KMA/MAB. Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU

Transkript

1 EFEKTIVNÍ PORFÓLIO V MARKOWITZOVĚ SMYSLU KMA/MAB Kamila Matoušková (A07142) Plzeň, 2009 Obsahem práce je vytvoření efektivního portfolia v Markowitzově smyslu.z akcií obchodovaných na SPADu. Dále je uvažována varianta s částečným a úplným m vaší investice pomocí derivátů (opce oceněné pomocí Black-Scholesova modelu) Jsou stanoveny náklady na portfolia a i náklady spojené s pořízením a prodejem portfolia 1

2 OBSAH 1.Část Efektivní portfolio - Markowitz 3 Mnoţina efektivních portfolií v Markowitzově smyslu 4 Přímka trhu cenných papírů CML (Capital Market Line) 5 TrŢní Model 7 2.Část Zajištění pomocí opcí 7 Ocenění opcí Black-Scholesův model 8 Citlivosti opcí (Greeks) delta δ 8 Zdroje: 10 2

3 1.ČÁST EFEKTIVNÍ PORTFOLIO - MARKOWITZ Základní myšlenkou teorie portfolia je taková alokace aktiv, při které je dosažen přiměřený výnos vzhledem k riziku. Portfolio je sestaveno z aktiv A i i=1,2,3,4,5. Tato aktiva jsou charakterizována náhodnou veličinou X i. Portfolio složené z aktiv A i je lineární kombinace kde w i je relativní podíl i-tého aktiva v portfoliu. Portfolio jsem sestavila na základě údajů, které jsem získala na www stánkách [1]kde je publikován SPAD. (SPAD -Systém pro Podporu trhu Akcií a Dluhopisů; nejvýznamnější segment Burzy cenných papírů Praha. V rámci tohoto segmentu se obchoduje s cennými papíry vybraných významných podniků - jsou to ty nejlikvidnější a nejobchodovatelnější.) V rámci SPAD je obchodováno s cennými papíry s následujících vybraných podniků [1]: AAA Auto CETV ČEZ Euro Cent Media (ECM) Erste bank Komerční banka(kb) ORCO Pegas Nonwovens Philip Morris ČR Telefónica O 2 Česká republika Unipetrol VIG Zentiva Pro sestavení optimálního portfolia jsem si zvolila tyto akcie pěti podniků: ČEZ (použitá data od roku ) CEM (od ) KB (od ) Unipetrol (od ) Zentiva (od ) Vycházím-li z Markowitzova přístupu k teorii portfolia, kde náhodná veličina X i popisuje výnos z i-tého aktiva za dobu trvání portfolia. Z dostupných kurzů jsem vytvořila časovou řadu,. Pomocí této časové řady jsem zjistila 2měsíční výnosnost zvolených aktiv. Očekávaný výnos aktiva výnosnost aktiva je střední hodnota náhodné veličiny X i tj. R i =E(X i ), kterou jsem stanovila jako geometrický průměr ziskaných X i. Riziko změny výnosu aktiva rizikovost aktiva je směrodatná odchylka náhodné veličiny X i, tj.. U zvolených aktiv jsem zjistila následující charakteristiky: 3

4 Výnos AKTIVA Výnos [%] Riziko [%] A1 KB 3, ,4872 A2 CEZ 5, ,3441 A3 Cent Euro Media 2, ,6243 A4 Unipetrol 3, ,8207 A5 Zentiva 2, ,9004 TAB. 1 CHARAKTERISTIKY AKTIV 6,0000 Prostor riziko-výnos 5,0000 4,0000 3,0000 2,0000 Riziko 10, , , , , , , , , ,0000 KB CEZ Unipetrol Zentiva Cent Euro Media OBR. 1 PROSTOR RIZIKO-VÝNOS Na základě obr. 1 je možno konstatovat, že mezi zvolenými aktivy nelze najít aktivum dominantní. U každého aktiva je větší výnosnost spojena s větším rizikem. Pokud budu porovnávat jednotlivá aktiva mezi sebou, je ČEZ dominantním aktivem vůči akciím Unipetrolu. Dále lze aktiva rozdělit podle investorova vztahu k riziku: - pokud se bude jednat o investora, který trpí averzí vůči riziku, bude raději volit aktiva KB, Znetiva či CEM. - pokud se naopak bude jednat o investora, který bude vůči riziku neutrální, zvolí spíše aktiva ČEZ a Unipetrol. MNOŢINA EFEKTIVNÍCH PORTFOLIÍ V MARKOWITZOVĚ SMYSLU Označme množinu portfolií maximalizující zisk jako: Množina efektivních portfolií v Markowitzově smyslu je pak dána Markovitzovo optimální portfolio je takové portfolio X opt, pro které existuje indiferenční křivka u k tak, že Pokud má množina portfolií obvyklý deštníkový tvar, tak pro investora s averzí k riziku existuje právě jedno Markowitzovo optimální portfolio. Je třeba vypočítat: kovariační a korelační matice výnosů jednotlivých aktiv. Rizikovost portfolia závisí na míře korelace pohybu výnosů jednotlivých aktiv v portfoliu. hodnotu očekávané výnosnosti portfolia a rozptyl: 4

5 krajní bod s nejnižším rizikem - min(σ p ) - A za podmínek: investuji vše x i 0 není povolen prodej nakrátko bod s nejvyšší výnosností, kdy místo minimalizace rizika byl maximalizován zisk - B Mezi výše uvedenými body jsem najít 10 bodů, které tvoří body optimálního portfolia. Pomocí uvedených výpočtů bylo stanoveno optimální portfolio v Markowitzově smyslu (deštníkový tvar). obr. 2 Efektivní množina PŘÍMKA TRHU CENNÝCH PAPÍRŮ CML (CAPITAL MARKET LINE) Jedná se o kombinaci tržního portfolia s jedním bezrizikovým aktivem. Pro své výpočty jsem použila průměrný výnos ze státních pokladničních poukázek [2], který je 3,85% p.a. Tento výnos jsem přepočetla na 2-měsíční výnos. Tržní portfolio X M E M je takové portfolio, pro které platí, že v prostoru riziko-výnos tečna (přímka CML) množiny E M (množina efektivních portfolií v Markowitzově smyslu) prochází bodem. Každé jiné portfolio je v prostoru riziko výnos dominováno lineární kombinací tržního portfolia a bezrizikového aktiva. Všechny body na přímce CML odpovídají efektivním portfoliím X E v Markowitzově smyslu pro portfolio tvořené rizikovými aktivy X i a bezrizikovým aktivem X F. Přímku CML lze vyjádřit jako: 5

6 Výnos 5,5000 4,5000 CML efektivní množina KB CEZ 3,5000 2,5000 1,5000 6,0000 8, , ,0000 Riziko 14, ,0000 Cent Euro Media Unipetrol Zentiva OBR. 3 CML Z množiny efektivních portfolií jsem zvolila bod, který obsahuje požadovaná aktiva v tomto poměru. AKTIVA portfolio A1 0,2067 A2 0,6980 A3 0,0953 A4 0,0000 A5 0,0000 1,0000 Výnos [%] Riziko [%] 4, ,8755 TAB. 2 SLOŽENÍ PORTFOLIA Vycházím z předpokladu, že je k dispozici 5mil.Kč, které lze do zvoleného efektivního portfolia investovat. Na základě získaných výsledků by rozložení finančních prostředků vypadalo následovně: AKTIVA Cena akcie Cena portfolia A1 KB 3937, ,09 Kč A2 CEZ 1249, ,81 Kč A3 Cent Euro Media 1630, ,09 Kč A4 Unipetrol 293,50 0,00 Kč A5 Zentiva 916,00 0,00 Kč ,00 Kč TAB. 3 CENA PORTFOLIA V případě tohoto portfolia je do akcií ČEZu investováno 69% prostředků, v praxi se do jedné akcie v portfóliu investuje max. 30%. AKTIVA portfolio Výnos [%] Riziko [%] A1 0,3 A2 0,3 A3 0,2698 A4 0,0701 3,6671 9,5073 A5 0,0601 TAB. 4 SLOŽENÍ PORTFOLIA2 6

7 TRŢNÍ MODEL Jedná se o regresní model, který je orientován na změnu výnosu cenného papíru v závislosti na změně výnosu ovlivňujícího faktoru. U tržního modelu nejsou potřeba požadavky modelu CAPM. Model lze zapsat jako Jako R M jsem je použit burzovní index PX. Pomocí regrese jsou určeny koeficienty α a β pro jednotlivá aktiva. Aktiva α β KB 1,8807 0,8904 CEZ 3,1189 1,2896 Cent Euro Media 0,9088 0,9412 Unipetrol 2,1067 0,9981 Zentiva -0,9567 1,0722 TAB. 5 KOEFICIENTY Α,Β Koeficient α i měří rozsah, ve kterém i-té aktivum překračuje (nedosahuje) návratnosti, při očekávané úrovni rizika (měřeno koeficientem β ) 0 aktivum vykazuje vyšší míru návratnosti, neţ předpokládal její rizikový stupeň β (je podhodnocené) KB, ČEZ, Unipetrol. 0 aktivum vykazuje míru návratnosti, kterou předpokládal její rizikový stupeň β CEM, Zentiva Koeficient v β i vyjadřuje relativní volatilitu aktiva vůči tržnímu portfoliu X M (reprezentován indexem PX). Vyjadřuje citlivost aktiva na změnu výnosové míry z tržního portfolia. výnosnost i-tého aktiva stoupá nebo klesá rychleji než výnosnost tržního portfolia ČEZ, Zentiva výnosnost i-tého aktiva stoupá nebo klesá pomaleji než výnosnost tržního portfolia KB, CEM, Unipetrol 2.ČÁST ZAJIŠTĚNÍ POMOCÍ OPCÍ Vybrané portfolio bude zajištěno pomocí opcí. Bude se jednat o opci evropskou, která umožňuje koupi a prodej jen v době expirace. Investor zaujme long pozici, která kupujícímu dává právo využít opce. Dle podkladového aktiva se bude jednat o opci akciovou, byla zvolena long put opce. Subjekt v této pozici má právo prodat za danou realizační cenu v základě ležící akcie. Za zakoupení pozice musí zaplatit opční prémii. S poklesem kurzu bazické akcie roste výhodnost této pozice a ziskový potenciál je omezen možností poklesu kurzu bazické akcie na nulovou hodnotu. Maximální ztráta je limitována výší zaplacené opční prémie. Opci je výhodné uplatnit, pokud aktuální promptní kurz akcie je nižší než realizační cena. Pozice long put je volena, pokud je očekáván pokles kurzu akcií a investor se chce proti tomuto vývoji zajistit. 7

8 Výše promptního kurzu Uplatnění opce Dosažený výsledek a jeho Označení pozice bazické akcie výše S t <RC-P Ano Čistý zisk (RC-PK)-P in the money RC-P< S t <RC Ano Omezená ztráta P-(RC-PK) at the money S t >RC ne Max.ztráta P out of the money OCENĚNÍ OPCÍ BLACK-SCHOLESŮV MODEL Očekávaná střední hodnota evropské put opce je vyšší číslo ze dvou (X-S t ) nebo 0, tedy E [max(x-s t ),0]. Očekávanou střední hodnotu je nutno diskontovat bezrizikovou úrokovou sazbou r f. Cenu pro evropskou put opci lze vyjádřit jako: Kde označuje distribuční funkci normálního normovaného rozdělení odhad volatility pomocí volatility historické a platí : a CITLIVOSTI OPCÍ (GREEKS) DELTA Δ Delta udává citlivost na změnu kurzu a pro put opci se vypočte pomocí vztahu: δ Pozice Long Short Akcie 1-1 Peníze 0 0 Call opce Put opce 8

9 Pro zvolené akcie jsou vypočítány ceny opcí dle Black-Scholesova modelu pro příslušné realizační ceny. V tabulce jsou uvedeny spotové ceny akcií ze dne a označeny jako S 0, jako S jsou označeny spotové ceny po uplynutí dvou měsíců, tedy ze dne RC označuje realizační ceny put opcí a P jejich ceny. V posledním sloupci je uvedeno, zda bude opce využita či nikoliv. S 0 RC S P RC-P Uplatnění opce KB 3870, , , ,92 ne ČEZ 1223, , , ,79 ne CEM 1565, , , ,34 ano Unipetrol 287,60 295,0 268,1 9,21 285,79 ano Zentiva 907,50 900,0 887,9 9,39 890,61 ano TAB. 6 OPCE Pro první i druhé portfolio jsem uvažovala tři možnosti, bez pomocí opcí, 50-ti procentní a 100% pomocí opcí. Ve všech uvažovaných případech byla zaznamenána ztráta, největší ztráty pak pro případ 100%. Tuto skutečnost lze vysvětlit vysokými náklady na pořízení opcí. 1. portfolio 2. portfolio Počet akcií bez 50% 100% Počet akcií bez 50% 100% KB ČEZ CEM , , Unipetrol Zentiva Celkem Výdaj Ztráta , TAB. 7 VÝSLEDKY ZAJIŠTĚNÍ Vývoj akcií všechny případy ve sledovaném období je zachycen na následujících grafech. 1,02 1,01 1 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0, bez 100% 50% OBR. 4 1.PORTFOLIO 9

10 1,02 1 0,98 0,96 0,94 0, bez zajisteni 100% zajisteni 50% zajisteni Na základě uvedených grafů lze vyslovit řadu závěrů: OBR. 5 2.PORTFOLIO Největších výnosů lze dosáhnout bez pomocí opcí, pokud kurz akcií roste; Největších ztrát se dosahuje bez pomocí opcí, pokud kurz akcií klesá; Mezi vývoji strategie bez a 100procentním m se pohybuje 50procentní; Nakonec je započtena daň z příjmu fyzických osob. Do výdajů spojených s nákupem s prodejem akcií a opcí jsou zahrnuty poplatky ve výši 0,5%. 1. portfolio bez Základ daně ,5 50% 100% portfolio bez 50% 100% Základ daně TAB. 8 DAŇ ZE ZISKU Ve všech případech jsem získala záporný základ daně a nebude tedy placena žádna daň z příjmu fyzických osob. Investice je nevýhodná, jak v případě že je nezajištěna, tak v případě že zajištěna je. ZDROJE [1] [2] HY/TRH_STATNICH_DLUHOPISU/SPP/AUKCE_SPP_TZ/AUKCE_SPP_TZ_2008 /080221_SPP_ PDF [3]FINANČNÍ DERIVÁTY, PETR DVOŘÁK, PRAHA 1998 [4]PŘEDNÁŠKY Z PŘEDMĚTU KMA/FM 10