Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 1

Transkript

1 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb

2 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb Obsah è 0. Úvod é 0.. Než začneme s výpočtem é 0.. Shrnutí základních pravidel è. Diferenciální počet funkce jedné proměnné é.. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí é.. Výpočet limity funkce é.3. Derivace funkce é.4. Diferenciál funkce é.5. Derivace vyšších řádů è. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných é.. Reálná funkce více reálných proměnných é.. Parciální derivace prvního a vyšších řádů é.3. Totální diferenciál prvního a vyšších řádů è 3. Integrální počet funkce jedné proměnné é 3.. Neurčitý integrál é 3.. Určitý integrál è 4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic é 4.. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů è 5. Použitá literatura

3 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 3 0. Úvod 0.. Než začneme s výpočtem 0... è Výpočet v buňce - spouští se pomocí kombinace kláves SHIFT+ENTER (popřípadě klávesy ENTER na numerické klávesnici). è Pro zadání informací k výpočtu použijeme buňku označenou ln[n]:= (vstupní buňka) a vypočtený výsledek se zobrazí v buňce Out[n]=. Podívejme se na jednoduchý příklad: In[]:= + 3 Out[]= 5 Toto označení se nám bude hodit, budeme-li chtít dále pracovat s výsledkem. Příklad užití je vidět níže: In[]:= Out@D 0 Out[]= 50 è Palety nástrojů - důležitý pomocník. Jednoduchým způsobem umožňují využívat jednotlivých funkcí programu. Palety se nacházejí v menu Files Æ Palletes. Při výpočtech nám budou nejvíce užitečné tyto palety: é BasicCalculations - obsahuje syntaxe příkazů pro aritmetiku, algebru, matice, trigonometrické a exponenciální funkce, integrální a diferenciální počet a vykreslování grafů, é BasicInput - umožňuje jednoduše zadat umocnění, zlomek, integrál atd., é CompleteCharacters - umožňuje zadat různé druhy písma (řecké, skript,...), technické symboly, tvary či operátory. In[3]:= ^00 Out[3]= è Menu "Format" - prostřednictvím tohoto menu lze editačnímu oknu i jednotlivým buňkám měnit vlastnosti (velikost a typ písma, barva písma a pozadí, atd.). è Seskupování buňek - v případě velkého množství výpočtů a pro lepší přehlednost můžeme buňky seskupovat. K tomu využijeme menu Cell. è Přesnost výsledků - výsledky v tomto programu jsou vždy přesnými, exaktními výsledky. é příklad: In[4]:= ^00 Out[4]=

4 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 4 é Naše výsledky však mohou mít i numericky aproximovaný tvar, např. jako při použití kalkulátoru. K tomu, abychom dosáhli výsledku v tomto tvaru, užijeme funkce //N (popř. N[ ]), kterou ukončíme zadávání vstupu. é příklad: In[5]:= ^00 êê N Out[5]= In[6]:= N@^00D Out[6]= è Předchozí výsledek - pomocí symbolu % můžeme využít předchozího výsledku. é příklad: In[7]:= 3 0 Out[7]= 30 In[8]:= % 30 Out[8]= 00 è Typy závorek - využíváme čtyř druhů závorek: é ( ) - kulaté závorky pro seskupování é [ ] - hranaté závorky pro funkce, např.: f[x] é { } - složené závorky pro výpisy, např.: {a, b, c} é [ [ ] ] - dvojité hranaté závorky pro indexování, např.: v[[i]] (matice) è Přerušení výpočtu - pomocí kombinace kláves alt+čárka. 0.. Shrnutí základních pravidel è Argumenty a funkce uvádíme v hranatých závorkách. è Názvy funkcí zadáváme s velkým písmenem na začátku. è Názvy proměnných a námi definovaných funkcí zadáváme malými písmeny. è K umocnění používáme ^ nebo palety nástrojů Ñ Ñ. è Násobení může být prezentováno mezerou! è K zápisu desetinného čísla používáme tečku. è Čísla ve vědeckém zápisu vypadají např. takto.4*0^-3 nebo.4 0^-3. è Nápovědu k jakékoliv funkci lze získat pomocí klávesy F.

5 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 5. Diferenciální počet funkce jedné proměnné.. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí... Definice proměnné a práce s proměnnými è Proměnnou definujeme pomocí syntaxe: é příklad: název_proměnné = zvolená_hodnota. In[9]:= x = Out[9]= è Nyní máme v proměnné x uloženu hodnotu. Proveďme výpočet výrazu x, za proměnnou x je automaticky dosazena její hodnota. é příklad: In[0]:= x^ Out[0]= 44 è Další definování proměnné se stejným názvem (v našem případě x) způsobí přepsání předchozí hodnoty. é příklad: In[]:= Out[]= x = + a + a è Tato nová hodnota proměnné x se pak stává platnou pro další požití dané proměnné. é příklad: In[]:= x^ Out[]= H + al è Pro vymazání definice proměnné použijeme symbolu tečka. Proměnné již nebude přiřazena žádná hodnota a bude vystupovat pouze jako symbol. In[4]:= x =. è V následujícím výrazu pak nebude přiřazena x žádná hodnota

6 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 6 In[5]:= Out[5]= x + 3 x + 4 x è Chceme-li přiřadit proměnné hodnotu pouze v jednom výrazu, užijeme následující syntaxe: výraz/.xæzvolená_hodnota. pozn.: Mathematica CalcCenter tuto syntaxi pro přiřazení nepodporuje é příklad: In[6]:= 6 x^3 ê. x Out[6]= 8 é příklad: In[7]:= 6 x^3 ê. x a Out[7]= 6 H al 3 è Přesvědčme se, že v x není uložena žádná hodnota, tj. že předchozí definice proměnné x byly pouze pro dané výrazy. In[8]:= 6 x^3 Out[8]= 6 x 3 è Definici můžeme provést i pro více promenných. Definici však musíme uzavřít do složených závorek. In[9]:= Hx + yl Hx yl^ ê. 8x 3, y a< Out[9]= H4 al H + al... Definice funkce è Kromě toho, že Mathematica obsahuje mnoho integrovaných funkcí, umožňuje uživateli také definování vlastních funkcí. è Uvedeme si příklad, který definuje funkci f proměnné x. Při definici se používá přiřazovacího symbolu :=. Za tímto symbolem pak následuje vyjádření samotné funkce. é příklad: In[0]:= f@x_d := x^ é pozor:! podtržítko za proměnnou v definici funkce nesmíme zapomenout! è Funkci pak voláme jejím názvem a argumentem v hranatých závorkách. Argumentem funkce může být číslo nebo jakýkoliv výraz. é příklady:

7 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 7 In[]:= f@5d Out[]= 5 In[]:= f@ + ad Out[]= H + al In[3]:= f@x^ + 3 x + 6D Out[3]= H6 + 3 x + x L è Námi definovanou funkci můžeme použít k různým výpočtům v kombinaci s jinými funkcemi vestavěnými v prostředí Mathematica. é příklad: In[4]:= Sqrt@f@4DD Out[4]= 4 è Pro zobrazení definice námi vytvořené funkce lze využit syntaxe?název_funkce. é příklad: In[5]:=? f Global`f f@x_d := x è Pro vymazání námi vytvořené funkce využijeme výrazu Clear[název_funkce]. In[6]:= Clear@fD è Jako v případě proměnné i zde lze předefinovat námi vytvořenou funkci. Vytvořme se funkci mocnina. In[7]:= mocnina@x_d := x ^ è Za x dosaďme např. číslo 3 In[8]:= mocnina@3d Out[8]= 9 è Předefinujme nyní funkci mocnina. In[9]:= mocnina@x_d := x ^ 3 è A opět dosaďme za x číslo 3. In[30]:= mocnina@3d Out[30]= 7

8 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb Grafy funkcí pozn.: Tvorba a úprava grafů v Mathematica CalcCenter je velmi zjednodušená. è Pro vykreslení D grafů funkcí je v Mathematice zabudována funkce Plot. Pokusím se zde vystihnout základní vlastnosti této funkce, vše budu prezentovat na příslušných příkladech. è V argumentu funkce Plot musí být zadána nejdříve vykreslovací funkce a dále ve složených závorkách proměnná, pro kterou je funkce vykreslována, a meze této nezávislé proměnné. Syntaxe vypadá takto: Plot[název_funkce, {proměnná, min, max}]. é příklad: In[3]:= Plot@Sin@xD, 8x, 0, π<d Out[3]= Graphics è Do jednoho grafu můžeme vykreslit i více funkcí. Tyto fukce musíme uzavřít do složených závorek. Zápis bude následující: Plot[{ fce,..., fce n }, {x, xmin, xmax}]. é příklad: In[3]:= Plot@8Sin@xD, Cos@xD<, 8x, 0, Pi< D

9 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 9 Out[3]= Graphics è Pro zpřehlednění zápisu lze nejdříve definovat proměnnou, do které uvedeme seznam všech funkcí, pro které chceme vykreslit jejich průběh. In[33]:= Out[33]= prom = 8Sin@xD, Cos@xD< 8Sin@xD, Cos@xD< è Poté můžeme takovou proměnnou použít ve funkci Plot. Zde je však jedno úskalí. Takto nadefinovanou proměnnou musíme nejdříve vyhodnotit (vyvolat). To realizujeme pomoci funkce Evaluate na místě prvního argumentu funkce Plot. Syntaxe pak vypadá takto: Plot[Evaluate[prom], {x, 0, Pi}]. é příklad: In[34]:= Plot@Evaluate@promD, 8x, 0, Pi<D Out[34]= Graphics è Nyní se podívejme, jak se pracuje s parametry funkce Plot: é všechny parametry vestavěné funkce fce i s jejich výchozím nastavením lze vypsat pomocí funkce Options[fce], v našem případě Options[Plot]. In[35]:= Out[35]= Options@PlotD 9AspectRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, FormatType $FormatType, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend 0., PlotDivision 30., PlotLabel None, PlotPoints 5, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog 8<, RotateLabel True, TextStyle $TextStyle, Ticks Automatic= é pokud nás zajímá jen konkrétní parametr dané funkce, použijeme funkci Options s parametrem, viz. následující příklad:

10 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 0 In[36]:= Out[36]= Options@Plot, GridLinesD 8GridLines None< é pro změnu výchozího nastavení některého z parametrů dané funkce musíme použít funkci SetOptions. Příklad použití této funkce si ukážeme právě na funkci Plot. Změníme výchozí hodnotu parametru GridLines z původní hodnoty "None" a novou hodnotu "Automatic". In[37]:= Out[37]= SetOptions@Plot, GridLines AutomaticD 9AspectRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, FormatType $FormatType, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines Automatic, ImageSize Automatic, MaxBend 0., PlotDivision 30., PlotLabel None, PlotPoints 5, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog 8<, RotateLabel True, TextStyle $TextStyle, Ticks Automatic= é vzhled grafu po provedené změně: In[38]:= Plot@Sin@xD, 8x, 0, Pi<D Out[38]= Graphics é opětovné zrušení mřížky In[39]:= Out[39]= SetOptions@Plot, GridLines NoneD 9AspectRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, FormatType $FormatType, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend 0., PlotDivision 30., PlotLabel None, PlotPoints 5, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog 8<, RotateLabel True, TextStyle $TextStyle, Ticks Automatic=

11 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb é pozn.: změny parametrů funkce Plot pomocí funkce SetOptions platí pro všechny následně vytvořené grafy, chceme-li však změnit parametry jen u určitého grafu, napíšeme tyto změny přímo ve funkci Plot ä příklad: In[40]:= Plot@Sin@xD, 8x, 0, Pi<, Background BlueD Out[40]= Graphics è Popis vybraných parametrů funkce Plot: é Parametry os grafu ä Axes - parametr pro vykreslování os možnosti nastavení Axes Ø True Axes Ø False Axes Ø {True, False} ä AxesLabel - parametr pro popisky os grafu možnosti nastavení AxesLabel Ø None AxesLabel Ø nazev_popisku AxesLabel Ø {nazev_x, nazev_y} - osy budou vykresleny - osy nebudou vykresleny - osa x bude vykreslena, osa y nebude vykreslena (i naopak) - žádne popisky os - udává popisek pro osu y u D grafu a pro osu z u 3D grafu - popisky pro jednotlivé osy ä AxesOrigin - parametr pro určení průsečíku osy x a y možnosti nastavení AxesOrigin Ø {x, y} - průsečík je dán bodem {x, y} AxesOrigin Ø Automatic - pomocí vnitřního algoritmu Mathematica určí průsečík os ä Ticks - parametr pro nastavení značek měřítka os možnosti nastavení Ticks Ø None - graf bez značek měěřítka os Ticks Ø Automatic - značky měřítka os budou vykresleny automaticky Ticks Ø {{x, x,..., x N }, {y, y,..., y N }} - zadání značek na specifické pozice Ticks Ø {{x, nazev_x,...}, {y, nazev_y,...}} - zadání značek se specifickými

12 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb é příklad na uvedené parametry os grafu: jmény na specifické pozice In[4]:= 8x, 0, Pi<, Axes True, AxesLabel 8osa x, osa y<, AxesOrigin 8Pi, 0<, Ticks 880, Pi<, 8, <<D osa y 0 π osa x - Out[4]= Graphics é Parametry rámu grafu ä Frame - parametr pro orámování grafu možnosti nastavení Frame Ø True - graf bude orámován Frame Ø False - graf nebude orámován ä FrameLabel - parametr pro pojmenování jednotlivých stran možnosti nastavení FrameLabel Ø None - bez pojmenování rámu FrameLabel Ø {x_down, y_left} - pojmenuje spodní a levou část rámu FrameLabel Ø {x_down, y_left, x_up, y_right} - pojmenuje spodní, levou, horní a pravou část rámu é příklad na výše uvedené parametry: In[4]:= Plot@Sin@xD, 8x, 0, Pi<, Frame True, FrameLabel 8dole, vlevo, nahore, vpravo<d nahore 0.5 vlevo vpravo dole Out[4]= Graphics

13 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 3 é Text v grafu ä PlotLabel - parametr pro pojmenování grafu možnosti nastavení PlotLabel Ø None - žádné pojmenování PlotLabel Ø název_grafu - k pojmenování grafu můžeme použít libovolného výrazu, chceme-li, aby měl tvar textového řetězce, použijeme uvozovek ä TextStyle - parametr pro nastavení stylu písma v celém grafu možnosti nastavení TextStyle Ø {"style"} - výběr stylu písma, lze použít předdefinovaných stylů jako v nabídce Format Ø Style ä StyleForm - parametr pro nastavení style vybraného textu možnosti nastavení StyleForm[ expr, "style"] - expr je výraz, u kterého nastavujeme předdefinovaný "style" podle Format Ø Style é příklad na výše uvedené parametry: In[43]:= Plot@Sin@xD, 8x, 0, Pi<, PlotLabel StyleForm@"Graf funkce sinhxl", FontColor Green, FontSlant "Plain"D, TextStyle 8FontFamily "Arial", FontSize, FontColor RGBColor@, 0, 0D, FontWeight "Bold", FontSlant "Italic"< D Graf funkce sinhxl Out[43]= Graphics è Funkce Show - zobrazení grafů é Mathematica je schopna uchovávat v proměnných grafy a informace o grafech, které vytvoříme. K těmto proměnným můžeme později přistoupit pomocí funkce Show a tak znovuzobrazit již dříve nadefinované grafy. Syntaxe funkce je následující: Show[název_grafu]. možnosti nastavení ä Show[graf, graf,...] - vykreslí více grafů do jednoho ä Show[GraphicsArray[{graf, graf}]] - vykreslí graf do pole (zasebou) ä Show [GraphicsArray[{{graf}, {graf}}]] - vykreslí graf do pole (pod sebe) é příklady: ä nejdříve si uložíme do proměnných graf a graf různé grafy In[44]:= graf = Plot@Sin@xD, 8x, 0, Pi<D

14 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb Out[44]= Graphics In[45]:= graf = Plot@Sin@4 xd, 8x, 0, Pi<D Out[45]= In[46]:= Graphics Show@graf, grafd Out[46]= Graphics In[47]:= Show@GraphicsArray@8graf, graf<dd

15 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb Out[47]= In[48]:= GraphicsArray Show@GraphicsArray@88graf<, 8graf<<DD Out[48]= GraphicsArray è Funkce ParametricPlot - graf funkce zadané parametricky. é Nastavení parametrů této funkce je stejné jako u funkce Plot. é Syntaxe: ParametricPlot[{ f x, f y }, {t, tmin, tmax}] é příklad: In[49]:= ParametricPlot@8Sin@tD, Sin@ td<, 8t, 0, Pi<D

16 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb Out[49]= Graphics.. Výpočet limity funkce... Limita v bodě pozn.: Funkce Limit není v Mathematica CalcCenter podporována!!! Kapitoly.. až..9 jsou určeny jen pro produkt Mathematica. è Obecný předpis pro limitu funkce fce pro x blížící se x 0 : Limit[fce, xæx 0 ]. é příklad: In[50]:= Limit@Sin@xD ê x, x 0D Out[50]= è Pro ověření správnosti výsledku si vykreslíme graf. In[5]:= Plot@Sin@xD ê x, 8x, 5, 5<D Out[5]= Graphics

17 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 7... Limita v bodě - příklady è Příklady k procvičení - vypočítejte limity a zobrazte grafy příslušných funkcí na daných intervalech: a) lim ÅÅÅÅ xø x b) lim H + ÅÅÅÅ xø x Lx lim ÅÅÅÅ (-, ) x xø- ÅÅÅÅ limh + xl x (, 00), (-0.8, ) xø0 c) lim xø0 lnh+xl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x (-0.9, 0.3) d) lim ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x -9 xø0 x -7 x+ lim ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ (-0, ), (0, 00) x -7 x+ xø x -9 e) lim xø- ÅÅÅÅ p sinhxl Hx+ ÅÅÅÅ p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å (-5, 5) L f) lim xø0 x+ lnh+xl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ (-0., 5) x- lnh+xl..3. Limita v bodě - výsledky è Řešení: a) In[5]:= Limit@êx, x D Out[5]= 0 In[53]:= Limit@êx, x D Out[53]= 0 In[54]:= Plot@ ê x, 8x,, <D

18 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb Out[54]= Graphics b) In[55]:= Out[55]= Limit@H + êxl x, x D In[56]:= Plot@H + êxl x, 8x,, 00<D Out[56]= Graphics c) In[57]:= Limit@Log@H + xld ê x, x 0D Out[57]= In[58]:= Plot@Log@H + xld ê x, 8x, 0.9, 0.3<D

19 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb Out[58]= Graphics d) In[59]:= 9LêHx 7 x + L, x 0D Out[59]= 3 4 Plot@Hx 9LêHx 7 x + L, 8x, 0, <D Graphics In[60]:= Limit@Hx 9LêHx 7 x + L, x D Out[60]= In[6]:= Plot@Hx 9LêHx 7 x + L, 8x, 0, 00<, AxesOrigin 80, <D Out[6]= Graphics e) In[6]:= Limit@Sin@xDêHx + PiêL, x PiêD

20 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 0 Out[6]= In[63]:= Plot@Sin@xDêHx + PiêL, 8x, 5, 5<, AxesOrigin 8 Piê, Automatic<D Out[63]= Graphics f) In[64]:= Limit@Hx + Log@ + xdlêh x Log@ + xdl, x 0D Out[64]= In[65]:= Plot@Hx + Log@ + xdlêh x Log@ + xdl, 8x, 0., 5<D Out[65]= Graphics..4. Jednostranné limity è Obecný předpis pro jednostrannou limitu funkce fce pro x blížící se x 0 : Limit[fce, xæx 0, DirectionƱ]. è Jak je vidět, v předpisu se vyskytuje parametr Direction. Tento parametr nabývá pouze dvou hodnot, v závislosti na typu jednostranné limity. Pro limitu zleva nabývá hodnoty a pro limytu zprava hodnoty -. é příklad: In[66]:= Out[66]= Limit@ ê x, x 0, Direction D

21 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb In[67]:= Out[67]= ê x, x 0, Direction D è Opět si vykreslíme graf. In[68]:= Plot@ ê x, 8x, 3, 3<D Out[68]= Graphics..5. Jednostranné limity - příklady è Příklady k procvičení - vypočítejte limity a zobrazte grafy příslušných funkcí na daných intervalech: a) lim ÅÅÅÅÅÅÅÅ x+ x+ lim ÅÅÅÅÅÅÅÅ xø + x- xø - x- (-, 3) b) lim arctgh ÅÅÅÅÅÅÅÅ xø - -x L lim arctgh ÅÅÅÅÅÅÅÅL (-0, 0) xø + -x c) lim ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø0 - ÅÅÅÅ +e x lim ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø0 + ÅÅÅÅ x +e (-5, 5)..6. Jednostranné limity - výsledky è Řešení: a) In[69]:= Out[69]= In[70]:= Limit@Hx + LêH x L, x, Direction D Limit@Hx + LêH x L, x, Direction D

22 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb Out[70]= In[7]:= + LêH x L, 8x,, 3<D Out[7]= Graphics b) In[7]:= Out[7]= In[73]:= Out[73]= Limit@ArcTan@ ê H xld, x, Direction D π Limit@ArcTan@ ê H xld, x, Direction D π In[74]:= Plot@ArcTan@ ê H xld, 8x, 0, 0<D Out[74]= Graphics c) In[75]:= LimitAëI + x M, x 0, Direction E Out[75]= In[76]:= LimitAëI + x M, x 0, Direction E

23 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 3 Out[76]= 0 In[77]:= PlotAëI + x M, 8x, 5, 5<E Out[77]= Graphics..7. Limita funkce více proměnných è Obecný předpis pro limitu funkce fce dvou proměnných x a y blížících se x 0 a y 0 : Limit[Limit[fce, xæx 0 ], yæy 0 ]. è Pro limitu funkce tří a více proměnných je postup stejný, na půdovní limitu "nabalujeme" další limity. é příklad: In[78]:= Limit@Limit@3 y x y, x D, y 3D Out[78]= 3 è Pokud limita funkce více proměnných existuje, pak nezáleží na pořadí vyhodnocení proměnných. é příklad - využijeme předešlého příkladu, nyní však budeme nejdříve počítat limitu proměnné y a poté proměnné x In[79]:= Limit@Limit@3 y x y, y 3D, x D Out[79]= 3 é Oba výsledky se shodují...8. Limita funkce více proměnných - příklady è Příklady k procvičení -vyšetřete existenci následujících limit v daném bodě, existuje-li limita, určete její hodnotu v tomto bodě:

24 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 4 a) lim b) lim y-3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx, yløh, 3L x+y-5 x+y ÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx, yløh0, 0L x-y c) lim Hx, yløh0, 0L x y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x y-hx-yl d) lim I tghx -y L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx, yløh, L x-y M ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ -x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -x +y..9. Limita funkce více proměnných - výsledky è Řešení: a) In[80]:= Limit@Limit@Hy 3LêH x + y 5L, x D, y 3D Out[80]= In[8]:= Limit@Limit@Hy 3LêH x + y 5L, y 3D, x D Out[8]= 0 závěr: limita y-3 lim ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx, yløh, 3L x+y-5 v daném bodě neexistuje b) In[8]:= Out[8]= In[83]:= Limit@Limit@Hx + ylêh x yl, x 0D, y 0D Limit@Limit@Hx + ylêh x yl, y 0D, x 0D Out[83]= závěr: limita x+y lim ÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx, yløh0, 0L x-y v daném bodě neexistuje c) In[84]:= Limit@Limit@Hx y LêHx y Hx yl L, x 0D, y 0D Out[84]= 0 In[85]:= Limit@Limit@Hx y LêHx y Hx yl L, y 0D, x 0D Out[85]= 0

25 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 5 závěr: limita lim Hx, yløh0, 0L x y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v daném bodě existuje a její hodnota je x y-hx-yl x lim y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =0 Hx, yløh0, 0L x y-hx-yl d) In[86]:= Out[86]= x LimitALimitA i Tan@x y D y x j +y k x y z, x E, y E { In[87]:= Out[87]= x LimitALimitA i Tan@x y D y x j +y k x y z, x E, y E { ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ -x ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ závěr: limita lim I tghx -y L ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅM -x +y v daném bodě existuje a její hodnota je lim Hx, yløh, L x-y ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ -x I tghx -y L ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx, yløh, L x-y ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ M -x +y =.3. Derivace funkce.3.. Výpočet derivace è V prostředí Mathematica je možno derivaci zadávat více způsoby. Podívejme se nyní na tyto možnosti: é pomocí symbolu É nebo funkce D x fce nebo D[fce, x] é pomocí funkce Derivative Derivative[][fce][x] ä zde však nejdříve musíme definovat funkci, kterou chceme derivovat, např. funkce[x_]:=x^, pak již můžeme použít Derivative[][funkce][x] å pozn.: číslo v první závorce za slovem Derivative znamená stupeň derivace, takže v našem případě se jedná o první derivaci. é klasicky pomocí apostrofu f ' [x] ä platí zde to samé jako v předchzím bodě, nejdříve definujeme funkci a pak ji zderivujeme, tzn. derivovana_fce[x_]:= x^3+x derivovana_fce'[x] é uvěďme si pár příkladů na různé zápisy derivace: In[88]:= x Hx^4 3 x^ + 0L Out[88]= 6 x + 4 x 3

26 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 6 In[89]:= D@x^4 3 x^ + 0, xd Out[89]= 6 x + 4 x 3 In[90]:= f@x_d := x^4 3 x^ + 0; Derivative@D@fD@xD Out[90]= 6 x + 4 x 3 In[9]:= f@x_d := x^4 3 x^ + 0; f'@xd Out[9]= 6 x + 4 x 3 é derivace v daném bodě - využijeme funkce Derivative, místo proměnné, podle které derivujeme, napíšeme hodnotu: In[9]:= fce@x_d := 3 x ^ 4 x; Derivative@D@fceD@3D Out[9]= Příklady è Příklady k procvičení - derivujte následující funkce (podle proměnné x): a) f(x) = arctg(x) b) f(x) = argcosh(x) c) f3(x) = arcsin( ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -x ) (obecně a pro x = ) +x d) f4(x) = ln coshxl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ln x e) f5(x) = (+x) è!!!!!!!!!!! + x è!!!!!!!!!!! x 3 (obecně a pro x = 0) f) f6(x) = exp x + exp(exp x) + exp(exp(exp x)) g) f7(x) = x (+cotg ÅÅÅÅ x ) (obecně a pro x = p).3.3. Výsledky

27 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 7 è Řešení: a) In[93]:= Out[93]= f@x_d := ArcTan@xD; f'@xd + x b) In[94]:= Out[94]= f@x_d := ArcCosh@xD; f'@xd è!!!!!!!!!!!! + x è!!!!!!!!! + x c) In[95]:= Out[95]= f3@x_d := ArcSin@H x^lêh + x^ld; f3'@xd x H x L x H+x L +x $%%%%%%%%%%%%%%%% H x L %%%%%%% H+x L In[96]:= Out[96]= f3'@d d) In[97]:= Out[97]= f4@x_d := Log@Cos@xDD ê Log@xD; f4'@xd Log@Cos@xDD x Log@xD Tan@xD Log@xD e) In[98]:= Out[98]= In[99]:= Out[99]= f5@x_d := H + xl è!!!!!!!!!!!!!!!! + x^ è!!!!!!!!!!!!!!!! x^3 ; f5'@xd x H + xl è!!!!!!!!!!! + x H3 + x 3 L ê3 + x H + xlh3 + x3 L ê3 è!!!!!!!!!!! + è!!!!!!!!!!! + x H3 + x 3 L ê3 + x f5'@0d è!!! 3 ê3 f) In[00]:= f6@x_d := x + x + x ; f6'@xd Out[00]= x + x +x + x + x +x g) In[0]:= f7@x_d := x J + CotA x EN; f7'@xd

28 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 8 Out[0]= x I + CotA x EM x CscA x In[0]:= f7'@pid Out[0]= π E ä pozn.: funkce Csc[x] je kosekans a je roven Csc[x] = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Sin@xD.4. Diferenciál funkce.4.. Výpočet pozn.: Diferenciál funkce není v Mathematica CalcCenter podporován. è V prostředí Mathematica lze diferenciál funkce určit pomocí vestavěné funkce Dt. Syntaxe je následující: é Dt [fce] najde diferenciál funkce fce. è Uvěďme si několik příkladů: é příklad. In[03]:= Dt@3 x + 4D Out[03]= 3 Dt@xD é příklad. In[04]:= Dt@ x^ 3 x + 4D Out[04]= 3 Dt@xD + 4 x Dt@xD é příklad 3. In[05]:= Simplify@Dt@ x^ 3 x + 4DD Out[05]= H xl Dt@xD é příklad 4.

29 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 9 In[06]:= Dt@a x, Constants ad Out[06]= a Dt@x, Constants 8a<D è Pokud bychom v příkladu 4. nedefinovali konstantu a pomocí parametru Constants, Mathematica by s touto konstantou pracovala jako s proměnnou závislou na x, tj. a = a(x). é příklad 5. In[07]:= Dt@ a x^ + b x + c, Constants 8a, b, c<d Out[07]= b Dt@x, Constants 8a, b, c<d + a x Dt@x, Constants 8a, b, c<d é příklad 6. In[08]:= Simplify@Dt@ a x^ + b x + c, Constants 8a, b, c<dd Out[08]= Hb + a xl Dt@x, Constants 8a, b, c<d In[]:= Out@08D ê. Dt@x, Constants 8a, b, c<d dx Out[]= dxhb + a xl.5. Derivace vyšších řádů.5.. Výpočet è K zadávání derivace vyšších řádů se využívá stejných funkcí jako v případě derivace prvního řádu, uveďme si nyní tyto funkce v obecném tvaru: é funkce D D[fce, {x, n}] é Derivative Derivative[n][fce][x] é klasicky pomocí apostrofu f '''' [x] ä pozn.: kolik apostrofů, tolikátá derivace se bude počítat, pozor - neplatí zde tento zápis f HnL jako n-tá derivace! é opět si uvedeme několik příkladů:

30 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 30 In[]:= 3 x^ + 0, 8x, 3<D Out[]= 4 x In[3]:= f@x_d := x^4 3 x^ + 0; Derivative@3D@fD@xD Out[3]= 4 x In[4]:= f@x_d := x^4 3 x^ + 0; f'''@xd Out[4]= 4 x.5.. Příklady è Příklady k procvičení - derivujte následující funkce (podle proměnné x), požadovaný řád je uveden v závorkách: a) n(x) = xh x - L Hx + 3L 3 (najděte 6. a 7. derivaci) +x è!!!!!!!! -x b) n(x) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ (najděte 3. derivaci) c) n3(x) = sin xln x (najděte. derivaci) cosh3 xl è!!!!!!!!!!!! -3 x d) n4(x) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 (najděte 3. derivaci).5.3. Výsledky è Řešení: a) In[5]:= D@xH x L Hx + 3L 3, 8x, 6<D Out[5]= 880 In[6]:= n@x_d := x H x L Hx + 3L 3 ; Derivative@7D@nD@xD

31 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 3 Out[6]= 0 b) In[7]:= n@x_d := H + xl ê Sqrt@ xd; Derivative@3D@nD@xD Out[7]= 9 5H + xl 5ê + 4H xl 8 H xl 7ê c) In[8]:= D@Sin@xD ^ Log@xD, 8x, <D Out[8]= 4 Cos@xD Sin@xD Sin@xD x x + Log@xD H Cos@xD Sin@xD L d) In[9]:= n4@x_d := Cos@3 xdë è!!!!!!!!!!!!! 3 3 x ; n4'''@xd Out[9]= 8 Cos@3 xd 7 Cos@3 xd 36 Sin@3 xd 7 Sin@3 xd H 3 xl 0ê3 H 3 xl 4ê3 H 3 xl 7ê3 + H 3 xl ê3. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných.. Reálná funkce více reálných proměnných...

32 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 3 è Pro zopakování uveďme, že reálnou funkci jedné reálné proměnné definujeme jako: f [prom_]:= výraz. è Podobně budeme postupovat i u reálné funkce více proměnných, zápis bude vypadat takto: funkce [prom _, prom _,..., prom n _] := výraz é příklad: In[0]:= f@x_, y_d := Hx yl^ é příklad: In[]:= f@3, D Out[]= 5 é příklad: In[]:= f@x_, y_, z_, w_, q_d := x^y + zêw q In[3]:= f@, 3, 4,, 7D Out[3]= 3 è Hodnoty pro více proměnných můžeme zadávat každou zvášť do vstupní buňky In[4]:= x = Out[4]= In[5]:= x = Out[5]= In[6]:= x3 = 3 Out[6]= 3 nebo jen do jedné vstupní buňky. K oddělení příkazů využijeme symbolu ; (středník). In[7]:= x = ; x = ; x3 = 3

33 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 33 Out[7]= 3 è Použijeme-li středník za posledním výrazem, zabráníme tím, aby se nám zobrazilo výstupní pole. In[8]:= x = 3; x = 8; x3 = 5; è Chceme-li přiřadit proměnným hodnoty pouze v jednom výrazu, použijeme podobného zápisu jako v případě jedné proměnné. Definici však musíme uzavřít do složených závorek: In[9]:= Hx + yl Hx yl^ ê. 8x 3, y a< Out[9]= H4 al H + al.. Parciální derivace prvního a vyšších řádů... Výpočet è K výpočtu parciálních derivací používáme stejných funkcí jako v případě derivace reálné funkce jedné proměnné. Podívejme se nyní na obecný zápis těchto funkcí: é x fce nebo D[fce, x] najde parciální derivaci funkce fce podle proměnné x é D[fce, {x, n}] nebo Derivative[n][fce][x] najde parciální derivaci n-tého řádu funkce fce podle proměnné x. è Nyní si uveďmě několik příkladů použití těchto funkcí: é příklad. In[30]:= z Hx^3 z^4 y^3l Out[30]= 48 y 3 z 3 é příklad. In[3]:= D@x^3 z^4 y^3, yd Out[3]= 36 y z 4 é příklad 3.

34 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 34 In[3]:= := x^3 z^4 y^3; Out[3]= 88 y 3 z è Nyní si uveďmě několik příkladů použití těchto funkcí (pokračování): é příklad 4. In[33]:= x,x Hx^ y^l Out[33]= y é příklad 5. In[34]:= D@x^ y^, x, y, xd Out[34]= 4 y é příklad 6. In[35]:= D@x^ y^, 8x, <, 8y, <D Out[35]= 4 é příklad 7. - pro výpočet funkce (x y ) v bodě x = musíme použít následujícího zápisu: In[36]:= D@x^ y^, xd ê. x Out[36]= 4 y... Příklady è Příklady k procvičení - najděte / vypočtěte následující parciální derivace: a) f(x, y) = 3x y + sinhxy L (. parciální derivaci (p.d.) podle x a.p.d. podle y) b) f(x, y) = è!!! 3 x + y (. p.d. podle x a.p.d. podle y, v bodě c = [, 5]) c) f(x, y) = -Hx +y L (.p.d. podle x)

35 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 35 d) f(x, y) = lnh ÅÅÅÅ x y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L x -y (.p.d. podle x,y) e) f(x, y) = x-y+x +xy+y +x 3-3x y-y 3 +x 4-4x y (všechny.,. a 3. parciální derivace)..3. Výsledky è Řešení: a) In[37]:= x H3 x^ y + Sin@x y^dl Out[37]= 6 x y + y Cos@x y D In[38]:= y H3 x^ y + Sin@x y^dl Out[38]= 3 x + x y Cos@x y D b) In[39]:= Out[39]= y 3 In[40]:= Out[40]= 0 x ê3 DA è!!! 3 x y^, xe ê. x DA è!!! 3 x y^, ye ê. y 5 c) In[4]:= D@ Hx^+y^L, 8x, <D Out[4]= I x y + 4 x y x M d)

36 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 36 In[4]:= LogA x E y DA, x, ye x y Out[4]= e) x yhx y L + y x Hx y L 8 x y LogA x y E Hx y L 3 In[43]:= D@x y + x^ + x y + y^ + x^3 3 x^ y y^3 + x^4 4 x^ y^, xd Out[43]= + x + 3 x + 4 x 3 + y 6 x y 8 x y In[44]:= D@x y + x^ + x y + y^ + x^3 3 x^ y y^3 + x^4 4 x^ y^, yd Out[44]= + x 3 x + y 8 x y 3 y In[45]:= D@x y + x^ + x y + y^ + x^3 3 x^ y y^3 + x^4 4 x^ y^, 8x, <D Out[45]= + 6 x + x 6 y 8 y In[46]:= D@x y + x^ + x y + y^ + x^3 3 x^ y y^3 + x^4 4 x^ y^, x, yd Out[46]= 6 x 6 x y In[47]:= D@x y + x^ + x y + y^ + x^3 3 x^ y y^3 + x^4 4 x^ y^, 8y, <D Out[47]= 8 x 6 y In[48]:= D@x y + x^ + x y + y^ + x^3 3 x^ y y^3 + x^4 4 x^ y^, 8x, 3<D Out[48]= x In[49]:= D@x y + x^ + x y + y^ + x^3 3 x^ y y^3 + x^4 4 x^ y^, 8x, <, yd Out[49]= 6 6 y In[50]:= D@x y + x^ + x y + y^ + x^3 3 x^ y y^3 + x^4 4 x^ y^, x, 8y, <D Out[50]= 6 x In[5]:= D@x y + x^ + x y + y^ + x^3 3 x^ y y^3 + x^4 4 x^ y^, 8y, 3<D

37 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 37 Out[5]= 6.3. Totální diferenciál prvního a vyšších řádů.3.. Výpočet pozn.: Totální diferenciál není v Mathematica CalcCenter podporován. è K určení totálního diferenciálu pomocí programu Mathematica slouží funkce Dt. è Syntaxe této funkce vypadá následovně: é Dt [fce] najde totální diferenciál funkce fce. é Dt [fce, x] zobrazí úplnou derivaci funkce fce podle proměnné x. é Dt [fce, {x, n}] zobrazí n-tou úplnou derivaci podle x ( d n fce / d x n ). é příklad. In[5]:= Dt@x yd Out[5]= y Dt@xD + x Dt@yD é příklad. In[53]:= Dt@x y, xd Out[53]= y + x Dt@y, xd è Z příkladu. je vidět, že proměnná y je fukcí proměnné x, tzn. y = y(x). é příklad 3. In[54]:= Dt@a x y, x, Constants ad Out[54]= a y + a x Dt@y, x, Constants 8a<D è Pomocí parametru Constans můžeme definovat různé konstanty vyskytující se ve výrazu. Názornou ukázku tvoří příklad 3., ve kterém a je konstantou, y = y(x) a x je nezávislá proměnná.

38 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 38 é příklad 4. In[55]:= x + b y, x, Constants 8a, b<d Out[55]= a + b Dt@y, x, Constants 8a, b<d é příklad 5. In[56]:= Dt@x^3, 8x, <D Out[56]= 6 x é příklad 6. In[57]:= Dt@x^3 y, 8x, <D Out[57]= 6 x y + 6 x Dt@y, xd + x 3 Dt@y, 8x, <D è K zamyšlení: jaký je rozdíl mezi x a y v příkladech 7, 8 a 9? Řešení jistě najde každý sám. é příklad 7. In[58]:= Dt@x^3 y, x, yd Out[58]= 3 x + 6 x y Dt@x, yd + 3 x Dt@x, yd Dt@y, xd é příklad 8. In[59]:= Dt@x ^ 3 y, x, y, Constants xd Out[59]= 3 x é příklad 9. In[60]:= Dt@x ^ 3 y, x, y, Constants yd Out[60]= 3 x + 6 x y Dt@x, y, Constants 8y<D

39 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb Integrální počet funkce jedné proměnné 3.. Neurčitý integrál 3... Výpočet è Pro výpočet neurčitého integrálu v prostředí Mathematica můžeme využít funkce Integrate nebo symbolického zápisu (tak, jak to známe z matematiky) nacházejícího se v nástrojové paletě: é funkce Integrate - syntaxe této funkce vypadá následovně: Integrate[fce, prom] - fce je integravaná funkce a prom je proměnná podle níž integrujeme é symbolický zápis integrace: Ÿ fce x è Uveďmě si nekolik příkladů na tyto dva zápisy integrálů: é příklad. In[6]:= Out[6]= x 3 3 In[6]:= x x é příklad. Hx^3 x yl x Out[6]= x 4 4 x y é příklad 3. In[63]:= Integrate@x ^, xd Out[63]= x 3 3 é příklad 4.

40 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 40 In[64]:= x y, xd Out[64]= x 4 4 x y é příklad 5. In[65]:= Integrate@x^3 x y + y^x, xd Out[65]= x 4 4 y x y + x Log@yD 3... Příklady è Příklady k procvičení - vypočtěte následující integrály: a) Ÿ Ix + è!!! xm x b) Ÿ x ÅÅÅÅÅÅÅÅ x è!!! x c) Ÿ x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +x x d) Ÿ x arccotghxl x e) Ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sin H3 xl x f) Ÿ cos3 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sin x x g) Ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ arccos è!!!!!!!!!! x ÅÅÅÅÅÅÅÅ - x x -x h) Ÿ i) Ÿ j) Ÿ x -3 x-3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Hx-L Hx - x+5l x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x è!!!!!!!!!!!!!!!! x + 4 x!!!!!!! - 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x x + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H x + x L è!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x x + x k) $%%%%%%%%%%%%%%%% I + x ÅÅÅÅ %%%% M 3 4 x l) Ÿ sin 5 x x m) Ÿ tg 3 x x

41 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 4 n) sin3 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 x è!!!!!!!!!!! cos 4 x o) Ÿ p) Ÿ q) Ÿ r) è!!!!!!!!!!!!!!! ex arctg e x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x +e x 9 x-4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 x -4 x+6 x x 3-6 x +0 x- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx-3L Hx -4 x+5l x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! sin 3 x cos 5 x 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x s) Ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +tg x x Výsledky è Řešení: a) In[66]:= Out[66]= x 3ê 3 b) In[67]:= Out[67]= x 5ê 5 c) In[68]:= IntegrateAx + è!!! x, xe + x IntegrateAx^ë è!!! x, xe x + x x Out[68]= x ArcTan@xD d) In[69]:= Integrate@x ArcCot@xD, xd

42 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 4 Out[69]= x + x ArcCot@xD ArcTan@xD e) In[70]:= i y j k Sin@3 xd z x { Out[70]= f) Cot@3 xd 3 In[7]:= Integrate@Cos@xD 3 ê Sin@xD, xd Out[7]= Cos@ xd + Log@Sin@xDD 4 g) In[7]:= ArcCos@xD x è!!!!!!!!!!!! x x Out[7]= è!!!!!!!!!!! x ArcCos@xD h) In[73]:= Integrate@H x^ 3 x 3LêHHx L Hx^ x + 5LL, xd Out[73]= ArcTanA i) H + xle Log@ + xd + 3 Log@5 x + x D In[74]:= Integrate@êHx Sqrt@x^ + 4 x 4DL, xd Out[74]= ArcTanA + x è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! x + x E j) In[75]:= Integrate@Hx + LêHH x + x^l Sqrt@ x + x^dl, xd Out[75]= è!!!!!!!!!!!!!!!!! x H + xl k)

43 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 43 In[76]:= IntegrateA $%%%%%%%%%%%%%%%% 4 I + x %%%%%%, xe M 3 Out[76]= 8 I +è!!! xmii + è!!! xm 3 M ê4 I è!!! xm 77 l) In[77]:= Out[77]= m) In[78]:= Out[78]= n) Sin@xD 5 x 5 Cos@xD 8 Tan@xD 3 x Log@Cos@xDD + Sec@xD Cos@3 xd Cos@5 xd 80 In[79]:= IntegrateASin@xD^3ë è!!!!!!!!!!!!!!!! 3 Cos@xD^4!!!!!!!, xe Out[79]= 3 Cos@xD H5 + Cos@xD L 5 HCos@xD 4 L ê3 o) In[80]:= è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! x ArcTan@ x D x + x Out[80]= 3 ArcTan@ x D 3ê p) In[8]:= 9 x 4 9 x 4 x + 6 x Out[8]= + Log@4 3 xd 3 H4 3 xl q)

44 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 44 In[8]:= x 3 6 x + 0 x Hx 3L Hx 4 x + 5L x Out[8]= H 3 + xl 3 r) ArcTan@ xd + Log@ + H 3 + xl +H 3 + xl D In[83]:= è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! x 4 Sin@xD 3 Cos@xD 5 Out[83]= 4 Cos@xD Sin@xD HCos@xD 5 Sin@xD 3 L ê4 s) In[84]:= + Tan@xD x Out[84]= Hx + Log@Cos@xD + Sin@xDDL 3.. Určitý integrál 3... Výpočet è K výpočtu určitého integrálu užijeme podobných postupů jako v případě neurčitého integrálu, které jen zobecníme. è Pro výpočet určitého integrálu opět využijeme funkce Integrate nebo symbolického zápisu (tak, jak to známe z matematiky) nacházejícího se v nástrojové paletě: é funkce Integrate - syntaxe této funkce vypadá následovně: Integrate[fce, {x, xmin, xmax}] - fce je integravaná funkce, x je proměnná podle níž integrujeme a xmin, xmax jsou meze integrace é symbolický zápis integrace: xmax Ÿ xmin fce x è Uveďmě si nekolik příkladů na tyto dva zápisy integrálů: é příklad.

45 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 45 In[85]:= 3 x x Out[85]= 6 3 é příklad. In[86]:= 3 Hx^3 x yl x Out[86]= 0 8 y è Uveďmě si několik příkladů na tyto dva zápisy integrálů (pokračování): é příklad 3. In[87]:= Integrate@x ^, 8x,, 3<D Out[87]= 6 3 é příklad 4. In[88]:= Integrate@x ^ 3 x y, 8x,, 3<D Out[88]= 0 8 y é příklad 5. In[89]:= Integrate@Cos@x ê D ^, 8x, 0, Pi<D Out[89]= π 3... Příklady è Příklady k procvičení - vypočtěte následující určité integrály: a) Ÿ a b x x b) Ÿ - - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å H+5 xl 3 x

46 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 46 ÅÅÅÅ c) p Ÿ 0 x cos x x d) Ÿ 0 è!!!!!!!!!!!!!!!! x - x x ÅÅÅÅ e) p Ÿ 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6-5 cos x + cos x x sin x 3 f) Ÿ - x 3-x x g) Ÿ 3 x ln x x è!!!! h) x Ÿ 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x x Výsledky è Řešení: a) In[90]:= Integrate@x ^, 8x, a, b<d Out[90]= b) a3 3 + b3 3 In[9]:= H + 5 xl x 3 Out[9]= 7 7 c) In[9]:= Integrate@Exp@ xd Cos@xD, 8x, 0, Pi ê <D Out[9]= 5 H + π L d) In[93]:= Integrate@Sqrt@ x x ^ D, 8x, 0, <D

47 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 47 Out[93]= π 4 e) In[94]:= Integrate@Sin@xDêH6 5 Cos@xD + Cos@xD^L, 8x, 0, Piê<D Out[94]= f) LogA 4 3 E In[95]:= Integrate@x Exp@3 x ^ D, 8x,, 3<D Out[95]= g) In[96]:= Integrate@3 x Log@xD, 8x, Exp@D, Exp@D<D Out[96]= 3 4 H + 3 L h) In[97]:= 0 è!!!! x è!!! x x Out[97]= H + L 4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic 4.. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů 4... Výpočet

48 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 48 pozn.:funkce DSolve není v Mathematica CalcCenter podporována. I přesto je možné diferenciální rovnice v Mathematica CalcCenter rešit užitím funkce SolveODE. è Pro řešení diferenciálních rovnic n-tého řádu a soustavy diferenciálních rovnic se používá integrované funkce DSolve. è Ukažme si nyní jednotlivé zápisy funkce DSolve: é DSolve[rce, y, x] řeší diferenciální rovnici rce pro závislou proměnnou y s nezávisle proměnnou x é DSolve[{rce, y[x0]= =x0,...}, y, x] řeší diferenciální rovnici rce s počátečními podmínkami y[x0]==x0,... é DSolve[{rce, rce,...}, {y, y,...}, x] řeší soustavu diferenciálních rovnic è Syntaxe funkce SolveODE pro Mathematica CalcCenter. é SolveODE[rce, y, {x, xmin, xmax}] nalezne numerické řešení obyčejné diferenciální rovnice rce pro závislou proměnnou y s nezávisle proměnnou x v mezích od xmin po xmax. é SolveODE[rce, y, {x, xmin, xmax}, {t, tmin, tmax}] nalezne numerické řešení parciální diferenciální rovnice rce pro závislou proměnnou y s nezávisle proměnnou x v mezích od xmin po xmax a parametr t v mezích od tmin po tmax. é SolveODE[rce, {y, y,...}, {x, xmin, xmax}] nalezne numerická řešení pro funkce y, y,... è Ukažme si několik příkladů použití funkce DSolve: é příklad. In[98]:= DSolve@y'@xD y@xd 0, y@xd, xd Out[98]= 88y@xD x C@D<< é příklad. In[99]:= DSolve@8y'@xD y@xd 0, y@0d <, y@xd, xd Out[99]= 88y@xD x << é příklad 3. In[00]:= DSolve@8y''@xD + Tan@xD y'@xd Sin@ xd, y@0d, y'@0d <, y@xd, xd Out[00]= 99y@xD H x + 6 Sin@xD Sin@ xdl== é příklad 4. In[0]:= DSolve@y''@xD + y'@xd Sin@xD, y@xd, xd

49 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 49 Out[0]= + H x C@D Cos@xD Sin@xDL== é příklad 5. In[0]:= DSolve@8y'@xD z@xd x 0, z'@xd + y@xd x 0<, 8y@xD, z@xd<, xd Out[0]= 88y@xD C@D Cos@xD + C@D Sin@xD + Cos@xD HCos@xD + x Cos@xD Sin@xD + x Sin@xDL + Sin@xD H Cos@xD x Cos@xD + Sin@xD + x Sin@xDL, z@xd C@D Cos@xD C@D Sin@xD Sin@xD HCos@xD + x Cos@xD Sin@xD + x Sin@xDL + Cos@xD H Cos@xD x Cos@xD + Sin@xD + x Sin@xDL<< è Někdy nám Mathematica zobrazí výsledek v né příliš pěkné podobě. V tomto případě pro zjednodušení výsledku můžeme použít speciální funkce Simplify. Její předpis je následující: Simplify [výraz]. è Ukažme si použití funkce Simplify na předchozím příkladu č.5, zápis bude vypadat následovně: é příklad 6. In[03]:= Simplify@DSolve@8y'@xD z@xd x 0, z'@xd + y@xd x 0<, 8y@xD, z@xd<, xdd Out[03]= 88y@xD + x + C@D Cos@xD + C@D Sin@xD, z@xd x + C@D Cos@xD C@D Sin@xD<< 4... Příklady è Příklady k procvičení: a) y'' = -y, y = y(x) b) y' = ÅÅÅÅ y x (+ln ÅÅÅÅ y x ), y = y(x) c) (x+y) y' =, y = y(x), y(0) = - y+ x+y- M, d) y' = I ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ e) y' + y tg(x) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ coshxl, y = y(x) y = y(x) f) y'' - y' + y = 4e x sin(x), y = y(x) g) y' = z + x z' = -y + x, y = y(x), z = z(x) h) y' = z

50 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 50 z' = -y, y = y(x), z = z(x) i) z' + z - 8y = 0 y' - z - y = 0, y = y(x), z = z(x) j) w' = w - y - z y' = w - y - z z' = z - w + y, y = y(x), z = z(x), w = w(x) Výsledky è Řešení: a) In[04]:= DSolve@y''@xD + y@xd 0, y@xd, xd Out[04]= 88y@xD C@D Cos@xD + C@D Sin@xD<< b) In[05]:= Out[05]= DSolveAy'@xD == y@xd i x k j + LogA y@xd E y z, y@xd, xe x { 99y@xD C@D x x== c) In[06]:= DSolve@8Hx + y@xdl y'@xd, y@0d <, y@xd, xd Out[06]= d) InverseFunction::ifun : Inverse functions are being used. Values may be lost for multivalued inverses. More Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. More 99y@xD H xl== In[07]:= Simplify@DSolve@y'@xD HHy@xD + LêHx + y@xd LL^, y@xd, xdd Solve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non algebraic way. More

51 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 5 Out[07]= e) SolveA4 ArcTanA 3 + x E + C@D Log@ + y@xdd, y@xde + y@xd In[08]:= DSolve@y'@xD + y@xd Tan@xD êcos@xd, y@xd, xd Out[08]= 88y@xD C@D Cos@xD + Sin@xD<< f) In[09]:= Simplify@DSolve@y''@xD y'@xd + y@xd == 4 x Sin@xD, y@xd, xdd Out[09]= 88y@xD x HH x + C@DL Cos@xD + C@D Sin@xDL<< g) In[0]:= Simplify@DSolve@8y'@xD z@xd + x, z'@xd y@xd + x<, 8y@xD, z@xd<, xdd Out[0]= 88y@xD + x + C@D Cos@xD + C@D Sin@xD, z@xd x + C@D Cos@xD C@D Sin@xD<< h) In[]:= DSolve@8y'@xD z@xd, z'@xd y@xd<, 8y@xD, z@xd<, xd Out[]= 88y@xD C@D Cos@xD + C@D Sin@xD, z@xd C@D Cos@xD C@D Sin@xD<< i) In[]:= Expand@DSolve@8z'@xD + z@xd 8 y@xd 0, y'@xd z@xd y@xd 0<, 8y@xD, z@xd<, xdd Out[]= j) 99z@xD 3 3 x H + 6 x L C@D x H + 6 x L C@D, y@xd 6 3 x H + 6 x L C@D x H + 6 x L C@D== In[3]:= Simplify@DSolve@8w'@xD w@xd y@xd z@xd, y'@xd w@xd y@xd z@xd, z'@xd z@xd w@xd + y@xd<, 8y@xD, z@xd, w@xd<, xdd Out[3]= 88w@xD x HH + xl C@D xhc@d + C@3DLL, y@xd x HC@D + xhc@d C@D C@3DLL, z@xd x HC@3D + x H C@D + C@D + C@3DLL<<

52 Mathematica&Mathematica_CalcCenter.nb 5 5. Použitá literatura è Základy práce v prostředí Mathematica, Ing. Bronislav Chramcov (Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Zlín, 005) è (Homepage of Wolfram Research, Inc.) è (Stephen Wolfram's The Mathematica Book, in pdf (cca 4 MB)) è (Html dokumentace k Mathematica CalcCenter) è Sbírka řešených příkladů z matematiky, Doc. RNDr. František Jirásek CSc., Doc. Ing. Eduard Kriegelstein, Ing. Zdeněk Tichý (SNTL / ALFA, Praha, 98) è Příklady z matematiky pro fyziky III., Jiří Kopáček a kol. (MATFYZPRESS MFF UK, Praha 996)