POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 4.0-

Transkript

1 Math-7.nb POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA.- Vojtěch Bartík Část 7 Grafické objekty a jejich zobrazování: Graphics, ContourGraphics, DensityGraphics, GraphicsD, SurfaceGraphics, GraphicsArray, Show Parametry bodů a čar:pontsize, AbsolutePointSize, Thickness, Dashing, AbsoluteDashing Specifikace barev: GrayLevel, RGBColor, Hue Rovinné grafické prvky:point, Line, Rectangle, Polygon, Circle, Disk, Text Prostorové grafické prvky: Point, Line, Polygon, Cuboid, Text Zvláštnosti specifikace barev v D-grafice Grafy funkcí jedné proměnné a rovinné křivky: Plot, ParametricPlot Zobrazování funkcí dvou proměnných prostředky rovinné grafiky: ContourPlot, DensityPlot Grafy funkcí dvou proměnných, prostorové křivky a plochy: PlotD, ParametricPlotD Zobrazování dat: ListPlot, ListPlotD Elementy rovinné a prostorové grafiky à Grafické objekty a jejich zobrazování: Graphics, ContourGraphics, DensityGraphics, GraphicsD, SurfaceGraphics, GraphicsArray, Show, FullGraphics, FullOptions, AbsoluteOptions Graphics Graphics[list]... obecný rovinný grafický objekt, list je seznam grafických prvků. Je generován např. příkazy Plot, ListPlot, ParametricPlot. Options@GraphicsD 9AspectRatio, Axes False, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, DefaultColor Automatic, Epilog 8<, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, PlotLabel None, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, Prolog 8<, RotateLabel True, Ticks Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, FormatType $FormatType, TextStyle $TextStyle= AspectRatio... poměr výšky obrázku k jeho šířce.

2 Math-7.nb Axes... určuje, zda se nakreslí osy souřadnic. AxesLabel... určuje označení os. AxesOrigin... určuje průsečík os. AxesStyle... určuje grafické prvky pro osy souřadnic. DisplayFunction... určuje, zda se grafický objekt zobrazí resp. kam se uloží. Při nastavení DisplayFunction->Identity se grafický objekt pouze vytvoří, ale na displeji se nezobrazí. Background... určuje barvu pozadí. ColorOutput... určuje typ barevného výstupu. DefaultColor... implicitní nastavení barvy grafu. DefaultFont... typ písma, které bude použito v obrázku. Epilog... seznam grafických prvků, které mají být nakresleny před hlavní částí obrázku. FormatType... an option for output streams, graphics and functions such as Text which specifies the default format type to use when outputting expressions. Frame... určuje, zda obrázek bude nebo nebude v rámečku. FrameLabel... určuje označení stran rámečku. FrameStyle... určuje grafické prvky pro rámeček. FrameTicks... určuje, které body rámečku budou vyznačeny a jak. GridLines... určuje, zda se nakreslí souřadnicová síť. ImageSize... specifikuje absolutní velikost obrázku. PlotLabel... určuje označení obrázku. RotateLabel... určuje orientaci označení vertikálních stran rámečku. PlotRange... určuje obor funkčních hodnot, který má být na obrázku zachycen PlotRegion... gives the final display region to be filled. Prolog... seznam grafických prvků, které mají být nakresleny po hlavní částí obrázku. Ticks... určuje, které body na osách souřadnic budou vyznačeny. TextStyle... an option for graphics functions and for Text which specifies the default style and font options with which text should be rendered.

3 Math-7.nb ContourGraphics ContourGraphics[list]... grafický objekt generovaný přikazy ContourPlot, ListContourPlot Skryté argumenty příkazu ContourGraphics, jejich implicitní hodnoty a význam jsou stejné jako u příkazu Graphics až na tyto rozdíly: Complement@Options@ContourGraphicsD, Options@GraphicsDD 8AspectRatio, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ContourLines True, Contours, ContourShading True, ContourSmoothing True, ContourStyle Automatic, Frame True, MeshRange Automatic< Complement@Options@GraphicsD, Options@ContourGraphicsDD 9AspectRatio, Frame False, GridLines None= GoldenRatio ColourFunction... funkce specifikující barvu oblastí mezi vrstevnicemi. ColorFunctionScaling... specifies whether the values provided to a color function should be scaled to lie between and. ContourLines... určuje, zda se nakreslí vrstevnice. Contours... počet vrstevnic. ContourShading... určuje, zda oblasti mezi vrstevnicemi budou vybarveny. ContourSmoothing... určuje způsob "uhlazení" vrstevnic. ContourStyle... určuje grafické prvky vrstevnic. DensityGraphics DensityGraphics[list]... grafický objekt generovaný příkazy DensityPlot, ListDensityPlot. Skryté argumenty příkazu DensityGraphics, jejich implicitní hodnoty a význam jsou stejné jako u příkazu Graphics až na tyto rozdíly: Complement@Options@DensityGraphicsD, Options@GraphicsDD 8AspectRatio, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, Frame True, Mesh True, MeshRange Automatic, MeshStyle Automatic< Complement@Options@GraphicsD, Options@DensityGraphicsDD 9AspectRatio, Frame False, GridLines None= GoldenRatio

4 Math-7.nb ColorFunction... funkce specifikující barvu jednotlivých částí obrázku. ColorFunctionScaling... specifies whether the values provided to a color function should be scaled to lie between and. GraphicsD GraphicsD[list]... obecný třírozměrný grafický objekt. Generuje jej např. ParametricPlotD. Options@GraphicsDD 8AmbientLight GrayLevel@D, AspectRatio Automatic, Axes False, AxesEdge Automatic, AxesLabel None, AxesStyle Automatic, Background Automatic, Boxed True, BoxRatios Automatic, BoxStyle Automatic, ColorOutput Automatic, DefaultColor Automatic, Epilog 8<, FaceGrids None, ImageSize Automatic, Lighting True, LightSources 888.,.,.<, RGBColor@,, D<, 88.,.,.<, RGBColor@,, D<, 88.,.,.<, RGBColor@,, D<<, PlotMatrix Automatic, PlotLabel None, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PolygonIntersections True, Prolog 8<, RenderAll True, Shading True, SphericalRegion False, Ticks Automatic, ViewCenter Automatic, ViewPoint 8.,.,.<, ViewVertical 8.,.,.<, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, FormatType $FormatType, TextStyle $TextStyle< Complement@Options@GraphicsDD, Options@GraphicsDD 8AmbientLight GrayLevel@D, AspectRatio Automatic, AxesEdge Automatic, Boxed True, BoxRatios Automatic, BoxStyle Automatic, FaceGrids None, Lighting True, LightSources 888.,.,.<, RGBColor@,, D<, 88.,.,.<, RGBColor@,, D<, 88.,.,.<, RGBColor@,, D<<, PlotMatrix Automatic, PolygonIntersections True, RenderAll True, Shading True, SphericalRegion False, ViewCenter Automatic, ViewPoint 8.,.,.<, ViewVertical 8.,.,.<< Complement@Options@GraphicsD, Options@GraphicsDDD 9AspectRatio, AxesOrigin Automatic, GoldenRatio Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, RotateLabel True=

5 Math-7.nb 5 AmbientLight... an option for GraphicsD and related functions that gives the level of simulated ambient illumination in a threedimensional picture. AxesEdge... určuje, na kterých hranách boxu vymezujícího zobrazovaný prostorový objekt budou umístěny osy souřadnic. Možné alternativy k Automatic viz v Helpu. Boxed... určuje, zda budou na obrázku vyznačeny hrany boxu vymezujícího zobrazovaný prostorový objekt. BoxRatios... určuje poměr velikostí hran boxu vymezujícího zobrazovaný prostorový objekt. BoxStyle... určuje, jak bude zobrazen box vymezující zobrazovaný prostorový objekt. Alternativou k Automatic je seznam grafických specifikací jako jsou Dashing, Thickness, GrayLevel and RGBColor. FaceGrids... specifikuje, zda a jak bude na stěnách boxu vymezujícího zobrazovaný objekt vyznačena síť souřadnic. Lighting... určuje, zda bude použito simulované osvětlení LightSources... specifikuje vlastnosti bodových světelných zdrojů pro simulované osvětlení. PlotMatrix...??? PolygonIntersections... určuje, zda protínající se mnohoúhelníky mají být nahrazeny menšími, které se už neprotínají. Při nastavení True se mnohoúhelníky nemění. RenderAll... určuje, zda Postscript má být generován pro všechny mnohoúhelníky. Shading... určuje, zda plochy mají být vybarveny. SphericalRegion... určuje, zda obrázek má být zvětšen/zmenšen tak, aby se sféra opsaná kolem vymezujícího boxu přesně vešla do obdélníku vyhrazeného pro obrázek (display area), jehož rozměry jsou určeny skrytým argumentem ImageSize. ViewCenter... relativní souřadnice bodu vymezujícího boxu, který má být umístěn ve středu obdélníku (display area) vyhrazeného pro obrázek. ViewPoint... souřadnice pozorovatele. Jednotkou délky je nejdelší hrana vymezujícího boxu. Počátek je ve středu tohoto boxu. ViewVertical... specifikuje v relativních souřadnicích, který směr má být vertikální SurfaceGraphics SurfaceGraphics[list]... grafický objekt reprezentující plochu v třírozměrném prostoru. Generují jej PlotD a ListPlotD.

6 6 Math-7.nb 8BoxRatios 8,,.<, ClipFill Automatic, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, HiddenSurface True, Mesh True, MeshRange Automatic, MeshStyle Automatic< 8BoxRatios Automatic, PolygonIntersections True, RenderAll True< ClipFill... specifies how clipped parts of the surface are to be drawn. ColorFunctionScaling... specifies whether the values provided to a color function should be scaled to lie between and. HiddenSurface... určuje, zda mají být zobrazeny zakryté části ploch. Mesh... určuje, zda má být nakreslena explicitní x - y síť. MeshRange... viz Help. MeshStyle... viz Help. GraphicsArray GraphicsArray[list]... pole grafických objektů. Skryté argumenty příkazu GraphicsArray, jejich implicitní hodnoty a význam jsou stejné jako u příkazu Graphics až na tyto rozdíly: Complement@Options@GraphicsArrayD, Options@GraphicsDD 8AspectRatio Automatic, FrameTicks None, GraphicsSpacing., Ticks None< Complement@Options@GraphicsD, Options@GraphicsArrayDD 9AspectRatio, FrameTicks Automatic, Ticks Automatic= GoldenRatio 9AspectRatio, FrameTicks Automatic, Ticks Automatic= GoldenRatio 9AspectRatio, FrameTicks Automatic, Ticks Automatic= GoldenRatio GraphicsSpacing... určuje vzdálenost mezi grafickými poli v rel. jednotkách odvozených z šířky a výšky těchto polí.

7 Math-7.nb 7 Zobrazování grafických objektů: Show Obecné pravidlo: každý grafický objekt překrývá všechny grafické objekty zobrazené před ním do téhož prostoru. Show[g]... zobrazí grafický objekt g. Show[g,g,...]... zobrazí grafické objekty g,g,.. Show[GraphicsArray[{{g,g,..},..}]]... zobrazí pole grafických objektů. Příkaz Show může též obsahovat skryté argumenty pro jednotlivé grafické objekty. Hodnoty těchto argumentů pak mají prioritu před hodnotami skrytých argumentů uvedených v zobrazovaných grafických objektech. Hodnoty skrytých argumentů: FullGraphics, FullOptions, AbsoluteOptions FullGraphics[g]... generuje nový grafický objekt, v němž podobjekty specifikované skrytými argumenty, např. Axes, Ticks,..., jsou nahrazeny explicitními seznamy základních grafických prvků. Hodnoty některých skrytých argumentů, které byly opravdu použity v grafickém objektu g, můžeme zjistit příkazy Options[g], Options[g,optionalArgumentName], FullOptions[g], FullOptions[g,optionalArgumentName]. AbsoluteOptions[g], AbsoluteOptions[g,optionalArgumentName]. à Parametry bodů a čar: PontSize, AbsolutePointSize, Thickness, Dashing, AbsoluteDashing PontSize[r]... relativní poloměr bodu, je to poměr poloměru k celkové šířce grafického objektu AbsolutePointSize[d]... poloměr bodu v absolutních jednotkách. Absolutní jednotka je přibližně rovna tiskařskému bodu, tj. asi.5 mm Thickness[r]... relativní tloušťka čáry AbsoluteThickness[d]... tloušťka čáry v absolutních jednotkách Dashing[{r,r,...}]... čára relativní délky r, potom mezera relativní délky r, atd. cyklicky AbsoluteDashing[{d,d,...}]... totéž, ale v absolutních jednotkách à Specifikace barev: GrayLevel, RGBColor, Hue GrayLevel[lev]... stupeň šedi lev mezi (černá) a (bílá) RGBColor[r,g,b]... barva se specifikací r,g,b červené, zelené a modré komponenty

8 8 Math-7.nb Hue[h], H[h,,]... specifies that graphical objects which follow are to be displayed, if possible, in a color corresponding to hue h Hue[h,s,b]... specifies colors in terms of hue, saturation and brightness à Rovinné grafické prvky: Point, Line, Rectangle, Polygon, Circle, Disk, Text Point[{x,y}]... bod o souřadnicích x,y Line[{{x,y},{x,y},...}]... lomená čára s vrcholy {x,y},{x,y},.. points = 8PointSize@.D, Point ê@ 88.8,.8<, 8.8,.8<, 8.8,.8<, 8.8,.8<<<; points = Graphics@pointsD; lines = 8AbsoluteThickness@D, Line@88, <, 8, <, 8, <, 8, <, 8, <<D<; lines = Graphics@linesD; Show@points, lines, Frame TrueD; Rectangle[{xmin,ymin},{xmax,ymax}]... plný obdélník s levým dolním vrcholem {xmin,ymin} a pravým horním vrcholem {xmax,ymax} Polygon[{{x,y},{x,y},...}]... plný mnohouhelník s vrcholy {x,y},{x,y},... rectangles = 8Apply@Rectangle, #D & ê@ 888.5,.<, 8.5,.<<, 88.5,.<, 8.5,.<<, 88.,.5<, 8.,.5<<, 88.,.5<, 8.,.5<<<, GrayLevel@.8D, Apply@Rectangle, #D & ê@ 888.5,.<, 8.75,.<<, 88.75,.<, 8.5,.<<, 88.,.5<, 8.,.75<<, 88.,.75<, 8.,.5<<<<; rectangles = Graphics@rectanglesD; Show@points, lines, rectangles, Frame TrueD;

9 Math-7.nb SeedRandom@ D; radius = Table@Random@Real, 8, 5<D, 8<D; angle = Table@Random@Real, 8, π<d, 8<D êê Sort; points = Thread@Times@radius, 8Cos@#D, Sin@#D< & ê@ angled, D; points = Append@points, First@pointsDD; star = Show@Graphics@88RGBColor@,.6,.D, Polygon@pointsD<, 8RGBColor@.,.,.D, Thickness@.5D, Line@pointsD<<DD; Circle[{x,y},r]... kružnice se středem {x,y} a poloměrem r Circle[{x,y},r,{angle,angle}]... oblouk kružnice vymezený polárními úhly angle,angle Disk[{x,y},r]... kruh se středem {x,y} a poloměrem r Disk[{x,y},r,{angle,angle}]... kruhová výseč circles = Circle@#,.D &ê@ 88, <, 8, <, 8, <<; circles = Graphics@circlesD;

10 Math-7.nb disks = 8Apply@Disk, #D &ê@888, <,.<, 88, <,.<, 88, <,.<, 88, <,.<, 88, <,.<<, 8GrayLevel@D, Apply@Disk, #D & ê@ 888, <,.<, 88, <,.<, 88, <,.<, 88, <,.<<<<; disks = Graphics@disksD; Show@points, lines, rectangles, circles, disks, Frame TrueD; Show@star, Graphics@88RGBColor@.,., D, points ê, D<, 8RGBColor@.,.,.D, points ê, ê D<<DD; Circle[{x,y},{r,r}]... elipsa se středem {x,y} a poloosami r,r Circle[{x,y},{r,r},{angle,angle}]... oblouk elipsy Disk[{x,y},{r,r}]... plná elipsa Disk[{x,y},{r,r},{angle,angle}]... eliptická výseč elipses = 8Thickness@.6D, Apply@Circle, #D & ê@ 888, <, 8.8,.5<<, 88, <, 8.8,.5<<, 88, <, 8.5,.8<<, 88, <, 8.5,.8<<<<; elipses = Graphics@elipsesD;

11 Math-7.nb lines, rectangles, circles, disks, elipses, Frame TrueD; Text[expr,{x,y}]... text daný výrazem expr a umístěný tak, aby měl střed v bodě {x,y} Text[expr,{x,y},{-,}]... text daný výrazem expr, se středem levé strany v bodě {x,y} Text[expr,{x,y},{,}]... text daný výrazem expr, se středem pravé strany v bodě {x,y} Text[expr,{x,y},{,-}]... text daný výrazem expr, se středem dolní strany v bodě {x,y} Text[expr,{x,y},{,}]... text daný výrazem expr, se středem horní strany v bodě {x,y} a umístěný tak, aby Relativní souřadnice dx,dy leží v intervalu <-,>.Střed obdélníku, který text vyplňuje, má relativní souřadnice dx=dy=, pro jeho levý dolní vrchol je dx=dy=- a pro jeho pravý horní vrchol je dx=dy=. Text[expr,{x,y},{dx,dy}]... bod textu s relativními souradnicemi dx,dy je v bodě {x,y} Text[expr,{x,y},{dx,dy},{,}]... bod textu otočeného v kladném směru o pravý úhel, jehož relativní souřadnice jsou dx,dy, je v bodě {x,y} Text[expr,{x,y},{dx,dy},{,-}]... bod textu otočeného v záporném směru o pravý úhel, jehož relativní souřadnice jsou dx,dy, je v bodě {x,y} Text[expr,{x,y},{dx,dy},{-,}]... bod textu otočeného o přímý úhel, jehož relativní souřadnice jsou dx,dy, je v bodě {x,y} txt = 8Text@FontForm@"Grafické", 8"Ariel Bold", <D, 8.7,.9<, 8, <D, Text@FontForm@"prvky", 8"Ariel Bold", <D, 8.7,.9<, 8, <D<; txt = Graphics@txtD;

12 Math-7.nb lines, rectangles, circles, disks, elipses, txt, Frame True, AspectRatio AutomaticD; Grafické prvky points, circles, disks, elipses, rectangles, lines< = HShow@#, Frame True, FrameTicks None, DisplayFunction IdentityD &L ê@ 8points, circles, disks, elipses, rectangles, lines<; Show@GraphicsArray@ 88points, circles, disks<, 8elipses, rectangles, lines<<d, DisplayFunction $DisplayFunctionD; Show@GraphicsArray@ 88points, circles, disks<, 8elipses, rectangles, lines<<d, DisplayFunction $DisplayFunction, GraphicsSpacing 8.,.<D;

13 Math-7.nb à Prostorové grafické prvky: Point, Line, Polygon, Cuboid, Text Point, Line Point[{x,y,z}]... nakreslí bod (x,y,z). Line[[{{x,y,z},{x,y,z},...}]... body (x,y,z),(x,y,z),... proloží lomenou čáru. pointsd = Distribute@List@8, <, 8, <, 8, <D, ListD; pointsd = 88PointSize@.D, Point ê@ H.5 pointsdl<, 8RGBColor@.,, D, PointSize@.D, Point ê@ H pointsdl<<; lines = Select@Distribute@List@pointsD, pointsdd, ListD, Count@#@@DD #@@DD, D &D êê Map@Sort, #D & êê Union; lines = Line ê@ H.5 linesl; Show@GraphicsD@8lines, pointsd<d, ViewPoint > 8.9,.75,.9<D;

14 Math-7.nb Polygon Polygon[{{x,y,z},{x,y,z},...}]... nakreslí plný mnohoúhelník s uvedenými vrcholy. triangle = Polygon@.5 88,, <, 8,, <, 8,, <<D; triangle = Polygon@.5 88,, <, 8,, <, 8,, <<D; Show@GraphicsD@8triangle, triangle, lines, pointsd<d, ViewPoint > 8.9,.75,.9<D; FaceForm[gfront,gback]... přední/zadní strana každého polygonu se vykreslí podle grafických specifikací v gfront/gback Mathematica určuje přední stranu polygonu takto: jestliže stojíme na přední straně polygonu a pohybujeme se podle jeho hranice proti směru hodinových ručiček, potom jeho vrcholy procházíme v tom pořadí, v jakém jsme je zadali. Na tělesech jsou předními stranami polygonů vždy vnější strany. Graphics`Polyhedra` dd = 8EdgeForm@RGBColor@,, D, Thickness@.DD, Dodecahedron@D<; dd = 8EdgeForm@D, Dodecahedron@D<; Show@GraphicsArray@8GraphicsD@ddD, GraphicsD@ddD<DD;

15 Math-7.nb 5 dd = GraphicsD@8FaceForm@GrayLevel@.5D, GrayLevel@.8DD, Drop@Dodecahedron@D, 86<D<, Lighting FalseD; dd = GraphicsD@8FaceForm@GrayLevel@.8D, GrayLevel@.5DD, Drop@Dodecahedron@D, 86<D<, Lighting FalseD; Show@GraphicsArray@8dd, dd<dd; Cuboid Cuboid[{xmin,ymin,zmin},{xmax,ymax,zmax}]... nakreslí kvádr s protilehlými vrcholy (xmin,ymin,zmin), (xmax,ymax,zmax). Cuboid[{x,y,z}]... krychle s protilehlými vrcholy (x,y,z),(x+,y+,z+) SeedRandom@ D; cubes = Table@Random@Real, 8.5,.5<D, 88<D; cubes = Partition@cubes, D; cubes = 8#, # +8,, < Random@Real, 8.,.<D< & ê@ cubes; cubes = Apply@Cuboid, #D & ê@ cubes; Show@GraphicsD@8cubes, pointsd<d, ViewPoint > 8.9,.75,.9<D;

16 6 Math-7.nb Text Text[expr,{x,y,z}]... text centrovaný v bodě (x,y,z) Text[expr,{x,y,z},{sdx,sdy}]... text posunutý z bodu (x,y,z) o vektor (sdx,sdy) zadaný v relativních souřadnicích s počátkem v (x,y,x) a hodnotami -, na hranicích obdélníku obsahujícího text txt = Text@"Černý bod",.5 8,, <, 8, <D; Show@GraphicsD@8triangle, cubes, triangle, lines, pointsd, txt<d, TextStyle 8FontWeight "Bold", FontFamily "Times"<, ViewPoint > 8.9,.75,.9<D; Černý bod

17 Math-7.nb 7 à Zvláštnosti specifikace barev v D-grafice V D-grafice Mathematica vždy respektuje specifikace barev pro body a lomené čáry. Pro plošné elementy lze specifikovat pouze odstíny šedi, a to pouze při nastavení Lighting ->False. Při nastavení Lighting->True Mathematica používá při generování barev fyzikálnější přístup založený na simulovaném osvětlení. Barvy lze v tomto případě ovlivnit pouze pomocí parametru SurfaceColor, který specifikuje reflexní vlastnosti plošných elementů nebo změnou nastavení skrytých argumentů AmbientLight, ColorFunction a LightSources, viz Help. Grafy funkcí, křivky a plochy à Grafy funkcí jedné proměnné a rovinné křivky: Plot, ParametricPlot Plot Plot[f,{x,xmin,xmax}]... nakreslí graf výrazu / funkce f proměnné x na intervalu <xmin,xmax> Plot[{f,f,...},{x,xmin,xmax}]... nakreslí grafy výrazů / funkcí f,f,... proměnné x na intervalu <xmin,xmax> Complement@Options@PlotD, Options@GraphicsDD 8Axes Automatic, Compiled True, MaxBend., PlotDivision., PlotPoints 5, PlotStyle Automatic< Complement@Options@GraphicsD, Options@PlotDD 8Axes False< Compiled... určuje, zda budou zadané funkce/výrazy nejprve kompilovány MaxBend... maximální úhel dvou sousedních lineárních elementů grafu měřený ve stupních PlotDivision... maximální počet dalších dělicích bodů v každém intervalu počátečního dělení PlotPoints... počáteční počet dělicích bodů intervalu <xmin,xmax> PlotStyle... seznam seznamů grafických prvků pro jednotlivé křivky Plot@H + xl Sin@ xd, 8x,, π<, AspectRatio.5, PlotLabel "Graf funkce H+xLsinHxL"D;

18 8 Math-7.nb Graf funkce H+xLsinHxL 5 6 AspectRatio Automatic znamená stejné měřítko na obou osách: Clear@f, gd; f@x_d := Sin@ xd; g = Sin@xD; Plot@8f@xD, g<, 8x,, π<, PlotStyle 8Thickness@.D, Thickness@.5D<, AspectRatio Automatic, Frame False, PlotLabel FontForm@"Graf funkcí sin HxL, sin H xl", 8"Arial Bold", <DD; Graf funkcí sin HxL, sin H xl Přesvědčte se, že v následujícím příkladu příkaz Evaluate nelze vynechat! Clear@hD; h@xd = x Sin@ xd; Plot@h@xD êê Evaluate, 8x,, π<, PlotStyle 8RGBColor@.,, D, Thickness@.5D<, AspectRatio.5, Frame > True, GridLines AutomaticD; Proti očekávání příkaz

19 Math-7.nb 9 Plot@8f@xD, g, Evaluate@h@xDD<, 8x,, π<d nefunguje (přesvědčte se o tom!). Funguje ale příkaz Plot@8f@xD, g, h@xd< êê Evaluate, 8x,, π<, AspectRatio.5, PlotStyle 88RGBColor@,.,.D, Thickness@.D, Thickness@.D, Thickness@.D<<, Background GrayLevel@.9D, Ticks 8Automatic, 8.5,,.5,.5,,.5<<, AxesLabel 8"x", "y"<d; y 5 6 x Stejně funguje příkaz. Místo Ticks None lze psát Ticks False. Plot@8f@tD, g ê. x t, h@xd ê. x t<, 8t,, π<, AspectRatio.5, PlotStyle 88RGBColor@.8,., D, Thickness@.D<, 8RGBColor@,.,.D, Thickness@.D<, Thickness@.D<, Background RGBColor@.6,.,.8D, AxesOrigin 8, <, AxesStyle 88Thickness@.5D<, 8Thickness@.5D, Dashing@8.,.<D<<, AxesLabel 8"x", "y"<, Ticks NoneD; y x Plot@8Sin@xD, Sin@ xd<, 8x,, π<, AspectRatio.5, AxesStyle 88Thickness@.D<, 8AbsoluteThickness@.D, Dashing@8.5,.<D<<, Ticks 888π ê, "",.5, 8Thickness@.D<<, 8π, "Pi"<, 8 π ê, "", 8.,.<, 8Thickness@.D<<, 8 π, "Pi"<<, Automatic<, PlotStyle 88<, 8AbsoluteThickness@.D, Dashing@8.,.,.5,.<D<<, PlotLabel FontForm@"Graf funkce sinhxl a sinhxl", 8"Palatino BoldItalic", <DD;

20 Math-7.nb Graf funkce sinhxl a sinhxl Pi Pi - Následující tři příklady poněkud objasňují roli skrytých argumentů PlotPoints a PlotDivision: Plot@Sin@xD, 8x,, π<, PlotPoints, PlotDivision, AspectRatio.5D; Plot@Sin@xD, 8x,, π<, PlotPoints, PlotDivision, AspectRatio.5D; Plot@Sin@xD, 8x,, π<, PlotPoints, PlotDivision, AspectRatio.5D; Plot@Sin@xD, 8x,, π<, PlotPoints, PlotDivision 5, AspectRatio.5D;

21 Math-7.nb 8x,, π<, PlotPoints 5, PlotDivision, AspectRatio.5D; ParametricPlot ParametricPlot[{f,g},{t,tmin,tmax}]... nakreslí rovinnou křivku se souřadnicemi zadanými funkcemi f,g ParametricPlot[{f,g},{f,g},...},{t,tmin,tmax}]... nakreslí současně několik křivek Options@ParametricPlotD === Options@PlotD True ParametricPlot@8Sqrt@tD Sin@tD, Sqrt@tD Cos@tD<, 8t,, 6 π<, PlotPoints D; Clear@f, gd; f@t_d := Cos@tD SinAt è!!!! E; g@t_d := Sin@tD SinAt è!!!! E; Přesvědčte se, že v následujícím příkladě nelze vynechat Evaluate!

22 Math-7.nb êê Evaluate, 8t,, 8 π<, PlotPoints D; ParametricPlotA9 Sin@tD, SinAtë è!!!! E=, 8t,, <, PlotPoints E; curves = Join@Table@8 Cos@tD, i Sin@tD<, 8i,, 9<D, Table@8i Cos@tD, Sin@tD<, 8i,, 9<DD; ParametricPlot@curves êê Evaluate, 8t,, π<, PlotStyle 8RGBColor@.,, D, RGBColor@,.,.8D, RGBColor@.,.6,.D<D;

23 Math-7.nb à Zobrazování funkcí dvou proměnných prostředky rovinné grafiky: ContourPlot, DensityPlot ContourPlot ContourPlot[f,{x,x,x},{y,y,y}]... kreslí vrstevnice funkce proměnných x,y dané výrazem f nad intervalem <x,x> <y,y> Complement@Options@ContourPlotD, Options@ContourGraphicsDD 8Compiled True, PlotPoints 5< Complement@Options@ContourGraphicsD, Options@ContourPlotDD 8MeshRange Automatic< Zde je graf funkce, která je níže graficky znázorněna pomocí ContourGraphics: PlotD@Sin@xD Cos@yD, 8x,, π<, 8y, πê, πê<, PlotPoints D; SetOptions@ContourPlot, DisplayFunction > IdentityD; 6

24 Math-7.nb cplot = ContourPlot@Sin@xD Cos@yD, 8x,, π<, 8y, πê, πê<d; cplot = ContourPlot@Sin@xD Cos@yD, 8x,, π<, 8y, πê, πê<, ContourShading FalseD; Show@GraphicsArray@8cplot, cplot<d, DisplayFunction $DisplayFunctionD; cplot = ContourPlotASin@xD Cos@yD, 8x,, π<, 8y, πê, πê<, PlotPoints 6, ColorFunction IGrayLevelA è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Abs@#DE &ME; cplot = ContourPlot@Sin@xD Cos@yD, 8x,, π<, 8y, πê, πê<, PlotPoints 6, ContourShading FalseD; Show@GraphicsArray@8cplot, cplot<d, DisplayFunction $DisplayFunctionD; cplot5 = ContourPlot@Sin@xD Cos@yD, 8x,, π<, 8y, πê, πê<, PlotPoints 6, Contours, ColorFunction IHue@Abs@#D D &MD; cplot6 = ContourPlotASin@xD Cos@yD, 8x,, π<, 8y, πê, πê<, PlotPoints 9, Contours, ColorFunction IHueA è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Abs@#DE &ME;

25 Math-7.nb 5 Show@GraphicsArray@8cplot5, cplot6<d, DisplayFunction $DisplayFunctionD; Zde je graf jiné funkce a její znázornění pomocí ContourGraphics: plotd = PlotDASinA è!!!!!!!!!!!!!!!! x + y E è!!!!!!!!!!!!!!!! 7 x + y, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints, DisplayFunction > IdentityE; cplot7 = ContourPlotASinA è!!!!!!!!!!!!!!!! x + y E è!!!!!!!!!!!!!!!! 7 x + y, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints, Contours 5, ContourShading FalseE; cplot8 = ContourPlotASinA è!!!!!!!!!!!!!!!! x + y E è!!!!!!!!!!!!!!!! 7 x + y, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints, Contours 5, ColorFunction IGrayLevelA è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Abs@#DE &ME; cplot9 = ContourPlotASinA è!!!!!!!!!!!!!!!! x + y E è!!!!!!!!!!!!!!!! 7 x + y, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints, Contours 5, ColorFunction HHue@Abs@#DD &LE; Show@GraphicsArray@8plotd, cplot7<d, DisplayFunction $DisplayFunctionD;

26 6 Math-7.nb cplot9<d, DisplayFunction $DisplayFunctionD; SetOptions@ContourPlot, DisplayFunction $DisplayFunctionD; DensityPlot DensityPlot[f,{x,x,x},{y,y,y}]... reprezentuje hodnoty funkce odstíny šedi nebo barvami. Při implicitním nastavení nejnižším hodnotám odpovídá černá = GrayLevel[], nejvyšším bílá = GrayLevel[]. Complement@Options@DensityPlotD, Options@DensityGraphicsDD 8Compiled True, PlotPoints 5< Complement@Options@DensityGraphicsD, Options@DensityPlotDD 8MeshRange Automatic< Takto je pomocí DensityPlot znázorněna funkce Sin@xD Cos@yD, jejíž graf a znázornění pomocí ContourGraphics jsme viděli výše: SetOptions@DensityPlot, DisplayFunction IdentityD; dplot = DensityPlot@Sin@xD Cos@yD, 8x,, π<, 8y, πê, πê<, PlotPoints 5, ColorFunction HGrayLevel@Abs@#DD &LD; dplot = DensityPlot@Sin@xD Cos@yD, 8x,, π<, 8y, πê, πê<, PlotPoints 5, ColorFunction HGrayLevel@Abs@#DD &L, Mesh FalseD;

27 Math-7.nb 7 Show@GraphicsArray@8dplot, dplot<d, DisplayFunction $DisplayFunctionD; A takto je pomocí DensityPlot znázorněna funkce SinA è!!!!!!!!!!!!!!!! x + y E è!!!!!!!!!!!!!!!! 7 x + y, s níž jsme se před chvílí také setkali: dplot = DensityPlotASinA è!!!!!!!!!!!!!!!! x + y E è!!!!!!!!!!!!!!!! 7 x + y, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 5, ColorFunction HGrayLevel@H + Abs@#DL ê 5D &L, Mesh FalseE; dplot = DensityPlotASinA è!!!!!!!!!!!!!!!! x + y E è!!!!!!!!!!!!!!!! 7 x + y, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 5, ColorFunction HRGBColor@ #, #, D &L, Mesh FalseE; Show@GraphicsArray@8dplot, dplot<d, DisplayFunction $DisplayFunctionD; SetOptions@DensityPlot, DisplayFunction $DisplayFunctionD;

28 8 Math-7.nb à Grafy funkcí dvou proměnných, prostorové křivky a plochy: PlotD, ParametricPlotD PlotD PlotD[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]... graf funkce reprezentované výrazem f nad dvourozměrným intervalem Xxmin,xmax\ Xymin,ymax\ Complement@Options@PlotDD, Options@SurfaceGraphicsDD 8Axes True, Compiled True, PlotPoints 5< Complement@Options@SurfaceGraphicsD, Options@PlotDDD 8Axes False, MeshRange Automatic< SetOptions@PlotD, PlotPoints, DisplayFunction IdentityD; plotd = PlotD@Sin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<d; plotd = PlotD@Sin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<, Shading FalseD; Show@GraphicsArray@8plotD, plotd<dd; plotd = PlotD@Sin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<, Lighting FalseD; plotd = PlotD@Sin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<, Mesh FalseD; Show@GraphicsArray@8plotD, plotd<dd;

29 Math-7.nb 9 plotd5 = PlotD@Sin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<, PlotRange 8.7,.7<D; plotd6 = PlotD@Sin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<, PlotRange 8.7,.7<, ClipFill NoneD; Show@GraphicsArray@8plotD5, plotd6<dd; plotd7 = PlotD@Sin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<, PlotRange 8.7,.7<, ClipFill 8None, RGBColor@.,., D<D; plotd8 = PlotD@Sin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<, PlotRange 8.7,.7<, ClipFill 8RGBColor@,, D, None<D; Show@GraphicsArray@8plotD7, plotd8<dd; PlotD[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},ColorFunction->c]... barvy bodů grafu funkce reprezentované výrazem f nad intervalem Xxmin,xmax\ Xymin,ymax\ jsou určeny funkcí c aplikovanou na normalizované hodnoty funkce f. plotd9 = PlotD@Sin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<, ColorFunction HHue@#D &LD; plotd = PlotDASin@x yd, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<, ColorFunction IGrayLevelA è!!!! #E &ME; Show@GraphicsArray@8plotD9, plotd<dd;

30 Math-7.nb PlotD[{f,s},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]... barvy bodů grafu funkce reprezentované výrazem f nad intervalem Xxmin,xmax\ Xymin,ymax\ jsou určeny funkcí s proměnných x,y plotd = PlotD@8Sin@x yd, Hue@Sin@x ydd<, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<d; plotd = PlotD@ 8Sin@x yd, GrayLevel@Abs@Cos@x DDD<, 8x, πê, π<, 8y, πê, π<d; Show@GraphicsArray@8plotD, plotd<dd; General::spell : Possible spelling error: new symbol name "plotd" is similar to existing symbol "plotd" Na rozdíl od příkazu Plot příkazem PlotD nemůžeme nakreslit do jednoho obrázku současně grafy několika funkcí. Můžeme to však udělat pomocí Show. plotd = PlotD@H Sin@xDL H Cos@ ydl, 8x,, <, 8y,, <D; plotd = PlotD@H + Sin@xDL H + Cos@ ydl, 8x,, <, 8y,, <D; Show@plotD, plotd, DisplayFunction $DisplayFunction, ViewPoint > 8.89,.79,.9<D;

31 Math-7.nb PlotD kreslí dobře pouze grafy hladkých funkcí, tj. funkcí, které mají všude tečnou rovinu. Pokud funkce tuto podmínku nesplňuje, je zpravidla lepší, sestavit její graf z několika hladkých kousků. Clear@f, plotdd; f@x_, y_d := HH + xl H yl L ê ; plotd@xrange_, yrange_d := PlotD@Evaluate@f@x, ydd, xrange, yrange, BoxRatios 8,,.7<, AxesLabel 8x, y, z<, FaceGrids 88,, <, 8,, <<, PlotPoints, PlotRange All, ViewPoint 8.5,.,.<, DisplayFunction IdentityD; Show@plotD@8x,, <, 8y,, <D, plotd@8x,, <, 8y,, <D, plotd@8x,, <, 8y,, <D, plotd@8x,, <, 8y,, <D, DisplayFunction $DisplayFunctionD;.75.5 z.5.5 y x -.5 SetOptions@PlotD, PlotPoints 5, DisplayFunction $DisplayFunctionD;

32 Math-7.nb ParametricPlotD ParametricPlotD[f,{t,t,t}]... nakreslí prostorovou křivku parametrizovanou trojicí funkcí f={fx,fy,fz} parametru t Xt,t\ ParametricPlotD[{f,g},...},{t,t,t}]... nakreslí prostorové křivky zadané trojicemi funkcí f,g Complement@Options@ParametricPlotDD, Options@GraphicsDDD 8AmbientLight GrayLevel@.D, Axes True, Compiled True, PlotPoints Automatic< Complement@Options@GraphicsDD, Options@ParametricPlotDDD 8AmbientLight GrayLevel@D, Axes False< SetOptions@ParametricPlotD, DisplayFunction IdentityD; pplotd = ParametricPlotD@ 8 + Cos@tD, Sin@tD, têh πl<, 8t,, π<, PlotPoints 5D; pplotd = ParametricPlotD@8 Cos@tD, Sin@tD, t ê H πl<, 8t,, π<, PlotPoints 5D; Show@pplotD, pplotd, FaceGrids 88,, <, 8,, <, 8,, <<, DisplayFunction $DisplayFunctionD; ParametricPlotD[f,{t,t,t},{u,u,u}]... nakreslí plochu parametrizovanou trojicí funkcí f={fx,fy,fz} parametrů t Xt,t\, u Xu,u\

33 Math-7.nb ParametricPlotD[{f,g,...},{t,t,t},{u,u,u}]... nakreslí plochy zadané trojicemi funkcí f,g u Sin@tD, têh πl<, 8t, πê, 5 πê<, 8u,, <, PlotPoints, DisplayFunction $DisplayFunctionD; pplotd = ParametricPlotD@8 Cos@tD Sin@uD, Sin@tD Sin@uD, Cos@uD<, 8t,, π<, 8u,, π<, PlotPoints D; Show@pplotD, DisplayFunction $DisplayFunctionD; - - -

34 Math-7.nb pplotd = ParametricPlotD@8Cos@tD H + Cos@uDL, Sin@tD H + Cos@uDL, Sin@uD<, 8t,, π<, 8u,, π<, PlotPoints, Boxed False, Axes FalseD; pplotd5 = ParametricPlotD@8 + Cos@tD H + Cos@uDL, Sin@uD, Sin@tD H + Cos@uDL<, 8t,, π<, 8u,, π<, PlotPoints, Boxed False, Axes FalseD; Show@GraphicsArray@8pplotD, pplotd5<, GraphicsSpacing DD; Show@pplotD, pplotd, DisplayFunction $DisplayFunctionD; pplotd5 = Show@pplotD, pplotd5, Boxed False, Axes FalseD; pplotd5 = Show@pplotD, pplotd5d; Show@GraphicsArray@8pplotD5, pplotd5<, GraphicsSpacing DD;

35 Math-7.nb 5 Na závěr graf jedné komplikovanější funkce pomocí PlotD a ParametricPlotD Funkce: Clear@fD; f@x_, y_d := $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x + x + y x x + y ; Protože výraz pod odmocninou není všude reálný a někde dokonce nemá smysl,musíme být při aplikaci příkazu PlotD opatrní: PlotDAIfA x + x + y x x + y, Min@f@x, yd, 5D, E êê Evaluate, 8x, 5, 5<, 8y,, <, PlotPoints 5, PlotRange 88 6, 6<, 8, <, 8$MachineEpsilon, 5<<, ClipFill None, ViewPoint 8.9,.6,.6<E;

36 6 Math-7.nb Vrstevnice funkce f: yd c l o m n o Parametrický popis grafu pomocí vrstevnic: Clear@x, yd; x@ϕ_, c_d := ê; H c L == ; Hx + +c c L + y = H +c c L pro c, c x pro c == y@ϕ_, c_d := + $MachineEpsilon Sin@ϕD ê; H c L == ; $MachineEpsilon x@ϕ_, c_d := AbsA + c + c E Cos@ϕD c c ê; H c L ; y@ϕ_, c_d := AbsA + c c E Sin@ϕD ê; H c L ; pplotd6 = ParametricPlotD@8x@ϕ, c D, y@ϕ, c D, c <, 8ϕ, π, π<, 8c,, <, PlotRange 88 6, 6<, 8, <, 8, 5<<, PlotPoints 85, 5<D; pplotd7 = ParametricPlotD@8x@ϕ, + c D, y@ϕ, + c D, + c <, 8ϕ, π, π<, 8c,, <, PlotRange 88 6, 6<, 8, <, 8, 5<<, PlotPoints 85, 5<D; Show@pplotD6, pplotd7, ViewPoint 8.9,.6,.6<, DisplayFunction $DisplayFunctionD; Přesvědčte se, že obrázek se změní k horšímu, když v nastaveních PlotPoints {5,5}, PlotPoints {5,5} některé z čísel změníte na sudé.

37 Math-7.nb 7 Zobrazování dat à ListPlot ListPlot[{y,y,...}]... nakreslí body (,y),,y),... ListPlot[{{x,y},{x,y},...}]... nakreslí body (x,y),(x,y),... Complement@Options@ListPlotD, Options@GraphicsDD 8Axes Automatic, PlotJoined False, PlotStyle Automatic< Complement@Options@GraphicsD, Options@ListPlotDD 8Axes False< PlotJoined -> True... nakreslenými body proloží lomenou čáru SeedRandom@ D; lst = Table@Random@Real, 8, <D, 8<D; ListPlot@lst, PlotStyle PointSize@.D, AspectRatio.5D; Následující příklad ukazuje, že při nastavení PlotJoined->True nelze měnit velikost bodů: ListPlot@lst, PlotStyle PointSize@.D, AspectRatio.5, PlotJoined TrueD; plt = ListPlot@8Sin@#D, # Cos@#D< & ê@ lst, PlotStyle 8PointSize@.D, RGBColor@.,.,.6D<, Frame True, AspectRatio., DisplayFunction IdentityD;

38 8 Math-7.nb plt = ListPlot@8Sin@#D, # Cos@#D< & ê@ Sort@lstD, PlotJoined True, PlotStyle 8Thickness@.5D, RGBColor@.,.,.D<, Frame True, AspectRatio., DisplayFunction IdentityD; Show@plt, plt, DisplayFunction $DisplayFunctionD; à ListPlotD ListPlotD[{{z,z,...},{z,...},...}]... dvourozměrné pole dat se zobrazí polygonální plochou s vrcholy v bodech (i,j,zij) Complement@Options@ListPlotDD, Options@SurfaceGraphicsDD 8Axes True< Complement@Options@SurfaceGraphicsD, Options@ListPlotDDD 8Axes False< ListPlotD@Table@Exp@ Hx + y LêD, 8x, 5, 5<, 8y, 5, 5<DD;