Úvod do práce v laboratoři

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do práce v laboratoři"

Transkript

1 Úvod do práce v laboratoři Zdeněk Bochníček

2 Literatura: PÁNEK, Petr. Úvod do fyzikálních měření. Brno: skripta PřF MU, 2001 HORÁK, Zdeněk. Praktická fysika. SNTL Praha, 1958 BROŽ, Jaromír a kol. Základy fysikálních měření. SPN Praha, 1967

3 Podmínky zápočtu: 80% účast vyřešení experimentálního úkolu a odevzdání protokolu z měření

4 Chyba měření: naměříme jinou hodnotu, než je hodnota správná. Chyby dělíme na systematické a náhodné.

5 Při měření byly získány tyto hodnoty. Měření 1: měřené hodnoty správná hodnota Měření 2: měřené hodnoty správná hodnota Které měření je zatíženo náhodnou a které systematickou chybou?

6 Vyznačte na ose možné výsledky dvou měření: s malou a s velkou systematickou chybou. malá systematická chyba správná hodnota velká systematická chyba správná hodnota

7 Vyznačte na ose možné výsledky dvou měření: s malou a s velkou náhodnou chybou. malá náhodná chyba správná hodnota velká náhodná chyba správná hodnota

8 Vyznačte na ose možné výsledky těchto měření: s malou systematickou a velkou náhodnou chybou. s velkou systematickou a malou náhodnou chybou. s velkou systematickou a velkou náhodnou chybou. s malou systematickou a malou náhodnou chybou. správná hodnota

9 V loňském roce jste měli na spořícím účtu uloženo Kč. Na konci roku Vám byl připsán celkový roční úrok v hodnotě 300Kč. Jaká byla úroková míra spořícího vkladu?

10 Napíšeme-li výraz: x = (hodnota ± nejistota (chyba)) [ jednotky ] je uvedená nejistota tzv. chybou absolutní má stejné jednotky jako hodnota. Vedle absolutní nejistoty se používá také nejistota relativní, která je bezrozměrná a udává, jakou poměrnou část z hodnoty nejistota tvoří. Relativní nejistota se často udává v procentech. Jak je relativní nejistota definována?

11 Posuvným měřítkem jsem naměřili tloušťku skleněné destičky: d = (4, 2 ± 0,1)mm Jaká je absolutní a jaká relativní nejistota měřené veličiny?

12 Svinovacím metrem měříme šířku knihy a šířku stolu. Které měření má větší absolutní a které větší relativní nejistotu?

13 Naměřený proud 425mA byl změřen s relativní nejistotou Jaká byla absolutní nejistota?

14 Chceme změřit šířku kovového nosníku (přibližná hodnota 12cm) s relativní nejistotou 1. S jakou absolutní nejistotou musíme měřit?

15 Jak dlouho musíme měřit periodu kmitů kyvadla (počítat kmity a měřit čas), abychom ji určili s nejistotou 10-4? Čas měříme ručními stopkami. Návod: Nejprve odhadněte, s jakou absolutní nejistotou jste schopni ručními stopkami měřit časový interval.

16 Níže jsou uvedeny dva výsledky měření: A: U = (4, 25 ± 0, 01)mV B: U = (425, 4 ± 0,1)V Které měření je přesnější a které citlivější?

17 Vyberte pravdivé výroky A: Přesnost měření je dána relativní nejistotou. B: Přesnost měření je dána absolutní nejistotou. C: Citlivost měření je dána relativní nejistotou. D: Citlivost měření je dána absolutní nejistotou.

18 Klasická definice pravděpodobnosti: Pravděpodobnost Počet případů příznivých = Počet případů možných Jakých hodnot může pravděpodobnost daného jevu nabývat?

19 Klasická definice pravděpodobnosti: Pravděpodobnost Počet případů příznivých = Počet případů možných Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 3?

20 Jaká je pravděpodobnost, že na minci padne orel?

21 Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne sudé číslo?

22 Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo dělitelné třemí?

23 Jaká je pravděpodobnost, že se narodí děvče?

24 Statistická definice pravděpodobnosti n krát opakujeme daný experiment m krát je výsledek úspěch (příznivý případ). Pravděpodobnost = lim n m n

25 V roce 1999 se v ČR narodilo děvčat a chlapců. Z těchto dat určete odhad pravděpodobnosti narození děvčete či chlapce.

26 Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi 1: Pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden ze dvou navzájem se vylučujících jevů je součtem pravděpodobností obou jevů. 2: Pravděpodobnost, že současně nastanou dva nezávislé jevy je 2: Pravděpodobnost, že současně nastanou dva nezávislé jevy je součinem pravděpodobností obou jevů.

27 Zajímá nás, jestli při příštím hodu kostkou padne číslo tři a nebo šest. Jedná se o: nezávislé jevy navzájem se vylučující jevy

28 Zajímá nás, jestli se sestře narodí chlapec nebo děvče. Jedná se o: nezávislé jevy navzájem se vylučující jevy

29 Házíme současně dvěma kostkami. Zajímá nás, jaká je pravděpodobnost, že na první kostce padne 2 a na druhé 4. Jedná se o: nezávislé jevy navzájem se vylučující jevy

30 Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu kostkou padne číslo 1 nebo číslo 5.

31 Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu dvěma kostkami Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu dvěma kostkami padne na první kostce číslo 1 a na druhé číslo 5.

32 Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu dvěma kostkami Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu dvěma kostkami padne na některé kostce číslo 1 a na druhé číslo 5.

33 Měříme opakovaně n krát za shodných podmínek stejnou veličinu. Danou hodnotu x naměříme m krát. Číslu m říkáme četnost měřené hodnoty x. Jaké hodnoty může četnost nabývat, pokud jsme provedli n měření?

34 Tento graf nazýváme histogram

35 Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo intenzita měření (imp/10s) Nakreslete histogram: graf četnosti intenzity jako funkce měřené hodnoty četnost takto kreslíme četnost hodnoty intenzita (imp/10s)

36 Měříme opakovaně n krát za shodných podmínek stejnou veličinu. Danou hodnotu x naměříme m krát. Číslu m/n říkáme relativní četnost měřené hodnoty x. Jaké hodnoty může relativní četnost nabývat, pokud jsme provedli n měření?

37 Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo měření intenzita (imp/10s) relativní četnost Nakreslete histogram: graf relativní četnosti intenzity jako funkce měřené hodnoty hodnota

38 Relativní četnost je definována jako Pravděpodobnost je definována jako m n lim m n n Za jakých podmínek bude relativní četnost rovna pravděpodobnosti naměření dané hodnoty?

39 Graf závislosti pravděpodobnosti na naměřené hodnotě nazýváme rozdělení diskrétní náhodné proměnné. pravděpodobnost hodnota Pravděpodobnost naměření hodnoty x i budeme značit P xi

40 Jaká je hodnota výrazu: všechna i P x i

41 Nakreslete pravděpodobnost, že padne dané číslo při hodu kostkou pravděpodobnost hodnota

42 Nakreslete pravděpodobnost, že padne daná strana při hodu mincí pravděpodobnost hodnota

43 Z údajů roku 1999 nakreslete odhad pravděpodobnosti narození daného pohlaví. (V roce 1999 se v ČR narodilo děvčat a chlapců). pravděpodobnost hodnota

44 Doposud jsme se věnovali diskrétní náhodné proměnné. To je taková proměnná, která nabývá jen určitých hodnot. (Př.: výsledek hodu kostkou, posloupnost čísel při tahu sportky apod.) Fyzikální veličiny však obvykle mohou nabývat libovolné hodnoty. Náhodná proměnná spojená s takovou fyzikální veličinou bude tzv. spojitá. Toto je však pouze teorie Ve skutečnosti je každá měřená hodnota diskrétní diskretizaci provádí měřící přístroj. Tento digitální voltmetr naměří hodnoty Tento digitální voltmetr naměří hodnoty 1,295, 1,296 nebo 1,297 ale nic mezi tím.

45 Přesto, že ve skutečnosti se se spojitými náhodnými proměnnými při měření v praxi nesetkáme, používají se spojitá rozdělení častěji lépe se s nimi počítá s využitím aparátu matematické analýzy.

46 Formalismus popisu náhodných proměnných je odlišný. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme hodnotu frekvence elektromagnetického záření 2, GHz? Přesně!

47 Pravděpodobnost naměření určité konkrétní hodnoty spojité náhodné proměnné nemá smysl, Je vždy rovna nule. Smysl má pouze pravděpodobnost naměření hodnoty v určitém intervalu Definujeme tzv. hustotu pravděpodobnosti p ( x ) = dp dx

48 Analogie hustota (hmotnosti) ρ = m V průměrná hustota kusu látky o hmotnosti m a objemu V Pokud se hustota tělesa mění místo od místa, má smysl definovat lokální hustotu: dm ρ = dv Hustota v bodě, hmotnost nekonečně malého kousku děleno objemem tohoto kousku.

49 Známe-li střední hustotu, můžeme hmotnost tělesa spočítat takto: m = V ρ Známe-li lokální hustotu, hmotnost tělesa se spočítá takto: m = ρ dv V Napište vztah pro výpočet pravděpodobnosti naměření hodnoty x z intervalu (x 1, x 2 ) ze známé hustoty pravděpodobnosti p(x).

50 Pravděpodobnosti naměření hodnoty x z intervalu (x1, x2) se spočítá jako: x 2 = P ( x, x ) p ( x ) dx 1 2 x 1

51 Čemu je roven výraz: p( x) dx =?

52 Seřaďte podle velikosti od nejmenšího po největší 1) pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (50,100) 2) pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (100,150) 3) pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (250,300) p(x) x

53 Základními parametry rozdělení jsou: diskrétní rozdělení spojité rozdělení střední hodnota n µ = P x x µ = x p( x) dx i i= 1 i D n počet všech možností D definiční obor n rozptyl (disperze) 2 D = Px ( x µ ) i i i= 1 D 2 ( ) ( ) D x µ p x dx =

54 Které rozdělení má větší střední hodnotu (černé nebo červené)? hu ustota pravděp podobn nosti 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 n µ = Px x i= 1 µ = x p( x) dx D i i 0, hodnota

55 Které rozdělení má větší disperzi (černé nebo červené)? hus stota pravděp podob bnosti D = P ( x x µ i ) 0, ,005 0,004 0,003 0,002 0,001 n i i= 1 2 ( ) ( ) D x µ p x dx = D 0, hodnota

56 Proč je červené rozdělení nižší než černé? 0,006 hust tota pravd děpodobn nosti 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0, hodnota

57 Střední hodnota určuje polohu rozdělení na ose x a disperze jeho šířku. Disperze však nemůže být přímo jakkoliv definovanou šířkou nemá vhodnou jednotku. Proto definujeme tzv. směrodatnou odchylku σ vztahem: σ = D

58 Nakreslete dvě rozdělení spojité náhodné proměnné: Rozdělení A má větší střední hodnotu a menší směrodatnou odchylku než rozdělení B.

59 Normální (Gaussovo) rozdělení ( x µ ) 1 p( x) = e 2σ σ 2 π 2 2 střední hodnota: µ disperze: D=σ 2 veličina σ je směrodatná odchylka

60 µ = 500 σ = 100 µ = 300 σ = 100 i husto ota pravděp podobnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0, i husto ota pravděp podobnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0, hodnota hodnota 0,0025 µ = 500 σ = 200 hustota pra avděpodob bnosti 0,0020 0,0015 0,0010 0,0005 0, hodnota

61 Nakreslete přibližně Gaussovo rozdělení se střední hodnotou 54 a směrodatnou odchylkou 10.

62 hustot ta pravd děpodob bnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 µ = 500 σ = 100 inflexní bod 0, hodnota µ µ - σ µ + σ µ + σ µ + σ ( x µ ) 1 p x dx e dx µ σ µ σ σ 2 π 2 2σ ( ) = = 0,68 2

63 Měříme-li veličinu, která se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ, je pravděpodobnost toho, že při dalším měření naměříme hodnotu z intervalu (µ - σ, µ + σ) rovna 68%. Jaká je pravděpodobnost, že při dalším měření naměříme hodnotu z intervalu (µ, µ + σ)?

64 Odhadněte, jaké je pravděpodobnost naměření hodnoty z intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ). husto ota prav vděpodo obnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 inflexní bod hodnota µ µ - σ µ + σ

65 Definujeme tzv. krajní chybu vztahem: κ = 3 σ Pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ) je rovna 99,7% krajní chyba = jistota

66 Měříme veličinu - náhodnou proměnnou a chceme určit odhad její střední hodnoty a chyby, tedy výraz: x = (hodnota ± [ ] chyba) jednotky x = ( x ± s x ) Opakujeme n krát měření za stejných podmínek, odhad střední hodnoty získáme jako: 1 n x = x aritmetický průměr i n i = 1 a odhad směrodatné odchylky (chyby) jako s x = n i= 1 ( x x) i n 11 2

67 Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo intenzita měření (imp/10s) Vypočtěte odhad střední hodnoty a směrodatné odchylky. x= 3,4 imp/10s s x =0,55 imp/10s

68 Další modelová rozdělení Binomické rozdělení Nechť při jednom pokusu (měření) má daný jev (úspěch) pravděpodobnost p. Pak pravděpodobnost toho, že při n pokusech nastane r krát úspěch je dána binomickým rozdělením: n r n r Pn ( r) = p (1 p) r střední hodnota µ = np disperze D = np(1 p)

69 Pro velká n se binomické rozdělení blíží normálnímu (Gaussovu) 0.50 binomické N=5, p=0, Gaussovo µ=2,5, σ=sqrt(1,25) p(r) binomické N=100, p=0,5 Gaussovo µ µ=50, σ=sqrt(25) r 0.06 p(r) r

70 Poissonovo rozdělení Nechť jistá náhodná událost nastává v časovém intervalu t se střední hodnotou µ. Pak pravděpodobnost, že v tomto časovém intervalu dojde k r událostem je dána Poissonovým rozdělením P ( r) µ r e µ µ = střední hodnota µ = µ r! oµ = 1 oµ = 4 oµ µ = 10 disperze D = µ

71 Pro velká n se Poissonovo rozdělení blíží normálnímu (Gaussovu) Poissonovo µ = 10, 0.14 Gaussovo µ = 10, σ = sqrt(10) p(r) r 0.04 Poissonovo µ = 100, Gaussovo µ = 100, σ = sqrt(100) = p(r) r

72 Chyba nepřímo měřených veličin Nepřímo měřená veličina nemáme přístroj ale žádanou veličinu počítáme z jiných přímo měřených veličin. Uveďte dva příklady přímo měřené a dva příklady nepřímo měřené veličiny.

73 Navrhněte dva experimenty, ve kterých by hustota kapaliny Navrhněte dva experimenty, ve kterých by hustota kapaliny byla jednou přímo měřená a jednou nepřímo měřená veličina.

74 Mějme nepřímo měřenou veličinu y, která je funkcí přímo měřených veličin p 1, p 2,.., p m. y = f ( p1, p2,... p m ) přičemž pro každou přímo p = ( p ± s ) měřenou veličinu jsme určili: i i p i střední hodnotu a odchylku veličiny y určíme takto: y = f ( p1, p2,..., p m ) 2 2 y y y s = s + s + + s y p1 p2 p p m 1 p2 pm 2

75 f(x) x

76 Nepřímo měřená veličina y je rovna součtu dvou přímo měřených veličin y = x + x 1 2 Například měříme délku 4m místnosti ale máme k dispozici pouze 3m svinovací metr. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. 2 2 y y y s = s + s + + s p1 p2 pm y p1 p2 p m 2

77 Nepřímo měřená veličina y je rovna násobku přímo měřené veličiny y = k x Například obvod kružnice počítaný z průměru. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. Najděte vztah pro relativní odchylku veličiny y.

78 Nepřímo měřená veličina y je rovna součinu dvou přímo měřených veličin y = x x 1 2 Například plocha obdélníkového pozemku. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. Najděte vztah pro relativní odchylku veličiny y.

79 Nepřímo měřená veličina y je rovna podílu dvou přímo měřených veličin y = x 1 x 2 Například průměrná rychlost jako podíl dráhy a času. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. Najděte vztah pro relativní odchylku veličiny y.

80 Nepřímo měřená veličina y je rovna mocnině přímo měřené veličiny y = x n Například plocha čtverce či objem krychle. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. Najděte vztah pro relativní odchylku veličiny y.

81 Měříme hustotu materiálu, který máme k dispozici ve tvaru válce. Pro hustotu platí: m ρ = = V 4m π 2 d v Najděte vztah pro absolutní i relativní odchylku veličiny ρ.

82 Vypočtěte odchylku aritmetického průměru x 1 n x i n i = 1 =

83 Připomeňme si: Opakujeme n krát měření za stejných podmínek, odhad střední hodnoty získáme jako: x 1 n x i n i = 1 = aritmetický průměr a odhad směrodatné odchylky jako s x = n i = 1 ( x x) i n 1 2 Směrodatná odchylka popisuje šířku rozdělení Udává interval, ve kterém je 68% pravděpodobnost, že příští naměřená hodnota bude ležet v tomto intervalu.

84 Obvykle, pokud napíšeme výraz: x = ( x ± s ) x veličinou s x myslíme odchylku aritmetického průměru, spíše bychom tedy měli psát: x = ( x ± s ) x

85 Tedy pro určení intervalu x = ( x ± s ) x Počítáme veličiny takto: x 1 n n i = 1 = x i s x = n i= 1 ( x x) i n( n 1) 2

86 Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo intenzita měření (imp/10s) Vypočtěte odhad střední hodnoty a směrodatné odchylky aritmetického průměru. x= 3,4 imp/10s s x =0,24 imp/10s

87 Pokud jsme za stejných podmínek opakovali velký počet měření, udává interval x = ( x ± s ) x 68% pravděpodobnost, že správná hodnota leží uvnitř tohoto intervalu a interval x = ( x ± κ ) = ( x ± 3 s x x ) dává jistotu

88 Pokud měření opakujeme jen malým počtem pokusů, které statisticky vyhodnotíme, je pravděpodobnost, že správná hodnota leží v intervalu x = ( x ± s ) x a) větší než 68% b) menší než 68% c) rovna 68%

89 Intervaly spolehlivosti Existuje způsob, jak zkonstruovat interval, který by při zadaném počtu statisticky vyhodnocených měření poskytnul požadovanou spolehlivost, tj. pravděpodobnost s jakou správná hodnota leží uvnitř vymezeného intervalu. Interval vytvoříme z hodnot x n 2 1 n ( xi x ) xi a i= n s i = 1 x = = 1 n( n 1) rozšířením či zúžením intervalu x = ( x ± s x ) vhodným koeficientem t, ν p kde ν je tzv. počet stupňů volnosti: ν = n 1 a p je pravděpodobnost.

90 x = x ± t s ) = ( ν, p x tzv. Studentovy koeficienty

91 Z pěti naměřených hodnot byly statistickým zpracováním získány následující údaje: x = ( 11,2 ± 0,7) Určete interval spolehlivosti Určete interval spolehlivosti odpovídající pravděpodobnosti 68%

92 Ocelovým pásmem měříme rozměry učebny s následujícími výsledky: a = ( 523 ± 3) cm b = ( 675 ± 4)cm Určete střední hodnotu plochy místnosti a její směrodatnou odchylku. S = ( 35,4 ± 2 0,3)m

93 Měření tíhového zrychlení z doby kmity matematického kyvadla Napište vztah pro dobu kmitu matematického kyvadla, jaké veličiny Napište vztah pro dobu kmitu matematického kyvadla, jaké veličiny musíme přímo měřit? Ze vztahu vyjádřete tíhové zrychlení.

94 Odvoďte vztah pro odchylku tíhového zrychlení.

95 Vyhodnoťte měření doby kmitu číslo měření T (s) 1 1,42 2 1,40 3 1,39 4 1,43 5 1,41

96 Vyhodnoťte měření délky kyvadla číslo měření l (cm) 1 50,2 2 50,4 3 49,8 4 49,9 5 50,1

97 Určete střední hodnotu a odchylku (aritmetického průměru) tíhového zrychlení. S využitím Studentových koeficientů sestavte intervaly spolehlivosti 68% a 99,7%.

98 Struktura protokolu Hlavička Teorie: Stručné shrnutí teoretického popisu měřeného jevu, veličiny. Základní vztahy, popis experimentálního uspořádání. Výsledky měření: Tabulky naměřených hodnot (při ručním měření), případně grafy závislostí (při automatizovaném měření) Zpracování měření: Závěr: Výpočty středních hodnot, chyb, numerické zpracování měření. Komentář výsledků, srovnání se známou či očekávanou hodnotou, diskuse možných systematických chyb.

99 Numerická regrese (fitování) Numerické metody, při kterých hledáme funkci co nejlépe vystihující (typicky experimentálně studovanou) závislost.

100 Krok č. 1 volba vhodné funkce funkční závislost je známa z teorie jevu např. závislost intenzity prošlého záření na tloušťce materiálu µ d I = I e µ o využijeme nabídku univerzálních funkcí polynomy y = ao + a1x + a2x + a3x + a4 x +... Taylorův rozvoj

101 Krok č. 2 vlastní proložení Metoda nejmenších čtverců Minimalizace výrazu n s = y f ( x ) = minimum [ [ ] 2 i i i= 1 s součet čtverců

102 Metody měření vybraných fyzikálních veličin

103 Měření vzdálenosti Posuvné měřítko posuvka

104 Jaký údaj je na posuvném měřítku?

105 Jaký údaj je na posuvném měřítku?

106 mikrometr

107 Jaký údaj ukazuje mikrometr?

108 Jaký údaj ukazuje mikrometr?

109 Indikátorové hodinky (úchylkoměr)

110 Jaký údaj ukazuje úchylkoměr?

111 Katetometr

112 Ultrazvukový dálkoměr

113 Laserový dálkoměr

114 Měření času Periodické děje

115 Kmity kyvadla matematické kyvadlo fyzické kyvadlo T l = 2π T = 2π g J mga V harmonické aproximaci V této aproximaci doba kmitu nezávisí na amplitudě výchylky

116

117 Torzní kmity setrvačky Elastická deformace pružného pera lineární tedy harmonické (Hookův zákon)

118 Kmity křemenného krystalu Piezoelektrický jev

119 Čas jedna z nejlépe měřitelných veličin Oscilátor + čítač

120 Měření teploty Kapalinové teploměry Nakreslete schematicky dva kapalinové teploměry A: s větší citlivostí, B: s menší citlivostí.

121 Bimetalový teploměr Který ze dvou kovů má větší koeficient teplotní roztažnosti?

122

123 Odporové teploměry Změna elektrického odporu s teplotou Kovové: odpor s teplotou roste Používané kovy: Ni, Pt Polovodičové (termistory): odpor s teplotou klesá

124 Který teploměr má větší citlivost, platinový nebo niklový?

125 Při jakých teplotách je NTC termistor (negastor) citlivější, při nižších nebo vyšších?

126 termočlánek mv kov 2 kov 1 T 1 T 2 Termoelektrické napětí U = α ( T T ) 2 1 T 1 referenční teplota α termoelektrický koeficient

127 Jeden z nejpoužívanějších termočlánků je typ K chromel - alumel Chromel: 90% Ni, 10% Cr Alumel: 95% Ni, 2% Mg, 2% Al 1% Si Termoelektrický koeficient α = 42 µv/ C Jaké bude napětí při rozdílu teplot 100 C? Teplota referenčního spoje je 20 C, napětí na termočlánku typu K je 3,1mV. Jaká je teplota měřeného spoje? 93,8 C U = α ( T T ) 2 1

128 Kde je tady referenční spoj?

129 Infračervené teploměry měří záření emitované tělesem Planckův vyzařovací zákon: Dokonale černé těleso H o = σt 4

130 Problém: emisivita Záření reálného tělesa: H = ε H o ε (0,1) IR teploměr bez korekce na emisivitu vždy ukazuje nižší teplotu, než je skutečná.

131 Měření elektrických veličin, napětí, proudu a odporu

132 Voltmetr měří rozdíl potenciálů mezi dvěma body. Chceme měřit napětí na odporu R. Nakreslete zapojení voltmetru R U

133 Ampérmetr měří proud, který samotným ampérmetrem protéká Chceme měřit proud v obvodu. Nakreslete zapojení ampérmetru. R U

134 Zapojení voltmetru do obvodu dle obr. méně ovlivní situaci v obvodu pokud: V R U a) voltmetr má velký vnitřní odpor b) voltmetr má malý vnitřní odpor

135 Zapojení ampérmetru do obvodu dle obr. méně ovlivní situaci v obvodu pokud: R A U a) ampérmetr má velký vnitřní odpor b) ampérmetr má malý vnitřní odpor

136 Měření odporu současné měření napětí a proudu Nakreslete zapojení ampérmetru a voltmetru do obvodu a napište vztah pro výpočet odporu z Ohmova zákona R U

137 Označme U V napětí měřené voltmetrem a I A proud měřený ampérmetrem. V U R A Je níže uvedený vztah správně? R = U I V A Měří voltmetr skutečně napětí na odporu? Měří ampérmetr skutečně proud tekoucí odporem?

138 Označme I V proud tekoucí voltmetrem, I R proud tekoucí odporem a I A proud V R A tekoucí (a měřený) ampérmetrem. V R U A Napište správný vztah pro výpočet odporu. R U UV I I I V = = R A V

139 Ve vztahu U R V = I I A V neznáme proud tekoucí voltmetrem I V. Můžeme jej však spočítat ze známých hodnot, pokud známe vnitřní odpor voltmetru R V. Napište jak a doplňte jej do výše uvedeného vztahu pro odpor. R = I A U V U V R V Vnitřní odpor voltmetru vždy udává výrobce

140 Ampérmetr lze do obvodu zapojit tak, aby měřil správný proud. V R U A nakreslete toto zapojení

141 V R A U Jeden problém jsme vyřešili a druhý vytvořili. Jaký?

142 Označme U V napětí na voltmetru (a voltmetrem měřené), U R napětí na odporu a U A napětí na ampérmetru. V R A U Odvoďte správný vztah pro výpočet odporu z naměřených veličin. R U U U R I = = I I V A V A A A A

143 Shrnutí metoda A metoda B V V R A R A U U A V V U R U = V A A U R I R = V A V I R A I = vhodné pro malé odpory vhodné pro velké odpory R R V A R R

144 Určení chyby elektrických měřicích přístrojů chybu udává výrobce vždy jako krajní chybu s x κ = x 3

145 Analogové přístroje třída přesnosti krajní chyba jako procento z rozsahu

146 Jaká je směrodatná odchylka při měření napětí tímto přístrojem?

147 Digitální přístroje způsoby zadání krajní chyby: procento měřené hodnoty + procento rozsahu procento měřené hodnoty + počet digit

148 Určete směrodatnou odchylku digitálního přístroje z následujících údajů: display: 4,25 V Informace o chybě: 0,5% of reading + 3 digit

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Viz oskenovaný text ze skript Sprušil, Zieleniecová: Úvod do teorie fyzikálních měření http://physics.ujep.cz/~ehejnova/utm/materialy_studium/chyby_meridel.pdf

Více

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Jaké měřidlo je vhodné zvolit? Pravidla: Přesnost měřidla má být pětkrát až desetkrát vyšší, než je požadovaná přesnost měření. Např. chceme-li

Více

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová Úvod do teorie měření Eva Hejnová Program semináře 1. Základní pojmy - metody měření, druhy chyb, počítání s neúplnými čísly, zaokrouhlování 2. Chyby přímých měření - aritmetický průměr a směrodatná odchylka,

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Jaké měřidlo je vhodné zvolit? Pravidla: Přesnost měřidla má být pětkrát až desetkrát vyšší, než je požadovaná přesnost měření. Např. chceme-li

Více

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová Úvod do teorie měření Eva Hejnová Podmínky získání zápočtu: Podmínkou pro získání zápočtu je účast na cvičeních (maximálně tři absence) a úspěšné splnění jednoho písemného testu alespoň na 50 % max. počtu

Více

EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření. Jan Krystek

EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření. Jan Krystek EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření Jan Krystek 9. května 2019 CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ Každé měření je zatíženo určitou nepřesností způsobenou nejrůznějšími negativními vlivy,

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Úvod do problematiky měření

Úvod do problematiky měření 1/18 Lord Kelvin: "Když to, o čem mluvíte, můžete změřit, a vyjádřit to pomocí čísel, něco o tom víte. Ale když to nemůžete vyjádřit číselně, je vaše znalost hubená a nedostatečná. Může to být začátek

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními

Více

Posouzení přesnosti měření

Posouzení přesnosti měření Přesnost měření Posouzení přesnosti měření Hodnotu kvantitativně popsaného parametru jakéhokoliv objektu zjistíme jedině měřením. Reálné měření má vždy omezenou přesnost V minulosti sloužila k posouzení

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Mˇ eˇren ı ˇ cetnost ı (Poissonovo rozdˇ elen ı) 1 / 56

Mˇ eˇren ı ˇ cetnost ı (Poissonovo rozdˇ elen ı) 1 / 56 Měření četností (Poissonovo rozdělení) 1 / 56 Měření četností (Poissonovo rozdělení) Motivace: měření aktivity zdroje Geiger-Müllerův čítac: aktivita: 1 Bq = 1 částice / 1 s = s 1 Jaká je přesnost měření?

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Chyby nepřímých měření

Chyby nepřímých měření nepřímé měření: Chyby nepřímých měření chceme určit veličinu z hodnot jiných veličin na základě funkční vztahu máme změřené veličiny pomocí přímých měření (viz. dříve) včetně chyb: x±σ x, y±σ y,... známe

Více

Manuální, technická a elektrozručnost

Manuální, technická a elektrozručnost Manuální, technická a elektrozručnost Realizace praktických úloh zaměřených na dovednosti v oblastech: Vybavení elektrolaboratoře Schématické značky, základy pájení Fyzikální principy činnosti základních

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

2 Přímé a nepřímé měření odporu

2 Přímé a nepřímé měření odporu 2 2.1 Zadání úlohy a) Změřte jednotlivé hodnoty odporů R 1 a R 2, hodnotu odporu jejich sériového zapojení a jejich paralelního zapojení, a to těmito způsoby: přímou metodou (RLC můstkem) Ohmovou metodou

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ # Nejistoty měření Přesnost měření Klasický způsob vyjádření přesnosti měření chyba měření: Absolutní chyba X = X M X(S) Relativní chyba δ X = X(M) X(S) - X(M) je naměřená hodnota

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

ZÁKLADY FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 5: Měření tíhového zrychlení

ZÁKLADY FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 5: Měření tíhového zrychlení ZÁKLADY FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: číslo skupiny: Spolupracovali: 1 Úvod 1.1 Pracovní úkoly [1] Úloha 5: Měření tíhového zrychlení Jméno: Ročník, kruh: Klasifikace: 1. V domácí

Více

1. Změřit metodou přímou závislost odporu vlákna žárovky na proudu, který jím protéká. K měření použijte stejnosměrné napětí v rozsahu do 24 V.

1. Změřit metodou přímou závislost odporu vlákna žárovky na proudu, který jím protéká. K měření použijte stejnosměrné napětí v rozsahu do 24 V. 1 Pracovní úkoly 1. Změřit metodou přímou závislost odporu vlákna žárovky na proudu, který jím protéká. K měření použijte stejnosměrné napětí v rozsahu do 24 V. 2. Změřte substituční metodou vnitřní odpor

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA KOLÍN II., KMOCHOVA 943 škola s rozšířenou výukou matematiky a přírodovědných předmětů

ZÁKLADNÍ ŠKOLA KOLÍN II., KMOCHOVA 943 škola s rozšířenou výukou matematiky a přírodovědných předmětů ZÁKLADNÍ ŠKOLA KOLÍN II., KMOCHOVA 943 škola s rozšířenou výukou matematiky a přírodovědných předmětů Autor Mgr. Vladimír Hradecký Číslo materiálu 8_F_1_02 Datum vytvoření 2. 11. 2011 Druh učebního materiálu

Více

Úloha 5: Spektrometrie záření α

Úloha 5: Spektrometrie záření α Petra Suková, 3.ročník 1 Úloha 5: Spektrometrie záření α 1 Zadání 1. Proveďte energetickou kalibraci α-spektrometru a určete jeho rozlišení. 2. Určeteabsolutníaktivitukalibračníhoradioizotopu 241 Am. 3.

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Charakteristika datového souboru

Charakteristika datového souboru Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Měření teploty v budovách

Měření teploty v budovách Měření teploty v budovách Zadání 1. Seznamte se s fyzikálními principy a funkčností předložených senzorů: odporový teploměr Pt100, termistor NCT, termočlánek typu K a bezdotykový úhrnný pyrometr 2. Proveďte

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU

MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU Zkouška tlakem na válcových vzorcích 2 Vyhodnocení tlakové zkoušky Síla F způsobí změnu výšky H a průměru D válce. V každém okamžiku při stlačování je přetvárný odpor definován

Více

Použitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 = 270 kω je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%.

Použitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 = 270 kω je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%. Laboratorní úloha Snímač teploty R je zapojený podle schema na Obr. 1. Snímač je termistor typ B57164K [] se jmenovitým odporem pro teplotu 5 C R 5 00 Ω ± 10 %. Závislost odporu termistoru na teplotě je

Více

Vyjadřování přesnosti v metrologii

Vyjadřování přesnosti v metrologii Vyjadřování přesnosti v metrologii Měření soubor činností, jejichž cílem je stanovit hodnotu veličiny. Výsledek měření hodnota získaná měřením přisouzená měřené veličině. Chyba měření výsledek měření mínus

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Chyby a neurčitosti měření

Chyby a neurčitosti měření Radioelektronická měření (MREM) Chyby a neurčitosti měření 10. přednáška Jiří Dřínovský Ústav radioelektroniky FEKT VUT v Brně Základní pojmy Měření je souhrn činností s cílem určit hodnotu měřené veličiny

Více

Mechanické kmitání - určení tíhového zrychlení kyvadlem

Mechanické kmitání - určení tíhového zrychlení kyvadlem I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 9 Mechanické kmitání - určení

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více

STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY

STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

4. Aplikace matematiky v ekonomii

4. Aplikace matematiky v ekonomii 4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 7 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Probrali jsme spojité modely Tyhle termíny by měly být známé: Rovnoměrné rozdělení Střední hodnota Mccalova transformace Normální rozdělení Přehled

Více

Matematika III. 27. listopadu Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. listopadu Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. listopadu 2017 Typy statistických znaků (proměnných) Typy proměnných: Kvalitativní proměnná (kategoriální, slovní,... ) Kvantitativní proměnná (numerická,

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

3. Vypočítejte chybu, které se dopouštíte idealizací reálného kyvadla v rámci modelu kyvadla matematického.

3. Vypočítejte chybu, které se dopouštíte idealizací reálného kyvadla v rámci modelu kyvadla matematického. Pracovní úkoly. Změřte místní tíhové zrychlení g metodou reverzního kyvadla. 2. Změřte místní tíhové zrychlení g metodou matematického kyvadla. 3. Vypočítejte chybu, které se dopouštíte idealizací reálného

Více

e, přičemž R Pro termistor, který máte k dispozici, platí rovnice

e, přičemž R Pro termistor, který máte k dispozici, platí rovnice Nakreslete schéma vyhodnocovacího obvodu pro kapacitní senzor. Základní hodnota kapacity senzoru pf se mění maximálně o pf. omu má odpovídat výstupní napěťový rozsah V až V. Pro základní (klidovou) hodnotu

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 9: Rozšíření rozsahu miliampérmetru a voltmetru. Cejchování kompenzátorem. Datum měření: 15. 10. 2015 Skupina: 8, čtvrtek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace:

Více

Vyhodnocení součinitele alfa z dat naměřených v reálných podmínkách při teplotách 80 C a pokojové teplotě.

Vyhodnocení součinitele alfa z dat naměřených v reálných podmínkách při teplotách 80 C a pokojové teplotě. oučinitel odporu Vyhodnocení součinitele alfa z dat naměřených v reálných podmínkách při teplotách 80 C a pokojové teplotě Zadání: Vypočtěte hodnotu součinitele α s platinového odporového teploměru Pt-00

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek

Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více