Variační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Obsahuje 1413 hypertextových odkazů. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005)

Transkript

1 Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Obsahuje 1413 hypertextových odkazů Zapsal Jan Šustek Aktualizováno 29. května 2005

2 Obsah Seznam použitých symbolů a konvencí Opakování Fibrované variety Horizontální a kontaktní formy Lagrangián, variace Rovnice pro extremály, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice Zpět 1 Předchozí Následující

3 Seznam použitých symbolů a konvencí Seznam použitých symbolů a konvencí R R x y Dom f f g C 1 C k C id M Množina všech reálných čísel Množina všech reálných čísel s přirozenou topologickou a diferencovatelnou strukturou Zobrazení, které každému prvku x z definičního oboru přiřadí prvek y Definiční obor zobrazení f Složená funkce, (f g)(t) = f(g(t)) Množina všech diferencovatelných zobrazení, která mají spojitou derivaci Množina všech zobrazení diferencovatelných až do řádu k, která mají spojitou k-tou derivaci Množina všech nekonečně diferencovatelných (hladkých) zobrazení Identické zobrazení na množině M [a i,j ] Matice mající prvky a i,j det [a i,j ] Determinant matice [a i,j ] O E Nulová matice Jednotková matice dω Vnější derivace diferenciální formy ω, str. 4 ω η Vnější součin diferenciálních forem ω a η, str. 4 J s xγ s-jet řezu γ v bodě x, str. 8 J s Y s-té prodloužení fibrované variety Y, str. 9 Zpět 2 Předchozí Následující

4 Seznam použitých symbolů a konvencí π π s π s,r Projekce z variety Y na varietu X Projekce z variety J s Y na varietu X Projekce z variety J s Y na varietu J r Y J 1 γ Prodloužení řezu γ, str. 11 J 1 α Prodloužení izomorfismu α fibrované variety, str. 14 J 1 ξ Prodloužení projektabilního vektorového pole ξ, str. 19 ξ ω Lieova derivace diferenciální formy ω ve směru vektorového pole ξ, str. 21 hω Horizontální část diferenciální formy ω, str. 24 p r ω r-kontaktní komponenta diferenciální formy ω, str. 29 δs Deformace funkce akce, str. 34 θ λ Poincaré-Cartanova forma, str. 37 Všude v tomto textu budeme používat sumační konvenci: přes stejný index, který se vyskytuje nahoře i dole, se sčítá (v mezích, které jsou zřejmé z kontextu). Zpět 3 Předchozí Následující

5 0. Opakování 0 Opakování Definice (Vektorové pole) Definice (Tečný obraz vektorového pole) Definice (Varieta) Definice 0.4 Nechť X je n-rozměrná varieta. Kompaktní souvislá n-rozměrná podvarieta Ω variety X s okrajem Ω se nazývá kousek variety X. Definice (Diferenciální forma) Definice (Vnější derivace, vnější součin, kontrakce vektorem, pullback) Zpět 4 Předchozí Následující

6 1. Fibrované variety 1 Fibrované variety Definice 1.1 Nechť X je hladká varieta dimenze n a nechť Y je hladká varieta dimenze m+n. Dále nechť π : Y X je zobrazení tvaru lokální projekce. (To znamená, že pro každý bod y Y existuje okolí V y, na kterém existují souřadnice (V, ψ), ψ = (x 1,..., x n, y 1,..., y m ), a existuje okolí U π(y), na kterém existují souřadnice (U, ϕ), ϕ = (x 1,..., x n ) tak, že π má vyjádření π : (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) (x 1,..., x n ).) Potom (Y, π, X) se nazývá fibrovaná varieta. Varieta X se nazývá báze, varieta Y se nazývá totální prostor a π projekce fibrované variety (Y, π, X). Často se o fibrované varietě (Y, π, X) hovoří stručně jako o fibrované varietě π. Definice 1.2 Podvarieta π 1 (x) Y dimenze m se nazývá fibr. Zpět 5 Předchozí Následující

7 1. Fibrované variety Situaci ilustruje obrázek. Na něm jsou části fibrů znázorněny fialově. V y y V Y π π X Zpět 6 Předchozí Následující

8 1. Fibrované variety 1.1 Prodloužení fibrované variety Definice 1.3 Zobrazení γ : I Y, kde I X je otevřená množina, se nazývá řez fibrované variety π, pokud platí π γ = id I, neboli pokud pro všechna x I platí π(γ(x)) = x. Příklad 1.1 Na následujícím obrázku zobrazení γ je řez, zatímco zobrazení δ řez není. γ(x) Y δ(x) γ π δ π π(γ(x)) = x π(δ(x)) X // Souřadnicová reprezentace Pro zobrazení γ platí γ ψ γ ϕ 1 : R n R n+m (x 1,..., x n ) ( γ0(x i 1,..., x n ), γ σ (x 1,..., x n ) ). Zpět 7 Předchozí Následující

9 1. Fibrované variety Protože γ řez, musí platit π γ = id. Z toho plyne souřadnicová reprezentace řezu γ: Situaci zachycuje obrázek. γ : ( x 1,..., x n) ( x 1,..., x n, γ 1 (x 1,..., x n ),..., γ m (x 1,..., x n ) ). V ψ=(x i, y σ ) Y R m+n γ π ϕ = (x i ) ψ γ ϕ 1 γ X x U R n Definice 1.4 Nechť γ 1 a γ 2 jsou řezy fibrované variety (Y, π, X) definované na okolí bodu x X. Řezy γ 1 a γ 2 mají v bodě x dotyk prvního řádu, pokud γ 1 (x) = γ 2 (x) a pokud existuje fibrovaný souřadnicový systém (V, ψ) na okolí γ 1 (x) takový, že souřadnicové reprezentace řezů γ 1 a γ 2 mají v bodě x stejnou derivaci, neboli [ ] [ ] γ σ 1 ϕ(x) γ σ = 2 ϕ(x) x j x j pro všechna σ = 1,..., m a j = 1,..., n. Zpět 8 Předchozí Následující

10 1. Fibrované variety Definice 1.5 Relace mít dotyk prvního řádu je ekvivalence. Množina všech řezů majících v bodě x dotyk prvního řádu s řezem γ se nazývá 1-jet řezu γ v bodě x a označuje se J 1 xγ. Definice 1.6 Množina všech 1-jetů všech řezů fibrované variety (Y, π, X) ve všech bodech x X se nazývá prodloužení fibrované variety (Y, π, X) a označuje se J 1 Y. Množina J 1 Y má strukturu hladké variety dimenze n+m+nm. Na varietě J 1 Y vznikají souřadnice (V 1, ψ 1 ), kde V 1 J 1 Y je otevřená množina, promítající se na V, a ψ 1 = (x i, y σ, y σ j ), kde y σ (J 1 xγ) = γ σ (ϕ(x)) a y σ j (J 1 xγ) = γσ x j ϕ(x). (J 1 Y, π 1, X) je fibrovaná varieta, kde projekce je dána vztahem π 1 : (x i, y σ, y σ j ) (x i ). Podobně je (J 1 Y, π 1,0, Y ) fibrovaná varieta s projekcí π 1,0 : (x i, y σ, y σ j ) (x i, y σ ). Poznámka Podobně se zavádí s-té prodloužení J s Y fibrované variety (Y, π, X) Prvky J s Y jsou s-jety J s xγ řezů γ : X Y v bodech x X. s-jet je třída ekvivalence γ 1 (x) = γ 2 (x) D j1 D jk γ1 σ (ϕ(x)) = D j1 D jk γ2 σ (ϕ(x)), 1 k s. Zpět 9 Předchozí Následující

11 1. Fibrované variety Souřadnice J s Y se označují (x i, y σ, y σ j 1,..., y σ j 1,...,j s ), 1 j 1 j k n, 1 k s, kde y σ j 1,...,j k (J s xγ) = D j1... D jk γ σ (ϕ(x)). Díky fibrované struktuře J 1 Y vzniká možnost prodlužování objektů definovaných na Y na varietu J 1 Y. Zpět 10 Předchozí Následující

12 1. Fibrované variety 1.2 Prodloužení řezu Je-li γ řez fibrované variety (Y, π, X), vzniká přirozeně řez fibrované variety (J 1 Y, π 1, X), označovaný J 1 γ, vztahem J 1 γ(x) = J 1 xγ. Že je J 1 γ řez, se snadno dokáže: (π 1 J 1 γ)(x) = π 1 (J 1 γ(x)) = π 1 (J 1 xγ) = x. Definice 1.7 Řez J 1 γ se nazývá (první) prodloužení řezu γ. Pokud souřadnicová reprezentace řezu γ je je souřadnicová reprezentace řezu J 1 γ γ : (x i ) ( x i, γ σ (x 1,..., x n ) ), (x i ) ( x i, γ σ (x), γσ x j (x)). Poznámka Fibrovaná varieta (J 1 Y, π 1, X) má i jiné řezy, které nevznikají jako prodloužení řezů X Y. Obecný řez projekce π 1 je δ : (x i ) ( x i, δ σ (x), δ σ j (x) ). Přitom δ σ j nemusí být derivace δ σ. Zpět 11 Předchozí Následující

13 1. Fibrované variety Definice 1.8 Řez δ projekce π 1 se nazývá holonomní, pokud je prodloužením nějakého řezu fibrované variety (Y, π, X). Zpět 12 Předchozí Následující

14 1. Fibrované variety 1.3 Prodloužení vektorového pole Definice 1.9 Nechť (α, α 0 ) je dvojice lokálních difeomorfismů, kde α je difeomorfismus variety Y a α 0 je difeomorfismus variety X. Potom (α, α 0 ) se nazývá izomorfismus fibrované variety (Y, π, X), jestliže π α = α 0 π (a definiční obory α a α 0 jsou spolu sladěné). Izomorfismy fibrované variety přenášejí fibry na fibry. Věta 1.1 Izomorfismy fibrované variety převádí řezy na řezy. To znamená, že pro každý řez γ fibrované variety (Y, π, X) je zobrazení γ = α γ α 1 0 také řez fibrované variety (Y, π, X). Důkaz Je třeba dokázat, že π γ = id. Platí (π γ )(x) = (π α γ α 1 0 )(x) = (α 0 π γ α 1 0 )(x) = (α 0 α 1 0 )(x) = x, a tedy π γ = id. Někdy místo pojmu izomorfismus fibrované variety (Y, π, X) používáme (pro zobrazení α) název projektabilní lokální difemorfismus variety Y. Zobrazení α 0 se pak nazývá jeho projekce. Zpět 13 Předchozí Následující

15 1. Fibrované variety 1.4 Prodloužení izomorfismu fibrované variety Definice 1.10 Definujme lokální difeomorfismus variety J 1 Y vztahem J 1 α(j 1 xγ) = J 1 α 0 (x)(α γ α 1 0 ). Zobrazení J 1 α se nazývá prodloužení izomorfismu (α, α 0 ). (J 1 α, α 0 ) je izomorfismus fibrované variety (J 1 Y, π, X). Situaci ilustruje obrázek. V 1 J 1 α V 1 J 1 Y J 1 xγ γ x U α 0 γ J 1 α 0 (x) γ Y α V V U X α 0 (x) Zpět 14 Předchozí Následující

16 1. Fibrované variety Souřadnicová reprezentace Uvažujme fibrovaný souřadnicový systém (V, ψ), ψ = (x i, y σ ), na Y a s ním asociovaný souřadnicový systém (V 1, ψ 1 ), ψ 1 = (x i, y σ, yj σ ), na J 1 Y. Mějme lokální difeomorfismus α : V α(v ) Y (x i, y σ ) (α i 0, α σ ). Obecně platí, že α i 0 i α σ jsou funkcemi proměnných (x j, y ν ). Pokud α je projektabilní difeomorfismus, pak podmínka π α = α 0 π dává pro všechna y Y Pokud označíme π(y) = x, dostaneme (π α)(y) = (α 0 π)(y). π(α(y)) = α 0 (x). Z toho plyne, že funkce α i 0 závisí pouze na proměnných x j, neboli α(x j, y σ ) = ( α i 0(x j ), α σ (x j, y σ ) ). Obecné zobrazení β : J 1 Y J 1 Y má souřadnicovou reprezentaci (x i, y σ, y σ j ) ( β i 0(x k, y ν, y ν l ), β σ (x k, y ν, y ν l ), β σ j (x k, y ν, y ν l ) ). Je-li β = J 1 α, je podle definice vše, co se netýká derivací, stejné jako u zobrazení α, tedy β i 0 = α i 0(x k ), β σ = α σ (x k, y ν ), β σ j = ασ x j. Zpět 15 Předchozí Následující

17 1. Fibrované variety To znamená, že prodloužení projektabilního izomorfismu variety Y má souřadnicovou reprezentaci J 1 α(x i, y σ, y σ j ) (α i0(x k ), α σ (x k, y σ ), ασ x j ). Zpět 16 Předchozí Následující

18 1. Fibrované variety 1.5 Projektabilní vektorová pole Definice 1.11 Vektorové pole ξ na Y se nazývá vertikální, jestliže platí Tπ ξ = 0, tedy jestliže tečný obraz vektorového pole ξ při projekci π je nulové vektorové pole na X. Z definice plyne, že vertikální vektorové pole musí být tečné k fibrům. Definice 1.12 Vektorové pole ξ na Y se nazývá π-projektabilní, jestliže existuje vektorové pole ξ 0 na X takové, že pro všechna y Y platí Tπ ξ(y) = ξ 0 (π(y)), neboli Tπ ξ = ξ 0 π. Vektorové pole ξ je tedy projektabilní, pokud jeho tečný obraz při projekci π je vektorové pole na X. Vertikální vektorové pole je speciálním případem projektabilního vektorového pole. Souřadnicová reprezentace vertikálního vektorového pole Uvažujme fibrované souřadnice (V, ψ), ψ = (x i, y σ ), na Y. Báze tečného prostoru je vektorové pole na Y má tvar ξ = ξ i x + i ξσ y, σ ( ) x,. Obecné i y σ kde ξ i, ξ σ jsou funkce na V. Pro vertikální vektorové pole platí Tπ ξ = 0. Jacobiho matice projekce π je Zpět 17 Předchozí Následující

19 1. Fibrované variety [ E n n O n m ]. Potom je [ ] [ ] ξ i ξ i [ E O] ξ σ = O a Tπ ξ = ξ i x i = 0. Z toho plyne, že ξ i = 0 pro všechna i a vertikální vektorové pole má souřadnicovou reprezentaci ξ = ξ σ (x j, y ν ) y σ. Souřadnicová reprezentace projektabilního vektorového pole pole ξ 0 na X takové, že Tπ ξ(x) = ξ 0 (π(x)). Potom je Podle definice existuje vektorové Tπ ξ = ξ i x = i ξi 0 x. i Z toho plyne, že funkce ξ i závisí pouze na proměnných x j. Projektabilní vektorové pole má tedy souřadnicovou reprezentaci ξ = ξ i (x j ) + ξ σ (x j, y ν ) x i y. σ Zpět 18 Předchozí Následující

20 1. Fibrované variety 1.6 Prodloužení projektabilního vektorového pole Nechť ξ je vektorové pole na Y. Je-li ξ projektabilní, vzniká vektorové pole na J 1 Y, které se označuje J 1 ξ. Označme {α u } jednoparametrickou grupu transformací variety Y příslušnou vektorovému poli ξ. Pro pevné u znamená α u posunutí ve směru ( integrálních ) křivek vektorového pole ξ. Zobrazení α u je lokální dαu difeomorfismus variety Y. Platí ξ =. Jelikož ξ je projektabilní, má projekci ξ 0, což je vektorové du u=0 pole na X. Označme {α 0,u } jednoparametrickou grupu transformací variety X příslušnou vektorovému poli ξ 0. Nyní pro každé u ( ε, ε) je (α u, α 0,u ) izomorfismus fibrované variety (Y, π, X). Izomorfismy fibrované variety umíme prodlužovat, máme tedy lokální difeomorfismus J 1 α u variety J 1 Y. Systém ( {J) 1 α u } dj 1 je lokální jednoparametrická grupa transformací. Odpovídá jí tedy vektorové pole J 1 α u ξ = du u=0 variety J 1 Y. Definice 1.13 Vektorové pole J 1 ξ se nazývá prodloužení vektorového pole ξ. Vektorové pole J 1 ξ je projektabilní na X, jeho projekcí je vektorové pole ξ 0. Je projektabilní také na Y a jeho projekce je vektorové pole ξ. Zpět 19 Předchozí Následující

21 Souřadnicová reprezentace Asociovaná báze tečného prostoru na J 1 Y je souřadnicová reprezentace vektorového pole J 1 ξ je 1. Fibrované variety ( x, i y, σ y σ j ). Potom J 1 ξ = ξ i (x j ) x i + ξσ (x j, y ν ) y σ + ξσ i (x j, y ν, y ν k) y σ i, kde ξi σ = dξσ dx ξ j i yσ j x. i Zde je d operátor i-té totální (formální) derivace, definovaný pro funkci f na Y vztahem dxi což je funkce na J 1 Y. df dx = f i x + f i y ν yν i, Zpět 20 Předchozí Následující

22 2. Horizontální a kontaktní formy 2 Horizontální a kontaktní formy Definice 2.1 Nechť ξ je vektorové pole a ω diferenciální forma. Potom ξ ω = ( dα u ω ) du u=0 se nazývá Lieova derivace diferenciální formy ω ve směru vektorového pole ξ. Ve speciálním případě, kdy ω = f je funkce (tedy diferenciální 0-forma), platí což je derivace ve směru. Věta 2.1 Platí tzv. Cartanova formule ξ f = f x i ξi, ξ ω = i ξ dω + di ξ ω. Zpět 21 Předchozí Následující

23 2. Horizontální a kontaktní formy 2.1 Horizontální formy Definice 2.2 Diferenciální forma ω na Y se nazývá π-horizontální, jestliže pro každé π-vertikální vektorové pole ξ na Y platí i ξ ω = 0. Souřadnicová reprezentace horizontální formy Uvažujme fibrovaný souřadnicový systém ( (V,) ψ), ψ = (x i, y σ ) na Y. Báze lineárních diferenciálních forem je (dx i, dy σ ) (to je duální báze k x, ). i y σ Nechť ω je lineární diferenciální forma, ω = ω i dx i + ω σ dy σ. Protože je ξ vertikální vektorové pole, je ξ = ξ σ. Potom pro každé vektorové pole ξ platí y σ i ξ ω = ( ω i dx i + ω σ dy σ)( ξ ν ) = ωσ ξ σ = 0. y ν Horizontální diferenciální forma má tedy souřadnicovou reprezentaci ω = ω i (x j, y ν )dx i. Horizontální diferenciální forma obsahuje pouze bázové diferenciály dx i. Protože ω i závisí i na proměnných y ν, není to diferenciální forma na bázi X. Obecná horizontální k-forma ω má souřadnicovou reprezentaci ω = ω i1,...,i k (x j, y ν )dx i 1 dx i k. Zpět 22 Předchozí Následující

24 2. Horizontální a kontaktní formy Nenulová horizontální diferenciální forma nejvyššího možného stupně na Y je horizontální n-forma ω = L(x j, y ν )dx 1 dx n. Z toho plyne, že pokud p-forma (p > n) je na Y horizontální, pak je nulová. Poznámka Horizontálost lze definovat vzhledem k libovolné projekci pro formu na libovolné z variet J s Y. Například pro formu na J 1 Y máme dvě projekce π 1 : J 1 Y X π 1,0 : J 1 Y Y. a Forma ω se nazývá π 1 -horizontální, pokud pro každé π 1 -vertikální vektorové pole ξ je i ξ ω = 0. Forma ξ potom obsahuje pouze diferenciály dx i a ne dy σ a dy σ j. Forma ρ se nazývá π 1,0 -horizontální, pokud pro každé π 1,0 -horizontální vektorové pole je i ξ ρ = 0. Potom ρ může obsahovat pouze diferenciály dx i a dy σ a ne dy σ j. Dále budeme psát horizontální, pokud budou vzhledem k projekci na bázi X, tedy k projekci π, π 1 nebo obecně π s. Zpět 23 Předchozí Následující

25 2. Horizontální a kontaktní formy 2.2 Horizontalizace V modulu diferenciálních k-forem definovaných na Y působí operátor h, který se nazývá horizontalizace a který k-formě ω na Y přiřadí k-formu hω na J 1 Y. Definice 2.3 Horizontalizace h je R-lineární operátor zachovávající vnější součin, definovaný vztahy hdx i = dx i, hdy σ = y σ j dx j a hf = f π 1,0 pro funkci f na Y. Forma hω se nazývá horizontální část formy ω. R-linearita znamená Příklad 2.1 Určeme horizontální část formy ρ = ρ i dx i + ρ σ dy σ. hρ = h(ρ i dx i ) + h(ρ σ dy σ ) = hρ i hdx i + hρ σ hdy σ = (ρ i π 1,0 )dx i + (ρ σ π 1,0 )yi σ dx i = = ( ) ρ i π 1,0 + (ρ σ π 1,0 )yi σ dx i Protože funkce ρ i a ρ σ nezávisí na proměnných y ν j, nezmění složení s π 1,0 tvar těchto funkcí a lze stručně psát hρ = (ρ i + ρ σ y σ i )dx i. Zpět 24 Předchozí Následující //

26 2. Horizontální a kontaktní formy Analogicky se definuje operátor h pro k-formy na J s Y, s > 0, který formě na J s Y přiřazuje formu na J s+1 Y, a to vztahy hf = f π s+1,s, hdx i = dx i, hdy σ j = y σ j,kdx k,..., hdy σ j 1,...,j s = y σ j 1,...,j s,kdx k. Horizontální část formy ρ = ρ i dx i + ρ σ dy σ na Y je forma hρ = (ρ i + ρ σ y σ i )dx i na J 1 Y. Platí π 1,0ρ = ρ i dx i + ρ σ dy σ = (π 1,0ρ hρ) + hρ. Forma π 1,0 se rozpadá na horizontální část a na zbytek. Dále je π 1,0ρ hρ = ρ i dx i + ρ σ dy σ (ρ i + ρ σ y σ i )dx i = ρ σ (dy σ y σ i dx i ) = ρ σ ω σ. Dostaneme?π 1,0ρ = ρ σ ω σ + ρ i dx i?. Toto štěpení je nezávislé na volbě souřadnic. Zpět 25 Předchozí Následující

27 2. Horizontální a kontaktní formy 2.3 Kontaktní formy Definice 2.4 Diferenciální k-forma ρ na J 1 Y se nazývá kontaktní, jestliže pro každý řez fibrované variety (Y, π, X) platí J 1 γ ρ = 0. Příklad 2.2 Nechť dimenze variety X je jedna. Na J 1 Y jsou souřadnice (t, q σ, q σ ). Lineární forma na J 1 Y má tvar ρ = ρ 0 dt + ρ σ dq σ + ρ σ d q σ. Potom J 1 γ ρ = (ρ 0 J 1 γ)j 1 γ dt + (ρ σ J 1 γ)j 1 γ dq σ + ( ρ σ J 1 γ)j 1 γ d q σ = = (ρ 0 J 1 γ)d(t J 1 γ) + (ρ σ J 1 γ)d(q σ J 1 γ) + ( ρ σ J 1 γ)d( q σ J 1 γ) = = (ρ 0 J 1 γ)dt + (ρ σ J 1 γ)dγ σ + ( ρ σ J 1 γ)d γ σ = = (ρ 0 J 1 γ)dt + (ρ σ J 1 γ) dγσ dt dt + ( ρ σ J 1 γ) d2 γ σ dt dt = 2 = ((ρ 0 J 1 γ) + (ρ σ J 1 γ) dγσ dt + ( ρ σ J 1 γ) d2 γ σ ) dt = dt 2 = (ρ 0 + ρ σ q σ + σρ σ q σ ) J 2 γ dt. (2.1) Podmínka kontaktnosti dává (2.1) = 0 pro každý řez γ. Jestliže ρ neobsahuje d q σ, neboli pokud má tvar ρ = ρ 0 dt + ρ σ dy σ, pak platí J 1 γ ρ = (ρ 0 + ρ σ q σ ) J 1 γ dt = 0. Zpět 26 Předchozí Následující

28 2. Horizontální a kontaktní formy Z toho plyne ρ 0 + ρ σ q σ = 0, tedy ρ 0 = ρ σ q σ. Potom ρ = ( ρ σ q σ )dt + ρ σ dq σ = ρ σ (dq σ q σ dt) = ρ σ ω σ. Každá kontaktní 1-forma na J 1 Y (která neobsahuje d q σ ) je tedy lineární kombinací forem ω σ = dq σ q σ dt. (2.2) // Věta 2.2 Formy ω σ na (2.2) jsou kontaktní. Důkaz Podle definice J 1 γ je d(qσ J 1 γ) dt = q σ J 1 γ. Potom je ( d(q J 1 γ ω σ = d(q σ J 1 γ) ( q σ J 1 σ J 1 γ) γ)dt = dt ) ( q σ J 1 γ) dt = 0. Definice 2.5 Formy ω σ se nazývají kanonické kontaktní formy a tvoří bázi kontaktních forem na J 1 Y. Podobně při dim X = n > 1 vyjde ω σ = dy σ y σ j dx j. Zpět 27 Předchozí Následující

29 2. Horizontální a kontaktní formy Obecně bázi kontaktních forem na J r Y tvoří formy ω σ = dy σ y σ j dx j ω σ k = dy σ k y σ kjdx j ω σ k 1,...,k r 1 = dy σ k 1,...,k r 1 y σ k 1,...,k r 1,jdx j. Kanonické kontaktní 1-formy generují ideál ve vnější algebře (v algebře diferenciálních forem. Nazývá se kontaktní ideál. Jeho prvky jsou kontaktní formy. Obecná kontaktní forma na J 1 Y má tvar ω σ η σ, kde η σ je diferenciální forma na J 1 Y. Obecná kontaktní forma na J 2 Y má tvar ω σ η σ + ω σ j η j σ. Poznámka Kontaktní ideál není uzavřený vzhledem k vnější derivaci, tedy vnější derivace kontaktní formy na J r Y nemusí být generována formami ω σ,..., ωj σ 1,...,j r 1. Příklad 2.3 Kontaktní ideál na J 1 Y je generován formami ω σ = dy σ y σ j dx j. Platí dω σ = dy σ j dx j, což nelze vyjádřitve tvaru ω ν η ν. // Označme di množinu vnějších derivací forem z kontaktního ideálu I na J 1 Y. Vezmeme-li generátory ω σ a dω σ ideálu di, lze libovolnou kontaktní formu ρ na J 1 Y vyjádřit ve tvaru ω σ η σ + dω σ λ σ. Kanonická báze lineárních forem na J 1 Y je (dx i, dy σ, dy σ j ). Zpět 28 Předchozí Následující

30 2. Horizontální a kontaktní formy Definice 2.6 Báze (dx i, ω σ, dy σ j ) lineárních forem na J 1 Y se nazývá adaptovaná báze. Obecně na J r Y je adaptovaná báze (dx i, ω σ,..., ω σ j 1,...,j r 1, dy σ j 1,...,j r ). Každá diferenciální forma ρ na J 1 Y se rozkládá jednoznačně a invariantně na tvar π 2,1ρ = ρ 1 + ρ 2, kde ρ 1 je horizontální forma (generovaná bází (dx i )) a ρ 2 je kontaktní forma (generovaná bází (ω σ, ω σ j )). Definice 2.7 Nechť ρ je kontaktní forma na J 1 Y. Podle výše uvedeného rozkladu je forma π 2,1ρ = ρ 2 generovaná formami ω σ a ω σ j. Forma ρ se nazývá 1-kontaktní, jestliže lze zapsat ve tvaru π 2,1ρ = ω σ η σ + ω σ j η j σ, kde η σ a η j σ jsou horizontální formy. Jestliže η σ a η j σ jsou (r 1)-kontaktní formy, pak se ρ nazývá r-kontaktní. r-kontaktní forma tedy obsahuje v každém svém členu vnější součin právě r faktorů ω σ, ω σ j. Teorém 2.1 Každá diferenciální k-forma na J 1 Y má jednoznačný a invariantní rozklad tvaru π 2,1ρ = hρ + p 1 ρ + p 2 ρ + + p k ρ, kde hρ je horizontální forma a p r ρ jsou r-kontaktní formy. Zpět 29 Předchozí Následující

31 2. Horizontální a kontaktní formy Operátory h, p 1,..., p k (projektory na podmoduly horizontálních, 1-kontaktních,..., k-kontaktních forem) přiřazují každé k-formě na J 1 Y její horizontální, 1-kontaktní,..., k-kontaktní komponentu (což je forma na J 2 Y ). Příklad 2.4 Mějme na J 1 Y lineární formu ρ = ρ i dx i + ρ σ dy σ + ρ j σdy σ j. Nahraďme dy σ, dy σ j formami ω σ, ω σ j. Potom je Platí tedy π 2,1ρ = ρ i dx i + ρ σ (ω σ + y σ j dx j ) + ρ j σ(ω σ j + y σ jkdx k ) = = (ρ i + ρ σ y σ i + ρ j σy σ ji)dx i + ρ σ ω σ + ρ j σω σ j. hρ = (ρ i + ρ σ y σ i + ρ j σy σ ji)dx i a p 1 ρ = ρ σ ω σ + ρ j σω σ j. // Příklad 2.5 Na J 1 Y mějme 3-formu ρ = a j iσν dxi dy σ dy ν j. Zpět 30 Předchozí Následující

32 2. Horizontální a kontaktní formy Ta má rozklad π 2,1ρ = a j iσν dxi (ω σ + yk σ dx k ) (ωj ν + yjldx ν l ) = = a j iσν (dxi ω σ + yk σ dx i dx k ) (ωj ν + yjldx ν l ) = = a j iσν (dxi ω σ ωj ν + yjldx ν i ω σ dx l + yk σ dx i dx k ωj ν + yk σ yjldx ν i dx k dx l ) = = a j iσν yσ k yjldx ν i dx k dx l + a j iσν ( yν jlω σ dx i dx l + yk σ ωj ν dx i dx k ) + a j iσν ωσ ωj ν dx i. Z toho dostaneme hρ = a j iσν yσ k yjldx ν i dx k dx l p 1 ρ = a j iσν ( yν jlω σ dx i dx l + yk σ ωj ν dx i dx k ) p 2 ρ = a j iσν ωσ ωj ν dx i p 3 ρ = 0. // Zpět 31 Předchozí Následující

33 3. Lagrangián, variace 3 Lagrangián, variace 3.1 Lagrangián Definice 3.1 Nechť (Y, π, X) je fibrovaná varieta taková, že dim X = n a dim Y = m + n. Lagrangiánem r-tého řádu na fibrované varietě (Y, π, X) nazýváme horizontální n-formu λ na J r Y. To znamená, že v každých fibrovaných souřadnicích platí λ = L(x i, y σ, y σ j 1,..., y σ j 1,...,j r )dx 1 dx n. Funkce L se nazývá Lagrangeova funkce. Objemový element se označuje ω 0 = dx 1 dx n. Pozor! Lagrangián není funkce. Transformační vztah pro Lagrangián Platí λ = Ldx 1 dx n = Ld x 1 d x n = Transformujme souřadnice (x i, y σ,..., y σ j 1,...,j r ) na ( x i, ȳ σ,..., ȳ σ j 1,...,j r ). L x1 x i 1 dxi 1 x1 x in dxin = L det [ x i x j ] dx 1 dx n. Zpět 32 Předchozí Následující

34 3. Lagrangián, variace Z toho plyne L = L det [ ] x x a [ ] x L = det. x Definice 3.2 Nechť Ω je kousek variety X. Funkce akce Lagrangiánu λ na Ω je zobrazení S : Γ Ω R γ J 1 γ λ, kde Γ Ω je množina všech řezů fibrované variety (Y, π, X) takových, že Dom γ Ω. Ω Zpět 33 Předchozí Následující

35 3. Lagrangián, variace 3.2 Variace Definice 3.3 Projektabilní vektorové pole na varietě Y se nazývá variační vektorové pole. Definice 3.4 Mějme variační vektorové pole ξ. Označme ξ 0 projekci vektorového pole ξ na varietu X. Vektorovému poli ξ přísluší jednoparametrická grupa transformací {ϕ u } a podobně vektorovému poli ξ 0 přísluší jednoparametrická grupa transformací {ϕ 0,u }. Řez γ u = ϕ u γ ϕ 1 0,u se nazývá variace řezu γ. Vzniká jednoparametrický systém řezů {γ u } fibrované variety (Y, π, X). Poznámka V definici variačního vektorového pole je nutné, aby vektorové pole bylo projektabilní, protože potom bude obrazem řezu opět řez. Definice 3.5 Pro variační vektorové pole ξ a řez γ vzniká zobrazení δs : ( ε, ε) R u ϕ 0,u (Ω) J 1 γ uλ, které se nazývá deformace funkce akce. To je funkce jedné reálné proměnné. Derivace této funkce podle parametru pro u = 0 se nazývá variace funkce akce. Zpět 34 Předchozí Následující

36 3. Lagrangián, variace Pro variaci funkce akce platí ( d ) ( d J 1 γ du uλ = u=0 du ϕ 0,u (Ω) ϕ 0,u (Ω) J 1( ) ) λ ϕ u γ ϕ 1 0,u = J 1 γ J 1 ξ λ. u=0 Ω Poznámka Máme tedy funkci S : γ J 1 γ J 1 ξ λ. Ω Na funkci S lze nahlížet jako na funkci akce Lagrangiánu J 1 ξ λ. Zvolíme-li další variační vektorové pole η, můžeme určit příslušnou variaci funkce akce S, tedy zobrazení γ J 1 γ J 1 η J 1 ξ λ. Toto se nazývá druhá variace funkce akce S. Podobně se definují variace vyšších řádů. Ω Zpět 35 Předchozí Následující

37 3. Lagrangián, variace 3.3 První variační formule Budeme se věnovat variaci funkce akce S Lagrangiánu λ. Cílem bude rozložit integrál J 1 γ J 1 ξ λ (3.1) Ω na součet dvou členů: člen reprezentující Euler-Lagrangeovy rovnice, tedy podmínky pro extremály, a hraniční člen reprezentující zachovávající se veličiny. Integrál (3.1) lze rozložit nezávisle na použitých souřadnicích. Nabízí se použít Cartanovu formuli. Dostali bychom tak vztah J 1 γ J 1 ξ λ = J 1 γ i J 1 ξ dλ + J 1 γ di J 1 ξ λ = J 1 γ i J 1 ξ dλ + dj 1 γ i J 1 ξ λ. Ω Zde však první integrál závisí na použitých souřadnicích. Ω Ω Teorém 3.1 Nechť λ = Lω 0 je Lagrangián na J 1 Y. Potom existuje kontaktní forma ν na J 1 Y taková, že pro každé γ výraz J 1 γ J 1 ξ (λ + ν) nezávisí na derivacích komponent vektorového pole ξ. Platí Ω ν = L ω σ ω yj σ j + µ, (3.2) kde ω σ = dy σ y σ j dx j, Ω a µ je libovolná forma kontaktnosti 2. ω j = i / x j ω 0 Zpět 36 Předchozí Následující

38 3. Lagrangián, variace Poznámka Forma ν není určena Lagrangiánem jednoznačně pro n > 1. Pro obyčejné diferenciální rovnice (n = 1) je forma ν jediná a má tvar L q σ ωσ. Poznámka Každá forma (3.2) se nazývá Lepageův ekvivalent Lagrangiánu λ. Forma θ λ = λ+ L ω σ ω j se nazývá Poincaré-Cartanova forma. y σ j Poznámka Funkce akce Lagrangiánu λ a Lagrangiánu λ + ν jsou stejné. Variace funkce akce těchto Lagrangiánů jsou také stejné. Proto pro odvození invariantní první variační formule lze použít formu λ + ν (speciálně formu θ λ ). Integrální tvar první variační formule J 1 γ J 1 ξ λ = J 1 γ i J 1 ξ dθ λ + Ω Ω Ω Diferenciální tvar první variační formule h J 1 ξ λ = hi J 1 ξ dθ λ + hi J 1 ξ θ λ J 1 γ i J 1 ξ θ λ Zpět 37 Předchozí Následující

39 4. Rovnice pro extremály, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice 4 Rovnice pro extremály, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice Definice 4.1 Deformace s pevnými konci nad Ω je projektabilní vektorové pole ξ na Y, které je nulové nad Ω, tedy ξ = 0 na π 1 ( Ω). Definice 4.2 Řez γ : X Y se nazývá extremála Lagrangiánu λ na Ω, jestliže pro každou deformaci ξ s pevnými konci je J 1 γ J 1 ξ λ = 0. Ω Definice 4.3 Řez γ : X Y se nazývá extremála Lagrangiánu λ, jestliže je extremála pro každý kousek Ω variety X. Teorém 4.1 (Eulerovy-Lagrangeovy rovnice) Nechť λ je Lagrangián na J 1 Y. Potom jsou následující podmínky ekvivalentní. 1. Řez γ : X Y je extremála Lagrangiánu λ. 2. Pro každé projektabilní vektorové pole ξ na Y platí J 1 γ i J 1 ξ dθ λ = Pro každé vertikální vektorové pole ξ na Y platí J 1 γ i J 1 ξ dθ λ = Zobrazení γ splňuje systém diferenciálních rovnic L y d L σ j = 0, 1 σ m, y σ j Zpět 38 Předchozí Následující

40 4. Rovnice pro extremály, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice kde d j je operátor j-té totální derivace, d j = x j + yν j y + ν yν kj y ν k. Poznámka souřadnicích. Rovnice J 1 γ i J 1 ξ dθ λ = 0 jsou globální, platí na celé varietě a lze je vyjádřit v libovolných Poznámka Pokud bude dim X = 1, budou mít Eulerovy-Lagrangeovy rovnice tvar L q d L σ dt q = 0, 1 σ m, σ což je soustava obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro složky γ 1,..., γ m zobrazení γ. Poznámka řádu. Při dim X > 1 jsou Eulerovy-Lagrangeovy rovnice parciální diferenciální rovnice druhého Zpět 39 Předchozí Následující

41 4. Rovnice pro extremály, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice 4.1 Invariantní variační problémy Definice 4.4 Nechť λ je Lagrangián na J 1 Y. Lokální difeomorfismus α : Y Y se nazývá transformace invariance Lagrangiánu λ, jestliže platí J 1 α λ = λ. Definice 4.5 Uvažujme jednoparametrickou grupu transformací {α t } variety Y. Odpovídá jí vektorové pole ξ na Y. Vektorové pole ξ je symetrie Lagrangiánu λ, jestliže pro každé t je α t transformace invariance Lagrangiánu λ. Věta 4.1 Vektorové pole ξ je symetrie Lagrangiánu λ právě tehdy, když platí J 1 ξ λ = 0. Poslední rovnice se nazývá rovnice Noetherové. Poznámka Pro dim X = 1 má rovnice Noetherové tvar známý z přednášky Variační počet 1. Teorém 4.2 (Noether) Nechť vektorové pole ξ je symetrie Lagrangiánu λ. Pak podél každé extremály platí J 1 γ di J 1 ξ θ λ = 0. Toto se nazývá zákon zachování. Výraz i J 1 ξ θ λ se nazývá Noetherovský tok, je to (n 1)-forma. V případě dim X = 1 je i J 1 ξ θ λ funkce konstantní podél extremál. Zpět 40 Předchozí Následující

42 4. Rovnice pro extremály, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice Význam Dostatečné množství Noetherovských toků umožňuje nalézt extremály, tedy nalézt řešení Eulerových-Lagrangeových rovnic. Zpět 41 Předchozí Následující