OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA VARIAČNÍ POČET NA VARIETÁCH. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc.

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA VARIAČNÍ POČET NA VARIETÁCH Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. OSTRAVA 2006

2 2

3 Vysvětlivky k používaným symbolům Průvodce studiem vstup autora do textu, specifický způsob, kterým se studentem komunikuje, povzbuzuje jej, doplňuje text o další informace Příklad objasnění nebo konkretizování problematiky na příkladu ze života, z praxe, ze společenské reality, apod. Pojmy k zapamatování. Shrnutí shrnutí předcházející látky, shrnutí kapitoly. Literatura použitá ve studijním materiálu, pro doplnění a rozšíření poznatků. Kontrolní otázky a úkoly prověřují, do jaké míry studující text a problematiku pochopil, zapamatoval si podstatné a důležité informace a zda je dokáže aplikovat při řešení problémů. Úkoly k textu je potřeba je splnit neprodleně, neboť pomáhají dobrému zvládnutí následující látky. Korespondenční úkoly při jejich plnění postupuje studující podle pokynů s notnou dávkou vlastní iniciativy. Úkoly se průběžně evidují a hodnotí v průběhu celého kurzu. Úkoly k zamyšlení. Část pro zájemce přináší látku a úkoly rozšiřující úroveň základního kurzu. Pasáže a úkoly jsou dobrovolné. Testy a otázky ke kterým řešení, odpovědi a výsledky studující najdou v rámci studijní opory. Řešení a odpovědi vážou se na konkrétní úkoly, zadání a testy. 3

4 4

5 Obsah 1. Úvod Konvence a označení Fibrované variety a jejich prodloužení Fibrované variety Řezy fibrovaných variet Prodloužení fibrovaných variet Prodlužování řezů a izomorfismů fibrovaných variet Druhé prodloužení Vektorová pole a diferenciální formy na fibrovaných varietách Projektabilní vektorová pole Horizontální formy Kontaktní formy Rozklad kontaktních forem Lagrangiány a dynamické formy Variace a variační rovnice První variace Lepageovy formy a první variační formule Extremály Teorém Noetherové Inverzní variační problém...59 Korespondenční úkoly Literatura

6 6

7 1. Úvod Seznámili jsme se již se základy variačního počtu v jednoduché situaci, kdy extremálami variačních funkcionálů byly křivky v Euklidově prostoru. Extremální úlohy však mohou být i mnohem obecnějšího charakteru. Studovaná zobrazení mohou být křivky v topologicky složitějším prostoru, než je R n - například na válcové ploše, na sféře, na Möbiově pásce, nebo jiné, třeba i vícerozměrné ploše. Typické situace, ve kterých na tento problém okamžitě narazíme, je studium geodetik v zakřivených prostorech, nebo studium mechanických pohybů systémů částic nebo tuhých těles, podrobených holonomním vazbám (podmínky tvaru rovnic omezující polohy, případně vazby na čas a polohy pohybujících se těles). Další kategorie zásadních extremálních úloh se týká nikoliv křivek, ale ploch a obecnějších zobrazení (problém minimálních ploch i vícerozměrných, popis systémů tvořených různými fyzikálními poli, jako je pole elektromagnetické, gravitační, a další, či popis interakcí těchto polí). Tento text navazuje na přednášku z,,klasického variačního počtu" [5]. Uvádí základy moderní variační teorie, která v sobě spojuje prvky globální analýzy, topologie, algebry a geometrie a má bezprostřední aplikace i vliv na další rozvoj v matematice (v současnosti především v teorii diferenciálních rovnic, globální analýze a v algebraické topologii) a v jejích technických a fyzikálních aplikacích (mechanika, optika, mechanika kontinua, teorie relativity, teorie pole, matematická fyzika). Čtenář se zde seznámí se základy variačního počtu na fibrovaných varietách. Získá tak obecný rámec a jednotnou metodiku pro studium výše zmíněných, velmi různorodých problémů, z nichž mnohé se bez geometrického přístupu vůbec nedají řešit. Zároveň se zde seznámí s relativně novou oblastí matematiky, která se v současné době bouřlivě rozvíjí. S novými metodami a s pomocí geometrické interpretace je možné formulovat a řešit i problémy zcela nové, týkající se například otázek globální existence, struktury variačních systémů, jejich symetrií a transformací, či složitějších typů vazeb mezi nimi (např. neholonomní vazby, nebo dokonce vazby pro systémy popsané parciálními rovnicemi). V tomto textu pochopitelně nemůžeme celou tuto problematiku obsáhnout. První část (kapitola 2) seznamuje čtenáře se základními strukturami a metodami práce s nimi. Studují se fibrované variety, jejich prodloužení a objekty (vektorová pole a diferenciální formy), které na nich přirozeně vznikají. Zbytek textu je pak již věnován specielně variačním strukturám. Nejprve zavedení Lagrangiánu, Eulerovy-Lagrangeovy formy a Lepageovy formy, poté odvození invariantního tvaru první variační formule a Eulerových-Lagrangeových rovnic. Další část je pak věnována transformacím invariance Lagrangiánu a Teorému Noetherové. Zde se plně projeví výhody a síla geometrického přístupu, díky němuž lze celou tuto v klasickém variačním počtu nesmírně náročnou teorii snadno obsáhnout, zobecnit, a také s její pomocí efektivně řešit konkrétní úlohy. Závěr textu je věnován inverznímu variačnímu problému - přináší odpovědi na 7

8 otázky, kdy daný systém obyčejných či parciálních diferenciálních rovnic je variační (vznikl z variačního principu), tedy jeho řešení jsou extremály nějakého Lagrangiánu, a jak takový Lagrangián najít. Látka zde vyložená je relativně nová (počátky rozvoje disciplíny se datují do 70-tých let 20. století), existuje proto zatím pouze velmi málo zdrojů vhodných k samostatnému studiu. Dostupná literatura má spíše charakter vědeckých prací či odborných přehledných článků. V českém jazyce žádný podobný učební text zatím neexistuje a dokonce i v cizojazyčné literatuře se učebnicové zpracování těžko hledá. Proto v seznamu doporučené literatury uvádíme texty, které mají spíše podpůrný charakter - na jedné straně učební texty základů teorie hladkých variet pro zopakování nebo doplnění nutných znalostí, na druhé straně dostupné publikace monografického charakteru, po nichž by čtenář mohl sáhnout v případě hlubšího zájmu. Nutným předpokladem pro úspěšné zvládnutí tohoto textu je dobrá znalost základů matematiky v rozsahu standardních univerzitních kurzů, především lineární a multilineární algebry, základů topologie, analýzy funkcí více proměnných, analýzy na varietách (problematiky hladkých variet a jejich zobrazení, vektorových polí a diferenciálních forem), diferenciálních rovnic (hlavně obyčejných), a klasického variačního počtu. Čtenáři se také budou hodit alespoň elementární znalosti fyziky, zejména mechaniky hmotného bodu a tuhého tělesa a základy teorie pole Konvence a označení V celém textu pod pojmem varieta rozumíme hladkou varietu, zobrazením je myšleno hladké zobrazení a termín forma znamená (hladkou) diferenciální formu. Zápis f : X Y znamená zobrazení z variety X do variety Y. Budeme přitom vždy předpokládat, že definiční obor zobrazení f je otevřená množina v X. Souřadnicový systém na varietě X označujeme (U,ϕ), ϕ = (x i ), 1 i n = dim X, kde U je otevřená podmnožina X a ϕ je homeomorfismus U na otevřenou podmnožinu v R n. Zde tedy (x 1,K,x n ) jsou komponenty zobrazení tj. ϕ : X U x ϕ(x) ϕ(u) R n, x 1 = ϕ 1 (x), x 2 = ϕ 2 (x), M x n = ϕ n (x). 8

9 Zároveň stejným symbolem, tj. (x 1,K,x n ) budeme označovat bod v R n, který je obrazem bodu x U při zobrazení ϕ. Bez dalšího vysvětlení používáme tyto symboly z oblasti analýzy na varietách: TX, τ : TX X Tf d i ξ tečný bandl (tečný fibrovaný prostor) variety X tečné zobrazení k zobrazení f vnější součin forem vnější derivace kontrakce vektorovým polem ξ ξ Lieova derivace vektorovým polem ξ f pull-back zobrazením f Pro počátek v R n používáme označení 0 místo (0,0,K, ); píšeme tedy 0 Rn. n krát Symbolem id M označujeme identické zobrazení množiny M na sebe. Konečně, v celém textu důsledně používáme sumační symboliku, kdy přes stejný index se sčítá v mezích, které jsou známy z kontextu. Sumační symbol se přitom nepíše. Např. zápis tedy znamená f y j σ y ji σ m n f σ y y σ ji. j σ =1 j=1 9

10 10

11 2. Fibrované variety a jejich prodloužení Základní strukturou (podkladovým prostorem), na níž budeme pracovat, je fibrovaná varieta. Tato struktura zobecňuje důvěrně známý model projekce kartézských prostorů π : R n R m R n na případ, kdy jak,,promítaný prostor" (totální prostor), tak jeho,,průmět" (báze) mají netriviální topologickou strukturu. Zobrazení, která budeme ve variačním počtu studovat, jsou řezy fibrované variety, tedy zobrazení z báze do totálního prostoru fibrované variety, která jsou zobecněním grafů zobrazení kartézských prostorů. Řezy fibrované variety je možné prodlužovat a konstruovat tak nové prostory - prodloužení uvažované fibrované variety. Jejich význam spočívá v tom, že umožňují korektně pracovat s funkcemi a dalšími objekty, které závisí na derivacích nějakých zobrazení.,,prodloužené variety" tak představují dobře definované prostory, které slouží jako definiční obory takových objektů. Typicky se tyto variety objevují nejen ve variačním počtu (kde, jak víme z klasické teorie, Lagrangiány a Eulerovy-Lagrangeovy výrazy jsou funkce závislé nejen na křivkách, ale i na jejich derivacích), ale přirozeně také v teorii diferenciálních rovnic, kde umožňují zavést pojem,,systém diferenciálních rovnic r-tého řádu" nezávisle na souřadnicích, a studovat tak ty jejich vlastnosti a vlastnosti jejich řešení, které vyplývají přímo z jejich vnitřní struktury (nemění se při změně souřadnic). Klíčová slova: Fibrovaná varieta, totální prostor, báze, projekce, fibr, fibrace, triviální fibrovaná varieta, fibrovaný souřadnicový systém, řez fibrované variety, homomorfismus fibrovaných variet, izomorfismus fibrovaných variet, 1-ekvivalentní řezy, 1-jet řezu, první prodloužení fibrované variety, lift funkce, prodloužení řezu, holonomní řez, prodloužení izomorfismu, druhé prodloužení fibrované variety Fibrované variety Nejdříve si připomeňme, že submerze π :Y X je definována jako zobrazení variet, které má konstantní rank, jenž je roven dimenzi variety X. To znamená, že pro každé y Y je tečné zobrazení T y π k zobrazení π v bodě y surjektivní lineární zobrazení vektorových prostorů T y Y T π (y) X. V lokálních souřadnicích na varietách X a Y je submerze charakterizována jako zobrazení, jehož Jacobiho matice má konstantní hodnost rovnou dimenzi variety X. 11

12 Definice 2.1. Fibrovanou varietou s bází X, totálním prostorem Y a projekcí π rozumíme surjektivní submerzi π :Y X variety Y na varietu X. Pro každý bod x X je množina π 1 (x) Y podvarieta v Y dimenze m = dimy dim X ; nazývá se fibr nad bodem x. Označme dim X = n. Budeme předpokládat, že dimy = N > n. Podle výše zavedeného označení je tedy kde m > 0 je dimenze fibru. dimy = n + m, Totální prostor Y fibrované variety si můžeme představit jako sjednocení disjunktních variet - fibrů, které mají stejnou dimenzi, ale nemusí být difeomorfní, mohou mít tedy rozdílnou topologickou strukturu. Je-li báze X souvislá a jsou-li fibry navzájem difeomorfní, jde o speciální případ fibrované variety, který se nazývá fibrace. m-rozměrná varieta F, která je difeomorfní s každým fibrem dané fibrace, se pak nazývá typový fibr. Příklad 2.1. Uvedeme jednoduchý příklad fibrované variety se souvislou bází, jejíž fibry nejsou navzájem difeomorfní. Uvažujme zobrazení π : R 2 \ S 1 R, které body roviny, z níž je vyříznuta jednotková kružnice S 1 = {(x,y) x 2 + y 2 =1}, promítá na přímku R = {(x, y) y = 0}. Toto zobrazení je surjektivní submerze, jde tedy o fibrovanou varietu. Nejde ale o fibraci, neboť zde nacházíme 3 typy navzájem topologicky rozdílných fibrů: souvislé fibry (přímky), nesouvislé fibry mající dvě souvislé komponenty a nesouvislé fibry mající tři souvislé komponenty. (Nakreslete si obrázek). Příklad 2.2. Uvažujme varietu R 3 \ 0 (tedy R 3 bez počátku). Její projekce π 1 : R 3 \0 R na přímku R (přesněji zobrazení, které každé uspořádané trojici přiřazuje její první složku) je surjektivní submerze. Tato fibrovaná varieta má souvislou bázi a dva typy fibrů: π 1 1 (x) = {(x,y,z) y,z R} pro všechna x R, x 0, které jsou homeomorfní s R 2 a fibr π 1 1 (0), homeomorfní s R 2 \ 0. Všechny fibry jsou tedy souvislé, ale jelikož R 2 \ 0 a R 2 nejsou homeomorfní, není π 1 : R 3 \0 R fibrace. Jiným příkladem fibrované variety s totálním prostorem R 3 \ 0 je π 2 : R 3 \0 R 2, fibrovaná nad rovinou (přesněji projekce uspořádané trojice (x,y,z) na první dvojici složek (x,y)). Zde jsou všechny fibry jednorozměrné, přičemž π 2 1 (x,y) pro x = y = 0 12

13 jsou homeomorfní s přímkou R, zatímco fibr nad počátkem 0 R 2 homeomorfní s R \0. je nesouvislý a Příklad 2.3. Zvolme za totální prostor kartézský součin S 1 R kružnice a přímky (válcovou plochu). Vzhledem k existenci přirozených projekcí π 1 : S 1 R S 1 (projekce na první faktor kartézského součinu) a π 2 : S 1 R R (projekce na druhý faktor kartézského součinu), jež jsou obě evidentně surjektivní zobrazení a submerze, vznikají dvě fibrované variety - válec fibrovaný nad kružnicí a válec fibrovaný nad přímkou. V obou případech jde o fibrace. V prvním případě π 1 : S 1 R S 1 je typový fibr přímka, neboť pro každý bod x S 1 je π 1 1 (x) = R. Ve druhém případě π 2 : S 1 R R vidíme, že typový fibr je kružnice, neboť pro každý bod x R je π 1 1 (x) = S 1. Podle definice fibrované variety je zobrazení π :Y X surjektivní (tj. jde o zobrazení variety Y na varietu X) a je to submerze, tedy zobrazení konstantního ranku, jenž je roven dimenzi variety X. To ovšem znamená, že kolem každého bodu y Y a odpovídajícího bodu x = π(y) X existují souřadnicové systémy,,adaptované" k submerzi π ; přesněji, souřadnicový systém (V,ψ), ψ = (z i,y σ ), kde 1 i n, 1 σ m, na Y, a (jednoznačně určený) souřadnicový systém (U,ϕ), ϕ = (x i ), 1 i n, na X, takový, že U = π(v ) a z i = x i o π, 1 i n. V těchto souřadnicích má zobrazení π :Y X tvar ϕπψ 1 : R n +m ψ(v ) ϕ(u) R n, ϕπψ 1 (x i,y σ ) = (x i ), tedy ϕπψ 1 je standardní projekce R n +m = R n R m R n. Pro zjednodušení označení budeme místo ψ = (z i, y σ ), ϕ = (x i ), kde z i = x i o π, psát ψ = (x i,y σ ) a ϕ = (x i ). Definice 2.2. Souřadnicový systém (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), 1 i n, 1 σ m, na Y, adaptovaný k submerzi π, se nazývá fibrovaný souřadnicový systém. Odpovídající souřadnicový systém (U,ϕ), ϕ = (x i ), 1 i n, na X, kde U = π(v ), se pak nazývá asociovaný se souřadnicovým systémem (V,ψ). Všimněme si, že ve fibrovaných souřadnicích mají body ležící ve stejném fibru prvních n-souřadnic (x i ), 1 i n, stejných a liší se pouze ve zbývajících souřadnicích (y σ ), 1 σ m. 13

14 Z definice také vyplývá, jak vypadají transformační vztahy mezi fibrovanými souřadnicovými systémy: Jsou-li (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), (V,ψ ), ψ = (x i,y σ ) dva fibrované souřadnicové systémy na Y, pro něž V V, pak x i = x i (x 1,K,x n ), y σ = y σ (x 1,K,x n,y 1,K,y m ). Existence fibrovaných souřadnicových systémů znamená, že totální prostor Y fibrované variety je lokálně (tedy na nějakém okolí každého bodu),,nerozeznatelný" od kartézského součinu n-rozměrné a m-rozměrné variety (,,kousku báze a kousku fibru"). Tato struktura ale obecně nemá globální charakter, to značí, že existují fibrované variety, jejichž totální prostor nemá tvar kartézského součinu n-rozměrné a m- rozměrné variety. S příklady takových fibrovaných variet jsme se už setkali v Příkladech 2.1 a 2.2. Dokonce ani u fibrací, kde jsou všechny fibry navzájem difeomorfní, nemusí být totální prostor difeomorfní s kartézským součinem báze a typového fibru F. Příklad 2.4. V topologii jsme se setkali s příkladem Möbiovy pásky - dvojrozměrné plochy, která měla topologické vlastnosti odlišné od jiných známých ploch, jako je např. rovina R 2, sféra S 2, torus (anuloid) S 1 S 1, či válcová plocha S 1 R (nebo s ní homeomorfní S 1 I, kde I je nějaký neprázdný otevřený interval). Připomeňme si, že Möbiovu pásku můžeme vymodelovat slepením z proužku papíru tak, že jeden konec proužku přetočíme o 180 a poté oba konce proužku slepíme. Tedy např. v obdélníku [0,2π] (0,1) ztotožníme dvojice okrajových bodů o souřadnicích (0,y) a (2π,1 y). Vznikne plocha. která je,,jednostranná" (zkuste si Möbiovu pásku vyrobit a,,jedním tahem" - bez přerušení - vybarvit), či neorientovatelná (zvolte v nějakém bodě A na středové kružnici normálový vektor a nechte ho oběhnout tuto kružnici jednou dokola - jak bude tento vektor orientován, když se po oběhu dostane zpět do bodu A?). Každý bod Möbiovy pásky se promítá na středovou kružnici, která vzniká ztotožněním bodů (0, 1) a (2π, ) na okrajích obdélníku [0,2π] (0,1); vzniká tak zobrazení π :Möb S 1, které je surjektivní submerze. Tato fibrovaná varieta s totálním prostorem Möb a bází S 1 je fibrace: typovým fibrem je zřejmě otevřený interval I = (0,1) (tj. R, s nímž je I difeomorfní). Totální prostor má lokálně tvar kartézského součinu (každý bod A Möb má okolí homeomorfní s kartézským součinem otevřených intervalů), přitom ale,,globálně" kartézským součinem není: Möb S 1 I. Příklad 2.5. Nechť M je m-rozměrná varieta. Pak její tečný bandl τ : TM M je fibrovaná varieta. Pro každý bod x M je fibr nad x tečný prostor T x M, který je izomorfní s vektorovým prostorem R m ; projekce τ je tedy fibrace s typovým fibrem R m. Každý bod (x,ξ) v TM má okolí tvaru U R m, kde U je okolí bodu x v M. Přitom pouze v některých speciálních případech je TM kartézským součinem M R m. 14

15 Například pro kružnici S 1 máme TS 1 = S 1 R, zatímco tečný prostor TS 2 sféry S 2 nelze vyjádřit ve tvaru kartézského součinu (to plyne ze známé Brouwerovy věty o,,neučesatelné sféře", podle které neexistuje na S 2 spojité tečné vektorové pole, v každém bodě různé od nuly). Příklad 2.6. Fibrovaná varieta tvaru π : X M X, kde X je n-rozměrná a M je m- rozměrná varieta a π je projekce kartézského součinu X M na první faktor X, se nazývá triviální. Totální prostor triviální fibrované variety je tedy kartézským součinem báze X a typového fibru M. Na triviální fibrované varietě můžeme uvažovat speciální souřadnicové systémy, adaptované ke kartézskému součinu. Je-li totiž Awwqq 1 = {(U ι,ϕ ι ),ϕ ι = (x i ι )} ι I atlas na X a Awwqq 2 = {(W κ,φ κ ), φ κ = (y σ κ )} κ K atlas na M, pak na varietě X M vzniká atlas Awwqq = A 1 A 2 tvořený kartézskými součiny souřadnicových systémů na X a M: Awwqq = {(V ικ,ψ ικ ),ψ ικ = (x i ι, y σ κ )} ι I,κ K, kde V ικ = U ι W κ. Tyto souřadnicové systémy jsou zřejmě speciálním případem fibrovaných souřadnicových systémů - transformační vztahy mezi nimi jsou ovšem jednodušší. Jsou-li totiž (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), (V,ψ ), ψ = (x i,y σ ) dva takové,,součinové" souřadnicové systémy, pro něž V V, pak transformace souřadnic má tvar x i = x i (x 1,K,x n ), y σ = y σ (y 1,K,y m ), to znamená, že nedochází k,,míchání" souřadnic báze a fibru. Poznámka 2.1. Od této chvíle budeme pracovat výhradně s fibrovanými varietami, jejichž báze i totální prostor jsou souvislé. Jak jsme viděli, to neznamená, že by také fibry musely být souvislé (srov. Příklad 2.2). Cvičení 2.1. Uvažujte projekci π : R 2 \ B 2 R roviny, z níž je vyříznut uzavřený jednotkový kruh B 2 = {(x,y) x 2 + y 2 1}, na přímku R (π je zúžení na množinu R 2 \ B 2 první kartézské projekce pr 1 : R 2 (x,y) x R). Zdůvodněte, proč π : R 2 \ B 2 R je fibrovaná varieta. Určete její fibry a rozhodněte, zda je π fibrace. Báze i totální prostor této fibrované variety jsou souvislé; jsou i fibry souvislé? 2.2. Řezy fibrovaných variet Definice 2.3. Nechť π :Y X je fibrovaná varieta. Zobrazení γ : X Y, definované na otevřené množině U X se nazývá lokální řez nebo prostě řez projekce π, jestliže π o γ = id U. Je-li U = X, nazývá se γ globální řez projekce π. 15

16 Fibrovaná varieta nemusí mít žádný globální řez - existence globálního řezu souvisí s topologií uvažovaných variet. Příklad 2.7. Řezy fibrované variety τ : TM M jsou vektorová pole na M. Fibrovaná varieta τ : TM M má globální řez: je jím nulové vektorové pole ξ : M x 0 T x M TM. Uvažujme fibrovanou varietu π :Y X, kde báze X má dimenzi n a totální prostor Y má dimenzi n + m. Nalezneme souřadnicové vyjádření řezu. Nechť tedy γ : X Y je řez projekce π. Zvolme bod x z definičního oboru řezu γ a fibrované souřadnice (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), 1 i n, 1 σ m, na okolí bodu γ(x) v Y, označme (U,ϕ), 1 i n, asociované souřadnice na X. Dále označme ˆ π souřadnicovou reprezentaci projekce π a ˆ γ souřadnicovou reprezentaci řezu γ vzhledem k uvažovaným souřadnicím. Připomeňme si, že ˆ π a ˆ γ jsou zobrazení otevřených množin v Euklidových prostorech, přičemž ˆ π = ϕ o π oψ 1 : R n +m ψ(v ) ϕ(u) R n je obyčejná projekce na prvních n komponent a ˆ γ =ψ o γ oϕ 1 je zobrazení má tedy n + m složek ˆ γ : R n ϕ(u) (x 1,K,x n ) ˆ γ (x 1,K,x n ) ψ(v) R n +m, ˆ γ (x 1,K,x n ) = ( f i (x 1,K,x n ),γ σ (x 1,K,x n )). Složené zobrazení π o γ má pak souřadnicovou reprezentaci ϕ o (π o γ) oϕ 1 = ˆ π o ˆ γ a identita id U se vyjadřuje ve tvaru ϕ o id U oϕ 1 = id ϕ(u ). Podle definice řezu je nyní dostáváme tak ( ˆ π o ˆ γ )(x 1,K,x n ) = ˆ π ( ˆ γ (x 1,K,x n )) = ˆ π ( f 1 (x 1,K,x n ),K, f n (x 1,K,x n ),γ 1 (x 1,K,x n ),K,γ m (x 1,K,x n )). = ( f 1 (x 1,K,x n ),K, f n (x 1,K,x n )) = id ϕ(u ) (x 1,K,x n ) = (x 1,K,x n ), f i (x 1,K,x n ) = x i, 1 i n. To ovšem znamená, že ve fibrovaných souřadnicích má každý řez γ : X Y tvar ˆ γ (x 1,K,x n ) = (x i,γ σ (x 1,K,x n )), což je graf zobrazení F : R n R m (přesněji F : R n ϕ(u) (x i ) F(x i ) = (γ σ (x i )) W R m, kde W je otevřená množina v R m, taková, že ˆ γ (ϕ(x)) ϕ(u) W ψ(v )). Můžeme tedy říci, že řezy fibrované variety lokálně představují grafy zobrazení F : R n R m mezi otevřenými množinami v Euklidových prostorech. Budeme-li vyjadřovat řez γ : X Y ve fibrovaných souřadnicích, budeme používat zápis ˆ γ (x j ) = (x i,γ σ (x j )). 16

17 Příklad 2.8. Uvažujme zobrazení F : X M z n-rozměrné variety X do m- rozměrné variety M, definované na otevřené množině U X. Pak graf zobrazení F je zobrazení γ : X X M definované vztahem γ(x) = (x,f(x)). Označíme-li π projekci na první faktor X kartézského součinu X M, vidíme, že pro všechna x U platí (π o γ)(x) = π(γ(x)) = π(x,f(x)) = x, tj. π o γ = id U. To ovšem znamená, že graf zobrazení F : X M je řez triviální fibrované variety π : X M X. Proto místo zobrazení mezi varietami můžeme pracovat s řezy odpovídajících fibrovaných variet. Příklad 2.9. Fibrované variety s jednorozměrnou bází. Významným speciálním případem jsou fibrované variety π :Y X, kde dim X =1. Z diferenciální topologie je známo, že v dimenzi 1 existují pouze dva typy navzájem nedifeomorfních souvislých variet, a to přímka R a kružnice S 1. Proto uvažujeme-li fibrované variety s jednorozměrnou bází, pracujeme fakticky pouze se dvěma typy fibrovaných variet, a to π :Y R a π :Y S 1. Přitom, jak víme, Y je varieta dimenze m +1, a fibry jsou m rozměrné podvariety v Y. V případě jednorozměrné báze budeme pro fibrované souřadnice na Y používat označení (V,ψ), ψ = (t,q σ ), 1 σ m, kde t je souřadnicová funkce na bázi, definovaná na otevřené množině U = π(v ). Je-li X = R, pak lze na bázi zvolit globální souřadnicový systém, což vede k jednoduchým transformačním vztahům mezi dvěma fibrovanými souřadnicovými systémy (V,ψ), ψ = (t,q σ ) a (V,ψ ), ψ = (t,q σ ): prostě t = t, q σ = q σ (t,q ν ). Je-li navíc Y = R M, můžeme se omezit na kartézské součiny souřadnic na bázi a na fibru; na fibrované varietě π : R M R budeme tedy zpravidla uvažovat atlas tvořený souřadnicovými systémy tvaru (V,ψ), ψ = (t,q σ ), kde V = R W, t je globální souřadnice na R a (q σ ) jsou souřadnice na W M. Je-li γ : X Y řez fibrované variety π :Y X s jednorozměrnou bází X, pak jeho souřadnicová reprezentace je zobrazení ˆ γ (t) = (t,γ σ (t)), což je graf křivky c v R m, t c(t) = (γ σ (t)). Tedy řezy fibrované variety s jednorozměrnou bází lokálně představují grafy křivek v R m. Z výše uvedeného rozboru je také zřejmé, že křivky c : R M v m-rozměrné varietě M můžeme nahradit řezy triviální fibrované variety π : R M R. 17

18 Specielně pro periodické pohyby pak můžeme využít fibrovanou varietu π : S 1 M S 1, nebo obecněji π :Y S 1. Nyní si všimneme zobrazení fibrovaných variet. Fibrovaná varieta představuje vlastně dvojici variet svázaných projekcí π. Proto mezi všemi zobrazeními fibrovaných variet hrají významnou úlohu ta zobrazení, která zachovávají fibry, tj. body, které leží ve stejném fibru se zobrazí na body, které zase leží ve stejném fibru (obecně ovšem nad jiným bodem). Definice 2.4. Nechť π :Y X, π :Y X jsou fibrované variety, φ :Y Y zobrazení. φ se nazývá homomorfismus fibrovaných variet π a π, jestliže existuje zobrazení φ 0 : X X takové, že φ 0 o π = π o φ. Zobrazení φ 0 se pak nazývá projekce homomorfismu φ. Homomorfismus fibrovaných variet se nazývá izomorfismus, jsou-li obě zobrazení φ, φ 0 lokální difeomorfismy. Vztah φ 0 o π = π o φ z definice homomorfismu fibrovaných variet znamená, že komutuje diagram φ Y Y π π X φ 0 X Dále si všimněme, že existuje-li zobrazení φ 0 (projekce homomorfismu φ), je již určeno jednoznačně. Skutečně, pokud φ 1 2 0, φ 0 jsou dvě zobrazení, pro něž platí φ 1 0 o π = π o φ a φ 2 0 o π = π o φ, máme φ 1 0 o π = φ 2 0 o π, a tedy pro každé x X φ 1 0 (x) = (φ 1 0 (π((y)) = (φ 1 0 o π)(y) = (φ 2 0 o π)(y) = (φ 2 0 (π((y)) = φ 2 0 (x), kde y je nějaký bod z fibru nad bodem x. Odtud plyne φ 1 0 = φ 2 0. Izomorfismy fibrované variety mají jednu zásadní vlastnost: převádějí řezy v řezy. Přesně platí Věta 2.1. Nechť φ je izomorfismus fibrované variety π :Y X, φ 0 jeho projekce. Pak pro každý řez γ :U Y fibrované variety π je zobrazení rovněž řez fibrované variety π :Y X. γ = φ o γ o φ 0 1 : φ 0 (U) Y 18

19 Situaci znázorňuje následující diagram: φ Y Y γ γ X φ 0 X Důkaz. Stačí ukázat, že π o γ = id ϕ 0 (U ). S využitím předpokladu, že φ 0 o π = π o φ a π o γ = id U ovšem máme π o γ = π o φ o γ o φ 0 1 = φ 0 o π o γ o φ 0 1 = φ 0 o id U o φ 0 1 = φ 0 o φ 0 1 = id φ0 (U ), což jsme chtěli dokázat Prodloužení fibrovaných variet Buď π :Y X fibrovaná varieta, dim X = n, dimy = n + m. Označme Γ(π) množinu všech lokálních řezů fibrované variety π a Γ W (π) její podmnožinu, tvořenou všemi řezy, jejichž definiční obor obsahuje množinu W X. Definice 2.5. Řekneme, že řezy γ 1, γ 2 fibrované variety π :Y X, definované na otevřené množině W X, mají kontakt prvního řádu v bodě x W, jestliže γ 1 (x) = γ 2 (x), a T x γ 1 = T x γ 2. Řezy, které mají v bodě x kontakt prvního řádu, se rovněž nazývají ekvivalentní (nebo také 1-ekvivalentní) v bodě x. Poznámka 2.2. Přímo z definice je zřejmé, že relace,,řezy γ 1, γ 2 Γ W (π) mají kontakt prvního řádu v bodě x W " je relace ekvivalence na množině Γ W (π). Pojem ekvivalentních, či 1-ekvivalentních řezů je tedy zaveden korektně. Objasníme si blíže význam této relace ekvivalence. Řezy, které mají v bodě x kontakt prvního řádu nabývají v tomto bodě stejnou hodnotu (procházejí stejným bodem v Y) a mají zde,,společný tečný prostor". Vzpomeneme-li si na význam derivace zobrazení (Euklidových prostorů) v bodě x jako,,tečné n-rozměrné roviny" ke grafu zobrazení, vidíme, že kontakt prvního řádu v bodě x vlastně znamená, že příslušná zobrazení F 1, F 2 : R n R m, jejichž grafy lokálně reprezentují uvažované řezy, mají v příslušném bodě stejnou derivaci (a tedy stejnou Jacobiho matici). Dostáváme tak tvrzení, které můžeme považovat za ekvivalentní definici pojmu 1-ekvivalentních řezů: 19

20 Věta 2.2. Řezy γ 1, γ 2 fibrované variety π :Y X, definované na otevřené množině W X, mají kontakt prvního řádu v bodě x W, právě tehdy, když γ 1 (x) = γ 2 (x), a na okolí bodu γ 1 (x) = γ 2 (x) existuje fibrovaný souřadnicový systém (V,ψ), ψ = (x i,y σ ) takový, že pro složky souřadnicových reprezentací ˆ γ 1 = (x i,γ σ 1 ) a ˆ γ 2 = (x i,γ σ 1 ) řezů γ 1, γ 2 platí σ γ 1 = γ σ 2, 1 σ m, 1 i n, x i x i ϕ(x ) ϕ(x) kde ϕ = (x i ) jsou asociované souřadnice na okolí U = π(v ) bodu x. Důkaz. Vyjádříme vztah T x γ 1 = T x γ 2 ve fibrovaných souřadnicích. Ze známé definice tečného zobrazení plyne, že souřadnicová reprezentace lineárního zobrazení T x γ je Jacobiho matice souřadnicové reprezentace ˆ γ = (x i,γ σ ) zobrazení γ v bodě ϕ(x), tedy matice x i E x j = γ σ, γ σ x j x j ϕ(x) ϕ(x) kde E značí jednotkovou matici. Podmínka T x γ 1 = T x γ 2 zapsaná ve fibrovaných souřadnicích tedy znamená, že se rovnají matice E E σ σ γ 1 = γ 2, x j ϕ(x) x j ϕ(x) takže platí σ γ 1 = γ σ 2, 1 σ m, 1 i n. x i x i ϕ(x ) ϕ(x) Obráceně, pokud v nějakých fibrovaných souřadnicích platí výše uvedená podmínka, rovnají se také Jacobiho matice zobrazení ˆ γ = (x i,γ σ ) v bodě ϕ(x). Tedy v těchto souřadnicích mají obě lineární zobrazení T x γ 1, T x γ 2 stejnou reprezentaci. Ukážeme, že tato vlastnost nezávisí na volbě fibrovaných souřadnic, tedy, že v libovolných fibrovaných souřadnicích na okolí bodu y = γ 1 (x) = γ 2 (x) jsou zobrazení T x γ 1, T x γ 2 reprezentována stejnými maticemi. Jsou-li ˆ γ = (x i,γ σ ) a ˆ γ = (x i,γ σ ) reprezentace řezu γ v různých fibrovaných souřadnicích na okolí bodu y, platí ˆ γ =ψ o γ oϕ 1 =ψ oψ 1 oψ o γ oϕ 1 oϕ oϕ 1 =ψ oψ 1 o ˆ γ oϕ oϕ 1, a tedy podle věty o derivaci složeného zobrazení je Dˆ γ (ϕ (x)) = D(ψ oψ 1 o ˆ γ oϕ oϕ 1 )(ϕ (x)) = D(ψ oψ 1 )(ψ(γ(x))) o Dˆ γ (ϕ(x)) o D(ϕ oϕ 1 )(ϕ (x)). Zapíšeme-li tento vztah pomocí matic příslušných derivací, máme 20

21 E γ σ x j ϕ (x) Odtud je již přímo vidět, že platí-li x i 0 = x j y σ y σ x j y ν γ 1 σ x i ϕ(x ) pro všechny hodnoty indexů σ, i, pak také γ 1 σ x i ϕ(x) ψ(γ (x)) E γ σ x j = γ σ 2 x i ϕ(x) ϕ(x ) x i x j = γ σ 2, 1 σ m, 1 i n. x i ϕ(x) Protože obě zobrazení T x γ 1, T x γ 2 mají v libovolných fibrovaných souřadnicích stejné reprezentace, jsou si rovna. ϕ (x ). Definice 2.6. Množina všech řezů definovaných na okolí bodu x X, které mají s řezem γ kontakt prvního řádu v bodě x, se nazývá 1-jet řezu γ v bodě x a označuje se J x1 γ. J x1 γ je tedy třída ekvivalence řezu γ podle relace ekvivalence,,řezy γ 1, γ 2 Γ W (π ) mají kontakt prvního řádu v bodě x W ". Označme J 1 x Y množinu všech 1-jetů řezů fibrované variety π :Y X v bodě x a položme J 1 Y = U J 1 x Y. x X J 1 Y se nazývá první jetová prolongace (nebo také první jetové prodloužení) fibrované variety π. Množina J 1 Y má přirozenou strukturu hladké variety dimenze n + m + nm. Díky její konstrukci vznikají zobrazení a π 1 : J 1 Y X, π 1,0 : J 1 Y Y, J x1 γ x J x1 γ γ(x), která obě jsou surjektivní submerze. Varieta J 1 Y je tedy totální prostor pro dvě různé fibrované variety: π 1 : J 1 Y X s n-rozměrnou bází X a π 1,0 : J 1 Y Y s (n + m)- rozměrnou bází Y. Fibrovaná varieta π 1 : J 1 Y X má (m + nm)-rozměrné fibry, zatímco fibrovaná varieta π 1,0 : J 1 Y Y má fibry dimenze nm. S každou fibrovanou varietou π :Y X je tedy svázán systém dalších fibrovaných variet; můžeme si je znázornit např. takto: 21

22 J 1 Y π 1,0 Y π X J 1 Y π 1 X Definice 2.7. Nechť F je funkce definovaná na otevřené množině W J 1 Y. Existujeli funkce f definovaná na množině π 1,0 (W ) Y taková, že říkáme, že funkce F je liftem funkce f. f o π 1,0 = F, Situaci znázorňuje následující diagram: J 1 Y F R π 1,0 Y π X f b id R R Funkci f a její lift F budeme zpravidla označovat stejně a nebudeme je explicitně rozlišovat. Uvažujme fibrovanou varietu π :Y X (dim X = n, dimy = n + m) a její první jetovou prolongaci J 1 Y. Nechť (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), jsou fibrované souřadnice na Y, (U,ϕ), ϕ = (x i ), s nimi asociované souřadnice na X. Označme V 1 = π 1 1,0 (V ); zřejmě V 1 je otevřená podmnožina v J 1 Y. Pro každý bod J x1 γ V 1 definujeme funkce y σ j (J x1 γ) = γσ (ϕ(x)), 1 σ m, 1 i n, x j kde γ σ jsou složky souřadnicového vyjádření ˆ γ řezu γ (nějakého reprezentanta třídy ekvivalence J x1 γ ). Pak (V 1,ψ 1 ), ψ 1 = (x i,y σ,y j σ ) je souřadnicový systém na J 1 Y ; nazývá se asociovaný s fibrovaným souřadnicovým systémem (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), na Y. 22

23 Poznámka 2.3. Zápis ψ 1 = (x i,y σ,y σ j ) znamená, že (x i,y σ,y σ j ) jsou komponenty zobrazení ψ 1, jehož definičním oborem je otevřená množina V 1 π 1 1,0 (V ) v J 1 Y. Tedy x i,y σ jsou zde funkce na V 1 J 1 Y. Ovšem ψ 1 = (x i,y σ,y σ j ) jsou asociované souřadnice se souřadnicemi (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), na Y, kde x i,y σ označuje funkce na V Y. V označení ψ 1 = (x i,y σ,y σ j ) pro komponenty zobrazení ψ 1 tak vlastně vystupují lifty souřadnicových funkcí x i,y σ definovaných na V. Určíme transformace souřadnic mezi asociovanými souřadnicovými systémy na J 1 Y. Nechť (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), a (V,ψ ), ψ = (x i,y σ ) jsou dva fibrované souřadnicové systémy na Y takové, že V V, (V 1,ψ 1 ), ψ 1 = (x i,y σ,y σ j ) a (V 1,ψ 1 ), ψ 1 = (x i,y σ,y σ j ) s nimi asociované souřadnicové systémy na J 1 Y. Mezi množinami ψ(v V ) a ψ (V V ) v R n +m vzniká transformace souřadnic ψ oψ 1 :(x i,y σ ) (x i,y σ ), kde x i = x i (x j ), y σ = y σ (x j,y ν ). 1 Tato transformace indukuje transformaci ψ 1 oψ 1 asociovaných souřadnic mezi množinami ψ 1 (V 1 V 1 ) a ψ 1 (V 1 V 1 ) v R n +m +nm. Jelikož zobrazení ˆ γ =ψ o γ oϕ 1 má složky (x i,γ σ ), platí γ σ = y σ o γ oϕ 1, a podobně pro souřadnicovou reprezentaci ˆ γ =ψ o γ oϕ 1 řezu γ v,,pruhovaných souřadnicích", která má složky (x i,γ σ ), platí γ σ = y σ o γ oϕ 1. Máme tedy γ σ = y σ oψ 1 oψ o γ oϕ 1 oϕ oϕ 1 = (y σ oψ 1 ) o ˆ γ o (ϕ oϕ 1 ), kde y σ oψ 1 je σ -tá složka transformační funkce ψ oψ 1 (x i,y ν ), a s využitím věty o derivaci složeného zobrazení dostáváme γ σ (ϕ (x)) = (y σ oψ 1 ) (ˆ γ (ϕ(x))) x k i x (ϕ(x)) (ϕ (x)) x j x k i j x x + (y σ oψ 1 ) (ˆ γ (ϕ(x))) γ ν (ϕ(x)) x i (ϕ (x)) y ν x i j x takže = (y σ oψ 1 ) ( ˆ γ (ϕ(x))) + (y σ oψ 1 ) x i y ν ( ˆ γ (ϕ(x))) γ ν (ϕ(x)) x i (ϕ (x)) x i j x = (y σ oψ 1 ) (ψ(γ(x))) + (y σ oψ 1 ) (ψ(γ(x))) γ ν (ϕ(x)) x i (ϕ (x)) x i y ν x i j x y σ j (J x1 γ) = γ σ (ϕ (x)) = x j = (y σ oψ 1 ) (ψ(γ(x))) + (y σ oψ 1 ) (ψ(γ(x))) y ν x i y ν i (J 1 x γ) x i (ϕ (x)). j x Použijeme-li pro lepší přehlednost stejné označení, a to y σ, - pro souřadnicové funkce definované na V Y, - pro funkce y σ oψ, které jsou funkcemi n + m reálných proměnných a - pro lifty těchto funkcí 23

24 (všechny nabývají v odpovídajících bodech svých definičních oborů stejné hodnoty), můžeme poslední vztah zapsat v přehlednějším tvaru y σ j (J x1 γ) = x i y σ + y σ x j x i y y ν ν i (J x1 γ). Tento zápis se ještě dále zjednoduší, zavedeme-li operátory totální derivace d = ν + y dx i x i i, 1 i n. ν y Všimněte si, že každý z uvedených operátorů přiřazuje funkci definované na podmnožině v Y, tedy funkci,,proměnných (x i,y σ )", funkci na podmnožině v J 1 Y, tedy funkci,,proměnných (x i,y σ,y σ j )"; nepřehlédněte, že funkce df dx i je afinní v proměnných y σ j. Obdržené výsledky shrnuje následující tvrzení: Věta 2.3. Transformační vztahy mezi asociovanými fibrovanými souřadnicemi (V 1,ψ 1 ), ψ 1 = (x i,y σ,y j σ ) a (V 1,ψ 1 ), ψ 1 = (x i,y σ,y j σ ), kde V 1 V 1, na J 1 Y mají tvar x i = x i (x j ), y σ = y σ (x j,y ν ), y σ j = x i x j y σ x i + y σ y ν y i ν = x i dy σ. x j dx i Poznámka 2.4. Uvedené transformační vztahy ukazují, že platí y j σ y k ν = x k x j y σ y ν. 1 Tedy Jacobiho matice transformace ψ 1 oψ 1 závisí pouze na prvcích Jacobiho matic transformací základní fibrované variety π :Y X Prodlužování řezů a izomorfismů fibrovaných variet Struktura variety J 1 Y umožňuje některá zobrazení nebo objekty, definované na fibrované varietě π :Y X,,,prodlužovat" z Y na J 1 Y. První konstrukcí tohoto typu, kterou si nyní zavedeme, je prodlužování řezů. Definice 2.8. Nechť π :Y X je fibrovaná varieta, J 1 Y její první prodloužení. Nechť γ : X Y je řez projekce π, definovaný na otevřené množině W X. Pro každé x W klademe J 1 γ(x) = J x1 γ. 24

25 Vzniká zobrazení J 1 γ : X J 1 Y, definované na W, které je řez fibrované variety π 1 : J 1 Y X ; nazývá se první prodloužení řezu γ. Ověříme, že J 1 γ je skutečně řez projekce π 1. Pro všechna x W platí tedy π 1 o J 1 γ = id W. (π 1 o J 1 γ)(x) = π 1 (J 1 γ (x)) = π 1 (J x1 γ ) = x, Cvičení 2.1. Určete vyjádření řezu J 1 γ ve fibrovaných souřadnicích. Řešení. Nechť J 1 γ :W J 1 Y je prodloužení řezu γ :W Y. Zvolme na Y fibrované souřadnice (V,ψ), ψ = (x i,y σ ) (takové, že γ(w ) V ). Mají-li složky souřadnicové reprezentace ˆ γ =ψ o γ oϕ 1 řezu γ tvar ˆ γ (x j ) = (x i,γ σ (x j )), tj. x i o γ oϕ 1 = x i, y σ o γ oϕ 1 = γ σ, pak J 1 γ má v asociovaných souřadnicích (V 1,ψ 1 ), ψ 1 = (x i, y σ, y σ j ) na J 1 Y reprezentaci ψ 1 o J 1 γ oϕ 1 : R n R n +m +nm o složkách ( x i o J 1 γ oϕ 1, y σ o J 1 γ oϕ 1, y j σ o J 1 γ oϕ 1 ), pro něž dostáváme x i o J 1 γ oϕ 1 (ϕ(x)) = x i (J 1 γ(x)) = x i (J x1 γ) = x i (x) (x i o J 1 γ oϕ 1 (ϕ(x))) = (x i (x)) = ϕ(x) y σ o J 1 γ oϕ 1 (ϕ(x)) = y σ (J 1 γ(x)) = y σ (J x1 γ) = y σ (γ(x)) = γ σ (ϕ(x)), takže y j σ o J 1 γ oϕ 1 (ϕ(x)) = y j σ (J 1 γ(x)) = y j σ (J x1 γ) = γσ x j (ϕ(x)), x i o J 1 γ oϕ 1 = x i y σ o J 1 γ oϕ 1 = γ σ, y j σ o J 1 γ oϕ 1 = γσ x j. Prodloužení J 1 γ řezu γ má tedy prvních n + m složek stejných jako řez γ a zbývající složky jsou parciálními derivacemi složek γ σ řezu γ podle proměnných (x 1,K,x n ). Vzhledem k tomuto zjištění budeme pro řez a jeho prodloužení používat následující symbolické označení vztahující se ke zvoleným fibrovaným souřadnicím: γ = (x i,γ σ ), J 1 γ = (x i,γ σ, γσ x j ). 25

26 Prodloužený řez je speciálním typem řezu fibrované variety π 1 : J 1 Y X. Existují samozřejmě řezy, které nejsou prodloužením žádného řezu projekce π :Y X. Pro jejich odlišení vyslovíme tuto definici: Definice 2.9. Řez δ : X J 1 Y fibrované variety π 1 : J 1 Y X se nazývá holonomní, jestliže existuje řez γ fibrované variety π :Y X takový, že δ = J 1 γ. Holonomní řezy jsou tedy takové, jejichž,,třetí sada komponent" ( n + m +první až (n + m + nm)-tá komponenta) mají tvar parciálních derivací n +první až (n + m)-té komponenty podle nezávisle proměnných. Příklad 2.9. Uvažujme fibrovanou varietu π :Y R, dimy = 3, a její prodloužení π 1 : J 1 Y R. Nechť δ : R J 1 Y je řez projekce π 1, který má ve fibrovaných souřadnicích (t,q 1,q 2 ) na Y tvar δ(t) = (t,sin t,t 2,cost,2t). Jelikož cost = dsint dt a 2t = dt 2 dt, je δ prodloužením řezu γ : R Y (tedy δ = J 1 γ ), kde γ(t) = (t,sin t,t 2 ). Naproti tomu řez δ : R J 1 Y projekce π 1 tvaru δ (t) = (t,sin t, t 2,cost,0) není prodloužením žádného řezu fibrované variety π :Y R. Příklad Nyní uvažujme fibrovanou varietu π :Y X, kde dim X = 3 a dimy = 5, a její prodloužení π 1 : J 1 Y X. Nechť řez γ : X Y projekce π má ve fibrovaných souřadnicích (x 1,x 2,x 3,y 1,y 2 ) na Y tvar γ(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1,x 2,x 3, 1 2 x1 x 2 (x 3 ) 2, x1 x 2 x ). 3 Pro jeho prodloužení J 1 γ : X J 1 Y dostaneme J 1 γ(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1,x 2,x 3, 1 2 x1 x 2 (x 3 ) 2, x1 x 2, 1 x x 2 (x 3 ) 2, x1 (x 3 ) 2,x 1 x 2 x 3, x 2 x 3, x1 x 3, x1 x 2 (x 3 ) 2 ). Prodlužovat můžeme nejen řezy, ale také izomorfismy fibrovaných variet. Definice Nechť φ :Y Y je izomorfismus fibrované variety π :Y X, φ 0 : X X jeho projekce. Pro každé J x1 γ J 1 Y klademe J 1 1 φ(j x1 γ) = J φ0 (x ) γ, 26

27 kde γ = φ o γ o φ 0 1 a γ je libovolný reprezentant 1-jetu (třídy ekvivalence) J x1 γ. Vzniká zobrazení J 1 φ : J 1 Y J 1 Y, které se nazývá první prodloužení izomorfismu φ. Věta 2.4. J 1 φ je izomorfismus fibrované variety π 1 : J 1 Y X s projekcí φ 0 a zároveň izomorfismus fibrované variety π 1,0 : J 1 Y Y s projekcí φ. Důkaz. Z definice plyne, že J 1 φ je hladké. Je to bijekce - jak snadno zjistíme, inverzní zobrazení (J 1 φ) 1 má tvar J 1 φ 1 ; je tedy jako prodloužení hladkého zobrazení rovněž hladké. Tím je dokázáno, že J 1 φ je difeomorfismus. Dále, pro každé J x1 γ J 1 Y, (π 1 o J 1 φ)(j x1 γ) = π 1 (J 1 1 φ(j x1 γ)) = π 1 (J φ0 (x) γ ) = φ 0 (x), (φ 0 o π 1 )(J x1 γ) = φ 0 (π 1 (J x1 γ)) = φ 0 (x), takže φ 0 o π 1 = π 1 o J 1 φ. Podle definice je zobrazení J 1 φ izomorfismus fibrované variety π 1 : J 1 Y X s projekcí φ 0. Podobně se dokáže, že J 1 φ je izomorfismus fibrované variety π 1,0 : J 1 Y Y s projekcí φ. Pro každé J x1 γ J 1 Y platí (π 1,0 o J 1 φ)(j x1 γ) = π 1,0 (J 1 1 φ(j x1 γ)) = π 1,0 (J φ0 (x ) γ ) = γ (φ 0 (x)) = (φ o γ)(x), (φ o π 1,0 )(J x1 γ) = φ(π 1,0 (J x1 γ)) = φ(γ(x)) = (φ o γ)(x), tedy φ o π 1,0 = π 1,0 o J 1 φ. Tím je důkaz ukončen. Situaci z věty zachycuje obrázek: J 1 J Y 1 φ J 1 Y π 1,0 π 1,0 φ Y Y π X φ 0 π X Cvičení 2.2. Dokažte, že inverzní zobrazení k izomorfismu J 1 φ je J 1 φ 1. Řešení. (J 1 φ o J 1 φ 1 )(J x1 γ) = J 1 φ(j 1 φ 1 (J x1 γ)) = J 1 1 φ(j 1 φ0 (φ 1 o γ o φ (x ) 0 )) = J x1 γ pro všechna J x1 γ J 1 Y, takže J 1 φ o J 1 φ 1 = id J 1 Y. 27

28 2.5. Druhé prodloužení Pojem prvního prodloužení se dá snadno zobecnit, takže vzniknou variety jetů zkonstruované pomocí vyšších derivací řezů. V tomto textu budeme používat tuto konstrukci ještě pro druhé derivace. Definice Řekneme, že řezy γ 1, γ 2 fibrované variety π :Y X, definované na otevřené množině W X, mají kontakt druhého řádu v bodě x W, jestliže γ 1 (x) = γ 2 (x), a na okolí bodu γ 1 (x) = γ 2 (x) existuje fibrovaný souřadnicový systém (V,ψ), ψ = (x i,y σ ) takový, že složky souřadnicových reprezentací řezů γ 1, γ 2 mají v bodě ϕ(x) stejné parciální derivace až do druhého řádu včetně. Řezy, které mají v bodě x kontakt druhého řádu, se rovněž nazývají 2-ekvivalentní v bodě x. Dle výše uvedené definice tedy pro složky souřadnicových reprezentací ˆ γ 1 = (x i,γ σ 1 ) a ˆ γ 2 = (x i,γ σ 1 ) řezů γ 1, γ 2 platí γ 1 σ x i ϕ(x ) = γ σ 2, a x i ϕ(x) 2 γ 1 σ x i x j ϕ(x) = 2 σ γ 2, x i x j ϕ(x ) 1 σ m, 1 i n, kde ϕ = (x i ) jsou asociované souřadnice na okolí U = π(v ) bodu x. Definice Množina všech řezů definovaných na okolí bodu x X, které mají s řezem γ kontakt druhého řádu v bodě x, se nazývá 2-jet řezu γ v bodě x a označuje se J x2 γ. J x2 γ je tedy třída ekvivalence řezu γ podle relace ekvivalence,,řezy γ 1, γ 2 Γ W (π) mají kontakt druhého řádu v bodě x W ". Označme J 2 x Y množinu všech 2-jetů řezů fibrované variety π :Y X v bodě x a položme J 2 Y = U J 2 x Y. x X J 2 Y se nazývá druhá jetová prolongace (nebo také druhé jetové prodloužení) fibrované variety π Množina J 2 Y má přirozenou strukturu hladké variety dimenze n + m + nm + n(n +1)m. Díky její konstrukci vznikají zobrazení π 2 : J 2 Y X, J x2 γ x, a π 2,0 : J 2 Y Y, J x2 γ γ(x), 28

29 π 2,1 : J 2 Y J 1 Y, J x2 γ J x1 γ, která všechna jsou surjektivní submerze. Varieta J 2 Y je tedy totální prostor pro tři různé fibrované variety: π 2 : J 2 Y X s n-rozměrnou bází X, π 2,0 : J 2 Y Y s (n + m)- rozměrnou bází Y a π 2,1 : J 2 Y J 1 Y s (n + m + nm)-rozměrnou bází J 1 Y. Fibrovaná varieta π 2 : J 2 Y X má (m + nm n(n +1)m)-rozměrné fibry, fibrovaná varieta π 2,0 : J 2 Y Y má fibry dimenze nm + 1 n(n +1)m a fibrovaná varieta π : J 2 2 2,1 Y J 1 Y má fibry dimenze 1 2 n(n +1)m. K fibrované varietě π :Y X tak nyní máme celou hierarchii fibrovaných variet kde zřejmě J 2 Y π 2,1 J 1 Y π 1,0 Y π X J 2 Y π 2,1 J 1 Y π 1 X J 2 Y π 2,0 Y π π 2 = π o π 1,0 o π 2,1 = π 1 o π 2,1 = π o π 2,0, X π 2,0 = π 1,0 o π 2,1, π 1 = π o π 1,0. J 2 Y π 2 X Podobně jako na J 1 Y, vznikají také na J 2 Y asociované souřadnice s fibrovanými souřadnicemi (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), na Y. Mají tvar (V 2,ψ 2 ), ψ 2 = (x i,y σ,y σ j,y σ jk ), 1 j < k n, kde a pro všechny body J x2 γ V 2. V 2 = π 1 2,0 (V ) y σ jk (J x2 γ) = 2 γ σ x j x (ϕ(x)), k Poznámka 2.4. Jak již bylo řečeno, je-li dim X =1, používáme pro fibrované souřadnice na Y označení (V,ψ), ψ = (t,q σ ), kde 1 σ m = dimy 1. Asociované souřadnice na J 1 Y pak označujeme (V 1,ψ 1 ), ψ 1 = (t,q σ, q Ý σ ) 29

30 a odpovídající souřadnice na J 2 Y označujeme (V 2,ψ 2 ), ψ 2 = (t,q σ, q Ý σ, q Ý σ ). Zcela analogicky je také definováno prodlužování řezů a izomorfismů fibrované variety π na druhé jetové prodloužení J 2 Y, které dává řezy J 2 γ : X J 2 Y a izomorfismy J 2 φ fibrované variety π 1 (viz obrázek). J 2 J Y 2 φ J 2 Y π 2,1 π 2,1 J 1 J Y 1 φ J 1 Y π 1,0 π 1,0 φ Y Y π π X φ 0 X Nyní již snadno nahlédneme, že konstrukce jetového prodloužení lze provést i pro vyšší derivace až do libovolného řádu r. Vznikají tak r-jetová prodloužení variet, r-jety řezů, a další objekty,,vyššího řádu". 30

31 3. Vektorová pole a diferenciální formy na fibrovaných varietách Na fibrovaných varietách a jejich prodlouženích vznikají díky fibrované struktuře speciální vektorová pole a diferenciální formy. Jsou to projektabilní vektorová pole a horizontální a kontaktní formy. Jejich zavedení a vlastnostem věnujeme tuto kapitolu. Klíčová slova. Projektabilní vektorové pole, projekce vektorového pole, vertikální vektorové pole, prodloužení vektorového pole, projektabilní forma, horizontální forma, horizontalizace, horizontální derivace, totální derivace, kontaktní forma, kontaktizace, horizontální část formy, kontaktní část formy, k-kontaktní forma, rozklad formy na kontaktní komponenty, Poincaréovo Lemma, Lagrangián, Lagrangeova funkce, dynamická forma, diferenciální rovnice dynamické formy, řešení dynamické formy Projektabilní vektorová pole Definice 3.1. Vektorové pole ξ na Y se nazývá π -projektabilní, existuje-li vektorové pole ξ 0 na X takové, že Tπ oξ = ξ 0 o π. Vektorové pole ξ 0 se pak nazývá projekce pole ξ. Je-li ξ 0 = 0, nazýváme vektorové pole ξ π -vertikální. Najdeme souřadnicovou reprezentaci π -projektabilního a π -vertikálního vektorového pole ve fibrovaných souřadnicích (V,ψ), ψ = (x i,y σ ), na Y. Obecné vektorové pole na Y se vyjadřuje ve tvaru ξ = ξ i 0 (x j,y ν ) + ξ σ (x j,y ν ) x i y, σ a tedy podmínka projektability dává ξ i y σ = 0 a podmínka vertikálnosti znamená, že i ξ 0 = 0, 1 i n. Takže každé π -projektabilní vektorové pole na Y má ve fibrovaných souřadnicích tvar ξ = ξ 0 i (x j ) x i + ξ σ (x j,y ν ) y σ 31

32 a π -vertikální vektorové pole na Y se vyjadřuje ve tvaru ξ = ξ σ (x j,y ν ) y σ. Definice projektabilního a vertikálního pole se dá formulovat naprosto analogicky pro každou projekci fibrované variety: Definice 3.2. Vektorové pole ξ na J 1 Y (J 2 Y ) se nazývá π 1 -projektabilní (π 2 - projektabilní), existuje-li vektorové pole ξ 0 na X, nazývané projekce pole ξ, takové, že Tπ 1 oξ = ξ 0 o π 1 ( Tπ 2 oξ = ξ 0 o π 2). Je-li ξ 0 = 0, nazýváme vektorové pole ξ π 1 -vertikální ( π 2 -vertikální). Označme J 0 Y = Y. Vektorové pole ξ na J r Y, r =1,2, se nazývá π r,s -projektabilní, kde 0 s < r, existuje-li vektorové pole ξ 0 na J s Y takové, že Tπ r,s oξ = ξ 0 o π r,s. Je-li ξ 0 = 0, nazýváme vektorové pole ξ π r,s -vertikální. Cvičení 3.1. Napište souřadnicovou reprezentaci všech vektorových polí uvedených v Definici Projektabilní vektorová pole mají velký význam - lze je totiž prodlužovat. Nechť ξ je π -projektabilní vektorové pole na Y, ξ 0 jeho projekce. Označme {φ u } lokální jednoparametrickou grupu transformací pole ξ a {φ 0u } lokální jednoparametrickou grupu transformací pole ξ 0. Pro každou hodnotu parametru u je φ u izomorfismus fibrované variety π s projekcí φ 0u, můžeme jej tedy prodloužit na izomorfismus J 1 φ u fibrované variety π 1. (Připomeňte si, že pro každý řez γ projekce π je φ u o γ o φ 1 0u opět řez fibrované variety π, lze jej tedy prodloužit na řez fibrované variety π 1 a definovat zobrazení J 1 φ u : J 1 Y J 1 Y - viz odstavec 2.2). Systém těchto izomorfismů {J 1 φ u } je ovšem lokální jednoparametrická grupa transformací na J 1 Y. Na J 1 Y tedy vzniká vektorové pole J 1 ξ, J 1 ξ(j x1 γ) = d du J1 φ u (J x1 γ) u= 0. Definice 3.3. Vektorové pole J 1 ξ na J 1 Y definované výše se nazývá první prodloužení projektabilního vektorového pole ξ na Y. 32

33 Zcela analogicky se definuje druhé prodloužení J 2 ξ projektabilního vektorového pole na Y jako vektorové pole na J 2 Y, jehož lokální jednoparametrická grupa transformací je tvořena druhými prodlouženími izomorfismů φ u. Vektorové pole J 1 ξ je projektabilní na X, kde jeho projekcí je pole ξ 0, i na Y, kde jeho projekcí je pole ξ. Podobně vektorové pole J 2 ξ je projektabilní na J 1 Y, kde jeho projekcí je J 1 ξ, na Y, kde jeho projekcí je ξ, a na X, kde jeho projekcí je ξ 0. Tuto situaci ilustruje obrázek: J 2 J Y 2 ξ TJ 2 Y π 2,1 Tπ 2,1 J 1 J Y 1 ξ TJ 1 Y π 1,0 Tπ 1,0 ξ Y TY π Tπ X ξ 0 TX Souřadnicové reprezentace těchto vektorových polí ve fibrovaných souřadnicích mají následující tvar: ξ 0 = ξ i 0 (x j ) x, i kde ξ = ξ i 0 (x j ) + ξ σ (x j,y ν ) x i y, σ J 1 ξ = ξ i 0 (x j ) + ξ σ (x j,y ν ) x i y + ξ σ σ i y, σ i J 2 ξ = ξ i 0 (x j ) + ξ σ (x j,y ν ) x i y + ξ σ σ i y + ξ σ σ ik i ξ σ i = dξσ j σ dξ y 0 dx i j, dx i ξ ik σ = dξ σ j i dx y σ dξ 0 k ij dx = d 2 ξ σ k dx i dx y σ d 2 j j ξ 0 k j dx i dx y σ dξ 0 k kj dx i y, σ ik j σ dξ y 0 ij dx. k Všimněte si, že komponenty prodloužených vektorových polí se vytvářejí pomocí derivací komponent pole ξ ; přitom u y σ j vystupují první derivace komponent ξ i 0,ξ σ, σ zatímco u y jk vystupují druhé derivace těchto komponent. Specielně, je-li vektorové pole ξ vertikální, tj. je-li ξ 0 = 0, pak 33

34 kde ξ = ξ σ (x j,y ν ) y, σ J 1 ξ = ξ σ (x j,y ν ) y + ξ σ σ i y, σ i J 2 ξ = ξ σ (x j,y ν ) y + ξ σ σ i y + ξ σ σ ik i ξ i σ = dξσ dx i, ξ σ ik = dξ σ i dx = d 2 ξ σ k dx i dx ; k y, σ ik Tedy v tomto případě komponenty u y σ j jsou přímo první derivace komponent ξ σ, a σ komponenty u y jk jsou druhé derivace komponent ξ σ Horizontální formy Nyní přejdeme ke studiu diferenciálních forem na fibrované varietě π :Y X. Z úsporných důvodů budeme též pro Y používat označení J 0 Y. Nechť q 1 je přirozené číslo. Pro r = 0,1,2 označme Λ q (J r Y) modul diferenciálních q-forem na J r Y nad okruhem funkcí, Definice 3.4. Forma η Λ q (J r Y) se nazývá π r -projektabilní, jestliže existuje q- forma η 0 na X taková, že η = π r η 0. η Λ q (J r Y) se nazývá π r,s -projektabilní, kde 0 s < r, existuje-li forma η 0 Λ q (J s Y) taková, že η = π r,s η 0. Forma η 0 se pak nazývá projekce (přesně π r -projekce nebo π r,s -projekce) formy η. Definice 3.5. Forma η Λ q (J r Y) se nazývá π r -horizontální, jestliže i ξ η = 0 pro kaïdé π r - vertikální vektorové pole na J r Y. Forma η Λ q (J r Y) se nazývá π r,s -horizontální, kde 0 s < r, jestliže i ξ η = 0 pro kaïdé π r,s - vertikální vektorové pole na J r Y. π r -horizontální a π r,s -horizontální q-formy na J r Y tvoří podmoduly modulu Λ q (J r Y). Zavádíme pro ně následující označení: 34

35 Λ X q (J r Y) modul π r -horizontálních q-forem na J r Y nad okruhem funkcí, q Λ J (J r Y) modul π s Y r,s -horizontálních q-forem na J r Y nad okruhem funkcí. Přímým výpočtem snadno dostaneme souřadnicovou reprezentaci horizontálních forem: Věta 3.1. Nechť (V,ψ) jsou fibrované souřadnice na Y. Pak forma η Λ X q (J r Y) má souřadnicové vyjádření pro dim X = n a η = f i1 i 2 Ki q dx i 1 dx i 2 L dx i q η = f dt pro dim X =1, kde f je funkce na V r = π r 1 (V ) J r Y. Z věty je zřejmé, že pro q > n je Λ X q (J r Y) = {0}. Formy horizontální vzhledem k projekci na X tedy závisí pouze na diferenciálech dx i, 1 i n (což jsou lineární formy na bázi X). Podobně se vypočítá, že formy horizontální vzhledem k projekci na Y závisí pouze na diferenciálech souřadnic na totálním prostoru, tj. dx i, dy σ 1 i n, 1 σ m, a že formy horizontální vzhledem k projekci na J 1 Y závisí pouze na diferenciálech souřadnic na J 1 Y, tj. dx i, dy σ, dy σ i, 1 i n, 1 σ m. Nyní můžeme definovat operátor horizontalizace, který každé q-formě na J r Y přiřazuje horizontální q-formu, definovanou obecně o řád výše, tedy na J r+1 Y. Protože jsme si explicitně zavedli nejvýše druhé prodloužení J 2 Y fibrované variety π, budeme níže horizontalizaci definovat pouze pro r = 0,1; h bude tedy operátor buď Λ q (Y) Λ q X (J 1 Y) nebo Λ q (J 1 Y) Λ q X (J 2 Y). Není ovšem obtížné tuto definici rozšířit na libovolný řád r. Definice 3.6. Nechť r = 0,1. Zobrazení h : Λ q (J r Y) Λ X q (J r+1 Y), které je R-lineární, zachovává vnější součin forem, a na funkcích a 1-formách je definováno předpisem hf = f o π r+1,r, hdx i = dx i, hdy σ = y σ j dx j, hdy σ i = y σ ij dx j, se nazývá horizontalizace, nebo přesněji horizontalizace vzhledem k surjektivní submerzi π :Y X. 35