VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MĚŘENÍ RELAXAČNÍCH KONSTANT TECHNIKAMI MAGNETICKÉ REZONANCE

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV RADIOELEKTRONIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COUNICATION DEPARTENT OF RADIO ELECTRONICS ĚŘENÍ RELAXAČNÍCH KONSTANT TECHNIKAI AGNETICKÉ REONANCE EASUREENT OF RELAXATION CONSTANTS BY USE OF AGNETIC RESONANCE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR BRNO, 28 Radim Kořínek doc. Ing. Eva Gescheidtová, CSc.

2 1. Pan/paní (dále jen autor ) LICENČNÍ SLOUVA POSKYTOVANÁ K VÝKONU PRÁVA UŽÍT ŠKOLNÍ DÍLO Jméno a příjmení: uzavřená mezi smluvními stranami: Radim Kořínek Bytem: alý Koloredov 1539, Frýdek-ístek, Narozen/a (datum a místo): 2. Vysoké učení technické v Brně 29. prosince 1985 ve Frýdku-ístku Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií se sídlem Údolní 53, Brno, 62 a jejímž jménem jedná na základě písemného pověření děkanem fakulty: prof. Dr. Ing. byněk Raida, předseda rady oboru Elektronika a sdělovací technika (dále jen nabyvatel ) Čl. 1 Specifikace školního díla 1. Předmětem této smlouvy je vysokoškolská kvalifikační práce (VŠKP): disertační práce diplomová práce bakalářská práce jiná práce, jejíž druh je specifikován jako... (dále jen VŠKP nebo dílo) Název VŠKP: ěření relaxačních konstant technikami magnetické rezonance Vedoucí/ školitel VŠKP: doc. Ing. Eva Gescheidtová, CSc.. Ústav: UTEE Datum obhajoby VŠKP: VŠKP odevzdal autor nabyvateli * : v tištěné formě počet exemplářů: 2 * hodící se zaškrtněte 2

3 v elektronické formě počet exemplářů: 2 2. Autor prohlašuje, že vytvořil samostatnou vlastní tvůrčí činností dílo shora popsané a specifikované. Autor dále prohlašuje, že při zpracovávání díla se sám nedostal do rozporu s autorským zákonem a předpisy souvisejícími a že je dílo dílem původním. 3. Dílo je chráněno jako dílo dle autorského zákona v platném znění. 4. Autor potvrzuje, že listinná a elektronická verze díla je identická. Článek 2 Udělení licenčního oprávnění 1. Autor touto smlouvou poskytuje nabyvateli oprávnění (licenci) k výkonu práva uvedené dílo nevýdělečně užít, archivovat a zpřístupnit ke studijním, výukovým a výzkumným účelům včetně pořizovaní výpisů, opisů a rozmnoženin. 2. Licence je poskytována celosvětově, pro celou dobu trvání autorských a majetkových práv k dílu. 3. Autor souhlasí se zveřejněním díla v databázi přístupné v mezinárodní síti ihned po uzavření této smlouvy 1 rok po uzavření této smlouvy 3 roky po uzavření této smlouvy 5 let po uzavření této smlouvy 1 let po uzavření této smlouvy(z důvodu utajení v něm obsažených informací) 4. Nevýdělečné zveřejňování díla nabyvatelem v souladu s ustanovením 47b zákona č. 111/ 1998 Sb., v platném znění, nevyžaduje licenci a nabyvatel je k němu povinen a oprávněn ze zákona. Článek 3 ávěrečná ustanovení 1. Smlouva je sepsána ve třech vyhotoveních s platností originálu, přičemž po jednom vyhotovení obdrží autor a nabyvatel, další vyhotovení je vloženo do VŠKP. 2. Vztahy mezi smluvními stranami vzniklé a neupravené touto smlouvou se řídí autorským zákonem, občanským zákoníkem, vysokoškolským zákonem, zákonem o archivnictví, v platném znění a popř. dalšími právními předpisy. 3. Licenční smlouva byla uzavřena na základě svobodné a pravé vůle smluvních stran, s plným porozuměním jejímu textu i důsledkům, nikoliv v tísni a za nápadně nevýhodných podmínek. 4. Licenční smlouva nabývá platnosti a účinnosti dnem jejího podpisu oběma smluvními stranami. 3

4 V Brně dne: 6. června 28.. Nabyvatel Autor 4

5 Anotace Bakalářská práce se zabývá principem nukleární magnetické rezonance a měřením relaxačních konstant. V teoretické části jsou uvedeny všechny základní metody měření (SEspinové echo, GE -gradientní echo, SR-saturation recovery a IR- inversion recovery) relaxačních časů T 1, T 2 případně T 2 *. Chceme-li měřit relaxační dobu T 2, stačí sejmout FID signál po aplikaci 9 RF impulzu. Relaxační čas T 2 * získáme z absorpční čáry. Pro měření transverzální relaxace T 2 se dají aplikovat metody spinového echa (někdy také označované jako Hahn spin echo) využívající 9 RF impulz následovaný dalším 18 RF impulzem). Relaxační čas T 2 * zjistíme metodou gradientního echa. V kapitole 3, je popsáno měření relaxační doby T 1 pomocí RF impulzů a proměnných sklápěcích úhlů α. Jednotlivé složky magnetizace při aplikaci RF impulzů jsou podrobně matematicky vysvětleny. V dalších kapitolách této bakalářské práce jsou testovány vhodné metody aproximace snímaného FID signálu. Jsou testovány některé funkce programu ATLAB a jejich vhodnost použití pro aproximaci snímaného signálu FID. e všech testovaných funkcí v programu ATLAB pro aproximaci signálu se nejlépe osvědčila funkce lsqcurvefit. Uvedena je pak také hlavní metoda a to metoda iterace, která se ukázala jako nejvhodnější způsob aproximace snímaného signálu FID. Klíčová slova: Nukleární magnetická rezonance, relaxace T 1, relaxace T 2, sklápěcí úhel α, pulzní sekvence, signál volné precese. 5

6 Abstract This bachelor s thesis is dedicated to principles of magnetic resonance and measurement of relaxation times. At theoretical part all basics methods of measurement (SE-spin echo, GEgradient echo, SR-saturation recovery, IR- inversion recovery) of relaxation times T 1, T 2 resp. T 2 * are shown. At practical part T 1 and flip angles α are carefully observed. In case of measurement of relaxation time T 2, the FID signal acquisition after 9 RF pulse is sufficient. T 2 * time is set from absorbtion line. For measurement of transversal relaxation method SE (often called as Hahn spin echo 9 RF pulse is followed by next 18 RF pulse) can be used. With GE method, the T 2 * relaxation is observed. easurement of relaxation time T1 using RF impulses and inclinable angles A, is described at chapter 3. Every magnetization components during RF impulses are deeply described by mathematical formulas. Other chapter of this bachelor thesis describes some functions from ATLAB and their fitness for approximation of signal. From every tested functions, the lsqcurvefit function would be the best. Iteration method is most fitting function for approximation of FID signal. Keywords: Nuclear magnetic resonance, relaxation T 1, relaxation T 2, flip angle α, pulse sequence, free induction decay signal. 6

7 KOŘÍNEK, R. ěření relaxačních konstant technikami magnetické rezonance: bakalářská práce. Brno: FEKT VUT v Brně, s.; 7

8 Prohlášení Prohlašuji, že svou bakalářskou práci na téma ěření relaxačních konstant technikami magnetické rezonance jsem vypracoval samostatně pod vedením vedoucího bakalářské práce a s použitím odborné literatury a dalších informačních zdrojů, které jsou všechny citovány v práci a uvedeny v seznamu literatury na konci práce. Jako autor uvedené bakalářské práce dále prohlašuji, že v souvislosti s vytvořením této bakalářské práce jsem neporušil autorská práva třetích osob, zejména jsem nezasáhl nedovoleným způsobem do cizích autorských práv osobnostních a jsem si plně vědom následků porušení ustanovení 11 a následujících autorského zákona č. 121/2 Sb., včetně možných trestněprávních důsledků vyplývajících z ustanovení 152 trestního zákona č. 14/1961 Sb. V Brně dne 6. června podpis autora Poděkování Děkuji vedoucímu bakalářské práce doc. Ing. Evě Gescheidtové, CSc.. za účinnou metodickou, pedagogickou a odbornou pomoc a další cenné rady při zpracování mé bakalářské práce. V Brně dne 6. června podpis autora 8

9 SENA POUŽITÝCH SYBOLŮ α ω ω γ sklápěcí úhel Larmorův kmitočet úhlový kmitočet gyromagnetický moment pro každý prvek je jiný A E velikost echa B magnetická indukce B indukce homogenního magnetického pole B 1 indukce magnetického RF pole kolmého na B vektor magnetizace z velikost v rovnovážném stavu, tzn. stav termodynamické rovnováhy eq je magnetizace jádra v tepelné rovnováze P longitudinální magnetizace T tranzverzální složka magnetizace xy ( T ) transverzální (příčná) složka vektoru magnetizace z ( P ) longitudinální (podélná) složka vektoru magnetizace magnetizace při tepelné rovnováze T 1 spin lattice relaxace (spin-mřížková) - longitudinální * T 2, T 2 spin spin relaxace (spin-spinová) - transverzální T D doba zpoždění (time delay) T E doba echa (time echo) T I inverzní doba (Inversion recovery) time recovery T R FID signal volné precese (free induction decay) GE gradientní echo IR inversion recovery metoda měření podélné relaxace T 1 P magnetické pole R magnetická resonance RI magnetic resonance imaging NR nukleární magnetická rezonance PD protonová hustota (proton density) SE spin-echo ( někdy i Hahn echo) SR saturation recovery metoda měření podélné relaxace T 1 RF radiofrekvenční 9

10 1 ÚVOD NUKLEÁRNÍ AGNETICKÁ REONANCE SIGNÁL VOLNÉ PRECESE FID RELAXAČNÍ PROCESY Spin lattice (spin-mřížková) T 1 relaxace (longitudinální) Spin spin T 2 relaxace (transverzální) ÁKLADNÍ PULNÍ SEKVENCE A KONTRASTY V RI Sekvence spinového echa (SE) Sekvence gradientního echa Sekvence inversion recovery Sekvence saturation recovery (SR) ĚŘENÍ RELAXAČNÍ DOBY T 1 POOCÍ PROĚNNÝCH HODNOT SKLÁPĚCÍHO ÚHLU PULNÍ SEKVENCE VYJÁDŘENÁ ATEATICKY ĚŘENÍ RELAXAČNÍ DOBY T 1 POOCÍ SKLÁPĚCÍHO ÚHLU Tří-pulzní sekvence α - 2α α Určení sklápěcího úhlu α a longitudinální relaxačního času T 1 dvěmi sadami experimentů VÝBĚR VHODNÉ INTERPOLAČNÍ ETODY APROXIACE TEORETICKÝCH HODNOT ETODOU ITERACE ĚŘENÁ DATA A JEJICH VYHODNOCENÍ ÁVĚR REJSTŘÍK PŘEHLED SOUBORŮ A ADRESÁŘŮ

11 1 Úvod agnetická rezonance (R) je moderní zobrazovací metoda založená na detekci magnetizace mobilních vodíkových protonů. Ukázala se velmi užitečná při studiu struktury, složení a molekulové dynamiky různých materiálů. První experimenty s nukleární R (dále již NR) byly uskutečněny koncem roku Nejdříve se objevovaly převážně aplikace v chemii s využitím R spektroskopie (RS). obrazování pomocí NR se objevilo po roce 197 a aby bylo laickou veřejností přijato lépe, bylo z názvu vypuštěno slovo nukleární (jaderná) a uchytil se název RI (agnetic Resonance Imaging). První R scanner byl představen v r panem Raymondem Damadianem. Ten využil také i poznatků Felixe Blocha (Standford University) a Edvarda illse Purcella (Harvard University), kteří byli za svůj výzkum v roce 1952 odměněni Nobelovou cenou za vypracování přesných metod měření magnetických momentů jader.[1][2] agnetická rezonance je v dnešní době jedna z nejlepších diagnostických metod používaných v lékařství a dnes čím dál častěji využívána metoda vyšetření. Jedná se o neinvazivní metodu, tzn. pacientovi nejsou do těla zaváděny žádné sondy apod., při které se na rozdíl od radiačních metod nevyužívá ionizujícího záření a proto nedochází k nežádoucím účinkům na lidskou tkáň. Díky této metodě je dnes možné zobrazit 3D řezy lidským tělem (Obr.2, Obr.3). Díky metodě R je dnes možno různé nádorové onemocnění diagnostikovat dříve, určit diagnózu a případně způsob léčení čímž dochází k zvýšení pravděpodobnosti záchrany života pacienta. Výhodu R obrazů je jejich vysoká rozlišovací schopnost, daná relaxačními časy jader, rychlostí jejich pohybu, difůzí jader, množstvím protonových jader v tkáni atd. Obr.1 Řez lidským mozkem, pohled shora a pohled zleva Obr.2 Řez mozkem, pohled ze zadu Pro zobrazování metodou R jsou vhodné pouze atomy, které mají v jádře lichý počet protonů [1] (např. izotopy 1 1H, 13 6C, 15 7N, 29 14Si, 31 15P, 43 2Ca, 57 26Fe, a mnoho dalších [3]). biogenních prvků je nejvhodnějším prvkem vodík 1 1H. Vodík nás zajímá proto, že lidské tělo obsahuje až 7 % vody, která je tvořena dvěma molekulami vodíku a molekulou kyslíku. Do místnosti, kde je R přístroj umístěn, se nesmí vcházet s kovovými předměty. Supravodivá cívka přitahuje veškeré kovové předměty ve svém blízkém okolí. Což například ze sponek, nůžek, ostrých kovových předmětu vytváří projektily, které by mohly nepříjemně zranit pacienta [4]. Vyšetření R přístroji nemohou podstoupit lidé s kardiostimulátory, lidé s kovovými implantáty, které nejsou fixovány v tkáni, těhotné ženy (vliv pole na plod nebyl zcela prozkoumán), lidé trpící klaustrofobií, lidé nadměrně citliví na hluk a nadměrně objemní lidé. 11

12 2 Nukleární agnetická Rezonance pohledu kvantové fyziky je nukleární magnetická rezonance často vysvětlována jako energetické rozštěpení hladin atomového jádra vlivem magnetického pole v němž se jádro nachází. měnou magnetického pole dochází k emitování fotonů s energií, odpovídající rozdílu energetických hladin. Během R můžeme zaznamenat slabý elektrický signál, který je vybuzen v měřicích cívkách rotujícím magnetickým momentem jader umístěných v pracovním prodtoru R přístroje. Snímaný signál je označován jako signál volné precese Free Induction Decay (FID). Kmitočet signálu FID je shodný s vlastním kmitočtem jader z čehož vyplývá, že ze signálu FID můžeme určit druh a množství měřených jader.[5] Jádra s lichým počtem protonů a neutronů mají vlastní spin. V kvantové mechanice je spin reprezentován jako spinové magnetické kvantové číslo (vzhledem k tomu, že spin elektronu má hodnotu s = 1/2, může spinové magnetické kvantové číslo nabývat pouze dvou hodnot m s = ± 1/2) [6]. Spin můžeme zobrazit jako rotující pohyb jádra kolem vlastní osy jak je uvedeno na Obr.3. Velikost magnetického momentu je dána vlastním typem jádra. Jádra vodíku ( 1 1H), jak je známo, mají silnější magnetický moment a jsou ve velké míře obsažená v biologických materiálech. Proto je vodík nejvíce využíván při R zobrazování. Obr.3 Spin jádra vytváří magnetický moment, který si můžeme představit jako magnet (dipól). Směr vektorů magnetizace jader bez aplikace externího magnetického pole je zcela náhodný (Obr.4). Při působení statiského magnetického pole s indukcí B na jádra atomů se při aplikaci dalšího přídavného rotujícího magnetického pole směry vektorů magnetizace začnou měnit (Obr.5). Jádra, na která působíme rotačním magnetickým polem, vytvoří rychle slábnoucí, rotující signál odezvy nukleární magnetické rezonance, který můžeme zachytit snímacími cívkami. 12

13 Obr.4 Skupina jader 1 1H (zobrazení jejich spinů) s absencí externího magnetického pole. Obr.5 Aplikace externího magnetického pole B na skupinu jader 1 1H. Tato jádra mají dva typy orientace mezi sebou a respektují směr vektoru B (paralelní a antiparalelní). agnetické momenty nebo spiny se orientují do dvou směrů, které respektují působení vektoru B, tyto směry jsou označovány jako paralelní a antiparalelní. Úhly α jsou souměrné podle osy, která je kolmá na vektor magnetizace B (Obr.6). Spinové osy nejsou zcela rovnoběžné s vektorem magnetizace B a konají precesní pohyb kolem B s charakteristickým kmitočtem (Obr.7). Atomová jádra se stejným spinovým magnetickým kvantovým číslem jako je např. 1 1H vytvoří stejný efekt spiny mají jeden ze dvou směrů (paralelní nebo antiparalelní) při aplikaci externího magnetického pole. Elementární jádra se stejným spinovým magnetickým kvantovým číslem jsou kromě 1 1H také i 13 6C, 19 E a 31 15P. Jádra s vyšším spinovým magnetickým kvantovým číslem mohou mít více než dva směry orientace.[7], [8] Obr.6 Působení externího magnetického pole B na jádra, které mohou mít dva směry orientace respektující pole B. Orientace spinu jader nejsou přesně a 18 vůči vektoru B. Obr.7 Precesní pohyb spinové osy jádra kolem vektoru magnetizace B. 13

14 2.1 Signál volné precese FID Než si vysvětlíme vlastní význam FID signálu, tak je nejprve nutné si ujasnit, který směr natočení spinové osy je pro nás významný a měřitelný. da paralelní či antiparalelní směr spinové osy. Pro skupinu jader 1 1H platí, že přijmou jeden ze dvou stavů, paralelní nebo antiparalelní, které si označíme jako P 1, P 2 a to tak, že odpovídají energetickým úrovním E 1 a E 2. E 2 je větší než E 1 což znamená, že P 1 je větší než P 2. Obvyklá otázka zní, proč spiny přijmou vyšší energii antiparalelního stavu? Odpověď je taková, že spin stavu P 2 se může přemístit do stavu P 1 pokud je množství energie dodané do systému rovno E = E 2 - E 1. Pokud se teplota systému blíží absolutní nule, tak všechny spiny přijmou paralelní orientaci. Dojde k nárůstu teplené energie u P 2. Při pokojové teplotě v magnetickém poli o magnetické indukci B = 1,5 T je typický populační poměr P 2 :P 1 je roven 1:16 [8]. Pokud chceme získat informace o rychlosti rotace jader, jejich uhlové kmitočty, tak je nutné, abychom působili na měřená jádra vysokofrekvenčním magnetickým polem (VF P) o magnetické indukci B 1 kolmé na základní pole (s daným kmitočtem (1)) s magnetickou indukcí B. kde ω je úhlový kmitočet vysokofrekvenčního pole. ω f =, (1) 2π Předpokládejme, že směr B je totožný s kladným směrem osy euklidovského 3D prostoru a B je kolma na osy x a y. Abychom mohli detekovat signál z jádra H je nutno aplikovat vysokofrekvenční (VF) energii. Vysokofrekvenční energie o Larmorově kmitočtu (2) [9], čili rezonanční kmitočty jader ω se blíží kmitočtu ω vysokofrekvenčního pole [5], [7], přepíná spiny mezi stavem paralelním a antiparalelním. kde χ je gyromagnetický poměr. ω = χb, (2) Popsaný oscilační efekt má za následek to, že vektor magnetizace je orientován (paralelní orientace) ve směru osy z. Vysokofrekvenční energie, kterou známe jako elektromagnetické záření, má elektrickou a magnetickou složku. Předpokládejme, že magnetické pole je reprezentováno B 1 ležící v rovině xy. Složka xy vektoru bude koherentní a odpovídající působení pole B 1 a proto se vektor magnetizace začne z z-ové orientace překlápět k rovině xy (Obr.8) 14

15 Obr.8 Vliv vysokofrekvenčního pole na vektor magnetizace. Vektor se sklápí z původní longitudinální pozice vůči ose z, což je směr působení externího magnetického pole B, do transverzální roviny xy. Dále je zde zakreslen sklápěcí úhel, který svírá vektor magnetizace s osou z. Úhel, který svírá vektor magnetizace s osou z a zároveň kolem ní rotuje, se označuje jako sklápěcí úhel. Velikost a doba trvání B 1 určuje energii, kterou mají spiny orientované v paralelním nebo antiparalelním směru. Sklápěcí úhel odpovídá velikosti indukce magnetického pole B 1. Při působení 9 nebo 27 RF pulzů se vektor magnetizace sklopí do roviny xy a velikost z složky je nulová. V tento okamžik začne zkoumaná tkáň relaxovat tzn., že magnetizace longitudinální s osou-z roste exponenciálně s časem [2]. Poměr P 2 :P 1 je roven přesně jedné. Impulz otočí o 18 vektor přímo proti směru vektoru B s větším spinovým číslem příjme antiparalelní (spíše než paralelní) stav. Pokud je aplikováno magnetické pole B 1 po určitou dobu, tak se vektor magnetizace začne překlápět skrze rovinu xy z negativního směru (antiparalelního stavu) do stavu paralelního k ose-z (kde proces začne znovu). [8] Při procesu NR zaznamenáváme slabý elektrický signál Tento signál je vybuzen v měřicích cívkách tomografu díky rotujícímu vektoru magnetizace námi měřených jader. Signál zaznamenaný v měřicích cívkách můžeme označit jako signál volné precese - Free 15

16 Induction Decay (FID) (Obr.9). Kmitočet signálu FID je shodný s vlastním kmitočtem měřených jader, a proto je signál FID pro nás velmi důležitý. ůžeme z něj určit druh a množství jader v měřeném vzorku. Vlastní kmitočet signálu FID je řádově desítky až stovky Hz a z pohledu spektrální šířky je tento signál vzhledem k základnímu kmitočtu velmi úzký řádově desítky až tisíce Hz. těchto důvodů si signál FID převedeme do základního pásma, tzn. na nulový kmitočet [1]. Spektrum signálu FID není symetrické kolem základního kmitočtu a proto je signál FID je po převedení do základního pásma komplexním signálem [11]. Rezonance jader závisí na velikosti indukce magnetického pole B a na gyromagnetickém poměru γ (pro vodík 1 1H je γ = 2, rad -1 T -1 [42,577HzT -1 ]) [5]. Na gyromagnetickém poměru a jeho absolutní přesnosti je závislá přesnost R měření. Absolutní přesnost gyromagnetického poměru se pohybuje v řádu 1-5 [12]. Obr.9 Exponenciální průběh snímaného signálu FID v měřicích cívkách. 2.2 Relaxační procesy Návrat vektoru magnetizace do rovnovážného stavu (směr osy-z) označujeme jako relaxaci. áme tři faktory, které mají vliv na precesi vektoru. Je to nehomogenita magnetického pole, longitudinální T 1 relaxace (FID signál je závislý na T 1 relaxaci [13]) a transverzální relaxace T 2. Poté co odezní budicí elektromagnetický impulz, proběhne relaxace. Relaxaci definujeme dvěma časovýma konstantami T 1 a T 2. 16

17 Obr.1 Průběh relaxace T 1,T 2 a vektoru magnetizace (překlopení RF pulzem a poté návrat do směru osy z) Spin lattice (spin-mřížková) T 1 relaxace (longitudinální) T 1 relaxace je návrat vybuzených jader z vysoko energetického stavu do stavu nízko energetického nebo-li do základního stavu. Longitudinální relaxace proběhne díky tomu, že spiny interagují s okolní mřížkou (spin-lattice relaxace). Díky interakci ztrácí spiny energii dodanou budicím impulzem a dochází k tomu, že se spiny dostanou do základního stavu. Podélnou magnetizaci a její obnovu charakterizuje exponenciální funkce (Obr.11), kterou značíme T 1. S rostoucí intenzitou pole B také roste hodnota T 1. Relaxace T 1 může být měřena různými technikami uvedenými v Tab.1. Obr.11 Funkce charakterizující T 1 relaxaci. Longitudinální relaxace. Navrácení vektoru do termodynamické rovnováhy po aplikaci 9 RF impulzu. 17

18 Tab.1 techniky pro měření T 1 Název metody Impulzní sekvence Průběh signálu IRFT (inversion recovery Fourier Transform) Inversion Recovery (IR) 18 - τ Acq (Acq-akvizice) (τ)/ z = 1-2*exp(-τ /T 1 ) Saturation Recovery T 2 *<<T 1 {n*9-t}- τ -9-Acq t:délka impulzu:t 2 *< t <T 1 τ: po sérii n-impulzů se aplikuje impulz se zpožděním τ (τ)/ z = 1-exp(-τ /T 1 ) Relaxační čas T 1 odpovídá době, za kterou vektor magnetizace z dosáhne 63 % své hodnoty (blíží se ose z - paralelní stav). 99 % magnetizace dosáhneme po době 5T 1. Průběh relaxační křivky (Obr.11) je definován vztahem (3). 1 = T1 1 e (3) Velikost relaxačních časů velmi záleží na typech měřených jader a na dalších faktorech jako je fyzikální stav (pevné nebo kapalné), viskozita, teplota atd. Jádra se spinem ½ a malý gyromagnetický poměr znamenají dlouhé relaxační časy. Jádra se spinem větším než ½ mají velmi krátké relaxační časy. Jinými slovy relaxační časy závisí na pohyblivosti molekul [14], [15]. Obě metody jsou popsány v textu níže Spin spin T 2 relaxace (transverzální) Po působení 9 (α) RF impulzu se začne projevovat transverzální relaxace T 2. Relaxační doba T 2 je mnohem kratší než doba relaxace T 1 a platí tedy: T 1 > T 2 > T 2 *. Díky jednotlivým částicím, které svým magnetickým polem způsobí menší místní nemogogenity v magnetickém poli, dojde k tomu, že protony začnou konat precesní pohyb ovšem s mírně odlišnými kmitočty a proto dochází k fázové nekoherenci protonů jež precedují (Spin-Spinová relaxace). Transverzální složka vektoru magnetizace xy zaniká. Tento zánik lze popsat relaxační křivkou T 2 s exponenciálním průběhem. Relaxační konstanta T 2 pak vyjadřuje za jakou dobu dojde k poklesu transverzální složky xy na 37 % své maximální hodnoty. Relaxační křivku T 2 lze pak popsat vztahem: 18

19 t 2 ( t) e T = (4) xy xy Obr.12 Průběh relaxace T 2 a T 2 * Prakticky je ovšem transverzální složka magnetizace ovlivněna velmi malými změnami v nehomogennitě P. Proto je pokles signálu mnohem strmější než relaxace T 2 a označujeme jej jako relaxaci T 2 *. 1 T * = = + χ B. (5) T T T 2 nehomog Přijímací cívkou je zaznamenán FID signál (začne se v ní indukovat). Poněvadž je relaxace T 2 < T 1, tak se samozřejmě rychleji začne uplatňovat relaxace T 2 a velikost signálu FID tak klesá exponenciálně s konstantou T 2 respektive T 2 *. Ale zároveň se pomaleji uplatňuje T 1 relaxace, což má za následek růst magnetizační složky z.[2], [15] T 2 * určíme z absorpční spektrální čáry, kterou obdržíme Fourierovou transformací zachyceného signálu FID, pro homogenní pole platí, že T 2 = T 2 * (změna pole bude nulová) => ω = 2/T 2 * => T 2 * = 1/(π f). 2 19

20 2.3 ákladní pulzní sekvence a kontrasty v RI Sekvence spinového echa (SE) etoda spinového echa (SE) je nejstarší a nejčastěji využívána metoda v R zobrazování, je založená na principu detekce spinu nebo Hahnova echa. Tato metoda se především používá k měření relaxace T 2. Tato impulzní sekvence spinového echa může být přizpůsobena k měření velikosti T 1, protonové nebo spinové hustoty a velikosti relaxace T 2. Dualecho a multiecho sekvence se můžou používat ke zjištění protonové hustoty a současně velikosti T 2. Dvě proměnné, které nás zajímají u sekvence spinového echa jsou: repetiční doba (T R ) a doba echa (T E ). Všechny sekvence spinového echa zahrnují selektivní 9 RF impulz a následující refokuzační 18 RF impulz. Po 9 RF impulzu je vektor magnetizace překlopen do transverzální roviny a poté se začne okamžitě projevovat relaxace T 2 tzn., že některé protony začnou konat precesní pohyb s málo vyšším a jiné s nepatrně nižším kmitočtem = dochází k rozfázování (spiny v měřených jádrech začnou rotovat s různou fází). Poté je aplikován refokuzační 18 RF impulz, který překlopí spiny v transverzální rovině o 18 a spiny se sfázují a ve snímací cívce snímáme signál echa. Význam 18 refokuzačního impulzu je ještě jeden a to, že dodá spinům energii, která předtím měla tak malou velikost, že bychom ji nebyli schopni zachytit. Sfázováním spinů dosáhneme maximální možné úrovně snímaného signálu v měřicí cívce. Velikost námi snímaného echo signálu především závisí především na relaxaci T 2, která je ovšem u každé tkáně(materiálu) jiná. V případě sekvence spinového echa se relaxace T 2 * neuplatňuje. Což je způsobeno tím, že vliv nehomogenity B při rozfázování se při sfázování vyruší. [2], [15], [16], [17] Kontrast snímků lze relativně snadno nastavovat změnami časů T R a T E. Pro T R >> T 1 je snímek T 2 váhován. T R je přibližně roven T 1 snímek je při malých T E T 1 -váhován. Pokud jsou však velké T E tak T 2 váhován. Obr.13 Princip sekvence spinového echa. ískání T 2 relaxace při SE. ůžeme vidět aplikaci 9 RF impulzu a po něm následující aplikaci 18 RF refokuzačního impulzu. 2

21 Pokud je čas spinového echa T E mnohem menší než T R (rozdíl T R -T E je přibližně roven T R ) tak lze velikost echa definovat takto: A E T1 T2 ( T ) 1 e e E TR TE =. (6) Pokud je repetiční doba T R mnohem větší než doba T 1 tak je váhováno T 2 čili kontrast je dán velikosti FID signálu. Pokud je T R přibližně rovno T 1 tak kontrast obrazu je dán protonovou hustotou nebo T 1 případně T 2, viz. (obr.14). Obr.14 měny kontrastu pomocí času T R a T E. Váhování. 21

22 2.3.2 Sekvence gradientního echa Sekvence gradientního echa se od spinového echa liší: - sklápěcí úhel bývá obvykle menší než 9, - chybí 18 RF refokuzační impulz. Sklápěcí úhel menší než 9 snižuje velikost magnetizace, která se stáčí do transverzální roviny. Protože při této metodě se pro vybuzení užívá menší sklápěcí úhel, tak umožňuje použití kratších časů T R /T E než u metody SE a zkracuje dobu měření. Na rozdíl od metody SE se při této metodě využívá gradientního pole namísto 18 RF refokusačního impulzu. K základnímu magnetickému poli B je nasuperponováno přídavné gradientní pole. Tím, že jsme přidali gradientní pole začnou protony konat precesní pohyb ovšem s jemně se lišícím Larmorovým kmitočtem, což má za následek rozfázování spinů. Poté, co jsou spiny rozfázovány, dojde opět k aplikaci přídavného gradientního pole, ale ovšem s opačnou polaritou čímž dojde k sfázování spinů. Narozdíl od metody SE je pokles úrovně echo signálu proti úrovni FID signálu závislý na relaxačním čase T 2 *. [2], [16], [18]. Obr.15 etoda gradientního echa a její princip. Po aplikaci negativního gradientu dojde k rozfázováni spinů. Po době tau=t=τ pozitivního gradientu dojde kopětovnému sfázování (refokusaci) spinů. Velikost gradientního echa je pak: A E T sinα e R = T1 1 e 1 cosα Sekvence inversion recovery T T e E * 2 T T R 1. (7) Během metody inversion recovery (IR) dochází k aplikaci sérií RF impulzů (18 9 ). Sekvence začíná 18 RF impulzem a tím pádem dochází k inverzi vektoru magnetizace do 22

23 antiparalelního stavu (vektor z odpovídá z ). V důsledku longitudinální relaxace T 1 se magnetizace vrací do svého původního stavu (jednotlivá jádra vybuzeného vzorku se vrací do rovnovážného stavu), což se projeví jako exponenciální růst vektoru z ze záporných do kladných hodnot [2]. Se zpožděním T I (nebo-li inverzní doba doba mezi 18 impulzem a 9 RF impulzem) je poté aplikován 9 RF impulz, který nám zajistí to, že dojde k překlopení vektoru magnetizace do transverzální roviny xy. V transverzální rovině je pak velikost vektoru snímaná přijímací cívkou [15], [18] impulz převrátí longitudinální magnetizaci ' =, (8) křivka (bod a) v Obr Návrat z inverzního stavu do rovnovážného stavu popsané Blochovou rovnicí (viz. rejstřík). Průběh během inverzní doby T I. křivka (bod b) v Obr.16. Následuje RF 9 impulz: - Růst longitudinální magnetizace z nuly. křivka (bod c) v Obr.16. TI = T1 1 2e ', (9) ( T T ) R I = T1 ' 1 e, (1) Poté následuje opět 18 impulz, znovu nastává změna signálu - novu aplikujeme relaxační rovnice [16]: ( T T ) R I = T1 ' 1 e. (11) ' ( T T ) I R I I = T1 T1 T1 1 e 1 e e. (12) T T Úpravami získáme tvar magnetizace, kterou pomocí 9 pulsu překlopíme do transverzální roviny, který je: 23

24 TI TR = T1 T1 1 2e + e '. (13) křivka (bod d) v Obr.16. Obr.16 etoda IR: nahoře zobrazen průběh relaxace, uprostřed pulzní sekvence, dole jednotlivé chování jader v magnetickém poli 24

25 2.3.4 Sekvence saturation recovery (SR) etoda saturation recovery (SR) se používá k měření času T 1 a navíc metoda SR je rychlejší než metoda IR. Po prvním 9 RF impulzu můžeme již snímat FID signál, ale jeho část se ztratí pokud bude repetiční interval T R dostatečně krátký, což je způsobeno tím, že celý jaderný systém je z části v saturaci. Po vybuzení prvním RF 9 impulzem se celý systém nestačil vrátit do původního rovnovážného stavu. Pokud by T R byl mnohem větší než T 1, tak by se jaderný systém vrátil do rovnovážného stavu z transverzální roviny vektor magnetizace se vrátí do rovnovážného stavu, tzn. longitudinální s osou z. Protože chceme na počátku měření mít nulovou složku, je nutné při této metodě aplikovat sérii opakujících se 9 RF impulzů v relativně krátkých repetičních intervalech, a poté následuje relaxace během doby T I po aplikaci dalšího RF 9 impulzu dojde k překlopení vektoru magnetizace do transverzální roviny. Tato otočená z-ová složka odpovídá úrovni FID signálu, který je snímán snímací cívkou. [2], [15] Obr. 17 SR budicí sekvence, seskládáním všech spektrálních čar jednotlivých sekvencí pro různé T I dostaneme výslednou relaxaci T 1. Celý předchozí postup je aplikován pro několik časů T I a výsledné spektrální čáry pro jednotlivé časy T I jsou poté poskládány do relaxační křivky T 1. Úroveň signálu FID se tedy zvyšuje. 25

26 - Průběh relaxace T 1 roste podle funkce: - Velikost magnetizace v době T R : TI = T1 1 e. (14) TR = T1 1 e. (15) - tato složka je dána protonovou hustotou měřeného vzorku. Optimální kontrast (Obr. 18) (PD-protonová hustota, T 1, T 2, T 2 *) můžeme nastavit volbou časového intervalu T R a je závislý na magnetizaci [16]. Obr. 18 Optimální kontrast tkáně 26

27 3 ěření relaxační doby T 1 pomocí proměnných hodnot sklápěcího úhlu Pokud měříme kapaliny (relaxační konstanty), tak používáme metody Inversion recovery a Saturation recovery. etody, které využívají RF impulzy s odlišnými sklápěcími úhly α jsou používány pro měření plynů. 3.1 Pulzní sekvence vyjádřená matematicky Abychom odstranili transverzální složky magnetizace aplikujeme krátký gradientní impulz po každém novém RF impulzu. těchto předpokladů, longitudinální relaxace z (n) v čase τ po excitaci n-tým RF impulzem (n > ) může být spin-mřížková relaxace vyjádřena vztahem τ τ = T1 + T1 τ e 1 e eq, (16) ( n)( ) ( n)( ) kde eq je magnetizace jádra v tepelné rovnováze. Pro nulovou transverzální magnetizaci a RF impulzy se zanedbatelnou délkou, tak po aplikaci RF impulzu se sklápěcím úhlem α je excitovaná transverzální složka dána vztahem kde ( )( ) = ( )( ) T n xy n T n = TR sin, (17) ( )( ) ( n 1)( ) α a změna longitudinální magnetizace (podélná složka) je n = TR cos. (18) ( )( ) ( n 1)( ) α 27

28 Obr.19 velikost z(n) a T(n) po aplikaci každého dalšího n-tého RF impulzu Složky longitudinální magnetizace obdržíme z počáteční hodnoty longitudinální magnetizace z z() (T R )= z. Po prvním RF impulzu, z (Obr.2) vyplývá:, (19) T ( 1)( ) = ( sinα ), (2) ( 1)( ) = ( cosα ) 28

29 TR = T1 e + eq 1 e ( 1)( TR ) ( cosα ) TR T1. (21) TR T1 Substitucí: E1T R = e dostaneme: Pro druhém impulzu pak platí: ( 1)( TR ) ( cos ) E1T + eq ( E ) = α. (22) 1 R 1T R Transverzální složka - ( )( ) = [ ( cosα ) E + ( 1 E )] sinα. (24) T 2 1TR eq 1TR Longitudinální složka - ( )( T ) = [ ( cosα ) E + ( 1 E )] cosα. (25) 2 R Při každém dalším opakování RF impulzu vynásobíme transverzální složku faktorem E 1T cosα a přičteme ( ) eq 1 E 1TR, jak vyplývá z (24). ískáváme tak vyjádření R transverzální složky poté co aplikujeme n RF impulzů [19]. T n 1 n 2 n 3 ( )( ) = { ( E1T cosα ) + eq ( 1 E1T ) ( E1T cosα ) + ( E1T cosα ) } sinα R R 1T R eq 1T R [ ] Pokud aplikujeme vzorec pro součet geometrické řady, tak můžeme napsat, že T1 kde E = a T 1T R e n 1 ( n )( ) = ( E1T cosα ) + eq ( 1 E1T ) TR R R R 1 1 je rovnovážná složka magnetizace osy z. n ( E1T cosα ) R ( E cosα ) 1T R R 1 (26) sinα, (27) e vzorce (27) lze pak získat hledaný úhel α a relaxační dobu T 1. Pro výpočet α a T 1 nám stačí první tři velikosti R signálu zachyceného po aplikaci RF impulzů a dále musíme vědět jaká je repetiční doba T R. Vhodnými úpravami vztahu (27) pak získáme hledané parametry [2] T1 = ln ( )( ) ( )( ) T 3 T 2 α = arccos [ ( ( )( ) ( )( ) )( ) ( )( )] ( )( ), (28) 2 T 2 T 1 T 3 T 2 T 1 T T R [ ] ( 3)( ) T( 1)( ) T( 2)( ) T( 1)( ) T( 2)( ) T( 1)( ) T( 1)( ) [ T( 2)( ) T( 1)( ) ] 2. (29) 29

30 3.2 ěření relaxační doby T 1 pomocí sklápěcího úhlu Pro měření vlastní relaxační doby T 1 lze využít takovou metodu měření T 1, která je založená na hyperpolarized 129 Xe magnetic resonance. Hyperpolarizované spiny měřených jader ztrácí svou magnetizaci permanentně díky dvěma mechanizmům (i) a (ii). (i) Jestliže dojde ke ztrátě magnetického pole, tak hyperpolarizované spiny se vrací do rovnovážné polohy a tento návrat popisuje relaxační konstanta T 1. Hlavní myšlenkou metody založené na hyperpolarized 129 Xe magnetic resonance je, že při aplikaci několika α RF impulzů se vektory magnetizace měřených jader se sklápí pod určitým úhlem α a (ii) pokud takovými to RF impulzy působíme na spiny v nerovnovážném stavu, tak longitudinální magnetizace P je menší o cos α. P ~ 1 5 z, kde z je magnetizace při tepelné rovnováze, z je zanedbatelná proti P a tak zbytková longitudinální magnetizace po n-rf impulzu je výsledek relaxačního mechanizmu (i) a (ii) a tento výsledek lze popsat vztahem který odpovídá intenzitě kde T R je repetiční doba [21]. I ( n) ( n 1) R n T1 = cos α e, (3) ( n 1) ( n) ( n) cos Tří-pulzní sekvence α - 2α α y P P T ( n 1) TR T1 = α sinα e, (31) Velikost intenzity signálu po každém RF impulzu můžeme pak vyjádřit pomocí vztahu (31) nebo vztahy: I I 2 I sinα, (32) 1 P P TR T1 cosα sin2α e, (33) 3 P cos cos2α sinα e 2 TR T1 α, (34) Pokud předcházející 3 rovnice zkombinujeme tak získáme tvar [21] 2 I 2 I I cos α =. (35) 2 2 cos α 1 Intenzity signálů I 1, I 2, a I 3 jsou experimentálně změřené hodnoty, a kde nemáme závislost na T 1, a proto sklápěcí úhel α můžeme tak jednoduše vypočíst ze vztahu (35). Výslednou grafickou závislost dostaneme výpočtem pomocí programu sekvence.m, kde je aplikován vztah (35). Budeme-li mít např. I 1 =,399, I 2 =,759, I 3 =,287, tak z výsledné grafické závislosti uvedené na Obr. 21 získané z programu sekvence.m určíme sklápěcí úhel α. 3

31 Obr. 2 ávislost poměru intenzit na sklápěcím úhlu Pro naše známé hodnoty intenzit jsem pak graficky určil úhel α = 28,8. Protože α neznáme, tak šířku RF impulzu nastavíme a α vypočteme dosazením změřených hodnot do rovnice (35). 9 RF impulz nám odstraní hyperpolarizační magnetizaci, což ve výsledku znamená, že I 2 a I 3 =. Na druhou stranu pokud budeme mít velmi malou šířku RF impulzu (velmi malý sklápěcí úhel), tak ve výsledku by byl velmi malý poměr signál/šum, což by vedlo k velké chybě při určení α. Optimální určení velikosti α se provádí experimentálním způsobem (15-35 optimální sklápěcí úhel). I když určení sklápěcího úhlu z rovnice (35) nezávisí na relaxaci T 1, tak musí platit, že T 1 >>T R. T R může být samozřejmě mnohem kratší než T 1 a doba T R je fakticky limitována relaxací T 2 resp. T 2 (lze ho zkrátit vhodně aplikovaným gradientním impulzem) [21]. Pokud známe α, tak můžeme z rovnic (32), (33), (34) určit T 1. Pro měření T 1 je nutné určit optimální dobu T R. 31

32 Obr. 21 Pulzní sekvence α - 2α α, měření intenzity signálu po každém RF pulzu Určení sklápěcího úhlu α a longitudinální relaxačního času T 1 dvěmi sadami experimentů Další vyvinutá metoda pro měření sklápěcího úhlu a relaxační doby T 1 se skládá ze dvou sad experimentů. První sada experimentu slouží k určení α a druhá sada je pro měření relaxačního času T 1. K měření α potřebujeme sérii 5 1 identických RF impulzů, ovšem repetiční doba T R mezi pulzy musí být velmi krátká (T R << T 1 ). Intenzitu signálu po každém RF impulzu lze vyjádřit rovnicí (3). Potom tedy můžeme psát, že I TR I( n) T1 = cos e cosα, T1 >> TR ( n 1) α. (36) Druhá sada experimentů je založena na 4 5 identických RF impulzech, mezi kterými jsou dlouhé repetiční doby T R (T R T 1 ). měřené intenzity signálu po každém RF pulzu můžeme vypočítat z poměru přilehlých intenzit podle rovnice (36) získané úpravou z rovnice (31). Hlavní výhodou této metody na rozdíl od první metody (α 2α α) je ten, že v jedné n - pulzní sekvenci dostaneme n-1 měřených sklápěcích úhlů, což nám zajistí větší lepší spolehlivost jejich měření. Při použití metody kde používáme sekvenci α 2α α nejistoty měření intenzit způsobují velkou chybovost výpočtu α z rovnice (35) [21]. 32

33 Obr. 22 Pulzní sekvence pro měření α (nahoře) a pulzní sekvence pro měření relaxačního času T 1 (uprostřed). Na dolním obrázku je zobrazeno jak lze urychlit návrat vektoru magnetizace z transverzální roviny do rovnovážné polohy (longitudinální rovina). 4 Výběr vhodné interpolační metody Pro zjednodušení zpracování naměřených hodnot, chceme dosáhnout toho abychom při měření nastavovali co nejméně parametrů a získali výpočtem ze snímaného signálu co nejvíce údajů (proměnných). Proto je pro nás výhodné určit metodu, při které bychom nastavili co nejméně parametrů a zbytek by byl dopočítán. Tím bychom dosáhli větší jednoduchosti a i případné rychlosti. Teoretický průběh snímaného signálu odpovídá rovnici (27), kterou lze úspěšně interpolovat v programu ATLAB. V dalším textu je ukázáno jaké funkce a postupy lze použít abychom vhodně interpolovali snímaný signál. Samozřejmě chceme dosáhnout co největší přesnosti při interpolaci naměřených dat. Relativní chyba interpolace by měla být proto co nejmenší. 33

34 Následující kapitoly jsou věnovány porovnávání a vyběrů vhodných interpolačních funkcí užívaných programem ATLAB a dalších metod pro interpolaci rovnice tranzverzální složky magnetizace. Funkce lsqcurvefit Všechny naměřené hodnoty byly zpracovány v programovém prostředí ATLAB ve verzi R26a. Nejvhodnější funkcí z testovaných funkcí pro interpolaci měřených dat je lsqcurvefit, která je součástí Toolboxu Optimization. Funkce lsqcurvefit je navrhnuta jako specifické rozhraní pro řešení prokládání dat a řeší nelineární prokládání křivek (nebo prokládání dat) metodou nejmenších čtverců. Ke vstupním datům xdata hledáme výstupní data ydata, kde xdata a ydata jsou vektory o délce m a F(x, xdata) je vektorově-proměnná funkce. Funkce hledá výsledek tak, že hledáme nejvhodnější koeficient x pro rovnici ve tvaru: max x 1 2 m ( ) ( ( ) ) x, xdata ydata = F x, xdata ydata F 2 i i. (37) 2 i= 1 V programu byla použita syntaxe zápisu funkce ve tvaru [x,resnorm] = lsqcurvefit(...), další možné způsoby syntaxe jsou uvedeny v příloze číslo1. Dále je užit algoritmus axfunevals (jedná se o edium-scale a Large-Scale Algoritmus) Některá nastavení vhodné optimalizace jsou aplikována ve všech algoritmech, ale některé jsou relevantní jen tehdy pokud používáme large-scale algoritmus a jiné zase pokud používáme medium-scale algritmus. ůžeme použít optimset pro nastavení nebo pro změnu proměnných tohoto pole v nastavení struktury options. LargeScale nastavení specifikuje volbu algoritmu. Jedná se pouze o volbu, protože určité podmínky musí vyhovovat pro užití large-scale nebo medium-scale algoritmu. Pro large-scale algoritmus platí, že nelineární systém rovnic nemůže být nedeterminovaný; to znamená, že počet rovnic (počet elementů F vrácených funkcí fun) musí být přinejmenším takovou délku jako x. imoto pouze large-scale algoritmus má hraniční omezení. LargeScale - používá large-scale algoritmus jestliže je možné ho nastavit na on - používá medium-scale algoritmus když jej nastavíme na off. Pouze edium-scale Algoritmy: Levenbergarquardt: volí Levenberg-arquardt přes Gauss-Newton algoritmus LineSearchType Pozn.Tato nastavení jsou relevantní pouze pro S algoritmy! Large-Scale optimalizace Tato optimalizace je podrobně vysvětlena v atlab >> help. edium-scale optimalizace lsqcurvefit, které má LargeScale nastavené na off, používa metodu Levenberg- arquardt s line-search (vyhledávací metoda). ůžeme také eventuálně vybrat i Gauss-Newton metoda s metodou line-search. Nastavením Levenbergarquard na hodnotu off (a LargeScale na off ) si vybereme Gauss-Newton metodu, která je hlavně rychlejší pokud je reziduum 2 F (x) malé. 2 34

35 Programové řešení ým úkolem je interpolovat měřený průběh tak, abych dostal ze změřeného průběhu signálu, hledané proměnné a ty jsou,α, T 1. Nejdříve jsem program použil na simulovaný signál, který jsem získal tak, že jsem k teoretickému průběhu definovanému vztahem (27) přičetl aditivní šum. Takto získaný signál jsem pak porovnal s teoretickým signálem. nou vytvořený program porovnává signál jehož průběh je určen z rovnice (27) a se signálem s přidaným aditivním šumem. Bylo potřeba najít vhodnou interpolační metodu, která by nejlépe aproximovala naměřené hodnoty. Pro srovnání vhodnosti jednotlivých metod byla nejdříve interpolace realizována dvěmi metodami: metodou Gauss-Newton a metodou Levenberg-arquardt. Výsledné hodnoty obou metod jsou uvedeny v tabulkách Tab. 3 a Tab. 4. Pro výpočty jsem vytvořil programy papaja.m a mega.m uvedené na přiloženém CD. Teoretický signál jehož průběh je uveden na Obr.23 jsem v programu papaja.m nastavil s následujícími parametry: Opakovaní doba T R =.18 s. Sklápěcí úhel α = π/2 rad. Relaxační doba T 1 =.2 s. Počet vzorků n = 1,1 s krokem 1. agnetizace při tepelné rovnováze 1. = Obr.23 Průběh teoretického signálu bez šumu Srovnávaný signál s aditivním šuměm jsem vygeneroval jako náhodný signál pro 1 vzorků, jejichž hodnoty jsou uvedeny v Tab. 2. a jeho průběh je uveden na Obr.24. Tab. 2 Hodnoty měřeného signálu pro 1 vzorků vzorek S [-] vzorek S [-] vzorek S [-] vzorek S [-] 1,983 26, , ,4515 2, , , ,4633 3, , ,433 78,395 4, ,355 54,379 79,4619 5,372 3, ,42 8,

36 6, , ,363 81,3545 7, , ,456 82,391 8,45 33, , ,3794 9, , ,441 84,3995 1, ,3392 6, ,483 11,415 36,432 61,391 86, ,392 37, ,467 87, , , , ,411 14, , ,446 89, ,4356 4, ,3422 9,451 16, , , , , , , , , , , , , , , ,419 2, ,4957 7, , , , , , , , , , , , ,358 98,341 24,442 49, , , ,3881 5, ,3665 1,416 Obr.24 Průběh teoretického s přidaným aditivním šumem Výsledné hodnoty získané interpolační metodou Gauss-Newton jsou uvedeny v Tab. 3. Na Obr.25 jsou uvedeny postupné iterace a na Obr.26 je uveden vývoj chyby po jednotlivých iteracích. Při iteracích je signál zobrazen pouze do 15 vzorků, protože od tohoto vzorku jsou hodnoty signálu konstantní, není tedy nutné další vzorky zobrazovat. 36

37 Tab. 3 Porovnání teoretických a vypočtených hodnot signálu pomocí funkce lsqcurvefit metodou Gauss- Newton Signál T 1 [s] α [rad] [-] Teoretický,2 1,571 1, Vypočtený,29 1,55,988 Obr.25 Průběh iterací pomocí metody Gauss-Newton Obr. 26 Průběh iterací pomocí metody Gauss-Newton vývoj chyby během iterace Výsledné hodnoty získané interpolační metodou Levenberg-arquardt jsou uvedeny v Tab. 4. Na Obr.27 jsou uvedeny postupné iterace a na Obr.28 je uveden vývoj chyby pro jednotlivých iteracích. Tab. 4 Porovnání teoretických a vypočtených hodnot signálu pomocí funkce lsqcurvefit metodou Levenberg- arquardt Signál T 1 [s] α [rad] [-] Teoretický,2 1,571 1, Vypočtený,29 1,55,988 37

38 Obr. 27 Průběh iterací pomocí metody Levenberg-arquardt Obr. 28 Průběh iterací pomocí metody Levenberg-arquardt vývoj chyby během iterací vypočítaných hodnot a ze získaných průběhů je zcela jasně patrné, že se výsledky získané oběma iteračními metodami se neliší. etoda Gauss-Newton je o něco rychlejší než Levenberg-arquardt. V programu ATLAB jsou dostupné další aproximační funkce jako jsou spline, polyval a polyfit. Vhodnost těchto funkcí jsem pro můj experiment ověřil a došel k závěru, že ani jedna z nich není pro můj účel vhodná, jak je vidět z grafů na Obr.29 a Obr.3. 38

39 Obr. 29 Aproximace průběhu dle rovnice (27) pomocí metody splajnu Obr. 3 Aproximace průběhu dle rovnice (27) pomocí funkcí polyfit a polyval Při užití funkcí polyval a polyfit je nutné použít polynom vysokého stupně, v mém případě až polynom řádu 11. Tato funkce ovšem neumožňuje získat jednotlivé proměnné z rovnice tzn. hledat nejlepší případ pro danou aproximovanou funkci, ale pouze dopočte (interpoluje) body celého průběhu. 39

40 5 Aproximace teoretických hodnot metodou iterace Vzhledem k tomu, že ani jedna mnou testovaných iteračních metod není vhodná pro aproximace FID signálu, vytvořil jsem vlastní program iterace.m, který vypočítává teoretické průběhy signálů FID pro jednotlivé sklápěcí úhly, a zároveň z nich získává pomocí iterací aproximované průběhy. Program iterace.m hledá pomocí tří do sebe vnořených cyklů for (každý cyklus je pro jednu proměnnou) nejmenší rozdíl mezi maticemi V a V_ITERACE a počítá jednotlivé teoretické průběhy signálů pro 1 různých hodnot sklápěcích úhlů v rozsahu π radiánů. Vývojový diagram programu je uveden na Obr.31, celý program je uložen v adresáři vygenerované-pole na přiloženém CD. K výpočtu těchto jednotlivých hodnot je používána rovnice (27). Při aproximaci jsem získal tři proměnné T 1, α,, uvedené v Tab. 5. Na Obr.32 je uveden teoretický průběh signálu FID, na Obr.33 je uveden signál FID získaný programem iterace.m, na Obr.34 a Obr.35 jsou uvedeny průběhy absolutních a relativních chyb iterace. Obr.31 Algoritmu programu iterace.m 4

41 Tab. 5 vypočtené hodnoty programem iterace.m hodnoty chyba n vypočtené teoretické α T 1 α [ ] T 1 [s] α [ ] T 1 [s] abs [-] rel [%] abs [-] rel [%] abs [-] rel [%] 1,9982 3,24, ,8,2,18,18 1,44 44,46,5 2,39 2,9993 4,68, ,6,2,7,7 1,8 23,3,9 4,45 3,998 5,23, ,4,2,2,2,17 3,28,9 4,65 4,9935 8,39, ,2,2,65,66 1,19 14,2,9 4,71 5,999 9,58, ,2,91,91,58 6,6,2 1,9 6, ,26, ,8,2,85,86,46 4,13,8 4,33 7, ,47,2 1 12,6,2,21,21 1,87 12,9,15 8, ,42, ,4,2,18,18 1,2 6,64,1 5,9 9, ,74, ,2,2,13,13,54 3,23,6 3,24 1, ,68, ,2,63,63 1,68 8,54,1 5,6 11, ,47, ,8,2,76,77 1,67 7,8,5 2,4 12, ,75, ,6,2,78,78,15,71,7 3,42 13, ,22, ,4,2,4,4,18,78,8 4,27 14, ,1, ,2,2,83,84,9 3,45,1 5,22 15,998 29,23, ,2,92,93 2,23 7,64,4 2,1 16, ,83, ,8,2,74,74,3,9,2,91 17, ,63, ,6,2,21,21 2,3 6,22,7 3,39 18, ,95, ,4,2,28,28 2,55 7,29,5 2,31 19, ,75, ,2,2,9,9 2,55 6,94,1,65 2, ,27, ,2,4,4 2,27 5,92,3 1,35 21, ,79,2 1 37,8,2,89,89,1,3,23 22,997 4,95, ,6,2,3,3 1,35 3,3,1 5,5 23, ,42, ,4,2,15,15,2,6,4 2,1 24, ,87, ,2,2,8,8,67 1,52,1,35 25, ,4, ,2,38,38,4,88,8 4,41 26, ,82, ,8,2,1,1 1,2 2,14,8 4,6 27, ,7, ,6,2,35,35,1,22,1,41 28, ,85, ,4,2,81,82 1,45 2,8,3 1,31 29, ,29, ,2,2,48,48,9,17,7 3,65 3, ,11, ,2,12,13,11,2,1 5,14 31, ,7, ,8,2,6,6,9 1,59,3 1,71 32, ,46, ,6,2,14,14 1,86 3,14,6 3,23 33, ,36, ,4,2,6,6 1,96 3,2,1,27 34,997 62,18, ,2,2,3,3,98 1,58,7 3,63 41

42 n hodnoty vypočtené teoretické chyba α T 1 α [ ] T 1 [s] α [ ] T 1 [s] abs [-] rel [%] abs [-] rel [%] abs [-] rel [%] 35, ,39, ,2,19,19 2,39 3,66,9 4,91 36,996 65,52, ,8,2,94,95,72 1,1,1,52 37, ,5, ,6,2,34,34 1,9 2,77,2,94 38,9969 7,47, ,4,2,31,31 2,7 2,94,2,82 39,9929 7,42, ,2,2,71,72,22,32,9 4,7 4,996 74,62, ,2,94,95 2,62 3,52,5 2,8 41, ,73, ,8,2,8,8 1,93 2,54,8 3,96 42, ,25, ,6,2,27,27 1,65 2,14,9 4,48 43, ,22, ,4,2,59,6,82 1,5,2,85 44,9961 8,77, ,2,2,39,39 1,57 1,95,3 1,38 45,997 83,43,2 1 81,2,93,94 2,43 2,91,15 46, ,97, ,8,2,2,2 2,17 2,55,8 4,22 47, ,64, ,6,2,69,7 1,4 1,21,6 2,91 48,997 88,59, ,4,2,93,94 2,19 2,47,2,81 49, ,51, ,2,2,15,15,31,36,6 3,1 5,9951 9,4, ,2,49,5,4,4,9 4,6 51, ,83, ,8,2,82,82 1,3 1,11,9 4,47 52, ,71, ,6,2,6,6 2,11 2,2,1,26 53, ,24, ,4,2,34,34,16,17,6 2,87 54, ,96,2 1 97,2,2,2,2,24,25 55,9989 1,44, ,2,11,11 1,44 1,43,2,85 56, ,9, ,8,2,33,33,29,29,6 3,18 57, ,38, ,6,2,85,86,22,21,8 3,91 58, ,12, ,4,2,35,35,72,69,6 3,13 59, ,49, ,2,2,18,18 1,29 1,2,9 4,78 6, ,75, ,2,34,34,75,69,4 2,5 61, ,49, ,8,2,29,3,69,63,7 3,66 62, ,8, ,6,2,12,12,2,18,5 2,67 63, ,26, ,4,2,94,95,14,13,6 3,14 64, ,81, ,2,2,87,88 1,61 1,38,1,28 65, ,76, ,2,25,25,24,2,7 3,63 66, ,74, ,8,2,63,64 1,94 1,61,5 2,69 67, ,23,2 1 12,6,2,4,4 1,63 1,33,6 68, ,54, ,4,2,21,21,14,11,9 4,63 69, ,72, ,2,2,84,85,52,42,1,4 42

43 n hodnoty vypočtené teoretické chyba α T 1 α [ ] T 1 [s] α [ ] T 1 [s] abs [-] rel [%] abs [-] rel [%] abs [-] rel [%] 7, ,48, ,2,32,32 2,48 1,93,1,34 71, ,41, ,8,2,98,99 1,61 1,24,6 3,26 72, ,43, ,6,2,99 1,17,13,7 3,53 73, ,29, ,4,2,71,72 1,89 1,42,25 74, ,17, ,2,2,81,82 1,97 1,46,8 4,33 75, ,24, ,2,91,92 2,24 1,63,5 2,76 76, ,75, ,8,2,58,59,95,69,7 3,77 77, ,64, ,6,2,15,15 1,4,75,5 2,67 78, ,55, ,4,2,22,22,15,11,5 2,74 79, ,9, ,2,2,95,96,11,8,5 2,36 8, ,27, ,2,31,31,27,19,4 2,1 81, ,66, ,8,2,67,67 1,86 1,26,6 2,86 82, ,81, ,6,2,96,97 1,21,82,4 2,1 83, ,76, ,4,2,2,2 2,36 1,56,2,83 84, ,1, ,2,2,35,35,81,54,2,79 85, ,11, ,2,28,28,11,7,8 4,43 86, ,31, ,8,2,9,91 1,51,96,4 1,78 87, ,4, ,6,2,71,71 2,44 1,54,6 2,85 88, ,31, ,4,2,29,29 1,91 1,19,9 4,61 89, ,52, ,2,2,89,9 1,32,82,1 5,18 9, ,59, ,2,56,56 1,59,97,2,8 91, ,12, ,8,2,5,5 2,32 1,4,4 2,12 92, ,9, ,6,2,58,59 1,49,89,4 1,96 93, ,77, ,4,2,38,39,37,22,3 1,76 94, ,73, ,2,2,46,47 1,53,89,1,75 95, ,46, ,2,2,2 1,46,85,2 1,8 96, ,7, ,8,2,33,33,27,16,9 4,85 97, ,97, ,6,2,98,99 1,37,78,1,41 98, ,12, ,4,2,55,56 1,72,97,5 2,42 99, ,23, ,2,2,72,72 2,3 1,13,8 4,1 1, ,66, ,2,67,67 2,66 1,46,5 2,64 43

44 Obr. 32 ěřené hodnoty (teoretické hodnoty) teoretické průběhy pro jednotlivé sklápěcí úhly Obr. 33 Hodnoty signálů pro jednotlivé sklápěcí úhly získané pomocí iterací 44

45 Obr. 34 Absolutní chyba (V-V_ITERACE) rozdíl měřených průběhů a průběhů získaných iterací Obr. 35 Relativní chyba (V-V_ITERACE); V-měřené hodnoty; V_ITERACE iterované hodnoty 45

46 předcházejících průběhů je zcela jasně patrné, že chyba výpočtu je nejmenší pro sklápěcí úhly v rozsahu 3 až 95. Rozptyl intervalů sklápěcích úhlů, pro které program hledá optimální hodnoty, je náhodný a ovlivňován pouze hodnotami, kterými tyto náhodné meze násobíme. Při velkých rozdílech úrovní porovnávaných signálů je tato použitá metoda nejlepší, protože například při použití metody Levenberg-arquardt nebo Gauss-Newton užívanou funkcí lsqcurvefit jsou dosažené výsledky pak zcela nepoužitelné. etoda iterace je proto při aproximaci měřených hodnot nejvhodnějším způsobem pro téměř přesné určení průběhu signálu, ovšem je nutno relativně přesně určit meze, v kterých se mají klíčové hodnoty hledaných proměnných ve vztahu (27) pohybovat. Na následujících obrázcích 36 až 38 jsou zobrazeny absolutní a relativní chyby iterovaných hodnot v závislosti na velikosti skutečných sklápěcích úhlů. Obr. 36 Absolutní a relativní chyba pro jednotlivé měření 46

47 Obr. 37 Absolutní a relativní chyba α pro jednotlivá měření 47

48 Obr. 38 Absolutní a relativní chyba T 1 pro jednotlivá měření předcházejících průběhů chyb je patrno, to že chyby T 1 a jsou ve malé, ale pro sklápěcí úhly v rozsahu 18 je chyba určení α větší než 5 %. V případě výpočtu nepřesahuje 1 % od teoretické hodnoty u T 1 to je maximálně 5 %. chyba 48

49 6 ěřená data a jejich vyhodnocení Relaxační časy, magnetizace při tepelné rovnováze a sklápěcí úhly byly měřeny pro vzorek H 2 O na tomografu 4,7 T/2 Hz Ústavu přístrojové techniky Akademie věd. ěření bylo provedeno pro tři hodnoty sklápěcích úhlů 11%, 5%, 1% (9,9, 45, 9 ) a pro repetiční doby T R = 5 a 1 ms (úhly jsou uvedeny v procentech, protože v nastavení tomografu se nastavuje sklápěcí úhel v procentech, 1% znamená sklápěcí úhel 9 ). ěřená data pro jednotlivé sklápěcí úhly jsou uvedeny v souborech TR5_11pct.mat, TR5_5pct.mat, TR5_1pct.mat, TR1_11pct.mat, TR1_5pct.mat, TR1_1pct.mat (originální data zachycená tomografem v souborech: TR5 _11proc.RD, TR5 _5proc.RD, TR5 _1proc.RD, TR1 _11proc.RD, TR1 _5proc.RD, TR1_1proc.RD). Jedná se o jednotlivé vzorky o velikosti 1x1 datových bodů. Grafické zobrazení naměřených dat (orig. Soubory) je pak uvedeno na Obr. 39, Obr. 4,, Obr. 41, Obr. 42, Obr. 43, Obr. 44. Obr. 39 T R =58,9ms, α = 11 % Obr. 4 T R =18ms, α = 11 % 49

50 Obr. 41 T R =58,9 ms, α = 5 % Obr. 42 T R =18 ms, α = 5 % Obr. 43 T R =58,9 ms, α = 1 % Obr. 44 T R =18 ms, α = 1 % Naměřená data byla zpracována programy uvedenými níže. Byla užita metoda iterace popsána v kapitole 6. Protože již z předchozích měření vyplývá, že iteraci lze najít i průběhy, které nelze hledat funkcí lsqcurvefit, protože pokud se měřený průběh příliš liší od teoretického průběhu, tzn. velikosti měřeného průběhu a velikosti teoretického se příliš liší, tak získané výsledky by byly zcela nepoužitelné. Soubory: axproximace_nc.m, OFG.m, TR5_11pct.mat, TR5_5pct.mat, TR5_1pct.mat, TR1_11pct.mat, TR1_5pct.mat, TR1_1pct.mat Na následujícím obrázku Obr.45 jsou graficky zobrazeny FID signály jednotlivých měřených vzorků pro dva repetiční časy T R = 58,9 a 18ms jenž jsem vykreslil programem OFG.m v adresáři aproximace na přiloženém CD. Pro každou repetiční dobu T R byly 5