Úvod k přednášce Pokročilá matematická logika.

Transkript

1 1 Úvod k přednášce Pokročilá matematická logika. I Matematická logika se zabývá všeobecnou problematiku platnosti tvrzení tak, že koncipuje logiky specifikací bazální syntaxe a sémantiky, formuluje fundamentální poznatky o nich a následně je metodicky rozvíjí a aplikuje. Dle charakteru specifikace se mluví o klasických a neklasických logikách. Bazální syntax je, obecně řečeno, tvořena symboly, výrazy nad nimi a vztahem odvoditelnostivýrazu ϕznějakémnožiny Φvýrazů;píšemepak Φ ϕaříkámetaké,že ϕjedokazatelné z Φ. Bazální sémantika je tvořena systémem interpretačních oborů(stručně modelů) pro symboly avýrazyavztahem =platnostivýrazu ϕvnějakémmodelu A;píšeme A = ϕ.když A = ϕ prokaždé ϕzφ,je Amodel Φapíšeme A = Φ.Pokud ϕplatívkaždémmodelumnožiny Φ, říkáme,že ϕplatíčijepravdivéve Φapíšeme Φ = ϕ.výrazyjsoupodlejistýchpravidelsestrojené sekvence symbolů(eventuálně nekonečné). Symboly jsou jednak logické(proměnné různých druhů, logické spojky,,& atd., =, kvantifikátory různých druhů, modální a temporální logické operátory atd.), jednak mimologické, dané nejčastěji jako nějaká signatura(též vokabulář), tj. soubor relačních a funkčních symbolů konečných četností. Symboly a výrazy tvoří jazyk uvažované logiky. Výrazy se nazývají formule, jisté z nich pak sentence, totiž ty, ve kterých je každý výskyt proměnné kvantifikovaný. Konečné sekvence sestavené korektně z funkčních symbolů a proměných se nazývají termy. V takto koncipované logice se pak všeobecně řečeno studují množiny Φ sentencí s ohledem na dokazatelnost, pravdivost a škálu jejich modelů, speciálně též co do algoritmičnosti zjištění dokazatelnosti a pravdivosti. Splývají-li vztahy a = na sentencích, říká se, že dedukce (uvažované logiky) je kompletní a také, že tato logika je kompletní. Pojem logického systému, představující jistou abstrakci nastíněných logik, dovoluje srovnávat různé logiky a dokázat níže ve II uvedenou zajímavou Lindströmovu větu o jisté výlučnosti predikátové logiky s rovností. Klasické logiky jsou výroková logika PL a predikátová logika s rovností, uváděná též jako logika prvého řádu FOL; v ní jde o úsudky o individuích, dovolující vyjádřit predikování, operování a kvantifikování individuí. Je dvouhodnotová co do počtu pravdivostních hodnot. Bazální syntax FOLobsahujepromměnné v 0,v 1,... symbolizujícíindividua,dálelogickéspojkynegacea implikace(adalšíjakozkratky),kvantifikátory ( )arovnost;proměnné v n častoznačíme x,y,z. Výrokovou logiku PL lze chápat jako fragment FOL o nulárních predikcích, zvaných prvovýroky (též výrokové proměnné); rovnost a kvantifikování je bezpředmětné. Mimologické symboly zadává signatura,tj.soubor Vtvaru R,...,F,... relačníchafunkčníchsymbolůkonečnýchčetností. Jsoudáledánymnožiny Tm V, Fm V, Sent V všech V-termů, V-formulí, V-sentencí,logickéaxiomy, pravidla dedukce(čili odvozování) a na jejich základě pojem důkazu a vztah odvozování(dokazatelnosti) V-formule ϕzγ Fm V,zapsanýjako Γ ϕ.dvojice T = V,Γ sγ Fm V se nazývá V-teorieaΓjsoujejímimologickéaxiomy; Γ ϕpakzapíšemejako T ϕařekneme,že ϕjeteorém T. Th T resp. Rf T značímnožinuvšechteorémůresp.vyvratitelnýchsentencíteorie T,tj.takových ϕ,že T ϕ.nezávislásentenceteorie T jetaková,kteránenívth T Rf T. Teorieje T bezesporná,když Th T Rf T = 0;jinakjesporná. V -teorie T extenze T,když V jeextenze VaTh T Th T ;extenze T jejednoduchá,je-li V = V.Je-li T extenze T anaopak, je TekvivalentnísT.Modelteorie Tje V-struktura A,vekterémplatívšechnyaxiomy,píšeme A = T,eventuálně A = Γ.Pravdiváformuleteorie T je V-formule ϕ,platícívevšechmodelech tétoteorie;píšeme T = ϕ,eventuálně Γ = ϕ.je-li T prázdná V-teorie,tj. T = V,,píšeme místo T ϕjen ϕnebopodrobněji V ϕapodobněs =.Dedukce FOLjekorektní,tj.platí: prokaždouteorii T ajejísentenci ϕje T ϕ T = ϕ.důležitýjedálepojmekompletníteorie T,značící,že T jebezespornáanemánezávislousentenci,čili Sent T = Th T Rf T disjunktně. Je-li A nějaká V-struktura, symbolem Th(A) se značí teorie struktury A, tj. V-teorie, jejímiž axiomy jsou všechny V-sentence platné v A. Dvě V-struktury A, B jsou elementárně ekvivalentní, píšeme A B,platí-livobouprávětytéž V-sentence;tonastáváprávěkdyž Th(A) = Th(B). Fundamentální poznatky FOL jsou zejména věta o kompletnosti, věta o kompaktnosti a věta Löwenheim-Skolemova. Přitom věta o kompletnosti je ekvivalentní větě o existenci modelu každé bezesporné teorie(která triviálně implikuje větu o kompaktnosti). Věta o kompletnosti říká:

2 2 prokaždouteorii Tajejísentenci ϕje T ϕ T = ϕ. Vyjadřuje se to také tak, že dedukce je kompletní. Uvedené věty objasňují dále strukturu třídy všech modelů dané teorie; např. platí, že žádná teorie nemůže mít až na izomorfizmus jediný nekonečný model. Důsledkem je též, že bezesporná teorie je kompletní, právě když je ekvivalentní teorii jakéhokoli svého modelu; model kompletní teorie je tedy až na elementární ekvivalenci jediný. Rozhodnutelnost dané teorie v rekurzivní signatuře znamená, že množina všech jejich pravdivých (a díky kompletnosti dokazatelných) formulí je rekurzivní, neboli lze algoritmicky zjistit tuto pravdivost(dokazatelnost). Symboly a formule jakožto konečné sekvence symbolů pojímáme zde jako kódované přirozenými čísly. Přirozená čísla jako aritmetický obor dovolují provádět potřebné syntaktické obraty, např. induktivní definování. V této souvislosti pak mluvíme o aritmetizaci syntaxe;mámepaksignaturuapredikce býtformulí, býtaxiomem, býtdůkazemsentence prezentovány číselnými relacemi. Při studiu rozhodnutelnosti vždy předpokládáme, že uvažované signatury jsou rekurzivní; pak např. uvedené relace jsou rekurzivní. Fundamentální poznatky o rozhodnutelnosti jsou zejména věta o nerozhodnutelnosti a nekompletnosti extenzí Robinsonovy aritmetiky Q, prvá Gödelova věta o nezávislé standardně pravdivé sentenci a druhá Gödelova věta onedokazatelnostibezespornosti.praktickéje kompletní kriteriumrozhodnutelnosti:kompletní rekurzivně axiomatizovaná teorie je rozhodnutelná. Opačná implikace však neplatí. Ve FOL se axiomatizují četné problematiky, které jsou tím pojaty jako teorie prvého řádu; uveďmeněkteré.teoriemnožin ZFC(vsignatuře V = ),Robinsonovaaritmetika QaPeanovaaritmetika P,rozšiřující Qoschemaaxiomůindukce(oběvsignatuře V ar = S,+,,0, ), teorietělesresp.uspořádanýchtěles FL(V fl = +,,,0,1 )resp. OFL(V ofl = V fl =rozšíření V fl osymbol ),teoriegrafů Ghanáhodnýchgrafů RGh(oběvV gh = E ); RGhjeextenze Gh oaxiom ( x,y)(x y)aschema {ψ n ; 0 < n N},kde ψ n jeuzávěrformule i,j<nx i y j ( z) i<n(e(x i,z) & E(y i,z)). V ar -struktura N = N,S,+,,0,,zvanástandardnímodelpřirozených čísel, je modelem P.(Uvedené operace a predikce jsou obvyklé; S je operace následníka.) MnožinydefinovatelnévNsenazývajíaritmetické;tvoříaritmetickouhierarchiitzv. Σ n -aπ n - množin,kdepro n > 0znamená Σ n definovatelnost Σ n -formulíaritmetiky,tj. V ar -formulítvaru ( x n )( x n 1 )( x n 2 ) (Qx 1 )ϕ(nblokůstřídajícíchsekvantifikací,začínající ),přičemž ϕobsahujenejvýšeomezenékvantifikacetypu (Qx y);začíná-liblok,jdeoπ n -formuli.rekurzivně spočetnéjsouprávě Σ 1 -množinyarekurzivníty,kteréjsounavíciπ 1 (čilijsouto 1 -množiny). Tělesoreálnýchčísel R = R,+,,,0,1 jemodel FL,jehoexpanze R oobvykléuspořádáníje model OFL.Podobnějetomuspodstrukturou Q = R Qtělesa R,tj.tělesemracionálníchčísel atakésuspořádanýmtělesemracionálníchčísel Q (= R Q).Těleso C = C,+,,,0,1 (kde uvedené operace jsou obvyklé) je modelem teorie algebraicky uzavřených těles, značené ACF; píše se C = ACF.Dokonce C = ACF 0,kde ACF 0 značíteoriialgebraickyuzavřenýchtělescharakteristiky 0.Podobnětěleso Z p,kde pjeprvočíslo,jemodelemteorie ACF p algebraickyuzavřených těles prvočíselné charakteristiky p. Neklasické logiky mohou obsahovat proměnné pro relace, funkce, systémy relací atd., další kvantifikátory, modální operátory(nutně, možně), temporální operátory(příště, vždy, někdy) aj.) Logikadruhéhořádu SOLobsahujerelačníproměnné V0 n,v1 n,...provšechnykonečnéčetnosti n > 0; mohou být kvantifikovány a jsou interpretovány jako relace na individuích. Nekonečná logika L ω1ωoproti FOLpřipouštínavícspočetnédisjunkce.Vícehodnotovávýrokoválogika připouští vůči klasické více než dvě pravdivostní hodnoty. Lineární temporální logika LTL rozšiřujevýrokovoulogikusmnožinou Pprvovýrokůotemporálníoperátory, (příště,vždy) (aodvozený (někdy): Aje A, Ajeformule),onovépravidlotvorbyformulí,otřinové logické axiomy a o dvě nová pravidla dedukce. Sémantické interpretace, motivované ideou, že formule nabývají platnosti nad sekvencí stavů(či časovou škálou), jsou temporální(též kripkovské) struktury K = η i i N takové,že η i : P 2(= {0,1})jsoustavy,přičemž η 0 jepočátečnístav K. Proformuli Aai Njedefinována pravdivostníhodnota Avi-témstavu K induktivněpodle složitosti A. Lineární temporální logika prvého řádu FOLTL rozšiřuje logiku prvého řádu FOL i LTL. Řada výše uvedených pojmů logiky prvého řádu se po příslušné modifikaci uplatní i v neklasických logikách. Metodický rozvoj a aplikace se uplatnily především prostřednictvím logiky prvého řádu

3 3 vyvinutím specifických metod ke studiu zásadních teorií, zvláště pak jejich modelů. V teorii množin se rozvinula zejména teorie booleovských modelů, forcingu a symetrických modelů, v aritmetice (Peanově aj.) pak metody konstrukce podmodelů a studium struktury modelů aritmetik. Obecněji se pak studiem struktury modelů zabývá teorie modelů, kde je rozvinuta klasifikace teorií a struktur pomocí Stoneova prostoru algeber definovatelných množin, pomocí kombinatorické geometričnosti, stability aj. Konečně nestandardní množinové principy, zdůvodněné na základě studia ultramocnin univerza množin(a původně určené zejména ke korektní matematizaci infinitezimálních veličin) umožňují neobvyklé postupy při řešení širokého spektra problémů; značně zajímavé jsou například nestandardní obraty v teorii čísel. Další uplatnění logiky lze najít v informatice, kde se často jedná o neklasické logiky. Platí např. Faginova věta: Bud K na izomorfizmus uzavřená třída konečných modelů pro neprázdnou konečnousignaturu.pak KjevNP,právěkdyžje Kzobecněnéspektrum,tj.jetotřídavšech konečnýchmodelůnějakéexistenčnísentencedruhéhořádu(tvaru ( V n0 0 řádu). Snadným důsledkem je pak věta Cooka a Levina: SAT je NP-kompletní. II ) ( V ni i )ψsψprvého Řadulogikmůžemezastřešitpomocípojmulogickýsystém,cožjedvojice L, = L,stručně L, kde L jemonotonnípřiřazenímnožiny sentencí jakékolisignatuře Va = L jeabstraktnívztah platnosti takovýchsentencíve V-strukturách;nastává-li,píšeme A = L ϕapaktoznamená,že pronějakousignatura Vje ϕv L (V)aAje V-struktura.NavíczA = L ϕplyne A = L ϕ,je-li AizomorfnísA a A = L ϕ A V = L ϕ,je-li V Vaϕz L (V ).Oborplatnosti M V L (ϕ) sentence ϕje M V L (ϕ) = {A; Aje V-strukturaaA = L ϕ}.logickýsystém L jesilnějšínež L, píšeme L L,kdyžprokaždé Vaϕ L (V)existuje ϕ L (V)tak,že M V L (ϕ) = MV L (ϕ ). L a L jsoustejněsilné,píšeme L L,je-li L L a L L.Když Lzachycujenegaci,implikaci a relativizaci struktur a dovoluje eliminovat funkční symboly relačními, říkáme, že je regulární. Logikaprvéhoadruhéhořádualogika L ω1ωurčujípřirozenýmzpůsobemlogickésystémyznačené L I a L II a L ω1,ω;tyjsouregulární.(uvedenéznačkymohoudáleznačitdlekontextuipříslušnou logiku.) Pojem modelu, splnitelné a pravdivé sentence, jakož i další, používáme analogicky jako vlogiceprvéhořádu.platílindströmovavěta:je-li LregulárnílogickýsystémsL I L,který je navíc kompaktní(tj. má-li každá množina L-sentencí model, jakmile každá její konečná část má model) a löwenheim-skolemovský(tj. jestliže každá L-sentence má nejvýše spočetný model, jakmilemámodel),tak L L I.Tímjekonstatovánajedinečnost FOLmeziregulárnímilogickými systémy,kteréjsoukompaktníalöwenheim-skolemovské. L II, L ω1,ωnejsoukompaktníal II není löwenheim-skolemovský.navícexistujesentence ϕ c LII ( )logikydruhéhořádusprázdnou signaturoutaková,žeobvykláteoriemnožin ZFCdokazuje: = LII ϕ c platíhypotézakontinua CH.Protože CHjenezávislétvrzení ZFC,jenezávisléitvrzení,že ϕ c jevlogice L II platnáve všech -strukturách: ZFCnedokazuje = LII ϕ c, ZFCnedokazuje = LII ϕ c. Naprotitomuprokaždousentenci ϕ LI ( )(sentenciprázdnéteorieve FOL) ZFCdokazuje = ϕnebo ZFCdokazuje = ϕ.dokoncelzepravdivosttakovésentence ϕ,čilito,žejeteorémem prázdnéteorie PEčistérovnosti,zjistitalgoritmicky.Nekompaktnost L II mázanásledek,žepro L II neexistujekompletnídedukce,tj.splňující: prokaždé V, ϕ LII (V)aΦ LII (V)je Φ = LII ϕ Φ ϕ. Jinakbytotižpomocí bylomožnédokázatkompaktnost L II podobně,jakopro L I.To,že L II nenílöwenheim-skolemovskýsystémplynenapř.zexistencesentence ϕ R LII (V ofl )takové, že A = LII ϕ R A = R,kde =značívztah býtizomorfní.vidímetedy,že ϕ R máažna izomorfizmus jediný model. V L I žádnásentencečiteorienemůžemítažnaizomorfizmusjedinýnekonečnýmodel.může však mít až na na izomorfizmus jediný model v nějaké kardinalitě κ; říkáme pak, že je κ-kategorická. Např. PE je κ-kategorická pro každé κ > 0. Platí značně netriviální Morleyova věta o nespočetné kategoričnosti: Spočetná kompletní teorie je κ-kategorická pro nějaké κ nespočetné, právě když je κ-kategorická pro každé κ nespočetné. Přitom teorie je spočetná, je-li v nejvýše spočetné signatuře, a je kompletní, je-li bezesporná a nemá nezávislou sentenci. Je zajímavé, že spočetná kompletní teorienemůžemítprávědvaspočetnémodely;můževšakmítprávětři.funkce I T (κ) =počet

4 4 neizomorfních modelů teorie T, majících kardinalitu κ(tj. jejichž univerzum má kardinalitu κ) senazýváizomorfníspektrumteorie T.Tedykdyž Tje κ-kategorická,je I T (κ) = 1.Např.teorie RGh náhodných grafů je ω-kategorická. Výše zmíněnou rozhodnutelnost teorie PE čisté rovnosti lze zdůvodnit existencí algoritmicky popsatelného kompletu, tj. systému všech typů kompletních jednoduchých extenzí PE.(Jednoduchá extenze teorie je její extenze ve stejné signatuře.) Podobně lze např. dokázat rozhodnutelnostteorie ACFalgebraickyuzavřenýchtěles(potřebnýkompletje {ACF p ; pjeprvočísloči 0}) a také(dosti komplikovaně) rozhodnutelnost teorie BA Booleových algeber. Oproti tomu teorie těles FL je nerozhodnutelná, neboť má silně nerozhodnutelný model Q. Všimněme si toho podrobněji. Struktura A je silně nerozhodnutelná, je-li nerozhodnutelná každá teorie(v signatuře struktury A), která má A za model. Platí: Je-li ve struktuře B definovatelná bez parametrů silně nerozhodnutelná struktura konečné signatury, je B silně nerozhodnutelná. Struktura N je silně nerozhodnutelná díky nerozhodnutelnosti Q. Struktura Z je silně nerozhodnutelná, protože je v ní definovatelná silně nerozhodnutelná struktura N(díky Lagrangeově větě). Protože Z je definovatelnébezparametrůvq(j.robinsonová),jetaké Qsilněnerozhodnutelné.PakiZ, Q jsou silně nerozhodnutelné. Tudíž jsou nerozhodnutelné teorie:[komutativních] okruhů,[uspořádaných] oborůintegrity,[uspořádaných]těles[charakteristiky 0].Množiny Th(N), Th(Z), Th(Z ), Th(Q), Th(Q )nejsouaniaritmetické,neboťprvánenídíkydiagonálnímulemmatuoautorefernciapro ostatní to lze dokázat pomocí výše uvedených definovatelností struktur. Avšak Th(R) je rekurzivní (přičemž R je těleso reálných čísel); jako teorie je ekvivalentní teorii reálně uzavřených těles RCF. Podobněteorietělesakomplexníchčíseljerozhodnutelnáaekvivalentníteorii ACF 0 algebraicky uzavřených těles charakteristiky 0. Uveďme ještě, že existuje silně nerozhodnutelná nekomutativní grupa,grafasvaz;každáteorie,kterámáněkterouztěchtostrukturzamodeljetedynerozhodnutelná. Speciálně je nerozhodnutelná teorie grup, avšak teorie komutativních(čili abelovských) grup je rozhodnutelná. Teorie uspořádání je nerozhodnutelná, neboť silně nerozhodnutelný svaz je také uspořádání. Teorie LO lineárního uspořádání, rozšiřující teorii uspořádání o axiom dichotomie x y y x,jerozhodnutelná;důkazvšakneníjednoduchý.snazšíjedokázatrozhodnutelnost např. pro jednoduchou extenzi ILO teorie LO o axiomy každý prvek kromě prvního má bezprostředníhonásledníka a každýprvekkroměposledníhomábezprostředníhopředchůdce. Buďještě ILO ij s i,j {0,1}extenze ILOo existuje[neexistuje]nejmenšíprvek,je-li i = 1[0] a existuje[neexistuje]největšíprvek,je-li j = 1[0].Pak ILO ij mákonečnýmodel,právěkdyž i = j = 1aILOneníkompletní.Uveďmekonečně,žeteorienásledujícíchstrukturjsourozhodnutelné(Sjeoperacenásledníka): S,0, S,+,0,, Z,, Q, ;teoriestruktury S,+,0, je ekvivalentní Presburgerově aritmetice. Pro Vbuď FT V = {ϕ Sent V ; ϕplatívkaždékonečné V-struktuře}.PlatíTrachtenbrotova věta:je-li Vkonečnásignaturaobsahujícíbinárnírelačnínebofunkčnísymbol,není FT V rekurzivně spočetně axiomatizovatelná. Důsledkem je věta o neúplnosti logiky druhého řádu: Je-li V konečná signatura obsahující binární relační nebo funkční symbol, množina všech pravdivých V-sentencí druhého řádu není rekurzivně spočetná. Na základě aritmetizace lze elegantně rozvinout nauku o částečně rekurzivních funkcích včetně zásadního poznatků o aritmetické hierarchii, totiž že hierarchie nekolabuje, ale roste: pro n > 0 je Σ n Π n Σ n+1.uveďmeještě,žeplatí:(množiny Th Q a Rf Q jsouoběrekurzivněspočetné, navzájem disjunktní(díky bezespornosti Q), rekurzivně neoddělitelné a kompletní, tj. je na ně m-převoditelná každá rekurzivně spočetná množina. Dále množina nezávislých sentencí teorie Q, tj. Sent Q (Th Q Rf Q ),je Π 1 anení Σ 1 (tj.nenírekurzivněspočetná). Problematika kolabování je obecně jakožto problematika deskriptivní složitosti definovatelných množin důležitá a zajímavá. Lze ji formulovat pro V-teorii T jako otázku po existenci množiny Φnějakých V-formulítak,žeprokaždou V-formuli ϕ(x)sdélkou x > 0existujeformule ϕ (x) ve ΦsT ϕ ϕ ;říkásepak,že Φjeeliminačnípro T.Lze-liza Φvzítmnožinuvšech otevřených čili bezkvantifikátorových V-formulí, říká se, že T má eliminaci kvantifikátorů. Pak v modelu A teorie T je každá definovatelná množina definovatelná již otevřenou formulí a také je obor množin definovatelných v A otevřenými formulemi uzavřený na projekce. To např. speciálně tvrdí Chevalleyova věta o algebraicky uzavřených tělesech(modelech ACF); je to prakticky jen

5 reformulace eliminace kvantifikátorů pro ACF; ta je logickými prostředky snadno dokazatelná. Uveďme, že má-li teorie T eliminaci kvantifikátorů, je modelově kompletní, tj. jsou-li A B její dvamodely,tak Ajeelementárnípodstruktura B,symbolicky A B,tj.prokaždouformuli ϕ(x)teorie T a a Aplatí A = ϕ[a] B = ϕ[a].cvičnějezajímavé,že Th( Q,< )(<je obvyklé) má eliminaci kvantifikátorů, Th( Z, < ) nemá, avšak extenze poslední teorie o axiomy x < n y ϕ n (x,y)sn>0,kde ϕ n jetvaru x < y & mezi x,yexistujeprávě nprvků,má eliminacikvantifikátorů;množina Φformulítvaru x = z, x < y, ϕ n s n > 0jetudíželiminační pro Th( Z,< ). Povšimněme si ještě přirozených čísel a jejich aritmetiky. Podobně jako pro reálná čísla existujesentence ϕ N druhéhořádutak,žemá,ažnaizomorfizmus,jedinýmodel,totiž N.Jinakje tomu ve FOL. Základními teoriemi aritmetiky zde jsou Q a Peanova aritmetika P, rozšiřující Q o schema indukce; platí N = P. V P lze interpretovat Zermelo-Fraenkelovu teorii konečných množin a metaforicky řečeno lze P považovat za digitální teorii konečných množin. Model N se nazývá standarní model aritmetiky. Buď T teorie jednoduše rozšiřující Q. Vlastní rozšíření standardního modelu do modelu aritmetiky T a také každá izomorfní kopie takového rozšíření se nazývá nestandardní model T. Existence nestandardních modelů různých kardinalit plyne z věty o kompaktnosti alöwenheim-skolemovyvěty.buď M,S M,+ M, M,0 M, M nestandardnímodel;tenneníizomorfnísn.je-li Mspočetné,jezřejměažnaizomorfizmustvaru N,S M,+ M, M,0 M, M.To, že takový nestandardní model Peanovy aritmetiky je nesnadno popsatelný ve všeobecnosti říká Tennenbaumovavěta:Je-li N,S M,+ M, M,0 M, M nestandardnímodel P, + M, M nejsourekurzivní. Jinak je tomu s Robinsonovou aritmetikou Q: existuje řada rozmanitě zajímavých modelů Q, poskytujících nedokazatelné sentence této teorie. 5