Relativistická kinematika

Transkript

1 Relativistická kinematika 1 Formalismus čtyřhybnosti Pro řešení relativistických kinematických úloh lze často s výhodou použít formalismus čtyřhybnosti. Čtyřhybnost je čtyřvektor, který v sobě zahrnuje hybnost p a energii E popisovaného objektu P = (E, pc) (Takto zadefinovaná čtyřhybnost P má rozměr energie 1.) Skalární součin dvou čtyřvektorů je definován pomocí Minkowského tenzoru a b = a µ b µ = η µν a µ b ν. Vezmeme Minkowského tenzor ve tvaru η µν = Kvadrát čtyřhybnosti je skalár, tzn. nezávisí v jaké soustavě jej počítáme. Pokud se jedná o čtyřhybnost částice je v této konvenci její kvadrát roven kvadrátu klidové energie dané částice P 2 = P µ P µ = E 2 p 2 c 2 = ( m 0 c 2) 2. Kinematický zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti je potom obsažen v zákonu zachování čtyřhybnosti. Pro čtyřhybnosti P a P částic a o klidových hmotách m c 2 a m c 2 platí nerovnost: (P + P ) 2 (m + m ) 2 c 4, (1) rovnost nastává pokud se obě částice pohybují stejnou rychlostí (ve stejném směru). Použití těchto vlastností ilustrují příklady (samozřejmě by šly vyřešit i jinak). 2 Příklady Příklad 1 Částice o hmotě m c 2 se sráží s částici o hmotě m c 2 v klidu a produkuje částice o celkové hmotě M Určete prahovou energii této interakce v laboratorním systému. Určete prahovou energii v těžišťovém systému. Řešení: Připomeňme nejprve, že prahová energie reakce je energie potřebná právě na vznik produktů, tzn. energie, kdy vznikající částice jsou v klidu v těžišťovém systému. Máme tedy zadanou čtyřhybnost částice v laboratorním systému (je v klidu a tak je energie přímo rovna klidové a hybnost je nulová): P lab = (m c 2, 0) a čtyřhybnost produktů v těžišťové soustavě (CMS): PM CMS = (Mc 2, 0). Hledáme čtyřhybnost nalétávající částice v laboratorním systému, zatím formálně P lab = (Elab, p lab c). 1 Občas se zavádí čtyřhybnost o rozměru hybnosti P h = E c, p, kterou však nebudeme používat. 2 Opět existuje i jiná konvence s přesně opačnými znaménky. Takto definovaný skalární součin se potom liší znaménkem od našeho. 1

2 Ze zákona zachování čtyřhybnosti (musíme zvolit soustavu, ve které je určujeme, tak řekněme) v laboratorní soustavě, máme: P lab + P lab = P lab M by se rovnice zjednodušila, celou ji umocníme a využijeme, že kvadrát čtyřhybnosti je skalár, tzn. nezávisí na soustavě (P lab + P lab ) 2 = (PM lab ) 2 = (PM CMS ) 2 = P 2 M Dále použijeme známý vztah (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2a b a to že P a P jsou čtyřhybnosti odpovídající částicím a tak je jejich kvadrát roven kvadrátu jejich hmot (klidových energií). Pozor P M neodpovídá jedné částici, a tak obecně neplatí P 2 M = (Mc2 ) 2, toto v našem případě platí jen protože při prahové energii letí všechny produkty stejnou rychlostí (stojí v CMS) a tak si je můžeme představit jako jednu částici 3. P 2 + P 2 + 2P P = m 2 c 4 + m 2 c 4 + 2P P = P 2 M Nakonec dosadíme za čtyřhybnosti m 2 c 4 + m 2 c 4 + 2(E lab m c 2 0) = M 2 c 4 Z této rovnice už jednoduše dostaneme prahovou celkovou energii v laboratorní soustavě E lab = M 2 m 2 m2 2m c 2 a z toho prahovou kinetickou energii v laboratorní soustavě T lab = Elab m c 2 = M 2 (m + m ) 2 c 2 2m V těžišťovém systému je situace jednodušší. Víme, že se vektory hybnosti částice a částice odečtou a tak máme P CMS + P CMS = (E CMS + E CMS, 0) Součet celkových energií bude součet klidových plus součet kinetických, tzn. E CMS + E CMS = m c 2 + m c 2 + Tt CMS, kde Tt CMS je právě hledaná prahová kinetická energie. Zákon zachování čtyřhybnosti v CMS soustavě má tvar P CMS + P CMS Redukuje se tedy na zákon zachování energie = P CMS M m c 2 + m c 2 + T CMS t = Mc 2 Prahová kinetická energie v těžišťové soustavě je tedy T CMS t = (M m m )c 2 3 Obecně by mohla každá z částic letět jiným směrem a jediné, co bychom mohli využít by byla nerovnost (1), kterou mimochodem využíváme tím, že říkáme, že je energie prahová, tzn. PM 2 je vždy větší než v případě, kdy letí všechny stejnou rychlostí (a směrem). 2

3 Příklad 2 Jaká je prahová energie γ kvanta pro produkci páru e + e v poli jádra o hmotě M? Řešení: Jedná se vlastně o speciální případ předchozího příkladu. Na začátku nalétává foton (jeho P 2 = 0, poněvadž foton je nehmotný) na jádro v klidu. na straně produktů bude opět jádro o hmotě M a elektron s pozitronem, tzn. produkty mají celkovou hmotu M + 2m e. Dosadíme-li tedy do výsledku předchozího příkladu: E lab = (M + 2m e) 2 M 2 2M c 2 = 4Mm e + 4m 2 e 2M ( c 2 = 2m e c m ) e M Z výsledku opět vidíme, že volný foton (tj. za neexistence jádra o hmotě M, kterému foton předá část energie) nemůže produkovat elektron-pozitronový pár. Příklad 3 Relativistická částice o klidové hmotě mc 2 a kinetické energii T lab nalétá na částici téže hmoty, která je v klidu. Nalezněte kinetickou energii jejich vzájemného pohybu, hybnost každé částice v těžišťovém systému a rychlost těžišťového systému. Řešení: Srovnáme čtyřhybnosti v jednotlivých soustavách. Nejprve soustava laboratorní. Celková čtyřhybnost bude rovna: P lab = P,lab + P,lab = (mc 2, 0) + (mc 2 + T lab, p lab c), hybnost částice p lab určíme z disperzního zákona p 2 lab c2 = T 2 lab + 2T labm Celková čtyřhybnost v CMS bude P CMS = (2(mc 2 + T CMS ), 0), kde T CMS je kinetická energie jedné částice v CMS (my vlastně hledáme 2T CMS ). Kvadrát čtyřhybnosti je v obou soustavách stejný, a tak P 2 lab = (P,lab + P,lab ) 2 = 2m 2 c 4 + 2P,lab P,lab = 2mc 2 (2mc 2 + T lab ) Hledaná kinetická energie jejich vzájemného pohybu je ( ) 2T CMS = 2mc T lab 2mc 2 1. = P 2 CMS = 4(mc2 + T CMS ) 2 Hybnost částic v těžišťovém systému bude opět z disperzního zákona p 2 CMSc 2 = TCMS 2 + 2T CMS mc 2 = mc2 T lab. 2 Nakonec rychlost těžiště. Platí obecný vztah β = pc E (poněvadž p = mγβc a E = mγc 2 ). tak je rychlost těžiště v laboratorním systému rovna podílu celkově hybnosti a celkové energie v laboratorním systému. p lab c Tlab β CM = 2mc 2 = + T lab T lab + 2mc 2 3

4 Příklad 4 π 0 mezon o hmotě mc 2 a hybnosti pc = αmc 2 se rozpadá na dvě γ kvanta. Jakou letěl pion rychlostí? S jakou minimální energií může vylétat foton z rozpadu? Pod jakým minimálním úhlem mohou vylétat γ kvanta z tohoto rozpadu? Řešení: Z předchozího již víme, že rychlost pionu: β = pc E = αmc 2 (mc2 ) 2 + (αmc 2 ) = α α 2 K dalšímu si potřebujeme označit čtyřhybnosti v soustavě, ve které tento pion pozorujeme. Čtyřhybnost pionu P π = (E, pc) máme vlastně zadánu. U fotonů stačí znát velikost energie a směr (určený jednotkovým vektorem k). tak čtyřhybnosti fotonů jsou obecně P 1 = E 1 (1, k 1 ) a P 2 = E 2 (1, k 2 ). Zákon zachování čtyřhybnosti je tvaru P π = P 1 + P 2 udeme opět umocňovat na kvadrát. Předtím je však dobré si uvědomit, že známe čtyřhybnost pionu a hledáme čtyřhybnost jednoho z fotonů. O druhém z fotonů nevíme vlastně nic, a tak by bylo vhodné umocňovat jeho čtyřhybnost samotnou: P π P 1 = P 2 Po umocnění 4 tedy (P π P 1 ) 2 = P 2 π + P 2 1 2P π P 1 = (mc 2 ) 2 2P π P 1 = P 2 2 = 0 (mc 2 ) 2 = 2E 1 (E p k 1 c) = 2E 1 (E pc cos θ), kde θ je úhel výletu sledovaného fotonu (vůči směru letu původního pionu). Máme nalézt minimum energie E 1 v závislosti na úhlu θ. Vidíme, že toto nastává pro úhel θ = π a tedy pro foton vylétající proti směru letu rozpadajícího se pionu, E min 1 = (mc2 ) 2 2(E + pc) = mc 2 2( α α) = mc2 2 ( α α). Pokud chci určit minimální úhel rozletu, je výhodné umocnit zákon zachování čtyřhybnosti v původním tvaru: P 2 π = (mc 2 ) 2 = (P 1 + P 2 ) 2 = 2P 1 P 2 = 2E 1 E 2 (1 cos φ), kde φ je úhel rozletu fotonů. Ze zákona zachování energie víme E 1 + E 2 = E, a tak cos φ = 1 (mc 2 ) 2 2E 1 (E E 1 ). Má-li být úhel minimální, měl by být jeho kosinus co největší. tedy hledáme maximum formy E 1 (E E 1 ). To nastává pro E 1 = E 2, tj. pokud vylétávají fotony symetricky (každý se stejnou energií) 4 Fotony jsou nehmotné. cos φ min = 1 2m2 c 4 E 2 = 1 2 α = α2 1 α

5 Příklad 5 Dokažte nerovnost (1). Řešení: Nerovnost vlastně srovnává dvě skalární veličiny a tak je stačí srovnat v jedné soustavě a tím dokážeme platnost ve všech soustavách. Za předpokladu, že je jedna z částic (ÚNO řekněme, že částice ) hmotná, můžeme přejít do její klidové soustavy. Její čtyřhybnost je potom tvaru P = (m c 2, 0). levá strana nerovnice je potom rovna (P + P ) 2 = (m c 2 ) 2 + (m c 2 ) 2 + 2m c 2 E. My však víme, že je celková energie částice vždy větší nebo rovna její klidové energii m c 2, a tak máme (P + P ) 2 (m c 2 ) 2 + (m c 2 ) 2 + 2m c 2 m c 2 = (m + m ) 2 c 4. Rovnost nastává pokud částice v klidové soustavě částice stojí a tedy pokud se obě pohybují ve stejném směru stejnou rychlostí. Zbývá možnost, že jsou obě částice nehmotné. Potom můžeme jejich čtyřhybnosti psát jako P = E (1, k ) a P = E (1, k ). Levá strana nerovnosti je potom (P + P ) 2 = 2E E (1 cos φ), kde φ je úhel, který svírají směry letu našich nehmotných částic. Víme, že energie jsou vždy kladné a kosinus vždy menší nebo roven 1, a tak je levá strana nerovnosti vždy větší nebo rovna nule (což je součet hmot v našem případě). Rovnost nastává pro cos φ = 1, tj. φ = 0 a tedy pokud obě nehmotné částice (letící rychlostí světla) letí ve stejném směru. Příklad 6 Částice se v klidu rozpadá na tři částice,c a D. Jaká je maximální celková a kinetická energie vyletující částice? S jakými energiemi potom vyletují ostatní částice. Řešení: Opět cvičení na zákon zachování čtyřhybnosti. Čtyřhybnost částice známe, čtyřhybnost částice chceme. tak je výhodné zapsat zákon zachováni čtyřhybnosti ve tvaru: P P = P C + P D. Umocníme a využijeme nerovnost (1) (P P ) 2 = (m c 2 ) 2 + (m c 2 ) 2 2m c 2 E = (P C + P D ) 2 (m C + m D ) 2 c 4. Maximální celková energie částice je tedy E m2 + m2 (m C + m D ) 2 2m Maximální kinetická energie částice je potom T = E m c 2 (m m ) 2 (m C + m D ) 2 2m Ze zákona zachování energie máme m c 2 = E + E C + E D. 5

6 Víme, že aby částice vylétala s maximální možnou energií, musí částice C a D vylétat obě se stejnou rychlostí, a tedy poměr jejich energií bude roven poměru jejich klidových hmot E C = m Cγ(v C )c 2 E D m D γ(v D )c 2 = m C. m D Pro celkovou energii vylétávající částice C potom dostáváme E C = m C m C (E C + E D ) = (m c 2 E ) m C + m D m C + m D = Podobně celková energie částice D E D = m C m 2 m2 + (m C + m D ) 2 m C + m D 2m m D m 2 m2 + (m C + m D ) 2 m C + m D 2m 6