ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE"

Transkript

1 ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010

2 2 Lineární rovnice a nerovnice Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Lineární rovnice a nerovnice 3 Obsah Lineární rovnice a nerovnice... 8 Lineární rovnice... 8 Lineární rovnice Lineární rovnice Lineární rovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Lineární rovnice s absolutní hodnotou Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 27

4 4 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Lineární nerovnice Lineární nerovnice Lineární nerovnice Lineární nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Rovnice v součinovém tvaru Rovnice v součinovém tvaru Rovnice v součinovém tvaru Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice... 45

5 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Umocňování rovnice Umocňování rovnice Umocňování rovnice Umocňování rovnice Řešení rovnic užitím substituce... 66

6 6 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnic užitím substituce Řešení rovnic užitím substituce Řešení rovnic užitím substituce Soustavy rovnic a nerovnic Lineární rovnice se dvěma neznámými Lineární rovnice se dvěma neznámými Lineární rovnice se dvěma neznámými Lineární rovnice se dvěma neznámými Lineární nerovnice se dvěma neznámými Lineární nerovnice se dvěma neznámými Lineární nerovnice se dvěma neznámými Lineární nerovnice se dvěma neznámými Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými

7 Lineární rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické. 106 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Soustavy lineárních nerovnic Soustavy lineárních nerovnic Soustavy lineárních nerovnic Soustavy lineárních nerovnic Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice s parametrem

8 8 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice s parametrem Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Základní pojmy Definice: Lineární rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,. Lineární rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: - Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. - Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice. - Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. - Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.

9 Lineární rovnice a nerovnice 9

10 10 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Řešte rovnici Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice :3 5 Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 3 0. [ ] 2) Řešte rovnici 0,1 0,02 0. [ ] 3) Řešte rovnici [1] 4) Řešte rovnici 0. [ ]

11 Lineární rovnice a nerovnice 11 Lineární rovnice Řešte rovnici Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice : 3 Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici [ ] 6) Řešte rovnici 0,1 0,2 1,1 0,4. [0,6] 7) Řešte rovnici [ 8) Řešte rovnici [NŘ]

12 12 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Řešte rovnici. Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů : Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici. 10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici.. [12] [NŘ] []. [14]

13 Lineární rovnice a nerovnice 13 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Základní pojmy Není-li uveden obor čísel, v němž hledáme řešení rovnice, míní se zpravidla obor všech reálných čísel. Velmi často se však stává (např. při řešení slovních úloh), že je obor řešení dané rovnice omezen (např. na kladná čísla, atd.). V praxi postupujeme tak, že danou rovnici vyřešíme v nejširším možném oboru () a řešení pak konfrontujeme s oborem, ve kterém rovnici řešíme. Dosazením čísla za neznámou na obou stranách rovnice se výrazy s proměnnou změní na číselné výrazy. Jsou-li hodnoty obou číselných výrazů stejné, je toto číslo řešením dané rovnice, v opačném případě nikoliv. V praxi postupujeme tak, že zvlášť určíme číselnou hodnotu výrazu na levé straně, zvlášť na pravé straně a pak hodnoty porovnáme. Tomuto postupu se říká zkouška při řešení rovnice. Pokud jsme při řešení rovnice používali pouze ekvivalentní úpravy, není zkouška nezbytnou součástí řešení rovnice.

14 14 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině racionálních čísel. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice : Řešením dané rovnice je iracionální číslo, řešení v množině racionálních čísel tedy neexistuje. Výsledek řešení: Řešení v množině racionálních čísel neexistuje. Příklady k procvičení: 1) Zjistěte, zda rovnice 2 0 má řešení v množině racionálních čísel. [Ano, ] 2) Zjistěte, zda rovnice 0,01 0,002 0 má řešení v množině celých čísel. [Ne] 3) Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině přirozených čísel. [Ano, 2] 4) Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině reálných čísel. [Ne]

15 Lineární rovnice a nerovnice 15 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešte rovnici a proveďte zkoušku. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice : 5 Zkouška: L P LP Výsledek řešení: 3 L P LP Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [ P ] 6) Řešte rovnici 0,2 0,4 1,6 0,3 a proveďte zkoušku. [0,5; LP0,5] 7) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [NŘ] 8) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [ 2; L P4 2]

16 16 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešte rovnici 7 2 a proveďte zkoušku. Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů L P : Výsledek řešení: L P Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici 10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. 24 a proveďte zkoušku. [4; LP5] [17; L P7] 10 a proveďte zkoušku. [8; L P0] 1 a proveďte zkoušku. [11; L P2]

17 Lineární rovnice a nerovnice 17 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Základní pojmy V rovnicích s neznámou ve jmenovateli se vyskytují lomené výrazy. Dříve, než takovou rovnici řešíme, určíme všechny podmínky, za kterých mají jednotlivé lomené výrazy smysl. Poté rovnici řešíme standardním způsobem, tj. odstraněním zlomků a následným řešením dalšími ekvivalentními úpravami. Výsledné řešení pak musíme konfrontovat se všemi podmínkami jednotlivých lomených výrazů. Každou lineární rovnici lze zapsat ve tvaru. Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: : : Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. Jelikož je grafem lineární funkce přímka, mohou pro vzájemnou polohu obou grafů a tedy i pro řešení lineární rovnice nastat tři případy: Přímky jsou různoběžné existuje jeden průsečík a rovnice má jedno řešení. Přímky jsou rovnoběžné různé neexistuje žádný průsečík a rovnice nemá řešení. Přímky jsou totožné existuje nekonečně mnoho společných bodů a rovnice má nekonečně mnoho řešení.

18 18 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte rovnici 0. Nejprve stanovíme podmínky, za kterých mají lomené výrazy, vyskytující se v rovnici, smysl Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice :2 4 Řešení není v rozporu s výše uvedenou podmínkou a je tedy řešením dané rovnice. Výsledek řešení: 4 Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 1. [7; 4] 2) Řešte rovnici 10. [ ; 5] 3) Řešte rovnici 4) Řešte rovnici 6. [NŘ; 3] 3. [8; 8]

19 Lineární rovnice a nerovnice 19 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte rovnici: Nejdříve stanovíme podmínky: : Výsledek řešení: 13 6 Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. 6) Řešte rovnici. [1; 0;1] [2; 0;8] 7) Řešte rovnici 1. [NŘ; 4] 8) Řešte rovnici. [ ; 2;6;3]

20 20 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte graficky rovnici 343. Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: : 3 : 4 3 Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. 2 Výsledek řešení:

21 Lineární rovnice a nerovnice 21 Příklady k procvičení: 9) Řešte graficky rovnici

22 22 Lineární rovnice a nerovnice 10) Řešte graficky rovnici

23 Lineární rovnice a nerovnice 23 11) Řešte graficky rovnici

24 24 Lineární rovnice a nerovnice 12) Řešte graficky rovnici NŘ

25 Lineární rovnice a nerovnice 25 Lineární rovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla je definována takto: a) pro 0 b) pro 0 Věta: Pro libovolná čísla, platí: 1.) 0 2.) 3.) 4.), 0 Poznámka: Číslo se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od počátku (tj. od obrazu čísla 0). Číslo se pro libovolná čísla, rovná vzdálenosti obrazů čísel a, b na číselné ose.

26 26 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici 3. Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení:, 3. Výsledek řešení:, Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 1. [1] 2) Řešte rovnici 12. [12] 3) Řešte rovnici 0. [0] 4) Řešte rovnici 1. [NŘ]

27 Lineární rovnice a nerovnice 27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici 1 3. Absolutní hodnota z čísla 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení: 2, 4. Výsledek řešení:, Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici [7, 15] 6) Řešte rovnici 1 5. [4, 6] 7) Řešte rovnici 1 2. [3, 1] 8) Řešte rovnici 1 3. [NŘ]

28 28 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici Řešení rovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: 1, ; ;1 1; I. II. III. V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární rovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I :3 5 3 ; 3 2

29 Lineární rovnice a nerovnice 29 II ;1 III :3 11; Řešení mají tedy rovnice pouze v intervalech I. a II. Původní rovnice má tak dvě řešení. Množinu řešení můžeme zapsat ve tvaru ; 1. Výsledek řešení: 5 3 ;1 Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici ; 10) Řešte rovnici ) Řešte rovnici ) Řešte rovnici ;

30 30 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice Základní pojmy Definice: Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů: a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, kde,. Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!

31 Lineární rovnice a nerovnice 31 Lineární nerovnice Řešte rovnici Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice :2 5 Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ;. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 2 0. [ ; ] 2) Řešte rovnici 0,1 0, [ ; ] 3) Řešte rovnici [ ; ] 4) Řešte rovnici 0. [ ; ]

32 32 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice Řešte rovnici Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od nerovnice : 6 Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ;. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici [ ; ] 6) Řešte rovnici 0,1 0,3 1,1 0,7. [; ] 7) Řešte rovnici [ ; ] 8) Řešte rovnici []

33 Lineární rovnice a nerovnice 33 Lineární nerovnice Řešte rovnici 7. Vyskytují-li se v lineární nerovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany nerovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů : Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ;. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici ) Řešte nerovnici 11) Řešte nerovnici 12) Řešte nerovnici. [ ; ] [NŘ]. []. [ ; ]

34 34 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla je definována takto: c) pro 0 d) pro 0 Věta: Pro libovolná čísla, platí: 5.) 0 6.) 7.) 8.), 0 Poznámka: Číslo se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od počátku (tj. od obrazu čísla 0). Číslo se pro libovolná čísla, rovná vzdálenosti obrazů čísel a, b na číselné ose.

35 Lineární rovnice a nerovnice 35 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici 3. Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Průnik tohoto kruhu s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. K Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je interval: 3; 3. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnici 1. [1; 1] 2) Řešte nerovnici 12. [ ; 12 12; ] 3) Řešte nerovnici 0. [NŘ] 4) Řešte nerovnici 1. []

36 36 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici 1 3. Absolutní hodnota z čísla 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Průnik vnější části tohoto kruhu a jeho hraniční kružnice s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. K Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je sjednocení intervalů: ; 2 4;. Výsledek řešení: ; ; Příklady k procvičení: 5) Řešte nerovnici [ ; 7 15; ] 6) Řešte nerovnici 1 5. [6; 4] 7) Řešte nerovnici 1 2. [ ; 1 3; ] 8) Řešte nerovnici 1 3. [NŘ]

37 Lineární rovnice a nerovnice 37 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici Řešení nerovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: 1, ; ;1 1; I. II. III. V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární nerovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I :3 5 3 ; 5 3

38 38 Lineární rovnice a nerovnice Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: ; 5 3 ; 3 2 ; 5 3 II ; Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: III. 1; 3 ; :3 1 1; Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: 1; 1; 1; Řešením původní nerovnice je pak sjednocení jednotlivých dílčích řešení jednotlivých intervalů: ; ; ; 5 1; 3 Výsledek řešení: ; 5 1; 3

39 Lineární rovnice a nerovnice 39 Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici ; ; 10) Řešte nerovnici ) Řešte nerovnici 3 2. ; 12) Řešte nerovnici ; ;

40 40 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Základní pojmy Definice: Rovnicí v součinovém tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde výrazy,,, jsou lineární dvojčleny. Rovnicí v součinovém tvaru dále nazýváme každou rovnici, kterou lze převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení těchto rovnic využíváme poznatek, že součin dvou anebo více výrazů je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden výraz je roven nule.

41 Lineární rovnice a nerovnice 41 Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 10, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 10;. Výsledek řešení: 10; 1 2 Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici [ 5; ] 2) Řešte rovnici 2 0. [0; ] 3) Řešte rovnici [4; ] 4) Řešte rovnici [ ; ]

42 42 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici 250. Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru:. Je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 5, řešením druhé lineární rovnice číslo 5. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 5; 5. Výsledek řešení: 5; 5 Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici [ ; ] 6) Řešte rovnici 20. [ 2; 2] 7) Řešte rovnici [ ; ] 8) Řešte rovnici [ 3; 3]

43 Lineární rovnice a nerovnice 43 Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici Rovnice nejdříve převedeme pomocí ekvivalentních do anulovaného tvaru: Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin vytknutím před závorku do následujícího tvaru: Je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b).. Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 0;. Výsledek řešení: 0; 15 8 Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici [1; 1] 10) Řešte rovnici [4; 5] 11) Řešte rovnici [ ; ] 12) Řešte rovnici [NŘ]

44 44 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,, ; 0. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Věta: Řešení kvadratické rovnice 0 je určeno následujícím vztahem:, 4 2 Poznámka 1: Výraz 4 nazýváme diskriminant kvadratické rovnice a podle jeho hodnoty mohou pro řešení kvadratické rovnice nastat tři možnosti: a) 0 - rovnice má v oboru dvě různá řešení, b) 0 - rovnice má v oboru jedno dvojnásobné řešení, c) 0 - rovnice nemá v oboru žádné řešení. Poznámka 2: Podle výše uvedeného vztahu lze řešit libovolnou kvadratickou rovnici. Existují však speciální typy kvadratických rovnic, které lze řešit i jiným (zpravidla jednodušším) způsobem. Mezi tyto speciální typy řadíme nejčastěji tzv. neúplné kvadratické rovnice: a) Rovnice 0 se nazývá rovnice bez absolutního členu a s výhodou ji řešíme převedením na součinový tvar vytknutím. b) Rovnice 0 se nazývá ryze kvadratická rovnice a výhodou ji řešíme převedením na součinový tvar pomocí vzorce (pokud je to možné).

45 Lineární rovnice a nerovnice 45 Kvadratická rovnice Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar: Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: c) 0, nebo d) Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 0;. Výsledek řešení: 0; 5 4 Příklady k procvičení: 1) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu [ 0; ] 2) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 0. [ 0; ] 3) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 20. [ 0; ] 4) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 0,1 1,50. [ 0; 15]

46 46 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Řešte ryze kvadratickou rovnici Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: Je roven nule právě tehdy, když: c) 2 5 0, nebo d) Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru ;. Výsledek řešení: 5 2 ; 5 2 Příklady k procvičení: 5) Řešte ryze kvadratickou rovnici [ ; ] 6) Řešte ryze kvadratickou rovnici [ ; ] 7) Řešte ryze kvadratickou rovnici [ ; ] 8) Řešte ryze kvadratickou rovnici 490. [NŘ, výraz nelze rozložit na součin podle vzorce]

47 Lineární rovnice a nerovnice 47 Kvadratická rovnice Řešte kvadratickou rovnici Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: 1, 7, 30. Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme:, , ; Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 10; 3. Výsledek řešení: 10; 3 Příklady k procvičení: 9) Řešte kvadratickou rovnici [ 12; 10] 10) Řešte kvadratickou rovnici [NŘ] 11) Řešte kvadratickou rovnici 0. [ 5; 5; 1; 3] 12) Řešte kvadratickou rovnici 210. [ 1]

48 48 Lineární rovnice a nerovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,, ; 0. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Věta 1: Pro kořeny, kvadratické rovnice 0 platí následující vztahy:,. Věta 2: Jsou-li čísla, kořeny kvadratické rovnice 0, pak platí:. Uvedenému výrazu na pravé straně rovnosti říkáme rozklad kvadratického trojčlenu na kořenové činitele.

49 Lineární rovnice a nerovnice 49 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 560. Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme:,,. Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: b c Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je 5 a součin 6. Takovým podmínkám vyhovují čísla 2 a 3. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 2; 3. Výsledek řešení: 2; 3 Příklady k procvičení: 1) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice [5; 6] 2) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 20. [1; 2] 3) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice [3; 4] 4) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 560. [2; 3]

50 50 Lineární rovnice a nerovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2 3. Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: b 23b Úpravou uvedených vztahů dostáváme: c 2 3c a b 1b 11 1 c 6c 6 1 Prostým srovnáním zlomků na levé a pravé straně obou rovností dostáváme:,, Kvadratickou rovnici tedy můžeme psát ve tvaru: 60. Výsledek řešení: 60 Příklady k procvičení: 5) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 5. [ ] 6) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 0. [3 20] 7) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2 2. [ 40] 8) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny [ 410]

51 Lineární rovnice a nerovnice 51 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Kvadratický trojčlen 730 rozložte na součin kořenových činitelů. Srovnáním kvadratického trojčlenu s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme:,,. Dosazením do vzorce pro řešení příslušné kvadratické rovnice dostáváme:, , Kvadratický trojčlen lze tedy psát ve tvaru: Po úpravě: ; Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 9) Kvadratický trojčlen rozložte na součin kořenových činitelů. [ ] 10) Kvadratický trojčlen 720 rozložte na součin kořenových činitelů. [nelze rozložit] 11) Kvadratický trojčlen 0 5 rozložte na součin kořenových činitelů. [ ] 12) Kvadratický trojčlen 21 rozložte na součin kořenových činitelů. [ ]

52 52 Lineární rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,, ; 0. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Vydělíme-li kvadratickou rovnici číslem a, dostáváme kvadratickou rovnici v tzv. normovaném tvaru. Definice: Kvadratickou rovnicí v normovaném tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,. Takovou rovnici pak lze psát v následujícím tvaru: Jedná se vlastně o rovnost dvou funkcí, funkce kvadratické na straně levé a funkce lineární na straně pravé. Znázorníme-li grafy obou funkcí do jednoho obrázku, je řešením původní kvadratické rovnice x-ová souřadnice průsečíků obou grafů. Uvedený postup je návodem na grafické řešení kvadratické rovnice.

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

4.3.2 Goniometrické nerovnice

4.3.2 Goniometrické nerovnice 4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakalářská práce Zuzana Michalovičová Metody řešení rovnic a nerovnic Olomouc 014 Vedoucí práce: Mgr. Jitka Hodaňová, Ph.D. Prohlašuji,

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

9. Soustava lineárních rovnic

9. Soustava lineárních rovnic @097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/01 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 1. Počet hodin 4 Počet hodin celkem: 136 týdně: Tento plán vychází z Rámcového vzdělávacího programu

Více

Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků

Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků @00. Základní poznatky Umět řešit rovnice a nerovnice je jedna ze stěžejních úloh středoškolské matematiky. Řešit bez problémů základní rovnice by měl umět každý středoškolák, který získal maturitu (jakoukoli,

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou

4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou @04 4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou rovnice Když se řekne s racionalitou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje nějaký zlomek a neznámá je ve jmenovateli zlomku. Na co si dát pozor? u rovnic je

Více

Lineární rovnice pro učební obory

Lineární rovnice pro učební obory Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÁ

Více

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: Metoda sčítací

Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: Metoda sčítací Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: a Sčítací b Dosazovací c Substituce Metoda sčítací Cílem sčítací metody je sečíst 2 rovnice tak, aby se eliminovala odstranila jedna neznámá! Vždy se

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou

Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou 1 Identifikační údaje školy Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace VÝUKOVÝ MATERIÁL

Více

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více