Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice"

Jaromír Holub
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška

2 Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn

3 Nejen velké, ale i malé změny jsou život aneb opravdu potřebujeme diferenciální počet? Zkuste si představit situaci: Sedíte v místnosti, kde tikají hodiny. Za chvíli je nevnímáte. Ale hned si uvědomíte, kdyby se zastavily. Nebo: Máte dlaň položenou na stole v klidu. Za chvíli nic nehmatáte. Abyste hmat oživili, musíte prsty po stole posunout. Organismus reaguje na časovou změnu. Abychom jeho chování (a další jevy související se změnami) pochopili, potřebujeme aparát k počítání s malými změnami.

4 Batesonův pokus se žábou rychlé zahřívání nádoby s vodou a žábou: žába změnu pozná a vyskočí? pomalé zahřívání nádoby s vodou a žábou: žába změnu nepozná a uvaří se

5 Batesonův zákon Bateson Ehrenberg Organismus reaguje na časovou změnu (derivaci) vnímaných počitků. Matematizace : P signál, podnět (vnímaný počitek) R odezva, reakce P dp R R t dt Δy Δx

6 Rozpad jader t N ~ 4, na 1 cm 3 t+δt U Th He N + ΔN ΔN ~ 2, na 1 cm 3 Δt = 1 s N d N( t) ln 2 N t 9, N( t),, 1/ 2 4,47 10 let dt 1/ 2

7 Absorpce záření Δx I d I( x) I, I( x) x dx I I + ΔI x x + Δx ln 2, d 1/ 2 d 1/ 2 1 I( d1/ 2) I(0) 2 polotlouštka

8 Přírodní zákony - příklady Klasická mechanika Newtonův druhý pohybový zákon dv ma F( r, v, t), a, v dt Klasická elektrodynamika zákon elektromagnetické indukce U indukované d,... indukční tok dt Kvantová mechanika časový vývoj systému Příroda nás informuje o změnách. Zákony přírody nejčastěji představují chování časových a prostorových změn veličin. Je tedy dobré umět se změnami počítat? dr dt i H, H... operátor energie,... stav t

9 G f y x Jak se dělí nula nulou 2 2x 6x 4 f( x), D f \{1} x 1 f ( x) 2x 4 pro x D Pokus o dělení nulou x 1,200 1,100 1,050 1,020 1,110 1,005 1,002 1,001 f(x) 1,600 1,800 1,900 1,960 1,980 1,990 1,996 1,998 x 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 0,995 0,998 0,999 f(x) 2,400 2,200 2,100 2,040 2,020 2,010 2,004 2,002 f Co si myslíte o možnosti dělení nulou? Jde to provést, nebo se tomu lze za určitých podmínek přiblížit?

10 Limitní chod Nulou dělit nelze. Je-li například funkce h(x), jmenovatelem podílu p(x) = g(x) / h(x), a h(x) pro určitou hodnotu a proměnné x nabývá nuly, nelze hodnotu a do zlomku dosadit (nedal by se vyčíslit). Viděli jsme ale, že když se ve zlomku p(x) blíží k nule jak čitatel, tak jmenovatel, může se stát, že se hodnota zlomku blíží k jistému definovanému číslu L. Číslo L se pak nazývá limitou funkce p(x) a píšeme gx ( ) lim p( x) lim L, obecně lim f ( x) L xa xa hx ( ) xa

11 Jedna důležitá limita R = 1 Δx sin x x tan x 1 1 cos x sin x x sin x sin x x sin x x 0 1 x sin x lim 1 x x 0 1 cos x 1 x 0

12 Problém tečny a derivace y = f(x) [2, 3] [4, 19] Δx Δy x 2 ( ) 2 4 3, 2 s sečna: y 8x 13 t f x x x a tečna: y 4x5 (, sx), ( tx, ), lim x 0 y f ( x x) f ( x) tan x x f ( x x) f ( x) tan lim f '( x) x 0 x Hodnota f / (x) určená předchozí limitou, je derivace funkce f (x) v bodě x. Chápeme-li x jako proměnnou, je f / (x) funkce. Směrnice tečny ke grafu závisí na bodu dotyku.

13 Výpočet směrnice a rovnice přímky A y β B X y B y A x A x, y, B x, y, X [ x, y] A A B B y y y y x x x x B A A směrnice tan, y B A A B A y ya x xa xb xa y ( ) pro sečnu z předchozího obrázku: x B x A A [2,3], B=[4,19] 19 3 y 3 ( x 2) y 8x

14 Výpočet směrnice a rovnice tečny y = f(x) [4, 19] [2, 3] Δy x Δx A [ x, f ( x)], B [ x x, f ( x x)] yb ya f ( x x) f ( x) x x x B A 2 2 [2( x x) 4( x x) 3] [2x 4x 3] x 2 4xx 4x 2( x) x(4x 4 2 x) x x f ( x x) f ( x) tan lim 4x 4 x 0 x pro x 2 je tan 4 Sami dokončete výpočet rovnice tečny, když nyní znáte směrnici.

15 Derivace a fyzika Příklad: S rovnoměrným pohybem po kružnici se již každý jistě setkal, třeba na řetízkovém kolotoči. Takový pohyb koná například i odstředivka používaná ve zdravotnických zařízeních. Řekněme, že nějaké tělísko obíhá ve vzdálenosti R = 1,0 m od osy kolotoče a že jeden oběh trvá T = 4,0 s. Závislost polohy tělíska na čase pak lze vyjádřit například takto: x( t) R cos t, y( t) Rsin t, 2, v R1,57 ms T 2 v obvodová rychlost 1 y(t) y r(t) ωt x(t) v(0) Je získaná hodnota obvodové rychlosti shodná s velikostí vektoru rychlosti daného bodu? Co je to vlastně rychlost? x

16 Průměrná rychlost za dobu Δt r r ( t t) r ( t) v t t cos ( t t) cos 2t sin ( t t) sin 2t 2, 2 t t 2 v v v, tan t s, s, s, s, s x 0 s, t je postupně y 2 v v y x y r(t + Δt) Δr r(t) Úkol: Zkuste si sami velikosti průměrných rychlostí a jejich úhly α s osou x vypočítat a seřadit do tabulky. Všimněte si, k jakým hodnotám se blíží, když se interval Δt neustále zmenšuje. x

17 Průměrná rychlost ve zmenšujícím se intervalu A tady jsou výsledky řešení Vašeho úkolu.

18 Okamžitá rychlost jako limita Pohyb hmotného bodu po prostorové křivce poloha r(t) rychlost v(t) r( t t) r( t) dr rychlost v( t) lim r( t) t 0 t dt 2 v( t t) v( t) d r zrychlení a( t) lim r( t) t 0 2 t dt

19 Příklady odvození derivací Příklad 1: f (x) = x 3 Metoda vykrácení nepohodlného výrazu ( x x) x x 3x x 3 x( x) ( x) x x x 2 2 x [3x 3 xx ( x) ] x 0 2 3x x Příklad 2: f (x) = sin x sin( x x) sin x x 2sin( )cos( x ) x sin( 2 ) cos( x 0 2 ) x x x cos 2 x x 2 2 x x

20 Derivace elementárních funkcí

21 Pravidla pro derivování

22 Pravidlo pro složenou funkci x u = f(x) F(x) = g(u) = g[f(x)] D f D g H f H F F( x x) F( x) g( u u) g( u) u x u x f ( x x) f ( x) ( ) [ ( )] ( ) x / / / g u g f x f x

23 Odhady změn hodnot funkce 2 f ( x) 2x 4 3, 2, t x f x x (, ), tan '( a) 4 y = f(x) [4, 19] [2, 3] dy x Δx Δy y f ( x x) f ( x) / f x x ( ) chyba odhadu x d x, dy f '( x)dx úplný diferenciál funkce v bodě x Lepší odhady : Taylorův rozvoj n! / // 2 ( n) n f ( x x) f ( x) f ( x) x f ( x) x f ( x) x

24 Dva příklady na odhady Příklad 1. Určete přibližnou hodnotu čísla 2,03 5. f ( x) x, x 2, x 0,03, f ( x) 5 x 80, f ( x) 20 x / 4 // 3 x2 x2 1 f ( x x) f ( x) f ( x) x f ( x) x 2 / // , , , 4 0,144 34,5 Příklad 2. Určete přibližnou hodnotu sin 3 o. f x x x x o ( ) sin, 0, 3 0, 052 rad f ( x) cos x 1, f ( x) sin x 0, f ( x) cos x 1 sin / // /// x0 x0 x ! 5! 3 5 x x x x

25 Několik úloh na derivace a tečny Úloha 1. Odvoďte pravidlo pro derivaci funkcí x 4, x 5, x n. Pro x n použijte binomickou větu. Úloha 2. Vypočtěte derivace následujících funkcí F( x) F x cos x 1 sin x 1 x 2 2 ( ) ln[cos x 1] 2 1 Úloha 3. Určete rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = sin 2 x v bodě t = π/4.

26 Integrály a plochy aneb jak zjistit funkci z její derivace

27 Obrácená úloha mechaniky aneb od zrychlení k trajektorii Základní zákon mechaniky druhý Newtonův zákon umožňuje vyjádřit zrychlení hmotného bodu na základě sil, jimiž na hmotný bod působí okolní objekty. Zrychlení je však derivací rychlosti, a ta je derivací polohy. Abychom zjistili funkci, která popisuje závislosti polohy hmotného bodu na čase, musíme nějakou zpětnou procedurou najít, jak vypadala funkce, než jsme ji zderivovali. Opačná procedura k derivování, tj. nalézání původní (primitivní) funkce, se nazývá integrování.

28 Primitivní funkce (neurčitý integrál) Předpokládejme, že na intervalu [a, b] je definována funkce f(x), která je spojitá (její limita v každém bodě existuje a je rovna funkční hodnotě, graf funkce není potrhaný ). Funkce F(x) definovaná na intervalu (c, d) obsahujícím [a, b], a taková, že její derivace na intervalu [a, b] je rovna F / (x) = f(x), je primitivní funkcí (neurčitým integrálem) k funkci f(x) na [a, b]. Příklad: Funkce f(x) = 4x 3 2x + 1 je definována na R. Funkce F(x) = x 4 x 2 + x je k ní funkcí primitivní, ale také všechny funkce tvaru F(x) + libovolná konstanta C. Jak je to možné, že jedna a táž funkce má nekonečně mnoho primitivních funkcí lišících se navzájem o konstantu?

29 Tabulka primitivních funkcí I

30 Tabulka primitivních funkcí II

31 Problém plochy y určit plochu P pod grafem dělení D intervalu [ a, b] a x x x b 0 1 norma dělení: n ( D) min{ x x i 0,1,, n} i1 i a ξ i x i x i+1 b x P S( D) f ( )( x x ) ( D) 0 n i0 určitý integrál i i1 i lim F( b) F( a) f ( x)dx b a

32 Diferenciální rovnice aneb jak z rovnice pro změnu určit funkci

33 Rozpad jader ještě jednou t N ~ 4, na 1 cm 3 t+δt U Th He N + ΔN N d N( t) ln 2 N, N( t t dt ΔN ~ 2, na 1 cm 3 Δt = 1 s 9 ),, 1/ 2 4,47 10 let 1/ 2

34 Rozpad jader - řešení d Nt ( ) / N( t) f ( x) f ( x) dt / f ( x) f ( x) 0,? f ( x) exp( x) exp( x).exp( x) 0 f ( x) K exp( x), K libovolná konst. počáteční podmínka: 0 f (0) f K f 0 0 f ( x) f exp ( x) N( t) N e xp ( t) 0 Úkol: Použijte uvedený postup pro řešení problému s absorpcí záření. Počáteční podmínka zde má charakter zadání intenzity záření na povrchu.

35 Ještě jednou mechanika N x 0 x F p 0 mg ma mg N F mx kx k 0,? exp( ) m 2 2 x x x t 2 2 0, i x( t) C exp(i t) C exp( i t) 1 2 x( t) Acost Bsint p počáteční podmínky x(0) x, x(0) v 0 0 Dokončete řešení na základě znalosti počátečních podmínek. Předchozí rovnice jsou ukázkou obyčejných diferenciálních rovnic prvého a druhého řádu, lineárních, s konstantními koeficienty a homogenních.

36 Příště: Radiologická fyzika pravděpodobnost měření a zpracování dat podzim 2008, šestá přednáška

Podobné dokumenty

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné