FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 1 0 Typeset by L A TEX 2ε 0 c V. Tryhuk, O. Dlouhý 2004

3 2

4 Obsah Úvod 5 Cíle Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Vybrané části vektorového počtu Operace s geometrickými vektory ve V (E 3 ) Poznámka k označení Lineární nezávislost vektorů Součiny vektorů Skalární součin vektorů Vektorový součin vektorů Smíšený součin vektorů Dvojný vektorový součin vektorů Důležité identity Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii Sinová věta pro sférický trojúhelník První kosinová věta pro sférický trojúhelník Lineární prostor, báze a dimenze Vektory v ortonormální bázi Skalární součin v ortonormální bázi Vektorový součin v ortonormální bázi Smíšený součin v ortonormální bázi Některé aplikace vektorového počtu Vektory v souřadnicové soustavě prostoru E Rovina v E Přímka v E Úlohy metrické Vzdálenost bodu od roviny Vzdálenost bodu od přímky Úhel dvou rovin

5 4 OBSAH Úhel dvou přímek Úhel přímky a roviny Úlohy polohy Vzájemná poloha dvou rovin Vzájemná poloha přímky a roviny Vzájemná poloha dvou přímek Příčky a osa mimoběžek Vlastní čísla a vlastní vektory Rejstřík 53 Literatura 53

6 Úvod Cíle Cílem našeho textu není přesné formální vybudování základů vektorové algebry a analytické geometrie v trojrozměrném prostoru. Naopak, chceme pouze vytvořit doplněk textů již napsaných pro studenty kombinované formy studia, který bude reagovat na potřeby studijního programu geodézie a kartografie. V úvodní části modulu se budeme věnovat vektorové algebře, v níž zvolíme poněkud odlišný přístup od modulu BA01 M02 určeného pro obecné zaměření kombinované formy studia. Dáme přednost geometrickému a fyzikálnímu popisu vektorových operací, které navíc nebudeme studovat od začátku v ortonormální bázi. V odpovídajících číselně vyjádřených odstavcích textu jsou stanoveny následující cíle: 1.1 Připomenout základní operace s geometrickými vektory. Je potřebné pochopit geometrickou interpretaci pojmů vektory kolineární (nekolineární), vektory komplanární (nekomplanární) a naučit se s nimi pracovat. 1.2 Jedná se o nejdůležitější odstavec celého modulu. Je potřebné pochopit skalární, vektorový i smíšený součin vektorů včetně vytvoření geometrické představy o významu a možnostech použití těchto pojmů. Jedná se o základní stavební prvky dalších následujících odstavců modulu. 1.3 Odstavec obsahuje základní potřebné pojmy sférické trigonometrie, se kterými je potřebné se do detailů seznámit. Odvozování vzorců není samoúčelné, je zkouškou pochopení obsahu odstavce Pojmy používané v prvních třech odstavcích zobecníme na úroveň, která se standardně používá nejen v matematické literatuře. Potřebné je vytvořit si představu o obsahu pojmu lineární prostor a především pochopit pojmy báze a dimenze lineárního prostoru. 1.5 Studijní zaměření geodézie a kartografie pracuje s vektory nezávisle na volbě souřadnicových soustav. V odstavci se seznámíte s ortonormálními bázemi ve třírozměrném prostoru a aritmetikou počítání s vektory v ortonormální bázi.

7 6 OBSAH 1.6 Cílem odstavce je prohloubit pochopení analytické geometrie v prostoru. Důsledně jsou aplikovány skalární, vektorový a smíšený součin vektorů na metodiku řešení úloh i výpočetní postupy. Přístup se odlišuje od pojetí používaného na středních školách. Pečlivě si proto promyslete a propočítejte i řešené příklady tohoto odstavce. 1.7 Prostudujte si motivační příklad, který pro vás může být v budoucnu užitečný. Odstavec obsahuje základní pojmy nezbytné pro zvládnutí výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů matice. Je potřebné zvládnout techniku výpočtu. V jednom z dalších modulů se seznámíte s rozklady polynomů, které vám umožní zvolit si i jinou metodiku řešení příkladů. Požadované znalosti Znalost geometrických vektorů a základů analytické geometrie v prostoru v rozsahu látky probírané na středních školách. Doba potřebná ke studiu Čas potřebný ke zvládnutí tohoto modulu je odhadnut pro průměrného studenta jako hodnota nejméně?? hodin. Klíčová slova Geometrické vektory, skalární součin vektorů, vektorový součin vektorů, smíšený součin vektorů, lineární nezávislost vektorů, reálný lineární prostor, sférický trojúhelník, souřadnice vektoru, přímka v prostoru, rovina v prostoru, úlohy polohy, úlohy metrické. Na konci modulu zařazen Rejstřík, ve kterém jsou další klíčová slova přehledně uspořádána i s odkazy na odpovídající stránky.

8 Kapitola 1 Vybrané části vektorového počtu 1.1 Operace s geometrickými vektory ve V (E 3 ) Poznámka k označení Aniž bychom se zabývali přesnou definicí afinního prostoru A 3, budeme nejprve studovat tzv. afinní vlastnosti euklidovského prostoru E 3. Euklidovským prostorem E 3 přitom budeme rozumět bodový prostor, v němž: každému bodu A E 3 je jednoznačně přiřazena uspořádaná trojice [a 1, a 2, a 3 ] reálných čísel, které nazýváme souřadnicemi bodu A a píšeme A = [a 1, a 2, a 3 ], každým dvěma bodům A, B E 3, kde A = [a 1, a 2, a 3 ], B = [b 1, b 2, b 3 ], je přiřazena euklidovská vzdálenost ρ(a, B) bodů A, B, pro kterou platí ρ(a, B) = 3 i=1 (a i b i ) 2. Každé uspořádané dvojici bodů (A, B) přiřadíme orientovanou úsečku s počátečním bodem A a koncovým bodem B a budeme ji nazývat umístěním vektoru u = AB. Můžeme pak také psát B = A + u nebo B A = u. Přitom vektorem u budeme rozumět třídu orientovaných úseček, které mají týž směr a velikost. Tuto vlastnost můžeme také popsat tak, že orientované úsečky AB, CD patří do jedné třídy, jestliže úsečky (A, D) a (B, C) mají týž střed. B à D A C

9 8 Vybrané části vektorového počtu Množinu všech vektorů pak nazýváme vektorovým zaměřením prostoru E 3 a označujeme ji V (E 3 ). Pro takto zavedené pojmy platí: a) Pro libovolný bod A E 3 a libovolný vektor u V (E 3 ) existuje jediný bod B E 3 takový, že AB= u. b) Je-li AB= u, BC= v, pak AC= u + v se nazývá součet vektorů u, v. B AB= u BC= v A 3 C AC= u + v Je-li u = AA, pak vektor u se nazývá vektor nulový, značí se o a má délku rovnou nule. Je-li u = AB, pak vektor u = BA (změněná orientace) se nazývá vektor opačný k vektoru u. Úhlem nenulových vektorů u = AB, v = AC nazýváme úhel ϕ polopřímek AB, AC měřený v mezích 0 ϕ π. Poznámka: Prostor bodů v trojrozměrném prostoru E 3 spolu s vektorovým zaměřením V (E 3 ), v nichž platí a) a b) se často nazývá afinním prostorem a značí se A 3. Věta 1. Pro libovolné tři vektory u, v, w ve V (E 3 ) platí 1. u + v = v + u, 2. ( u + v ) + w = u + ( v + w ), 3. u + o = u, 4. ke každému vektoru u existuje opačný vektor u tak, že u + ( u ) = o.

10 1.1 Operace s geometrickými vektory ve V (E 3 ) 9 Součin vektoru s reálným číslem Má-li u = AB délku u a je-li γ R libovolné číslo, pak klademe γ u = o, pokud γ = 0 nebo u = o, γ u = v, kde u o, v = γ u a vektor v je souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžný s vektorem u v případě γ > 0 (γ < 0.) A u B v = AC= γ u = 2 u pro γ = 2 > 1 > 0, v = 2 u C Věta 2. Nechť α, β R jsou libovolná čísla a u, v libovolné vektory ve V (E 3 ). Pak platí 1. α(β u) = αβ u, 2. α( u + v ) = α u + α v, 3. (α + β) u = α u + β u, 4. 1 u = u. Lineární nezávislost vektorů Poznámka: Všimněme si, že pro vektory z V 3 = V (E 3 ) platí: (ι) u, v V 3 = u + v V 3 (součet vektorů z V 3 je vektor ve V 3 ). (ιι) u V 3, α R = α u V 3 (násobek vektoru z V 3 je vektor ve V 3 ). (ιιι) Operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem mají vlastnosti uvedené ve větách 1, 2. Vektory kolineární (nekolineární) Nenulové vektory u, v, pro které existují taková umístění, že leží na jedné přímce, nazýváme kolineární vektory. Nulový vektor považujeme za kolineární s každým vektorem. Pro kolineární vektory u, v, platí: a) Je-li u o, pak existuje právě jedno číslo k R takové, že v = k u.

11 10 Vybrané části vektorového počtu b) Rovnice k u + l v = o je splněna alespoň pro jednu dvojici čísel k, l R, přičemž čísla k, l nejsou současně rovna nule. Řekneme naopak, že vektory u, v jsou nekolineární, když rovnice k u+l v = o je splněna pouze tehdy, když k = 0 a současně l = 0. Příklad Vektory x 1, x 2 = 2 x 1 jsou kolineární, protože vektor x 2 je násobkem vektoru x 1. V jiném pohledu, platí rovnice 2 x 1 + x 2 = o a rovnice k x 1 + l x 2 = o má nenulové řešení k = 2, l = 1. Příklad Vektory x 1, x 2 jsou nekolineární. Zjistěte, zda jsou vektory u = x 1 + x 2, v = x 1 x 2, rovněž nekolineární. Řešení: Předpokládejme, že existuje nenulové reálné číslo k takové, že u = k v, tj. vektory u, v jsou kolineární. Pak platí x 1 + x 2 = k( x 1 x 2 ) a odtud (1 k) x 1 + (1 + k) x 2 = o. Protože vektory x 1, x 2 jsou nekolineární, musí platit 1 k = 0 a současně 1 + k = 0, což není možné. Neplatí proto náš předpoklad a vektory u, v jsou nekolineární. Vektory komplanární (nekomplanární) Řekneme, že nenulové vektory u, v, w jsou komplanární, jestliže existují taková jejich umístění, že leží v jedné rovině. Pokud je některý z vektorů u, v, w nulovým vektorem, pak tuto trojici vektorů považujeme také za komplanární. Pro komplanární vektory u, v, w platí: a) Jsou-li u, v nekolineární vektory, pak existuje právě jedna dvojice čísel k, l R taková, že w = k u + l v. b) Rovnice k u + l v + m w = o je splněna alespoň pro jednu trojici čísel k, l, m R, přičemž čísla k, l, m nejsou současně rovna nule. Trojici vektorů u, v, w nazveme nekomplanární, když je rovnice k u + l v + m w = o splněna pouze pro k = l = m = 0. Příklad Vektory x 1, x 2, x 3 jsou nekomplanární. Zjistěte, zda jsou vektory u = x 1 + x 2 + x 3, v = x 1 x 2 + x 3, w = x x 2 + x 3, rovněž nekomplanární. Řešení: Sestavíme rovnici α 1 u + α 2 v + α 3 w = o. Dosadíme-li do rovnice vyjádření vektorů u, v, w, máme α 1 ( x 1 + x 2 + x 3 ) + α 2 ( x 1 x 2 + x 3 ) + α 3 ( x x 2 + x 3 ) = = (α 1 + α 2 + α 3 ) x 1 + (α 1 α 2 + 3α 3 ) x 2 + (α 1 + α 2 + α 3 ) x 3 = o a c 1 = α 1 + α 2 + α 3 = 0, c 2 = α 1 α 2 + 3α 3 = 0, c 3 = α 1 + α 2 + α 3 = 0, protože x 1, x 2, x 3 jsou podle zadání úlohy nekomplanární vektory. Soustava rovnic

12 1.2 Součiny vektorů 11 α 1 + α 2 + α 3 = 0, α 1 α 2 + 3α 3 = 0 má obecné řešení α 1 = 2t, α 2 = α 3 = t R. Pro t 0, například t = 1, můžeme vybrat nenulové řešení α 1 = 2, α 2 = α 3 = 1. Vektory u, v, w jsou proto komplanární a platí rovnice 2 u + v + w = o. Proto je w = 2 u v lineární kombinací vektorů u, v, jak se můžeme přesvědčit provedením zkoušky. Nekolineární vektory x 1, x 2 x 2 x 1 nelze umístit na jedné přímce. Nekomplanární vektory x 1, x 2, x 3 x 3 x 2 x 1 nelze umístit do jedné roviny. 1.2 Součiny vektorů Skalární součin vektorů Definice Skalárním součinem nenulových vektorů u, v V (E 3 ) rozumíme číslo (skalár) u v = u v cos ϕ, kde ϕ = ( u, v ) 0, π je úhel vektorů u, v a u, v jsou jejich délky. Je-li alespoň jeden z vektorů nulový, klademe u v = 0. Pro skalární součin platí následující tvrzení: Věta 3. Je-li α R a u, v, w V (E 3 ), pak 1. u v = v u, 2. u ( v + w ) = u v + u w, 3. (α u) v = α( u v), 4. u u 0 ( u u = 0 u = o). Poznámka: Skalární součin nenulových vektorů lze využít při řešení následujících úloh. 1. Vyšetřování kolmosti nenulových vektorů: Platí přímo z definice, že u v = 0 ϕ = π 2.

13 12 Vybrané části vektorového počtu 2. Výpočet délky nenulového vektoru: u = u u = u. Číslo u = u u se nazývá euklidovská délka vektoru u. 3. Výpočet úhlu nenulových vektorů: Přímo ze vzorce obdržíme vztah cos ϕ = u v u v, ϕ 0, π. 4. Nalezení kolmého průmětu v u vektoru v do vektoru u : v u = u v u. (1.1) u 2 Z pravoúhlého troúhelníku v obrázku v v ϕ u v u můžeme pro u 0 = u psát: u v u = v cos ϕ u 0 = v u v u v u u = u v u 2 u. Všimněte si, že uvedený vztah platí i pro ϕ ( π, π), neboť pak cos ϕ < 0 2 a dojde ke změně orientace jednotkového vektoru u 0 na opačný vektor. 5. Práce A, kterou vykoná síla F stálého směru a velikosti po přímé dráze s je dána vztahem A = F s. Poznámka: Pomocí kolmých průmětů vektorů se můžeme lehce přesvědčit o vlastnosti 2 ve větě 3. v + w w v u v u w u

14 1.2 Součiny vektorů 13 Platí ( v + w ) u = v u + w u. Odtud ( v + w ) u = v + w cos ( v + w, u ) u 0 = v cos ( v, u ) u 0 + w cos ( w, u ) u 0. Odtud v + w cos ( v + w, u ) = v cos ( v, u ) + w cos ( w, u ) a u ( v + w ) = u v + w cos ( v + w, u ) = = u ( v cos ( v, u ) + w cos ( w, u )) = u v + u w. Příklad Řešení: Vypočítejte u v, jestliže u = 4, v = 5, ( u, v ) = 2π/3. u v = u v cos ( u, v ) = 4 5 cos 2π 3 = 4 5 ( 1 2 ) = 10. Příklad Vypočítejte a + b, jestliže a = 4, b = 5, ( a, b ) = 2π/3. Řešení: Pomocí Věty 3 určíme, že a + b 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a a + 2 a b + b b = a a b + b 2. Proto a + b 2 = = 21 a a + b = 21 s využitím výsledku předcházejícího příkladu. Vektorový součin vektorů Definice Vektorovým součinem vektorů u, v V (E 3 ) rozumíme vektor označovaný jako u v. Je-li alespoň jeden z vektorů nulový nebo jsou-li vektory u, v kolineární, klademe u v = o. V opačném případě požadujeme, aby měl vektor u v následující vlastnosti: 1. Vektor u v je kolmý k oběma vektorům u, v. 2. Vektory u, v, u v tvoří v tomto pořadí pozitivní trojici vektorů (platí pravidlo pravé ruky). 3. Délka vektoru u v je rovna obsahu plochy sestrojené nad vektory u, v, tj. u v = u v sin ϕ, kde ϕ = ( u, v ) 0, π je úhel vektorů u, v.

15 14 Vybrané části vektorového počtu u v u v = u v sin ϕ = P v P obsah plochy ϕ u Vektorový součin. u v směr palce v směr prstů u Pravidlo pravé ruky pro pořadí u, v, u v. Pro vektorový součin platí následující tvrzení: Věta 4. Je-li α R a u, v, w V (E 3 ), pak 1. u v = v u, 2. α ( u v) = (α u) v = u (α v), 3. ( u + v ) w = u w + v w, 4. w ( u + v ) = w u + w v. Upozornění: Některá pravidla pro násobení reálných čísel u vektorového součinu neplatí! neplatí: u v = v u (viz platné pravidlo u v = v u), neplatí: ( u v) w = u ( v w), neplatí: u v = o ( u = o nebo v = o). Poznámka: Vektorový součin nenulových vektorů lze využít při řešení následujících úloh. 1. Vyšetřování kolinearity nenulových vektorů u, v: u v = o (ϕ = 0 nebo ϕ = π). 2. Výpočet obsahu plochy sestrojené nad vektory u, v. (Výpočet obsahu trojúhelníku.) 3. Nalezení vektoru kolmého ke dvěma zadaným nenulovým vektorům.

16 1.2 Součiny vektorů 15 Příklad Vektory u = AB, v = AC mají délky u = 1, v = 3, a svírají úhel ϕ = ( u, v ) = π/4. Určete obsah trojúhelníku ABC. Řešení: P = 1 2 u v = 1 2 u v sin ϕ = sin π 4 = Smíšený součin vektorů b ` c a c v b P = b c Uvažujme nejprve pozitivní trojici vektorů b, c, a a rovnoběžnostěn, sestrojený nad těmito vektory. Objem rovnoběžnostěnu je součinem obsahu P základny a výšky v, V = P v. Obsah základny je P = b c. Výška je průmět délky vektoru a do vektoru b c, proto (viz úloha 4. skalárního součinu) v = a b c = a cos ( a, b c ) = a ( b c). (1.2) b c Objem V rovnoběžnostěnu je proto v tomto případě vyjádřen tzv. smíšeným součinem V = a ( b c) vektorů b, c, a. Přejdeme k obecnému případu. Definice Nechť a, b, c V (E 3 ). Číslo [ a, b, c ] = a ( b c) nazveme smíšeným součinem vektorů a, b, c (v tomto pořadí).

17 16 Vybrané části vektorového počtu Poznámka: Víme, že c b = b c. Proto [ a, c, b ] = a ( c b) = a ( b c) = [ a, b, c ]. Lze ukázat, že vzájemnou výměnou dvou sousedních vektorů ve vzorci pro smíšený součin se změní znaménko smíšeného součinu. Například [ a, b }{{}, c ] = [ b, a, c }{{} ] = [ b, c }{{}, a ] = [ c, b, a ] = [ c, a }{{} }{{}, b ] = [ a, c, b ] Poznámka: Z geometrického pohledu vidíme, že smíšený součin nenulových vektorů lze využít při řešení následujících úloh. 1. Výpočet objemu rovnoběžnostěnu setrojeného nad vektory a, b, c V (E 3 ): V = [ a, b, c ]. 2. Vyšetřování komplanárnosti vektorů: Nenulové vektory a, b, c jsou komplanární právě tehdy, když je [ a, b, c ] = Stanovení pozitivnosti trojice vektorů: a, b, c je pozitivní trojice vektorů, když [ a, b, c ] > 0 (platí pravidlo pravé ruky), a, b, c je negativní trojice vektorů, když [ a, b, c ] < 0 (neplatí pravidlo pravé ruky), Příklad Rovnoběžnostěn je určen vektory a, b, c a víme, že a = 2, b = 1, c = 2, ( b, c ) = π/4, vektor a svírá se základnou určenou vektory b, c úhel α = π/6. Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu. Řešení: Víme, že V = [ a, b, c ]. Platí: [ a, b, c ] = a ( b c ) = a b c cos ( a, b c ) = 2 b c cos π 3 = = 2 2 b c = Výsledek příkladu je V = b c sin ( b, c ) = sin π 4 = 1.

18 1.2 Součiny vektorů 17 Dvojný vektorový součin vektorů Jde o vektorový součin trojice vektorů tvaru a ( b c ). Je jasné, že výsledkem je vektor d, který je kolmý k vektoru b c, a je tedy komplanární s dvojicí vektorů b, c. Dá se ukázat, že pro koeficienty lineární kombinace vektorů b, c platí: a ( b c ) = ( a c) b ( a b) c. (1.3) Na základě tohoto vztahu lze odvodit další užitečné vztahy pro sférickou trigonometrii. Uvažujme například nenulové vektory a, b, c, d. Pak vektorový součin ( a } {{ } b ) ( c d ) = e ( c d ) }{{} = ( e d) c ( e c) d = [ a, b, d ] c [ a, b, c ] d, e (1.3) a skalární součin ( a } {{ } b ) ( c d ) = e ( c d ) = c ( d e ) = c ( d ( a b )) = e = }{{} (1.3) c (( d b) a ( d a) b ) = ( a c )( d b ) ( b c )( a d ). Potřebné vztahy pro sférickou trigonometrii si uvedeme v následujícím odstavci textu. Důležité identity Věta 5. Nechť a, b, c, d, u, v, w V (E 3 ). Pak platí (1) ( a b) ( c d) = a c a d b c b d = ( a c)( b d) ( b c)( a d), (2) a ( b c) = ( a c) b ( a b) c, (3) ( a b) ( c d) = [ a, b, d] c [ a, b, c ] d, (4) [ a, b, c ] [ u, v, w ] = a u a v a w b u b v b w c u c v c w. Zajímavost: V identitě (1) položme a = c = u, b = d = v. Pak ( u v) ( u v) = ( u u)( v v) ( v u)( u v), tj.

19 18 Vybrané části vektorového počtu u v 2 = u 2 v 2 ( u v) 2 0. Odtud ihned plyne známá Cauchyova identita: ( u v) 2 u 2 v 2. Jiný způsob odvození plyne z definice skalárního součinu u v = u v cos ϕ a vlastnosti vektorového součinu u v = u v sin ϕ, protože pak ( u v) 2 = u 2 v 2 cos 2 ϕ, a součtem opět tj. u v 2 = u 2 v 2 sin 2 ϕ ( u v) 2 + u v 2 = u 2 v 2, u v 2 = u 2 v 2 ( u v) 2 0.) 1.3 Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii Sférický trojúhelník (schematicky na obrázcích). a b c b O α a c a C A γ b α a = ( b, c ) β B c A α b C γ c a β B a a b b a a c c V prostoru E 3 zvolme body O, A, B, C tak, aby vektory a = OA, b = OB, c = OC byly nekomplanární a jednotkové, tj. a = b = c = 1. Opíšeme-li ze středu O jednotkovou kouli, pak body A, B, C leží na kulové ploše poloměru jedna a tvoří vrcholy sférického trojúhelníku. Rovina procházející body O, A, B protne kulovou plochu v tzv. hlavní kružnici

20 1.3 Aplikace vektorového počtu ve sférické trigonometrii 19 a kratší část hlavní kružnice mezi body A, B vytvoří stranu c sférického trojúhelníku. Podobným způsobem vytvoříme strany a, b sférického trojúhelníku. Úhel mezi stranami b, c při vrcholu A sférického trojúhelníku označíme α. Podobně značí β, γ úhly při vrcholech B, C. Tyto úhly tvoří odchylky stěn trojbokého jehlanu určeného body O, A, B, C. Základními prvky sférického trojúhelníku rozumíme vrcholy A, B, C, strany a, b, c a úhly α, β, γ sférického trojúhelníku. Mezi prvky sférického trojúhelníku platí následující vztahy: (5) a = ( b, c ) b = ( c, a ) c = ( a, b ) (6) α = ( a b, a c) β = ( b c, b a) γ = ( c a, c b) (7) cos a = b c cos b = c a cos c = a b (8) sin a = b c sin b = c a sin c = a b (9) cos α = ( a b) ( a c) a b a c cos β = ( b c) ( b a) b c b a cos γ = ( c a) ( c b) c a c b Vzorce (5), (6) jsou patrné ze schematického znázornění na předcházejícím obrázku vlevo. Protože a = b = c = 1, zjednoduší se vzorce pro skalární i vektorový součin. Například platí a b = a b cos ( a, b ) = cos ( a, b ) = cos c, a b = a b sin ( a, b ) = sin ( a, b ) = sin c. Takto obdržíme snadno pomocí vektorů a, b, c všechny vztahy (7) a (8). Vzorce (9) jsou důsledkem (6) a vzorce pro vyjádření úhlu vektorů pomocí skalárního součinu vektorů. Sinová věta pro sférický trojúhelník Použijeme vzorec (3) Věty 5: ( a b) ( c d) = [ a, b, d] c [ a, b, c ] d.

21 20 Vybrané části vektorového počtu Vektory a, b, c jsou vektory naší konstrukce. Vzorec obsahuje vektor d, který můžeme volit libovolně. Položme nejprve ve vzorci d = a. Získáme a úpravou ( a b) ( c } {{ a } ) = [ a, b, a ] c [ a, } {{ } b, c ] a = a c =0 [ a, b, c ] a = ( a b) ( a c). V euklidovské normě pak [ a, b, c ] a = [ a, b, c ] a }{{} =1 = a b a c sin α = sin c sin b sin α }{{} (8) = ( a b) ( a c) = }{{} 6 s výsledkem [ a, b, c ] = sin c sin b sin α. (1.4) Podobným způsobem lze pokračovat volbami d = b a d = c a ukázat, že můžeme zvolit cestu cyklické záměny : a b c a, a b c a, α β γ α. Ve vzorci, se kterým budeme pracovat, postupně nahrazujeme objekty (vektory, úhly, strany) těmi objekty, na které ukazuje šipka. Vzorec (1.4) má tvar [ a, b, c ] = sin c sin b sin α. První cyklickou záměnou získáme [ b, c, a ] = sin a sin c sin β, druhou cyklickou záměnou pak [ c, a, b ] = sin b sin a sin γ. (Další cyklická záměna by zopakovala vzorec (1.4).) Výměnou pořadí vektorů ve smíšeném součinu se nejvýše mění znaménko a s ohledem na absolutní hodnotu smíšeného součinu jsou čísla na levé straně všech tří získaných vzorců stejná. Proto platí rovnosti 1 sin c sin b sin α = sin a sin c sin β = sin b sin a sin γ, sin a sin b sin c tj. (10) sin α sin a = sin β sin b = sin γ sin c vzhledem k tomu, že sin a sin b sin c 0. Tyto poslední získané rovnosti jsou matematickým zápisem sinové věty pro sférický trojúhelník. Slovním vyjádřením sinové věty je formulace: Ve sférickém trojúhelníku poměry sinů stran ku sinům protilehlých úhlů jsou si rovny.

22 1.4 Lineární prostor, báze a dimenze 21 První kosinová věta pro sférický trojúhelník Použijeme vzorec (1) Věty 5: ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( b c)( a d). Opět položme ve vzorci d = a. Získáme Odtud pomocí (7) pak ( a b) ( c } {{ a } ) = ( a c)( b a) ( b c)( a }{{} a ). a c a 2 =1 b c = ( a c)( b a) + ( a b) ( a c), cos a = cos b cos c + a b a c cos α. Vzorce (8) vedou k první kosinové větě pro stranu a: (11) cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α. Cyklickou záměnou a b c a, α β γ α získáme postupně první kosinové věty pro zbývající strany b, c : (12) cos b = cos c cos a + sin c sin a cos β, (13) cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ. Poznámka: Je-li γ = π/2, je sférický trojúhelník pravoúhlý a vzorec (13) dává tvar Pythagorovy věty pro pravoúhlý sférický trojúhelník: (14) cos c = cos a cos b. (Pro malé pravoúhlé sférické trojúhelníky pak platí vzorec c 2. = a 2 + b 2.) 1.4 Lineární prostor, báze a dimenze Poznámka: Pojem vektorového zaměření V (E 3 ) (včetně jeho vlastností daných Větami 1 a 2) se v matematice zobecňuje na pojem lineární prostor nebo též vektorový prostor. Geometrické vektory vytvářejí přirozený model lineárního prostoru a umožňují nám pochopení obsahu tohoto pojmu. Porovnejme v následující definici axiomy I1 I4 (zákony pro sčítání vektorů, existence nulového a opačného vektoru) s obsahem Věty 1 a axiomy II1, II2 (zákony pro násobení vektorů) spolu s III1, III2 (distributivní zákony) s obsahem Věty 2.

23 22 Vybrané části vektorového počtu Definice prostorem, když Množinu M = {x, y, z,...} nazveme (reálným) lineárním x, y M = x + y M (na M je definováno sčítání prvků), α R, x M = αx M (na M je definováno násobení skalárem α R), pro každé x, y M, α R a operace sčítání a násobení skalárem jsou pro každé x, y, z M a každé α, β R vázány axiomy: I1. x + y = y + x, I2. (x + y) + z = x + (y + z), I3. existuje nulový prvek o M takový, že x + o = x, I4. ke každému prvku x existuje opačný prvek x tak, že platí x + ( x) = o, II1. 1 x = x, II2. α(βx) = (αβ)x, III1. (α + β)x = αx + βx, III2. α(x + y) = αx + αy. Prvky x, y, z,... nazýváme vektory. Také pojmy kolinearity (nekolinearity) a komplanarity (nekomplanarity) se zobecňují v lineárním prostoru na tzv. lineární závislost (lineární nezávislost) vektorů. Jsou-li x 1, x 2,..., x n vektory a c 1, c 2,..., c n R čísla, pak vek- Definice tor x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n nazveme lineární kombinací vektorů x 1, x 2,..., x n. Vektory x 1, x 2,..., x n nazveme lineárně nezávislé, když c 1 x 1 + c 2 x c n x n = o c 1 = c 2 = = c n = 0, tj. žádný z vektorů nelze zapsat jako lineární kombinaci vektorů zbývajících. V opačném případě jsou vektory x 1, x 2,..., x n lineárně závislé. Protože máme definován pojem lineární nezávislosti vektorů, můžeme zavést užitečné pojmy báze a dimenze lineárního prostoru. Definice Vektory x 1, x 2,..., x n tvoří bázi lineárního prostoru M, když jsou lineárně nezávislé a každý další vektor x M je již jednoznačnou lineární kombinací vektorů x 1, x 2,..., x n, tj. x M = x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n (c 1,..., c n R). (1.5) Počet n vektorů báze se nazývá dimenze lineárního prostoru M a koeficienty c 1,..., c n R lineární kombinace (1.5) se nazývají souřadnice vektoru x v uspořádané bázi x 1, x 2,..., x n.

24 1.5 Vektory v ortonormální bázi 23 Příklad Vektorové zaměření V (E 3 ) je lineárním prostorem dimenze tři. Namísto zápisu M = {x, y, z,...} používáme zápis V (E 3 ) = { x, y, z,...}. Příklad Pravidla pro počítání s reálnými čísly nám umožňují ukázat, že množina M = R n uspořádaných n tic s prvky x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) a operacemi sčítání x + y = (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) a násobení reálným číslem αx = α(x 1, x 2,..., x n ) = (αx 1, αx 2,..., αx n ) je tzv. aritmetickým lineáním prostorem, který má dimenzi n. Nulovým prvkem je uspořádaná n tice o = (0, 0,..., 0) a opačným vektorem k vektoru x = (x 1, x 2,..., x n ) je vektor x = ( x 1, x 2,..., x n ). 1.5 Vektory v ortonormální bázi Nechť e 1, e 2, e 3 je uspořádaná pozitivní soustava vzájemně kolmých ( e i e j = 0 pro i j) a jednotkových ( e i = 1) vektorů (i, j {1, 2, 3}). Sestavíme-li pro α 1, α 2, α 3 R rovnici α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = o, pak postupné skalární násobení rovnice vektory e 1, e 2, e 3 vede k výsledku α 1 = α 2 = α 3 = 0. Například násobení vektorem e 1 dává výsledek α 1 e 1 e 1 } {{ } e 1 2 =1 +α 2 e 2 e } {{ } 1 0 +α 3 e 3 e 1 } {{ } 0 = o e }{{} 1 α 1 = 0. 0 Vektory e 1, e 2, e 3 jsou proto lineárně nezávislé, tvoří tzv. ortonormální bázi E = e 1, e 2, e 3 prostoru V (E 3 ) a každý vektor x V (E 3 ) je jejich lineární kombinací x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (x 1, x 2, x 3 R). Ortonormálních bází je v prostoru V (E 3 ) nekonečný počet (liší se od sebe posunutím a otočením soustavy).vždy uvažujeme jednu konkrétní soustavu, ke které se vztahují souřadnice vektoru x V (E 3 ). Připomeneme si výsledky pro skalární a vektorové součiny vektorů báze E, vyplývající z dřívějších definic.

25 24 Vybrané části vektorového počtu Lze vyjádřit skalární součiny: e 1 e 1 = e 1 2 = 1 e 1 e 2 = 0 e 1 e 3 = 0 e 2 e 1 = 0 e 2 e 2 = e 2 2 = 1 e 2 e 3 = 0 e 3 e 1 = 0 e 3 e 2 = 0 e 3 e 3 = e 3 2 = 1 podle definice ortonormální báze. Podobně vektorové součiny jsou e 3 = e 1 e 2 e 2 = e 3 e 1 e 1 = e 2 e 3 e 1 e 1 = o e 1 e 2 = e 3 e 1 e 3 = e 2 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = o e 2 e 3 = e 1 e 3 e 1 = e 2 e 3 e 2 = e 1 e 3 e 3 = o podle definice vektorového součinu (použijte v obrázku pravidlo pravé ruky ). Skalární součin v ortonormální bázi S ohledem na pravidla pro počítání se skalárním součinem (Věta 3) můžeme počítat a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = Získali jsme vzorec = a 1 b 1 e 1 e } {{ } 1 +a 1 b 2 e 1 e 2 +a } {{ } 1 b 3 e 1 e 3 + } {{ } a 2 b 1 e 2 e } {{ } 1 +a 2 b 2 e 2 e 2 +a } {{ } 2 b 3 e 2 e 3 + } {{ } a 3 b 1 e 3 e } {{ } 1 +a 3 b 2 e 3 e 2 +a } {{ } 3 b 3 e 3 e 3 = a } {{ } 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 pro vektory a = a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3, b = b 1 e 1 +b 2 e 2 +b 3 e 3, uvažované v ortonormální bázi E.

26 1.5 Vektory v ortonormální bázi 25 Vektorový součin v ortonormální bázi Podobným způsobem lze využít Větu 5 pro výpočet vektorového součinu vektorů a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3, b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 v ortonormální bázi E. Rozepsání vektorového součinu dává vektor a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = = a 1 b 1 e 1 e } {{ } 1 +a 1 b 2 e 1 e 2 +a } {{ } 1 b 3 e 1 e } {{ } 3 o e 3 +a 2 b 1 e 2 e 1 } {{ } +a 2 b 2 e 2 e } {{ } 2 e 3 o e 2 + +a 2 b 3 e 2 e } {{ } 3 + e 1 +a 3 b 1 e 3 e } {{ } 1 +a 3 b 2 e 3 e 2 +a } {{ } 3 b 3 e 3 e } {{ } 3 e 2 e 1 o = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) e 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3. Tento výsledek můžeme zapsat jako symbolický determinant třetího řádu, který při výpočtu rozvineme podle prvního řádku: = a b = e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 (a 1 b 3 a 3 b 1 ) e 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3. b 1 b 2 b 3 Příklad Najděte vektor kolmý k vektorům a = e 1 2 e 2 + e 3, b = 2 e1 + e 2 e 3. Řešení: d = a b = e 1 e 2 e = e e e 3. Řešením úlohy je každý vektor kolineární s vektorem d. Smíšený součin v ortonormální bázi Uvažujeme smíšený součin [ a, b, c ] = a ( b c) pro vektory a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3, b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3, c = c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 v ortonormální bázi E a víme, že d = b c = (b 2 c 3 b 3 c 2 ) e } {{ } 1 +(b 3 c 1 b 1 c 3 ) e } {{ } 2 +(b 1 c 2 b 2 c 1 ) e } {{ } 3 = d 1 e 1 +d 2 e 2 +d 3 e 3. d 1 d 2 d 3

27 26 Vybrané části vektorového počtu Skalární součin a ( b c) = a d = = a 1 d 1 + a 2 d 2 + a 3 d 3 = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 3 b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) = = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1. Smíšený součin proto můžeme zapsat jako determinant třetího řádu [ a, b, c ] = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3. c 1 c 2 c 3 Příklad Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory a = e 1, b = e 1 3 e 3, c = 2 e 1 + e 2 + e 3. Tvoří vektory a, b, c pozitivní trojici vektorů? Řešení: [ a, b, c ] = = = 3 > 0. Vektory a, b, c tvoří pozitivní trojici vektorů, protože [ a, b, c ] > 0. Objem rovnoběžnostěnu sestrojeného nad vektory a, b, c je [ a, b, c ] = 3 = 3 (jednotky 3 ). Příklad Jsou dány vektory a = e 1 + e 3, b = e 2 e 3, c = e 1 + e 2. Vypočítejte a ( b c) a) podle vzorce pro počítání vektorového součinu v souřadnicích báze E, b) pomocí vzorce (2) Věty 5. Řešení: a) Nejprve najdeme d = b c = e 1 e 2 e = e 1 e 2 e 3. Pak b) Vzorec má tvar a ( b c) = a d = e 1 e 2 e a ( b c) = ( a c) b ( a b) c. = e e 2 e 3. Skalární součiny a c = (1 e e e 3 ) (1 e e e 3 ) = = 1, a b = (1 e e e 3 ) (0 e e 2 1 e 3 ) = ( 1) = 1. Proto a ( b c) = b ( 1) c = b + c = e 2 e 3 + e 1 + e 2 = e e 2 e 3.

28 Kapitola 2 Některé aplikace vektorového počtu 2.1 Vektory v souřadnicové soustavě prostoru E 3 Zvolíme-li v E 3 pevný bod O a uspořádanou pozitivní ortonormální bázi e 1, e 2, e 3 ve V (E 3 ), pak dostaneme tzv. kartézský souřadnicový systém a označíme jej O; e 1, e 2, e 3. Bod O nazýváme počátkem a přímky určené bodem O a postupně vektory e 1, e 2, e 3 nazýváme souřadnicovými osami x, y, z. Je konvence označovat tuto speciální bázi jako i, j, k namísto e 1, e 2, e 3. S každým bodem A je možné uvažovat polohový vektor (rádiusvektor) r A = OA = x A i + y A j + z A k bodu A. Zápis vektoru r A = OA budeme zkracovat na tvar OA = x A i + y A j + z A k = (xa, y A, z A ), čísla x A, y A, z A nazveme souřadnicemi bodu A a píšeme A = [x A, y A, z A ]. Dvěma různými body A = [x A, y A, z A ], B = [x B, y B, z B ] je pak určen vektor AB = OB OA = (x B x A ) i+(y B y A ) j+(z B z A ) k = (x B x A, y B y A, z B z A ). z y j k O i 1 OA A = [x A, y A, z A ] x A AB OA OB O B

29 28 Některé aplikace vektorového počtu 2.2 Rovina v E 3 Skutečnost, že rovina ρ je v prostoru E 3 určena bodem A = [x A, y A, z A ] ρ a dvěma nekolineárními vektory u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) ležícími v rovině ρ budeme zapisovat ρ = [A; u, v ]. Můžeme použít několik různých přístupů k popisu roviny (stanovení podmínky, za které je obecný bod X = [x, y, z] bodem roviny ρ). Uvedeme dva z takových přístupů Libovolný bod X = [x, y, x] ρ právě, když vektory AX, u, v jsou komplanární. ρ ` X ρ ` vektory u, v leží v ρ ` v A AX X ρ u To lze vyjádřit dvěma způsoby: 1. AX = t u + s v (t, s R jsou parametry) jsou parametrické rovnice roviny ρ, které rozepisujeme do souřadnic x = x A + tu 1 + sv 1, y = y A + tu 2 + sv 2, z = z A + tu 3 + sv 3. Z těchto rovnic umíme vyčíst souřadnice bodu A ρ i vektorů u, v roviny ρ. 2. Pro komplanární vektory je smíšený součin [ AX, u, v ] = 0. Proto [ AX, u, v ] = x x A y y A z z A u 1 u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 = (x x A ) (u 2 v 3 u 3 v 2 ) (y y A ) (u 1 v 3 u 3 v 1 )+(z z A ) (u 1 v 2 u 2 v 1 ) = = ax + by + cz + d = 0 a výsledkem je obecná rovnice roviny ρ.

30 2.2 Rovina v E Vektor n = (n 1, n 2, n 3 ) o kolmý k rovině ρ se nazývá normálový vektor roviny ρ. Z vlastností vektorového součinu víme, že vektor u v je kolmý ke každému z vektorů u, v ležících v rovině ρ, proto je kolmý k rovině ρ. Je zřejmé, že za normálový vektor roviny můžeme volit libovolný nenulový vektor kolineární s vektorem u v. n = k( u v) ` v ρ A AX u ` ` X ρ Libovolný bod X = [x, y, x] ρ právě, když vektory AX, n jsou kolmé. Podmínku kolmosti vektorů vyjadřuje skalární součin AX n = (x x A, y y A, z z A ) (n 1, n 2, n 3 ) = = n 1 x + n 2 y + n 3 z (n 1 x A + n 2 y A + n 3 z A ) = ax + by + cz + d = 0. Vidíme, že koeficienty a, b, c obecného tvaru rovnice roviny ρ jsou souřadnice normálového vektoru roviny ρ, tj. n = (a, b, c), kde vektor n je kolineární s vektorem u v Příklad Rovina ρ má obecnou rovnici roviny x + 2z + 1 = 0. Najděte bod A a normálový vektor roviny ρ. Řešení: Obecná rovnice roviny ρ má tvar ax + by + cz + d = 0, kde normálový vektor n = (a, b, c). Zadání úlohy proto napíšeme ve tvaru 1x + 0y + 2z + 1 = 0 a proto n = (1, 0, 2). Bodem roviny je libovolný bod A = [x A, y A, z A ], který splňuje rovnici x A + 2z A + 1 = 0. Protože rovnice nezávisí na y, lze volit pro jednoduchost y A = 0 a například volbou x A = 1 získáme z rovnice z A = 0. Bod A = [ 1, 0, 0] ρ. Poznámka: Rovnice roviny x + 2z + 1 = 0 posledního příkladu nezávisí na y, pro každé y je rovnice stejná, proto je rovina rovnoběžná

31 30 Některé aplikace vektorového počtu se souřadnicovou osou y. To je vidět také na normálovém vektoru n = (1, 0, 2), který má druhou souřadnici nulovou (situaci graficky znázorněte). Podobně rovnice x = 3 je v E 3 obecnou rovnicí roviny, která je rovnoběžná se souřadnicovými osami y i z. Příklad Body A = [1, 1, 1], B = [0, 1, 2], C = [ 2, 3, 1] jsou body roviny ρ. Najděte obecnou rovnici roviny ρ a) Užitím vektorového součinu vektorů. b) Užitím smíšeného součinu vektorů. Řešení: Rovina ρ = [A; u, v ], kde A = [1, 1, 1] a vektory u = AB = ( 1, 0, 1), v = AC = ( 3, 2, 2) jsou nekomplanární. i j k a) Vektor u v = = 2 i 5 j 2 k = ( 2, 5, 2) je kolineární s normálovým vektorem roviny. Proto můžeme zvolit například n = (a, b, c) = (2, 5, 2). Bod A = [1, 1, 1] ρ : 2x + 5y + 2z + d = 0. Proto je d = 9 a hledaná rovnice je ρ : 2x + 5y + 2z 9 = 0. b) Vektory AX, u, v jsou pro body X ρ komplanární. Proto smíšený součin [ AX, u, v ] = 0, tj. x 1 y 1 z = 2(x 1) 5(y 1) 2(z 1) = 0. Úpravou získané rovnice obdržíme výsledek ρ : 2x + 5y + 2z 9 = 0. Cvičení Ukažte, že 3x + 6y + 2z 13 = 0 je obecnou rovnicí roviny, která vytíná na souřadnicových osách úseky v poměru 2 : 1 : 3 a prochází bodem A = [1, 2, 1]. Jaké jsou délky úseků na osách? Návod: Situaci si graficky znázorněte. Průsečíky hledané roviny se souřadnicovými osami jsou body A = [2q, 0, 0], B = [0, q, 0], C = [0, 0, 3q], kde q = 0 je délka úseku. Rovina je proto určena například bodem A a vektory u = AB, v = AC. Jedním z výpočetních postupů předcházejícího příkladu obdržíme požadovaný výsledek.

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Analytická geometrie ( lekce)

Analytická geometrie ( lekce) Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011 Vektory Vektorový součin Vektorový

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více