Logika, Gödel, neúplnost

Transkript

1 Logika, Gödel, neúplnost Vítězslav Švejdar Karlova Univerzita v Praze, Český klub skeptiků, 23. únor 2018 Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 1/13

2 Obsah Logické kroky v důkazech, logická analýza Axiomatické teorie, struktury, úplnost Rekurzívně spočetné množiny, neúplnost Souvislosti Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 2/13

3 Symboly a symbolické zápisy Příklad 1 Každé přirozené číslo tvaru k je prvočíslo. Tedy 127, čili , je prvočíslo. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 3/13

4 Symboly a symbolické zápisy Příklad 1 Každé přirozené číslo tvaru k je prvočíslo. Tedy 127, čili , je prvočíslo. Příklad 2 Kdykoliv je číslo 3 dělitelem čísla x y, pak je dělitelem některého z činitelů x a y. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 3/13

5 Symboly a symbolické zápisy Příklad 1 Každé přirozené číslo tvaru k je prvočíslo. Tedy 127, čili , je prvočíslo. Příklad 2 Kdykoliv je číslo 3 dělitelem čísla x y, pak je dělitelem některého z činitelů x a y. Příklad 3 Everybody loves my baby, my baby loves nobody but me. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 3/13

6 Symboly a symbolické zápisy Příklad 1 Každé přirozené číslo tvaru k je prvočíslo. Tedy 127, čili , je prvočíslo. Příklad 2 Kdykoliv je číslo 3 dělitelem čísla x y, pak je dělitelem některého z činitelů x a y. Symbolicky: x y( ). Příklad 3 Everybody loves my baby, my baby loves nobody but me. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 3/13

7 Symboly a symbolické zápisy Příklad 1 Každé přirozené číslo tvaru k je prvočíslo. Tedy 127, čili , je prvočíslo. Příklad 2 Kdykoliv je číslo 3 dělitelem čísla x y, pak je dělitelem některého z činitelů x a y. Symbolicky: x y(3 x y 3 x 3 y). Příklad 3 Everybody loves my baby, my baby loves nobody but me. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 3/13

8 Symboly a symbolické zápisy Příklad 1 Každé přirozené číslo tvaru k je prvočíslo. Tedy 127, čili , je prvočíslo. Příklad 2 Kdykoliv je číslo 3 dělitelem čísla x y, pak je dělitelem některého z činitelů x a y. Symbolicky: x y(3 x y 3 x 3 y). Příklad 3 Everybody loves my baby, my baby loves nobody but me. Symbolicky: xl(x, B) & y(l(b, y) y = M). Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 3/13

9 Symboly a symbolické zápisy Příklad 1 Každé přirozené číslo tvaru k je prvočíslo. Tedy 127, čili , je prvočíslo. Příklad 2 Kdykoliv je číslo 3 dělitelem čísla x y, pak je dělitelem některého z činitelů x a y. Symbolicky: x y(3 x y 3 x 3 y). Příklad 3 Everybody loves my baby, my baby loves nobody but me. Symbolicky: xl(x, B) & y(l(b, y) y = M). Symbolické zápisy tvrzení a podmínek (čili formule) obsahují mimologické symboly, například +,,, L, M, B, a logické symboly. Logické symboly jsou logické spojky, &, a, a kvantifikátory a. Mezi logické symboly lze počítat i rovnítko =. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 3/13

10 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

11 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

12 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

13 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

14 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 3n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 6n + 2. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

15 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 3n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 6n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 6n Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

16 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 3n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 6n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 6n Všechny čtyři případy jsou příznivé, x y není dělitelné třemi. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

17 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 3n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 6n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 6n Všechny čtyři případy jsou příznivé, x y není dělitelné třemi. Tím je dokázáno x y(3 x y 3 x 3 y). Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

18 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 3n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 6n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 6n Všechny čtyři případy jsou příznivé, x y není dělitelné třemi. Tím je dokázáno x y(3 x y 3 x 3 y). Logický důsledek dvou veršů z Příkladu 3 Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

19 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 3n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 6n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 6n Všechny čtyři případy jsou příznivé, x y není dělitelné třemi. Tím je dokázáno x y(3 x y 3 x 3 y). Logický důsledek dvou veršů z Příkladu 3 Protože xl(x, B), máme i L(B, B). Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

20 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 3n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 6n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 6n Všechny čtyři případy jsou příznivé, x y není dělitelné třemi. Tím je dokázáno x y(3 x y 3 x 3 y). Logický důsledek dvou veršů z Příkladu 3 Protože xl(x, B), máme i L(B, B). Protože y(l(b, y) y = M), máme i L(B, B) B = M. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

21 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 3n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 6n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 6n Všechny čtyři případy jsou příznivé, x y není dělitelné třemi. Tím je dokázáno x y(3 x y 3 x 3 y). Logický důsledek dvou veršů z Příkladu 3 Protože xl(x, B), máme i L(B, B). Protože y(l(b, y) y = M), máme i L(B, B) B = M. Z L(B, B) a L(B, B) B = M plyne Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

22 Příklady důkazů Důkaz tvrzení o dělitelnosti třemi z Příkladu 2 Nechť 3 x neplatí, a 3 y také neplatí. Takže máme k takové, že x = 3k + 1 nebo x = 3k + 2, a současně máme n takové, že y = 3n + 1 nebo y = 3n + 2. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 3n + 1. Když x = 3k + 1 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 3n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 1, pak x y = 9kn + 3k + 6n + 2. Když x = 3k + 2 a y = 3n + 2, pak x y = 9kn + 6k + 6n Všechny čtyři případy jsou příznivé, x y není dělitelné třemi. Tím je dokázáno x y(3 x y 3 x 3 y). Logický důsledek dvou veršů z Příkladu 3 Protože xl(x, B), máme i L(B, B). Protože y(l(b, y) y = M), máme i L(B, B) B = M. Z L(B, B) a L(B, B) B = M plyne B = M. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 4/13

23 Formalizace důkazů, úplnost 1 Logické kroky v důkazech Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 5/13

24 Formalizace důkazů, úplnost 1 Logické kroky v důkazech Instanciace Z xϕ(x) lze (je povoleno) odvodit ϕ(t). Z ϕ(t) lze odvodit xϕ(x). Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 5/13

25 Formalizace důkazů, úplnost 1 Logické kroky v důkazech Instanciace Z xϕ(x) lze (je povoleno) odvodit ϕ(t). Z ϕ(t) lze odvodit xϕ(x). Rozbor případů Z α ϕ, β ϕ a α β lze odvodit ϕ. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 5/13

26 Formalizace důkazů, úplnost 1 Logické kroky v důkazech Instanciace Z xϕ(x) lze (je povoleno) odvodit ϕ(t). Z ϕ(t) lze odvodit xϕ(x). Rozbor případů Z α ϕ, β ϕ a α β lze odvodit ϕ. Generalizace Z ψ ϕ(x) lze odvodit ψ xϕ(x), pokud se ve ψ nemluví o x. Také z ϕ(x) ψ lze odvodit xϕ(x) ψ, pokud se ve ψ nemluví o x. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 5/13

27 Formalizace důkazů, úplnost 1 Logické kroky v důkazech Instanciace Z xϕ(x) lze (je povoleno) odvodit ϕ(t). Z ϕ(t) lze odvodit xϕ(x). Rozbor případů Z α ϕ, β ϕ a α β lze odvodit ϕ. Generalizace Z ψ ϕ(x) lze odvodit ψ xϕ(x), pokud se ve ψ nemluví o x. Také z ϕ(x) ψ lze odvodit xϕ(x) ψ, pokud se ve ψ nemluví o x. Modus ponens Z ϕ a ϕ ψ lze odvodit ψ. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 5/13

28 Formalizace důkazů, úplnost 1 Logické kroky v důkazech Instanciace Z xϕ(x) lze (je povoleno) odvodit ϕ(t). Z ϕ(t) lze odvodit xϕ(x). Rozbor případů Z α ϕ, β ϕ a α β lze odvodit ϕ. Generalizace Z ψ ϕ(x) lze odvodit ψ xϕ(x), pokud se ve ψ nemluví o x. Také z ϕ(x) ψ lze odvodit xϕ(x) ψ, pokud se ve ψ nemluví o x. Modus ponens Z ϕ a ϕ ψ lze odvodit ψ. Logický kalkulus Je soubor povolených logických kroků. Díky kalkulům lze formalizovat (počítačově zpracovávat) nejen formule, ale i celé důkazy. Věta o úplnosti 1 pak tvrdí, že s určitým souborem povolených logických kroků lze vystačit ve všech důkazech. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 5/13

29 Axiomatické teorie Logická analýza Je vyhledávání (mimologických) předpokladů v důkazech. Například v důkazu o dělitelnosti třemi je použita distributivita násobení vůči sčítání: x y z(x (y + z) = x y + x z). Jednoznačnost dělení se zbytkem: kdykoliv platí a = b q + r a přitom r < b, pak čísla q a r jsou čísly a a b určena jednoznačně. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 6/13

30 Axiomatické teorie Logická analýza Je vyhledávání (mimologických) předpokladů v důkazech. Například v důkazu o dělitelnosti třemi je použita distributivita násobení vůči sčítání: x y z(x (y + z) = x y + x z). Jednoznačnost dělení se zbytkem: kdykoliv platí a = b q + r a přitom r < b, pak čísla q a r jsou čísly a a b určena jednoznačně. Axiomatická teorie je dána volbou jazyka (seznamu mimologických symbolů) a axiomů (předpokladů). Například Peanova aritmetika PA má jazyk obsahující symboly +,, 0, S. Má sedm (někdy devět) jednotlivých axiomů plus schéma indukce. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 6/13

31 Axiomatické teorie Logická analýza Je vyhledávání (mimologických) předpokladů v důkazech. Například v důkazu o dělitelnosti třemi je použita distributivita násobení vůči sčítání: x y z(x (y + z) = x y + x z). Jednoznačnost dělení se zbytkem: kdykoliv platí a = b q + r a přitom r < b, pak čísla q a r jsou čísly a a b určena jednoznačně. Axiomatická teorie je dána volbou jazyka (seznamu mimologických symbolů) a axiomů (předpokladů). Například Peanova aritmetika PA má jazyk obsahující symboly +,, 0, S. Má sedm (někdy devět) jednotlivých axiomů plus schéma indukce. Teorie množin (ZF, GB) je dnes považována za jakousi podkladovou teorii pro veškerou matematiku, a také má přehlednou množinu axiomů. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 6/13

32 Struktury, teorie vypozorované ze struktury Některé teorie vzniknou vypozorováním axiomů z určité struktury. Například R = R, +,, 0, 1 Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 7/13

33 Struktury, teorie vypozorované ze struktury Některé teorie vzniknou vypozorováním axiomů z určité struktury. Například R = R, +,, 0, 1 je struktura reálných čísel, Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 7/13

34 Struktury, teorie vypozorované ze struktury Některé teorie vzniknou vypozorováním axiomů z určité struktury. Například R = R, +,, 0, 1 je struktura reálných čísel, axiomy mohou být vlastnosti operací (... ), plus axiomy typu a b c d x(ax 3 + bx 2 + cx + d = 0). Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 7/13

35 Struktury, teorie vypozorované ze struktury Některé teorie vzniknou vypozorováním axiomů z určité struktury. Například R = R, +,, 0, 1 je struktura reálných čísel, axiomy mohou být vlastnosti operací (... ), plus axiomy typu a b c d x(ax 3 + bx 2 + cx + d = 0). Některé struktury lze úplně 2 axiomatizovat. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 7/13

36 Struktury, teorie vypozorované ze struktury Některé teorie vzniknou vypozorováním axiomů z určité struktury. Například R = R, +,, 0, 1 je struktura reálných čísel, axiomy mohou být vlastnosti operací (... ), plus axiomy typu a b c d x(ax 3 + bx 2 + cx + d = 0). Některé struktury lze úplně 2 axiomatizovat. Definice Teorie T je úplná 2, jestliže každá sentence ϕ je v ní dokazatelná nebo vyvratitelná (tj. T ϕ nebo T ϕ), ale ne obojí. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 7/13

37 Struktury, teorie vypozorované ze struktury Některé teorie vzniknou vypozorováním axiomů z určité struktury. Například R = R, +,, 0, 1 je struktura reálných čísel, axiomy mohou být vlastnosti operací (... ), plus axiomy typu a b c d x(ax 3 + bx 2 + cx + d = 0). Některé struktury lze úplně 2 axiomatizovat. Definice Teorie T je úplná 2, jestliže každá sentence ϕ je v ní dokazatelná nebo vyvratitelná (tj. T ϕ nebo T ϕ), ale ne obojí. Příklad Je známa úplná axiomatizace struktury R, < : x y z(x < y & y < z x < z) x (x < x) x y(x < y x = y y < x) x y z(x < z & z < y) x y z(y < x & x < z). Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 7/13

38 Další axiomatizovatelné struktury Struktura N, <, čili diskrétní uspořádání (přirozených čísel). Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 8/13

39 Další axiomatizovatelné struktury Struktura N, <, čili diskrétní uspořádání (přirozených čísel). Struktura N, +, 0, <, čili aritmetika přirozených čísel bez násobení, čili Presburgerova aritmetika. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 8/13

40 Další axiomatizovatelné struktury Struktura N, <, čili diskrétní uspořádání (přirozených čísel). Struktura N, +, 0, <, čili aritmetika přirozených čísel bez násobení, čili Presburgerova aritmetika. Struktura R, +, 0, <, čili reálná čísla bez násobení. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 8/13

41 Další axiomatizovatelné struktury Struktura N, <, čili diskrétní uspořádání (přirozených čísel). Struktura N, +, 0, <, čili aritmetika přirozených čísel bez násobení, čili Presburgerova aritmetika. Struktura R, +, 0, <, čili reálná čísla bez násobení. Struktura R = R, +,, 0, <, čili plná struktura reálných čísel. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 8/13

42 Další axiomatizovatelné struktury Struktura N, <, čili diskrétní uspořádání (přirozených čísel). Struktura N, +, 0, <, čili aritmetika přirozených čísel bez násobení, čili Presburgerova aritmetika. Struktura R, +, 0, <, čili reálná čísla bez násobení. Struktura R = R, +,, 0, <, čili plná struktura reálných čísel. Problém V čem je struktura N = N, +,, 0, 1, čili struktura přirozených čísel, jiná? Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 8/13

43 Rekurzívní a rekurzívně spočetné množiny Definice Množina A (syntaktických objektů nebo přirozených čísel) je rekurzívní, jestliže existuje algoritmus, který rozhoduje o náležení do A. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 9/13

44 Rekurzívní a rekurzívně spočetné množiny Definice Množina A (syntaktických objektů nebo přirozených čísel) je rekurzívní, jestliže existuje algoritmus, který rozhoduje o náležení do A. Množina A je rekurzívně spočetná (RE), jestliže existuje procedura (algoritmus, který nevyžaduje žádný vstup), která, je-li spuštěna, postupně vygeneruje všechny prvky množin A. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 9/13

45 Rekurzívní a rekurzívně spočetné množiny Definice Množina A (syntaktických objektů nebo přirozených čísel) je rekurzívní, jestliže existuje algoritmus, který rozhoduje o náležení do A. Množina A je rekurzívně spočetná (RE), jestliže existuje procedura (algoritmus, který nevyžaduje žádný vstup), která, je-li spuštěna, postupně vygeneruje všechny prvky množin A. Příklad Množina všech důkazů v dané axiomatické teorii T je rekurzívní. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 9/13

46 Rekurzívní a rekurzívně spočetné množiny Definice Množina A (syntaktických objektů nebo přirozených čísel) je rekurzívní, jestliže existuje algoritmus, který rozhoduje o náležení do A. Množina A je rekurzívně spočetná (RE), jestliže existuje procedura (algoritmus, který nevyžaduje žádný vstup), která, je-li spuštěna, postupně vygeneruje všechny prvky množin A. Příklad Množina všech důkazů v dané axiomatické teorii T je rekurzívní. Množina všech sentencí dokazatelných v T je rekurzívně spočetná. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 9/13

47 Rekurzívní a rekurzívně spočetné množiny Definice Množina A (syntaktických objektů nebo přirozených čísel) je rekurzívní, jestliže existuje algoritmus, který rozhoduje o náležení do A. Množina A je rekurzívně spočetná (RE), jestliže existuje procedura (algoritmus, který nevyžaduje žádný vstup), která, je-li spuštěna, postupně vygeneruje všechny prvky množin A. Příklad Množina všech důkazů v dané axiomatické teorii T je rekurzívní. Množina všech sentencí dokazatelných v T je rekurzívně spočetná. Základní vlastnosti Každá rekurzívní množina je rekurzívně spočetná, ale naopak to neplatí: existují RE množiny, které rekurzívní nejsou. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 9/13

48 Rekurzívní a rekurzívně spočetné množiny Definice Množina A (syntaktických objektů nebo přirozených čísel) je rekurzívní, jestliže existuje algoritmus, který rozhoduje o náležení do A. Množina A je rekurzívně spočetná (RE), jestliže existuje procedura (algoritmus, který nevyžaduje žádný vstup), která, je-li spuštěna, postupně vygeneruje všechny prvky množin A. Příklad Množina všech důkazů v dané axiomatické teorii T je rekurzívní. Množina všech sentencí dokazatelných v T je rekurzívně spočetná. Základní vlastnosti Každá rekurzívní množina je rekurzívně spočetná, ale naopak to neplatí: existují RE množiny, které rekurzívní nejsou. Komplement rekurzívní množiny je opět rekurzívní množina. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 9/13

49 Rekurzívní a rekurzívně spočetné množiny Definice Množina A (syntaktických objektů nebo přirozených čísel) je rekurzívní, jestliže existuje algoritmus, který rozhoduje o náležení do A. Množina A je rekurzívně spočetná (RE), jestliže existuje procedura (algoritmus, který nevyžaduje žádný vstup), která, je-li spuštěna, postupně vygeneruje všechny prvky množin A. Příklad Množina všech důkazů v dané axiomatické teorii T je rekurzívní. Množina všech sentencí dokazatelných v T je rekurzívně spočetná. Základní vlastnosti Každá rekurzívní množina je rekurzívně spočetná, ale naopak to neplatí: existují RE množiny, které rekurzívní nejsou. Komplement rekurzívní množiny je opět rekurzívní množina. Ale komplement RE množiny nemusí být RE. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 9/13

50 Neúplnost Platí Ke každé RE množině A přirozených čísel existuje aritmetická formule ϕ(x), která množinu A definuje v tom smyslu, že každé číslo n je v A přesně tehdy, když v PA (nebo v jakékoliv jiné dostatečně silné teorii) lze dokázat sentenci ϕ(n): n(n A T ϕ(n)). Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 10/13

51 Neúplnost Platí Ke každé RE množině A přirozených čísel existuje aritmetická formule ϕ(x), která množinu A definuje v tom smyslu, že každé číslo n je v A přesně tehdy, když v PA (nebo v jakékoliv jiné dostatečně silné teorii) lze dokázat sentenci ϕ(n): n(n A T ϕ(n)). Důsledek Množina Thm(T ) všech sentencí dokazatelných v T a množina Ref(T ) všech sentencí vyvratitelných v T : Sent Thm(T ) Ref(T ) T nemohou být navzájem komplementární. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 10/13

52 Kurt Gödel: několik životopisných údajů Narozen 1906 (Wikipedia: Brün, Austria-Hungary). Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 11/13

53 Kurt Gödel: několik životopisných údajů Narozen 1906 (Wikipedia: Brün, Austria-Hungary). Maturoval 1924 a odešel studovat do Vídně. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 11/13

54 Kurt Gödel: několik životopisných údajů Narozen 1906 (Wikipedia: Brün, Austria-Hungary). Maturoval 1924 a odešel studovat do Vídně. Volba rakouského občanství v roce Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 11/13

55 Kurt Gödel: několik životopisných údajů Narozen 1906 (Wikipedia: Brün, Austria-Hungary). Maturoval 1924 a odešel studovat do Vídně. Volba rakouského občanství v roce Od roku 1934 několik pobytů v USA (Institute for Advanced Study, University of Notre Dame), naposledy v zimě Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 11/13

56 Kurt Gödel: několik životopisných údajů Narozen 1906 (Wikipedia: Brün, Austria-Hungary). Maturoval 1924 a odešel studovat do Vídně. Volba rakouského občanství v roce Od roku 1934 několik pobytů v USA (Institute for Advanced Study, University of Notre Dame), naposledy v zimě Od března 1940, po dobrodružné cestě přes Sibiř, natrvalo v USA. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 11/13

57 Filosofické souvislosti Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 12/13

58 Filosofické souvislosti Podle mě spíš neexistují. Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 12/13

59 Literatura K. Gödel. Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. Monatsh. Math. Phys., 37: , K. Gödel. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatsh. Math. Phys., 38: , C. H. Papadimitriou. Computational Complexity. Addison-Wesley, M. Presburger. Über die Vollständigkeit eines gewissen Systems der Aritmetik ganzer Zahlen, in welchem die Addition als einzige Operation hervortritt. V Comptes Rendus du I er Congrès des Mathématiciens des Pays Slaves, str , Warszawa, Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 13/13