Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Semestrální práce RLC obvody

Transkript

1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Semestrální práce RLC obvody Michaela Šebestová

2 Obsah 1 Úvod 2 Teorie elektrotechniky 2.1 Použité teorémy fyziky Ohmův zákon První Kirchhoffův zákon Druhý Kirchhoffův zákon 2.2 Základní pojmy v elektrických obvodech Výčet elementárních pojmů 2.3 Základní prvky v elektrických obvodech Cívka jako elektrický prvek v obvodech Kondenzátor jako elektrický prvek v obvodech Rezistor jako elektrický prvek v obvodech 2.4 Měřící přístroje pro elektrotechniku 2.5 Výčet elementárních zapojení 3 Analogové počítačové modely 3.1 Rozdělení analogových modelů 3.2 Elektrické analogové modely 4 Maticový zápis RLC obvodu 4.1 Přímá úloha 4.2 Maticový popis RLC obvodů 4.3 Nástin řešení maticového popisu RLC obvodů 4.4 Obecný postup vytvoření matice pro popis RLC obvodů 4.5 Stabilita systému

3 5 Závěr 6 Litertura

4 Úvod Analogový modely dnes představují neoddělitelnou součást procesu elektrotechnického vývoje i výuky, kde především dále pak ulehčují ověřování správnosti návrhu a optimalizaci složitých obvodů podle zadaných požadavků, i v neposlední řadě i možnost získání zpětné vazby o funkčnosti zapojení v podobě vstupních charakteristik. V dnešní době je jeho místo zastoupeno rychle se rozvíjejícím odvětvím počítačových modelů, které je počátkem 60. let minulého století postupně v dominantní míře nahrazuje. Vzhledem ke struktuře a celkové hierarchii analogových modelů jsou, stejně jako v jiných odvětví elektrických obvodů, základní pilířem obvodové prvky odpor, cívka a kondenzátor. Jejich význam, zařazení či popis (např. pomocí matice RLC obvodů) jsou nedílnou součástí každé vědní teorie, která do této problematiky zasahá.

5 2 Teorie elektrotechniky 2.1 Použité teorémy fyziky V podstatě použitými teorémy fyziky rozumíme fyzikální modely, které bylo možné zformulovat na základě vnějších pozorovaných vlastností a následně uplatněných charakteristik pro daný zkoumaný systém. V podstatě se jedná o systémy popsané daným matematickým aparátem určitého stupně zobecnění Ohmův zákon Ohmův zákon [1] popisuje chování elektrické energie u lineárních prvků elektrického obvodu. Říká, že proud procházející vodičem z jednoho konce do druhého je přímo úměrný rozdílu elektrických potenciálů na uvažovaných koncích vodiče a nepřímo úměrný rezistivitě mezi uvažovanými konci vodiče, tedy, (2.1) kde U je rozdíl zmiňovaných potenciálů, R je rezistivita a I je procházející proud. Ohmův zákon jako takový lze odvodit z empirických formulí spolu s úvahou chování nosičů náboje v elektrickém vodiči. Tento tvar ovšem není jediný. Vezmeme-li jednu z vlastností, kterou lze popsat vodiče v elektrickém poli, dostáváme tvar, (2.2) kde je hustota elektrického proudu, je měrná elektrická vodivost a je intenzita elektrického pole První Kirchhoffův zákon První Kirchhoffův zákon [2] vychází z vlastností proudu definovaného jako celkový elektrický náboj, který projde průřezem vodiče za jednu sekundu. Ve své podstatě je to zákon o zachování elektrických nábojů, které ve vodiči nemohou samovolně vznikat ani se hromadit. Tedy jedná se o empirický fyzikální model.

6 Samotné přesnější znění lze uvést na příkladu dělení vodiče. Pakliže dojde v některém místě vodivého rozhraní k dělení vodiče, kde toto místo je označováno jako uzel, je součet proudů vstupujících do uzlu roven součtu proudů z uzlu vystupujících. Zde je patrná jistá směrová závislost, tedy i způsob odvození Kirchhoffova zákona. Obecně lze uvést pro uzel s n vodiči, (2.3) kde představuje proud vedený n-tým vodičem Druhý Kirchhoffův zákon Druhý Kirchhoffův zákon vychází z vlastností napětí definovaného jako práce potřebná pro přemístění elektrického náboje mezi dvěma potenciály v elektrickém obvodu. V podstatě se jedná o zákon zachování energie, tedy opět jako v případě prvního Kirchhoffova zákona se jedná o empirický fyzikální model. V obecnosti lze tento zákon definovat jako energii, která je rovna nule v případě, že náboj prošel po uzavřené křivce do místa o stejné velikosti potenciálu. Tuto definici lze ovšem modifikovat a lze nahradit jinou interpretací následujícího znění. Algebraický součet všech svorkových napětí zdrojů a všech úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřené smyčce rovná nule, tj., (2.4) kde představuje j-té svorkové napětí, či úbytek napětí. 2.2 Základní pojmy v elektrických obvodech Jedním ze základních pojmů, kterými se elektrotechnika zabývá, je elektrický obvod. Elektrický obvod lze chápat jako jednou ze základních aproximačních, ale i dílčích jednotek. Může tedy zastupovat daný podsystém určitého systému, ale i svou vlastní charakteristickou strukturou ho lze dále rozdělit na dílčí prvky, ze kterých se skládá. Zde vyvstává nutnost přesněji definovat jak samotný obvod, tak jeho části. Následuje výčet elementárních pojmů užívaných v elektrických obvodech.

7 2.2.1 Výčet elementárních pojmů užívaných v elektrických obvodech elementární prvek obvodu - dále nedělitelná část obvodu s definovanými charakteristickými vlastnostmi jako je např. rezistivita u rezistoru, indukčnost u cívky, kapacita u kondenzátoru nebo napětí u zdroje elektrického napětí uzel místo, ve kterém se stýkají tři a více vodičů větev dráha mezi dvěma uzly tvořená jedním nebo několika prvky spojenými do série smyčka uzavřená dráha v části obvodu tvořená větvemi lineární prvek prvek obvodu, jehož parametr nezávisí na napětí nebo proudu připojenému k tomuto prvku (např. lineární rezistor) nelineární prvek prvek obvodu, jehož parametr závisí na napětí nebo proudu připojenému k tomuto prvku (např. polovodičová dioda) pasivní prvek prvek obvodu, který nemůže vytvářet v obvodu zisk elektrické energie (např. rezistor) aktivní prvek prvek obvodu, který může vytvářet v obvodu zisk elektrické energie (např. zdroj elektrické energie) potenciál popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli Po výčtu elementárních pojmů lze samotný elektrický obvod chápat jako část elektrotechnického zařízení složeného z jednoduchých prvků spojených libovolných způsobem tvořící vodivou cestu elektrickému proudu. 2.3 Základní prvky v elektrických obvodech Základními prvky elektrických obvodů jsou cívka, rezistor a kondenzátor. Tyto tři prvky, jak už bylo zmíněno, mají svou nezastupitelné místo[2] v deterministických analogových modelech. V deterministických analogových modelech vystupují jako stavební prvky, kterými se jednak zpracovává informace, která oproti deterministickým počítačovým modelů, může mít spojitý charakter (tedy vstupní parametry i výstupní mohou být ve tvaru spojité funkce), a dále pak určují charakteristickou strukturu daného modelovaného systému Cívka jako elektrický prvek v obvodech Cívka je prvek obvodu s definovanou hodnotou indukčnosti L. Indukčnost je fyzikální veličina, vyjadřující velikost magnetického indukčního toku kolem cívky při jednotkovém

8 elektrickém proudu (1 A). Indukčnost [3] je vlastně jedna ze základních vlastností cívky (vyjadřuje schopnost cívky změnit elektrickou energii na energii magnetického pole). Cívka je dále samozřejmě ovlivněna napětím, které je přivedeno do obvodu. Pokud je do obvodu přiveden střídavý proud, pak proud procházející cívkou se zpožďuje o 90 za napětím na cívce. Pakliže uvažujeme ideální cívku v obvodu se střídavým proudem, vzniká indukční reaktance, která roste s frekvencí podle rovnice kde f je frekvence a L je indukčnost cívky., (2.5) Kondenzátor jako elektrický prvek v obvodech Kondenzátor je prvek elektrického obvodu s definovanou hodnotou kapacity C elektrického náboje. Zmíněná kapacita není nic jiného než schopnost vodiče uchovat elektrický náboj. Její vlastnosti ovlivňují především tvar a velikost tělesa, ve kterém se kapacita uvažuje. Obecně je kapacita vlastností každého vodiče, ovšem její využití spadá převážně do oblasti kondenzátorů. Vlastnosti kondenzátoru jsou ovlivněny jednak kapacitou, dále pak jejich zapojením do střídavých či stejnosměrných obvodů. Ve stejnosměrných obvodech se kondenzátor pozvolna nabijí na hodnotu přiloženého napětí, v případě zapojení do střídavého obvodu předbíhá napětí na kondenzátoru o 90 proud. U ideálního kondenzátoru v obvodech se střídavým proudem mimo jiné vzniká kapacitní reaktance, která klesá s rostoucí frekvencí podle vzorce, (2.6) kde C je kapacita, úhlová rychlost Rezistor jako elektrický prvek v obvodech Rezistor je prvek elektrického obvodu s definovanou hodnotou rezistivity, kde rezistivita se dá chápat jako míra odporu prostředí, kterým prochází elektrický proud. Reálný rezistor je frekvenčně závislý, ale tato vlastnost může být v jistých případech zanedbána a tak reálný rezistor je následně nahrazen ideálním.

9 2.4 Měřící přístroje pro elektrotechniku Jedna z nejdůležitějších otázek v případě užití elektrických prvků je určení hodnot veličin, kterými popisujeme daný elektronický prvek. K určení hodnoty dané veličiny je v obecnosti použit měřicí přístroj. Jeho konstrukce samozřejmě do jisté míry je omezena dobovou technikou i požadavky, ovšem pro názornost jsou uvedené přístroje považovány za ideální, tedy jejich konstrukce neovlivňuje jak měřenou veličinu, tak i samotný zkoumaný systém. Následuje výčet základních měřicích přístrojů a jejich jednoduchý popis. voltmetr je přístroj pro měření elektrického napětí. Zapojuje se paralelně k měřenému prvku obvodu a má nekonečnou vnitřní impedanci. Pro správné měření polarity měřeného napětí se rozlišuje kladná a záporná svorka voltmetru. ampérmetr je měřicí přístroj pro měření elektrického proudu. Zapojuje se do série s měřeným prvkem obvodu a má nulovou vnitřní impedanci. Pro správné měření polarity měřeného proudu se rozlišuje kladná a záporná svorka ampérmetru. ohmmetr je měřicí přístroj pro měření rezistivity a má nekonečnou vnitřní impedanci. osciloskop je měřicí přístroj pro zobrazování časových průběhů napětí a proudu. 2.5 Výčet elementárních zapojení elektrických prvků užívaných v elektrických obvodech Do 60. let minulého století byla převážná většina modelů a simulací analogového typu. Zde se uplatňovaly příslušné fyzikální i matematické podobnosti a zákonitosti, z důvodu popsat a vyjádřit vnitřní či vnější strukturu, či jen aproximovat a řešit jednoduché diferenciální rovnice. Už pro základní popis děje, či jen bližší aproximaci dané rovnice je zapotřebí základních operací, ať už sčítání, odčítaní, nebo integrace, či derivace parametrů, které představují vstupní veličiny. Proto následuje základní výčet zapojení, která se používají v analogových simulací (přesněji v analogových počítačích, kde je modely, či simulace vytvořeny). invertor je v podstatě zapojení součástek elektrického obvodu, které ve výsledku násobí danou konstantou vstupní napětí a obrací jeho logickou hodnotu

10 Obr Schematické vyobrazení invertoru skládající se ze zesilovače a daných odporů. sumátor je zapojení součástek elektrického obvodu, které přivedené vstupy napětí násobí konstantou a následně je sečte, případně opět na výstupu obrátí logickou hodnotu Obr Schematické vyobrazení sumátoru skládající se z odporů a zesilovače. integrátor je zapojení součástek elektrického obvodu, které přivedený vstup napětí násobí konstantou a následně integruje, případně na výstupu obrací logickou hodnotu Obr Schematické vyobrazení integrátoru skládající se z odporů, zesilovače a kondenzátoru. derivátor je zapojení součástek elektrického obvodu, které přivedený vstup napětí násobí konstantou a následně derivuje, popřípadě na výstupu obrací logickou hodnotu

11 Obr Schematické vyobrazení derivátoru skládající se z odporů, zesilovače a kondenzátoru. 3 Analogové počítačové modely Analogové počítačové modely [5] měly svůj největší rozvoj přibližně do 60. let minulého století. Do té doby byly už patřičně rozvinuty vědní teorie, které umožňovaly převést daný zkoumaný systém do analogového tvaru. Samotný analogový model je založen na podobnosti různých systémů, tj. jejich analogii, která spočívá ve shodném matematickém vyjádření těchto systémů. Například kmity, které existují v různých fyzikálních soustavách (mechanické, elektrické, hydraulické) jsou kmity odlišné, ale jedno mají společné, jsou popsány shodnou diferenciální rovnicí. Díky této skutečnosti vznikla myšlenka zkoumání vlastností jedné soustavy pomocí jiné tak, aby to bylo pohodlnější a rychlejší. Podmínkou bylo, aby se obě soustavy chovaly podle stejného matematického zákona. Zde se nejvýhodnější ukázaly elektrické analogové soustavy, kde byly fyzikální nebo matematické proměnné veličiny vyjádřeny pomocí elektrického napětí. 3.1 Rozdělení analogových modelů Rozdělení analogových modelů [3] lze provést podle mnoha hledisek např. podle použité analogie, operačních možností a podle funkce.

12 3.1.1 Rozdělení analogových modelů podle použité analogie Podle použité analogie lze rozdělit analogové modely na mechanické analogové modely a modely využívající elektrické analogie. V případě mechanického analogového modelu jsou původní veličiny soustavy vyjádřeny mechanickými veličinami, např. posunutí, pootočení, otáčky, které jsou zpracovávány pomocí počítacích článků (tvořené nejčastěji hřídelí, ozubenými koly, vačkami a třecích mechanismů). Přesnost výpočtu je závislá na přesnosti použitých částí a také na měřítku zobrazení. V případě analogových modelů, které využívají elektrickou analogii, jsou zkoumané fyzikální nebo matematické veličiny vyjádřeny elektrickým napětím. Pakliže je toto napětí stejnosměrné, je okamžitá velikost napětí úměrná velikosti původní hodnoty, u střídavého se používá modulace, nejčastěji amplitudová. Zásadní problém je provedení příslušné matematické operace. Sečítání stejnosměrných napětí se provádí obvykle operačním zesilovačem nebo pasivní odporovou sítí, násobit dvě veličiny, z nichž jedna je vyjádřena mechanickou hodnotou, druhá stejnosměrným el. napětím lze pomocí potenciometru. Větší rozdíl mezi stejnosměrným a střídavým napětím je při integrování a derivování. Fyzikální veličinu, která je vyjádřena pomocí stejnosměrného napětí lze integrovat nebo derivovat pomocí integračního nebo derivačního operačního zesilovače. Při použití střídavého napětí musíme integrovat (derivovat) původní signál, což je do jisté míry problém Rozdělení analogových modelů podle operačních možností Podle operačních možností dělíme analogové modely na jednoúčelové a univerzální. Jednoúčelové analogové modely jsou určeny pro řešení konkrétní jedné úlohy nebo skupiny úloh. Takový model obsahuje pouze ty operační jednotky, které jsou k tomu potřeba a jsou trvale funkčně propojeny. Naproti tomu univerzálními analogovými modely lze řešit široký okruh úloh. Tyto modely obsahují různé typy operačních jednotek, propojovací pole, které slouží k propojení jednotlivých operačních jednotek podle typu řešené úlohy na základě programového schématu. V této skupině jsou nejčastější tzv. diferenciální analyzátory, které jsou určeny k řešení diferenciálních rovnic.

13 3.1.3 Rozdělení analogových modelů podle funkce Podle funkce dělíme analogové modely na simulátory a řídicí systémy. Simulátory zde zastupují většinou ekonomicky nedostupné zařízení, jehož chování se dá popsat pomocí diferenciálních rovnic. V případě řídicích systémů zastupuje analogový model daný technologický proces, který je charakterizován příslušnými veličinami. 3.2 Elektrické analogové modely Jak už bylo zmíněno, elektrické analogy nahrazují zkoumaný systém, ať už formou nahrazení fyzikálních veličin na systému, či obecně jednotlivých parametrů rovnic, které popisují daný zkoumaný systém. Pro příklad je zde uveden elektrický analog nosníku na dvou podpěrách. V rovnicích (3.1) a (3.2) jsou jednotlivé síly nahrazené příslušným proudem a vzdálenosti jednotlivých sil jsou nahrazeny příslušným odporem. Následně jsou tedy rovnice (3.1) a (3.2) přepsány do rovnic (3.3) resp. (3.4). Obr. 3.1: Schematické vyobrazení nosníku na dvou podpěrách a jeho elektrického analogu. (3.1) (3.2) (3.3) (3.4)

14 Jedním z dalších důležitých příkladů elektrických analogů (nejčastěji používaný u analogových modelů) je elektromechanická analogie dynamických soustav s jedním stupněm volnosti. Tu lze následně rozdělit na napěťovou a proudovou s charakteristickým zapojením vyobrazeným na Obr Obr. 3.2: Schematické vyobrazení elektromechanické b) napěťové a c) proudové analogie dynamických soustav s jedním stupněm volnosti. Ve zmíněných základních elektrických analogií je patrný význam prvků elektrického obvodu jako je odpor R, cívka L a v neposlední řadě kondenzátor C. Zde ovšem hraje nezanedbatelnou roli jejich přesné určení, tedy určení jejich dostatečně přesné hodnoty s minimální chybou. Pakliže máme splněné podmínky, ať už pro vstupní parametry (veličiny) modelu, nebo máme k dispozici samotný elektrický analog zkoumaného systému, muže být dalším krokem požadavek na bližší charakteristiku a popis samotného systému, kterým může být maticového zápisu RLC obvodu. 4 Maticový zápis RLC obvodu 4.1 Přímá úloha Cílem maticového zápisu RLC obvodu je v podstatě řešení přímé úlohy. Přímá úloha spočívá v hledání obvykle časově závislých funkcí, které charakterizují danou úlohu na základě známého či požadovaného chovaní systému vyjádřené např. známou závislou proměnou, či asymptotickým modelem, kterým v našem případě představují zjednodušené rovnice elektrických obvodů. Tyto rovnice jsou získány na základě obecných empirických formulí, které jsou pak dále zahrnuty do rovnic popisující zkoumaný systém a následně zapsány do maticového tvaru. V neposlední řadě se hledají podmínky řešení pro jednotlivé parametry RLC obvodu.

15 4.2 Maticový popis RLC obvodů Použité zkratky R (Ω =V/A) odpor C (F =C/V= As/V) kondenzátor L (H = Vs/A) indukčnost i r1, i r2 (A) proud protékající odporem R 1 R 2 i c1, i c2 (A) proud protékající kondenzátory C 1 C 2 i l1, i l2 (A) proud protékající indukčnostmi L 1 L 2 u r1, u r2 (V) napětí na odporech R 1 R 2 u c1, u c2 (V) napětí na odporech C 1 C 2 u l1, u l2 (V) napětí na odporech L 1 L 2 U o, U o2 (V) zdroje napětí Pro názornost konstrukce maticového popisu RLC obvodů [4] jsou uvedeny následující příklady a postup k odvození požadované matice, která charakterizuje RLC obvody. Mějme obvod s RLC prvky (Obr.4.1). Jako první krok musíme vyznačit směry proudů v jednotlivých větvích. Vyznačíme také napětí na jednotlivých prvcích obvodu. Zvolíme uzel A, pro který budeme sestavovat rovnici. Dále vytvoříme smyčky I a II. Obr.4.1: Schematické vyobrazení RLC obvodu. Pro uzel A sestavíme rovnici pomocí prvního Kirchhoffova zákona. Proudy vstupující do uzlu zaneseme do rovnice jako kladné a proudy vystupující z uzlu jako záporné.

16 (4.1) Druhý kirchhoffův zákon použijeme pro zvolené smyčky. Napětí ve směru smyčky bereme jako kladné a napětí proti směru smyčky je záporné. Smyčka I: Smyčka II: (4.2) (4.3) Ze sestavených rovnic (4.1) (4.2) (4.3) vyjádříme stavové veličiny, proud indukčnosti i L a napětí na kondenzátoru u c. (4.4) (4.5) Vyjádření napětí na indukčnosti u L a proudu kondenzátorem i C pomocí stavových veličin elektrického obvodu i L a u C (4.6) (4.7) Toto vyjádření proudu a napětí použijeme v rovnicích (4.4) (4.5) (4.8) (4.9) Z rovnice (4.6) vyjádříme časovou změnu napětí na kondenzátoru. Z rovnice (4.7) vyjádříme časovou změnu proudu indukčností. (4.10) (4.11) Úpravou rovnic (4.10) a (4.11) získáme požadovaný maticový zápis

17 . V následujících obvodech je využit postup, který byl popsán v předcházejícím odstavci. Obvod č.2 : Obr.4.2: Schematické vyobrazení RLC obvodu. 1.KZ pro uzel A = 0 (4.12) 2.KZ pro smyčky I a II (4.13) (4.14) Po upravení rovnic získáme maticový zápis:

18 Obvod č. 3 Obr.4.3: Schematické vyobrazení RLC obvodu. 1.KZ pro uzel A = 0 (4.15) 2.KZ pro smyčky I a II (4.16) (4.17) Po upravení rovnic získáme maticový zápis:

19 Obvod č. 4 Obr.4.4: Schematické vyobrazení RLC obvodu. 1.KZ pro uzel A (4.18) 1.KZ pro uzel B (4.19) 1.KZ pro uzel C (4.20) 2.KZ pro smyčky I, II a III (4.21) (4.22) (4.23) Maticový zápis

20 Obvod č. 5 Obr.4.5: Schematické vyobrazení RLC obvodu. 1.KZ pro uzel A (4.24) 1.KZ pro uzel B (4.25) 2.KZ pro I a II smyčku (4.26) (4.27) Maticový zápis

21 4.3 Nástin řešení maticového popisu RLC obvodů S ohledem na daný typ RLC obvodů dostáváme vždy soustavu lineárních diferenciálních rovnic s pravou stranou. Po definování počátečních a okrajových podmínek můžeme danou soustavu rovnic řešit analyticky, popřípadě využít některý numerický software. 4.4 Obecný postup vytvoření matice pro popis RLC obvodů Z ilustrativních příkladů je zřejmé, že zápis matice pro popis RLC obvodů lze zobecnit. Důvod spočívá ve zvoleném typu RLC obvodů, dále pak zavedením Kirchhoffových zákonů (kde tyto zákony představují zákony zachování náboje, či hmoty, neboť tento problém lze snadno dodefinovat jako proces přenosu náboje elektrony), či obecnou nezávislostí součástek na vnějších i vnitřních parametrech (zde hraje roli hlavně teplota, či vlastnosti okolí RLC obvodu). Pro obecnou formulaci využijeme již zmíněné Kirchhoffovy zákony a. (4.28) Dále pak vztah napětí na indukčnosti cívky a proudu na kapacitě kondenzátoru kde dosazením do Kirchhoffových zákonů dostáváme a, (4.29) (4.30), (4.31) kondenzátoru ). Následným uspořádáním členů rovnic (12-13) dostáváme požadovanou rovnici pro popis RLC obvodů. 4.5 Stabilita systému Cílem této práce nebylo řešit matici pro popis RLC obvodů, ale i přes to můžeme dostat jednoduchou představu o chování popsaného systému. Je zřejmé, že v indukčnost L a kapacita C se nesmí rovnat nule. Tento fakt, který může přispět k nestabilitě systému, je spojen s frekvencí zdroje, kterým je RLC obvod napájen. Z jednoduchého vztahu je patrné, že pokud. Tedy v jednoduchém přiblížení platí, při zvyšovaní frekvence zdroje nad určitou mez dochází k nestabilitě systému.

22 5 Závěr Práce se obecně zabývala problematikou RLC obvodu. Prvním krokem byl nástin teorie elektrotechniky z pohledu analogových modelů. Následovalo upřesnění a zařazení zkoumaných elektrických prvků, jmenovitě odporu, cívky a kondenzátoru. Byl zde nastíněn i vliv měření jejich parametrů. Dále tato práce obsahuje zařazení analogových modelů se zaměřením na elektrické analogové modely. V neposlední řade i popis maticového vyjádření RLC obvodů jako nedílnou součást procesu vytváření analogových modelů a jejich popisu.

23 Literatura [1] Elektronics [online] dostupný z: [2] RLC obvody [online] dostupný z: [3] Analogové procesy [online] dostupný z: [4] Teorie elektroniky [online] dostupný z: [5] Analogový počítač [online] dostupný z: