Další servery s elektronickým obsahem

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Další servery s elektronickým obsahem"

Transkript

1

2 Právní upozornění Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno. Používání elektronické verze knihy je umožněno jen osobě, která ji legálně nabyla v rozsahu stanoveném autorským zákonem. Elektronická kniha je datový soubor, který lze užívat pouze v takové formě, v jaké jej lze stáhnout z portálu. Jakékoliv neoprávněné užití elektronické knihy nebo její části, spočívající např. v kopírování, úpravách, prodeji, pronajímání, půjčování, sdělování veřejnosti nebo jakémkoliv druhu obchodování nebo neobchodního šíření je zakázáno! Zejména je zakázána jakákoliv konverze datového souboru nebo extrakce části nebo celého textu, umisťování textu na servery, ze kterých je možno tento soubor dále stahovat, přitom není rozhodující, kdo takového sdílení umožnil. Je zakázáno sdělování údajů o uživatelském účtu jiným osobám, zasahování do technických prostředků, které chrání elektronickou knihu, případně omezují rozsah jejího užití. Uživatel také není oprávněn jakkoliv testovat, dekompilovat, zkoušet či obcházet technické zabezpečení elektronické knihy. Děkujeme že elektronické knihy nelegálně nešíříte. Podporujete tak vznik dalších elektronických titulů. Kopírování zabíjí elektronické knihy! (c) Computer Media s.r.o. Všechna práva vyhrazena. Další servery s elektronickým obsahem v i d e o p r í r u c k y. c z

3 pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R

4 Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava: PhDr. Dagmar Procházková Návrh vnitřního layoutu: Pavel Navrátil Zlom a sazba: Jan Paroulek Návrh obálky: Ing. Michal Jiříček Interní verze: 1.0 Computer Media s.r.o. Vydání první, 010 Všechna práva vyhrazena ISBN: Žádná část této publikace nesmí být publikována a šířena žádným způsobem a v žádné podobě bez písemného svolení vydavatele. Computer Media, s.r.o. Hrubčická Kralice na Hané Telefon: Fax: WWW: Zajímá nás Váš názor! Líbí se Vám tato učebnice? Co v ní postrádáte? Své tipy, postřehy a názory pište na adresu: Děkujeme Vám. Nakladatelství a vydavatelství R Partnerským serverem této knihy je i škola.cz Vaše elektronická škola

5 Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl Úvod Gaspard Monge Souřadný systém, zobrazení bodu Zobrazení přímky Stopníky obecné přímky Sklopení přímky Zobrazení roviny Bod a přímka v rovině, odchylka roviny od průmětny Obrazce v rovině Vzájemná poloha dvou rovin, průsečnice rovin Průsečík přímky s rovinou Průnik rovinných obrazců Kolmost přímky a roviny Otočení roviny do průmětny, osová afinita. díl Zobrazení hranolu Řez hranolu Síť hranolu Průsečík přímky s hranolem Zobrazení jehlanu Středová kolineace a řez jehlanu Síť jehlanu Průsečík přímky s jehlanem Kuželosečky Zobrazení válce Řez válce Síť válce Průnik přímky s válcem Zobrazení kuželu Řez kuželu Síť kuželu Průsečíky přímky s kuželem Koule zobrazení, řez, průnik s přímkou Průnik těles 3

6 Díl OBSAH. DÍLU 14 Zobrazení hranolu...6 Příklad kolmý hranol... 6 Příklad pravidelný hranol s podstavou v nárysně... 8 Příklad kosý hranol s podstavou v nárysně... 9 Příklad kolmý hranol s podstavou v obecné rovině... 9 Cvičení sestrojení hranolu Řez hranolu...17 Příklad řez kolmého hranolu rovinou Příklad řez kosého hranolu rovinou Cvičení řez hranolu Síť hranolu... Příklad síť kolmého hranolu... Příklad síť kosého hranolu... 3 Příklad síť kosého hranolu Cvičení síť hranolu Průsečík přímky s hranolem...3 Příklad průsečík přímky s kolmým hranolem Příklad průsečík přímky s kosým hranolem Cvičení průsečík přímky s hranolem Zobrazení jehlanu...36 Příklad zobrazení pravidelného jehlanu Příklad zobrazení kosého jehlanu Příklad pravidelný jehlan s podstavou v obecné rovině Cvičení zobrazení jehlanu Středová kolineace a řez jehlanu...41 Středová kolineace Příklad středová kolineace... 4 Příklad rovinný řez jehlanu... 4 Příklad řez kosého jehlanu a velikost řezu Cvičení řez jehlanu Síť jehlanu...49 Příklad síť pravidelného jehlanu Příklad síť kosého jehlanu Cvičení síť jehlanu Průsečík přímky s jehlanem...53 Příklad průsečík přímky s jehlanem Cvičení průsečík přímky s jehlanem Kuželosečky...57 Elipsa Hyperbola Parabola

7 Obsah 3 Zobrazení válce...63 Příklad průmět rotačního válce Příklad průměty kosého válce Příklad průměty rotačního válce v obecné poloze Cvičení průměty válce Řez válce...68 Příklad eliptický řez na válci Rytzova konstrukce Cvičení řez válce Síť válce...73 Příklad síť rotačního válce Příklad řez válce a síť Cvičení síť válce Průnik přímky s válcem...77 Příklad průnik přímky s kolmým válcem Příklad průnik přímky s kosým válcem Cvičení průnik přímky s válcem Zobrazení kuželu...8 Příklad tečny elipsy... 8 Příklad rotační kužel s podstavou v půdorysně Příklad rotační kužel s podstavou v obecné rovině Cvičení zobrazení kuželu Řez kuželu...88 Příklad eliptický řez kuželu Příklad parabolický řez kuželu Příklad hyperbolický řez kuželu... 9 Cvičení řez kuželu Síť kuželu...95 Příklad síť rotačního kuželu Příklad řez kuželu a jeho síť Cvičení síť kuželu Průsečíky přímky s kuželem...99 Příklad průsečíky přímky s kuželem Cvičení průsečíky přímky s kuželem Koule zobrazení, řez, průnik s přímkou Příklad řez koule Příklad průnik přímky a koule Průnik těles Příklad průnik hranolů Příklad průnik kuželu a hranolu

8 Díl 14 ZOBRAZENÍ HRANOLU Hranol je těleso, které má dvě stěny rovnoběžné, ty se nazývají podstavy. Podstavy jsou shodné a jsou spojené bočními stěnami. Hrany ležící v podstavě jsou podstavné hrany, hrany v bočních stěnách neležící v podstavě jsou boční hrany. Pokud jsou boční hrany kolmé na podstavy, jedná se o kolmý hranol, v opačném případě se jedná o kosý hranol (obr. 14-1). Jestliže je podstava pravidelný mnohoúhelník a hranol je kolmý, jedná se o pravidelný hranol. Obr Příklad kolmý hranol Sestrojte průměty pravidelného šestibokého hranolu, jehož dolní podstava leží v půdorysně, podstava je dána středem S a vrcholem A a výška hranolu je v. Řešení: Sestrojte půdorys podstavy šestiúhelník, který je dán svým středem a vrcholem. Pro připomenutí základní konstrukce šestiúhelníka čtěte následující: Šestiúhelník sestrojíte například tak, že narýsujete kružnici opsanou danému šestiúhelníku (střed v bodě S 1 a poloměr je S 1 A 1 ), od bodu A nanesete pomocí kružítka velikost poloměru kružnice po obvodu kružnice tím získáte další vrcholy šestiúhelníka. Spojením bodu A 1 až F 1 dostáváte půdorys dolní podstavy hranolu. Nárysy těchto bodů leží na příslušných ordinálách a základnici x 1, (celá půdorysna se v nárysu promítá do základnice) obr Protože se jedná o kolmý hranol, jsou jeho boční hrany kolmé na půdorysnu, a tudíž se v nárysu promítají do kolmic k základnici. Vždy procházejí příslušným nárysem bodu podstavy. Výška je dána v, tu naneste na nárysy bočních hran od základnice. Velikost se v tomto případě nezkresluje, protože jsou hrany rovnoběžné s nárysnou. Nanesením výšky v na boční hrany dostanete nárysy bodů horní podstavy (A 'B 'C 'D 'E 'F '). Horní podstava se v nárysu promítá do úsečky rovnoběžné se základnicí (obr. 14-3). Půdorys horní podstavy (A 1 'B 1 'C 1 'D 1 'E 1 'F 1 ') splývá s půdorysem dolní podstavy (A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ), protože se jedná o kolmý hranol a podstavy leží nad sebou ve směru promítání (obr. 14-4). 6

9 14 Zobrazení hranolu A F B E C D X 1, F 1 E 1 D 1 S 1 A 1 C 1 B 1 Obr. 14- A ' F ' B ' E ' C ' D ' v A F B E C D X 1, F 1 E 1 D 1 S 1 A 1 C 1 B 1 Obr

10 Díl A ' F ' B ' E ' C ' D ' v A F B E C D X 1, F 1 =F 1 ' E 1 =E 1 ' D 1 =D 1 ' A 1 =A 1 ' S 1 C 1 =C 1 ' B 1 =B 1 ' Obr Příklad pravidelný hranol s podstavou v nárysně Naprosto obdobným způsobem jako v předchozím příkladu sestrojíte hranol, jehož podstava leží v nárysně. Musíte jen dát pozor na pojmenování a indexování bodů, jinak postupujte analogicky (obr. 14-5). F =F ' E =E ' D =D ' A =A ' B =B ' C =C ' A 1 F 1 B 1 E 1 C 1 D 1 x 1, v A 1 ' F 1 ' B 1 ' E 1 ' C 1 ' D 1 ' Obr

11 Díl Pokud kuželovou plochu, která je tvořena bočními povrchovými přímkami procházejícími vrcholem, omezíte rovinami podstavnými rovinami, získáte dvojkužel omezený svými podstavami, a řezem na takovém tělese může být elipsa nebo její část, část paraboly nebo část hyperboly. Elipsa Elipsa je množina bodů v rovině, které mají od dvou různých bodů F a G konstantní součet vzdáleností. Tento součet vzdálenosti se označuje jako a, a odpovídá délce hlavní osy elipsy. Z této definice může vycházet i konstrukce bodů elipsy. Při konstrukci elipsy lze využít tuto definici a najít několik bodů elipsy a pomocí křivítka elipsu přibližně nakreslit (obr. -). X X y x X x F y S G x a y Obr. - Znáte-li délku hlavní osy a, můžete nakreslit úsečku této délky a zvolit na ní dělící bod. Nakreslíte jednu kružnici o poloměru x, střed kružnice je ohnisko F. Druhá kružnice má střed v ohnisku G a poloměr rovný úseku y. V průsečíku kružnic jsou body X elipsy od bodů F a G mají součet vzdáleností rovný a. Pro hlavní osu a, vedlejší osu b a excentricitu e platí následující vztah: a = b + e (obr. -3). D A F a e b S G B C Obr

12 Kuželosečky A a B jsou hlavní vrcholy elipsy, C a D jsou vedlejší vrcholy elipsy, F a G jsou ohniska elipsy. Excentricita e je rovna délce úsečky SF. Délka hlavní poloosy a je rovna délce úsečky AS. Délka vedlejší poloosy b je rovna délce úsečky DS. Znáte-li hlavní a vedlejší vrcholy elipsy, můžete najít ohniska F a G tak, že narýsujete kružnici se středem ve vedlejším vrcholu o poloměru hlavní poloosy a. Průsečíky hlavní osy a této kružnice jsou pak ohniska F a G. Při přibližné konstrukci elipsy se také využívá nahrazení elipsy ve vrcholech tzv. oskulačními kružnicemi. Jejich poloměr a konstrukce je vidět na obr. -4. D M k A S I B II k 1 C Obr. -4 Najdete bod M jako vrchol obdélníka SBMD, z něj spustíte kolmici na úsečku DB. Tato kolmice protne hlavní a vedlejší osu v bodech I a II. Jsou to středy oskulačních kružnic k 1 a k. Kružnice k 1 má střed I a poloměr rovný délce úsečky IB. Kružnice k má střed II a poloměr rovný délce úsečky IID. V okolí vrcholů elipsy nahrazují tyto oskulační kružnice průběh elipsy. Přechod mezi kružnicemi lze vytvořit pomocí křivítka. Krajním případem elipsy je také kružnice. Hyperbola Hyperbola je množina bodů X roviny, které mají od dvou pevných různých bodů F a G konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností. Tento rozdíl se označuje jako a hlavní osa hyperboly. Délka hlavní osy a u hyperboly musí být větší než vzdálenost ohnisek F a G. Z této definice lze při znalosti délky a a vzdálenosti ohnisek hyperboly F a G sestrojit libovolný počet bodů hyperboly a těmito body potom pomocí křivítka přibližně sestrojit hyperbolu. Na obr. -5 je ukázána konstrukce bodů Y hyperboly. Sestrojíte úsečku o délce a (tím získáte hlavní vrcholy hyperboly A a B) a vyznačíte polohu ohnisek F a G. Na polopřímce AB zvolte vpravo od bodu B libovolný bod X. Vezměte do kružítka vzdálenost bodu X od vrcholu A a sestrojte kružnici se středem v ohnisku F a poloměrem r 1. Pak vezměte do kružítka vzdálenost bodu X od vrcholu B a sestrojte druhou kružnici se středem v ohnisku G a poloměrem r. Obě kružnice se protnou ve dvou bodech hyperboly v bodech Y. Pro hlavní osu a, vedlejší osu b a excentricitu e platí následující vztah: e = a + b (obr. -6). Hyperbola se v nekonečnu blíží tečně k tzv. asymptotám. Jsou to přímky procházející středem hyperboly, které hyperbolu reálně neprotínají. Sestrojíte je následovně. V hlavních vrcholech sestrojte kolmice na hlavní osu hyperboly. Sestrojte kružnici se středem ve středu hyperboly S o poloměru rovném excentricitě e. Tato kružnice protne kolmice v bodech, kterými prochází asymptoty. Ty také procházejí středem hyperboly S. 59

13 Díl a Y F r 1 r G X A S B r r 1 Y Obr. -5 asymptota asymptota F A S e a b B G Obr. -6 Při konstrukci hyperboly je vhodné najít hlavní vrcholy hyperboly, střed, průsečíky roviny řezu s podstavou kuželu a případně asymptoty. Pro nahrazení tvaru hyperboly v oblasti vrcholů se používají podobně jako u elipsy také oskulační kružnice (obr. -7). Z bodu M, který získáte pomocí excentricity a hlavní poloosy (viz předchozí konstrukce asymptot), spusťte kolmici k asymptotě. Tato kolmice protne hlavní osu hyperboly v bodě O to je střed oskulační kružnice ve vrcholu B. Sestrojte tuto kružnici její poloměr je roven délce úsečky BO a střed leží v bodě O. 60

14 Kuželosečky F A S M e b a B G O k 1 Obr. -7 Parabola Parabola je množina bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od bodu F (ohniska) a přímky d (řídicí přímka), která bodem F neprochází (obr. -8). Vrchol paraboly V leží v polovině vzdálenosti ohniska F a řídicí přímky d. d X X V F Obr. -8 Při konstrukci parabolického řezu kužele je vhodné určit polohu vrcholu paraboly a průsečíky roviny podstavy kužele s rovinou řezu. V okolí vrcholu se parabola nahrazuje oskulační kružnicí, jejíž konstrukci vidíte na obr. -9. Poloměr r oskulační kružnice ve vrcholu V je roven vzdálenosti ohniska a řídicí přímky, což se také nazývá parametr paraboly. Parametr paraboly je také roven dvojnásobku vzdálenosti ohniska F od vrcholu V. 61

15 Díl d X X k 1 r=. VF V F O Obr. -9 Pro konstrukci kuželoseček existuje velká řada různých konstrukčních příkladů a dalších vět, kterými se kniha dále nezabývá. Kuželosečky jsou zde zmíněny jen ve své základní definici a konstrukcích nezbytných pro sestrojení rovinného řezu na oblých tělesech. 6

16 3 Zobrazení válce 3 ZOBRAZENÍ VÁLCE Válec je těleso tvořené dvěma stejnými rovnoběžnými zaoblenými podstavami a bočními stranami spojujícími tyto podstavy. Výška válce je rovna vzdálenosti podstav. Spojnice středů podstav je osa válce. Pokud je osa válce kolmá na roviny podstav, jedná se o kolmý válec. Je-li podstavou kruh, jedná se o rotační válec. Příklad průmět rotačního válce Sestrojte průměty rotačního válce, který stojí na půdorysně. Řešení: Protože podstavami jsou dva kruhy ležící nad sebou, jeden leží v rovině rovnoběžné s půdorysnou, druhý přímo v půdorysně, bude půdorysem válce kruh splývající s průmětem obou podstav. Poloměr podstav je r. Nárysem válce je obdélník, výška v nárysu odpovídá výšce válce v (obr. 3-1). v x 1, r Obr. 3-1 Příklad průměty kosého válce Sestrojte průměty válce, jehož zadní kruhová podstava leží v nárysně. Poloměr podstavy a výšku válce si zvolte. Řešení: Protože kruhové podstavy leží v nárysně a rovině rovnoběžné s nárysnou, zobrazí se v druhém průmětu nezkresleně jako kruhy. Půdorysem podstav budou úsečky. Výška v v půdorysu odpovídá výšce válce. 63

17 Díl Půdorysem tělesa je rovnoběžník, nárysem jsou dva kruhy. Ty jsou propojeny vnějšími tečnami, kterými jsou průměty krajních bočních stran (obr. 3-). r v x 1, Obr. 3- Příklad průměty rotačního válce v obecné poloze Válec stojí svou dolní podstavou na rovině α, poloměr kruhové podstavy je 3 cm, výška je 7 cm. Sestrojte jeho průměty. Dolní podstava je dána svým středem S ležícím v rovině α. n N S z S x 1, N 1 p 1 A 1 D 1 S 1 N 3 B 1 C 1 C 3 P 3 =P 1 z S S 3 =A 3 =B 3 D 3 v = 7 cm r = 3 cm S 3 ' Obr

18 3 Zobrazení válce Řešení: Sestrojte rovinu α, zvolte v ní půdorys středu S a najděte jeho nárys. Sestrojte boční pohled veďte rovinu kolmou na půdorysnou stopu roviny α a hledaný válec ve sklopení sestrojte. V tomto bočním pohledu se bude zobrazovat jako obdélník se stranami 6 cm a 7 cm. Kruhová podstava ležící v rovině α se v půdorysu zobrazí jako elipsa. Její hlavní vrcholy A a B leží na hlavní přímce první osnovy procházející středem S, vedlejší vrcholy C a D leží na spádové přímce první osnovy této roviny. Hlavní přímka první osnovy je rovnoběžná s půdorysnou, v prvním průmětu se nezkresluje, proto ani hlavní osa na ní ležící se nezkreslí. Od středu S 1 nanesete délku 3 cm na hlavní přímku a získáte půdorysy hlavních vrcholů elipsy A 1 a B 1. Vedlejší vrcholy leží na spádové přímce, která se v půdorysu zkresluje, proto i délka 3 cm bude na této přímce v půdorysu zkreslená. Přesné umístění bodů C 1 a D 1 určíte pomocí třetího bočního pohledu (obr. 3-3). Výška má 7 cm, a zobrazuje se nezkresleně v třetím pohledu. V půdorysu dochází ke zkreslení. Přesnou polohu půdorysu středu horní podstavy S 1 ' najdete pomocí rovnoběžky s půdorysnou stopou vedenou třetím průmětem S 3 '. Výška válce je přímka kolmá na rovinu podstavy, proto půdorys této přímky je kolmý na půdorysnou stopu a nárys je kolmý na nárysnou stopu. Najděte půdorys i nárys středu horní podstavy (obr. 3-4). S ' n N S N 1 x 1, p 1 A 1 D 1 S 1 N 3 C 1 B 1 S 1 ' C 3 P 3 =P 1 S 3 =A 3 =B 3 D 3 v = 7 cm r = 3 cm S 3 ' Obr

19 Díl Sestrojte půdorys válce (obr. 3-5). Horní podstava je shodná s dolní podstavou a její střed je bod S'. A 1 p 1 D 1 S 1 C 1 B 1 S 1 ' P 3 =P 1 C 3 S 3 =A 3 =B 3 Obr. 3-5 Pro sestrojení nárysu válce potřebujete určit hlavní a vedlejší vrcholy podstavné elipsy. Nalezením nárysů bodů A, B, C, D získáte pouze nárysy čtyř bodů elipsy, ale nejsou to vrcholy elipsy v nárysu. Vrcholy elipsy, do které se zobrazuje nárys podstavy, leží na frontální přímce jdoucí středem, a na spádové přímce druhé osnovy. Na frontální přímce se v nárysu délka nezkracuje, proto na ni nanesete velikost 3 cm od nárysu středu podstavy. Získáte hlavní vrcholy elipsy nárysu E a F. Na spádové přímce se ale délka zkracuje a její redukci nejlépe zjistíte ve sklopení body G a H (obr. 3-6). S ' G S E F 3 cm (G) (S) H 3 cm (H) Obr

20 3 Zobrazení válce Oba průměty válce stojícího na rovině α jsou vidět na obr Pro sestrojení elipsy využijte oskulační kružnice a křivítko. S ' n N G (G) (S) (H) S E F A 1 H N 1 x 1, p 1 D 1 S 1 N 3 C 1 B 1 S 1 ' P 3 =P 1 D 3 C 3 S 3 =A 3 =B 3 v = 7 cm r = 3 cm S 3 ' Obr. 3-7 Cvičení průměty válce a. Sestrojte sdružené průměty rotačního válce s poloměrem podstavy 4 cm a výškou 9 cm, který stojí svou zadní podstavou v nárysně. Umístění středu podstavy si zvolte. b. Sestrojte sdružené průměty kosého válce, jehož podstavy jsou kruhy o poloměru 3 cm, dolní podstava stojí v půdorysně a je dána středem S[0; 5; 0], horní podstava je dána středem S'[6; 8; 8]. c. Sestrojte sdružené průměty rotačního válce, jehož podstavy mají poloměr 4 cm, výška válce je 9 cm, a válec stojí svou dolní podstavou na rovině α(10; 10; 4). Střed dolní podstavy je dán svými souřadnicemi S[0; 6;?]. 67

21 Díl 4 ŘEZ VÁLCE Pokud by se jednalo o rovinný řez rotační válcové plochy (nekonečné, neuzavřené podstavami), byla by řezem elipsa (v krajním případě kružnice při řezu rovinou kolmou na osu válcové plochy) nebo dvojice rovnoběžných přímek (pokud by rovina řezu byla rovnoběžná s osou válcové plochy a protínala by válcovou plochu) nebo jedna přímka (pokud by rovina řezu byla rovnoběžná s osou válcové plochy a dotýkala by se jí) nebo prázdná množina (pokud by rovina řezu byla rovnoběžná s osou válcové plochy a neměla by s ní žádný společný bod) obr elipsa Obr. 4-1 V případě, že nekonečnou válcovou plochu omezíte rovinami podstav, jsou rovinným řezem válce podmnožiny předchozích útvarů, tedy část elipsy nebo část kružnice (spolu s úsečkami řezu na podstavách) nebo dvojice rovnoběžných úseček na stranách válce spolu se spojovacími úsečkami na podstavách válce (vytvoří obdélník), anebo je řezem jen jedna úsečka (v situaci, kdy se rovina řezu dotýká jedné strany válce) nebo prázdná množina (v případě, že rovina řezu nemá s válcem žádný společný bod) obr. 4-. Při konstrukci eliptického řezu na válci je možné využít například boční kolmý pohled, ve kterém je válec vidět jako obdélník a rovina řezu jako přímka pak je rovinný řez vidět jako úsečka a lze jej snadno zkonstruovat. Pokud je řezem válce stojícího svou podstavou v půdorysně elipsa, pak má svou hlavní (nejdelší) osu na spádové přímce roviny řezu a vedlejší osu na hlavní přímce roviny řezu kolmé ke spádové přímce. Jestliže se jedná o rotační válec stojící jednou podstavou v půdorysně, je půdorysem eliptického řezu kružnice splývající s obrysem válce a nárysem může být elipsa nebo úsečka v závislosti polohy roviny vůči nárysně. Při hledání bodů přechodu viditelnosti v nárysu využijte řez rovinou rovnoběžnou s nárysnou a procházející osou válce. 68

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Další servery s elektronickým obsahem

Další servery s elektronickým obsahem Právní upozornění Všechna práva vyhrazena Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

AXONOMETRIE - 2. část

AXONOMETRIE - 2. část AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy. strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně

Více

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

Elementární plochy-základní pojmy

Elementární plochy-základní pojmy -základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),

Více

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo

Více

Zobrazení hranolu. Příklad 5: Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou ρ. Sestrojte síť seříznuté části.

Zobrazení hranolu. Příklad 5: Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou ρ. Sestrojte síť seříznuté části. Zobrazení hranolu Příklad 1: Zobrazte pravidelný pětiboký hranol s podstavou v půdorysně π. Podstava je dána středem S a vrcholem A. Výška hranolu je v. Určete zbývající průmět bodu M pláště hranolu. 1

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu

Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu Mongeovo zobrazení Řez jehlanu Středová kolineace Středová kolineace Definice Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky Středová kolineace Definice

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:

Více

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 22. září 2009 verze 3.0 Předmluva Tento pomocný

Více

Mongeova projekce KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS / 102

Mongeova projekce KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS / 102 Mongeova projekce KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Mongeova projekce ZS 2008 1 / 102 Obsah 1 Úvod 2 Zobrazení bodu 3 Zobrazení přímky 4 Určení roviny 5 Polohové úlohy Vzájemná poloha dvou

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A

PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

Více

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Obsah a průběh zkoušky 1PG Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna

Více

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)

Více

1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Mongeovo promítání 1 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ 1.1 Základní pojmy V Mongeově promítání promítáme na dvě navzájem kolmé průmětny. Vodorovná průmětna se nazývá půdorysna a značí se, svislá průmětna se nazývá

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

SBÍRKA ÚLOH Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

SBÍRKA ÚLOH Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE SBÍRKA ÚLOH Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ANTONÍN KEJZLAR 1963 Vydavatel: Vysoká škola strojní a textilní v Liberci Nakladatel: Státní nakladatelství technické literatury Praha Elektronické zpracování: Jan

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Obrázek 34: Vznik středové kolineace

Obrázek 34: Vznik středové kolineace 6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se

Více

Pravoúhlá axonometrie. tělesa

Pravoúhlá axonometrie. tělesa Pravoúhlá axonometrie tělesa V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou vodorovnou a zelenou svislou čáru). Tyto osy v axonometrii vůbec nevyužijeme a zbytečně by se nám zde pletly. Stejně tak můžeme vypnout

Více

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Zpracovala: Kristýna Rožánková FA ČVUT 2011 ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY Zborcené přímkové plochy jsou určeny třemi křivkami k, l, m, které neleží na jedné rozvinutelné

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

Prùniky tìles v rùzných projekcích

Prùniky tìles v rùzných projekcích UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PØÍRODOVÌDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Prùniky tìles v rùzných projekcích Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2010 Vypracoval:

Více

4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL

4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL 4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a mimo ni bod V. Všechny pímky jdoucí bodem V a protínající kružnici k tvoí kruhovou kuželovou plochu. Tyto pímky

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

A[ 20, 70, 50] a výška v = 70, volte z V > z S ; R[ 40, 20, 80], Q[60, 70, 10]. α(90, 60, 70).

A[ 20, 70, 50] a výška v = 70, volte z V > z S ; R[ 40, 20, 80], Q[60, 70, 10]. α(90, 60, 70). Úkoly k zápočtu z BA008 Všechny úkoly jsou povinné. Úkoly číslo 4, 7, 12, 14 budou uznány automaticky, pokud poslední den semestru, tj. 3. 5. 2019, budou všechny ostatní úkoly odevzdané a uznané. 1. Je

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 11. září 2006 verze 4.0 Předmluva

Více

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:

Více

Axonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60

Axonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60 Axonometrie KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 1 / 60 Obsah 1 Úvod 2 Typy axonometrií 3 Pravoúhlá axonometrie Zobrazení přímky Zobrazení roviny Polohové úlohy KG - L (MZLU

Více

Gymnázium, Brno, Elgartova 3

Gymnázium, Brno, Elgartova 3 Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie

Více

Další servery s elektronickým obsahem

Další servery s elektronickým obsahem Právní upozornění Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele.

Více

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší

Více

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

Test č. 1. Kuželosečky, afinita a kolineace

Test č. 1. Kuželosečky, afinita a kolineace Test č. 1 Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST, letní semestr 2006-2007 Kuželosečky, afinita a kolineace (1) (a) Je dána elipsa E(F 1, F 2, a), F 1 F 2 < 2a. Sestrojte několik bodů

Více

Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen

Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen Perspektiva Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy Obsahuje: úvodní pojmy určení skutečné velikosti úsečky zadané v různých polohách zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen 1 Příklad

Více

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině Mongeovo zobrazení Bod a přímka v rovině Přímka v rovině Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka leží v rovině; Přímka v rovině připomeňme si nejprve větu, která říká, kdy přímka

Více

A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8].

A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8]. strana 1 1. onometrie. 1.1 V pravoúhlé aonometrii obrate průmět bodu [4, 5, 8]. 1.2 Zobrate bývající pravoúhlé průmět bodu do souřadnicových rovin. Určete souřadnice bodu, který je obraen v pravoúhlé aonometrii.

Více

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro

Více

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina

Více

Deskriptivní geometrie 0A5

Deskriptivní geometrie 0A5 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie 0A5 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Veronika Roušarová Brno c 2003 Obsah

Více

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Vypracoval: Martin Hanuš Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem ročníkovou

Více

17 Kuželosečky a přímky

17 Kuželosečky a přímky 17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

Více

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec. 3. EZY NA VÁLCÍCH 3.1. VÁLCOVÁ PLOCHA, VÁLEC Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a pímka a rznobžná s rovinou. Všechny pímky rovnobžné s pímkou a protínající kružnici k tvoí kruhovou válcovou

Více

Řez jehlanu. Mongeovo promítání. Pravidelný šestiboký jehlan o výšce v má podstavu ABCDEF v půdorysně. Zobrazte řez jehlanu rovinou σ.

Řez jehlanu. Mongeovo promítání. Pravidelný šestiboký jehlan o výšce v má podstavu ABCDEF v půdorysně. Zobrazte řez jehlanu rovinou σ. Řez jehlanu Mongeovo promítání Pravidelný šestiboký jehlan o výšce v má podstavu ABCDEF v půdorysně. Zobrazte řez jehlanu rovinou σ. A[ 3; 1; 0], B[0; 2; 0], y C > y B, v = 8cm, σ(4; 7; 3) B 2 A 2 Vyneseme

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Kreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2

Kreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2 Kreslení, rýsování Zobrazení A B Promítání E 3 E 2 1 Promítání lineární 1. Obrazem bodu je bod 2. Obrazem přímky je přímka (nebo bod) 3. Obrazem roviny je rovina (nebo přímka) Nelineární perspektivy: válcová...

Více