4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
|
|
|
- Kamil Brož
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP
2 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického duálního problému Věty o dualitě Věta o dualitě Důsledky věty o dualitě Věta o rovnováze Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
3 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického duálního problému Věty o dualitě Věta o dualitě Důsledky věty o dualitě Věta o rovnováze Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
4 Výchozí řešení: 5.1 Obecné vyjádření ST A I b c T 0 T 0 kde je... A m n matice strukturních koeficientů a ij b m 1 c T 1 n I m m vektor pravých stran omezení b i vektor cenových koeficientů c j jednotková matice Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
5 5.1 Obecné vyjádření ST Báze: Vektory strukturních koeficientů základních proměnných v s-té iteraci tvoří bázi B s K matici báze B s existuje vždy inverzní matice báze B s 1 Báze výchozího řešení: Báze výchozího řešení je jednotková Najdeme ji ve sloupcích přídatných proměnných Tam rovněž najdeme inverzní matici B s 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
6 Báze: Vektory strukturních koeficientů základních proměnných 5.1 vobecné s-té iteraci vyjádření tvoří bázi STB s Výchozí řešení: Matice báze B s Tabulka s-té iterace (s = 1): Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
7 Inverzní matice báze B s 1 : Vektory transformovaných strukturních 5.1 koeficientů Obecné vyjádření z s-té iterace ST pro základní proměnné z výchozího řešení Výchozí řešení: Tabulka s-té iterace (s = 1): Inverzní matice báze B s 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
8 Báze s-té iterace: 5.1 Obecné vyjádření ST Vektory matice báze s-té iterace B s najdeme ve výchozí simplexové tabulce ve sloupcích základních proměnných s-té iterace Inverzní matice báze B s 1 je v tabulce s-té iterace na místě výchozí báze, tj. ve sloupcích proměnných, které byly ve výchozí tabulce základní Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
9 Báze: Vektory strukturních koeficientů základních proměnných 5.1 vobecné s-té iteraci vyjádření tvoří bázi STB s Výchozí řešení: Matice báze B s Tabulka s-té iterace (s = 2): Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9
10 Inverzní matice báze B 1 s : Vektory transformovaných strukturních 5.1 koeficientů Obecné vyjádření z s-té iterace ST pro základní proměnné z výchozího řešení Výchozí řešení: Tabulka s-té iterace (s = 2): Inverzní matice báze B s 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
11 5.1 Obecné vyjádření ST Matici báze rozšíříme o řádek účelové funkce: B s c B T je vektor cen základních proměnných Tato matice má plnou hodnost (m + 1) a existuje k ní matice inverzní: Mgr. Sekničková Jana, Ph.D c B T 1 B s 1 0 c B T B s 1 1
12 5.1 Obecné vyjádření ST Transformace výchozí tabulky matematicky odpovídá přenásobení výchozí ST touto inverzní maticí zleva: B s 1 0 c B T B s 1 1. A I b c T 0 T 0 = B s 1 A B s 1 B s 1 b c B T B s 1 A c T c B T B s 1 c B T B s 1 b Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
13 5.1 Obecné vyjádření ST B 1 s A B 1 s B 1 s b c T B B 1 s A c T c T B B 1 s c T B B 1 s b kde je: B 1 s A matice transformovaných strukturních koeficientů B 1 s b vektor hodnot základních proměnných c T B B 1 s A c T koeficienty z j u strukturních proměnných (redukované ceny) c T B B 1 s koeficienty z j u přídatných proměnných (stínové ceny) c T B B 1 s b hodnota účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
14 5.1 Obecné vyjádření ST Výchozí řešení: A A I b c T 0 T 0 Tabulka s-té iterace (s = 2): B s 1 B s 1 A B s 1 B s 1 b c B T B s 1 A c T c B T B s 1 c B T B s 1 b Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
15 5.1 Obecné vyjádření ST B s 1 A B s 1 B s 1 b c B T B s 1 A c T c B T B s 1 c B T B s 1 b B s 1 A = 1 1/ / = 1/2 0 1/ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
16 5.1 Obecné vyjádření ST A I b c T 0 T 0 B 1 s A B 1 s B 1 s b c T B B 1 s A c T c T B B 1 s c T B B 1 s b u T = c T B B 1 s B 1 s A B 1 s B 1 s b u T A c T u T u T b Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
17 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického duálního problému Věty o dualitě Věta o dualitě Důsledky věty o dualitě Věta o rovnováze Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17
18 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického duálního problému Věty o dualitě Věta o dualitě Důsledky věty o dualitě Věta o rovnováze Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18
19 5.2 Formulace duálního problému Ke každé úloze LP lze formulovat tzv. duální úlohu Původní úlohu LP nazýváme primárním problémem (P) Nově formulovanou úlohu pak nazýváme duálním problémem (D) Tyto dvě úlohy pak tvoří tzv. duálně sdružené úlohy Tzn., že tvoří dvojici úloh, které mají specifické vlastnosti Často říkáme pouze sdružené úlohy Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
20 5.2.1 Symetrický duální problém Předpokládejme, že primární úloha je typu I: Maximalizační účelová funkce Všechna vlastní omezení ve tvaru nerovností typu Strukturní proměnné s podmínkami nezápornosti Takovou úlohu můžeme matematicky zapsat: Úloha LP typu I: Za podmínek: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
21 5.2.1 Symetrický duální problém Duální úloha je pak typu II: Minimalizační účelová funkce Všechna vlastní omezení ve tvaru nerovností typu Duální proměnné s podmínkami nezápornosti Tato úloha má navíc speciální tvar: Úloha LP typu II: Za podmínek: min f = u T b u T A c T u T 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
22 5.2.1 Symetrický duální problém Předpokládejme, že primární úloha je typu I: Úloha LP typu I: max z = c T x Za podmínek: Ax b x 0 Duální úloha je pak typu II: Úloha LP typu II: min f = u T b Za podmínek: u T A c T u T 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
23 5.2.1 Symetrický duální problém Naopak, pokud platí, že primární úloha je typu II, pak je duální úloha typu I. Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Primární problém Duální problém Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Duální problém Primární problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
24 5.2.1 Symetrický duální problém Rozepišme úlohy po složkách: Úloha LP typu I: II: max min f z = uc T xb uax T bc T ux T 00 max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m min f = b 1 u 1 + b 2 u b m u m u 1 0 u 2 0 u m 0 x 1 0 x 2 0 x n 0 a 11 u 1 + a 21 u a m1 u m c 1 a 12 u 1 + a 22 u a m2 u m c 2 a 1n u 1 + a 2n u a mn u m c n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
25 5.2.1 Symetrický duální problém Rozepišme úlohy po složkách: max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m min f = b 1 u 1 + b 2 u b m u m u 1 0 u 2 0 u m 0 x 1 0 x 2 0 x n 0 a 11 u 1 + a 21 u a m1 u m c 1 a 12 u 1 + a 22 u a m2 u m c 2 a 1n u 1 + a 2n u a mn u m c n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
26 5.2.1 Symetrický duální problém Rozepišme úlohy po složkách: max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m min f = b 1 u 1 + b 2 u b m u m u 1 0 u 2 0 u m 0 x 1 0 x 2 0 x n 0 a 11 u 1 + a 21 u a m1 u m c 1 a 12 u 1 + a 22 u a m2 u m c 2 a 1n u 1 + a 2n u a mn u m c n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
27 5.2.1 Symetrický duální problém Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Primární úloha má n strukturních proměnných a m vlastních omezení Duální úloha má m strukturních proměnných a n vlastních omezení Dualita je reciproční vztah: duální problém k duálnímu problému je primární problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
28 5.2.1 Symetrický duální problém Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T 0 u T A c T Vlastním omezením (P) odpovídají podmínky nezápornosti (D) A naopak: vlastním omezením (D) odpovídají podmínky nezápornosti (P) Proto takto formulovaný (D) nazýváme symetrický duální problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
29 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad Lis: Poptávka: Šroubky: Produkce: Nezápornost: 1 x x [min] 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] 1 x x [krabiček] 1 x x 2 = 115 [krabiček] x 1, x 2 0 [krabiček] JAKÝ TYP? Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
30 5.2.1 Symetrický duální problém Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Každou úlohu LP lze převést na úlohu typu I Minimalizační funkci přenásobíme ( 1) a změníme extrém Omezení typu přenásobíme ( 1) Omezení typu = rozložíme na dvě nerovnosti JAK? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
31 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad Lis: Poptávka: Šroubky: Produkce: Nezápornost: 1 x x [min] 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] 1 x x [krabiček] 1 x x 2 = 115 [krabiček] x 1, x 2 0 [krabiček] JAKÝ TYP? Zisk: 40 x x 2 max [Kč] Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Formulujte symetrický (D) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
32 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x x x 1 1 x x x x x 2 = 115 x 1, x 2 0 z = 40 x x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
33 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x x x 1 1 x x x x x 2 = 115 x 1, x 2 0 z = 40 x x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
34 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x x x 1 1 x x x x x 2 = 115 x 1, x x 1 1 x x x 2 90 z = 40 x x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
35 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x x x x x x x x 2 = 115 x 1, x 2 0 z = 40 x x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
36 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x x x x x x x x 2 = 115 x 1, x x x 2 = x x x x z = 40 x x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36
37 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x x x x x x x x 2 = 115 x 1, x 2 0 z = 40 x x 2 max 1 x x 2 = x x x x x 1 1 x Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
38 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1 x x x x x x x x x 1 1 x DUÁLNÍ PROBLÉM? x 1 0 x 2 0 z = 40 x x 2 max Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
39 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x x 1 + 1x x 1 + 0x x 1 + 1x x 1 1x x 1 0 x 2 0 u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 z = 40x x 2 max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
40 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x x 1 + 1x x 1 + 0x x 1 + 1x x 1 1x x 1 0 x 2 0 u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 z = 40x x 2 max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
41 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x x 1 + 1x x 1 + 0x x 1 + 1x x 1 1x u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 x 1 0 x 2 0 1u 1 1u 2 + 1u 3 + 1u 4 1u 5 40 z = 40x x 2 max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
42 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x x 1 + 1x x 1 + 0x x 1 + 1x x 1 1x u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 x 1 0 x 2 0 1u 1 1u 2 + 1u 3 + 1u 4 1u u 1 + 1u 2 + 0u 3 + 1u 4 1u 5 60 z = 40x x 2 max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42
43 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x x 1 + 1x x 1 + 0x x 1 + 1x x 1 1x u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 x 1 0 x 2 0 z = 40x x 2 max 1u 1 1u 2 + 1u 3 + 1u 4 1u u 1 + 1u 2 + 0u 3 + 1u 4 1u 5 60 f = = 120u 1 90u u u 4 115u 5 min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43
44 5.2.1 Symetrický duální problém - příklad 1x 1 + 2x x 1 + 1x x 1 + 0x x 1 + 1x x 1 1x u 1 0 u 2 0 u 3 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 u 4 0 u 5 0 x 1 0 x 2 0 z = 40x x 2 max 1u 1 1u 2 + 1u 3 + 1u 4 1u u 1 + 1u 2 + 0u 3 + 1u 4 1u 5 60 f = = 120u 1 90u u u 4 115u 5 min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44
45 5.2.1 Symetrický duální problém Úloha LP typu I: max z = c T x Ax b x 0 Úloha LP typu II: min f = u T b u T A c T u T 0 Každou úlohu LP lze převést na úlohu typu II Maximalizační funkci přenásobíme ( 1) a změníme extrém Omezení typu přenásobíme ( 1) Omezení typu = rozložíme na dvě nerovnosti JAK? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
46 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického duálního problému Věty o dualitě Věta o dualitě Důsledky věty o dualitě Věta o rovnováze Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
47 Detaily k přednášce: skripta, kapitoly 3.10 a KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 81
4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP
4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]
4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
Parametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP
4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1
4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování
4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Ekonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
![OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU](/thumbs/55/37186771.jpg "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU")
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
4EK201 Matematické modelování. 10. Teorie rozhodování
4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování 10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel =
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz
1.Modifikace simplexové metody
.Modifikace simplexové metody Simplexová metoda, v podobě popsané v prvním tématu, je vhodná zejména pro řešení úloh LP menších rozměrů, především pak pro ruční výpočty. Algoritmus metody je jednoduchý,
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
f ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,
4. okruh z bloku KM1 - řídicí technika Zpracoval: Ondřej Nývlt (o.nyvlt@post.cz) Zadání: Lineární programování (LP), simplexová metoda, dualita v LP. Nelineární programování. Vázaný extrém. Karush-Kuhn-Tuckerova
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA EKONOMICKÁ Bakalářská práce Dualita úloh lineárního programování The Duality of linear programming problems Jakub Petelík CHEB 2014 Čestné prohlášení Prohlašuji,
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Operační výzkum. Teorie her. Řešení maticových her převodem na úlohu LP.
Operační výzkum Řešení maticových her převodem na úlohu LP. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Podobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
opt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N
![opt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N](/thumbs/56/38176132.jpg "opt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N")
1 2-LP-Lineární programování Lineární funkce i omezovací podmínky opt t X c R c R b b b R...vektor limitů (kapacitních), a i i R b A...matice strukturálních koeficientů, > b! R hod = b, 0,..vektorproměnných,...vektor
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
4EK201 Matematické modelování. 11. Ekonometrie
4EK201 Matematické modelování 11. Ekonometrie 11. Ekonometrie Ekonometrie Interdisciplinární vědní disciplína Zkoumá vztahy mezi ekonomickými veličinami Mikroekonomickými i makroekonomickými Ekonomie ekonomické
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Úvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
Lineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr. Andrea Kubišová
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr Andrea Kubišová 214 ÚVOD Tato skripta jsou základním studijním materiálem pro volitelný předmět Operační výzkum určený převážně
1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
Lineární (ne)závislost
Kapitola 6 Lineární (ne)závislost Také tuto kapitolu zahájíme základní definicí. Definice 6.1 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Říkáme, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x n prostoru
VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
![transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]](/thumbs/88/115112143.jpg "transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]")
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
Úlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování
4EK201 Matematické modelování 4. Typické úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov)
2. cvičenie formulácia a výsledky - LINGO 1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov) a) maximalizácia zisku NECELOČÍSELNE!zadani ucelove fce; [UCELOVA_FCE] max = 120*x1+50*x2+150*x3+100*x4;!zadani
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u