Kybernetika. Wiener 1948: Rok 2000:

Transkript

1 Kybernetika Wiener 1948: Věda o řízení a sdělování v živých organismech a strojích. Rok 2000: Věda o modelování a řízení složitých systémů. 1. Objekt a model. 2. Systém. 3. Hierarchie systémů. 4. Předmět obecné teorie systémů. 5. Role obecné teorie systémů. OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 1) Poslední revize: 23. března 2009

2 Objekt a jeho model Objekt: Pozorovatelná část reality. Model: Nechť je dán objekt X a pozorovatel P. Potom M(X) je modelem X jestliže pozorovatel může použít M(X) k předpovědi chování X. objekt pozorovatel svět objekt X model M(X) Systém: Je druh modelu. objekt není vydělitelný ze svého okolí (Př: počasí nad ČR) interakce pozorovatel objekt ovlivňují chování obou (Př: voltmetr s malým vstupním odporem) vlastnosti celku nevyplývají nutně z vlastností částí (Ludwig von Bertalanfy, 60. léta 20. stol.) OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 2) Poslední revize: 23. března 2009

3 Co je a co není systém Mějme dva objekty: (1) pružně upevněné závaží, (2) elektrický RLC obvod Možné systémy na objektech: x 1 K m R L B x 2 u 1 C u 2 S 1 : m ẍ 2 + B ẋ 2 + Kx 2 = Kx 1 S 2 : L ü 2 + R u C u 2 = 1 C u 1 S 1 a S 2 jsou izomorfní: Při x 1 u 1, x 2 u 2, m L, B R, K 1 C mají stejné chování Systém: atributy (proměnné): u 1, u 2 parametr: čas chování: diferenciální rovnice OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 3) Poslední revize: 23. března 2009

4 Příklad systému objekt měřicí místa data Systém atributy (proměnné) parametr: čas chování: vzorek aktivity systému (data) OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 4) Poslední revize: 23. března 2009

5 Přirozený dynamický systém se sémantikou Typické postoje soupeřících racků v nafilmované sekvenci, slovně popsané rest away forward hunched chocking mew call upright Systém: atributy (proměnné): v 1, v 2 ; parametr: čas; chování: vzorek aktivity t v v t v v interpretace: forward 0 upright 1 grass pulling 2 chocking 3 away 4 jednotka času: 2s převzato z [Klir, Architecture of Systems Problem Solving, 1985] OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 5) Poslední revize: 23. března 2009

6 Dynamický systém parametrizovaný polohou Sonogram zdravé štítné žlázy v podélném řezu Systém: atribut: v hodnota obrazu v bodě parametry: i,j poloha v obrazu vzorek aktivity textura dynamický zde neznamená časově proměnný, ale proměnný s polohou OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 6) Poslední revize: 23. března 2009

7 Shrnutí příkladů (model zvaný systém ) Systém je trojice S = (A, B; R), kde 1. A množina podstaných atributů: vypovídajích o stavu systému popisné komparativní (částečné uspořádané) metrické (aditivní vůči konkatenaci) př: postoje racků při souboji př: Mohsova stupnice tvrdosti př: kvantitativní vlastnosti 2. B parametrická množina: parametry rozlišují instance měření, tj. indexují proměnné čas poloha populace 3. R je relace informační závislosti mezi a i A (chování): schéma s označenými proměnnými diferenciální rovnice naměřená data Co není systém? atributy nejsou voleny s ohledem na nějaký účel neexistuje společná parametrická množina data nejsou získána za dostatečné variability OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 7) Poslední revize: 23. března 2009

8 Systém z hlediska pozorovatele systém S 1 na objektu v rychlost v zrychlení φ úhlové rychlosti φ úhlová zrychlení průtoky paliva průtoky okysličovadla p tlak ve spalovacích komorách rychlosti výtoku plynů hmotnost paliva hmotnost okysličovadla π f π o v e m f m o systém S 2 na objektu v zrychlení φ úhlová zrychlení F síly působící na části rakety S 2 π f π o m f φ v v φ F m o p v e S 1 Hledisko Volba systému závisí na účelu zkoumání. Na každém materiálním objektu je možno definovat mnoho různých systémů významných z různého hlediska. Systémy na různých fyzikálních objektech mohou být formálně totožné. Obecný systém Na interpretaci nezávislý bezkontextový model ve standardní formě, který reprezentuje třídu ekvivalence vzhledem k významným vlastnostem relací. OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 8) Poslední revize: 23. března 2009

9 Předmět OTS Klir 1985: OTS je metodologie pro zkoumání vlastností velmi složitých systémů bez zjevné struktury, které se vyskytují v různých tradičních disciplínách. 1. Předmět zkoumání: Strukturální vlastnosti společné určitým třídám systémů. 2. Model systému: Matematicky, experimentálně nebo simulací získaný. OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 9) Poslední revize: 23. března 2009

10 Náplň této části přednášek 1. Formalismus, kterým lze popsat zobecněný dynamický systém. Zobecněný diskrétní dynamický systém popsaný naměřenými daty anebo jejich zobecněním. Pravděpodobnostní anebo posibilistický model nad množinou stavů. Výměna informace měřena na základě entropie. 2. Vybrané problémy OTS Jak vytvořit systém z dat? Jak zjednodušit daný systém? Jak zjistit strukturu složitých systémů? problém identifikace struktury z dat Aplikace analýza a interpetace dat těžení dat (data mining) rozpoznávání GSPS: Nástroj, který podporuje efektivní inženýrskou práci v procesu analýza predikce experiment bez ohledu na interpretaci a kontext. OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 10) Poslední revize: 23. března 2009

11 Datový systém (A, B) obecný obraz systému D = (A, B; d, u) A = {v 1, v 2,..., v n } B = {w 1, w 2,..., w m } R(v i ), i = 1, 2,..., n R(w j ), j = 1, 2,..., m R(A) = R(v 1 ) R(v 2 ) R(v n ) R(B) = R(w 1 ) R(w 2 ) R(w m ) množina základních proměnných množina parametrů obor hodnot (range) v i obor hodnot w j toto ještě není nutně stavový prostor! (u, d) reprezentace relací mezi proměnnými d: R(B) R(A) ostrá data d: R(B) R(A) 0, 1 u i {0, 1}, i = 1, 2,..., n fuzzy data vstupní proměnné OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 11) Poslední revize: 23. března 2009

12 Datový systém: Vzorek aktivity Obraz systému (A, B) charakterizuje potenciální stavy proměnných, funkce D poskytuje informaci o jejich skutečných stavech na části parametrické množiny. A = {v 1, v 2 }, B = {b}, R(v 1 ) = R(v 2 ) = {0, 1, 2, 3, 4}, R(b) = IN 0 Data jsou výsledkem měření na objektu. D = [ d i,j ] = [ vi (j) ] Ú ½ Ú ¾ datová matice D sloupce jsou stavy pozorované na hodnotách R(b), řádky jsou pozorování jedné proměnné indexované hodnotou parametru. OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 12) Poslední revize: 23. března 2009

13 Zobecněný diskrétní dynamický systém Cíl: zobecnit data, modelovat dynamiku Chování: Vztah mezi proměnnými systému nezávisle na absolutní hodnotě parametrů. Př: x(k) = f(x(k 1), x(k 2),..., x(k h) Θ) lze zapsat s 0 (k) = f(s 1 (k), s 2 (k),..., s h (k) Θ) invariantní vztah (vzhledem k k) kde s 1 (k) = x(k 1) jsou pojmenované translace Vzorkovací proměnné: Doplňují základní proměnné v i o proměnné s k s k (w) = v i ( rij (w) ), w R(B) odpovídají vnitřním stavovým proměnným v dynamickém systému Translační pravidla: každému elementu ve R(B) přiřazují jeden element z R(B): r ij : R(B) R(B). př: s 1 (k) = x(k 1), r 11 (k) = k 1 OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 13) Poslední revize: 23. března 2009

14 Translační pravidla na uspořádané parametrické množině: Maska maska M Hodnoty vzorkovacích proměnných s k : s 1 (6) = v 1 (5) = 2 s 2 (6) = v 1 (6) = 0 s 3 (6) = v 2 (6) = 2 Ö Ö Ò Ò Ó Stav pro masku M v poloze k = 6: s(6) = (2, 0, 2) Ø Ú ½ datová matice Ú ¾ Ö Ö Ò Ò Ó Maska M reprezentuje časově invariantní dynamický vztah mezi základními proměnnými, každému páru (i, j) M odpovídá jedno translační pravidlo s k = v i (w + r ij ) pro referenční čas w R(B). OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 14) Poslední revize: 23. března 2009

15 Příklad zobecnění datového na dynamický systém 1. Dán datový systém: A = {v 1, v 2 }, B = {t}, data t v v t v v Volba masky M: s 1 s 2 s 3 s 4 3. Odhad pravěpodobnosti přípustných stavů s 1 s 2 s 3 s 4 p(s 1, s 2, s 3, s 4 ) OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 15) Poslední revize: 23. března 2009

16 Zobecněný dynamický systém Stavový prostor Stav je okamžitá hodnota vzorkovacích proměnných S = {s i, i = 1,..., n} a R(S) = R(s 1 ) R(s 2 ) R(s n ) je stavový prostor o dimenzi n. Funkce přípustnosti definuje přípustné stavy p B : R(S) 0, 1 (pravděpodobnost, posibilita) Dynamický systém (A, B) je obecný obraz systému M je maska p B je funkce přípustnosti stavu F B = (A, B; M, p B ), OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 16) Poslední revize: 23. března 2009

17 Zobecněný dynamický systém: shrnutí dynamika popsána vztahem invariantním vůči parametrům vztah je reprezentován zvýšením dimenze stavového prostoru každý takový rozšířený stav má přípustnost (pravděpodobnost) tento model přesně popisuje všechna pozorovaná data Tento model dokáže generovat (předpovídat) vývoj stavu systému, uvidíme jak. OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 17) Poslední revize: 23. března 2009

18 Generativní systém Zobecněný dynamický systém nezahrnuje předpis pro generování aktivity systému. Generativní maska Rozklad masky M na generující část Mḡ a generovanou část M g : M G = (M g, Mḡ) tak, že M g M Mḡ M M g Mḡ = M M g Mḡ = Generativní funkce přípustnosti Množinu vzorkovacích proměnných rozložíme na generující množinu Ḡ a generovanou množinu G, potom sdružená funkce p GB : R(Ḡ) R(G) 0, 1 je generativní funkce přípustnosti. OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 18) Poslední revize: 23. března 2009

19 Nedetermininistický systém Deterministický systém Pro každý generující stav ḡ R(G) je povolen pouze jeden generovaný stav g R(G). Nedeterministický systém: Povoleno je více stavů. ḡ g s 1 s 3 s 2 s 4 p GB Ô ¼ 3,3 Ô ¼ ½ Ô ¼ ½ 0,3 4,4 nederministický stav (3, 3) má tři následníky Pravděpodobnost přechodu stavu p(g ḡ) = p GB(g, ḡ) p G (ḡ) OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 19) Poslední revize: 23. března 2009

20 Je RS obvod nedeterministický systém? RS obvod má paměť: následný stav závisí na současném stavu Ú ½ Ú ¾ & & Ú Ú v 1 v 2 v 3 v v3 k 1 v4 k 1 u ḡ g s 1 s 2 s 3 s u s 3 s 1 s 2 s 4 v 1 v 2 v Je deterministický: tabulka je úplný popis a žádné dva stavy (u, ḡ) nejsou stejné: každý stav má jen jednoho následníka ḡ maska g OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 20) Poslední revize: 23. března 2009

21 Generování dat 1. Dán stav ḡ R(Ḡ) pro dané t T, použije se pravděpodobnost přechodu p(g ḡ) pro zjištění stavu g R(G) pro t. 2. Hodnota t je nahrazena novou a krok 1 se opakuje. Vyžaduje uspořádanou parametrickou množinu. Vyžaduje počáteční podmínky. Pořadí generování: 1. dopředné (prediktivní): t = t + 1, 2. zpětné (retrodiktivní): t = t 1. Každý řádek masky M g pro dopředné pořadí má právě jeden prvek na pravé hraně masky, pro zpětné na levé straně. U nedeterministického systému se následující stav vygeneruje náhodně s danou pravděpodobností. OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 21) Poslední revize: 23. března 2009

22 Příklad texturního systému vstupní redukce rozlišení: prostorová redukce na 1/3, pouze jas, překvantizováno do 6 úrovní šedé výřez pixelů z kvantizovaného obrazu obraz tkaniny pixelů, RGB 8-bit maska 5 9 vygenerovaný vzorek jedna generovaná proměnná g (žlutě), 44 generujících G systém má stavů s nenulovou četností, zjištěno z redukovaného obrazu 1.7Mpix H(g) = 1.38, H(g G ) = malá generativní nejistota, systém je skoro deterministický OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 22) Poslední revize: 23. března 2009

23 Pozn: Systém se stavovými přechody (ST) Funkce přechodu stavu Jiná reprezentace invariantního omezení mezi proměnnými na totálně uspořádané parametrické množině Konstrukce stavu také reprezentována translačními pravidly (maskou) Nerozlišujeme generující a generované proměnné Stavový diagram: f GS (c c) další stav je c je-li současný stav c Ë ¼ ¼ µ ¼ Ë ½ ¼ µ ½ ¼ ¾ Generativní ST-systém F GS = (A, B; M GS, f GS ), M GS musí být kompaktní, tj. pro každou řádku M GS : s a s b s a M GS, s b M GS s a+1,..., s b 1 M GS Příklad: posouváme masku z t do t + 1 do t + 2 atd. tato maska neodpovídá ST-systému, hodnota pro s 1 (t) je vygenerována v kroku t 2 ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 23) Poslední revize: 23. března 2009 Ø ¾ Ø

24 Konverze ST-systému na zobecněný dynamický systém F S = (A, B; M, f GS ) F B = (A, B; M +, f B ) 1. Rozšíření masky M na M + ¼ Å Å Å 2. Potom f GS (C, C ) = f B (G, Ḡ) Obráceně možné jen, je-li maska kompaktní a na každé řádce má alespoň 2 okénka! Pozorování Reprezentace pomocí systému s chováním je kompaktnější a obecnější. OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 24) Poslední revize: 23. března 2009

25 Klirova hierarchie systémů 4 METASYSTÉMY relace mezi relacemi níže pravidla popisující změny struktury abstrakce roste & neurčitost klesá STRUKTUROVANÉ SYSTÉMY relace mezi modely níže GENERATIVNÍ SYSTÉMY modely generující aktivitu (chování) zobecnění dynamických systémů DATOVÉ SYSTÉMY pozorování popsaná v jazyce níže ZDROJOVÉ SYSTÉMY jazyk pro popis dat rozložení vztahu mezi proměnnými na dílčí vztahy vztah mezi proměnnými vysvětlující pozorovaná data zdrojový systém doplněný vzorkem dat soubor měřitelných vlastností důležitých z nějakého hlediska MĚŘITELNÁ REALITA OTS: Systém, úvod; R. Šára, CMP (p. 25) Poslední revize: 23. března 2009

26 Konec

27

28

29

30

31