5.1.8 Vzájemná poloha rovin

Transkript

1 5.1.8 Vzájemná oloha rovin Předoklady: 5107 Př. 1: Kolik solečných bodů mohou mít dvě roviny? Každou možnost dokumentuj omocí dvou rovin určených vrcholy krychle a urči vzájemnou olohu rovin. Mohou nastat tři možnosti: roviny nemají žádný solečný bod roviny a roviny mají všechny body solečné roviny a roviny jsou totožné (slývají) roviny jsou rovnoběžné roviny mají solečných nekonečně mnoho bodů ležících v římce roviny a (solečná římka ) roviny jsou různoběžné okud mají dvě různé roviny solečný bod, ak mají solečnou celou římku, která tímto bodem rochází Terminologie: 1

2 máme různoběžné roviny ρ a σ, dva body ρ, σ růnik olorostorů ρ a σ se nazývá klín růsečnice h hraničních rovin se nazývá hrana klínu oloroviny h a h se nazývají stěny klínu h máme rovnoběžné roviny ρ a σ, dva body ρ, σ růnik olorostorů ρ a σ se nazývá vrstva vzdálenost hraničních rovin se nazývá tloušťka (šířky) vrstvy d Př. 2: Je dána standardní krychle. Urči vzájemnou olohu rovin: a), b), c), d), S. Pokud jsou roviny různoběžné, urči jejich růsečnici. a), b), roviny jsou různoběžné, růsečnicí je římka roviny jsou rovnoběžné c), d), S 2

3 roviny jsou různoběžné, růsečnicí je římka S S roviny jsou různoběžné, růsečnicí je římka rovnoběžná s římkou ležící mimo krychli odatek: Průsečnici rovin, S z bodu d) ředchozího říkladu snadno najdeme, když si nakreslíme ještě jednu krychli řed krychli : Př. 3: V rovině ρ leží římka, v rovině σ leží římka. Jaká může být vzájemná oloha římek,, okud jsou roviny ρ a σ : a) rovnoběžné b) různoběžné. Modeluj situace omocí sešitů a tužek. Načrtni obrázky, které jednotlivé možnosti zachycují omocí rovin a římek určených vrcholy krychle. roviny ρ a σ jsou rovnoběžné 3

4 4 římky, jsou rovnoběžné římky, jsou mimoběžné roviny ρ a σ jsou různoběžné římky, jsou rovnoběžné římky, jsou různoběžné

5 římky, jsou mimoběžné Pedagogická oznámka: U ředchozího říkladu jde mimo jiné i o to, jak si studenti v krychli zvolí roviny ρ a σ. Při šatné volbě není z obrázku nic vidět. Př. 4: Urči vzájemnou olohu rovin ρ a σ okud víš, že mají: a) jeden solečný bod b) solečnou římku c) solečné tři body, které neleží na římce a) jeden solečný bod roviny mají určitě solečnou římku roviny jsou různoběžné nebo totožné b) solečnou římku roviny jsou různoběžné nebo totožné c) solečné tři body, které neleží na římce roviny jsou totožné Podobně jako ro římky i ro roviny latí: aným bodem lze vést k dané rovině jedinou rovinu s ní rovnoběžnou. Př. 5: olň větu: Je-li ρ σ a σ τ, ak. Je-li ρ σ a σ τ, ak ρ τ. i rovnoběžnost rovin je tranzitivní. Př. 6: Je dána rovina ρ a bod, který v ní neleží. Kolik římek rovnoběžných s rovinou ρ rochází bodem? Jaký útvar vznikne sjednocením všech takových římek? odem rochází nekonečně mnoho římek rovnoběžných s rovinou ρ, které dohromady tvoří rovinu rovnoběžnou s rovinou ρ. 5

6 Př. 7: Najdi ostu, jak omocí vodováhy ověřit vodorovnou olohu desky. Vodováha zařízení, které určí zda je nějaký směr vodorovný (bublinka kaaliny je řesně urostřed okénka). řiložíme vodováhu k desce ve dvou různých směrech a ověříme, zda jsou oba směry vodorovné (každý další už bode také vodorovný). Př. 8: Na základě ředchozích říkladů vyslov kritérium ro rovnoběžnost dvou rovin. vě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje dvě různoběžné římky, které jsou rovnoběžné s druhou rovinou. Naříklad ro roviny ρ a σ to znamená, že rovina σ obsahuje římky,, které jsou rovnoběžné s rovinou ρ. Př. 9: Je dán čtyřstěn. okaž, že rovina S SS je rovnoběžná s rovinou. udeme ostuovat odle ředchozího kritéria: najdeme v rovině S SS dvě různoběžné římky, které jsou rovnoběžné s rovinou : římka S S je střední říčkou v trojúhelníku je rovnoběžná s římkou je rovnoběžná s rovinou římka SS je střední říčkou v trojúhelníku je rovnoběžná s římkou je rovnoběžná s rovinou našli jsme dvě různoběžné římky rovnoběžné s rovinou rovina S SS je rovnoběžná s rovinou S S S Jak najdeme rovinu rovnoběžnou s rovinou ρ rocházející bodem? 6

7 Můžeme oužít kritérium rovnoběžnosti: zvolíme v rovině ρ římky,. Jejich rovnoběžky a rocházející bodem určují rovnoběžnou rovinu ρ. Př. 10: Je dána standardní krychle. odem veď rovinu rovnoběžnou s rovinou. hledanou rovinou je rovina římka je rovnoběžná s římkou římka je rovnoběžná s římkou Př. 11: xistuje celkem ět možností ro vzájemnou olohu tří rovin α, β, γ. Najdi všechny tyto možnosti, modeluj je v dvojici omocí sešitů a demonstruj je omocí tří rovin určených vrcholy nebo středy hran standardní krychle. tři navzájem rovnoběžné roviny dvě rovnoběžné roviny, třetí je rotíná v rovnoběžných římkách 7

8 8 tři navzájem různoběžné roviny se solečnou růsečnicí tři navzájem různoběžné roviny se třemi rovnoběžnými růsečnicemi tři navzájem různoběžné roviny se třemi růsečnicemi, které rocházejí jedním bodem

9 Př. 12: Petáková: strana 90/cvičení 3 strana 90/cvičení 4 strana 90/cvičení 5 c) d) Shrnutí: 9