Test M1-ZS06-1 M1-ZS06-1/1 M NB 1. Příklad 1 Vyšetřete spojitost funkce. arccotg ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, x ŒH-, 1L, x ŒH1, L ÄÄÄÄÄÄÄÄ. v bodě x = 1. Řešení.

Transkript

1 M-06-NB Test M-ZS06- M-ZS06-/ Vyšetřete spojitost funkce v bodě = 0 lo - arccotg ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, ŒH-, L, - fhl = pê0, =, o n lnhl sin ÄÄÄÄÄÄÄÄ ln ŒH, L Daná funkce je definovaná v okolí bodu, dokonce na celé nožině Je tedy v toto bodě spojitá právě když fhl = li fhl = li Ø+ fhl Dále je zřejé, že funkce y = ÅÅÅÅÅÅÅÅ zobrazuje prostě a spojitě interval H-, 0L - na sebe, přičež Ø - právě když y Ø - Podle věty o liitě součinu a věty o liitě složené funkce tedy J0- arccotg ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - N = ÅÅÅÅÅÅ Å 0 li arccotg = ÅÅÅÅÅÅ Å 0 li arccotg y = ÅÅÅÅÅÅ p Å yø- 0 = fhl, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - = což znaená, že daná funkce je v bodě spojitá zleva Dále zřejě li Ø+ ln = 0 a funkce sin ÅÅÅÅÅÅÅ je v pravé ln prstencové okolí bodu (a dokonce na celé své definiční oboru) oezená Proto Ø+ Ø+ což znaená, že daná funkce není v bodě spojitá Vyšetřete eistenci tečen ke grafu funkce v bodech a =, b = a napište jejich rovnice i y jlnhl sin ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz = 0 fhl, k ln fhl = Iln M ê Podle definice fhl = eph ÅÅÅÅ lnhln LL, a proto DH fl =8 : > 0fl ln 0< =H0, + L -8< =H0, L H, + L Bod a = do definičního oboru funkce f tedy nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě b, vypočtee postupně f ' HL, fhbl a f ' HbL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě b tj do rovnice y = fhbl + f HbL H - bl Dostanee a tedy tečna v bodě b = á rovnici f HL = fhl i j - ln Hln L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k ln z, fhbl =, f HbL = ÅÅÅ Å, y = + ÅÅÅ Å H - L ó - y - = 0

2 M-06-NB Příklad Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce Zřejě DH fl = a fhl = fhl = l o +,, n o - +,, f HL = 0 ó = 0 fi = f HL = l o, <, n o -, >, Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie jsou uvedeny v následující tabulce: H-, 0L 0 H0, L H, L H, L f HL f HL ç ç é - ç Funkce tedy roste na intervalech H-, \, X, + L a klesá na intervalu X, \ V bodě á ostré lokální aiu fhl = a v bodě á ostré lokální iniu fhl = - Graf funkce nad intervale H-5, L: M-ZS06-/ Vyšetřete asyptoty funkce fhl = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Nejprve vyšetříe definiční obor Protože µ + - = µ IH ÅÅÅÅ 5 L - M je rostoucí funkce, jenovatel zloku v definici funkce f je roven 0 pouze pro = 0, a proto DH fl = -80< Funkce f tedy ůže ít horizontální nebo šikou asyptotu v a vertikální asyptotu v bodě 0 Vypočtee potřebné liity Protože li Ø- a = 0, li Ø a = pro a > a li Ø a = 0 pro 0 < a <, li fhl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0-0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + Ø = -,

3 M-06-NB Ø Ø 5 I H ÅÅÅÅ 5 L ÅÅÅÅÅÅ M 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 I5 - H ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ 5 L - M 5 = li Ø H ÅÅÅÅ 5 L ÅÅÅÅÅ 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ 5 - H ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = 5 L - 5 µ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 - µ 0-0 = - ÅÅÅ Å 5 Z konečnosti liit v nevlastních bodech vyplývá, že funkce á v obou nevlastních bodech horizontální asyptotu, a to y = - v bodě - a y = -ê 5 v bodě - Zbývá vyšetřit jednostranné liity v bodě 0 Protože čitatel i jenovatel zloku v definici funkce f jsou v bodě 0 rovny nule, ůžee použít l'hospitalovo pravidlo Dostanee Ø0 Ø0 + ln ln 5 ln - 5 ln 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 + ln 5-6 µ + ln 5 ln 5-8 ln Protože liita v bodě 0 je vlastní, funkce neá vertikální asyptoty Vyšetřete eistenci tečen ke grafu funkce v bodech a =, b = fhl =H - ln L arctg Podle definice fhl = epharctghl lnh - ln LL, a proto DH fl =8 : > 0 fl ln < < =H0, L Bod a = do definičního oboru funkce f tedy nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě b, vypočtee postupně f ' HL, fhbl a f ' HbL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě b tj do rovnice y = fhbl + f HbL H - bl Dostanee takže tečna v bodě b = á rovnici Příklad f HL = fhl i lnh - ln L j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - arctg y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ z, fhbl =, f HbL = - ÅÅÅ p Å k + H - ln L, y = - ÅÅÅ p Å H - L ó p + y = + p Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce Zřejě DH fl = a fhl = fhl = l o - -, 0, n o - +, 0, f HL = l o - = H - L, < 0, n o - = H - L, > 0, f HL = 0 ó = ln Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie ukazuje následující tabulka: H-, 0L 0 H0, ln L ln Hln, L f HL f HL é - é - ç Funkce tedy klesá na intervalu H-, ln \ a roste na intervalu Xln, + L V bodě ln á ostré lokální iniu f Hln L = -, lokální aia neá Graf funkce nad intervale H-, L:

4 M-06-NB M-ZS06-/ Vyšetřete spojitost funkce v bodě = lo + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, ŒH-, L - fhl = -ê, =, o n - è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! arctgh -L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, ŒH, + L - Daná funkce je definovaná v okolí bodu, dokonce na celé nožině Je tedy v toto bodě spojitá právě když fhl = li fhl = li Ø+ fhl Levostrannou liitu ůžee vypočítat dvěa způsoby - bez l'hospitalova pravidla: = li nebo s jeho poocí: H - L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å H - L I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + M = li - è!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + I - + M I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + M ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = li ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - H - L I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!!ååååååååååååååå = + M H - L H + L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å H - L I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + M = - li - è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - = li Pravostrannou liitu vypočtee poocí l'hospitalova pravidla: Ø+ Ø+ -6 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +H -L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ arctgh ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ L = li ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - Ø+ - H + L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ I + è!!!!!!!!!!!!!!!!!! + M = - ÅÅÅ Å = fhl, = - ÅÅÅ Å = fhl = - ÅÅÅ Å = fhl Protože obě jednostranné liity v bodě jsou rovny funkční hodnotě fhl, daná funkce je v bodě spojitá Vyšetřete eistenci tečen ke grafu funkce v bodech a = 0, b = fhl =I - M arcsin ÄÄÄÄÄ

5 M-06-NB 5 Podle definice fhl = epharcsinh ÅÅÅÅ L lnh - LL, a proto DH fl =8 :»» Ï < < =I- è!!!, è!!!! M Bod b = do definičního oboru funkce f tedy nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě a, vypočtee postupně f ' HL, fhal a f ' HaL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě a tj do rovnice y = fhal + f HaL H - al Dostanee takže tečna v bodě a = 0 á rovnici Příklad i f lnh - L HL = fhl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ j k "############### - arcsinh ÅÅÅÅ L y ln ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, fhal =, f ' HaL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ - z, y = + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ln ó ln - y + = 0 Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce Zřejě DH fl = a fhl = fhl = l o - -,, n o - + -,, f HL = 0 ó = 0 fi = f HL = l o -, <, n o - +, >, Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie jsou uvedeny v následující tabulce: H-, 0L 0 H0, L H, L H, L f HL f HL é - é - ç é Funkce tedy klesá na intervalech H-, \, X, + L a roste na intervalu X, \ V bodě á ostré lokální iniu fhl = - a v bodě á ostré lokální aiu fhl = Graf funkce nad intervale H-, L:

6 6 M-06-NB M-ZS06-/ Vyšetřete asyptoty funkce fhl =Iln M Nejprve vyšetříe definiční obor Protože podle definice fhl = epi lnhln L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅM, bod patří do DH fl právě tehdy, + když > 0 a ln Tedy DH fl =H0, L H, + L a funkce f ůže ít horizontální nebo šikou asyptotu v bodě + a vertikální asyptotu v bodě 0 nebo Protože = ep i j li Ø+ k ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + epi lnhln L y j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Ø+ Ø+ k + z = lnhln ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L y Å + z l'h = ep i k j li Ø+ ln y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz = ep i y j li ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz = 0 =, ln k Ø+ ln epi lnhln L y j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Ø0+ Ø0+ k + z = + = +, epi lnhln L y j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Ø Ø k + z = epi j li lnhln L y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Ø k + z = - = 0, funkce á horizontální asyptotu y = v bodě + a vertikální asyptotu = 0 V bodě vertikální asyptotu neá Vyšetřete eistenci tečen ke grafu funkce v bodech a = p, b = -p fhl = i j ÄÄÄ Ä k p - ÄÄÄÄÄ y z arccos i k j ÄÄÄÄÄ p - y z Zřejě DH fl =8 : 0 fl» êp -» < =H0, p\ Bod b = -p tedy do definičního oboru funkce f nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě a, vypočtee postupně f ' HL, fhal a f ' HaL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě a tj do rovnice y = fhal + f HaL H - al Dostanee f HL = ÅÅÅÅÅÅÅ arccosj ÅÅÅÅÅ p - N - takže tečna v bodě a = p á rovnici Příklad ÅÅÅÅ p H ÅÅÅÅ p - ÅÅÅÅ L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, fhal = 0, f "############################## -H- + ÅÅÅÅ L y = ÅÅÅÅÅÅÅÅ H - pl ó - p y - p = 0 p Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce fhl = H + L - 8 p HaL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ p,

7 M-06-NB 7 Zřejě DH fl = a fhl = l o 8 -H + L, 0, n o H + L - 8, 0, f HL = 0 ó = - f HL = l o - H + L, < 0, n o H + L, > 0, Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie jsou uvedeny v následující tabulce: H-, -L - H-, 0L 0 H0, L f HL fhl é 8 é 0 ç Funkce tedy klesá na intervalu H-, 0\ a roste na intervalu X0, + L V bodě 0 á ostré lokální i globální iniu fh0l = 0, lokální aia neá Graf funkce nad intervale H-, L: M-ZS06-/5 Vyšetřete asyptoty funkce lnh - L fhl = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - Zřejě DH fl =H, + L, takže funkce f ůže ít horizontální nebo šikou asyptotu v bodě + a vertikální asyptotu v bodě Protože Ø+ Ø+ lnh - L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - Ø+ Ø+ l'h = li Ø+ ÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = li Ø+ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ lnh - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L - = À ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ À = -, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H - L = 0, funkce á horizontální asyptotu y = 0 v bodě + a vertikální asyptotu = 0 Určete rovnice tečen a norál ke grafu funkce v bodech a = 0, b = pê fhl =H cosh LL lnh+l

8 8 M-06-NB Zřejě DH fl =8 : cosh L > 0fl + > 0< = 8H- ÅÅÅÅ p + k p, ÅÅÅÅ p + k pl»k = 0,,,, < Bod b = pê tedy do definičního oboru funkce f nepatří, a proto o tečně v toto bodě neá sysl luvit Abycho našli rovnici tečny v bodě a, vypočtee postupně f ' HL, fhal a f ' HaL a pak dosadíe do rovnice tečny v bodě a tj do rovnice y = fhal + f HaL H - al Dostanee f ' HL = fhl HlnH + L H + ln cos LL' = fhl i j + ln cosh L sinh L y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - lnh + L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz, fhal =, f HaL =, k + cosh L takže tečna v bodě a = 0 á rovnici Příklad y = + Určete aiální intervaly onotonie a lokální etréy funkce Zřejě DH fl = -87< a fhl = l o - êh7-l, 0, n o êh7-l, 0, fhl = êh7-l lo f HL = o n - êh7-l I + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H7-L M, < 0, êh7-l I + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H7-L M, 0 < 7, a f ' HL 0 pro všechna, protože kvadratická rovnice = 0 neá reálné kořeny Intervaly, v nichž derivace neění znaénko, a příslušný charakter onotonie jsou uvedeny v následující tabulce: H-, 0L 0 H0, 7L H7, L f HL fhl é 0 ç ç Funkce tedy klesá na intervalu H-, 0\ a roste na intervalech X0, 7\ a X7, + L V bodě 0 á ostré lokální i globální iniu f H0L = 0, lokální aia neá Graf funkce nad intervale H-, L: