Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně"

Transkript

1 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností se rozumí, že pro X platí nebo ekvivalentně {ω Ω : X(ω) B} A, B B n, () {ω Ω : X(ω) x} A, x R n () VII Věta Zobrazení X = (X,, X n ) : Ω R n je náhodným vektorem právě tehdy, jsou-li X,, X n náhodné veličiny VII3 Věta Je-li ϕ : R n R m B n -měřitelné zobrazení a je-li X n- rozměrný náhodný vektor, potom Y = ϕ(x) je m-rozměrný náhodný vektor Pravděpodobnostní chování náhodného vektoru se popisuje (obdobně jako u náhodné veličiny) pomocí distribuční funkce a pomocí rozdělení pravděpodobností Definice 74 Nechť X = (X,, X n ) je náhodný vektor definovaný na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) Distribuční funkce náhodného vektoru X je reálná funkce F X definovaná na R n vztahem F X (x,, x n ) = P(X x,, X n x n ) = P(X x), x = (x,, x n ) R n VII5 Věta [o vlastnostech distribuční funkce] Distribuční funkce F X (x,, x n ) n-rozměrného náhodného vektoru X má tyto vlastnosti: lim F X(x,, x n ) =, lim F X(x,, x n ) = 0 i x i i x i F X (x,, x n ) je zprava spojitá v každé proměnné (při pevných hodnotách ostatních n proměnných) 3 Pro všechna a i, b i, < a i b i <, i =,, n, platí P(a < X b,, a n < X n b n ) = ( ) ε j F X (c,, c n ) 0, kde ε j = 0 nebo ε j =, (j =,, n), c j = a j ε j + b j ( ε j ), 59

2 4 F X (x,, x n ) je neklesající funkcí každé své proměnné (při pevně daných hodnotách ostatních n proměnných) VII6 Věta [o postačujících podmínkách pro distribuční funkci F X ] Nechť funkce G : R n R má vlastnosti,, 3 uvedené v předchozí větě Potom existuje pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a na něm definovaný náhodný vektor X tak, že G(x,, x n ) je jeho distribuční funkcí Definice 77 Nechť X = (X,, X n ) je náhodný vektor definovaný na (Ω, A, P) Množinovou funkci P X definovanou na borelovské σ-algebře B n vztahem P X (B) = P(X B), B B n, nazýváme rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X Definice 78 Distribuční funkce F X (x,, x n ) náhodného vektoru X se nazývá diskrétní, existuje-li konečná nebo nekonečná prostá posloupnost {x m }, x m R n, a odpovídající posloupnost kladných čísel {p m }, p m =, takové, že F X (x,, x n ) = p m, x = (x,, x n ) R n (3) m:x m x Má-li náhodný vektor X diskrétní distribuční funkci, říkáme, že X je diskrétního typu (krátce: diskrétní) a jeho rozdělení pravděpodobností se také nazývá diskrétní Poznámka Funkce splňující vztah (??) vyhovuje předpokladům věty o postačujících podmínkách pro distribuční funkci a je proto distribuční funkcí nějakého náhodného vektoru Náhodný vektor X nabývá právě hodnot x m = (x m,, x m n ) s pravděpodobnostmi p m = P(X = x m ) Množina M = {x m } tvoří obor hodnot diskrétního náhodného vektoru X Funkci p m definované na M se říká pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru X = (X,, X n ) je diskrétní právě tehdy, jsou-li diskrétní náhodné veličiny X j pro každé j =,, n Označíme-li M j R obor hodnot náhodné veličiny X j, j =,, n, je M = M M n Uvažujme osudí, ve kterém jsou kuličky n různých barev a nechť pravděpodobnost, že vybereme kuličku j-té barvy je rovna číslu p j, j =,, n Z osudí vybereme r-krát po jedné kuličce, po každém výběru kuličku vrátíme zpět do osudí Označme X j náhodnou veličinu, která je rovna počtu vybraných kuliček j-té barvy, j =,, n, v těchto r tazích Určete pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru X = (X,, X n ) VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 60

3 Hodnoty x m = (x m,, x nm ) náhodného vektoru X jsou ty body prostoru R n, pro jejichž souřadnice platí x jm {0,,, r}, n x jm = r, j =,, n (4) j= ( r = pravděpodobnostní funkce X je rovna x m p(x m ) = P(X = x m ) = P(X = x m,, X n = x nm ) = )( ) ( ) r xm r xm x n,m (p ) x m (p ) x m (p n ) xnm = x m = x nm r! x m!x m! x nm! (p ) x m (p n ) xnm, (5) kde kombinační číslo ( ) r x m udává počet možností pro výběr xm kuliček barvy, ( r x m ) x m je počet možností, jak lze ve zbývajících r x m tazích vybrat x m kuliček barvy atd Tyto výběry lze vzájemně kombinovat, součin kombinačních čísel udává počet těchto kombinací Každá kombinace (posloupnost r tahů, v nichž barva byla tažena právě x m -krát, druhá barva právě x m - krát,, n-tá barva právě x nm -krát) má pravděpodobnost (p ) x m (p n ) xnm, protože obsah osudí se nemění, výsledky jednotlivých tahů jsou nezávislé Náhodný vektor X, který má pravděpodobnostní funkci p(x m ) danou vzorcem (??) a obor hodnot M = {x m }, kde souřadnice splňují (??), má tzv multinomické rozdělení pravděpodobností s parametry r, p,, p n Zvláštní případy: Pro n = se jedná o binomické rozdělení (dva možné výsledky pokusu), pro n = 3 se jedná o tzv trinomické rozdělení (tři možné výsledky pokusu) Obdobně jako pro diskrétní náhodnou veličinu X platí i pro diskrétní náhodný vektor X = (X,, X n ) následující vztahy: P(X B) = p m, B B n, x m B Je-li ϕ(x,, x n ) : R n R borelovská funkce, potom pro náhodnou veličinu Y = ϕ(x) platí P(Y y) = p m, y R {m:ϕ(x m) y} E(Y ) = E[ϕ(X)] = m ϕ(x m )p m VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 6

4 Definice 79 Distribuční funkce F X (x,, x n ) se nazývá absolutně spojitá, existuje-li nezáporná borelovsky měřitelná funkce f(x,, x n ) : R n R taková, že x xn F X (x,, x n ) = f(t,, t n ) dt dt n, x = (x,, x n ) R n Funkce f(x,, x n ) se nazývá hustota (rozdělení pravděpodobností) náhodného vektoru X Má-li náhodný vektor X absolutně spojitou distribuční funkci, říkáme, že je absolutně spojitého typu (krátce: absolutně spojitý) a jeho rozdělení pravděpodobností se nazývá absolutně spojité Poznámka Obdobně jako u absolutně spojité náhodné veličiny platí: n f(x,, x n ) = F X (x,, x n ), skoro všude vzhledem k n-rozměrné Lebesgueově míře x x n Je-li f(x,, x n ) 0 borelovsky měřitelná funkce taková, že f(x,, x n ) dx dx n =, pak je hustotou nějakého absolutně spojitého náhodného vektoru 3 Pro absolutně spojitý náhodný vektor X platí P(X B) = f(x,, x n ) dx dx n, B B n B 4 Je-li ϕ(x,, x n ) : R n R borelovsky měřitelná funkce, platí pro náhodnou veličinu Y = ϕ(x) P(Y y) = E[ϕ(X)] = {x:ϕ(x) y} f(x,, x n ) dx dx n, y R, ϕ(x,, x n )f(x,, x n ) dx dx n Příklad 70 Dvourozměrné rovnoměrné rozdělení v obdélníku a, b a, b, a < b, a < b, má náhodný vektor X = (X, X ), který má hustotu { f(x, x ) =, pro < a (b a )(b a ) i x i b i <, i =,, 0, jinde, tj X nabývá hodnot v daném obdélníku VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 6

5 Příklad 7 Dvourozměrné normální rozdělení náhodného vektoru X = (X, X ) je charakterizováno hustotou f(x, x ) = { [ (x µ ) exp ( ϱ ) σ πσ σ ϱ ϱ (x µ )(x µ ) + (x µ ) ]}, σ σ σ (x, x ) R Značíme X N (µ, µ, σ, σ, ϱ), kde µ i R, σ i > 0, i =,, ϱ < jsou parametry Příklad 7 Regulární n-rozměrné normální rozdělení má náhodný vektor X, který má hustotu f(x,, x n ) = exp { } (π) (x µ)v (x µ) T, n detv x = (x,, x n ) R n, kde µ = (µ,, µ n ) R n a V = (v ij ) n i,j= je pozitivně definitní reálná matice Označujeme X N n (µ, V ), kde µ j, v ij, i, j =,, n jsou parametry tohoto rozdělení Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a na něm n náhodných veličin X,, X n Dokázali jsme, že X = (X,, X n ) je náhodný vektor a naopak, že všechny složky náhodného vektoru jsou náhodné veličiny Odpovíme na dvě otázky: a) Známe-li rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X, můžeme jednoznačně určit rozdělení pravděpodobností libovolného podvektoru (X i,, X ik ), k =,, n, i < < i k n, tedy také rozdělení pravděpodobností libovolné náhodné veličiny X i, i =,, n? b) Známe-li rozdělení pravděpodobností všech složek X,, X n, lze obecně určit rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X? Definice 73 Náhodný vektor (X i,, X ik ) se nazývá marginální náhodný vektor příslušný k náhodnému vektoru X, jeho distribuční funkci F Xi,,X ik (x i,, x ik ) nazýváme marginální distribuční funkcí k distribuční funkci F X (x,, x n ) a obdobně rozdělení pravděpodobností marginálního náhodného vektoru se nazývá marginální rozdělení pravděpodobností příslušné k rozdělení P X VII4 Věta [o marginálním rozdělení] Nechť X = (X,, X n ), n, je náhodný vektor, potom lim x n F X(x,, x n ) = F X,,X n (x,, x n ), x j R, j =,, n VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 63

6 VII5 Věta Nechť X = (X,, X n ) je náhodný vektor, F X (x,, x n ) jeho distribuční funkce Pro distribuční funkci náhodného vektoru (X i,, X ik ), k =,, n, i < < i k n platí F Xi,,X ik (x i,, x ik ) = lim F X (x,, x n ) x j, j i,,i k Důsledek Rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobností jeho libovolného podvektoru (X i,, X ik ) VII6 Věta Nechť X = (X,, X n ) je diskrétní náhodný vektor, p(x), x M = M M n, jeho pravděpodobnostní funkce Pro pravděpodobnostní funkci p j (x j ), x j M j, j =,, n, náhodné veličiny X j platí p j (x j ) = p(x,, x n ), x j M j, j =,, n x M x j+ M j+ x n M n x j M j Poznámka Tvrzení lze zřejmě zobecnit pro marginální pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X i,, X ik ), k =,, n, i < < i k n Sčítání hodnot pravděpodobnostní funkce p(x) náhodného vektoru X bychom provedli pro všechna x j M j, j i r, r =,, k Má-li X = (X, X ) konečný počet hodnot, lze pravděpodobnostní funkci zapsat do tabulky Označme pro zjednodušení zápisů p ij = P(X = x i, X = x j ), kde x i označuje i-tou hodnotu náhodné veličiny X a x j označuje j-tou hodnotu náhodné veličiny X X X x x j x s x p p j p s P(X = x ) x i p i p ij p is P(X = x i ) x r p r p rj p rs P(X = x r ) P(X = x ) P(X = x j ) P (X = x s ) Hodnoty marginálních pravděpodobnostních funkcí jsou v posledním řádku event sloupci, tedy na okrajích tabulky Odtud pravděpodobně vznikl název marginální rozdělení Pro n = je jednodušší zapisovat náhodný vektor symbolem (X, Y ), M = M M, M = {x,, x r }, M = {y,, y s } Do tabulky zapisujeme čísla p ij = P(X = x i, Y = y j ) VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 64

7 Příklad 77 V osudí je losů, z nich vyhrávají cenu, 4 vyhrávají cenu a 6 losů nevyhrává Vybereme náhodně losy Označme X počet tažených losů, které vyhrávají cenu, Y počet tažených losů, které vyhrávají cenu Určete pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X, Y ), marginální rozdělení pravděpodobností a distribuční funkci tohoto náhodného vektoru Obor hodnot náhodného vektoru (X, Y ) je množina M = {(x i, y j ) : 0 x i, 0 y j, 0 x i + y j } ( )( 4 )( ) 6 x p ij = P(X = x i, Y = y j ) = i y j x i y ( j ), (x i, y j ) M Hodnoty p ij uspořádáme do tabulky x y j i P(Y = 0) P(Y = ) P(Y = ) 6 = P(X = 0) = P(X = ) = P(X = ) Do následující tabulky zapíšeme hodnoty distribuční funkce F (x, y) = P(X x, Y y) = p ij, (x, y) R, {i,j:x i x,y j y)} x y (, 0) 0, ), ), ) (, 0) , ) 0 9, ) 0 8, ) VII8 Věta Nechť X = (X,, X n ) je absolutně spojitý s hustotou f(x,, x n ) Potom je náhodná veličina X j, j =,, n, absolutně spojitá s hustotou f j (x j ) = f(x,, x n ) dx dx j dx j+ dx n, x j R R n Poznámka V bodech, kde nelze f (x ) určit, protože v nich neexistuje derivace F, lze hustotu f libovolně dodefinovat, obvykle v těchto bodech pokládáme hustotu za nulovou VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 65

8 Tvrzení předchozí věty můžeme přirozeně zobecnit na libovolný podvektor (X i,, X ik ) náhodného vektoru X, pouze zápis je složitější Např pro n = 3, X = (X, X, X 3 ) je f 3 (x, x 3 ) = f(x, x, x 3 ) dx, f 3 (x 3 ) = f(x, x, x 3 ) dx dx Příklad 79 Určete simultánní hustotu f(x, x ) a marginální hustoty f (x) a f (x), má-li náhodný vektor X = (X, X ) rovnoměrné rozdělení ve čtverci C s vrcholy (0, ), (, 0), (, 0), (0, ) Rovnoměrné rozdělení ve čtverci C znamená, že hustota je nad C konstantní a mimo C nulová Protože musí platit f(x, x ) dx dx =, je třeba zvolit { f(x, x ) =, pro (x, x ) C, 0, jinde 0, pro x, f (x ) = x + x x + x dx = x +, pro < x 0, = x, pro 0 < x <, Odpověď na druhou otázku z úvodu této sekce *) je záporná: Marginálními distribučními funkcemi (pravděpodobnostními funkcemi event hustotami) není jednoznačně určena (simultánní) distribuční funkce náhodného vektoru, jak ukazuje následující příklad Příklad 70 Nechť X = (X, X ), Y = (Y, Y ) jsou diskrétní náhodné vektory se stejným oborem hodnot M = {0, } {0, } a s pravděpodobnostními funkcemi zadanými v tabulkách 0 X X 0 = 4 4 P(X = 0) = 4 4 P(X = ) P(X = 0) P(X = ) Y Y = 8 8 P(Y = 0) 3 = 8 8 P(Y = ) P(Y = 0) P(Y = ) Jednorozměrná rozdělení náhodných veličin X, Y a X, Y jsou shodná, ale náhodné vektory X, Y mají odlišné pravděpodobnostní funkce a tedy také distribuční funkce *) Známe-li rozdělení pravděpodobností všech složek X,, X n, lze obecně určit rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X? VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin

9 Již jsme ukázali, že k určení distribuční funkce F X (x,, x n ) náhodného vektoru X = (X,, X n ) nestačí znalost marginálních distribučních funkcí F Xj (x), j =,, n, jednotlivých složek tohoto vektoru Distribuční funkce F X je ovlivněna ještě dalším faktorem: závislostí náhodných veličin X,, X n V aplikacích se užívají zejména nezávislé náhodné veličiny, jejichž definice je odvozena od nezávislosti určitých náhodných jevů Nezávislost náhodných veličin je pojem, který je specifický pro teorii pravděpodobnosti Definice 7 Nechť X = {X,, X n } resp X = {X, X, } je systém náhodných veličin Řekneme, že náhodné veličiny tohoto systému jsou nezávislé, jestliže pro libovolná reálná x,, x n resp libovolná reálná x, x, jsou nezávislé náhodné jevy (X x ),, (X n x n ) resp (X x ), (X x ),, tj platí-li k a každou k-tici náhodných veličin (X i,, X ik ) vybranou ze systému X k F (Xi,,X ik )(x,, x k ) = F Xij (x j ), (x,, x k ) R k, (6) j= kde F (Xi,,X ik )(x,, x k ) je distribuční funkce náhodného vektoru (X i,, X ik ) a F Xij (x) je distribuční funkce náhodné veličiny X ij, j =,, k Poznámka Z definice nezávislosti je zřejmé, že platí tvrzení: Jsou-li náhodné veličiny v systému X nezávislé, jsou nezávislé také náhodné veličiny v libovolném podsystému X X VII Věta Nechť F (X,,X n)(x,, x n ) je (simultánní) distribuční funkce náhodného vektoru X = (X,, X n ) a F Xj (x), j =,, n, marginální distribuční funkce náhodné veličiny X j, j =,, n Náhodné veličiny X,, X n jsou nezávislé právě tehdy, když F (X,,X n)(x,, x n ) = F X (x ) F Xn (x n ), x = (x,, x n ) R n (7) VII3 Věta Nechť X,, X n jsou nezávislé náhodné veličiny a nechť ϕ j (x) : R R, j =,, n, jsou borelovsky měřitelné funkce Potom jsou náhodné veličiny Y = ϕ (X ),, Y n = ϕ n (X n ) také nezávislé VII4 Věta Diskrétní náhodné veličiny X,, X n jsou nezávislé právě tehdy, když pro pravděpodobnostní funkci p X náhodného vektoru X = (X,, X n ) a marginální pravděpodobnostní funkce p j náhodných veličin X j, j =,, n, platí p X (x,, x n ) = p (x ) p n (x n ), (x,, x n ) M M n = M, (8) kde M j je obor hodnot náhodné veličiny X j, j =,, n VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 67

10 Příklad 75 Diskrétní náhodný vektor (X, Y ) má pravděpodobnostní funkci danou tabulkou X Y = P(X = ) = P(X = ) = P(X = 3) 04 = P(Y = 4) 03 = P(Y = 5) 03 = P(Y = 6) Jsou náhodné veličiny X, Y nezávislé? Podle předchozí věty jsou tyto veličiny nezávislé právě tehdy, když pro každé políčko tabulky platí, že simultánní pravděpodobnost v něm uvedená je součinem příslušných marginálních pravděpodobností Protože např P(X =, Y = 4) = 0 P(X = ) P(Y = 4) = = 06 je zřejmé, že náhodné veličiny X, Y nejsou nezávislé VII6 Věta Spojité náhodné veličiny X,, X n jsou nezávislé právě když pro hustotu f X (x,, x n ) náhodného vektoru X = (X,, X n ) a marginální hustoty f j (x) náhodných veličin X j, j =,, n, platí f X (x,, x n ) = f (x ) f n (x n ) pro skoro všechna (x,, x n ) R n (9) Příklad 77 Náhodný vektor (X, X ) má hustotu { x + x f(x, x ) =, je-li (x, x ) (0, ) (0, ), 0, jinde Rozhodněte, zda jsou X, X nezávislé Řešení: Určíme nejprve marginální hustoty { f i (x i ) = (x 0 + x ) dx j = x i +, x i (0, ), 0, x i (0, ), i, j =, Rovnost f(x, x ) = x +x = f (x ) f (x ) = x x + (x +x )+ je ve 4 čtverci (0, ) (0, ) splněna pouze pro body úsečky {(x, x ) : x = }, tedy na množině míry nula Náhodné veličiny X, X nejsou proto nezávislé VII8 Věta Konstanta a libovolná náhodná veličina X jsou nezávislé Důkaz Konstanta c je taková náhodná veličina Y, pro kterou platí P(Y = c) = Je-li y < c, je P(X x, Y y) = P((X x) ) = P( ) = 0 = P(X x)p(y y), x R Je-li y c, je P(X x, Y y) = P((X x) Ω) = P(X x) = P(X x) = = P(X x)p(y y), x R, VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 68

11 a podle věty?? jsou X, Y nezávislé VII9 Věta Nechť jsou X, X nezávislé spojité náhodné veličiny, f (x), f (x) jejich hustoty Nechť ϕ : R R je borelovsky měřitelná, Y = ϕ(x, X ) a nechť G je distribuční funkce náhodné veličiny Y Platí [ ] a) EY = ϕ(x, x ) f (x )dx f (x )dx = = pokud EY existuje [ b) G(y) = = [ [ ] ϕ(x, x ) f (x )dx f (x )dx, (0) ] f (x )dx f (x )dx = {x :ϕ(x,x ) y} ] f (x )dx f (x )dx, y R () {x :ϕ(x,x ) y} VII30 Věta Jsou-li X, X nezávislé, spojité náhodné veličiny s hustotami f, f, je Y = X + X spojitá náhodná veličina a pro její hustotu g(y) platí g(y) = f (y t)f (t) dt Příklad 73 Nechť X, X jsou nezávislé a nechť X N(µ, σ), X N(µ, σ) Dokažte, že Y = X + X má normální rozdělení N(µ + µ, σ + σ) Řešení: Užijeme tvrzení předchozí věty o hustotě součtu g(y) dvou nezávislých, náhodných veličin V našem případě f i (x) = exp { (x µ i) }, i =, σ i π σi Tedy = πσ σ g(y) = { exp f (y x)f (x) dx = [ (y x µ ) σ + (x µ ]} ) dx σ Užijeme-li rovnost y x µ = [y (µ + µ )] (x µ ), lze výraz v hranaté závorce v exponentu zapsat ve tvaru V = [y (µ + µ )] (x µ )(y [µ + µ ]) + (x µ ) (σ + σ) = σ σ σ σ ( ) σ = + σ (x µ ) σ (y (µ + µ )) + (y (µ + µ )) σ σ σ σ + σ σ + σ VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 69

12 Označme výraz v první závorce symbolem C(x), potom { g(y) = exp } [y (µ + µ )] πσ σ σ + σ σ +σ σ σ e C (x) dx, odtud substitucí z = C(x), dz = dx dostaneme { g(y) = π exp } [y (µ + µ )] e σ + σ σ + σ z dz = = exp { [y (µ } + µ )], π σ + σ (σ + σ) což je hustota rozdělení N(µ + µ, σ + σ) VII3 Věta Nechť X, X jsou nezávislé náhodné veličiny s hustotami f, f a nechť f (x) = 0 pro x 0 Potom má náhodná veličina Y = X X hustotu g(y) = 0 xf (yx)f (x) dx, y R VII33 Věta Nechť jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny, které mají střední hodnoty E(X), E(Y ) a nechť existuje E(X Y ) Potom platí E(X Y ) = E(X) E(Y ) VII34 Věta Jsou-li X,, X n nezávislé náhodné veličiny s konečnými druhými momenty (X j L (Ω, A, P), j =,, n), potom platí ( n ) n var X j = var(x j ) j= j= VII Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin 70

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky

Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky Errata ke skriptu Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky K. Hron a P. Kunderová Autoři prosí čtenáře uvedeného studijního textu, aby případné další odhalené chyby nad rámec tohoto

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

4. Aplikace matematiky v ekonomii

4. Aplikace matematiky v ekonomii 4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Odhady parametrů SP3 Připomenutí pojmů Připomenutí pojmů z S1P a SP2 odhady Nechť X,, je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí. 1 X,, X ) ( 1 n Statistika se nazývá bodovým

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

ZÁklady teorie pravděpodobnosti

ZÁklady teorie pravděpodobnosti ZÁklady teorie pravděpodobnosti Pro předmět MatematickÁ statistika 1 Michal Kulich Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fysikální fakulta University Karlovy Tyto poznámky poskytují

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více