Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Transkript

1 Technická univerzita v Liberci Fakulta řírodovědně-humanitní a edagogická Katedra matematik a didaktik matematik MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, říjen 6

2 PROMÍTÁNÍ Promítání zobrazuje rostorové útvar do romítací rovin (růmětna). Pokud romítáme každý bod útvaru do rovin ze středu, vznikne středové romítání. Vedeme-li každým bodem útvaru římku daného směru s a takto romítneme útvar do rovin, máme rovnoběžné romítání. Středové romítání se nejvíce blíží rocesu vidění. Je velice názorné, ale jeho nevýhodou je složitost konstrukcí a měření délek. Na druhé straně v rovnoběžném romítání nejsou konstrukce tak složité, ale trí v něm názornost. S Středové romítání Pokud omocí rovnoběžného romítání zobrazujeme nař. bod, vedeme jím římku směru romítání (romítací římka). Ta rotne růmětnu v jejím rovnoběžném růmětu. Takto zadané romítání však není vzájemně jednoznačné zobrazení. Nelze zětně zrekonstruovat odobu vzoru. s D = =D Rovnoběžné romítání

3 MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Mongeovo romítání je ravoúhlé rovnoběžné romítání na dvě k sobě kolmé růmětn. Proto je také nazýváno ravoúhlým romítáním na dvě kolmé růmětn. Jeho výhodou je snadné řešení úloh, nevýhodou však menší názornost. Průmětn nazýváme ůdorsna (označení ísmenem ) a nársna (označení ísmenem ). Někd se také oužívá třetí růmětna, která je kolmá zároveň na nársnu i ůdorsnu a nazývá se bokorsna (označení ). ZORZENÍ ODU Zobrazujeme-li bod, ak tento bod ravoúhle romítneme do ůdorsn a nársn. Pravoúhlý růmět do ůdorsn se označuje dolním indexem ( ) a nazýváme ho ůdors bodu, ravoúhlý růmět do nársn se označuje dolním indexem ( ) a nazýváme ho nárs bodu. Průmět do bokorsn označujeme dolním indexem 3 ( 3) a nazýváme ho bokors bodu. Do tohoto sstému růměten umisťujeme soustavu souřadnic tak, že růsečnici ůdorsn a nársn ztotožníme s osou a budeme ji nazývat základnicí. Její kladný směr bude směřovat dorava. Půdorsna ak bude souřadnicovou rovinou (x) a nársna souřadnicovou rovinou (z). elou tuto rostorovou situaci však otřebujeme umístit do rovin - nákresn. To zajistíme tak, že jednu z růměten otočíme kolem základnice do druhé růmětn (viz obr.). Tím se nám také otočí všechn ravoúhlé růmět všech zobrazovaných bodů (res. útvarů) a ůdors a nárs jednoho bodu se dostanou na římku kolmou k základnici, kterou nazýváme ordinála. Půdors a nárs jednoho bodu tvoří sdružené růmět tohoto bodu. Kvádr, jehož tři stěn jsou tvořen růmětnami a jeho čtři vrchol jsou bod,,, 3, nazýváme souřadnicový kvádr. z 3 (o) x x (o) od v rostoru Sdružené růmět bodu získáme tak, že na osu naneseme souřadnici daného bodu. Zde sestrojíme kolmici k ose a na ní naneseme kladnou souřadnici x bodu dolů, záornou souřadnici x nahoru, kladnou souřadnici z bodu nahoru a záornou souřadnici z bodu dolů. V nákresně vadá zobrazení bodu, jehož všechn souřadnice jsou kladné, následujícím zůsobem. 3

4 souřadnice z souřadnice souřadnice x Souřadnice bodu Zobrazení bodů v nákresně: (x<,>,z>), (x<,>,z<), D(x>,>,z<), E(x>,<,z=), E, F(x=,<,z>), F, G(x=,<,z=), G F G =G F E D E Zobrazení bodů D ZORZENÍ ÚSEČKY PŘÍMKY Nejdříve uvedeme některé vlastnosti Mongeova romítání, které vlývají ze skutečnosti, že je romítáním rovnoběžným. V Mongeově romítání se zachovává incidence. Ted bod, který leží na římce, se zobrazí na bod, který leží na obrazu římk. Dále se také zachovává rovnoběžnost a dělící oměr. Podle výše nasaného, obraz úsečk určíme jako obraz všech bodů, které leží na dané úsečce. Samozřejmě zobrazovat všechn bod není možné, ostačí koncové bod úsečk. Skutečná velikost úsečk Délk všech úseček se ři zobrazování zkreslí (zkrátí). hceme-li délku úsečk zjistit, musíme ji skloit. Skláění úsečk můžeme rovádět v ůdorsu i nársu. Nejrve sestrojíme kolmice v koncových bodech některého růmětu úsečk. Na tuto kolmici ak naneseme souřadnici druhého růmětu tohoto bodu. Ted jestliže skláíme v ůdorsu, nanášíme z-ovou souřadnici, skláíme-li v nársu, ak nanášíme souřadnici x-ovou. Tím získáme skloené bod, které značíme závorkou nař. (). Sojíme-li skloené koncové bod úsečk, získáme skutečnou délku d úsečk. Skloená úsečka se značí čárkovaně. Skláění úsečk není nutné rovádět v obou růmětech. 4

5 () () d x -x d x z -z () x z [] x z d z x z [] d x -x z -z [] Skláění úsečk Rozdílový trojúhelník Druhý zůsob určení délk úsečk je oužití tzv. rozdílového trojúhelníku. Zde nejdříve, okud zjišťujeme délku v ůdorsu, určíme rozdíl z-ových souřadnic koncových bodů úsečk a tuto délku naneseme na kolmici v ůdorsu koncového bodu úsečk. Pak tento bod na kolmici sojíme s druhým koncovým bodem úsečk a tím získáme skutečnou délku d úsečk. Obdobný ostu je ři určování délk v nársně. Na ředchozích obrázcích jsme rováděli skláění úseček, jejichž koncové bod měl souřadnice vžd kladné, ať už z-ové nebo x-ové. Stejný ostu se užívá, okud oba bod mají souřadnice záorné. Pokud však je nař. x-ová souřadnice jednoho koncového bodu kladná a druhého koncového bodu záorná, je nutné tto souřadnice nanášet na kolmice v oačných olorovinách, určené nársem úsečk. () x d x () x x Skláění úsečk oačné olorovin Zobrazení římk Přímka se zobrazí jako římka, okud není směru romítání, ted kolmá k některé z růměten. Pokud náleží směru romítání jejím obrazem je bod. Důležitými bod na římce jsou tzv. stoník. 5

6 Definice: Stoník je bod, ve kterém římka rotíná růmětnu. Každá římka může mít až tři stoník. Půdorsný stoník P je bod, ve kterém římka rotíná ůdorsnu. Nársný stoník N je bod, ve kterém římka rotíná nársnu a bokorsný stoník M je bod, ve kterém římka rotíná bokorsnu. Tento bokorsný stoník však nebudeme užívat. Každý z těchto stoníků má samozřejmě svůj ůdors a nárs (bokors nebudeme užívat). Protože ůdorsný stoník leží římo v ůdorsně, ak jeho ůdors P je s tímto ůdorsným stoníkem totožný. Obdobné je to ro nársný stoník a jeho nárs N. Tím dostaneme celkem dobrou ředstavu o oloze římk v rostoru. Nárs ůdorsného stoníku P a ůdors nársného stoníku N leží vžd na základnici. N=N a P a N P=P a Situace v nákresně ak vadá takto: Stoník římk N a P N a P Stoník římk - nákresna 6

7 Zvláštní oloh římek a b c d e g =g N a b c d e f f P =N P a b c d e f g Přímka kolmá k základnici (v našem říadě římka g) není svými sdruženými růmět jednoznačně určena. b bla určena jednoznačně, je nutné na této římce určit alesoň dva různé bod a zobrazit jejich sdružené růmět. Zobrazení dvojice římek. Rovnoběžk Jsou-li dvě římk rovnoběžné (a ani jedna není kolmá k základnici), ak jejich rvní i druhé růmět jsou solu rovnoběžné (a nejsou kolmé k základnici). Pokud jsou římk kolmé k jedné z růměten (na obrázku k ůdorsně), ak se zobrazí v jednom růmětu (v ůdorsu) jako dva neslývající bod a ve druhém (v nársu) jako dvě rovnoběžk. a b a b Rovnoběžk kolmé k ůdorsně Na níže uvedeném obrázku a) neleží římk ve solečné romítací rovině, na obrázku b) leží ve solečné ůdorsně romítací rovině. Obdobně také ro římk ležící v nársně romítací rovině. r q s q r = s Zobrazení rovnoběžek a) b) 7

8 . Různoběžk Průmětem dvou různoběžek mohou být: a) Dvě dvojice různoběžek, jejichž růsečík leží na ordinále. b) Jedním je jediná římka a druhým růmětem různoběžk (leží-li v jedné romítací rovině). c) Jedním je římka a bod, který na ní leží a druhým různoběžk (je-li jedna římka kolmá k jedné z růměten). q r L s M b a T L M q r = s a = T b Zobrazení různoběžek a) b) c) 3. Mimoběžk Průmětem dvojice mimoběžek mohou být: a) Dvě dvojice různoběžek, jejichž růsečík neleží na ordinále. b) Jedním růmětem jsou různé rovnoběžné římk a druhým dvojice různoběžek. c) Dvojice různoběžek a druhým růmětem je římka a bod na ní neležící (okud je jedna římka kolmá k jedné z růměten). q r b a s q r a b s Zobrazení mimoběžek a) b) c) 8

9 ZORZENÍ ROVINY Pokud není rovina romítací, ak se zobrazí jako celá růmětna. Pokud je romítací, zobrazí se jako římka. Nejčastější zůsob zadání rovin je omocí sto rovin. T udávají velice dobrou ředstavu o oloze rovin v rostoru vůči růmětnám. Definice: Stoa rovina je růsečnice této rovin s růmětnou. Průsečnice rovin s ůdorsnou se nazývá ůdorsná stoa, s nársnou nársná stoa n, s bokorsnou bokorsná stoa m (tuto stou užívat nebudeme). Půdorsná a nársná stoa se vžd rotínají na základnici. Pokud je rovina zadána souřadnicemi = (x,, z ), ak tto souřadnice značí růsečík rovin s říslušnou souřadnicovou osou, = (XYZ), X[x,, ], Y[,, ], Z[,, z ]. Ted ři vnášení souřadnic rovin naneseme na základnici souřadnici a v očátku vztčíme kolmici, na kterou naneseme souřadnici x a z, odle stejných ravidel jako ři vnášení souřadnic bodu. z n Z n Z x X x z Y z x X Y Sto rovin v rostoru a nákresně Seciální oloh rovin n n = n = 9

10 n n = = =n V osledním říadě, kd osa leží v dané rovině, je k jednoznačnému určení této rovin nutné zobrazit alesoň jeden bod, který v této rovině leží ZORZENÍ DVOJIE ROVIN ) Rovnoběžné rovin - růmět říslušných sto jsou rovnoběžné. Každé dvě rovnoběžné rovin jsou třetí rovinou s nimi různoběžnou roťat ve dvou rovnoběžných římkách. Jsou-li však rovin rovnoběžné se základnicí, jejich sto jsou také vzájemně rovnoběžné, ale tto rovin nemusí být rovnoběžné. Toto bchom zjistili z třetího růmětu. ) Různoběžné rovin - růmět říslušných sto jsou různoběžné. POLOHOVÉ ÚLOHY V této kaitole uvedeme základní t olohových úloh, ted úloh, ve kterých zkoumáme vzájemnou olohu zadaných útvarů. PŘÍMK V ROVINĚ Rovina nemusí být vžd zadána stoami, ale také může být zadaná omocí dvou římek (rovnoběžek či různoběžek), které v rovině leží. Řídíme se touto větou. Věta: Leží-li římka v rovině, ak její stoník leží na stoách rovin. Ted nárs nársného stoníku leží na nársné stoě a ůdors ůdorsného stoníku leží na ůdorsné stoě. n =n a a N=N P N a = =n = P=P Přímka v rovině

11 Situace v nákresně: n a N P a N P Přímka v rovině - nákresna Dík výše uvedené větě můžeme snadno určit sto rovin, ale také naoak určit nař. chbějící růmět římk ležící v rovině. Příklad: Sestrojte ůdors římk a ležící v rovině dané stoami, jestliže známe její nárs. n n a a P N P N a Nalezení chbějícího růmětu římk rovin zadané stoami Nejdříve musíme určit nárs stoníků (N leží na nársné stoě a P na základnici). Určíme jejich ůdors N (leží na základnici) a P (vžd leží na ůdorsné stoě, v tomto říkladě jsme ji museli rodloužit) jejichž sojením vznikne hledaný ůdors a. Pokud je rovina zadána římkami, řešíme tuto úlohu následovně. Příklad: Určete nárs římk a, která leží v rovině, dané dvěma rovnoběžkami, q.

12 q q a q q a a Q Q M M Nalezení chbějícího růmětu římk rovin zadané římkami V tomto říadě určíme ůdors růsečíků Q, M římk a s římkami, q, rotože všechn tři leží v jedné rovině a ted v rostoru se skutečně rotínají. Pomocí ordinál najdeme jejich nárs na nársech římek, q. Jestliže je sojíme, máme hledaný nárs a. Příklad: Sestrojte sto rovin, která je dána dvěma různoběžkami c, d. c d d c c d d P P P P N N N N c c c c d d d d n c Sto rovin dané dvěma římkami Protože říslušné stoník římk, která leží v rovině, leží na říslušných stoách této rovin, musíme nejdříve určit stoník daných římek. Sojením stoníků N c, N d získáme nársnou stou n α a sojením stoníků P c, P d získáme ůdorsnou stou α rovin. Seciální římk v rovině

13 V rovinách jsou také římk, které mají určitou vlastnost, které oužíváme nař. ke zjednodušení některých konstrukcí. a) Hlavní římk rovin Hlavní římk rovin jsou římk, které leží v dané rovině a jsou rovnoběžné s růmětnou. Protože máme dvě růmětn, máme i dva sstém hlavních římek. Horizontální hlavní římk rovin (h ) jsou rovnoběžné s ůdorsnou a frontální hlavní římk rovin (f ) jsou rovnoběžné s nársnou. Protože sto rovin leží také v dané rovině a zároveň leží římo v růmětně, můžeme je také ovažovat za hlavní římk. Proto můžeme ři určování hlavních římek ostuovat tak, že je sestrojíme jako rovnoběžk se stoou. n =n h h h = =n = Horizontální hlavní římk f f n =n f = =n = Frontální hlavní římk V nákresně ak latí, že ůdors horizontální hlavní římk (h ) je rovnoběžný s ůdorsnou stoou a nárs horizontální hlavní římk (h ) je rovnoběžný se základnicí. Nárs frontální hlavní římk (f ) je rovnoběžný s nársnou stoou rovin a její ůdors (f ) je rovnoběžný se základnicí. 3

14 n f h h f Hlavní římk - nákresna b) Sádové římk rovin Sádové římk rovin jsou římk v rovině, které jsou kolmé ke stoě. Protože máme dvě sto rovin, ak také máme dva sstém sádových římek. Sádové římk rvní osnov ( I s ) jsou kolmé na ůdorsnou stou a sádové římk druhé osnov ( II s ) jsou kolmé na nársnou stou. N n =n I s I s = N I s P P = =n Sádové římk rvní osnov n =n N II s II s P II s N = = =n P Sádové římk druhé osnov 4

15 Ted v nákresně je ůdors sádové římk rvní osnov ( I s ) kolmý k ůdorsné stoě, ale nárs této sádové římk rvní osnov ( I s ) již na nársnou stou kolmý není. Tento nárs sestrojujeme jako u běžné římk v rovině omocí stoníků. Obdobné je to ak ro sádové římk druhé osnov, zde je však nárs sádové římk druhé osnov ( II s ) kolmý na nársnou stou. I s n II s I s II s Sádové římk nákresna Sádové římk také oužíváme ke zjištění odchlk rovin od růmětn. Odchlka rovin, která není romítací, od růmětn je rovna odchlce její sádové římk od růmětn. Ted skloíme-li ůdors sádové římk. osnov do ůdorsn, ak odchlk skloeného ůdorsu a ůdorsu sádové římk. osnov je odchlka rovin od ůdorsn. Skloením nársu sádové římk. osnov do nársn získáme odchlku rovin od nársn jako odchlku skloeného nársu a nársu sádové římk. osnov. OD V ROVINĚ Přímk v rovině také oužíváme k další olohové úloze, nalézt chbějící růmět bodu, který leží v dané rovině. Příklad: V dané rovině, dané stoami, je dán ůdors bodu, určete jeho nárs. n n f f Nalezení chbějícího růmětu bodu v rovině zadané stoami 5

16 Nejdříve bodem vedeme ůdors libovolné římk rovin (v našem říadě jsme oužili frontální hlavní římku). Určíme omocí stoníků její nárs, na kterém omocí ordinál nalezneme hledaný nárs bodu. Příklad: Určete ůdors bodu, který leží v rovině dané dvěma různoběžkami a, b. b a b a a b a b Nalezení chbějícího růmětu bodu v rovině zadané římkami Pokud je rovina daná dvěma římkami, vedeme bodem jakoukoliv římku, která leží v rovině. Určíme růsečík, římk s římkami a, b. Narýsujeme jejich ůdors omocí ordinál, kterými rochází římka, na které leží ůdors bodu. Místo obecné římk v rovině, můžeme také oužít hlavní římku rovin, která daným bodem rochází. Musíme však vžd začít tím růmětem říslušné hlavní římk, který je rovnoběžný se základnicí. ROVIN ROVNOĚŽNÁ S DNOU ROVINOU Nejdříve si musíme uvědomit, že sto rovnoběžných rovin jsou rovnoběžné, znalosti o hlavních římkách a okud bod leží v rovině, obecně neleží jeho růmět na stoách rovin. Příklad: odem M, který neleží v rovině, veďte rovinu rovnoběžnou s danou rovinou. n n M h N n M f P N M f P M h Rovina rovnoběžná s danou rovinou 6

17 Protože sto rovnoběžných rovin jsou rovnoběžné a se stoami jsou rovnoběžné také říslušné hlavní římk, ak daným bodem vedeme hlavní římku hledané rovin a určíme její stoník, které již leží na hledaných stoách. Na obrázku jsou sestrojené obě hlavní římk, není to však vžd nutné, rotože sto rovin se rotínají na základnici. PRŮSEČNIE DVOU ROVIN rovin. Průsečnice dvou rovin leží v obou rovinách, ted její stoník musí ležet na stoách obou Příklad: Sestrojte růsečnici r dvou rovin a, jenž jsou zadané stoami. n n n N n r P N P r Průsečnice dvou rovin Půdorsný stoník růsečnice leží na růsečíku ůdorsných sto rovin a nársný stoník odobně leží na růsečíku nársných sto zadaných rovin. Někd se však může stát, že růsečík některých sto je na nákresně nedostuný. V tom říadě zvolíme třetí rovinu, nejlée rovnoběžnou s jednou z růměten. Určíme její růsečnici se zadanými rovinami, což jsou vlastně jejich hlavní římk. Průsečík těchto hlavních římek je bod na růsečnici těchto rovin. Potřebujeme-li získat růsečík hlavních římek v nársně, zvolíme si rovinu rovnoběžnou s nársnou a získáme tím frontální hlavní římk (viz. obrázek). Pro růsečík v ůdorsně zvolíme rovinu rovnoběžnou s ůdorsnou a tím horizontální hlavní římk. 7

18 n n n r n F f f P r F P = f = f Průsečnice dvou rovin nedostuný růsečík PRŮSEČÍK PŘÍMKY S ROVINOU Pro sestrojení růsečíku římk s rovinou oužíváme tzv. krcí římku. Krcí římka je římka ležící v dané rovině, jejíž jeden růmět slývá s růmětem římk dané (tzn., že mají solečnou romítací rovinu). Poté sestrojíme chbějící růmět krcí římk. Ten se rotne s danou římkou v růsečíku této římk s danou rovinou. k R =k Krcí římka Je-li římka zadaná stoami, oužíváme ke zjištění chbějícího růmětu krcí římk jejích stoníků. Příklad: Sestrojte růsečík římk a s rovinou, je-li zadána stoami. a n a =k n N R N P R a a P k Průsečík římk s rovinou zadané stoami 8

19 Zde jsme zvolili krcí římku v nársu, sestrojili ůdors této římk v ůdorsu a získali tak ůdors růsečíku R římek a a k. Nárs růsečíku určíme řenesením o ordinále. Pokud bchom zvolili krcí římku v ůdorsu, výsledek musí být totožný. Rovina může být zadána také různoběžnými, nebo rovnoběžnými římkami. Pak oužijeme růsečík krcí římk s těmito římkami. Příklad: Sestrojte růsečík římk a s rovinou, která je zadaná římkami s a t. Nejdříve si v nársu zvolíme krcí římku. Její růsečík s římkami zadávajícími rovinu, řeneseme do ůdorsu. Tím získáme ůdors krcí římk, který se rotne s ůdorsem římk a v bodě R. Pomocí ordinál ak určíme nárs růsečíku R. Stejně jako v ředchozím říkladě můžeme krcí římku zvolit v ůdorsu a řešení se nezmění. s a t s a =k t T R S s s T R S a a k t t Průsečík římk s rovinou zadané římkami S touto naosled jmenovanou olohovou úlohou úzce souvisí následující kaitola. ROVINNÝ ŘEZ HRNOLŮ JEHLNŮ Rovinný řez hranolu rovinou, která není rovnoběžná s žádnou hranou, je n-úhelník, jehož jednotlivé stran jsou růsečnice stěn hranolu s rovinou řezu. Rovinný řez jehlanu rovinou, která nerochází vrcholem jehlanu, ani není rovnoběžná s rovinou řídicího n-úhelníku jehlanu, je m-úhelník, jehož jednotlivé vrchol jsou růsečík hran daného jehlanu s rovinou řezu. Nejdříve musíme najít jeden bod řezu jako růsečík jedné (vhodné) hran tělesa s rovinou řezu oužitím krcí římk. Další bod řezu určíme omocí osové afinit u hranolů nebo středové kolineace u jehlanů. Osa afinit (kolineace) je ůdorsná stoa rovin řezu (okud odstava tělesa leží v ůdorsně) a ár odovídajících si bodů je bod na odstavě a rvní bod řezu. Do druhého růmětu řevedeme bod řezu o ordinálách. Nakonec určíme viditelnost řezu tak, že strana řezu, která leží v neviditelné stěně hranolu, je neviditelná. 9

20 D D 3 Řez hranolu a jehlanu Příklad: Zobrazte řez kosého čtřbokého hranolu DEFGH s odstavou D v ůdorsně rovinou. H G E F n k 3 N D H G E F k N D =P D D Řez hranolu P Nejdříve určíme růsečík D hran DH s rovinou řez. Zvolili jsme krcí římku v nársu. Pomocí osové afinit, jejíž osa afinit je ůdorsná stoa a árem odovídajících bodů jsou D a D (směr afinit je totožný se směrem hran hranolu), určíme ostatní bod řezu,, v ůdorsu. Po ordinálách je oté řevedeme do nársu a nakonec určíme viditelnost řezu.

21 Příklad: Určete řez trojbokého jehlanu V s odstavou v ůdorsně rovinou. V n N k =P k N V P Řez jehlanu Určíme růsečík hran V s rovinou řezu. Zvolili jsme krcí římku v nársu. Pomocí středové kolineace, jejíž osa kolineace je ůdorsná stoa a střed kolineace vrchol jehlanu, určíme ostatní bod řezu, v ůdorsu. Po ordinálách je následně řevedeme do nársu a určíme viditelnost řezu. METRIKÉ ÚLOHY V této kaitole se budeme věnovat několika základním úlohám, které se zabývají metrickými vztah mezi útvar v rostoru. PŘÍMK KOLMÁ K ROVINĚ Nejdříve si musíme řiomenout kritérium kolmosti římk a rovin a větu o růmětu ravého úhlu. Potom k h, rotože h π a k f rotože f ν. Věta: Přímka je kolmá k rovině (která není rovnoběžná se základnicí) rávě tehd, kdž její rvní růmět je kolmý na rvní růmět její horizontální hlavní římk a zároveň, kdž její druhý růmět je kolmý na druhý růmět její frontální hlavní římk.

22 Příklad: Sestrojte kolmici k k rovině daným bodem M. n n k M M M M k Kolmice k rovině ROVIN KOLMÁ K PŘÍME Tato úloha je oačná k úloze ředchozí. I zde vužijeme kritérium kolmosti římk a rovin a znalosti o hlavních římkách. Uvědomme si, že ůdors horizontální hlavní římk je kolmý na zadanou římku a její nárs je rovnoběžný se základnicí, ůdors frontální hlavní římk je také rovnoběžný se základnicí a nárs je kolmý na nárs dané římk (h a h a f a f ). Příklad: Daným bodem M veďte rovinu kolmou k římce. odem M sestrojíme horizontální hlavní římku a frontální hlavní římku odle oisu výše a oté určíme jejich stoník, kterými rochází sto hledané rovin. Není nutné vžd sestrojovat obě hlavní římk. Stačí sestrojit jednu stou a druhou dorýsovat kolmo k danému růmětu římk růsečíkem již nalezené sto se základnicí. n f M h M M M f h Rovina kolmá k římce

23 VZDÁLENOST ODU OD ROVINY Tato úloha je složena ze tří jednodušších úloh, které jsme již řešili v ředchozím textu. Jsou to: ) kolmice z daného bodu k rovině ) růsečík této kolmice s danou rovinou 3) určení skutečné vzdálenosti růsečíku a daného bodu. Pokud tto úloh sestrojíme, získáme ožadovanou délku. VZDÁLENOST ODU OD PŘÍMKY Naším úkolem v této úloze je určit vzdálenost daného bodu od dané římk. Jako ředchozí úloha, také tato je složena ze tří odúloh: ) sestrojení rovin kolmé daným bodem k dané římce ) určení růsečíku této kolmé rovin a dané římk 3) určení skutečné vzdálenosti růsečíku a daného bodu. OTÁČENÍ ROVINY KOLEM STOPY Často je součástí nějaké úloh konstrukce v rovině, která není rovnoběžná s růmětnou. Útvar v takto oložených rovinách jsou zkreslené, roto je nutné řed konstrukcí celou rovinu otočit do růmětn, ří. rovin rovnoběžné s růmětnou, rovést konstrukci a rovinu otočit zět. V našem říadě budeme otáčet rovinu kolem sto rovin, ať už ůdorsné nebo nársné. Otáčení celé rovin budeme rovádět omocí otáčení libovolného bodu v rovině. Osou otáčení je ted stoa rovin, středem otáčení ak růsečík S sádové římk rocházející otáčeným bodem a stoou. Poloměr otáčení r ak vzdálenost středu otáčení S a otáčeného bodu. Tato vzdálenost r je však zkreslená, ted nejdříve musíme úsečku S skloit. S = Otáčení rovin kolem sto Mezi bod v rovině a bod otočené rovin existuje rostorová geometrická říbuznost - osová afinita v rostoru. Jejím rovnoběžným růmětem do rovin růmětn získáme osovou afinitu v rovině, kterou oužíváme ro zjednodušení otáčení. Osou afinit je stoa, kolem které otáčíme a árem odovídajících si bodů je růmět bodu a jeho otočený obraz. 3

24 Postu řešení rovinné úloh:. Zvolíme osu otáčení - stoa rovin.. Sestrojíme střed a oloměr otáčení. 3. Otočíme jeden bod. 4. Další otočené bod získáme omocí osové afinit. 5. Provedeme rovinnou konstrukci. 6. S vužitím afinit otočíme výsledek zět. 7. od výsledného útvaru odvodíme do druhého růmětu. Příklad: Otočte rovinu kolem sto do rovin. Nejdříve musíme určit ůdors bodu omocí horizontální hlavní římk. Poté sestrojíme v bodě kolmici k k ůdorsné stoě, její růsečík se stoou je střed otáčení S. Úsečku S skloíme v ůdorsu a tím získáme skutečnou délku oloměru otáčení ()S. Skutečnou délku oloměru naneseme na kolmici k od středu S, tím získáme otočený bod a také celou otočenou rovinu. n n h () S h k Otáčení rovin 4

25 Příklad: Sestrojte rovnostranný trojúhelník, který leží v dané rovině a je určen bod,. n n () Sestrojení trojúhelníku v rovině Jako rvní sestrojíme nárs bodů, omocí frontálních hlavních římek. Pak otočíme bod : sestrojíme kolmici z na nársnou stou, skloíme oloměr otáčení a ten naneseme na kolmici, tím získáme bod. Pomocí osové afinit určíme otočený bod : nalezneme růsečík římk s nársnou stoou, ten sojíme s otočeným bodem, na této římce a na kolmici z bodu na nársnou stou leží bod. Nní sestrojíme známou konstrukcí rovnostranný trojúhelník. Pomocí afinit otočíme bod zět: růsečík nař. se stoou sojíme s bodem, na této římce a na kolmici z ke stoě leží bod. Určíme ůdors bodu omocí hlavní římk. ORZ KRUŽNIE. Jestliže kružnice leží v rovině rovnoběžné s růmětnou, ak je jejím obrazem shodná kružnice. Je-li, rovina kružnice k(s, r) rovnoběžná s ůdorsnou (nársnou), ak jejím rvním (druhým) růmětem je kružnice k (S, r) (k (S, r)) a druhým (rvním) růmětem k (k ) je úsečka délk r rovnoběžná se základnicí. 5

26 S k k S S k S k Kružnice v rovině rovnoběžné s růmětnou. Leží-li kružnice v rovině kolmé na růmětnu, obrazem je úsečka, jejíž délka je rovna růměru kružnice. Je-li rovina kružnice k kolmá nař. k ůdorsně, ak jejím rvním růmětem k je úsečka D délk r, která leží na ůdorsné stoě rovin kružnice. Střed kružnice k se zobrazí do středu S úsečk D. Druhým růmětem k kružnice k je elisa se středem v bodě S, hlavní oloosou S rovnoběžnou s nársnou stoou n (jejíž délka je r) a s vedlejší oloosou S rovnoběžnou se základnicí. Obdobné řešení má situace, okud je kružnice v rovině kolmé k nársně. f n r S D h D r S = = =f =h Kružnice v rovině kolmé k ůdorsně 3. V obecném říadě je obrazem elisa. Sdruženými růmět kružnice jsou různé elis. Velikost růměru kružnice, který leží na hlavní římce rocházející středem kružnice, se ři ravoúhlém romítání zachovává, ostatní růměr se v ravoúhlém romítání zkracují. Průměr na hlavní římce bude ted hlavní osou elis, do které se kružnice zobrazí. V rvním růmětu k kružnice k se skutečná délka oloměru r kružnice romítá do hlavní oloos S elis ležící na rvním růmětu h hlavní římk rovin. Na vedlejší oloose S 6

27 elis se oloměr kružnice zkracuje na velikost vedlejší oloos elis. Tu sestrojíme omocí nař. omocí otočení rovin kružnice do ůdorsn a omocí osové afinit. nalogická situace latí i ro druhý růmět k kružnice k. Poloměr r kružnice se nezkrácený romítá do hlavní oloos K S elis, ležící na druhém růmětu f hlavní římk rovin rocházející středem S elis. Na vedlejší oloose elis se oloměr kružnice zkracuje na velikost vedlejší oloos elis. Tu můžeme sestrojit omocí rozdílové roužkové konstrukce (viz text ohniskové vlastnosti kuželoseček ), známe-li hlavní vrchol elis K, L a obecný bod elis nař.. h f K k r b n S r L D r h (S) r S k S r D Kružnice v obecné rovině Příklad: V rovině ρ, která je zadaná dvěma různoběžkami, hlavními římkami h, f, sestrojte kružnici k(s, r). Na horizontální hlavní římku h naneseme v ůdorsu od bodu S na obě stran skutečnou velikost oloměru r - bod označíme, a odvodíme je o ordinále do nársu. Na frontální hlavní římku f naneseme v nársu od bodu S na obě stran skutečnou velikost oloměru r - bod označíme, D a odvodíme je o ordinále do ůdorsu. Obrazem kružnice v ůdorsu je elisa s hlavní osou, bod, D leží na elise. Pomocí roužkové konstrukce získáme délku vedlejší os. Obrazem kružnice v nársu je elisa s hlavní osou D, bod, leží na elise. Pomocí roužkové konstrukce získáme vedlejší osu. 7

28 r f r f S h S h S h f D D S h f Zobrazení kružnice ZORZENÍ TĚLES PLOH Užitím uvedených olohových a metrických úloh jsme nní schoni sestrojit jakékoliv těleso a vřešit na něm jakékoliv úloh. Příklad: Zobrazte ravidelný osmistěn DUV, jehož tělesová úhloříčka je na římce a = KL (K[4; -4; ], L[6; 4; ]) a je dán jeho vrchol D[7; -3; 8], který na úhloříčce neleží. Nejdříve musíme určit rostorové řešení úloh. Poté jednotlivé dílčí konstrukce sestrojíme v oužívané zobrazovací metodě. k U K D S L a V Rozbor úloh zobrazení osmistěnu Postu konstrukce:. ρ; ρ = (Da). čtverec D; čtverec D ρ, {, } a, S střed čtverce 3. k; k ρ S k 4. U, V; {U, V} k, SU = SV = S. 5. osmistěn DUV 8

29 (U) D (S) n N L a (V) V (N )=N R S U k K P N V P P P K D R S L R S a (D) U D k a Zobrazení osmistěnu 9

30 Příklad: Sestrojte růmět ravidelného čtřbokého jehlanu DV s odstavou D ležící v nársně romítací rovině α = ( ; 69; 48), je-li dáno [4; 9;? ], střed S[47; ;? ] odstav D a výška jehlanu v = 94. Příklad: Sestrojte ravidelný čtřboký hranol, jsou-li dán střed S, S jeho odstav a římka, na níž leží jeho vrchol S S, S S Zadání ravidelný čtřboký hranol ROVINNÝ ŘEZ ROTČNÍHO VÁLE KUŽELE ŘEZ VÁLOVÉ PLOHY Řez rotační válcové loch odle odchlk rovin řezu a os válcové loch:. Rovina je kolmá k ose válcové loch řezem loch je kružnice. Rotační válec taková rovina rotíná v kruhu, nebo nemá s válcem žádný solečný bod.. Rovina je rovnoběžná s osou válcové loch (směrová rovina) řezem jsou dvě ovrchové římk, nebo se jí dotýká v jedné ovrchové římce, nebo s ní nemá žádný solečný bod. Rotační válec ak rotíná v obdélníku, nebo se ho dotýká v úsečce, nebo nemají žádný solečný bod. 3. Rovina je kosá k ose válcové loch řezem je elisa. Přičemž mezi rovinou ovrchové kružnice a rovin řezu latí afinita. Věta Quételetova-Dandelinova: Řezem rotační válcové loch rovinou, která je kosá k ose loch, je elisa. Jejími ohnisk jsou dotkové bod kulových loch vesaných válcové loše tak, že se dotýkají rovin řezu. Střed elis leží na ose válcové loch, délka její vedlejší oloos je rovna oloměru válcové loch. 3

31 Příklad: Zobrazte řez rotačního válce s odstavou v ůdorsně rovinou kolmou k nársně. Protože rovina řezu je kosá k ose válce, je řezem elisa. Rovina řezu nemá s odstavou válce žádný solečný bod, elisa roto tvoří celou hranici řezu. Kdb rovina řezu rotínala odstav válce, bl b řez ohraničen oblouk elis a tětivami, které na odstavných hranách vtínají růsečnice rovin řezu s rovinami odstav. Protože rovina je kolmá k nársně, je nársem řezu úsečka a ůdors řezu slývá s ůdorsem válce. n o S D == S S _ S =S =o =S D Řez válce rovinou kolmou k nársně Příklad: Zobrazte řez rotačního válce s odstavou v ůdorsně obecně danou rovinou Rovina řezu je kosá k ose válce, roto je hranicí řezu elisa. Oět má válec odstavu v ůdorsně, roto ůdors řezu slývá s ůdorsem válce. K určení nársu řezu roložíme osou rovinu kolmou k rovině Protože je osa kolmá k ůdorsně, je také rovina kolmá k ůdorsně (o, n,). Průsečnice s rovin a, která je sádovou římkou rovin řezu, je také hlavní osou elis řezu. Přímka s rotíná osu válce ve středu S elis řezu a lášť válce v hlavních vrcholech elis,. Vedlejší osa elis leží v rovině řezu na horizontální hlavní římce h rocházející středem elis kolmo k římce s (S h s, S h ). Přímka h rotíná lášť válce ve vedlejších vrcholech, D elis. Úsečk, D jsou ro nárs elis jejími sdruženými růměr, z nichž omocí Rtzov konstrukce sestrojíme elisu. od T, T v nársu řezu zjistíme omocí frontální hlavní římk f. Tto bod určují viditelnost nársu řezu. Viditelný v nársu je oblouk elis na řední olovině válce, ted oblouk TT obsahující bod a. 3

32 Délku hlavní os ro elisu ve skutečné velikosti určíme skloením nař. ůdorsu této úsečk do ůdorsn. Délka vedlejší os D je r. N S s T f D _ S h n T S P P D _ S =S =o =S f P T T N P s () (S) (s) () h Řez válce rovinou obecnou PRŮSEČÍK PŘÍMKY S VÁLOVOU PLOHOU (S POVRHEM ROTČNÍHO VÁLE) Danou římkou roložíme směrovou rovinu a sestrojíme řez válcové loch touto rovinou. Průsečík jsou solečné bod dané římk a řezu. Příklad: Zobrazte růsečík římk m = PM s ovrchem rotačního válce s odstavou v ůdorsně. Přímkou m roložíme směrovou rovinu, která je kolmá k ůdorsně ( = = m, n,). Řezem rovinou je obdélník KLL K, jehož ůdorsem je úsečka K L a nársem obdélník K L L K. Průsečík římk m s obvodem řezu jsou růsečík X, Y (X = K = K, Y = L = L, X m K K, Y m L L ). Viditelnost řešíme tak, že ředokládáme nerůhlednost tělesa. V nársu ted vidíme bod X, který je na viditelné straně válce a naoak nevidíme bod Y. 3

33 n K o L m M X P Y P K S L Y =L =L S =o X =K =K M m = Průsečík válce s římkou ŘEZ ROTČNÍHO KUŽELE Pokud je rovina řezu vrcholová, ted rochází vrcholem kuželové loch, ak jsou řezem buď dvě ovrchové římk, nebo jedna ovrchová římka, nebo jeden bod (vrchol kuželové loch). Řez vrcholovou rovinou ulatníme ři úloze nalézt růsečík římk s kuželovou lochou, res. ovrchem kužele. Není-li rovina řezu vrcholová, ak je řezem kuželosečka. Podle orovnání odchlk rovin řezu a odchlk ovrchových římek od rovin ovrchové kružnice určíme t této kuželosečk. α < β řezem je elisa; vrcholová rovina rovnoběžná s rovinou řezu má s kuželovou lochou solečný její vrchol. Pokud je rovina řezu kolmá k ose, je řezem kružnice. α = β řezem je arabola; vrcholová rovina rovnoběžná s rovinou řezu má s kuželovou lochou solečnou jednu římku (je tečnou rovinou). α > β řezem je herbola; vrcholová rovina rovnoběžná s rovinou řezu rotíná kuželovou lochu ve dvou římkách. 33

34 Věta Quételetova Dandelinova: Řez rotační kuželové loch rovinami, které nejsou vrcholové, jsou kuželosečk s ohnisk v dotkových bodech kulových loch vesaných kuželové loše a dotýkajících se rovin řezu. V následujících říkladech se omezíme na jednoduché říad, ve kterých odstavu kužele umístíme do ůdorsn. Složitější říad, kd kuželová loch nemá odstavu v růmětně na jednodušší t řevádíme. Příklad: Zobrazte řez rotačního kužele s odstavou v ůdorsně rovinou kolmou k nársně. Podle nársu je zřejmé, že řezem je elisa. Osou kužele vedeme rovinu kolmo k rovině řezu (o ). Rovina rotne kuželovou lochu v římkách a, b a rovinu v její sádové římce s. Přímka s je hlavní osou elis, růsečík, římek a, b s římkou s jsou hlavními vrchol elis, střed S úsečk je středem elis. Vedlejší vrchol elis, D jsou růsečík kuželové loch s hlavní horizontální římkou h rovin řezu rocházející středem elis S. Řezem v nárse je úsečka, rotože rovina řezu je kolmá k nársně. Půdorsem řezu je elisa s hlavní osou a vedlejší osou D. od, D odvodíme z nársu omocí ovrchových římek nebo ovrchové kružnice, na které tto bod leží. o V b a n =s _ S =h = =D k S k S =V =o _ S =a =b =s D h Řez kužele elisa 34

35 Příklad: Zobrazte řez rotačního kužele s odstavou v ůdorsně rovinou kolmou k nársně. Osou kužele vedeme rovinu kolmo k rovině řezu (o ). Rovina rotne kuželovou lochu v římkách a, b a rovinu v její sádové římce s. V nársu vidíme, že rovina je rovnoběžná s římkou b, ted řezem kuželové loch bude arabola. Přímka s je osou arabol a růsečík římek s a a je vrcholem arabol. Nársem řezu je olořímka X. Půdorsem řezu je arabola s ohniskem V a řídící římkou d. od V je ůdorsem vrcholu V kuželové loch a římka d je růsečnice d rovin s rovinou rocházející vrcholem V (V, d, d ). Půdorsná stoa rovin řezu rotíná odstavnou hranu kužele v bodech X, Y. Řezem kužele je tak část rovin ohraničená obloukem arabol a tětivou XY. o n =s V d b a X =Y S Y S =V =o =a =b =s X d Řez kužele arabola Příklad: Zobrazte řez rotačního dvojkužele s dvěma odstavami o středech S, S rovinou kolmou k nársně. V tomto říadě je řezem herbola. Rovina rotne kuželovou lochu v římkách a, b a rovinu v její sádové římce s. Přímka s je hlavní osou herbol a růsečík, římk s s římkami a, b jsou vrchol herbol. 35

36 Směr asmtot určují ovrchové římk, q, s nimiž je rovina řezu rovnoběžná, ted ovrchové římk, ve kterých kuželovou lochu rotne vrcholová rovina. Nársem řezu jsou dvě olořímk X a X. Půdorsem řezu je herbola s osou v římce s, vrchol v bodech, a jedním ohniskem v bodě V. smtot herbol rocházejí bodem S a jsou rovnoběžné s římkami, q. Řezem jsou dvě části rovin řezu ohraničené oblouk herbol a tětivami XY, X Y. o S =q = n =s Y =X V _ S b a X =Y S Y Y _ S =V =o S =a =b =s X X q Řez kužele herbola 36

37 Příklad: Zobrazte řez rotačního kužele s odstavou v ůdorsně obecnou rovinou. Řezem touto rovinou je elisa. Sádová římka s rovin řezu je také hlavní osou elis a růsečík, římk s s kuželem jsou vrchol elis. Tto bod získáme omocí otočení římk s do rovin rovnoběžné s nársnou kolem os rotačního kužele. Toto otočení rovedeme omocí ůdorsného stoníku P římk s a růsečíku římk s s osou kužele o. Půdorsný stoník se dostane do oloh P a růsečík římk s s osou o zůstane ři otáčení na místě. od, ve kterých římka s rotne nárs kužele, jsou otočené hlavní vrchol elis,. Tto bod oté otočíme zět o ovrchových kružnicích, které se zobrazí v nárse jako úsečk. Průsečík těchto kružnic s s jsou vrchol,. Tto bod jsou také nejvšší bod řezu elis v nársu. Střed úsečk je středem elis řezu. Na horizontální hlavní římce h rocházející středem elis řezu leží vedlejší vrchol, D elis řezu. Zároveň leží na ovrchové kružnici, jejíž nárs se řekrývá s nársem h. od T, T v nichž se mění viditelnost řezu v nársu, leží na frontální hlavní římce rovin řezu rocházející růsečíkem sádové římk s a os kužele o. V nárse jsou to bod, ve kterých tato frontální hlavní římka rotíná nárs kužele. Půdors řezu se zobrazí jako elisa, která má hlavní vrchol v bodech, a vedlejší vrchol v bodech, D. Nársem řezu je elisa, která má sdružené růměr, D. o n s s f V T D _ T S S h s P P D T S =V =o _ S T k =f =s h Řez kužele obecnou rovinou 37

38 PRŮSEČÍK PŘÍMKY S KUŽELOVOU PLOHOU (S POVRHEM ROTČNÍHO KUŽELE) Danou římkou roložíme vrcholovou rovinu a sestrojíme řez kuželové loch touto rovinou. Průsečík jsou solečné bod římk a řezu. Příklad: Zobrazte růsečík římk m = PM s ovrchem rotačního kužele s odstavou v ůdorsně. od je bodem odstavné hran kužele a bod V je jeho vrcholem. Půdorsná stoa vrcholové rovinkterá obsahuje římku m je určena ůdorsným stoníkem P římk m a ůdorsným stoníkem P další římk m, která rochází vrcholem V a je různoběžná s římkou m. Řezem rotačního kužele touto vrcholovou rovinou je trojúhelník KLV. Jeho ůdorsem je trojúhelník K L V, stejně tak nársem je trojúhelník K L V. Průsečík římk m s obvodem řezu jsou růsečík X, Y (X m K V, Y m L V, X m K V, Y m L V ). Pokud ředokládáme, že kužel je nerůhledný, je v ůdorsu římka m viditelná až k růsečíkům X, Y. V nársu je bod X na neviditelné části láště a bod Y na viditelné části. o V N m X M m Y P L V M X K K N P P m Y L P m Průsečík kužele s římkou 38