Diferenciální geometrie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální geometrie"

Transkript

1 Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005

2 Obsah 1 Křivky Vyjádření křivky Transformace parametru Délka křivky, oblouk jako parametr Tečný vektor a tečna křivky Oskulační rovina Frenetovy vzorce, křivosti Kanonické a přirozené rovnice křivky Oskulační vlastnosti křivek Obálky systému křivek Spádové křivky, evoluty a evolventy

3 Předmluva Tento text je záznamem přednášek, které jsem připravil pro Fakultu aplikovaných věd v akademickém roce 2002/03 pro předmět Diferenciální geometrie. Ochotným přístupem dvou studentů byl záznam přednášek vysázen v systému L A TEX. Později jsem provedl autorizaci a doplnění tohoto záznamu. Velké poděkování patří studentům Petru Märzovi a Marku Byrtusovi, kteří pro budoucí generaci studentů připravili základ záznamu přednášek. Budu Vám vděčný za případné připomínky k textu. Řadu podnětů v roce 2004 a 2005 poslali Josef Otta a Martina Sitková, za což jim patří dík. Většinu námětů jsem akceptoval. František Ježek 3

4 Kapitola 1 Křivky 1.1 Vyjádření křivky Definice 1. Regulární křivkou třídy C n v E 3 rozumíme množinu K E 3, pro níž existuje vektorová funkce P (t), t I, tak, že (a) P : I K, I je otevřený interval, (b) P je třídy C n, (c) P (t 0 ) 0 pro všechna t 0 I, (d) t 1 t 2 P (t 1 ) P (t 1 ). Poznámka 1. Rozepsáním do složek dostaneme parametrické vyjádření. Příklad 1. Uvažujme dvě různé parametrizace přímky (a) P (t) = (t, t, t), t R, toto vyjádření přímky vyhovuje definici regulární křivky, (b) P (t) = (t 3, t 3, t 3 ), t R, stejná přímka jako v (a), ale tato parametrizace přímky již nesplňuje podmínky definice, protože neplatí nerovnost P (0) 0. Poznámka 2. Definice křivky je, jak to u elementárních pojmů bývá, poměrně komplikovaná. Námi uvedená definice regulární křivky je problematická při praktickém ověřování podmínek. V dalším textu budeme používat pojem křivka (bez přívlastku). Křivkou rozumíme množinu (bodů), která je skoro všude (až na konečný počet bodů) regulární křivkou. 4

5 1.2. Transformace parametru 5 Obrázek 1.1: K definici křivky Poznámka 3. Kromě vektorových (nebo parametrických) rovnic lze pracovat i s explicitními nebo implicitními rovnicemi. Explicitní Implicitní E 2 y = f(x) f(x, y) = 0 E 3 y = f 1 (x) f 1 (x, y, z) = 0 z = f 2 (x), x I f 2 (x, y, z) = 0 Převod mezi implicitním a explicitním tvarem lze provést pomocí věty o implicitních funkcích. K určení regulární křivky implicitními rovnicemi je nutné, aby následující matice měla hodnost 2: ) ( f1 x f 2 x f 1 y f 2 y f 1 z f 2 z 1.2 Transformace parametru Věta 1. Nechť P (t), t I, je regulární křivkou a nechť ϕ je spojitá funkce ϕ : I I a ϕ (t 0) 0 pro každé t 0 I. Pak P (ϕ(t )), t I, je vektorovou rovnicí křivky P (t)..

6 1.2. Transformace parametru 6 Důkaz. Funkce ϕ je rostoucí nebo klesající, tedy je prostá. Snadno se ověří podmínky definice 1 i pro P (ϕ(t )) na I. Obrázek 1.2: Transformace parametru Obrázek 1.3: Transformace parametru na křivce

7 1.3. Délka křivky, oblouk jako parametr Délka křivky, oblouk jako parametr Věta 2. Nechť P (t), t I = (t d, t h ). Pak délka křivky je dána vztahem d = t h t d P (t) P (t) dt Důkaz. Tvrzení plyne z integrálního počtu a z rovnice: ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dx(t) dy(t) dz(t) P (t) P (t) = + +. dt dt dt Definice 2. Nechť P (t), t I, je regulární křivkou. Položme s(t) = t t d P ( t ) P ( t ) d t a inverzní funkci označme t(s). Pak nový parametr s nazýváme oblouk. Poznámka 4. Definice 2 je korektní, neboť s (t) = P ( t ) P ( t ) > 0 a tedy existuje inverzní funkce. Derivaci podle oblouku značíme tečkou, tj. ṖP (s) = dp (s) ds. Příklad 2. Kružnici k = (0, r) parametrizujte obloukem. Víme, že parametrické vyjádření kružnice je x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, t 0, 2π), kde s(t) = t t r 2 cos 2 t + r 2 sin 2 t d t = r2 d t = rt. 0 Pak dostáváme t = 1 s a z toho už plyne parametrizace obloukem ve tvaru r ( ) 1 x(s) = r cos r s a 0 ( ) 1 y(s) = r sin r s.

8 1.4. Tečný vektor a tečna křivky 8 Obrázek 1.4: Tečný vektor křivky 1.4 Tečný vektor a tečna křivky Z diferenciálního počtu je známo, že tečna je limitní polohou sečny. Definice 3. Vektor P (t 0 ) = dp dt (t 0) nazýváme tečný vektor křivky P (t), t I, v bodě t 0. Tečnou křivky v daném bodě rozumíme přímku R(k) = P (t 0 ) + kp (t 0 ). Věta 3. Křivka má v daném bodě jedinou tečnu. Důkaz. Z definice 3 plyne, že v dané parametrizaci existuje v daném bodě křivky jediná tečna. Stačí tedy dokázat, že tečna nezávisí na zvolené parametrizaci. Uvažujme změnu parametru t = ϕ(t ), kde ϕ je spojitá a ϕ 0. Pak platí dp (t ) dp (t) = dϕ(t ), dt dt dt kde člen dϕ(t ) dt 0. Tečné vektory pro různé parametrizace jsou kolineární, tj. tečna nezávisí na parametrizaci.

9 1.4. Tečný vektor a tečna křivky 9 Věta 4. Nechť P (t), t I, je regulární křivka. Parametr t je obloukem, právě když dp dt = 1 pro každé t I. Důkaz. Nechť t je parametr, který je obloukem. Platí t = s(t) = t t d P ( t ) P ( t ) d t. Derivujeme-li podle t, dostáváme tuto rovnici 1 = P ( t ) P ( t ) = P. Integrováním vztahu P = 1 podle parametru dostáváme s s d 1d t = s s d = Pro oblouk položíme s d = 0. s s d s s d P ( t ) P ( t ) d t, P ( t ) P ( t ) d t. Věta 5. Nechť je dána křivka implicitními rovnicemi f 1 (x, y, z) = 0, f 2 (x, y, z) = 0 a nechť bod [x 0, y 0, z 0 ] leží na křivce. Pak vektor f 1 f 1 y z f 1 f 1 f 1 f 1 x z x y,, f 2 f 2 y z f 2 f 2 f 2 f 2 x z x y je tečným vektorem této křivky. Důkaz. Nechť x = x(t), y = y(t), z = z(t) je parametrické vyjádření téže křivky v okolí bodu [x 0, y 0, z 0 ], pak pro derivace df 1 dt a df 2 dt platí následující rovnost df i dt = f i x dx dt + f i y dy dt + f i z dz dt = 0, i = 1, 2. Hledáme řešení pro neznámé dx dt, dy dt a dz. Jde o ortogonální vektor k jiným dvěma vektorům. Použijeme tedy vektorový součin, tj. dt ( dx dt, dy dt, dz ) ( dt f1 je kolineární s x, f 1 y, f ) ( 1 f2 z x, f 2 y, f ) 2. z

10 1.5. Oskulační rovina 10 Příklad 3. Určete tečnu řezu kulové plochy (0, r = 5) rovinou x+y+z 7 = 0 ve zvoleném bodě. Máme tedy dvě implicitní vyjádření, která jsou x 2 + y 2 + z 2 25 = 0 x + y + z 7 = 0. Můžeme si zvolit z, např. z = 0, pak bodem, který splňuje rovnost, je např. [3, 4, 0]. Dostáváme následující obecnou soustavu 2x dx dt dy dz + 2y + 2z dt dt dx dt + dy dt + dz dt Dosadíme-li bod [3, 4, 0] do první rovnice = 0 = 0. 6 dx dt + 8dy dt + 0 = 0 dx dt + dy dt + dz dt = 0, pak tečný vektor v bodě [3, 4, 0] podle věty 5 má tvar ( ) 8 0 t = 1 1, , = (8, 6, 2) (4, 3, 1). Tečna v bodě je R(t) = (3, 4, 0) + t(4, 3, 1). 1.5 Oskulační rovina Oskulační rovina je limitní polohou roviny tx určené tečnou t a pohybujícím se bodem X křivky. Definice 4. Nechť P (t), t I, je regulární křivka a je dáno t 0 I. Nechť vektory P (t 0 ) a P (t 0 ) jsou nekolineární, pak rovinu R(u, v) = P (t 0 ) + up (t 0 ) + vp (t 0 ) nazýváme oskulační rovinou křivky v daném bodě. Věta 6. Oskulační rovina se nemění při změně parametrizace.

11 1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 11 Důkaz. Je-li t = ϕ(t ), kde ϕ je spojitá a ϕ 0 pro každé t I, pak platí t 0 = ϕ 1 (t 0 ), P (t 0) = dp (ϕ(t )) (t dt 0) = P (t 0 ) dϕ dt (t 0) a z toho plyne, že tečné vektory jsou kolineární. Určíme dále druhé derivace: [ dp P = dt dϕ ] ( ) 2 = d2 P dϕ dt dt + dp 2 dt dt d2 ϕ dt, 2 P (t 0) = P (t 0 ) (ϕ (t 0)) 2 + P (t 0 ) ϕ (t 0). P (t 0) je tedy lineární kombinací P (t 0 ) a P (t 0 ). Definice 5. Bod křivky, v němž P (t 0 ) a P (t 0 ) jsou kolineární, nazýváme inflexní bod. Poznámka 5. V inflexním bodě není definována oskulační rovina, resp. za oskulační rovinu lze považovat každou rovinu procházející tečnou. Snadno tedy plyne, že pojem inflexní bod nezávisí na parametrizaci (viz důkaz věty 6). 1.6 Frenetovy vzorce, křivosti Definice 6. Normálou křivky v daném bodě rozumíme každou přímku R(s) = P (t 0 ) + sn, kde n P (t 0 ) = 0, tj. každou přímku kolmou na tečnu. Hlavní normála n je normála ležící v oskulační rovině. Binormála b je normála, která je kolmá k oskulační rovině. Rovinu tb nazýváme rektifikační, rovinu nb nazýváme normálová. Nechť křivka je parametrizovaná obloukem P (s), s I. Víme, že ṖP (s 0 ) = 1 (podle věty 4) pro každé s 0 I. Tedy ṖP P + P ṖP = 0 ṖP P = 0, tj. P je buď nulový (inflexe), nebo ortogonální k ṖP. Definice 7. První křivostí křivky v bodě rozumíme číslo 1 k(s 0 ) = P (s 0 ), tj. velikost vektoru druhé derivace vektorové funkce parametrizované pomocí oblouku.

12 1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 12 Obrázek 1.5: Tečna t, hlavní normála n, binormála b, oskulační rovina τ, normálová rovina ν, rektifikační rovina µ křivky k v bodě X Označme t(s 0 ) = ṖP (s 0 ) a n(s 0 ) = P (s 0 ) P (s 0 ) = 1 1 k P (s 0 ) = 1 1 k ṫt(s 0 ) jednotkové vektory tečny a hlavní normály. Dále b(s 0 ) = t(s 0 ) n(s 0 ) je jednotkový vektor binormály. Ze vztahu b(s 0 ) b(s 0 ) = 1 plyne derivováním b(s 0 ) ḃb(s 0 ) = 0. Tedy ḃb patří do zaměření oskulační roviny, tj. ḃb = At + Bn. Dále b t = 0 a derivováním ḃb t + b ṫt = 0 ḃb t + b 1 k n = 0 ḃb t = 0. Jestliže rovnici ḃb = At + Bn vynásobíme t, máme ḃb t = A, ale to je nula. Tím jsme ukázali, že koeficient A je nulový a tedy vektory ḃb a n jsou kolineární. To nám dovolí definovat druhou křivost křivky. Definice 8. Druhou křivostí křivky (torzí) v bodě rozumíme číslo neboli 2 k(s 0 ) = ḃb. 2 k(s 0 ) = ḃb n, Věta 7. (Frenetovy vzorce) Pro regulární křivku parametrizovanou obloukem platí ṫt = 1 kn ṅn = 1 kt + 2 kb ḃb = 2 kn. Důkaz. Máme tyto vztahy ṫt = 1 kn ḃb = 2 kn

13 1.7. Kanonické a přirozené rovnice křivky 13 a chceme určit ṅn. Víme, že platí ṅn n = 0, tedy ṅn = At + Bb (je lineární kombinací vektorů kolmých k vektoru n). Derivováním dostaneme t n = 0 ṫt n + t ṅn = 0 1 k + t ṅn = 0 t ṅn = 1 k, b n = 0 ḃb n + b ṅn = 0 2 k + b ṅn = 0 b ṅn = 2 k. Snadno plyne A = 1 k, B = 2 k. Poznámka 6. Ryze algebraicky lze větu vyvodit po zavedení první křivosti pomocí tzv. věty o ortonormálním repéru. Věta 8. Pro regulární křivku s obecným parametrem platí ( 1 k) 2 = (P P ) 2 (P P ) 3 2 k = (P, P, P ) (P P ) 2 Důkaz. Důkaz je snadným cvičením a provede se změnou parametrizace. 1.7 Kanonické a přirozené rovnice křivky Pro vektorovou funkci P (s) použijeme v okolí bodu s = 0 rozvoje v mocninnou řadu. Platí ṖP = t, P = 1 kn, dále snadno vypočteme P (3) = 1 kṅn + n d1 k ds = 1 k( 1 kt + 2 kb) + 1 kn = 1 k 2 t + 1 kn + 1 k 2 kb. Pro rozvoj bude platit P (s) = P (0) + P (1) (0)s P (2) (0)s P (3) (0)s a tedy (v lokálním repéru) [ P (s) = P (0) + t(0) s 1 ] 1 k 2 (0)s [ 1 + n(0) 1 k(0)s ] 1 k(0)s [ ] 1 + b(0) 1 k(0) 2 k(0)s

14 1.8. Oskulační vlastnosti křivek 14 Definice 9. Vyjádření křivky P (s) ve tvaru P (s) = P (0)+t 0 g 1 (s)+n 0 g 2 (s)+ b 0 g 3 (s), kde funkce g i (s) jsou dány řadou, jejíž členy obsahují hodnotu derivací první a druhé křivosti v bodě s = 0, nazýváme kanonickými rovnicemi křivky v okolí bodu s = 0. Poznámka 7. Nejjednodušší náhradou prostorové křivky (jednodušší prostorovou křivkou) je P (s) P (0) + t(0)s + n(0) 1 1 k(0)s 2 + b(0) 1 1 k(0) 2 k(0)s Z vymezení pojmu kanonická rovnice plyne, že je-li dán repér, pak k určení křivky stačí znát 1 k(s) a 2 k(s). Definice 10. Jsou-li dány funkce 1 k(s) a 2 k(s), je dán přirozený popis ( přirozené rovnice ) křivky, neboli trojice s, 1 k(s), 2 k(s) tvoří přirozené souřadnice bodu na křivce. Příklad 4. Přirozené rovnice kružnice jsou 1 k = 1 r ; 2 k = 0. Křivkou s přirozenými rovnicemi 1 k(0) = a 1 s + a 0, 2 k(s) = 0 je klotoida. Použití má tato křivka v návrhu přechodových oblouků komunikací. Obrázek 1.6: Klotoida 1.8 Oskulační vlastnosti křivek Definice 11. Nechť P (s) a Q(s), s I, jsou křivky. Řekneme, že pro s = 0 mají dotyk řádu q (neboli q + 1 bodový dotyk), jestliže d r P ds (0) = dr Q (0), r = 0,..., q. r dsr

15 1.8. Oskulační vlastnosti křivek 15 Věta 9. Nutnou a postačující podmínkou pro dotyk řádu q ve společném bodě křivek je: q = 1 rovnost jednotkových tečných vektorů, q = 2 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavních normál a rovnost první křivosti, q = 3 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavních normál, rovnost první a druhé křivosti a rovnost derivace první křivosti. Důkaz. Plyne z kanonického tvaru křivky. Definice 12. Kružnici, která má s křivkou v daném bodě dotyk alespoň druhého řádu (alespoň tříbodový), nazýváme oskulační kružnicí. Kružnice s dotykem alespoň třetího řádu (alespoň čtyřbodovým) se nazývá hyperoskulační kružnice. Věta 10. Oskulační kružnice křivky P (s) v bodě s = s 0 leží v oskulační 1 rovině křivky v daném bodě, má poloměr a pro střed této kružnice platí 1 k(s) S = P (s 0 ) + 1 n(s 1 k(s 0 ) 0 ). Důkaz. Důkaz plyne z věty 9. Technickým problémem je stanovení znaménka + nebo u vektoru hlavní normály. Obrázek 1.7: Oskulační kružnice křivky k v bodě X(s 0 )

16 1.9. Obálky systému křivek Obálky systému křivek Uvažujeme křivky F (x, y, α 0 ) = 0 a F (x, y, α 1 ) = 0 a nechť tyto křivky mají průsečík Q. Místo toho můžeme vzít ekvivalentní soustavu F (x, y, α 0 ) = 0 ; Limitním přechodem α 1 α 0 máme soustavu F (x, y, α) = 0 ; F (x, y, α 1 ) F (x, y, α 0 ) α 1 α 0 = 0. F (x, y, α) α = 0. Jejím řešením je (pokud řešení existuje) charakteristický bod. Pro proměnné α dostaneme obalovou křivku a α je její parametr. Věta 11. V charakteristickém bodě, v němž 2 F α 2 dotýká tvořící křivky. 0, se obalová křivka F (x,y,α) α Důkaz. Nechť z rovnice F (x, y, α) = 0 a = 0 byl eliminován parametr α, tj. F (x, y, α(x, y)) = 0. K tomu potřebujeme podmínku 2 F 0. α 2 Uvažujme charakteristický bod X[x 0, y 0 ], který odpovídá poloze tvořící křivky pro α 0. Tečna obálky bude v tomto tvaru [ F (x x 0 ) x + F α α ] [ F + (y y 0 ) x y + F α α ] = 0, y ale F α = 0. Z toho vyplývá (x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) (x x 0 ) F x (x 0, y 0, α(x 0, y 0 )) + (y y 0 ) F y (x 0, y 0, α(x 0, y 0 )) = 0, což je však tečna křivky F (x, y, α 0 ) = 0 v bodě X. Poznámka 8. Využili jsme toho, že pro rovinnou křivku F (x, y) = 0 je rovnicí (x x 0 ) F x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) F y (x 0, y 0 ) = 0 dána tečna křivky v bodě [x 0, y 0 ]. Příklad 5. Určete obálku systému kružnic (x α) 2 + y 2 = 1. Podle předcházející věty máme rovnice: F α = 2(x α)( 1) = 0, 2 F α 2 0.

17 1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 17 Dostáváme dvě rovnice (x α) 2 + y 2 1 = 0 x α = 0 Vyjádříme-li z druhé rovnice x a dosadíme jej do první rovnice, máme pak rovnici y 2 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou systému křivek jsou tedy dvě přímky y = 1 a y = Spádové křivky, evoluty a evolventy Definice 13. Nechť je dán jednotkový vektor w a odchylka ω 0, π. Spádovou křivkou k pro daný vektor w a odchylku ω se rozumí křivka, jejíž všechny tečné vektory mají od vektoru w konstantní odchylku ω. Křivka k, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky P = P (s) (a leží tedy na ploše tečen této křivky), se nazývá evolventou dané křivky k, viz obr Křivka k se nazývá evoluta křivky k. Věta 12. Křivka je spádová, právě když pro její křivosti a odchylku ω platí ve všech jejích bodech vztah 2 k sin ω 1 k cos ω = 0. Důkaz. Uvažujme nejprve křivku P (s) parametrizovanou obloukem, která je spádová pro vektor w a odchylku ω. Pro každé s z intervalu parametrizace platí w ṖP (s) = cos ω. Vzhledem k tomu, že vektor w a odchylka ω nejsou závislé na parametru s, dostaneme pomocí derivování a prvního Frenetova vzorce w P (s) = w 1k(s)n(s) = 0. Tedy vektor w je lineární kombinací vektorů t a b (je totiž kolmý k vektoru n). Proto w b = sin ω. Z druhého Frenetova vzorce a odvozených vztahů ṅn = 1 kt + 2 kb w ṖP (s) = w t = cos ω, w b = sin ω již plyne dosazením do w ṅn = 0 dokazovaný vzorec.

18 1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 18 Opačná implikace se dokáže pomocí uplatnění Frenetových vzorců a při použití integrace. Nechť tedy 2 k sin ω 1 k cos ω = 0, pak 2 k sin ω n 1 k cos ω n = ḃb cos ω ṫt sin ω = 0. Což lze psát jako d (t cos ω + b sin ω) = O. ds Integrací máme t cos ω + b sin ω = w, kde w je konstatní vektor. Po skalárním vynásobením vektorem t obdržíme Tedy křivka je spádovou křivkou. t w = cos ω. Věta 13. Nechť je dána křivka P (s). Její evolventu lze vyjádřit ve tvaru R(s) = P (s) + (c s) t(s), kde c R. (1.1) Evolventa tedy vzniká jako dráha bodu při odvalování tečny po dané křivce, tj. nanášením délky oblouku křivky na její tečnu. Obrázek 1.8: Evoluta a evolventy Důkaz. Napište vektorovou funkci R(s), jež vyjadřuje evolventu k křivky k, čili křivku, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky k. Z toho vyplývá R(s) = P (s) + λ(s) t(s), (1.2)

19 1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 19 kde λ(s) je skalární funkce, t(s), resp. n(s), je tečný, resp. normálový, vektor Frenetova trojhranu. Zároveň platí a R t(s) = 0, (1.3) ṫt(s) = 1 kn(s). Dosazení derivace rovnice 1.2 do rovnice 1.3 získáme rovnici ( t(s) + λ (s) t(s) + λ(s) ṫt(s) ) t(s) = 0. Víme, že t(s) t(s) = 1, ṫt(s) t(s) = 0, tedy 1 + λ (s) = 0 λ (s) = 1. Jestliže tento výsledek zintegrujeme, dostaneme λ(s) = s + c, kde c je konstanta. Evolventou křivky k jsou křivky R(s) = P (s) + (c s) t(s), kde c R. (1.4) Příklad 6. Napište rovnici evolventy kružnice. t(ϕ) = P (ϕ) P (ϕ) = ( sin ϕ, cos ϕ) ; s = Dosazením do vztahu 1.4 dostaneme P (ϕ) = (a cos ϕ, a sin ϕ) P (ϕ) = ( a sin ϕ, a cos ϕ) P (ϕ) = a (sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) = a ϕ u=0 P (ϕ) du = ϕ u=0 a du = a ϕ R(ϕ) = (a cos ϕ c sin ϕ + a ϕ sin ϕ, a sin ϕ + c cos ϕ a ϕ cos ϕ) R(ϕ) = ( a (cos ϕ + ϕ sin ϕ) c sin ϕ, a (sin ϕ ϕ cos ϕ) + c cos ϕ ). Pro c = 0 dostáváme R(ϕ) = ( a (cos ϕ + ϕ sin ϕ), a (sin ϕ ϕ cos ϕ) ).

20 1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 20 Obrázek 1.9: Evolventa kružnice Obrázek 1.10: Evolventa šroubovice Příklad 7. Najděte evolventy šroubovice. P (ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ, ϕ) P (ϕ) = ( sin ϕ, cos ϕ, 1), P (ϕ) = P P t(ϕ) = (ϕ) P P (ϕ) = 1 ( sin ϕ, cos ϕ, 1) 2 s = ϕ t=0 ṖP (t) dt = 2 Opět užitím vzorce 1.4 dostaneme ϕ t=0 1 dt = 2 ϕ sin 2 ϕ + cos 2 ϕ + 1 = 2 R(ϕ) = ( cos ϕ + c ( 1 2 sin ϕ) + 2 ϕ ( 1 2 sin ϕ), sin ϕ + c ( 1 cos ϕ) 2 ϕ ( 1 cos ϕ), 2 2 ϕ + c ( 2 2 ) 2 ( 1 2 ϕ) Provedeme-li substituci 1 2 c = d dostaneme ). R(ϕ) = ( (cos ϕ + ϕ sin ϕ) d sin ϕ, (sin ϕ ϕ cos ϕ) + d cos ϕ, d ). Všechny evolventy šroubovice jsou rovinné křivky ležící v rovnoběžných rovinách z = d (viz obrázek 1.10). Speciálně v rovině z = 0 leží evolventa R(ϕ) = (cos ϕ + ϕ sin ϕ, sin ϕ ϕ cos ϕ, 0), která je zároveň průsečnicí tečen šroubovice s touto rovinou.

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl II František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 2 Plochy 23 2.1 Vyjádření plochy......................... 23 2.2 Transformace parametrů.....................

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

7 Ortogonální a ortonormální vektory

7 Ortogonální a ortonormální vektory 7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

Křivkový integrál vektorového pole

Křivkový integrál vektorového pole Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE 3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více