Kristýna Kuncová. Matematika B3
|
|
|
- Pavlína Soukupová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 (7) Křivky a křivkový integrál Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 1 / 39
2 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 2 / 39
3 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 3 / 39
4 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 4 / 39
5 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 5 / 39
6 y Zdroj : Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 6 / 39
7 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 7 / 39
8 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 8 / 39
9 y Zdroj : Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 9 / 39
10 Pokus o definici křivky Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme spojité zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou spojité. Definice Křivkou γ v R 3 rozumíme spojité zobrazení γ : [a, b] R 3, γ = (γ 1, γ 2, γ 3 ), kde γ 1, γ 2, γ 3 : [a, b] R 3 jsou spojité. Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 10 / 39
11 Problematické příklady - vybarví plochu Zdroj : Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 11 / 39
12 Problematické příklady 2 - nekonečná délka Zdroj : snowflake Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 12 / 39
13 Def: Křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Definice Křivkou γ v R 3 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 3, γ = (γ 1, γ 2, γ 3 ), kde γ 1, γ 2, γ 3 : [a, b] R 3 jsou C 1 ([a, b]). Poznámka Derivace v a a b jsou jednostranné. Interval [a, b] je omezený a uzavřený. Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 13 / 39
14 y γ 1 (t) = t, γ 2 (t) = sin t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 14 / 39
15 y γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 15 / 39
16 y γ 1 (t) = cos t/(1 + (sin t) 2 ), γ 2 (t) = cos t sin t/(1 + (sin t) 2 ) Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 16 / 39
17 y γ 1 (t) = e t/25 cos t, γ 2 (t) = e t/25 sin t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 17 / 39
18 y γ 1 (t) = t cos t, γ 2 (t) = t sin t, γ 3 (t) = t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 18 / 39
19 y γ 1 (t) = cos 3 t, γ 2 (t) = sin 3 t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 19 / 39
20 y γ 1 (t) = 16 sin 3 t, γ 2 (t) = 13 cos t 5 cos(2t) 2 cos(3t) cos(4t) Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 20 / 39
21 y Zdroj : Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 21 / 39
22 Def: Oblouk Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá oblouk, jestliže γ je prosté na [a, b], Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 22 / 39
23 Def: Uzavřená křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá uzavřená, jestliže γ(a) = γ(b), Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 23 / 39
24 Def: Jordanova křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá uzavřená, jestliže γ(a) = γ(b), Jordanova, jestliže γ je prosté na [a, b) a křivka je uzavřená, Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 24 / 39
25 Def: Jednoduchá a hladká křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá jednoduchá, jestliže je bud Jordanova nebo oblouk, hladká, jestliže je jednoduchá a funkce γ 1, γ 2 mají spojité první derivace pro každé t [a, b] je alespoň jedna z derivací γ 1(t), γ 2(t) nenulová. Zdroj : Není hladká Zdroj : Je hladká Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 25 / 39
26 Def: Orientace křivky Nakreslete následující křivky: 1 1 γ 1(t) = t, γ 2(t) = 1 t, t [0, 1 ] 2 2 γ 1(t) = t, γ 2(t) = 1 t, t [0, 3 ] 4 3 γ 1(t) = t, γ 2(t) = 1 t, t [0, 1] 2 1 γ 1(t) = 1 t, γ 2(t) = t, t [0, 1 ] 2 2 γ 1(t) = 1 t, γ 2(t) = t, t [0, 3 ] 4 3 γ 1(t) = 1 t, γ 2(t) = t, t [0, 1] Definice Orientace křivky znamená, že je dán směr zvětšování délky. Dvě parametrizace jedné křivky jsou orientovány souhlasně, pokud mají stejný směr růstu. (Jejich tečné vektory jsou orientovány stejným směrem.) Určete, zda jsou následující křivky souhlasně orientované: 1 γ 1 (t) = t, γ 2 (t) = 1 t, t [0, 1] 2 γ 1 (t) = 1 t, γ 2 (t) = t, t [0, 1] Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 26 / 39
27 Def: Orientace křivky Definice Pro Jordanovu křivku je kladná orientace proti směru hodinových ručiček. Nakreslete následující křivky: 1 1 γ 1(t) = cos t, γ 2(t) = sin t, t [0, π ] 2 2 γ 1(t) = cos t, γ 2(t) = sin t, t [0, π] 3 γ 1(t) = cos t, γ 2(t) = sin t, t [0, 2π] 2 1 γ 1(t) = cos 2t, γ 2(t) = sin 2t, t [0, π ] 4 2 γ 1(t) = cos 2t, γ 2(t) = sin 2t, t [0, π ] 2 3 γ 1(t) = cos 2t, γ 2(t) = sin 2t, t [0, π] 3 1 γ 1(t) = sin t, γ 2(t) = cos t, t [0, π ] 2 2 γ 1(t) = sin t, γ 2(t) = cos t, t [0, π] 3 γ 1(t) = sin t, γ 2(t) = cos t, t [0, 2π] Určete orientaci křivek: 1 γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 2π] 2 γ 1 (t) = cos 2t, γ 2 (t) = sin 2t, t [0, π] 3 γ 1 (t) = sin t, γ 2 (t) = cos t, t [0, 2π] Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 27 / 39
28 Parametrizace Definice γ = γ([a, b]) R 2 značí geometrický obraz křivky. Zobrazení γ jako takové zveme parametrizace. Poznámka Různé parametrizace mohou mít stejný obraz. γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 2π] γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 4π] γ 1 (t) = sin t, γ 2 (t) = cos t, t [0, 2π] γ 1 (t) = sin t 2, γ 2 (t) = cos t 2, t [0, 2π] γ 1 (t) = sin t, γ 2 (t) = cos (t), t [0, 4π 2 ] Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 28 / 39
29 Parametrizace - úlohy Otázka Které z následujících parametrizace neparametrizují jednotkovou kružnici? A γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 2π] B γ 1 (t) = sin 2 t, γ 2 (t) = cos 2 t, t [0, 2π] C γ 1 (t) = sin t 2, γ 2 (t) = cos t 2, t [0, 2π] D γ 1 (t) = sin 2t, γ 2 (t) = cos 2t, t [0, π] B Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 29 / 39
30 Parametrizace - úlohy 2 Otázka Obrázek vpravo znázorňuje křivku x(t) = f (t), y(t) = g(t). Který obrázek ukazuje křivku x(t) = f (t) + 2, y(t) = g(t) 3? B Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 30 / 39
31 Parametrizace - úlohy 3 Otázka Obrázek vlevo znázorňuje křivku x(t) = f (t), y(t) = g(t). Jaký předpis patří k obrázku vpravo? A x(t) = f (t), y(t) = g(t). B x(t) = f (t), y(t) = g(t). C x(t) = f (t), y(t) = g(t). D x(t) = f ( t), y(t) = g(t). E x(t) = f (t), y(t) = g( t). B Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 31 / 39
32 Tečný vektor Definice Vektor γ (t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) nazveme tečným vektorem křivky γ. Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 32 / 39
33 Tečný vektor - příklad Spočtěte tečný vektor pro křivky 1 γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 2π] 2 γ 1 (t) = cos 2t, γ 2 (t) = sin 2t, t [0, π] 3 γ 1 (t) = sin t, γ 2 (t) = cos t, t [0, 2π] Nejprve obecně a pak v bodech [1, 0], [0, 1], [ 1, 0]. 1 ( sin t, cos t), t = 0, (0, 1), t = π 2, ( 1, 0), t = π, (0, 1), 2 ( 2 sin 2t, 2 cos 2t), t = 0, (0, 2), t = π 4, ( 2, 0), t = π 2, (0, 2), 3 (cos t, sin t), t = π 2, (0, 1), t = 0, (1, 0), t = 3 π 2, (0, 1), Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 33 / 39
34 Po částech hladká křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá hladká, jestliže je jednoduchá a funkce γ 1, γ 2 mají spojité první derivace pro každé t [a, b] je alespoň jedna z derivací γ 1 (t), γ 2 (t) nenulová. Křivka se nazývá po částech hladká, jestliže je hladká až na konečně mnoho bodů. Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 34 / 39
35 Křivkový integrál 1. druhu Definice (Křivkový integrál 1. druhu) Necht γ je po částech hladká křivka a necht je dána funkce f : γ R. Pak definujeme křivkový integrál 1. druhu funkce f podél křivky γ jako γ f (s) ds = b a f ((γ 1 (t), γ 2 (t)) γ 2 1 b (t) + γ 2 2 (t) dt = f (γ(t)) γ (t) dt. a Zdroj : integral Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 35 / 39
36 Křivkový integrál 1. druhu - úlohy Otázka Na obrázcích je znázorněn křivkový integrál I j = C j x ds přes následující křivky. Vyberte pravdivé tvrzení: Zdroj : conceptests/question-library/index.shtml A I 3 < I 2 < I 1 B I 3 < I 1 < I 2 C I 3 = I 2 < I 1 D I 1 < I 2 < I 3 E Nemáme dost informace. D Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 36 / 39
37 Křivkový integrál 1. druhu - úlohy 2 Otázka Na obrázcích je znázorněn křivkový integrál I j = C f j ds přes následující funkce (čím světlejší barva, tím vyšší hodnoty). Vyberte pravdivé tvrzení: Zdroj : conceptests/question-library/index.shtml A I 1 = I 3 < I 2 B I 1 = I 2 = I 2 C I 2 < I 1 = I 3 D I 1 < I 2 < I 3 E Nemáme dost informace. A Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 37 / 39
38 Vlastnosti křivkového integrálu 1. druhu Věta (Vlastnosti křivkového integrálu 1. druhu) Necht γ a γ jsou křivky, f a g jsou funkce (R 2 R), a, b R jsou čísla. Pak, za předpokladu, že integrály jsou dobře definovány a existují, platí a γ af + bg ds = a f ds + b g ds γ γ γ+γ f ds = γ f ds + f ds. γ Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 38 / 39
39 Věta: O nezávislosti na parametrizaci (křivk. 1. druhu) Věta (O nezávislosti na parametrizaci křivkového integrálu 1. druhu) Necht γ a γ jsou hladké křivky takové, že γ = γ. Necht f je definována na γ a je spojitá. Pak f ds = f ds. γ γ Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 39 / 39
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a +
MA2, M2. Kapitola 4. Vektorové funkce jedné reálné proměnné. c 2009, analyza.kma.zcu.cz
79 Kapitola 4 Vektorové funkce jedné reálné proměnné 80 Definice 4.1(vektorová funkce jedné reálné proměnné) Nechť D R.Zobrazení x: D R n se nazývá vektorová funkce jedné reálné proměnné t s definičním
(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
VEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky
7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
![2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je](/thumbs/102/152847701.jpg "2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je")
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
Základní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
(1) Limity. Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27
(1) Limity Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27 Proč studovat matematiku Zdroje: http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pick/2018-10-02-prvni-prednaska-z-analyzy.pdf https://www.youtube.com/watch?v=6ec3ndnr86s
Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení
Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál 11 KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 115 111 Křivový integrál I druhu 115 Úloh samostatnému řešení 115 11 Křivový integrál II druhu 116 Úloh samostatnému řešení 116 11 Greenova
Matematická analýza 4
Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III
Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n
INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce
. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní
18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
Diferenciáln. lní geometrie ploch
Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní
Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky
Matematika III Základy vektorové analýzy Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Skalární a vektorový součin Skalární součin Vektorový součin
Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Základní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
Matematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
Mechanika - kinematika
Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb
{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
![[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2](/thumbs/102/153207878.jpg "[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2")
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTERÁL JAN MALÝ Obsah 1. Plochy a křivky 1 2. Křivkový a plošný integrál prvého druhu 1 3. Křivkový integrál druhého druhu 3 4. Elementy teorie pole 4 5. Plošný integrál kodimenze 1
sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace / Motivace Mějme
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 18 Vektorová analýza a teorie pole Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 18 Vektorová funkce jedné
1 Integrál komplexní funkce pokračování
Integrál komplexní funkce pokračování Definice. Nechť D a F ) je taková funkce, že F ) = f) pro všechna D. Pak F ) naýváme primitivní funkcí k funkci f) v oblasti D. Protože při integraci funkce f po křivce,
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Matematika 1 pro PEF PaE
Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Funkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
Limita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Elementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
Potenciál vektorového pole
Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F
Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).
LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). uzavřená hladká kraj LOCHY lochy v prostoru, které byly zatím
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007
Rychlotest-řešení Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně 14. května 2007 Příklad 1 Mějme funkci y = sin x rozhodněte zda směrnice tečny k dané křivce
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
9. cvičení z Matematické analýzy 2
9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá