Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně"

Transkript

1 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností se rozumí, že pro X platí nebo ekvivalentně {ω Ω : X(ω) B} A, B B n, () {ω Ω : X(ω) x} A, x R n () VII Věta Zobrazení X = (X,, X n ) : Ω R n je náhodným vektorem právě tehdy, jsou-li X,, X n náhodné veličiny VII3 Věta Je-li ϕ : R n R m B n -měřitelné zobrazení a je-li X n- rozměrný náhodný vektor, potom Y = ϕ(x) je m-rozměrný náhodný vektor Pravděpodobnostní chování náhodného vektoru se popisuje (obdobně jako u náhodné veličiny) pomocí distribuční funkce a pomocí rozdělení pravděpodobností Definice 74 Nechť X = (X,, X n ) je náhodný vektor definovaný na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) Distribuční funkce náhodného vektoru X je reálná funkce F X definovaná na R n vztahem F X (x,, x n ) = P(X x,, X n x n ) = P(X x), x = (x,, x n ) R n VII5 Věta [o vlastnostech distribuční funkce] Distribuční funkce F X (x,, x n ) n-rozměrného náhodného vektoru X má tyto vlastnosti: lim F X(x,, x n ) =, lim F X(x,, x n ) = 0 i x i i x i F X (x,, x n ) je zprava spojitá v každé proměnné (při pevných hodnotách ostatních n proměnných) 3 Pro všechna a i, b i, < a i b i <, i =,, n, platí P(a < X b,, a n < X n b n ) = ( ) ε j F X (c,, c n ) 0, kde ε j = 0 nebo ε j =, (j =,, n), c j = a j ε j + b j ( ε j ), 59

2 4 F X (x,, x n ) je neklesající funkcí každé své proměnné (při pevně daných hodnotách ostatních n proměnných) VII6 Věta [o postačujících podmínkách pro distribuční funkci F X ] Nechť funkce G : R n R má vlastnosti,, 3 uvedené v předchozí větě Potom existuje pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a na něm definovaný náhodný vektor X tak, že G(x,, x n ) je jeho distribuční funkcí Definice 77 Nechť X = (X,, X n ) je náhodný vektor definovaný na (Ω, A, P) Množinovou funkci P X definovanou na borelovské σ-algebře B n vztahem P X (B) = P(X B), B B n, nazýváme rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X Definice 78 Distribuční funkce F X (x,, x n ) náhodného vektoru X se nazývá diskrétní, existuje-li konečná nebo nekonečná prostá posloupnost {x m }, x m R n, a odpovídající posloupnost kladných čísel {p m }, p m =, takové, že F X (x,, x n ) = p m, x = (x,, x n ) R n (3) m:x m x Má-li náhodný vektor X diskrétní distribuční funkci, říkáme, že X je diskrétního typu (krátce: diskrétní) a jeho rozdělení pravděpodobností se také nazývá diskrétní Poznámka Funkce splňující vztah (??) vyhovuje předpokladům věty o postačujících podmínkách pro distribuční funkci a je proto distribuční funkcí nějakého náhodného vektoru Náhodný vektor X nabývá právě hodnot x m = (x m,, x m n ) s pravděpodobnostmi p m = P(X = x m ) Množina M = {x m } tvoří obor hodnot diskrétního náhodného vektoru X Funkci p m definované na M se říká pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru X = (X,, X n ) je diskrétní právě tehdy, jsou-li diskrétní náhodné veličiny X j pro každé j =,, n Označíme-li M j R obor hodnot náhodné veličiny X j, j =,, n, je M = M M n Uvažujme osudí, ve kterém jsou kuličky n různých barev a nechť pravděpodobnost, že vybereme kuličku j-té barvy je rovna číslu p j, j =,, n Z osudí vybereme r-krát po jedné kuličce, po každém výběru kuličku vrátíme zpět do osudí Označme X j náhodnou veličinu, která je rovna počtu vybraných kuliček j-té barvy, j =,, n, v těchto r tazích Určete pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru X = (X,, X n ) VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 60

3 Hodnoty x m = (x m,, x nm ) náhodného vektoru X jsou ty body prostoru R n, pro jejichž souřadnice platí x jm {0,,, r}, n x jm = r, j =,, n (4) j= ( r = pravděpodobnostní funkce X je rovna x m p(x m ) = P(X = x m ) = P(X = x m,, X n = x nm ) = )( ) ( ) r xm r xm x n,m (p ) x m (p ) x m (p n ) xnm = x m = x nm r! x m!x m! x nm! (p ) x m (p n ) xnm, (5) kde kombinační číslo ( ) r x m udává počet možností pro výběr xm kuliček barvy, ( r x m ) x m je počet možností, jak lze ve zbývajících r x m tazích vybrat x m kuliček barvy atd Tyto výběry lze vzájemně kombinovat, součin kombinačních čísel udává počet těchto kombinací Každá kombinace (posloupnost r tahů, v nichž barva byla tažena právě x m -krát, druhá barva právě x m - krát,, n-tá barva právě x nm -krát) má pravděpodobnost (p ) x m (p n ) xnm, protože obsah osudí se nemění, výsledky jednotlivých tahů jsou nezávislé Náhodný vektor X, který má pravděpodobnostní funkci p(x m ) danou vzorcem (??) a obor hodnot M = {x m }, kde souřadnice splňují (??), má tzv multinomické rozdělení pravděpodobností s parametry r, p,, p n Zvláštní případy: Pro n = se jedná o binomické rozdělení (dva možné výsledky pokusu), pro n = 3 se jedná o tzv trinomické rozdělení (tři možné výsledky pokusu) Obdobně jako pro diskrétní náhodnou veličinu X platí i pro diskrétní náhodný vektor X = (X,, X n ) následující vztahy: P(X B) = p m, B B n, x m B Je-li ϕ(x,, x n ) : R n R borelovská funkce, potom pro náhodnou veličinu Y = ϕ(x) platí P(Y y) = p m, y R {m:ϕ(x m) y} E(Y ) = E[ϕ(X)] = m ϕ(x m )p m VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 6

4 Definice 79 Distribuční funkce F X (x,, x n ) se nazývá absolutně spojitá, existuje-li nezáporná borelovsky měřitelná funkce f(x,, x n ) : R n R taková, že x xn F X (x,, x n ) = f(t,, t n ) dt dt n, x = (x,, x n ) R n Funkce f(x,, x n ) se nazývá hustota (rozdělení pravděpodobností) náhodného vektoru X Má-li náhodný vektor X absolutně spojitou distribuční funkci, říkáme, že je absolutně spojitého typu (krátce: absolutně spojitý) a jeho rozdělení pravděpodobností se nazývá absolutně spojité Poznámka Obdobně jako u absolutně spojité náhodné veličiny platí: n f(x,, x n ) = F X (x,, x n ), skoro všude vzhledem k n-rozměrné Lebesgueově míře x x n Je-li f(x,, x n ) 0 borelovsky měřitelná funkce taková, že f(x,, x n ) dx dx n =, pak je hustotou nějakého absolutně spojitého náhodného vektoru 3 Pro absolutně spojitý náhodný vektor X platí P(X B) = f(x,, x n ) dx dx n, B B n B 4 Je-li ϕ(x,, x n ) : R n R borelovsky měřitelná funkce, platí pro náhodnou veličinu Y = ϕ(x) P(Y y) = E[ϕ(X)] = {x:ϕ(x) y} f(x,, x n ) dx dx n, y R, ϕ(x,, x n )f(x,, x n ) dx dx n Příklad 70 Dvourozměrné rovnoměrné rozdělení v obdélníku a, b a, b, a < b, a < b, má náhodný vektor X = (X, X ), který má hustotu { f(x, x ) =, pro < a (b a )(b a ) i x i b i <, i =,, 0, jinde, tj X nabývá hodnot v daném obdélníku VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 6

5 Příklad 7 Dvourozměrné normální rozdělení náhodného vektoru X = (X, X ) je charakterizováno hustotou f(x, x ) = { [ (x µ ) exp ( ϱ ) σ πσ σ ϱ ϱ (x µ )(x µ ) + (x µ ) ]}, σ σ σ (x, x ) R Značíme X N (µ, µ, σ, σ, ϱ), kde µ i R, σ i > 0, i =,, ϱ < jsou parametry Příklad 7 Regulární n-rozměrné normální rozdělení má náhodný vektor X, který má hustotu f(x,, x n ) = exp { } (π) (x µ)v (x µ) T, n detv x = (x,, x n ) R n, kde µ = (µ,, µ n ) R n a V = (v ij ) n i,j= je pozitivně definitní reálná matice Označujeme X N n (µ, V ), kde µ j, v ij, i, j =,, n jsou parametry tohoto rozdělení Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a na něm n náhodných veličin X,, X n Dokázali jsme, že X = (X,, X n ) je náhodný vektor a naopak, že všechny složky náhodného vektoru jsou náhodné veličiny Odpovíme na dvě otázky: a) Známe-li rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X, můžeme jednoznačně určit rozdělení pravděpodobností libovolného podvektoru (X i,, X ik ), k =,, n, i < < i k n, tedy také rozdělení pravděpodobností libovolné náhodné veličiny X i, i =,, n? b) Známe-li rozdělení pravděpodobností všech složek X,, X n, lze obecně určit rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X? Definice 73 Náhodný vektor (X i,, X ik ) se nazývá marginální náhodný vektor příslušný k náhodnému vektoru X, jeho distribuční funkci F Xi,,X ik (x i,, x ik ) nazýváme marginální distribuční funkcí k distribuční funkci F X (x,, x n ) a obdobně rozdělení pravděpodobností marginálního náhodného vektoru se nazývá marginální rozdělení pravděpodobností příslušné k rozdělení P X VII4 Věta [o marginálním rozdělení] Nechť X = (X,, X n ), n, je náhodný vektor, potom lim x n F X(x,, x n ) = F X,,X n (x,, x n ), x j R, j =,, n VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 63

6 VII5 Věta Nechť X = (X,, X n ) je náhodný vektor, F X (x,, x n ) jeho distribuční funkce Pro distribuční funkci náhodného vektoru (X i,, X ik ), k =,, n, i < < i k n platí F Xi,,X ik (x i,, x ik ) = lim F X (x,, x n ) x j, j i,,i k Důsledek Rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobností jeho libovolného podvektoru (X i,, X ik ) VII6 Věta Nechť X = (X,, X n ) je diskrétní náhodný vektor, p(x), x M = M M n, jeho pravděpodobnostní funkce Pro pravděpodobnostní funkci p j (x j ), x j M j, j =,, n, náhodné veličiny X j platí p j (x j ) = p(x,, x n ), x j M j, j =,, n x M x j+ M j+ x n M n x j M j Poznámka Tvrzení lze zřejmě zobecnit pro marginální pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X i,, X ik ), k =,, n, i < < i k n Sčítání hodnot pravděpodobnostní funkce p(x) náhodného vektoru X bychom provedli pro všechna x j M j, j i r, r =,, k Má-li X = (X, X ) konečný počet hodnot, lze pravděpodobnostní funkci zapsat do tabulky Označme pro zjednodušení zápisů p ij = P(X = x i, X = x j ), kde x i označuje i-tou hodnotu náhodné veličiny X a x j označuje j-tou hodnotu náhodné veličiny X X X x x j x s x p p j p s P(X = x ) x i p i p ij p is P(X = x i ) x r p r p rj p rs P(X = x r ) P(X = x ) P(X = x j ) P (X = x s ) Hodnoty marginálních pravděpodobnostních funkcí jsou v posledním řádku event sloupci, tedy na okrajích tabulky Odtud pravděpodobně vznikl název marginální rozdělení Pro n = je jednodušší zapisovat náhodný vektor symbolem (X, Y ), M = M M, M = {x,, x r }, M = {y,, y s } Do tabulky zapisujeme čísla p ij = P(X = x i, Y = y j ) VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 64

7 Příklad 77 V osudí je losů, z nich vyhrávají cenu, 4 vyhrávají cenu a 6 losů nevyhrává Vybereme náhodně losy Označme X počet tažených losů, které vyhrávají cenu, Y počet tažených losů, které vyhrávají cenu Určete pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X, Y ), marginální rozdělení pravděpodobností a distribuční funkci tohoto náhodného vektoru Obor hodnot náhodného vektoru (X, Y ) je množina M = {(x i, y j ) : 0 x i, 0 y j, 0 x i + y j } ( )( 4 )( ) 6 x p ij = P(X = x i, Y = y j ) = i y j x i y ( j ), (x i, y j ) M Hodnoty p ij uspořádáme do tabulky x y j i P(Y = 0) P(Y = ) P(Y = ) 6 = P(X = 0) = P(X = ) = P(X = ) Do následující tabulky zapíšeme hodnoty distribuční funkce F (x, y) = P(X x, Y y) = p ij, (x, y) R, {i,j:x i x,y j y)} x y (, 0) 0, ), ), ) (, 0) , ) 0 9, ) 0 8, ) VII8 Věta Nechť X = (X,, X n ) je absolutně spojitý s hustotou f(x,, x n ) Potom je náhodná veličina X j, j =,, n, absolutně spojitá s hustotou f j (x j ) = f(x,, x n ) dx dx j dx j+ dx n, x j R R n Poznámka V bodech, kde nelze f (x ) určit, protože v nich neexistuje derivace F, lze hustotu f libovolně dodefinovat, obvykle v těchto bodech pokládáme hustotu za nulovou VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 65

8 Tvrzení předchozí věty můžeme přirozeně zobecnit na libovolný podvektor (X i,, X ik ) náhodného vektoru X, pouze zápis je složitější Např pro n = 3, X = (X, X, X 3 ) je f 3 (x, x 3 ) = f(x, x, x 3 ) dx, f 3 (x 3 ) = f(x, x, x 3 ) dx dx Příklad 79 Určete simultánní hustotu f(x, x ) a marginální hustoty f (x) a f (x), má-li náhodný vektor X = (X, X ) rovnoměrné rozdělení ve čtverci C s vrcholy (0, ), (, 0), (, 0), (0, ) Rovnoměrné rozdělení ve čtverci C znamená, že hustota je nad C konstantní a mimo C nulová Protože musí platit f(x, x ) dx dx =, je třeba zvolit { f(x, x ) =, pro (x, x ) C, 0, jinde 0, pro x, f (x ) = x + x x + x dx = x +, pro < x 0, = x, pro 0 < x <, Odpověď na druhou otázku z úvodu této sekce *) je záporná: Marginálními distribučními funkcemi (pravděpodobnostními funkcemi event hustotami) není jednoznačně určena (simultánní) distribuční funkce náhodného vektoru, jak ukazuje následující příklad Příklad 70 Nechť X = (X, X ), Y = (Y, Y ) jsou diskrétní náhodné vektory se stejným oborem hodnot M = {0, } {0, } a s pravděpodobnostními funkcemi zadanými v tabulkách 0 X X 0 = 4 4 P(X = 0) = 4 4 P(X = ) P(X = 0) P(X = ) Y Y = 8 8 P(Y = 0) 3 = 8 8 P(Y = ) P(Y = 0) P(Y = ) Jednorozměrná rozdělení náhodných veličin X, Y a X, Y jsou shodná, ale náhodné vektory X, Y mají odlišné pravděpodobnostní funkce a tedy také distribuční funkce *) Známe-li rozdělení pravděpodobností všech složek X,, X n, lze obecně určit rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X? VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin

9 Již jsme ukázali, že k určení distribuční funkce F X (x,, x n ) náhodného vektoru X = (X,, X n ) nestačí znalost marginálních distribučních funkcí F Xj (x), j =,, n, jednotlivých složek tohoto vektoru Distribuční funkce F X je ovlivněna ještě dalším faktorem: závislostí náhodných veličin X,, X n V aplikacích se užívají zejména nezávislé náhodné veličiny, jejichž definice je odvozena od nezávislosti určitých náhodných jevů Nezávislost náhodných veličin je pojem, který je specifický pro teorii pravděpodobnosti Definice 7 Nechť X = {X,, X n } resp X = {X, X, } je systém náhodných veličin Řekneme, že náhodné veličiny tohoto systému jsou nezávislé, jestliže pro libovolná reálná x,, x n resp libovolná reálná x, x, jsou nezávislé náhodné jevy (X x ),, (X n x n ) resp (X x ), (X x ),, tj platí-li k a každou k-tici náhodných veličin (X i,, X ik ) vybranou ze systému X k F (Xi,,X ik )(x,, x k ) = F Xij (x j ), (x,, x k ) R k, (6) j= kde F (Xi,,X ik )(x,, x k ) je distribuční funkce náhodného vektoru (X i,, X ik ) a F Xij (x) je distribuční funkce náhodné veličiny X ij, j =,, k Poznámka Z definice nezávislosti je zřejmé, že platí tvrzení: Jsou-li náhodné veličiny v systému X nezávislé, jsou nezávislé také náhodné veličiny v libovolném podsystému X X VII Věta Nechť F (X,,X n)(x,, x n ) je (simultánní) distribuční funkce náhodného vektoru X = (X,, X n ) a F Xj (x), j =,, n, marginální distribuční funkce náhodné veličiny X j, j =,, n Náhodné veličiny X,, X n jsou nezávislé právě tehdy, když F (X,,X n)(x,, x n ) = F X (x ) F Xn (x n ), x = (x,, x n ) R n (7) VII3 Věta Nechť X,, X n jsou nezávislé náhodné veličiny a nechť ϕ j (x) : R R, j =,, n, jsou borelovsky měřitelné funkce Potom jsou náhodné veličiny Y = ϕ (X ),, Y n = ϕ n (X n ) také nezávislé VII4 Věta Diskrétní náhodné veličiny X,, X n jsou nezávislé právě tehdy, když pro pravděpodobnostní funkci p X náhodného vektoru X = (X,, X n ) a marginální pravděpodobnostní funkce p j náhodných veličin X j, j =,, n, platí p X (x,, x n ) = p (x ) p n (x n ), (x,, x n ) M M n = M, (8) kde M j je obor hodnot náhodné veličiny X j, j =,, n VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 67

10 Příklad 75 Diskrétní náhodný vektor (X, Y ) má pravděpodobnostní funkci danou tabulkou X Y = P(X = ) = P(X = ) = P(X = 3) 04 = P(Y = 4) 03 = P(Y = 5) 03 = P(Y = 6) Jsou náhodné veličiny X, Y nezávislé? Podle předchozí věty jsou tyto veličiny nezávislé právě tehdy, když pro každé políčko tabulky platí, že simultánní pravděpodobnost v něm uvedená je součinem příslušných marginálních pravděpodobností Protože např P(X =, Y = 4) = 0 P(X = ) P(Y = 4) = = 06 je zřejmé, že náhodné veličiny X, Y nejsou nezávislé VII6 Věta Spojité náhodné veličiny X,, X n jsou nezávislé právě když pro hustotu f X (x,, x n ) náhodného vektoru X = (X,, X n ) a marginální hustoty f j (x) náhodných veličin X j, j =,, n, platí f X (x,, x n ) = f (x ) f n (x n ) pro skoro všechna (x,, x n ) R n (9) Příklad 77 Náhodný vektor (X, X ) má hustotu { x + x f(x, x ) =, je-li (x, x ) (0, ) (0, ), 0, jinde Rozhodněte, zda jsou X, X nezávislé Řešení: Určíme nejprve marginální hustoty { f i (x i ) = (x 0 + x ) dx j = x i +, x i (0, ), 0, x i (0, ), i, j =, Rovnost f(x, x ) = x +x = f (x ) f (x ) = x x + (x +x )+ je ve 4 čtverci (0, ) (0, ) splněna pouze pro body úsečky {(x, x ) : x = }, tedy na množině míry nula Náhodné veličiny X, X nejsou proto nezávislé VII8 Věta Konstanta a libovolná náhodná veličina X jsou nezávislé Důkaz Konstanta c je taková náhodná veličina Y, pro kterou platí P(Y = c) = Je-li y < c, je P(X x, Y y) = P((X x) ) = P( ) = 0 = P(X x)p(y y), x R Je-li y c, je P(X x, Y y) = P((X x) Ω) = P(X x) = P(X x) = = P(X x)p(y y), x R, VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 68

11 a podle věty?? jsou X, Y nezávislé VII9 Věta Nechť jsou X, X nezávislé spojité náhodné veličiny, f (x), f (x) jejich hustoty Nechť ϕ : R R je borelovsky měřitelná, Y = ϕ(x, X ) a nechť G je distribuční funkce náhodné veličiny Y Platí [ ] a) EY = ϕ(x, x ) f (x )dx f (x )dx = = pokud EY existuje [ b) G(y) = = [ [ ] ϕ(x, x ) f (x )dx f (x )dx, (0) ] f (x )dx f (x )dx = {x :ϕ(x,x ) y} ] f (x )dx f (x )dx, y R () {x :ϕ(x,x ) y} VII30 Věta Jsou-li X, X nezávislé, spojité náhodné veličiny s hustotami f, f, je Y = X + X spojitá náhodná veličina a pro její hustotu g(y) platí g(y) = f (y t)f (t) dt Příklad 73 Nechť X, X jsou nezávislé a nechť X N(µ, σ), X N(µ, σ) Dokažte, že Y = X + X má normální rozdělení N(µ + µ, σ + σ) Řešení: Užijeme tvrzení předchozí věty o hustotě součtu g(y) dvou nezávislých, náhodných veličin V našem případě f i (x) = exp { (x µ i) }, i =, σ i π σi Tedy = πσ σ g(y) = { exp f (y x)f (x) dx = [ (y x µ ) σ + (x µ ]} ) dx σ Užijeme-li rovnost y x µ = [y (µ + µ )] (x µ ), lze výraz v hranaté závorce v exponentu zapsat ve tvaru V = [y (µ + µ )] (x µ )(y [µ + µ ]) + (x µ ) (σ + σ) = σ σ σ σ ( ) σ = + σ (x µ ) σ (y (µ + µ )) + (y (µ + µ )) σ σ σ σ + σ σ + σ VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 69

12 Označme výraz v první závorce symbolem C(x), potom { g(y) = exp } [y (µ + µ )] πσ σ σ + σ σ +σ σ σ e C (x) dx, odtud substitucí z = C(x), dz = dx dostaneme { g(y) = π exp } [y (µ + µ )] e σ + σ σ + σ z dz = = exp { [y (µ } + µ )], π σ + σ (σ + σ) což je hustota rozdělení N(µ + µ, σ + σ) VII3 Věta Nechť X, X jsou nezávislé náhodné veličiny s hustotami f, f a nechť f (x) = 0 pro x 0 Potom má náhodná veličina Y = X X hustotu g(y) = 0 xf (yx)f (x) dx, y R VII33 Věta Nechť jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny, které mají střední hodnoty E(X), E(Y ) a nechť existuje E(X Y ) Potom platí E(X Y ) = E(X) E(Y ) VII34 Věta Jsou-li X,, X n nezávislé náhodné veličiny s konečnými druhými momenty (X j L (Ω, A, P), j =,, n), potom platí ( n ) n var X j = var(x j ) j= j= VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 70

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Odhady parametrů SP3 Připomenutí pojmů Připomenutí pojmů z S1P a SP2 odhady Nechť X,, je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí. 1 X,, X ) ( 1 n Statistika se nazývá bodovým

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Úvod základy teorie zobrazení

Úvod základy teorie zobrazení Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Značení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,

Značení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Algoritmy komprese dat

Algoritmy komprese dat Algoritmy komprese dat Úvod do teorie informace Claude Shannon (1916 2001) 5.11.2014 NSWI072-7 Teorie informace Informace Co je to informace? Můžeme informaci měřit? Existují teoretické meze pro délku

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMIKU. Kateřina STAŇKOVÁ HELISOVÁ

MATEMATIKA PRO EKONOMIKU. Kateřina STAŇKOVÁ HELISOVÁ MATEMATIKA PRO EKONOMIKU Kateřina STAŇKOVÁ HELISOVÁ Obsah 1 Základy pravděpodobnosti 5 1.1 Základní pojmy................................ 5 1.1.1 Speciální typy pravděpodobnostních prostorů...........

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopravní Pravděpodobnost a matematická statistika RNDr. Jana Novovičová, CSc. 1999 Vydavatelství ČVUT Lektor : Doc. Ing. Miloslav Vošvrda, CSc. (c) RNDr. Jana

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ. N(0, 1) má tzv. standardizované normální rozdělení.

VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ. N(0, 1) má tzv. standardizované normální rozdělení. VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ RNDR. MARIE FORBELSKÁ, PHD. Věta.Mějmenáhodnouveličinusnormálnímrozdělením X N(µ, σ.dálenechť a, b R,b jsoureálnékonstanty.potomnáhodnáveličina,kterájelineárnítransformacípůvodní,máopětnormálnírozdělení,ato

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více