efektivně to znamená, že řada se střídavými znaménky má tvar buď, nebo, kde. Věta (Leibnizovo kritérium pro řady se střídavými znaménky). Nechť je klesající posloupnost kladných čísel. Pak řada konverguje právě tehdy, když. Důkaz. : jedná se o nutnou podmínku konvergence řady. : označme částečný součet uvažované řady. Pak pro všechna je Z monotonie posloupnosti vyplývá, že Proto je rostoucí a klesající posloupnost. Jejich limity tedy existují. Protože díky předpokladu musí být Zároveň společná limita musí být díky rozdílnému druhu monotonie obou posloupností reálná. Z pokrývací věty dostaneme pak existenci konečné limity posloupnosti, tedy konvergenci příslušné řady. Věta (Modifikované Raabeovo kritérium). Nechť pro všechna platí. Pak: 1. a) Existuje li tak, že pro všechna je, pak řada konverguje. b) Je li pro všechna výraz, řada diverguje. 2. a) Je li, řada konverguje. b) Je li, řada diverguje. Důkaz. 1. a) K důkazu konvergence řady použijeme Leibnizovo kritérium. Z předpoladu vyplývá, že pro všechna je proto a je tedy klesající posloupnost. Musí mít proto limitu. Vynásobíme li nerovnosti ( ) pro, kde, dostaneme

8 Kdyby, musela by být kladná, neboť je nezáporná posloupnost. V takovém případě by přitom ale podle věty o limitě podílu což je spor. Je tedy a podle Leibnizova kritéria konverguje. b) Z předpokladu plyne pro všechna, je tedy rostoucí posloupnost, proto nemůže mít za limitu nulu, řada diverguje. 2. a), b) Z definice limity plyne, že od jistého členu jsou splněny přepoklady v bodech 1. a), b). Věta (Modifikované Gaussovo kritérium). Nechť pro všechna platí, nechť existují konstanty,, a omezená posloupnost tak, že pro všechna platí Pak: 1. Je li, řada konverguje absolutně. 2. Je li, řada konverguje neabsolutně. 3. Je li, řada diverguje. Důkaz. 1. Případy plynou z Raabeova kritéria. 2. Konvergence řady plyne z modifikovaného Raabeova kritéria. Divergence řady plyne z Gaussova kritéria. 3. Pokud, je a tedy je od jistého členu rostoucí. Tím pádem nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada proto diverguje. Pokud je, je a tedy od jistého členu je, což opět znamená, že je od jistého členu rostoucí, nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, řada diverguje. Pokud je, je Označme. Je Z toho plyne, že je na ostře klesající a na ostře rostoucí. Přitom, proto pro všechna. Protože je omezená, jistě existuje tak, že pro všechna je. Pro proto Sečteme li nerovnosti ( ) pro, kde, dostaneme Limita pravé strany pro je konečná, označme ji. Dostaneme odkud plyne, že nemůže být splněna nutná podmínka konvergence Řady s obecnými členy

9 Věta (Dirichletovo kritérium pro konvergenci řad). Nechť řada má omezenou posloupnost částečných součtů. Nechť je monotónní posloupnost a. Pak konverguje. Důkaz. Předpokládejme například, že je klesající nezáporná posloupnost. K důkazu užijeme BCP. Zvolme a hledejme tak, aby pro všechna, platilo Sumu v nerovnosti upravíme: označme. Podle předpokladu existuje tak, že pro všechna. Máme odkud Existence tedy plyne z předpokladu. Věta (Abelovo kritérium pro konvergenci řad). Nechť řada konverguje. Nechť je monotónní omezená posloupnost. Pak řada konverguje. Důkaz. Z monotonie plyne existence limity posloupnosti, označme ji. Protože je omezená, je. Řadu pak lze zapsat jako součet dvou konvergentních řad přičemž první řada konverguje podle Dirichletova kritéria a druhá z předpokladu věty. Příklad (Řada ). Podle Dirichletova kritéria řada konverguje, neboť je monotónní posloupnost s nulovou limitou a řada má omezenou posloupnost částečných součtů. 4. Přerovnání řad Definice (Přerovnání řady). Buď číselná posloupnost, bijekce. Říkáme, že řada vznikla z řady přerovnáním. Věta (O absolutně konvergentní přerovnané řadě). Nechť absolutně konverguje. Pak každá řada vzniklá z řady přerovnáním je také absolutně konvergentní a má stejný součet. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že. Pak tedy posloupnost částečných součtů přerovnané řady je shora omezená, takže konverguje a z limitního přechodu plyne, že Zaměníme li roli původní a přerovnané řady, dostaneme opačnou nerovnost. Celkově tedy Předpokládejme nyní, že. Označme

10 Platí tedy Řady a jsou řady s nezápornými členy, které (absolutně) konvergují, neboť jsou to součty resp. rozdíly (podělené dvěma) dvou konvergentních řad. Dají se tedy (dle důkazu výše) přerovnat bez změny součtu. Dostaneme tak což znamená, že řadu lze přerovnat bez změny součtu. Přitom je absolutně konvergentní, neboť Dokažme tvrzení konečně pro obecnou komplexní posloupnost. Rozložíme kde. Posloupnosti a jsou díky nerovnostem absolutně konvergentní, tudíž je lze přerovnat (podle předchozího) bez změny součtu, takže platí Přerovnaná posloupnost je absolutně konvergentní, neboť Věta (O přerovnání neabsolutně konvergentní reálné řady). Buď neabsolutně konvergentní reálná řada. Nechť. Pak existuje přerovnání řady takové, že jeho součet je. Existuje také přerovnání řady, které osciluje. Důkaz. Označme Protože konverguje neabsolutně, je nutně, tedy řady i jsou podstatně divergentní, mají součet. Popíšeme hledané přerovnání slovně. Buď nejprve. Nalezneme nejprve první takové tak, aby To jinými slovy znamená, že vybíráme nejprve kladné členy z posloupnosti tak, že tak dlouho, až jejich součet přesáhne. Poté nalezneme první takové To jinými slovy znamená, že vybíráme záporné členy z posloupnosti tak dlouho, dokud jejich součet (spolu s prvními nezápornými členy) není menší než. Poté nalezneme opět první takové, že a Takto postupujeme stále dál, až nagenerujeme posloupnosti a. Zkonstruované přerovnání přitom musí konvergovat k, neboť Pokud, nalezneme nejprve tak, aby součet prvních nezáporných členů posloupnosti přesáhl číslo. Poté přičteme jeden záporný člen. Následně přičítáme kladné tak dlouho, až součet přesáhne číslo. Pak opět přičteme jeden člen záporný, atd. Takto zkonstruované přerovnání

11 má zřejmě součet. Přerovnání divergující k sestrojíme podobně. Konečně přerovnání, které osciluje, se sestrojí následujícím způsobem: nejprve sčítáme nezáporné členy tak dlouho, až jejich součet přesáhne číslo. Poté přičítáme nekladné členy tak dlouho, až je součet menší než. Poté opět přičítáme nezáporné členy, až součet přesáhne, atd. Takto zkonstruované přerovnání zřejmě osciluje. 5. Součin řad Definition (Součin řad). Nechť, jsou číselné posloupnosti, nechť je bijekce. Označme,, pro všechna. Říkáme, že řada je součinem řad a. Věta (O součinu absolutně konvergentních řad). Nechť a jsou absolutně konvergentní řady. Pak jejich součin je absolutně konvergentní a má součet. Důkaz. Označme. Pak řada je proto absolutně konvergentní. Lze ji bez změny součtu libovolně přerovnat a uzávorkovat. Platí proto kde takže Definice (Součinová řada). Nechť, jsou číselné posloupnosti, nechť. Pak říkáme, že je součinová řada řad a. Věta (O součinu absolutně konvergentní a konvergentní řady). Nechť konverguje absolutně a konverguje. Pak součinová řada těchto dvou řad konverguje k číslu. Důkaz. Nechť je ona součinová řada a její částečný součet. Označme,,,. Pak pro všechna platí odkud Z předpokladů věty plyne, že Zároveň jistě existuje tak, že Zvolme a najděme příslušná, z podmínek výše. Je li, je pak

12 odkud plyne z čehož dostaneme což je tvrzení věty. Příklad. Ukažme, že pokud řady, konvergují, součinová řada nemusí konvergovat. Řešení. Položme Pak součinová řada je, kde a protože dostaneme odhad takže nemůže být. Součinová řada proto diverguje.

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce 1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3 VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně

Více

1.1. Úvodní opakování. Definice racionální mocniny Mocnina a logaritmus

1.1. Úvodní opakování. Definice racionální mocniny Mocnina a logaritmus 1 Matematická analýza 1...1. Úvodní opakování...1.1. Mocnina a logaritmus...1.1.1. Goniometrické funkce...1.1.2. Zobrazení a jeho základní vlastnosti...1.2. O množině $\mathbb{r}$...1.3. O množině komplexních

Více

Konvergence kuncova/

Konvergence  kuncova/ Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada.

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada. Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n

Více

Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Číselné posloupnosti. H (å) a. a å

Číselné posloupnosti. H (å) a. a å Pokud napíšeme značku H a (ε), je třeba dát pozor, neboť značka je stejná u komplexního i u reálného okolí, ačkoliv jde o jinou množinu (reálné okolí je jen otevřený interval na reálné ose, komplexní zahrnuje

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je 74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Matematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné)

Matematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné) Matematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné) 0. Úvod a opakování (značení, operace s množinami apod.) 1. Reálná čísla a jejich vlastnosti Uspořádané těleso Komutativní

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE LUBOŠ PICK Popis předmětu Jde o první část čtyřsemestrálního základního kursu matematické analýzy.

Více

Součet řady je definován jediným možným rozumným

Součet řady je definován jediným možným rozumným Řady ŘADY ČÍSEL Zatím byly probrány dva druhy operací s posloupnostmi: 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Posloupnosti a řady. 4. kapitola. Absolutní a neabsolutní konvergence

Posloupnosti a řady. 4. kapitola. Absolutní a neabsolutní konvergence Posloupnosti a řady 4. kapitola. Absolutní a neabsolutní konvergence In: Jiří Jarník (author): Posloupnosti a řady. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1979. pp. 90 113. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403939

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí 1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

3. přednáška 15. října 2007

3. přednáška 15. října 2007 3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení

Více

y +q 1 (t)y = 0 (1) z +q 2 (t)z = 0 (2)

y +q 1 (t)y = 0 (1) z +q 2 (t)z = 0 (2) Šturmova srovnávací věta Srovnávací věta se týká nulových bodů rovnic 2. řádu. Umožňuje odhadnout jejich rozložení srovnáním s jinou rovnicí. Věta 1. Necht y je netriviální řešení rovnice y +q 1 (t)y =

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina

Více

Matematická analýza. L. Pick a J. Spurný

Matematická analýza. L. Pick a J. Spurný Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200 Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika....................................

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.

Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.

Více

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti

Reálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),

1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ), Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Pomocný text. Polynomy

Pomocný text. Polynomy Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Kongruence na množině celých čísel

Kongruence na množině celých čísel 121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem

Více

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu. Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy... Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

(verze 12. května 2015)

(verze 12. května 2015) Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L

Více