ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE"

Transkript

1 ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010

2 2 Lineární rovnice a nerovnice Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Lineární rovnice a nerovnice 3 Obsah Lineární rovnice a nerovnice... 8 Lineární rovnice... 8 Lineární rovnice Lineární rovnice Lineární rovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Lineární rovnice s absolutní hodnotou Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 27

4 4 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Lineární nerovnice Lineární nerovnice Lineární nerovnice Lineární nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Rovnice v součinovém tvaru Rovnice v součinovém tvaru Rovnice v součinovém tvaru Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice... 45

5 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Umocňování rovnice Umocňování rovnice Umocňování rovnice Umocňování rovnice Řešení rovnic užitím substituce... 66

6 6 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnic užitím substituce Řešení rovnic užitím substituce Řešení rovnic užitím substituce Soustavy rovnic a nerovnic Lineární rovnice se dvěma neznámými Lineární rovnice se dvěma neznámými Lineární rovnice se dvěma neznámými Lineární rovnice se dvěma neznámými Lineární nerovnice se dvěma neznámými Lineární nerovnice se dvěma neznámými Lineární nerovnice se dvěma neznámými Lineární nerovnice se dvěma neznámými Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými

7 Lineární rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické. 106 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Soustavy lineárních nerovnic Soustavy lineárních nerovnic Soustavy lineárních nerovnic Soustavy lineárních nerovnic Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice s parametrem

8 8 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Základní pojmy Definice: Lineární rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,. Lineární rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: - Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. - Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice. - Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. - Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.

9 Lineární rovnice a nerovnice 9

10 10 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Řešte rovnici Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice :3 5 Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 3 0. [ ] 2) Řešte rovnici 0,1 0,02 0. [ ] 3) Řešte rovnici [1] 4) Řešte rovnici 0. [ ]

11 Lineární rovnice a nerovnice 11 Lineární rovnice Řešte rovnici Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice : 3 Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici [ ] 6) Řešte rovnici 0,1 0,2 1,1 0,4. [0,6] 7) Řešte rovnici [ 8) Řešte rovnici [NŘ]

12 12 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Řešte rovnici. Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů : Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici. 10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici.. [12] [NŘ] []. [14]

13 Lineární rovnice a nerovnice 13 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Základní pojmy Není-li uveden obor čísel, v němž hledáme řešení rovnice, míní se zpravidla obor všech reálných čísel. Velmi často se však stává (např. při řešení slovních úloh), že je obor řešení dané rovnice omezen (např. na kladná čísla, atd.). V praxi postupujeme tak, že danou rovnici vyřešíme v nejširším možném oboru () a řešení pak konfrontujeme s oborem, ve kterém rovnici řešíme. Dosazením čísla za neznámou na obou stranách rovnice se výrazy s proměnnou změní na číselné výrazy. Jsou-li hodnoty obou číselných výrazů stejné, je toto číslo řešením dané rovnice, v opačném případě nikoliv. V praxi postupujeme tak, že zvlášť určíme číselnou hodnotu výrazu na levé straně, zvlášť na pravé straně a pak hodnoty porovnáme. Tomuto postupu se říká zkouška při řešení rovnice. Pokud jsme při řešení rovnice používali pouze ekvivalentní úpravy, není zkouška nezbytnou součástí řešení rovnice.

14 14 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině racionálních čísel. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice : Řešením dané rovnice je iracionální číslo, řešení v množině racionálních čísel tedy neexistuje. Výsledek řešení: Řešení v množině racionálních čísel neexistuje. Příklady k procvičení: 1) Zjistěte, zda rovnice 2 0 má řešení v množině racionálních čísel. [Ano, ] 2) Zjistěte, zda rovnice 0,01 0,002 0 má řešení v množině celých čísel. [Ne] 3) Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině přirozených čísel. [Ano, 2] 4) Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině reálných čísel. [Ne]

15 Lineární rovnice a nerovnice 15 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešte rovnici a proveďte zkoušku. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice : 5 Zkouška: L P LP Výsledek řešení: 3 L P LP Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [ P ] 6) Řešte rovnici 0,2 0,4 1,6 0,3 a proveďte zkoušku. [0,5; LP0,5] 7) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [NŘ] 8) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [ 2; L P4 2]

16 16 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešte rovnici 7 2 a proveďte zkoušku. Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů L P : Výsledek řešení: L P Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici 10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. 24 a proveďte zkoušku. [4; LP5] [17; L P7] 10 a proveďte zkoušku. [8; L P0] 1 a proveďte zkoušku. [11; L P2]

17 Lineární rovnice a nerovnice 17 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Základní pojmy V rovnicích s neznámou ve jmenovateli se vyskytují lomené výrazy. Dříve, než takovou rovnici řešíme, určíme všechny podmínky, za kterých mají jednotlivé lomené výrazy smysl. Poté rovnici řešíme standardním způsobem, tj. odstraněním zlomků a následným řešením dalšími ekvivalentními úpravami. Výsledné řešení pak musíme konfrontovat se všemi podmínkami jednotlivých lomených výrazů. Každou lineární rovnici lze zapsat ve tvaru. Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: : : Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. Jelikož je grafem lineární funkce přímka, mohou pro vzájemnou polohu obou grafů a tedy i pro řešení lineární rovnice nastat tři případy: Přímky jsou různoběžné existuje jeden průsečík a rovnice má jedno řešení. Přímky jsou rovnoběžné různé neexistuje žádný průsečík a rovnice nemá řešení. Přímky jsou totožné existuje nekonečně mnoho společných bodů a rovnice má nekonečně mnoho řešení.

18 18 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte rovnici 0. Nejprve stanovíme podmínky, za kterých mají lomené výrazy, vyskytující se v rovnici, smysl Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice :2 4 Řešení není v rozporu s výše uvedenou podmínkou a je tedy řešením dané rovnice. Výsledek řešení: 4 Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 1. [7; 4] 2) Řešte rovnici 10. [ ; 5] 3) Řešte rovnici 4) Řešte rovnici 6. [NŘ; 3] 3. [8; 8]

19 Lineární rovnice a nerovnice 19 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte rovnici: Nejdříve stanovíme podmínky: : Výsledek řešení: 13 6 Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. 6) Řešte rovnici. [1; 0;1] [2; 0;8] 7) Řešte rovnici 1. [NŘ; 4] 8) Řešte rovnici. [ ; 2;6;3]

20 20 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte graficky rovnici 343. Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: : 3 : 4 3 Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. 2 Výsledek řešení:

21 Lineární rovnice a nerovnice 21 Příklady k procvičení: 9) Řešte graficky rovnici

22 22 Lineární rovnice a nerovnice 10) Řešte graficky rovnici

23 Lineární rovnice a nerovnice 23 11) Řešte graficky rovnici

24 24 Lineární rovnice a nerovnice 12) Řešte graficky rovnici NŘ

25 Lineární rovnice a nerovnice 25 Lineární rovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla je definována takto: a) pro 0 b) pro 0 Věta: Pro libovolná čísla, platí: 1.) 0 2.) 3.) 4.), 0 Poznámka: Číslo se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od počátku (tj. od obrazu čísla 0). Číslo se pro libovolná čísla, rovná vzdálenosti obrazů čísel a, b na číselné ose.

26 26 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici 3. Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení:, 3. Výsledek řešení:, Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 1. [1] 2) Řešte rovnici 12. [12] 3) Řešte rovnici 0. [0] 4) Řešte rovnici 1. [NŘ]

27 Lineární rovnice a nerovnice 27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici 1 3. Absolutní hodnota z čísla 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení: 2, 4. Výsledek řešení:, Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici [7, 15] 6) Řešte rovnici 1 5. [4, 6] 7) Řešte rovnici 1 2. [3, 1] 8) Řešte rovnici 1 3. [NŘ]

28 28 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici Řešení rovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: 1, ; ;1 1; I. II. III. V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární rovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I :3 5 3 ; 3 2

29 Lineární rovnice a nerovnice 29 II ;1 III :3 11; Řešení mají tedy rovnice pouze v intervalech I. a II. Původní rovnice má tak dvě řešení. Množinu řešení můžeme zapsat ve tvaru ; 1. Výsledek řešení: 5 3 ;1 Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici ; 10) Řešte rovnici ) Řešte rovnici ) Řešte rovnici ;

30 30 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice Základní pojmy Definice: Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů: a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, kde,. Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!

31 Lineární rovnice a nerovnice 31 Lineární nerovnice Řešte rovnici Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice :2 5 Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ;. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 2 0. [ ; ] 2) Řešte rovnici 0,1 0, [ ; ] 3) Řešte rovnici [ ; ] 4) Řešte rovnici 0. [ ; ]

32 32 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice Řešte rovnici Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od nerovnice : 6 Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ;. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici [ ; ] 6) Řešte rovnici 0,1 0,3 1,1 0,7. [; ] 7) Řešte rovnici [ ; ] 8) Řešte rovnici []

33 Lineární rovnice a nerovnice 33 Lineární nerovnice Řešte rovnici 7. Vyskytují-li se v lineární nerovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany nerovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů : Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ;. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici ) Řešte nerovnici 11) Řešte nerovnici 12) Řešte nerovnici. [ ; ] [NŘ]. []. [ ; ]

34 34 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla je definována takto: c) pro 0 d) pro 0 Věta: Pro libovolná čísla, platí: 5.) 0 6.) 7.) 8.), 0 Poznámka: Číslo se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od počátku (tj. od obrazu čísla 0). Číslo se pro libovolná čísla, rovná vzdálenosti obrazů čísel a, b na číselné ose.

35 Lineární rovnice a nerovnice 35 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici 3. Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Průnik tohoto kruhu s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. K Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je interval: 3; 3. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnici 1. [1; 1] 2) Řešte nerovnici 12. [ ; 12 12; ] 3) Řešte nerovnici 0. [NŘ] 4) Řešte nerovnici 1. []

36 36 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici 1 3. Absolutní hodnota z čísla 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Průnik vnější části tohoto kruhu a jeho hraniční kružnice s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. K Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je sjednocení intervalů: ; 2 4;. Výsledek řešení: ; ; Příklady k procvičení: 5) Řešte nerovnici [ ; 7 15; ] 6) Řešte nerovnici 1 5. [6; 4] 7) Řešte nerovnici 1 2. [ ; 1 3; ] 8) Řešte nerovnici 1 3. [NŘ]

37 Lineární rovnice a nerovnice 37 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici Řešení nerovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: 1, ; ;1 1; I. II. III. V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární nerovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I :3 5 3 ; 5 3

38 38 Lineární rovnice a nerovnice Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: ; 5 3 ; 3 2 ; 5 3 II ; Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: III. 1; 3 ; :3 1 1; Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: 1; 1; 1; Řešením původní nerovnice je pak sjednocení jednotlivých dílčích řešení jednotlivých intervalů: ; ; ; 5 1; 3 Výsledek řešení: ; 5 1; 3

39 Lineární rovnice a nerovnice 39 Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici ; ; 10) Řešte nerovnici ) Řešte nerovnici 3 2. ; 12) Řešte nerovnici ; ;

40 40 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Základní pojmy Definice: Rovnicí v součinovém tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde výrazy,,, jsou lineární dvojčleny. Rovnicí v součinovém tvaru dále nazýváme každou rovnici, kterou lze převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení těchto rovnic využíváme poznatek, že součin dvou anebo více výrazů je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden výraz je roven nule.

41 Lineární rovnice a nerovnice 41 Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 10, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 10;. Výsledek řešení: 10; 1 2 Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici [ 5; ] 2) Řešte rovnici 2 0. [0; ] 3) Řešte rovnici [4; ] 4) Řešte rovnici [ ; ]

42 42 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici 250. Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru:. Je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 5, řešením druhé lineární rovnice číslo 5. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 5; 5. Výsledek řešení: 5; 5 Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici [ ; ] 6) Řešte rovnici 20. [ 2; 2] 7) Řešte rovnici [ ; ] 8) Řešte rovnici [ 3; 3]

43 Lineární rovnice a nerovnice 43 Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici Rovnice nejdříve převedeme pomocí ekvivalentních do anulovaného tvaru: Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin vytknutím před závorku do následujícího tvaru: Je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b).. Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 0;. Výsledek řešení: 0; 15 8 Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici [1; 1] 10) Řešte rovnici [4; 5] 11) Řešte rovnici [ ; ] 12) Řešte rovnici [NŘ]

44 44 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,, ; 0. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Věta: Řešení kvadratické rovnice 0 je určeno následujícím vztahem:, 4 2 Poznámka 1: Výraz 4 nazýváme diskriminant kvadratické rovnice a podle jeho hodnoty mohou pro řešení kvadratické rovnice nastat tři možnosti: a) 0 - rovnice má v oboru dvě různá řešení, b) 0 - rovnice má v oboru jedno dvojnásobné řešení, c) 0 - rovnice nemá v oboru žádné řešení. Poznámka 2: Podle výše uvedeného vztahu lze řešit libovolnou kvadratickou rovnici. Existují však speciální typy kvadratických rovnic, které lze řešit i jiným (zpravidla jednodušším) způsobem. Mezi tyto speciální typy řadíme nejčastěji tzv. neúplné kvadratické rovnice: a) Rovnice 0 se nazývá rovnice bez absolutního členu a s výhodou ji řešíme převedením na součinový tvar vytknutím. b) Rovnice 0 se nazývá ryze kvadratická rovnice a výhodou ji řešíme převedením na součinový tvar pomocí vzorce (pokud je to možné).

45 Lineární rovnice a nerovnice 45 Kvadratická rovnice Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar: Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: c) 0, nebo d) Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 0;. Výsledek řešení: 0; 5 4 Příklady k procvičení: 1) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu [ 0; ] 2) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 0. [ 0; ] 3) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 20. [ 0; ] 4) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 0,1 1,50. [ 0; 15]

46 46 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Řešte ryze kvadratickou rovnici Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: Je roven nule právě tehdy, když: c) 2 5 0, nebo d) Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru ;. Výsledek řešení: 5 2 ; 5 2 Příklady k procvičení: 5) Řešte ryze kvadratickou rovnici [ ; ] 6) Řešte ryze kvadratickou rovnici [ ; ] 7) Řešte ryze kvadratickou rovnici [ ; ] 8) Řešte ryze kvadratickou rovnici 490. [NŘ, výraz nelze rozložit na součin podle vzorce]

47 Lineární rovnice a nerovnice 47 Kvadratická rovnice Řešte kvadratickou rovnici Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: 1, 7, 30. Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme:, , ; Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 10; 3. Výsledek řešení: 10; 3 Příklady k procvičení: 9) Řešte kvadratickou rovnici [ 12; 10] 10) Řešte kvadratickou rovnici [NŘ] 11) Řešte kvadratickou rovnici 0. [ 5; 5; 1; 3] 12) Řešte kvadratickou rovnici 210. [ 1]

48 48 Lineární rovnice a nerovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,, ; 0. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Věta 1: Pro kořeny, kvadratické rovnice 0 platí následující vztahy:,. Věta 2: Jsou-li čísla, kořeny kvadratické rovnice 0, pak platí:. Uvedenému výrazu na pravé straně rovnosti říkáme rozklad kvadratického trojčlenu na kořenové činitele.

49 Lineární rovnice a nerovnice 49 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 560. Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme:,,. Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: b c Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je 5 a součin 6. Takovým podmínkám vyhovují čísla 2 a 3. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 2; 3. Výsledek řešení: 2; 3 Příklady k procvičení: 1) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice [5; 6] 2) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 20. [1; 2] 3) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice [3; 4] 4) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 560. [2; 3]

50 50 Lineární rovnice a nerovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2 3. Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: b 23b Úpravou uvedených vztahů dostáváme: c 2 3c a b 1b 11 1 c 6c 6 1 Prostým srovnáním zlomků na levé a pravé straně obou rovností dostáváme:,, Kvadratickou rovnici tedy můžeme psát ve tvaru: 60. Výsledek řešení: 60 Příklady k procvičení: 5) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 5. [ ] 6) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 0. [3 20] 7) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2 2. [ 40] 8) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny [ 410]

51 Lineární rovnice a nerovnice 51 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Kvadratický trojčlen 730 rozložte na součin kořenových činitelů. Srovnáním kvadratického trojčlenu s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme:,,. Dosazením do vzorce pro řešení příslušné kvadratické rovnice dostáváme:, , Kvadratický trojčlen lze tedy psát ve tvaru: Po úpravě: ; Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 9) Kvadratický trojčlen rozložte na součin kořenových činitelů. [ ] 10) Kvadratický trojčlen 720 rozložte na součin kořenových činitelů. [nelze rozložit] 11) Kvadratický trojčlen 0 5 rozložte na součin kořenových činitelů. [ ] 12) Kvadratický trojčlen 21 rozložte na součin kořenových činitelů. [ ]

52 52 Lineární rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,, ; 0. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Vydělíme-li kvadratickou rovnici číslem a, dostáváme kvadratickou rovnici v tzv. normovaném tvaru. Definice: Kvadratickou rovnicí v normovaném tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,. Takovou rovnici pak lze psát v následujícím tvaru: Jedná se vlastně o rovnost dvou funkcí, funkce kvadratické na straně levé a funkce lineární na straně pravé. Znázorníme-li grafy obou funkcí do jednoho obrázku, je řešením původní kvadratické rovnice x-ová souřadnice průsečíků obou grafů. Uvedený postup je návodem na grafické řešení kvadratické rovnice.

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je: 9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace

Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace STUDIJNÍ OPORA DISTANČNÍHO VZDĚLÁVÁNÍ ZÁKLADNÍ PRAVIDLA VÝPOČTU MATEMATICKÝCH ÚLOH ROVNICE A NEROVNICE MICHAL VAVROŠ Ostrava 006 Zpracoval:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

4 Rovnice a nerovnice

4 Rovnice a nerovnice 36 Rovnice a nerovnice 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice a jejich soustavy Požadované dovednosti řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

Tematická oblast: Rovnice (VY_32_INOVACE_05_1)

Tematická oblast: Rovnice (VY_32_INOVACE_05_1) Tematická oblast: (VY_32_INOVACE_05_1) Autor: RNDr. Yvetta Bartáková, Mgr. Petra Drápelová, Mgr. Jaroslava Vrbková, Mgr. Jarmila Zelená Vytvořeno: 2013-2014 Anotace: Digitální učební materiály slouží k

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic .3.0 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

ŠABLONY INOVACE OBSAH UČIVA

ŠABLONY INOVACE OBSAH UČIVA ŠABLONY INOVACE OBSAH UČIVA Číslo a název projektu CZ.1.07/1.5.00/34. 0185 Moderní škola 21. století Číslo a název šablony IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické klíčové aktivity

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více