M - Příprava na 2. čtvrtletní písemnou práci
|
|
- Danuše Jandová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 M - Příprava na. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na
2 ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v = ca. cb neboli v = ca.cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad : Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r. Pak má platit: r r = r r =.r Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad : Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, Ö cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: :3:7 z 64
3 3 = 5 x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: a x= b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x a = a b neboli b a = a x ± Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5, :3:7 35 z 64
4 . Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö7. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö4. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö5. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., :3:7 3 z 64
5 4. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö0. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 35 ± Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b.. Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. 4 4 Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. ± Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit :3:7 4 z 64
6 ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady ,8 cm ,35 m cm BC = 0 cm, obsah je 54 cm ,4 m :3:7 80 Kč 5 z 64
7 ,9 cm cm ,7 m , m :3:7 56,5 cm 6 z 64
8 cm ,4 cm v = 4,33 cm :3:7 7 z 64
9 řešení: :3:7,, 8 z 64
10 m ,9 % mm :3:7 5 cm 9 z 64
11 krát Oba obsahy jsou shodné cm Není zavlažováno 6,8 m, třetí strana pole je 33,94 m , resp ,8 cm řešení: 0,5 cm;,5 cm :3:7 Poloměr kružnice opsané: 4,6 cm Poloměr kružnice vepsané:,3 cm 60,5 % 0 z 64
12 cm / krát :3:7 04 cm z 64
13 m o = 4 cm; S = 4,6 cm , :3:7 700 m ; 60 m z 64
14 ,, cm ,5 ha Nemohou :3:7 0 3 z 64
15 ,74 cm :3:7 6 trojúhelníků 4 z 64
16 Zmenšení obsahu o 0 % Zmenšení obvodu o, % m b) , m cm 6 cm :3:7 5 z 64
17 dlaždic ,3 cm Ne ,7 cm :3:7 6,075 cm 6 z 64
18 m cm obdélníků m AF = 5 cm, BC = cm :3:7 5 cm 7 z 64
19 ,5 cm cm cm :3:7 v = 6,06 cm ABD 8 z 64
20 / , % :3:7 54 cm 9 z 64
21 m a = 0, b = 70, c = 60, d = 50, e = 60, f = 70, g = 60, h = ,, :3:7 49 cm 0 z 64
22 ,3 cm ,8 % Čtverec má větší obsah než obdélník cm :3:7 z 64
23 ,8 m m :3:7 6,6 dm z 64
24 cm m Tupoúhlý :3:7 ABD 3 z 64
25 ,08 m, 800 cm cm ± Shodná zobrazení Shodná zobrazení Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné. Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné. Mezi shodná zobrazení patří: I. Identita (totožnost) Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů. Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B II. Posunutí (translace) Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body. Zapisujeme: T[AB]: Útvar A ---> Útvar B :3:7 4 z 64
26 III. Osová souměrnost Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé. Zapisujeme: O[<-->p]: Útvar A ---> Útvar B IV. Středová souměrnost Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti. Zapisujeme: S[S]: Útvar A ---> Útvar B V. Otočení (rotace) Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace. Zapisujeme: R[S;+30 ]: Útvar A ---> Útvar B Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace. ± Shodná zobrazení - procvičovací příklady :3:7 5 z 64
27 :3:7 6 z 64
28 :3:7 7 z 64
29 ± Orientovaný úhel Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde V je jejich společný počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu V je vrchol orientovaného úhlu Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček. Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček :3:7 8 z 64
30 Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360 ) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti p rad). Stupňová míra: :3:7 9 z 64
31 Oblouková míra: p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,4. Plný úhel má tedy hodnotu p rad, což je tedy přibližně 6,8 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad : Úhel o velikosti 5 převeďte do obloukové míry. Řešení: :3:7 p rad x rad 30 z 64
32 Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) x= p.5 p = rad 80 Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,6 rad (přibližně) Příklad : Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: p rad x... 3p/4 rad Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) 3p x = = 35o p Úhel má tedy velikost 35. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem:. Převod ze stupňů na míru obloukovou x= p.a o rad 80. Převod z radiánů na míru stupňovou x= 80.arad p ± Převody obloukové a stupňové míry - procvičovací příklady :3:7 3 3 z 64
33 , , :3:7 3 z 64
34 ± Jednotková kružnice Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník :3:7 33 z 64
35 ± Funkce sinus Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony. Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina Poznámky: Funkce shora omezená: :3:7 34 z 64
36 Funkce zdola omezená: :3:7 35 z 64
37 Funkce periodická: :3:7 36 z 64
38 Funkce lichá: Funkce se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a :3:7 37 z 64
39 ± Funkce kosinus Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony. Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a. Poznámky: Funkce sudá: :3:7 38 z 64
40 Funkce se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a ± Funkce tangens Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice: :3:7 39 z 64
41 Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny. Poznámky: Funkce rostoucí: :3:7 40 z 64
42 ± Funkce kotangens Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice: Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny :3:7 4 z 64
43 Poznámky: Funkce klesající: ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu: :3:7 4 z 64
44 Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je AB = c = 8 cm, BC = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC. Řešení: AB = c = 8 cm BC = a = 5 cm a =? [ ] b =? [ ] a c 5 sin a = 8 sin a = :3:7 43 z 64
45 sin a = 0,65 a = 38 4 a c 5 cos b = 8 cos b = cos b = 0,65 b = 5 9 Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38 4 a vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 5 9. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je OQ = p = 5 cm, úhel QOP = Vypočti délku odvěsny PQ = o. Řešení: OQ = p = 5 cm úhel QOP = 35 0 PQ = o =? [cm] tg úhelqop = PQ OQ PQ = OQ. tg úhel QOP PQ = 5. tg 35 0 = 5. 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení) PQ = 3,5 cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm. Příklad 3: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem : 8. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: BC = díl AB = 8 dílů a =? [ ] tga = BC AB tga = 8 tg a = 0,0556 a = :3:7 44 z 64
46 Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3. ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady. Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30. Vypočti povrch válce cm. Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? S delší stranou 3, s kratší stranou Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 0 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60. Vypočti obsah půdorysu chaty. 43,3 m Tělesová úhlopříčka ukvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u svírá úhel a = 4. Vypočti výšku kvádru v :3:7 6,5 dm 45 z 64
47 5. Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80. Vypočti hloubku příkopu ,7 cm 6. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony AB = c = 6,9 cm a úhel CAB = a 34. Vypočti délky odvěsen AC a BC. a = 3,9 cm, b = 5,7 cm Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 8 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B? , 8. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 63 0, a = 6,7 m b = 3,39 m, c = 7,5 m, b = 6 50, g = V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen FG = e = 0,4 m a EG = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Úhel při vrcholu E má velikost a úhel při vrcholu F má velikost V kosočtverci ABCD je úhlopříčka AC = e = 4 cm a úhel SAB = e = 8 ; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. 54 cm :3:7 46 z 64
48 . Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 4 cm, c = 30 cm. b = 8 cm, a = 53 08, b = 36 5, g = V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny XY = z = 9 cm a velikost úhlu úhel XYZ = Vypočti obsah tohoto trojúhelníku. 4,3 cm Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí AT = BT ; T je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST je rovna 90 ; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 0 m pod úhlem w = 0. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.) 5. 40,8 cm 3,4 m Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 48 30, c = 3, m a =,40 m, b =, m, b = 4 30, g = :3: z 64
49 6. Na obrázku jsou narýsovány tečny t a t z bodu P ke kružnici k(s; 3 cm). Platí: PS = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy TT :3:7 478 m Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 8 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy ,7 cm Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent? ks 48 z 64
50 9. Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 4 (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky? 479,8 cm 0. Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 00 m (měřeno ve vodorovné poloze) o,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. 0, V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67. Vypočti délku odvěsny a.,7 cm 460 Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö5 a AC = 4 cm., cm 47. ± Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí ± Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Určíme snadno z jednotkové kružnice na základě znalosti úhlů do :3:7 49 z 64
51 Všimněme si, že pro základní úhel a vychází funkce sinus jako svislá úsečka (označena červeně) a funkce kosinus jako vodorovná úsečka (označena modře). Navíc pro základní úhel a je funkce sinus "krátká" úsečka a funkce kosinus "dlouhá" úsečka. Toho všeho využijeme pro určení dalších vzorců. Obrázek naší jednotkové kružnice využijeme pro určení vzorců pro úhly velikosti (90 + a). Pro určení dalších vzorců budou úvahy analogické, proto už budou pouze popsány slovy (bez náčrtku jednotkové kružnice). Platí tedy: sin (90 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (90 + a) = cos a cos (90 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (90 + a) = - sin a Hodnoty tangens a kotangens určíme z právě uvedených hodnot funkcí sinus a kosinus pomocí známých vzorců: sin (90 + a ) cos a = = -cotg a cos(90 + a ) - sin a cos(90 + a ) - sin a cotg (90 + a ) = = = -tga sin (90 + a ) cos a tg (90 + a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (80 -a): :3:7 50 z 64
52 Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (80 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (80 - a) = sin a cos (80 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (80 - a) = - cos a sin (80 - a ) sin a = = - tg a cos(80 - a ) - cos a cos(80 - a ) - cos a cotg (80 - a ) = = = -cotg a sin (80 - a ) sin a tg (80 - a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (80 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (80 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (80 + a) = - sin a cos (80 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (80 + a) = - cos a sin (80 + a ) - sin a = = tg a cos(80 + a ) - cos a cos(80 + a ) - cos a cotg (80 + a ) = = = cotg a sin (80 + a ) - sin a tg (80 + a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (70 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (70 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (70 - a) = - cos a cos (70 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (70 - a) = - sin a sin (70 - a ) - cos a = = cotg a cos(70 - a ) - sin a cos (70 - a ) - sin a cotg (70 - a ) = = = tg a sin (70 - a ) - cos a tg (70 - a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (70 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické :3:7 5 z 64
53 sin (70 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (70 + a) = - cos a cos (70 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (70 + a) = sin a sin (70 + a ) - cos a = = -cotg a cos(70 + a ) sin a cos(70 + a ) sin a cotg (70 + a ) = = = - tg a sin (70 + a ) - cos a tg (70 + a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (360 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (360 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (360 - a) = - sin a cos (360 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (360 - a) = cos a sin (360 - a ) - sin a = = - tg a cos(360 - a ) cos a cos(360 - a ) cos a cotg (360 - a ) = = = -cotg a sin (360 - a ) - sin a tg (360 - a ) = Ukázkové příklady: Příklad : Vypočtěte: sin cos 0 + tg 50-0,5 tg 45 Řešení: sin ( ) - cos ( ) + tg (80-30 ) - 0,5. = = - sin 30 - (- cos 30 ) + (- tg 30 ) - 0,5 = =- + - = = 3 6 = = Příklad : Vypočtěte: sin cos ,5. tg tg :3:7 5 z 64
54 Řešení: Při řešení využijeme vlastností, že goniometrické funkce jsou periodické. U funkcí sinus a kosinus můžeme libovolně přičítat (odečítat) periodu 360, resp. její násobky. U funkcí tangens a kotangens můžeme libovolně přičítat nebo odečítat násobky periody, kterou je 80. sin cos ,5. tg tg 495 = sin cos 5 + 0,5. tg 60 + tg 35 = = sin ( ) - cos ( ) + 0,5. tg 60 + tg ( ) = = - sin 60 - (- cos 45 ) + 0,5. tg 60 + (- cotg 45 ) = = = = =- = - ± Goniometrické funkce úhlů větších než 90 - procvičovací příklady. 7-0, , , , :3:7-0, z 64
55 , , , , , , , :3:7 0,5 54 z 64
56 . 73 0, , , , , , , ± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi využíváme ke zjednodušování výrazů obsahujících goniometrické funkce a dále i k řešení goniometrických rovnic, jimiž se budeme zabývat později :3:7 55 z 64
57 Přehled důležitých vzorců, které budeme často využívat: sin x cos x cos x cotg x = sin x tgx = sin (-x) = - sin x cos (-x) = cos x tg (-x) = - tg x cotg (-x) = - cotg x sin x + cos x = tg x. cotg x = sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y sin (x - y) = sin x. cos y - cos x. sin y cos (x + y) = cos x. cos y - sin x. sin y cos (x - y) = cos x. cos y + sin x. sin y tgx + tgy - tgx.tgy tgx - tgy tg ( x - y ) = + tgx.tgy tg ( x + y ) = sin x = sin x. cos x cos x = cos x - sin x tg x = tgx - tg x sin x - cos x = cos x + cos x = tg x - cos x = + cos x x+ y x- y cos x+ y x- y sin x - sin y = cos sin x+ y x- y cos x + cos y = cos cos x+ y x- y cos x - cos y = - sin sin sin x + sin y = sin Příklad : :3:7 56 z 64
58 Řešení: Příklad : Řešení: Příklad 3: Řešení: Příklad 4: Řešení: Příklad 5: Řešení: Příklad 6: :3:7 57 z 64
59 Řešení: Příklad 7: Řešení: Příklad 8: Řešení: Příklad 9: Řešení: :3:7 58 z 64
60 Příklad 0: Řešení: ± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady :3:7 59 z 64
61 :3:7 60 z 64
62 :3:7 6 z 64
63 :3:7 6 z 64
64 :3: z 64
65 :3:7 64 z 64
66 Obsah Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady Shodná zobrazení Shodná zobrazení - procvičovací příklady Orientovaný úhel Převody obloukové a stupňové míry - procvičovací příklady Jednotková kružnice Funkce sinus Funkce kosinus Funkce tangens Funkce kotangens Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Goniometrické funkce úhlů větších než 90 - procvičovací příklady Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady :3:
M - Řešení pravoúhlého trojúhelníka
M - Řešení pravoúhlého trojúhelníka Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceM - Goniometrie a trigonometrie
M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceM - Příprava na 9. zápočtový test
M - Příprava na 9. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceM - Planimetrie - řešení úloh
M - Planimetrie - řešení úloh Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Více6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)
6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Více8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku
6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen
VícePRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ
VíceM - Planimetrie pro studijní obory
M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceGONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceRadián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.
Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceTrojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.
Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
Víceje-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!
-----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 2
M - Příprava na pololetní písemku č. Určeno pro třídy SA, SB. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VícePRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná
PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků
VíceTémata absolventského klání z matematiky :
Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
VíceM - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.
M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
VíceGeometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy
1 Metrické vlastnosti 9000153601 (level 1): Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: eometrie Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné
VíceÚlohy k procvičení kapitoly Obsahy rovinných obrazců
Úlohy k procvičení kapitoly Obsahy rovinných obrazců 1. Vypočtěte obvod a obsah obrazců nakreslených na obrázku 1. (Rozměry jsou udány v mm.) Obrázek 1 2. Na pokrytí 1 m 2 střechy se spotřebuje 26 ražených
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceOpakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce
Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny
Více10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )
Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
Více2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
VíceSHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky HODNÁ PODOBNÁ ZOBRZENÍ V ROVINĚ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, září 2013
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
VíceDoučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy
Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
VíceVariace Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory
Variace 1 Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory 1. Goniometrie a trigonometrie 2. Orientovaný úhel 2 3 4 3. Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady 1. 1617 2. 1611 3. 1622 4. 1614 5.
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
Více1. Opakování učiva 6. ročníku
. Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla
VícePřípravný kurz - Matematika
Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 12 19 9:02 Kontrukční úlohy Výsledkem
VíceSTEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0527
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletku - třída 3ODK
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třída 3ODK Učebnice je určena pro přípravu na 3. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceFunkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
VíceSOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi
VíceProjekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník
Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2014
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
Víceod zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.
VíceTrojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.
Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceZáklady geometrie - planimetrie
Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme
Více+ S pl. S = S p. 1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) 9. ročník Tělesa
1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) Jehlan je těleso, které má jednu podstavu tvaru n-úhelníku. Podle počtu vrcholů n-úhelníku má jehlan název. Stěny tvoří n rovnoramenných trojúhelníků se společným vrcholem
VícePojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),
Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VíceGEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková
GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Vícec jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.
Úloha 1 1 b. Od součtu neznámého čísla a čísla 17 odečteme rozdíl těchto čísel v daném pořadí. Vypočtěte a zapište výsledek v. Úloha 2 1 b. 25 Na číselné ose jsou obrazy čísel 0 a 1 vzdáleny 5 mm. Určete
VíceHusky KTW, s.r.o., J. Hradec
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu MatemaTech Matematickou cestou k technice. Předmět: Matematika Téma: Goniometrie při měření výrobků Věk žáků: 15-16 let Časová dotace: Potřebné pomůcky,
VíceDIDAKTIKA MATEMATIKY
DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Víceβ 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:
GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového
VíceMATEMATIKA 6. ročník II. pololetí
Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =
Více2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceTest Zkušební přijímací zkoušky
Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VícePlanimetrie pro studijní obory
Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie
VíceAXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.
AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VícePřípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro
Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.
Více4.2.15 Funkce kotangens
4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
Více