n tak, že součet vnitřních úhlů na jedné straně přímky k je méně než dva pravé úhly, pak se přímky m, straně protínají.
|
|
- Sabina Doležalová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Přednáška 5: Analytická geometrie v prostoru Geometrie stejně jako aritmetika stojí na několika málo základních principech. Díky tomu mohl již kolem roku 00 př. n. l. Eukleides napsat Základy 1, první úplně zachovanou knihu o rovinné a prostorové geometrii, která zůstala základní učebnicí geometrie až do 19. století. Její styl byl díky své jasnosti a přesnosti dlouho vzorem pro budování matematické teorie. Eukleides dokázal z několika málo principů odvodit mnoho dodnes běžně používaných geometrických vztahů a vlastností. Eukleidovský prostor Eukleidovy Základy začínají 2 definicemi geometrických primitivních pojmů (bod, přímka, rovina, úhel, pravý úhel, kružnice, průměr, atd.) a pěti postuláty, 2 které můžeme moderně formulovat takto: 1. postulát: Každými dvěma body lze vést (právě jednu) úsečku. 2. postulát: Každou úsečku lze prodloužit na přímku.. postulát: Ke každé úsečce lze sestrojit kružnici, která má střed v jednom z koncových bodů a má tuto úsečku za poloměr. 4. postulát: Každé dva pravé úhly jsou shodné. 5. postulát: (o rovnoběžkách) Protíná-li přímka k dvě přímky m, n tak, že součet vnitřních úhlů na jedné straně přímky k je méně než dva pravé úhly, pak se přímky m, n na této straně protínají. Obrázek 5.1.: Eukleidův 5. postulát Eukleides z těchto postulátů vystavěl celou planimetrii a stereometrii. Dlouho se věřilo, že Euklidova geometrie popisuje geometrii našeho vesmíru, a že pátý postulát (který se od 1 Kompletní české vydání (všech 1 knih) vyšlo nově ve čtyřech svazcích v nakladatelství OPS ( ). Online je k dispozici komentovaný anglický překlad D.E. Joyce viz. Euclid s Elements, URL: 2 Tedy tvrzeními, jejichž platnost se předpokládá, a proto se nedokazují. Dnes bychom je nazvali axiomy.
2 ostatních nápadně odlišuje také svou formulací) nějakým způsobem vyplývá z prvních čtyř. Mnoho matematiků se jej snažilo dokázat, leč neúspěšně. Přitom bylo formulováno několik tvrzení ekvivalentních s pátým postulátem (pravdivých právě tehdy pokud je pravdivý pátý postulát), například: Playfairův postulát (1795): K zadané přímce lze daným bodem, který na ní neleží, lze sestrojit nejvýše jednu rovnoběžku. Legendreův postulát (1794): Součet úhlů v trojúhelníku je 180. Nakonec se ukázalo, že tomu tak není. V roce 1829 publikoval Nikolaj Lobačevskij práci, ve které popsal geometrii, ve které neplatí pátý postulát. Během 19. století se vyvinuly dva základní modely neeuklidovských geometrií, a to sférická a hyberbolická. Obě je sjednotil B. Riemann popisem geometrie pomocí metriky. Teprve na počátku 20. století, když Albert Einstein formuloval obecnou teorii relativity se ukázalo, že to nejsou pouhé hračky vymyšlené po potěšení matematiků, ale že náš vesmír je ve své podstatě neeuklidovský Příklady 2 Eukleidovskou rovinou E je například sešit nebo tabule. Naopak neeuklidovským prostorem dimenze 2 je sféra (idealizovaný povrch zeměkoule), což je příklad sférické geometrie nebo tzv. Poincarého disk, který je ilustrací hyperbolické geometrie. Eukleidovským prostorem E je například přednáškový sál. Z obecné teorie relativity vyplývá, že náš vesmír Eukleidovský není, jelikož gravitace způsobuje zakřivení prostoru. Koncem 19. století byla formulace základů euklidovské geometrie zpřesněna Davidem Hilbertem, který doplnil tiché předpoklady držící teorii pohromadě. V práci Grundlagen der Geometrie (1899) formuloval devět základních nedefinovaných (tzv. primitivních) pojmů: bod, přímka, rovina, bod leží mezi dvěma body, bod leží na přímce, bod leží v rovině, přímka leží v rovině, shodnost úseček a shodnost úhlů; a dvacet axiomů, které se staly s vzorem pro vybudování bezesporné teorie z nezávislých axiomů Konstrukce Euklidovského prostoru Vycházíme z -dimenzionálního vektorového prostoru R, ve kterém zvolíme počátek P (tím získáme tzv. afinní prostor A, srovnej odstavec 1.20 Aplikace v analytické geometrii). Nic nám nebrání zvolit si počátek tak, aby platilo P = [ 0,0,0]. Další body vyrobíme z polohových vektorů v = V P. Souřadnice bodu V pak budou stejné jako souřadnice vektoru v. Nakonec ještě definujeme na R skalární součin, který nám umožní měřit délky a úhly. Skalárním součinem vektorů u = ( u1, u2, u) a v = ( v1, v2, v ) rozumíme reálné číslo u v = u1v1 + u2v2 + uv, (5.1) kde na pravé straně vystupuje součet tří obyčejných součinů reálných čísel. Díky tomu můžeme definovat velikost vektoru u = ( u1, u2, u) vzorcem u = u u = ( u1) + ( u2) + ( u), (5.2) což je pro vektor u = B A prostě vzdálenost dvou bodů A a B, Podobnými úvahami se nezávisle zabýval také János Bólyai, který je publikoval o něco později. Podobnými úvahami se zabýval také princ matematiků Carl Friedrich Gauss, ale ze strachu před kritikou a nepochopením své úvahy nepublikoval. E
3 2 2 2 v( A, B) = ( b1 a1 ) + ( b2 a2 ) + ( b a) (5.) Odchylku vektorů u = ( u1, u2, u) a v = ( v1, v2, v ) definujeme vzorcem u v cosϕ = (5.4) u v Afinní prostor s tímto skalárním součinem nazýváme Eukleidovským prostorem a značíme jej E. Konstrukci lze naprosto analogicky provést pro vektorový prostor libovolné konečné 2 n dimenze n. Tak obdržíme Eukleidovskou rovinu E i prostory vyšších dimenzí E. Poznamenejme ještě, že dnešní formulace je ekvivalentní výše uvedené formulaci Hilbertově. Geometrickou interpretaci skalárního součinu obdržíme z rovnice (5.4). Platí totiž, že u v = u v cosϕ. Zvolme vektor u tak, aby u = 1, pak u v = v cosϕ, viz obrázek 5.., tedy skalární součin je velikost kolmé projekce vektoru u do směru vektoru v. Obrázek 5..: Geometrický význam skalárního součinu 5.. Poznámka (vlastnosti skalárního součinu) (i) Je-li u v = 0, pak jsou vektory u a v navzájem kolmé. (ii) Skalární součin je komutativní, tedy u v = v u. (iii) Skalární součin je bilineární, tedy platí ( ku) v = k( u v), ( u + v) w = u w + v w. Dále proberme zajímavé vlastnosti Eukleidovských prostorů Existence kanonické báze V E existuje báze e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e = (0,0,1), pro kterou platí, že její vektory jsou navzájem kolmé ( e e = 0 pro i j ) a každý z nich má velikost rovnu jedné ( e e = 1 pro i j i = j ). O takových bázích říkáme, že jsou ortonormální a zkráceně to zapisujeme pomocí tzv. Kroneckerova symbolu i j
4 0 pro i j, ei e j = δij, kde δij = 1 pro i = j. Pro úplnost doplňme, že z libovolné báze Eukleidovského prostoru lze vyrobit ortonormální bázi. Postup převodu na ortonormální bázi se nazývá Gramm Schmidtův ortogonalizační proces Definice Vektorovým součinem vektorů u = ( u1, u2, u) a v = v1 v2 v (,, ) rozumíme vektor u2 u u u1 u1 u2 u v =,,. (5.5) v2 v v v1 v1 v2 Vektorový součin lze zapsat a spočítat pomocí determinantu e1 e2 e u v = u u u, (5.6) 1 2 v v v 1 2 který spočítáme rozvojem podle prvního řádku: e1 e2 e u2 u u1 u u1 u2 u1 u2 u = e1 e2 + e, v2 v v1 v v1 v2 v v v 1 2 odkud vyplývá křížové pravidlo (5.5). Vektorový součin je anti-komutativní a bilineární, tedy platí u v = v u, ( ku) v = k( u v), ( u + v) w = u w + v w. Jsou-li vektory u a v lineárně nezávislé, tvoří vektory u, v, u v pravotočivou (kladnou) bázi R. Platí, že u v u a zároveň u v v a pro velikost vektorového součinu platí vzorec u v = u v sinϕ. (5.7) Naopak jsou-li u a v lineárně závislé, platí ϕ = 0 a u v = o.
5 Obrázek 5.4.: Vektorový součin Rovnice (5.7) ukazuje na geometrický význam vektorového součinu: Velikost vektorového součinu vektorů u a v se rovná obsahu rovnoběžníka o stranách u a v. Díky tomu můžeme použít vektorový součin ke snadnému výpočtu obsahu trojúhelníka ABC v prostoru. Je-li a = C B, b = C A a c = B A, pak pro obsah ABC platí S = b c = a c = a b (5.8) Vektorový součin má také široké uplatnění ve fyzice: definuje se pomocí něj moment síly M = r F, v teorii elektromagnetismu se používá při definici Lorentzovy síly působící na elektricky nabitou částici F = q( E + v B). Dále se používá v definici diferenciálního operátoru rotace F, který vystupuje například Maxwellových rovnicích elektromagnetismu nebo ve Stokesově větě důležité pro výpočty vícenásobných integrálů v matematice a fyzice Definice Smíšeným součinem vektorů u = ( u1, u2, u), v = ( v1, v2, v ) u u u u ( v w) = v v v w w w 1 2 a w = w1 w2 w (,, ) rozumíme číslo (5.9) Geometricky je jeho význam dán významem determinantu na pravé straně rovnice (5.9), srov. odstavec.4. Tři vektory u, v, w nazýváme komplanární (leží v jedné rovině) právě tehdy, když u ( v w ) = 0. Je-li determinant roven nule, jsou jeho řádky lineárně závislé, a lze tedy některý z vektorů u, v, w napsat jako lineární kombinaci zbylých dvou vektorů. Absolutní hodnota smíšeného součinu vektorů u, v, w je rovna objemu hranolu jehož hrany tvoří umístění těchto vektorů. Pro objem čtyřstěnu ABCD, kde u = B A, v = C A, w = D A platí
6 1 V = 6 u ( v w). Smíšený součin se také využívá k sestavení obecné rovnice roviny v Převod parametrického vyjádření roviny na obecnou rovnici. (5.10) E, viz odstavec 5.12.: Lineární objekty v Eukleidovském prostoru: přímka a rovina V dalším se budeme zabývat dvěma významnými typy podprostorů v Eukleidovském prostoru, přímkou a rovinou. Pokusíme se je popsat jednak vektorově (parametricky), tedy jako množiny bodů, které lze sestrojit z jednoho bodu a jednoho (respektive v případě roviny dvou) vektorů pomocí jednoho čí dvou parametrů. Dále je popíšeme pomocí soustav lineárních rovnic. Body ležící v konkrétním podprostoru pak budou řešeními těchto rovnic, počet parametrů v řešení pak určí dimenzi a tedy i typ podprostoru Vektorové a parametrické vyjádření roviny Rovina α je v Eukleidovském prostoru E dána třemi body A, B, C, které neleží na jedné přímce. Z nich lze vyrobit dva lineárně nezávislé vektory, např. u = B A, v = C A. Bod X leží v rovině α (zapisujeme to X α ) právě tehdy, když je vektor AX lineární kombinací vektorů u a v, tedy když existují reálná čísla r, s (alespoň jedno z nich nenulové) tak, že X A = ru + sv. Odtud můžeme vyjádřit X a dostáváme vektorovou rovnici roviny α ABC ve tvaru X = A + ru + sv, kde r, s R. (5.11) Říkáme, že rovina α prochází bodem A a má zaměření u, v tvořené směrovými vektory u a v. Obrázek 5.5.: Rovina v Rovnice (5.11) vznikla z rovnosti dvou vektorů, proto musí platit pro každou jejich X = x, y, z, A = a, a, a, u = ( u, u, u ), v = ( v, v, v ), pak rozepsáním souřadnici. Je-li [ ] [ ] E vektorové rovnice pro jednotlivé souřadnice dostáváme tři rovnice tvořící parametrické vyjádření roviny α v E
7 ; x = a + ru + sv, y = a + ru + sv z = a + ru + sv, r, s R. Parametrické vyjádření rovnice není jednoznačné, mohu si zvolit libovolný bod, který leží v rovině a libovolné násobky dvou libovolných (avšak lineárně nezávislých) vektorů ze zaměření., (5.12) 5.8. Příklad Napište parametrické vyjádření roviny σ KLM, kde K = [ 1, 1,1 ], L = [ 1,0,1 ], M = [ 1,1,0 ] 5.9. Definice Mějme rovinu α se zaměřením u = ( u1, u2, u), v = ( v1, v2, v ) [,, ] procházející bodem A = a1 a2 a. Normálovým vektorem roviny α rozumíme vektor n = u v. (5.1) Vektor n je tedy kolmý na každý vektor ze zaměření roviny α, a navíc je určen jednoznačně až na reálný násobek. Tedy: jsou-li n 1, n dva normálové vektory roviny α, pak 2 n = kn Obecná rovnice roviny Mějme zadán normálový vektor n = ( a, b, c) Pro libovolný bod X [ x, y, z] roviny α procházející bodem A [ a, a, a ] =. 1 2 = patřící do roviny α platí, že n ( X A) = 0,. (5.14) a( x a ) + b( y a ) + c( z a ) = Označíme-li d = aa1 ba2 ca, můžeme rovnici přepsat do tvaru ax + by + cz + d = 0, (5.15) který nazýváme obecnou rovnicí roviny α Úsekový tvar rovnice Pro d 0 můžeme převést obecnou rovnici (5.15) na tzv. úsekový tvar x y z d d d + + = 1, kde px =, py =, pz =. (5.16) p p p a b c x y z
8 pro roviny, které nejsou rovnoběžné s žádnou souřadnicovou osou. Body Px = [ px,0,0 ], Py = 0, py,0 a P [ 0,0, ] z pz = jsou průsečíky roviny s jednotlivými souřadnicovými osami. Pro roviny rovnoběžné s některou ze souřadných os odpovídající průsečík neexistuje a v úsekovém tvaru rovnice chybí příslušný člen. S obecnou rovnicí roviny se většinou pracuje daleko lépe než s parametrickým vyjádřením, proto se naučíme mezi nimi volně přecházet Převod parametrického vyjádření roviny na obecnou rovnici (i) Mějme rovinu α se zaměřením u = ( u1, u2, u), v = ( v1, v2, v ) procházející bodem A = [ a1, a2, a ]. Jelikož n = u v, můžeme dosadit do rovnice (5.14) a díky komutativitě skalárního součinu můžeme levou stranu napsat jako smíšený součin ( X A) ( u v) = 0. Ten snadno vypočítáme pomocí determinantu a obecná rovnice získá tvar x a y a z a 1 2 u u u 1 2 v v v 1 2 = 0. (5.17) (ii) Pro rovinu α ABC má předchozí rovnice tvar AX ( AB AC) = 0. (iii) Obecnou rovnici lze také získat vyloučením parametrů z parametrického vyjádření (5.12). Ze tří rovnic o dvou parametrech můžeme pomocí vhodných elementárních úprav (zejména přičtení vhodného násobku jedné rovnice ke zbylým dvěma) získat dvě rovnice o jednom parametru, a jeho vyloučením získáme jednu rovnici, která má tvar (5.15) Příklad Převeďte parametrické vyjádření σ : x = 1 2 s, y = r + 2 s, z = 1 s, r, s R. roviny σ KLM z příkladu 5.8 na obecnou rovnici. (i) Dosazením bodu L = [ 1,0,1] a vektorů u = L K = (0,1,0) do předchozí rovnice (5.17) dostáváme a v = M K = ( 2, 2, 1),
9 (ii) Vyloučení parametrů: Vynecháním druhé rovnice (proč to smíme udělat?) získáme soustavu dvou rovnic o jenom parametru x = 1 2 s, z = 1 s, s R. Přičtením ( 2)-násobku druhé rovnice k první získáme obecnou rovnici ve tvaru x 2z = Příklad Nalezněte nějaké parametrické vyjádření roviny β : x 2y + 4z 1 = Vektorové a parametrické vyjádření přímky Vektorové a parametrické vyjádření přímky získáme velmi snadným zobecněním případu přímky v rovině známého ze střední školy, prostě jen přidáme třetí souřadnici. Přímka p je v Eukleidovském prostoru E dána dvěma různými body A = a, a, a, B = b, b, b,, které definují směrový vektor u = B A. Bod X leží na [ ] [ ] přímce p (zapisujeme to X p ) právě tehdy, když jsou vektory AX a u kolineární (lineárně závislé). V tom případě existuje reálné číslo k 0 tak, že X A = ku. Odtud můžeme vyjádřit X a dostáváme vektorovou rovnici přímky p AB X = A + ku, kde k R. (5.18) Rozepsáním vektorové rovnice pro jednotlivé souřadnice dostáváme tři rovnice tvořící parametrické vyjádření přímky p v E x = a + ku, 1 1 y = a + ku 2 2 z = a + ku, k R., Implicitní vyjádření přímky V Eukleidovském prostoru E neexistuje obecná rovnice přímky. Přímku lze ovšem definovat jako průsečnici dvou různoběžných rovin: Platí-li pro dvě různoběžné roviny α, α, že α1 α2 = p, nazýváme každou soustavu dvou rovnic ekvivalentní se soustavou 1 2 a x + b y + c z + d = 0, a2x + b2 y + c2z + d2 = 0, implicitním vyjádřením přímky p. Zdůrazněme ještě, že sni jedno vyjádření přímky není jednoznačné. (5.19)
10 5.17. Příklad Nalezněte parametrické a implicitní vyjádření přímky q CD, kde C = [ 2,9,] a D = [ 5,,11]. Doplňující zdroje: Online zdroje Literatura Burda, P., Havelek, R., Hradecká, R.: Algebra a analytická geometrie. VŠB-TU Ostrava, Vrbenská, H., Bělohlávková, J.: Základy matematiky pro bakaláře II. VŠB-TU Ostrava, 200. T. Gowers, Matematika. Průvodce pro každého (Dokořán, 2006). Kapitola 6. Geometrie. Eukleidés, Základy, Knihy I IV (OPS, 2008, 151 s.), Knihy V VI (2009, 12 s.), Knihy VII IX (2010, 191 s.), Knihy XI XII (2012, 152 s.).
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceEuklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)
Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
VíceEuklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3
Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Více1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Více1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
VíceAB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceVzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
VíceM - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceVEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat
VíceDá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory
Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,
VíceAnalytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
VíceAnalytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Víces p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu
MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky,
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceS T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více3. Analytická geometrie
3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VícePřednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
VíceAnalytická geometrie
Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění
VíceKolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceRovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Více1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
Více7.2.12 Vektorový součin I
7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceZákladní vlastnosti eukleidovského prostoru
Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceMetrické vlastnosti v prostoru
Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii
Více1.4. VEKTOROVÝ SOUČIN
.4. VEKTOROVÝ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: definici vektorového (také vnějšího) součinu, jeho vlastnosti a geometrický význam; co rozumíme pravotočivou ortonormální nebo ortogonální bází; definici
VíceM - Analytická geometrie pro třídu 4ODK
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceDefinice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více