Software Mathematica v přírodních vědách a ekonomii

Transkript

1 Software Mathematica v přírodních vědách a ekonomii Autoři: Jan Říha, František Látal, Veronika Kainzová, Vratislava Mošová, Ivo Vyšín, Filip Švrček, Lukáš Richterek

2

3 Obsah è Úvod 4 é. Základní pravidla 4 é. Grafy funkcí - D 7 é.3 Grafy funkcí - 3D 5 é.4 Příkazy Manipulate a Animate 8 è Diferenciální počet funkce jedné proměnné é.. Reálná funkce reálné proměnné é.. Definice proměnné a práce s proměnnými é.. Definice funkce é. Výpočet limity funkce 4 é.. Limita funkce v bodě 4 é.. Limita funkce v bodě - úlohy 4 é..3 Limita funkce v bodě - řešení 5 é..4 Jednostranné limity funkce 8 é..5 Jednostranné limity funkce - úlohy 8 é..6 Jednostranné limity funkce - řešení 8 é.3 Derivace funkce 3 é.3. Výpočet derivace funkce 3 é.3. Derivace funkce - úlohy 3 é.3. Derivace funkce - řešení 3 é.4 Diferenciál funkce 35 è 3 Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných 36 é 3. Reálná funkce více reálných proměnných 36 é 3. Parciální derivace prvního a vyšších řádů 36 é 3.. Výpočet parciálních derivací 36 é 3.. Parciální derivace - úlohy 37 é 3..3 Parciální derivace - řešení 37 é 3.3 Totální diferenciál prvního a vyšších řádů 40 é 3.4 Lokální a globální extrémy funkcí 4 é 3.4. Lokální extrémy 4 é 3.4. Globální extrémy 4 è 4 Integrální počet funkce jedné proměnné 43 é 4. Neurčitý integrál 43 é 4.. Výpočet neurčitého integrálu 43 é 4.. Neurčitý integrál - úlohy 43 é 4..3 Neurčitý integrál - řešení 45 é 4.. Určitý integrál 48 é 4.. Výpočet určitého integrálu 48 é 4.. Určitý integrál - úlohy 48 é 4..3 Určitý integrál - řešení 49 è 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic 50 é 5. Zadání diferenciálních rovnic prvního a vyšších řádů 50 é 5. Diferenciální rovnice prvního řádu 5 é 5.3 Diferenciální rovnice vyšších řádů 54 é 5.4 Soustavy diferenciálních rovnic 59 é 5.5 Parciální diferenciální rovnice 60 è 6 Závěr 6 è 7 Použitá literatura 63

4 4 Úvod Úvod. Základní pravidla è Výpočet jednoduchých rovnic, ale i tvorba složitých interaktivních grafů a simulací se vytváří v Notebooku. Chceme-li pro zadání úlohy využít syntaxe programu Mathematica, je nutné dodržet několik základních pravidel: è Pro zadání informací k výpočtu použijeme buňku označenou In[n]:= (Input Cell) a vypočítaná hodnota se zobrazí v buňce Out[n]:= (Output Cell). è Výpočet v buňce se provede stisknutím kombinace kláves SHIFT+ENTER nebo stiskem klávesy ENTER na numerické klávesnici. è Pomocí symbolu % můžeme využít předchozího výsledku. è Pokud se za příkazem napíše středník, pak se příkaz provede, ale vypočítaná hodnota se nezobrazí v Notebooku. è Názvy funkcí se píší vždy s velkým písmenem na začátku. è Argumenty funkcí se uvádí v hranatých závorkách. è Jestliže je název funkce modrou barvou, je název funkce zapsán špatně. Pokud je název funkce uveden správně, změní se modrý text na černou barvu. è K zápisu desetinného čísla se používá tečka. è Násobení symbolů může být prezentováno mezerou. è Nápovědu lze nalézt v horním řádku Help Ø Documentation Center. è Symbol "=" se používá k definici nové proměnné, symbol "==" znamená rovnost v rovnici. Příklady: In[]:= 5+3 Out[]= 8 In[]:= 5! Out[]= In[3]:= Solve@c 8, cd Out[3]= 88c 9<< In[4]:= Plot@Sin@xD + Cos@4 xd, 8x, 0, Pi<D Out[4]=

5 Úvod 5 Důležitým pomocníkem při práci v Notebooku jsou Palety, které jednoduchým způsobem umožňují využívat jednotlivé funkce programu. Palety se nácházejí v horním řádku programu pod názvem Palettes. Při práci v notebooku se nám budou nejvíce hodit palety: è Basic Math Assistant, která je rozdělena na další podkategorie: Calculator - obsahuje syntaxe příkazů pro aritmetiku, algebru, matice, trigonometrické a exponenciální funkce, integrální a diferenciální počet atd. upper lower expr var end expr index = start Basic Commands - obsahuje matematické konstanty, elementární funkce, nabízí jednotlivé vlastnosti tabulek, D a 3D grafů apod. TableA expr, 9 var, start, end =E Plot3DA9 function, function =, 9 var, min, max =, 9 var, min, max =E è Writing Assistant - paleta, která je rozdělena do několika podkategorií: Writting and Formatting - umožňuje práci s textem (tučně, kurzíva, velikost textu ap.), dále umožňuje úpravy jednotlivých buňek (pozadí buněk, orámování buňek), zrovnání textu, lze také nastavit hranice jednotlivých stránek v prezentaci (Start Slide, End Slide) atd. Typesetting - umožňuje zadat písmena řecké abecedy, speciální symboly, tvary či operátory. è V programu Mathematica je dnes možné pomocí textového vstupu napsat souvislou práci (například diplomovou práci), přičemž si můžeme vybrat z řady formátů kapitol a podkapitol. Příklad: Tvorba textu a dokumentu ü Notebook ü Buňka ü Styl Do textových polí můžeme vládat také matematické vzorce, např. Ÿ 0 x x x nebo n= x n. è K jinému zadání výpočtu, pokud například neznáme odpovídající syntaxi, využíváme tzv. volný jazykový vstup (anglicky free-form linguistic input). Mathematica plně využívá možností serveru Wolfram Alpha, který nejprve vstup (označen symbolem ) v anglickém jazyce převede do syntaxe programu Mathematica a poté provede odpovídající výpočet. Příklad: In[5]:= integrate x exp x from 0 to Integrate@x Exp@xD, 8x, 0, <D Out[5]=

6 6 Úvod Pokud očekáváme plný výstup, který nám vytvoří k danému zadání server Wolfram Alpha, využijeme vstup označený symbolem. Příklad: In[6]:= integrate x exp x from 0 to Definite integral: 0 x exphxl x Visual representation of the integral: Riemann sums: More cases left sum + n Hn-L+ n- n n- n - n + OJI n M N Hassuming n subintervals of equal lengthl integral: Riemann sum: error: 0.38 number of subintervals summation method left endpoint midpoint right endpoint

7 Úvod 7. Grafy funkcí - D è Pro vykreslení D grafů funkcí je v Mathematice zabudována funkce Plot. Pokusíme se zde vystihnout základní vlastnosti této funkce, vše budeme prezentovat na příslušných příkladech. è V argumentu funkce Plot musí být zadána nejdříve vykreslovací funkce a dále ve složených závorkách proměnná, pro kterou je funkce vykreslována, a meze této nezávislé proměnné. Příklady: PlotA function, 9 var, min, max =E In[7]:= PlotB Sin@xD, 8x, Pi, Pi<F x Out[7]= è Do jednoho grafu můžeme vykreslit i více funkcí. Tyto fukce musíme uzavřít do složených závorek. Zápis bude následující: PlotA9 function, function =, 9 var, min, max =E In[8]:= PlotB: Sin@xD x, Cos@xD >, 8x, 0, 0< F x Out[8]= In[9]:= è Nyní se podívejme, jak se pracuje s parametry funkce Plot. Všechny parametry vestavěné funkce i s jejich výchozím nastavením lze vypsat pomocí funkce Options, v našem případě Options[Plot]. Options@PlotD

8 8 Úvod Out[9]= 9AlignmentPoint Center, AspectRatio, Axes True, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle 8<, Background None, BaselinePosition Automatic, BaseStyle 8<, ClippingStyle None, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ColorOutput Automatic, ContentSelectable Automatic, CoordinatesToolOptions Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, Evaluated Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions Automatic, ExclusionsStyle None, Filling None, FillingStyle Automatic, FormatType TraditionalForm, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle 8<, FrameTicks Automatic, FrameTicksStyle 8<, GridLines None, GridLinesStyle 8<, ImageMargins 0., ImagePadding All, ImageSize Automatic, ImageSizeRaw Automatic, LabelStyle 8<, MaxRecursion Automatic, Mesh None, MeshFunctions 8 &<, MeshShading None, MeshStyle Automatic, Method Automatic, PerformanceGoal $PerformanceGoal, PlotLabel None, PlotPoints Automatic, PlotRange 8Full, Automatic<, PlotRangeClipping True, PlotRangePadding Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, PreserveImageOptions Automatic, Prolog 8<, RegionFunction HTrue &L, RotateLabel True, Ticks Automatic, TicksStyle 8<, WorkingPrecision MachinePrecision= In[0]:= Out[0]= In[]:= è Pro změnu výchozího nastavení některého z parametrů dané funkce musíme použít funkci SetOptions. Příklad použití této funkce si ukážeme právě na funkci Plot. Změníme výchozí hodnotu parametru GridLines z původní hodnoty "None" a novou hodnotu "Automatic". SetOptions@Plot, GridLines AutomaticD 9AlignmentPoint Center, AspectRatio, Axes True, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle 8<, Background None, BaselinePosition Automatic, BaseStyle 8<, ClippingStyle None, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ColorOutput Automatic, ContentSelectable Automatic, CoordinatesToolOptions Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, Evaluated Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions Automatic, ExclusionsStyle None, Filling None, FillingStyle Automatic, FormatType TraditionalForm, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle 8<, FrameTicks Automatic, FrameTicksStyle 8<, GridLines Automatic, GridLinesStyle 8<, ImageMargins 0., ImagePadding All, ImageSize Automatic, ImageSizeRaw Automatic, LabelStyle 8<, MaxRecursion Automatic, Mesh None, MeshFunctions 8 &<, MeshShading None, MeshStyle Automatic, Method Automatic, PerformanceGoal $PerformanceGoal, PlotLabel None, PlotPoints Automatic, PlotRange 8Full, Automatic<, PlotRangeClipping True, PlotRangePadding Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, PreserveImageOptions Automatic, Prolog 8<, RegionFunction HTrue &L, RotateLabel True, Ticks Automatic, TicksStyle 8<, WorkingPrecision MachinePrecision= è Pokud si necháme vykreslit graf, jeho vzhled bude následující: 8x, 0, Pi<D Out[]=

9 Úvod 9 In[]:= PlotB: Sin@xD x, Cos@xD >, 8x, 0, 0< F x Out[]= In[3]:= Out[3]= è Nastavení mřížky můžeme zrušit následujícím příkazem: GridLines NoneD 9AlignmentPoint Center, AspectRatio, Axes True, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle 8<, Background None, BaselinePosition Automatic, BaseStyle 8<, ClippingStyle None, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ColorOutput Automatic, ContentSelectable Automatic, CoordinatesToolOptions Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, Evaluated Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions Automatic, ExclusionsStyle None, Filling None, FillingStyle Automatic, FormatType TraditionalForm, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle 8<, FrameTicks Automatic, FrameTicksStyle 8<, GridLines None, GridLinesStyle 8<, ImageMargins 0., ImagePadding All, ImageSize Automatic, ImageSizeRaw Automatic, LabelStyle 8<, MaxRecursion Automatic, Mesh None, MeshFunctions 8 &<, MeshShading None, MeshStyle Automatic, Method Automatic, PerformanceGoal $PerformanceGoal, PlotLabel None, PlotPoints Automatic, PlotRange 8Full, Automatic<, PlotRangeClipping True, PlotRangePadding Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, PreserveImageOptions Automatic, Prolog 8<, RegionFunction HTrue &L, RotateLabel True, Ticks Automatic, TicksStyle 8<, WorkingPrecision MachinePrecision= è Změny parametrů funkce Plot pomocí funkce SetOptions platí pro všechny následně vytvořené grafy, chceme-li však změnit parametry jen u určitého grafu, napíšeme tyto změny přímo ve funkci Plot. Příklady: In[4]:= Plot@8x^Hê4L, x^h3ê4l, x^h3êl, x^h7êl<, 8x, 0, <D Out[4]= In[5]:= x, 0, Pi<, Filling AxisD

10 0 Úvod Out[5]= è Popis vybraných parametrů funkce Plot: Příklady: ä Axes - parametr pro vykreslování os: Axes True - osy budou vykresleny Axes False - osy nebudou vykresleny Axes {True, False} - osa x bude vykreslena, osa y nebude vykreslen Axes {False, True} - osa x nebude vykreslena, osa y bude vykreslena ä AxesLabel - parametr pro popisky os grafu: AxesLabel {nazev_osy_x, nazev_osy_y} ä AxesOrigin - parametr pro určení průsečíku osy x a y: AxesOrigin {x, y} - průsečík je dán bodem {x, y} - popisky pro jednotlivé osy ä AxesStyle - parametr pro urční stylu jednotlivých os: AxesStyle {Red, Blue} - osa x je červenou barvou a osa y modrou AxesStyle Thick - osy budou tučně AxesStyle Arrowheads[{hodnota_,hodnota_}] - osy budou ukončeny šipkou ä Ticks - parametr pro nastavení značek měřítka os: Ticks None - graf bez značek měřítka os Ticks {{x, x,..., x N }, {y, y,..., y N }} - zadání značek na specifické pozice TicksStyle Orange - nastaví barvu (oranžová) značek na ose In[6]:= Plot@Cos@x + D, 8x, 0, 0<, Axes 8True, False<D Out[6]= In[7]:= Graphics@Circle@D, Axes True, AxesOrigin 80, <D

11 Úvod Out[7]= In[8]:= x, 0, 0<, Ticks 880, Pi, Pi, 3 Pi<, 8, <<D Out[8]= p p 3p - è Parametry rámu grafu: Příklady: ä Frame - parametr pro orámování grafu: Frame True - graf bude orámován Frame False - graf nebude orámován ä FrameLabel - parametr pro pojmenování jednotlivých stran: FrameLabel {x_down, y_left} - pojmenuje spodní a levou část rámu FrameLabel {x_down, y_left, x_up, y_right} - pojmenuje spodní, levou, horní a pravou část rámu In[9]:= Plot ASinAx E, 8x, 0, 5<, Frame True, FrameLabel 8dole, vlevo, nahore, vpravo<e.0 nahore 0.5 Out[9]= vlevo 0.0 vpravo è Parametry textu v grafu: dole ä PlotLabel - parametr pro pojmenování grafu: PlotLabel None - žádné pojmenování PlotLabel název_grafu - k pojmenování grafu můžeme použít libovolného výrazu

12 Úvod Příklady: ä TextStyle - parametr pro nastavení stylu písma v celém grafu: TextStyle {"style"} - výběr stylu písma, lze použít předdefinovaných stylů ä StyleForm - parametr pro nastavení stylu vybraného textu: StyleForm[expr,"style"] - expr je výraz, u kterého nastavujeme předdefinovaný styl In[0]:= Plot@Sin@xD, 8x, 0, Pi<, PlotLabel StyleForm@"Graf funkce sinhxl", FontColor BrownD, TextStyle 8FontFamily "Arial", FontSize, FontColor RGBColor@, 0, 0D, FontWeight "Bold"< D.0 Graf funkce sinhxl 0.5 Out[0]= è Další parametry grafu: ä Filling - funkce pro vybarvení určité části grafu : Filling Top - vybarvení oblasti nad křivkou Filling Bottom - vybarvení oblasti pod křivkou Filling Axis - vybarvení oblasti mezi křivkou a osou x Filling { Axis} - pokud je v grafu více křivek, vybarvení se vztahuje na. křivku Filling { {}} - vybarví se oblast mezi. a. křivkou Filling { {{}, Yellow}} - žlutou barvou se vybarví oblast mezi. a. křivkou ä ParametricPlot - graf funkce zadané parametricky. ä ListPlot - bodový graf, který odpovídá seznamu zadaných hodnot. ä BarChart - sloupcový graf, který odpovídá seznamu zadaných hodnot: ChartLegends {"a","b","c"} - legenda (a, b, c) ke grafu ChartLabels {"a","b","c"} - popisky jednotlivých sloupců v grafu ChartLabels {Placed[{"a", "b","c"}, Center]} - popisky uprostřed jednotlivých sloupců ChartStyle {Red, Green, Yellow} - barvy (červená, zelená, žlutá) jednotlivých sloupců v grafu ChartBaseStyle EdgeForm[Dashed] - ohraničení sloupců v grafu je čárkovaně ChartStyle EdgeForm[None] - bez ohraničení jednotlivých sloupců v grafu BarSpacing None - sloupce grafu bez mezer ä PieChart - koláčový graf, který odpovídá seznamu zadaných hodnot: SectorOrigin {Automatic, } - graf ve tvaru prstence SectorSpacing {., Automatic} - koláčový graf s mezerami mezi jednotlivými výsečemi

13 Úvod 3 Příklady: ParametricPlotA9 x function, y function =, 9 var, min, max =E In[]:= ParametricPlot@8Sin@tD, Sin@ td<, 8t, 0, Pi<D Out[]= ListPlotA9 y, y, =E In[]:= ListPlot@8, 6, 5, 3, 0, 8<D 4 0 Out[]= In[3]:= Plot@8Sin@xD, Cos@xD<, 8x, 0, Pi<, Filling 8 8<<D Out[3]= BarChartA99 height, height, =, 9 height, height, =, =E In[4]:= BarChart@88, 4, 3<, 85, 6, 4<<, ChartBaseStyle EdgeForm@DashedD, ChartStyle 8Red, LightBlue, Yellow<, ChartLegends 8a, b, c<d

14 4 Úvod Out[4]= a b c PieChartA9 size, size, =E In[5]:= PieChart@8, 3,, 5<, SectorSpacing 8., Automatic<, ChartLabels Placed@8"a", "b", "c", "d"<, "RadialOuter"DD b a Out[5]= c d

15 Úvod 5.3 Grafy funkcí - 3D è Pro vykreslení grafů funkcí dvou reálných proměnných a ploch je v Mathematice zabudována funkce Plot3D. Pokusíme se zde vystihnout základní vlastnosti této funkce, vše budeme prezentovat na příslušných příkladech. Mnoho vlastností je analogických s tvorbou grafů funkcí a křivek v rovině. Příklady: In[6]:= Out[6]= Options@Plot3DD 8AlignmentPoint Center, AspectRatio Automatic, AutomaticImageSize False, Axes True, AxesEdge Automatic, AxesLabel None, AxesOrigin Automatic, AxesStyle 8<, Background None, BaselinePosition Automatic, BaseStyle 8<, BoundaryStyle GrayLevel@0D, Boxed True, BoxRatios 8,, 0.4<, BoxStyle 8<, ClippingStyle Automatic, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ColorOutput Automatic, ContentSelectable Automatic, ControllerLinking Automatic, ControllerMethod Automatic, ControllerPath Automatic, CoordinatesToolOptions Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, Evaluated Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions Automatic, ExclusionsStyle None, FaceGrids None, FaceGridsStyle 8<, Filling None, FillingStyle Opacity@0.5D, FormatType TraditionalForm, ImageMargins 0., ImagePadding All, ImageSize Automatic, LabelStyle 8<, Lighting Automatic, MaxRecursion Automatic, Mesh Automatic, MeshFunctions 8 &, &<, MeshShading None, MeshStyle Automatic, Method Automatic, NormalsFunction Automatic, PerformanceGoal $PerformanceGoal, PlotLabel None, PlotPoints Automatic, PlotRange 8Full, Full, Automatic<, PlotRangePadding Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, PreserveImageOptions Automatic, Prolog 8<, RegionFunction HTrue &L, RotationAction Fit, SphericalRegion False, TextureCoordinateFunction Automatic, TextureCoordinateScaling Automatic, Ticks Automatic, TicksStyle 8<, ViewAngle Automatic, ViewCenter Automatic, ViewMatrix Automatic, ViewPoint 8.3,.4,.<, ViewRange All, ViewVector Automatic, ViewVertical 80, 0, <, WorkingPrecision MachinePrecision< Plot3DA9 function, function =, 9 var, min, max =, 9 var, min, max =E In[7]:= Plot3D@Sin@x+y^D, 8x, 3, 3<, 8y,, <D Out[7]= ParametricPlot3DA 99 x function, y function, z function =, 9 x function, y function, z function ==, 9 var, min, max =E

16 6 Úvod In[8]:= + H3 + Cos@vDL Sin@uD, 4 + H3 + Cos@vDL Cos@uD, 4 + Sin@vD<, 88+H3+Cos@vDL Cos@uD, 3+Sin@vD, 4+H3+Cos@vDL Sin@uD<<, 8u, 0, Pi<, 8v, 0, Pi<, PlotStyle 8Red, Blue<D Out[8]= BarChart3DA99 height, height, =, 9 height, height, =, =E In[9]:= BarChart3D@88, 5, 5<, 86, 5, 3<<, ChartStyle 8Blue, Green, Yellow<D Out[9]= SectorChart3DA99 size, radius, height =, 9 size, radius, height =, =E In[30]:= SectorChart3D@88,, 5<, 8,, <, 8,, <<, ChartLabels 8"c", "c", "c"<d

17 Úvod 7 c Out[30]= c c BubbleChart3DA99 x, y, z, size =, 9 x, y, z, size =, =E In[3]:= BubbleChart3D@888,,, 4<, 8,,, <<, 883, 3, 3, 3<, 84, 4, 4, 8<<<, LabelingFunction CenterD Out[3]=

18 8 Úvod.4 Příkazy Manipulate a Animate è Příkaz Manipulate vytváří interaktivní objekty. è S využitím posuvného jezdce lze interaktivně měnit parametry zkoumané funce. Příklady: In[3]:= Manipulate@Plot@Sin@n xd, 8x, 0, Pi<D, 8n,, 0<D n Out[3]=

19 Úvod 9 In[33]:= Manipulate@Plot@a Sin@n Hx + pld + a Sin@n Hx + pld, 8x, 0, Pi<, PlotRange D, 8n,, 0<, 8a, 0, <, 8p, 0, Pi<, 8n,, 0<, 8a, 0, <, 8p, 0, Pi<D n a p n a p Out[33]=

20 0 Úvod In[34]:= xd + Sin@n xd, 8x, 0, Pi<, Filling filling, PlotRange D, 8n,, 0<, 8n,, 0<, 8filling, 8None, Axis, Top, Bottom, Automatic,, 0.5, 0, 0.5, <<D n n filling None Out[34]= è Příkaz Animate umožňuje spojitě měnit parametry zkoumané funkce. Příklady: In[35]:= Animate@Plot@Sin@x + ad, 8x, 0, 0<D, 8a, 0, 5<, AnimationRunning FalseD a Out[35]=

21 Úvod In[36]:= + ad + bd, 8x, 0, Pi<, 8y, 0, Pi<, PlotRange D, 8a, 0, Pi<, 8b, 0, Pi<, AnimationRunning FalseD a b Out[36]=

22 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Diferenciální počet funkce jedné proměnné. Reálná funkce reálné proměnné.. Definice proměnné a práce s proměnnými è Proměnnou definujeme pomocí syntaxe: název_proměnné = zvolená_hodnota. Příklady: In[37]:= x = 5 Out[37]= 5 In[38]:= è Nyní máme v proměnné x uloženu hodnotu 5. Proveďme výpočet výrazu x, za proměnnou x je automaticky dosazena její hodnota. x^ Out[38]= 5 In[39]:= è Další definování proměnné se stejným názvem (v našem případě x) způsobí přepsání předchozí hodnoty. x = 5 + c Out[39]= 5+c In[40]:= è Tato nová hodnota proměnné x se pak stává platnou pro další požití dané proměnné. x^ Out[40]= H5+cL In[4]:= x Out[4]= Hc+5L In[4]:= x =. è Tento výsledek lze vypsat i v jiném tvaru. V horním řádku zvolíme Cell Ø Convert To Ø TraditionalForm (nebo klávesy Shift+Ctrl+T). è Pro vymazání definice proměnné použijeme symbol tečka. Proměnné již nebude přiřazena žádná hodnota a bude vystupovat pouze jako symbol. In[43]:= Out[43]= è V následujícím výrazu pak nebude přiřazena x žádná hodnota x 5+0 x 5+ x.. Definice funkce è Kromě toho, že Mathematica obsahuje mnoho integrovaných funkcí, umožňuje uživateli také definování vlastních funkcí. è Uvedeme si příklad, který definuje funkci f proměnné x. Při definici se používá přiřazovacího symbolu :=. Za tímto symbolem pak následuje vyjádření samotné funkce. name A var _E := expr è Podtržítko za proměnnou v definici funkce nesmíme zapomenout. è Funkci pak voláme jejím názvem a argumentem v hranatých závorkách. Argumentem funkce může být číslo nebo jakýkoliv výraz.

23 Diferenciální počet funkce jedné proměnné 3 Příklady: In[44]:= In[45]:= f@y_d := y ^ f@a+5d Out[45]= H5+aL In[46]:= f@4d Out[46]= 6 In[47]:= f@3 y+y^d Out[47]= I3 y+y M In[48]:= è Pro zobrazení definice námi vytvořené funkce lze využit syntaxe?název_funkce.? f Global`f f@y_d := y In[49]:= è Pro vymazání námi vytvořené funkce využijeme výrazu Clear[název_funkce]. Clear@fD

24 4 Diferenciální počet funkce jedné proměnné. Výpočet limity funkce.. Limita funkce v bodě è Obecný předpis pro limitu funkce f(x) v bodě x 0 : Limit[f[x], x x 0 ]. Příklady: In[50]:= Limit@f@xD, x x 0 D êê TraditionalForm Out[50]//TraditionalForm= lim fhxl xøx 0 In[5]:= Out[5]= LimitB Sin@xD, x 0F x In[5]:= PlotB Sin@xD, 8x, 5, 5<F x Out[5]= Limita funkce v bodě - úlohy è Příklady k procvičení - vypočítejte limity a zobrazte grafy příslušných funkcí na daných intervalech: xø x a) lim lim xø- x (-7, 7) b) lim xø I+ x Mx c) lim xø0 logh+xl x limh+ xl x (, 00), (-0.8, ) xø0 (-0.9, 0.3) d) lim xø0 x -9 x -7 x+ lim xø x -9 x -7 x+ (-0, ), (0, 00) e) lim xø- p sinhxl Jx+ p N (-5, 5) f) lim xø0 x+ lnh+xl x- lnh+xl (-0., 5)

25 Diferenciální počet funkce jedné proměnné 5..3 Limita funkce v bodě - řešení a) In[53]:= LimitB x, x F Out[53]= 0 In[54]:= LimitB x, x F Out[54]= 0 In[55]:= PlotB, 8x, 7, 7<, PlotRange 88 7, 7<, 8 7, 7<<F x 6 4 Out[55]= In[56]:= b) LimitB + x x, x F Out[56]= In[57]:= PlotB + x x, 8x,, 00<F Out[57]= In[58]:= Out[58]= c) LimitB Log@H+xLD, x 0F x In[59]:= PlotB Log@H+xLD, 8x, 0.9, 0.3<F x

26 6 Diferenciální počet funkce jedné proměnné.5.0 Out[59]=.5.0 In[60]:= d) Ix 9M LimitB, x 0F Ix 7 x+m Out[60]= 3 4 In[6]:= Ix 9M PlotB, 8x, 0, <F Ix 7 x+m 0.5 Out[6]= In[6]:= Ix 9M LimitB, x F Ix 7 x+m Out[6]= In[63]:= Ix 9M PlotB, 8x, 0, 00<, AxesOrigin 80, <F Ix 7 x+m Out[63]= e)

27 Diferenciální počet funkce jedné proměnné 7 In[64]:= Out[64]= Sin@xD LimitB, x PiêF Hx+PiêL In[65]:= PlotB Sin@xD, 8x, 5, 5<, Hx+PiêL PlotRange 88 5, 5<, 8, 0.<<, GridLines :: π >, None>, Ticks :: 4 π, 3 π, π, π, π, π, π, π, 3 π, 4 π>, Automatic>F 0. -4p -3p -p -p - p -0. p p p 3p 4p Out[65]= In[66]:= f) Out[66]= -.0 LimitB Hx+Log@+xDL H x Log@+xDL, x 0F In[67]:= PlotB Hx+Log@+xDL, 8x, 0., 5<F H x Log@+xDL.0 Out[67]=

28 8 Diferenciální počet funkce jedné proměnné..4 Jednostranné limity funkce è Obecný předpis pro jednostrannou limitu funkce f(x) v bodě x 0 : Limit[f[x], x x 0, Direction ±]. è Jak je vidět, v předpisu se vyskytuje parametr Direction. Tento parametr nabývá pouze dvou hodnot, v závislosti na typu jednostranné limity. Pro limitu zleva nabývá hodnoty a pro limitu zprava hodnoty -. Příklady: In[68]:= Out[68]= LimitB, x 0, Direction F x In[69]:= Out[69]= LimitB, x 0, Direction F x In[70]:= Plot B, 8x, 3, 3<F x 3 Out[70]= Jednostranné limity funkce - úlohy è Příklady k procvičení - vypočítejte limity a zobrazte grafy příslušných funkcí na daných intervalech: x+ a) lim xø + x- x+ lim xø - x- (-, 3) b) lim arctgi M lim arctgi M (-0, 0) xø - -x xø + -x c) lim xø0 - +e x lim xø0 + +e x..6 Jednostranné limity funkce - řešení (-5, 5) In[7]:= Out[7]= In[7]:= a) LimitB Hx+L, x, Direction F H x L LimitB Hx+L, x, Direction F H x L

29 Diferenciální počet funkce jedné proměnné 9 Out[7]= In[73]:= PlotB Hx+L, 8x,, 3<F H x L 0 5 Out[73]= b) In[74]:= LimitBArcTanB F, x, Direction F x Out[74]= π In[75]:= LimitBArcTanB F, x, Direction F x π Out[75]= In[76]:= PlotBArcTanB F, 8x, 0, 0<F x Out[76]= In[77]:= c) LimitB, x 0, Direction F K+ xo Out[77]= In[78]:= LimitB, x 0, Direction F K+ xo Out[78]= 0

30 30 Diferenciální počet funkce jedné proměnné In[79]:= ShowBPlotB, 8x, 5, 0<F, PlotB, 8x, 0, 5<F, K+ xo K+ xo PlotRange 88 5, 5<, 80, <<, AxesOrigin 80, 0<F Out[79]=

31 Diferenciální počet funkce jedné proměnné 3.3 Derivace funkce.3. Výpočet derivace funkce è V prostředí Mathematica je možno derivaci zadávat více způsoby. Podívejme se nyní na tyto možnosti: é pomocí symbolu var expr nebo funkce DA expr, var E, například x Sin@xD nebo D@Sin@xD, xd ä derivace n-tého řádu se určí pomocí předpisu: D@f, 8x, n<d é pomocí funkce Derivative ä derivace prvního řádu se určí pomocí předpisu: Derivative[][funkce][x] ä derivace n-tého řádu se určí pomocí předpisu: Derivative[n][funkce][x] ä zde však nejdříve musíme definovat funkci, kterou chceme derivovat, např. funkce[x_]:=x^, pak již můžeme použít Derivative[][funkce][x] pozn.: číslo v první závorce za příkazem Derivative znamená řád derivace. é pomocí apostrofu f'[x] ä derivace vyšších řádů se určí například pomocí předpisu: f''''[x] pozn.: kolik apostrofů, tolikátá derivace se bude počítat, pozor - neplatí zde tento zápis f HnL jako derivace n-tá řádu ä platí zde to samé jako v předchzím bodě, nejdříve definujeme funkci a pak ji zderivujeme, tzn. derivovana_funkce[x_]:= x^3+x derivovana_funkce'[x] é derivace v daném bodě - využijeme funkce Derivative, místo proměnné, podle které derivujeme, napíšeme hodnotu. Případně lze využít zápis D@f, 8x, n<d ê. x x 0 Příklady: In[80]:= x Hx^4 3 x^+0l Out[80]= 6 x+4 x 3 In[8]:= D@Sin@xD ^0, 8x, 4<D Out[8]= 5040 Cos@xD 4 Sin@xD Cos@xD Sin@xD Sin@xD 0 In[8]:= Out[8]= In[83]:= D@Sin@x yd ê Hx^ + y^l, x, yd x Cos@x yd Ix + y M f@x_d := x^4 3 x^+0; Derivative@D@fD@xD y Cos@x yd Cos@x yd 8 x y Sin@x yd x y Sin@x yd + + Ix + y M x + y Ix + y M 3 x + y Out[84]= 6+ x In[85]:= f@x_d := x^4 3 x^+0; f'@xd Out[86]= 6 x+4 x 3 In[87]:= fce@x_d := 3 x^ 4 x; Derivative@D@fceD@3D Out[88]= 4

32 3 Diferenciální počet funkce jedné proměnné In[89]:= DA3 x 4 x, xe ê. x 3 Out[89]= 4.3. Derivace funkce - úlohy a) Určete derivaci. řádu funkce f HxL=arctg x. b) Určete derivaci. řádu funkce f HxL=arccosh x. c) Určete derivaci. řádu funkce f 3 HxL=arcsin -x +x obecně a poté v bodě x 0=. d) Určete derivaci. řádu funkce f 4 HxL= lnhcos xl. ln x e) Určete derivaci. řádu funkce f 5 HxL=H+xL + x 3+ x 3 obecně a poté v bodě x 0 = 0. f) Určete derivaci. řádu funkce f 6 = x + x + x. g) Určete derivaci. řádu funkce f 7 = x I+cotg x M obecně a poté v bodě x 0=p. h) Určete derivace 6. a 7. řádu funkce f 8 = xh x-l Hx+3L 3. ch) Určete derivaci 3. řádu funkce f 9 = +x -x obecně a poté v bodě x 0 =-5. i) Určete derivaci. řádu funkce f 0 = sin x ÿln x. j) Určete derivaci 3. řádu funkce f = cos 3 x x.3.3 Derivace funkce - řešení In[90]:= Out[90]= In[9]:= Out[9]= In[9]:= Out[9]= In[93]:= a) := ArcTan@xD; f '@xd +x b) := ArcCosh@xD; xd c) +x +x f := ArcSin@H x^lêh+x^ld; Derivative@D@f 3 D@xD x I x M I+x M x +x I x M I+x M Simplify@Derivative@D@f 3 D@xDD

33 Diferenciální počet funkce jedné proměnné 33 Out[93]= In[94]:= x I+x M x Derivative@D@f 3 D@D Out[94]= In[95]:= Out[95]= d) f := Log@Cos@xDDêLog@xD; f 4 '@xd Log@Cos@xDD x Log@xD Tan@xD Log@xD ä Pozn.: funkce Log[x] má v programu Mathematica význam přirozeného logaritmu, pokud chceme zadat logaritmickou funkci o základu a, je třeba použít zápis Log[a,x]. e) 3 In[96]:= f := H+xL +x^ 3+x^3 ; f 5 '@xd Out[96]= In[97]:= Out[97]= In[98]:= x H+xL +x x H+xL I3+x 3 M ê3 I3+x 3 M ê3 +x + + +x I3+x 3 M f 5 '@0D 3 ê3 N@f 5 '@0DD ê3 Out[98]= f) In[99]:= f := x + x + x ; Derivative@D@f 6 D@xD Out[99]= x + x +x + x + x +x g) In[00]:= f := x +CotB x F ; D@f 7@xD, xd Out[00]= x +CotB x F x CscB x F In[0]:= D@f xd ê. x π Out[0]= π h) In[0]:= f := x H x L Hx+3L 3 ; D@f 8x, 6<D Out[0]= 880 In[03]:= Derivative@7D@f 8 D@xD Out[03]= 0 In[04]:= Out[04]= In[05]:= ch) f := H+xLêSqrt@ xd; Derivative@3D@f 9 D@xD 9 5 H+xL + 5ê 4 H xl 8 H xl 7ê Derivative@3D@f 9 D@ 5D

34 34 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Out[05]= 36 6 i) In[06]:= f := Sin@xD Log@xD; D@f 8x, <D Out[06]= In[07]:= Out[07]= 4 Cos@xD Sin@xD j) x := Sin@xD x Cos@3 xd ; f '''@xd 3 3 x 8 Cos@3 xd 7 Cos@3 xd 0ê3 H 3 xl H 3 xl 4ê3 + Log@xD I Cos@xD Sin@xD M 36 Sin@3 xd H 3 xl 7ê3 7 Sin@3 xd + H 3 xl ê3

35 Diferenciální počet funkce jedné proměnné 35.4 Diferenciál funkce è V prostředí Mathematica lze diferenciál funkce df určit pomocí předpisu Dt[f]. è Diferenciál funkce df lze určit pomocí předpisu Dt[f,x]. dx è Násobný diferenciál funkce lze určit pomocí předpisu Dt[f,{x,n}]. Příklady: In[08]:= Out[08]= In[09]:= Dt@3 x+4d 3 Dt@xD Dt@3 x+4, xd Out[09]= 3 In[0]:= Out[0]= In[]:= Out[]= Simplify@Dt@ x^ 3 x+4dd H xl Dt@xD Dt@a x, Constants ad a Dt@x, Constants 8a<D ä Pozn.: pokud bychom nedefinovali konstantu a pomocí parametru Constants, Mathematica by s touto konstantou pracovala jako s proměnnou závislou na x, tj. a = a(x). In[]:= Out[]= Dt@a xd x Dt@aD+a Dt@xD x Dt@aD+a Dt@xD x Dt@aD+a Dt@xD x Dt@aD+a Dt@xD x Dt@aD+a Dt@xD x Dt@aD+a Dt@xD In[3]:= Out[3]= Dt@ a x^+b x+c, Constants 8a, b, c<d b Dt@x, Constants 8a, b, c<d+ a x Dt@x, Constants 8a, b, c<d

36 36 3 Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných 3 Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných 3. Reálná funkce více reálných proměnných è Pro zopakování uveďme, že reálnou funkci jedné reálné proměnné definujeme jako: name A var _E:= expr è Podobně budeme postupovat i u reálné funkce více proměnných, zápis bude vypadat takto: funkce [promenna _, promenna _,..., promenna n _] := výraz Příklady: In[4]:= In[5]:= f@x_, y_d := Hx yl^ f@3, D Out[5]= 5 In[6]:= In[7]:= f@x_, y_, z_, w_, q_d := x^y+zêw q f@, 3, 4,, 7D Out[7]= 3 3. Parciální derivace prvního a vyšších řádů 3.. Výpočet parciálních derivací K výpočtu parciálních derivací používáme stejných funkcí jako v případě derivace reálné funkce jedné proměnné. Podívejme se nyní na obecný zápis těchto funkcí: é x funkce nebo D[funkce,x] určí parciální derivaci funkce podle proměnné x é D[funkce,{x, n}] nebo Derivative[n][funkce][x] určí parciální derivaci n-tého řádu funkce podle proměnné x Příklady: In[8]:= z Hx^3 z^4 y^3l Out[8]= 48 y 3 z 3 In[9]:= D@x ^3 z ^4 y^ 3, yd Out[9]= 36 y z 4 In[0]:= Out[0]= In[]:= Fz@z_D := x ^3 z ^4 y^ 3; Derivative@3D@FzD@zD 88 y 3 z x,x Hx^ y^l Out[]= y In[]:= Out[]= D@x ^ y ^, x, y, xd 4 y In[3]:= D@x ^ y ^, 8x, <, 8y, <D

37 3 Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných 37 Out[3]= 4 In[4]:= D@x^ y^, xd ê. x Out[4]= 4 y 3.. Parciální derivace - úlohy a) Určete obě parciální derivace. řádu funkce g Hx, yl=3 x y+sin x y. 3 b) Určete obě parciální derivace. řádu funkce g Hx, yl= x + y nejprve obecně a potom v bodě [,5]. c) Určete obě parciální derivaci. řádu funkce g 3 Hx, yl= -Ix +y M podle proměnné y. d) Určete všechny parciální derivace. řádu funkce g 4 Hx, yl= ln x y x -y nejprve obecně a potom v bodě [,4]. e) Určete všechny parciální derivace až do 3. řádu funkce g 5 Hx, yl= x- y+ x + x y+ y + x 3-3 x y- y 3 + x 4-4 x y 3..3 Parciální derivace - řešení a) In[5]:= y_d := 3 x y+sinax y E; In[6]:= Out[6]= In[7]:= Out[7]= x yd 6 x y+y CosAx y E y yd 3 x + x y CosAx y E In[8]:= In[9]:= b) 3 y_d := x yd, xd + y ; Out[9]= 3 x ê3 In[30]:= yd, xd ê. 8x, y 5< Out[30]= In[3]:= Out[3]= 3 yd, yd y In[3]:= yd, yd ê. 8x, y 5< Out[3]= 0 c) In[33]:= g y_d := Ix +y M ; In[34]:= D@g yd, 8y, <D Out[34]= In[35]:= I x y + 4 x y y M Simplify@%D

38 38 3 Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných x y I 4+8 y M d) LogB x F y In[36]:= g y_d := x y ; Out[35]= In[37]:= D@g yd, x, xd Out[37]= 4 8 x LogB x F LogB x F y y + Ix y M x Ix y M Ix y M 3 Ix y M In[38]:= D@g yd, x, xd ê. 8x, y 4< Out[38]= In[39]:= Log@D 6 N@%D Out[39]= In[40]:= Out[40]= D@g yd, y, yd y LogB x F LogB x F y y + + Ix y M y Ix y M Ix y M 3 Ix y M In[4]:= D@g yd, y, yd ê. 8x, y 4< Out[4]= 9 In[4]:= 576 N@%D Out[4]= Log@D 6 In[43]:= Out[43]= D@g yd, x, yd x + y 8 x y LogB x F y y Ix y M x Ix y M Ix y M 3 In[44]:= D@g yd, x, yd ê. 8x, y 4< Out[44]= In[45]:= 5 44 Log@D 7 N@%D Out[45]= e) In[46]:= g y_d := x y+x + x y+y + x 3 3 x y y 3 + x 4 4 x y ; In[47]:= x g yd Out[47]= + x+3 x + 4 x 3 + y 6 x y 8 x y In[48]:= y g yd Out[48]= + x 3 x + y 8 x y 3 y In[49]:= x,x g yd Out[49]= +6 x+ x 6 y 8 y In[50]:= Out[50]= y,y g yd 8 x 6 y

39 3 Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných 39 In[5]:= x,y g yd Out[5]= In[5]:= Out[5]= In[53]:= 6 x 6 x y x,x,x g yd 6+4 x y,y,y g yd Out[53]= 6 In[54]:= Out[54]= In[55]:= Out[55]= x,x,y g yd 6 6 y x,y,y g yd 6 x

40 40 3 Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných 3.3 Totální diferenciál prvního a vyšších řádů è K určení totálního diferenciálu pomocí programu Mathematica slouží funkce Dt. è Syntaxe této funkce vypadá následovně: é Dt[funkce] najde totální diferenciál funkce. é Dt[funkce,x] zobrazí úplnou derivaci funkce podle proměnné x. é Dt[funkce,{x,n}] zobrazí n-tou úplnou derivaci podle x. è Pomocí parametru Constans můžeme definovat různé konstanty vyskytující se ve výrazu. Příklady: In[56]:= Out[56]= In[57]:= Out[57]= In[58]:= Out[58]= In[59]:= Out[59]= Dt@x yd y Dt@xD+x Dt@yD Dt@x y, xd y+x Dt@y, xd Dt@a x y, x, Constants ad a y+a x Dt@y, x, Constants 8a<D Dt@a x + b y, x, Constants 8a, b<d a+b Dt@y, x, Constants 8a, b<d In[60]:= Dt@x ^3, 8x, <D Out[60]= 6 x In[6]:= Dt@x ^3 y, 8x, <D Out[6]= 6 x y+6 x Dt@y, xd+x 3 Dt@y, 8x, <D In[6]:= Out[6]= In[63]:= Dt@x^3 y, x, yd 3 x + 6 x y Dt@x, yd+3 x Dt@x, yd Dt@y, xd Dt@x ^3 y, x, y, Constants xd Out[63]= 3 x In[64]:= Out[64]= Dt@x ^3 y, x, y, Constants yd 3 x + 6 x y Dt@x, y, Constants 8y<D

41 3 Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných Lokální a globální extrémy funkcí 3.4. Lokální extrémy è K určení lokálních extrémů se využívají funkce FindMinimum a FindMaximum: é Zadáme-li pouze FindMinimum[funkce,x] nebo FindMaximum[funkce,x], získáme na výstupu lokální extrém automaticky zvolený systémem Mathematica. é Jestliže hledáme lokální extrém v intervalu, jehož dolní mez je x 0, potom nám zadání FindMinimum[funkce,{x,x 0 }] nebo FindMaximum[funkce,{x,x 0 }] určí lokální minimum nebo lokální maximum, které je nejblíže bodu x 0. é Lokální extrémi lze hledat také s ohledem na nějakou omezující podmínku pro hodnoty proměnné x: FindMinimum[{funkce,podminky},{x,x 0 }] nebo FindMaximum[{funkce,podminky},{x,x 0 }]. é Analogicky postupujeme u funkcí více proměnných, například FindMinimum[{funkce,podminky},{{x,x 0 },{y,y 0 },{z,z 0 },...}]. Příklady: In[65]:= FindMinimum@x Sin@xD, xd Out[65]= , 9x == In[66]:= Plot@x Sin@xD, 8x, 0, 8 π<d 0 0 Out[66]= In[67]:= FindMinimum@x Sin@xD, 8x, 0<D Out[67]= , 8x.0855<< In[68]:= FindMaximum@x Sin@xD, 8x, 0<D Out[68]= , 8x << In[69]:= FindMinimum@8x Sin@xD, 0 x 5<, 8x, 3<D Out[69]= , 8x.0855<< In[70]:= FindMaximum@8x Sin@xD, 0 x 5<, 8x, 3<D Out[70]= 84.74, 8x 4.074<< In[7]:= Out[7]= In[7]:= FindMinimumASin@xD Sin@yD, 88x, <, 8y, <<E 8., 8x.5708, y.5708<< FindMaximum@Sin@xD Sin@yD, 88x, <, 8y, <<D Out[7]= 8., 8x.5708, y.5708<<

42 4 3 Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných 3.4. Globální extrémy è Globální extrémy získáme pomocí funkcí Minimize a Maximize: é Pro funkce jedné proměnné: Minimize[funkce,x] nebo Maximize[funkce,x]. é Pro funkce více proměnných: Minimize[funkce,{x,y,z,...}] nebo Maximize[funkce,{x,y,z,...}]. é Případně s ohledem na nějakou omezující podmínku, například interval nebo množina: Minimize[{funkce,podminky},x] nebo Maximize[{funkce,podminky},x]. Příklady: a) Určete globální minimum kvadratické funkce y= x - 5 x+. Jaký výsledek ukáže Mathematica, zadáme-li kvadratickou funkci obecně y=a x + b x+c? Řešení: In[73]:= MinimizeA x 5 x+, xe Out[73]= 9 9 8, 9x 5 4 == In[74]:= MinimizeAa x + b x+c, xe Out[74]= 9 c b +4 a c 4 a 9x Hb 0 && a 0L»»Hb 0 && a > 0L Hb > 0 && a > 0L»»Hb < 0 && a > 0L True 0 Hb 0 && a 0L»»Hb 0 && a > 0L b a Indeterminate Hb > 0 && a > 0L»»Hb < 0 && a > 0L True b) Jaké je globální minimum funkce fhx, yl= x + y + x+8 y+5? Řešení:, == In[75]:= Out[75]= In[76]:= MinimizeAx + y + x+8 y+5, 8x, y<e 8 4, 8x, y << c) Najděte globální maximum funkce fhx, yl= x+3 y na kruhu x + y. Řešení: Maximize@8 x+3 y, x^+y^ <, 8x, y<d Out[76]= 9 3, 9x , y 3 3 ==

43 4 Integrální počet funkce jedné proměnné 43 4 Integrální počet funkce jedné proměnné 4. Neurčitý integrál 4.. Výpočet neurčitého integrálu è Pro výpočet neurčitého integrálu v prostředí Mathematica můžeme využít funkce Integrate nebo symbolického zápisu nacházejícího se v nástrojové paletě: é syntaxe funkce Integrate vypadá následovně: IntegrateA expr, var E Příklady: é symbolický zápis integrace lze zadat z palet: Ÿ expr var é integrační konstanta konstanta není v systému Mathematica u výsledků uváděna, na serveru Wolfram Alpha ji však nalezneme (viz ukázka v kapitole.) In[77]:= Out[77]= In[78]:= Out[78]= In[79]:= Out[79]= In[80]:= Out[80]= In[8]:= Out[8]= x x x 3 3 Hx^3 x yl x x 4 4 x y Integrate@x ^, xd x 3 3 Integrate@x ^3 x y, xd x 4 4 x y Integrate@x ^3 x y + y^x, xd x 4 y x 4 x y+ Log@yD 4.. Neurčitý integrál - úlohy è Příklady k procvičení - vypočtěte následující integrály (podmínky existence integrálů ponecháme k určení čtenáři): a) ŸIx+ x M x b) x x x

44 44 4 Integrální počet funkce jedné proměnné x c) Ÿ x +x d) Ÿ x arccotg x x e) Ÿ sin H3 xl x f) Ÿ cos3 x sin x x g) arccos x- x -x x h) x -3 x-3 Hx-LIx - x+5m x i) x x + 4 x-4 x j) x+ I x+ x M x+ x x k) K + x 3 4 O x l) Ÿ sin 5 x x m) Ÿ tg 3 x x n) sin3 x 3 cos 4 x x o) ex arctg e x x +e x p) Ÿ 9 x-4 9 x -4 x+6 x q) x3-6 x +0 x- Hx-3L Ix -4 x+5m x r) 4 sin 3 x cos 5 x x s) Ÿ +tg x x

45 4 Integrální počet funkce jedné proměnné Neurčitý integrál - řešení a) In[8]:= IntegrateBx + x, xf Out[8]= x 3ê b) 3 + x In[83]:= IntegrateBx ^ í x, xf Out[83]= In[84]:= Out[84]= x 5ê 5 c) x +x x x ArcTan@xD In[85]:= d) Integrate@x ArcCot@xD, xd Out[85]= x + x ArcCot@xD ArcTan@xD e) In[86]:= Sin@3 xd x Out[86]= Cot@3 xd 3 f) In[87]:= IntegrateACos@xD 3 ë Sin@xD, xe Out[87]= In[88]:= Out[88]= Cos@ xd+log@sin@xdd 4 ä Pozn.: u některých integrálů, zejména goniometrických funkcí, je třeba vzít v úvahu tvar výsledku. Výsledek ručně vypočítaný se může lišit od výstupu v programu Mathematica. Doporučujeme využít funkce určené pro úpravy goniometrických výrazů, např. TrigExpand, TrigFactor nebo TrigReduce. TrigExpand@%D Cos@xD + Log@Sin@xDD Sin@xD 4 4 g) In[89]:= ArcCos@xD x x x Out[89]= x ArcCos@xD In[90]:= h) Integrate@H x^ 3 x 3LêHHx L Hx^ x+5ll, xd Out[90]= ArcTanB H +xlf Log@ xd+ 3 LogA5 x+x E

46 46 4 Integrální počet funkce jedné proměnné In[9]:= i) Integrate@ ê Hx Sqrt@x^ + 4 x 4DL, xd Out[9]= In[9]:= ArcTanB +x j) 4+4 x+x F Integrate@Hx+LêHH x+x^l Sqrt@ x+x^dl, xd Out[9]= k) x H+xL In[93]:= IntegrateB K+x O 3 4, xf Out[93]= In[94]:= Out[94]= In[95]:= 8 77 J+ x N JJ+ x N3 N ê4 J 4+7 x N l) Sin@xD 5 x 5 Cos@xD 8 m) Tan@xD 3 x Cos@3 xd Cos@5 xd 80 Out[95]= In[96]:= Out[96]= Log@Cos@xDD+ Sec@xD n) 3 IntegrateBSin@xD ^3 í Cos@xD^4 3 Cos@xD I5+Cos@xD M 5 ICos@xD 4 M ê3, xf o) In[97]:= x ArcTan@ x D + x x Out[97]= 3 ArcTan@ x D 3ê p) In[98]:= Out[98]= 9 x 4 9 x 4 x+6 x + Log@4 3 xd 3 H4 3 xl q) In[99]:= x 3 6 x + 0 x x Hx 3L Ix 4 x+5m

47 4 Integrální počet funkce jedné proměnné 47 Out[99]= H 3+xL 3 ArcTan@ xd+ LogA+ H 3+xL+H 3+xL E r) In[00]:= Out[00]= 4 Sin@xD 3 Cos@xD 5 4 Cos@xD Sin@xD ICos@xD 5 Sin@xD 3 M ê4 x s) In[0]:= Out[0]= +Tan@xD x Hx+Log@Cos@xD+Sin@xDDL

48 48 4 Integrální počet funkce jedné proměnné 4. Určitý integrál 4.. Výpočet určitého integrálu è Pro výpočet určitého integrálu opět využijeme funkce Integrate nebo symbolického zápisu nacházejícího se v nástrojové paletě: é funkce Integrate - syntaxe této funkce vypadá následovně: IntegrateA expr, 9 var, lower, upper =E upper é symbolický zápis integrace: Ÿ lower expr var Příklady: 3 In[0]:= x x Out[0]= In[03]:= Hx^3 x yl x Out[03]= 0 8 y In[04]:= Integrate@x ^, 8x,, 3<D Out[04]= 6 3 In[05]:= Integrate@x ^3 x y, 8x,, 3<D Out[05]= In[06]:= Out[06]= 0 8 y Integrate@Cos@x ê D^, 8x, 0, Pi<D π 4.. Určitý integrál - úlohy è Příklady k procvičení - vypočtěte následující určité integrály: a) Ÿ a b x x b) Ÿ - - H+5 xl 3 x c) Ÿ 0 p x cos x x d) Ÿ 0 x - x x e) Ÿ 0 p sin x 6-5 cos x+cos x x 3 f) Ÿ - x 3-x x

49 4 Integrální počet funkce jedné proměnné 49 g) Ÿ 3 x ln x x 4..3 Určitý integrál - řešení In[07]:= a) Integrate@x ^, 8x, a, b<d Out[07]= a3 3 + b3 3 b) In[08]:= x H+5 xl 3 Out[08]= 7 7 c) In[09]:= Integrate@Exp@ xd Cos@xD, 8x, 0, Pi ê <D Out[09]= 5 H + π L d) In[0]:= Integrate@Sqrt@ x x^d, 8x, 0, <D Out[0]= π 4 e) In[]:= Integrate@Sin@xD ê H6 5 Cos@xD + Cos@xD^L, 8x, 0, Pi ê <D Out[]= LogB 4 3 F f) In[]:= Integrate@x Exp@3 x^d, 8x,, 3<D Out[]= In[3]:= Out[3]= g) Integrate@3 x Log@xD, 8x, Exp@D, Exp@D<D 3 4 I +3 M

50 50 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic 5. Zadání diferenciálních rovnic prvního a vyšších řádů è Pro řešení diferenciálních rovnic n-tého řádu a soustavy diferenciálních rovnic se používá integrované funkce DSolve. Ukažme si nyní nejčastější způsoby použití této funkce: é Vstup DSolve[rovnice,y[x],x] řeší diferenciální rovnici pro závislou proměnnou y s nezávisle proměnnou x. Výsledkem je obecné řešení zadané diferenciální rovnice. é Chceme-li vyřešit diferenciální s počátečními nebo okrajovými podmínkami, zadáme DSolve[{rovnice,pocatecni_podminky},y[x],x]. é Pro zadání soustavy diferenciálních rovnic použijeme zápis DSolve[{rovnice,rovnice,...},{y [x],y [x],...},x]. é S obecným nebo partikulárním řešením můžeme v programu Mathematica dále pracovat. Například můžeme zjednodušit výsledek pomocí funkce Simplify nebo funkci graficky znázornit pomocí funkcí Plot, Plot3D apod. Příklady: In[4]:= DSolve@y'@xD+y@xD a Sin@xD, y@xd, xd Out[4]= In[5]:= 99y@xD x C@D+ a H Cos@xD+Sin@xDL== DSolve@8y'@xD y@xd 0, y@0d <, y@xd, xd Out[5]= 88y@xD x << In[6]:= DSolve@8y''@xD+3 y'@xd+40 y@xd 0, y@0d, y'@0d ê3<, y, xd Out[6]= 99y FunctionB8x<, xê 453 CosB 5 x F+ 5 SinB 5 x F F== In[7]:= Out[7]= In[8]:= Out[8]= DSolve@8y'@xD z@xd x 0, z'@xd + y@xd x 0<, 8y@xD, z@xd<, xd 88y@xD C@D Cos@xD+C@D Sin@xD+Cos@xD HCos@xD+ x Cos@xD Sin@xD+x Sin@xDL+ Sin@xD H Cos@xD x Cos@xD+Sin@xD+ x Sin@xDL, z@xd C@D Cos@xD C@D Sin@xD Sin@xDHCos@xD+ x Cos@xD Sin@xD+xSin@xDL+ Cos@xD H Cos@xD x Cos@xD + Sin@xD + x Sin@xDL<< Simplify@DSolve@8y'@xD z@xd x 0, z'@xd + y@xd x 0<, 8y@xD, z@xd<, xdd 88y@xD + x+c@d Cos@xD+C@D Sin@xD, z@xd x+c@d Cos@xD C@D Sin@xD<< è Použití funkce DSolve a následnou práci s výsledkem si ukážeme na několika příkladech.

51 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic 5 5. Diferenciální rovnice prvního řádu Příklady: In[9]:= Out[9]= a) Určete řešení diferenciální rovnice y'=+ y vyhovující počáteční podmínce yhl =. Řešení: Jedná se o homogenní diferenciální rovnici. Nejprve můžeme najít obecné řešení DSolveBy'@xD + y@xd, y@xd, xf x 99y@xD x+x C@D== x In[0]:= a poté zahrneme počáteční podmínku: DSolveB:y'@xD + y@xd, y@d >, y@xd, xf x Out[0]= 99y@xD x+3 x == In[]:= b) Určete řešení Cauchyovy úlohy pro diferenciální rovnici y'- y tg x= při počáteční podmínce yh0l=. cos x Řešení: Obecné řešení této lineární diferenciální rovnice prvního řádu lze odkrývat obdobně jako při manuálním výpočtu: DSolve@y'@xD y@xd Tan@xD 0, y@xd, xd Out[]= In[]:= Out[]= In[3]:= Out[3]= 88y@xD C@D Sec@xD<< Pozn.: Program Mathematica často využívá při vyjádření výsledků funkci sec x= cos x. DSolveBy'@xD y@xd Tan@xD 88y@xD x Sec@xD + C@D Sec@xD<< Řešení Caychyho úlohy získáme takto: DSolveB:y'@xD y@xd Tan@xD 88y@xD Sec@xD + x Sec@xD<<, y@xd, xf Cos@xD, y@0d >, y@xd, xf Cos@xD Zobrazme nyní na intervalu I- p ; p M grafy několika partikulárních řešení, které vzniknou volbou konstanty C v obecném řešení, přičemž řešení Cauchyovy úlohy (C= ) zvýrazníme. In[4]:= PlotB8Evaluate@ Table@x Sec@xD + C Sec@xD, 8C, 7, 7<D, Evaluate@Table@x Sec@xD+C Sec@xD, 8C, 8<<D<, :x, π, π >, PlotStyle 8Orange, 8Red, Thick<<, Ticks :: π, π 4, 0, π 4, π >, Automatic>F

52 5 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic Out[4]= p p - p - p c) Určete všechna řešení diferenciální rovnice 3 x y'- y= x y. Řešení: Zde se jedná o Bernoulliovu diferenciální rovnici. Mathematica nám ukáže také výsledky v komplexním oboru: In[5]:= DSolveB3 x y'@xd y@xd x, y@xd, xf y@xd Out[5]= 99y@xD x ê3 HC@D+Log@xDL ê3 =, 9y@xD H L ê3 x ê3 HC@D+Log@xDL ê3 =, 9y@xD H L ê3 x ê3 HC@D+Log@xDL ê3 == Vybereme-li první (reálné) řešení, můžeme opět zobrazit grafy několika partikulárních řešení, které vzniknou volbou konstanty C v obecném řešení: In[6]:= PlotAEvaluate@TableAx ê3 HC+Log@xDL ê3, 8C, 8,, 0,, <<E, 8x, 0, 0<, PlotStyle 8Blue, Red, Orange, Gray, Green<, Ticks 88,, 5, 0, 0<, Automatic<E 0 8 Out[6]= d) Určete řešení Cauchyovy úlohy pro diferenciální rovnici 3 y'+ y =- při počáteční podmínce yhl=3. x Řešení: Zde se jedná o Riccatiovu diferenciální rovnici. Aplikací funkce Simplify můžeme obecné řešení zjednodušit: In[7]:= Out[7]= In[8]:= DSolveB3 y'@xd+y@xd, y@xd, xf x 3 J y@xD C@D J + NN x ê3 +C@D x Výsledek je možné zjednodušit: Simplify@%D ==

53 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic 53 Out[8]= xê3 + C@D == x 4ê3 + x C@D a určit řešení Cauchyovy úlohy: In[9]:= DSolveB:3 y'@xd+y@xd, y@d 3>, y@xd, xf x Out[9]= 99y@xD +4 x ê3 == I + x ê3 M x

54 54 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic 5.3 Diferenciální rovnice vyšších řádů In[30]:= Příklady: a) Řešte Cauchyovu úlohu pro diferenciální rovnici y''+9 y= sin 3 x y'i p M= p. 6 6 při počátečních podmínkách yip 6 M=, Řešení: Jedná se o nehomogenní lineární diferenciální rovnici. řádu s konstantními koeficienty. Obecné řešení lze odkrývat obdobně jako při manuálním výpočtu, tzn. nejprve řešit rovnici homogenní a najít fundamentální systém řešení: DSolve@ y''@xd+9 y@xd 0, y@xd, xd Out[30]= In[3]:= 88y@xD C@D Cos@3 xd + C@D Sin@3 xd<< Obecné řešení nehomogenní rovnice potom DSolveB y''@xd+9 y@xd, y@xd, xf Sin@3 xd Out[3]= In[3]:= 99y@xD C@D Cos@3 xd+c@d Sin@3 xd+ H 3 x Cos@3 xd+log@sin@3 xdd Sin@3 xdl== 9 Expand@%D Out[3]= 99y@xD 3 x Cos@3 xd+c@d Cos@3 xd+c@d Sin@3 xd+ Log@Sin@3 xdd Sin@3 xd== 9 In[33]:= Cauchyově úloze potom vyhovuje funkce DSolveB :y''@xd+9 y@xd Sin@3 xd, ybπ 6 F, y'bπ 6 F == π >, y@xd, xf 6 Out[33]= In[34]:= 99y@xD H 3 x Cos@3 xd+9 Sin@3 xd+log@sin@3 xdd Sin@3 xdl== 9 Expand@%D Out[34]= 99y@xD 3 x Cos@3 xd+sin@3 xd+ Log@Sin@3 xdd Sin@3 xd== 9 Zobrazme nyní na intervalu I0; p 3 M grafy několika partikulárních řešení, které vzniknou volbou konstant C a C v obecném řešení, přičemž řešení Cauchyovy úlohy zvýrazníme. In[35]:= PlotBEvaluate@TableB 3 x Cos@3 xd+c Cos@3 xd+c Sin@3 xd+ Log@Sin@3 xdd Sin@3 xd, 9 8C, 80,, <<, 8C, 8, <<F, :x, 0, π 3 >, PlotStyle 88Black, Thick<, Blue, Red, Orange, Yellow, Green<, Ticks ::0, π 6, π 4, π >, Automatic>F 3

55 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic 55 Out[35]= p 6 p 4 p 3 - In[36]:= b) Určete funkci popisující volné netlumené a tlumené kmity (konstantu charakterizující interakci mezi prostředím a oscilátorem označme b) hmotného bodu (hmotnost m) kmitajícího na pružině tuhosti k při nulové počáteční výchylce a počáteční rychlosti v 0. Řešení: Diferenciální rovnice popisující netlumené kmity má tvar m y + k y=0, počáteční podmínky potom t yh0l=0 a y'h0l=v 0. V obou případech se jedná o Cauchyovu úlohu pro homogenní lineární diferenciální rovnici. řádu s konstantními koeficienty: DSolve@ 8m y''@xd+k y@xd 0, y@0d 0, y'@0d v 0 <, y@xd, xd Out[36]= In[37]:= m SinB k 99y@xD k m x F v 0 == DSolve@ 8m y''@xd+ b y'@xd+k y@xd 0, y@0d 0, y'@0d v 0 <, y@xd, xd Out[37]= 99y@xD b b 4 k m x m b+ b 4 k m b 4 k m x m m v 0 == Řešení pro tlumení je pochopitelně nutno diskutovat s ohledem na parametry pod druhou odmocninou. Zobrazme řešení graficky pro volby parametrů, např. m=, k = 3, v 0 =, pro tlumení zvolíme parametr b nejprve b=0, 4 a poté b=5: In[38]:= PlotB:Evaluate@ TableB m SinB k k m x F v0, 8m, 8<<, 8k, 83<<, 8 v0, 8<<F, Evaluate@ TableB b b 4 k m x m b 4 k m b+ b 4 k m x m m v0, 8m, 8<<, 8k, 83<<, 8 v0, 8<<, 8 b, 80.4, 5<<F, Evaluate@TableB b x m m v0 Evaluate@TableB b x m m v0 4 k m b, 8m, 8<<, 8k, 83<<, 8 v0, 8<<, 8 b, 80.4<<F, 4 k m b, 8m, 8<<, 8k, 83<<, 8 v0, 8<<, 8 b, 80.4<<F>, 8x, 0, <, PlotStyle 8Blue, Red, 8Gray, Dashed<, 8Gray, Dashed<<, Ticks 880, 5, 0, 5, 0<, Automatic<, AxesLabel 8StyleForm@t, ItalicD, StyleForm@y, ItalicD<F

56 56 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic y 0.5 Out[38]= t -0.5 c) Určete obecné řešení diferenciální rovnice y'''+ y''+3 y'=sin x. Řešení: Mathematica umožňuje řešit také diferenciální rovnice vyšších řádů. Jako příklad uvádíme tuto nehomogenní lineární diferenciální rovnici 3. řádu s konstantními koeficienty. In[39]:= DSolveB y'''@xd+ y''@xd+3 y'@xd Sin@xD, y@xd, xf Out[39]= 99y@xD C@3D+ 04 x J34 x x+ x Cos@ xd 34 J C@D+ C@DN CosB xf 3 x Sin@ xd 68 C@D SinB xf+34 C@D SinB xfn== In[40]:= Out[40]= Expand@%D 99y@xD x 6 + C@3D+ x C@D CosB xf 7 Cos@ xd 3 In[4]:= 3 x C@D CosB xf 68 Sin@ xd x C@D SinB xf 3 x C@D SinB xf+ == 3 d) Určete tvar obecného řešení diferenciální rovnice x y'' + y'- y = 0. Řešení: Tuto lineární diferenciální rovnici. řádu řešíme pomocí nekonečných řad, které v tomto případě vedou na Besselovy funkce. Mathematica má Besselovy funkce, stejně jako řadu dalších speciálních funkcí, implementované a umožňuje s nimi dále pracovat, například zobrazit grafy několika partikulárních řešení: DSolve@ x y''@xd+y'@xd y@xd 0, y@xd, xd Out[4]= 99y@xD BesselIB0, x F C@D + BesselKB0, x F C@D== In[4]:= PlotBEvaluate@ TableBBesselIB0, x F C + BesselKB0, x F C, 8C, 8,, 0,, <<, 8C, 8,, 0,, <<F, 8x, 0, <, PlotStyle Gray, Ticks 880,, <, Automatic<, PlotRange 880, <, 8 5, 5<<F

57 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic Out[4]= -5-0 In[43]:= -5 e) Určete řešení Cauchyovy úlohy pro diferenciální rovnici y''=-+ y' při počátečních podmínkách yh0l=0, y'h0l=. Řešení: Chceme-li najít obecné řešení zadané diferenciální rovnice. řádu, zjistíme, že Mathematica nenalezne odpovídající analyticky vyjádřenou funkci: DSolve@8y''@tD == + y'@td^3<, y@td, td Out[43]= 99y@tD t C@D+ InverseFunctionB 3 ArcTanB +ê3 F LogA ê3 E+LogA+ 6 ê3 3 ê3 + ê3 E &F@C@D+K@DD K@D== In[44]:= Podobně je tomu v případě zahrnutí počátečních podmínek, kdy nezískáme řešení žádné: DSolve@8y''@tD == + y'@td^3, y@0d 0, y'@0d <, y@td, td Out[44]= 8< DSolve::bvfail : For some branches of the general solution, unable to solve the conditions. à Rovnici proto je lépe řešit numericky pomocí funkce NDSolve. Zde je nutné zvolit interval, na němž řešení hledáme, např. (-;): In[45]:= NRDF = NDSolve@8y''@tD == + y'@td^3, y@0d 0, y'@0d <, y@td, 8t,, <D Out[45]= 88y@tD InterpolatingFunction@88.,.<<, <>D@tD<< Mathematica má pro numerická řešení implementovanou funkci InterpolatingFunction, s níž můžeme dále pracovat, např. vykreslit graf řešení: In[46]:= Plot@y@tD ê. NRDF, 8t,, <, AxesLabel 8StyleForm@t, ItalicD, StyleForm@y, ItalicD<, PlotStyle ThickD

58 58 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic y t -0. Out[46]=

59 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic Soustavy diferenciálních rovnic In[47]:= Příklad: a) Najděte obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic x'=-3 x-4 y+t a y'= x+ y+t. Poté určete řešení splňující počáteční podmínky xh0l = 0, x' H0L = 0. Řešení: Jako příklad soustavy diferenciálních rovnic ukážeme výpočet řešení nehomogenní lineární soustavy diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Obecné řešení získáme zadáním: DSolve@8x'@tD 3 x@td 4 y@td+ t, y'@td x@td+y@td+t<, 8x@tD, y@td<, td Out[47]= 99x@tD 4 t I9 9 t+4 t M H + tl I7 7 t+4 t M t H + tl C@D 4 t t C@D, y@td H+ tl I9 9 t+4 t M+ t I7 7 t+4 t M+ t t C@D+ t H+ tl C@D== Přidáním počátečních podmínek obdržíme: In[48]:= DSolve@8x'@tD 3 x@td 4 y@td+ t, y'@td x@td+y@td+t, x@0d 0, x'@0d 0<, 8x@tD, y@td<, td Out[48]= In[49]:= Out[49]= 99x@tD t I7 7 t + 4 t+3 t tm, y@td t I9 9 t + 4 t+5 t tm== Expand@%D 99x@tD 4 4 t 6 t 8 t t, y@td 9+9 t + 5 t+4 t t==

60 60 5 Úvod do řešení diferenciálních rovnic 5.5 Parciální diferenciální rovnice Příklady: a) Najděte řešení parciální diferenciální rovnice yhx,tl x + yhx,tl t 0. Řešení: Pro zápis parciální diferenciální rovnice jako vstupu použijeme funkci D: In[50]:= PDR = D@y@x, td, xd+d@y@x, td, td 0 Out[50]= y td+ y td 0 In[5]:= Výpočet řešení takové diferenciální rovnice zadáme opět pomocí DSolve: reseni = DSolve@PDR, y@x, td, 8x, t<d Out[5]= 99y@x, td C@DB H t xlf== In[5]:= Zde C[] představuje volitelnou funkci, nikoliv konstantu jako v předchozích příkladech. Zavedeme-li toto řešení jako funkci f[x,t], můžeme s výsledkem jako s funkcí dále počítat: f@x_, t_d = y@x, td ê. reseni@@dd Out[5]= In[53]:= C@DB H t xlf f@, td Out[53]= C@DB H + tlf In[54]:= K parciální diferenciální rovnici můžeme dále přidat počáteční nebo okrajovou podmínku, např. yh0, tl cos t: reseni = DSolve@8PDR, y@0, td Cos@tD<, y@x, td, 8x, t<d Out[54]= 99y@x, td CosB H t xlf== In[55]:= Nakonec zobrazíme výsledné řešení graficky: Plot3D@y@x, td ê. reseni, 8x, π, π<, 8t, π, π<, PlotStyle > Opacity@0.7D, AxesLabel 8StyleForm@x, ItalicD, StyleForm@t, ItalicD, StyleForm@y, ItalicD<D Out[55]= b) Řešte jednorozměrný případ vlnové rovnice y= v y kmitající struny nebo membrány, v je rychlost šíření vlny., kde y představuje například okamžitou výchylku t