Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Transkript

1 LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro ( jdoucí k ) se hodnoty () blíží číslu L Funkce y () má v bodě itu L, když ke každému ε > eistuje δ > tak, že pro všechna z ryzího okolí bodu platí L < ε Poznámka: Nahradíme-li v deinici pojem ryzí okolí bodu pojmem pravé ryzí okolí bodu, dostaneme deinici ity zprava, píšeme ( ) L Analogicky se deinuje ita zleva, píšeme ( ) L Pro itu zprava a itu zleva se užívá označení jednostranná ita Připomeňme si ještě, že ita v bodě eistuje právě tehdy, když eistují obě jednostranné ity a jsou si rovny Výpočet it: Limity elementárních unkcí v bodech, ve kterých jsou tyto unkce deinovány, eistují a jsou rovny unkční hodnotě Počítáme je tedy dosazením za ( sin cos ) π π π π π sin cos π Pokud není unkce v bodě deinovaná, může po dosazení vzniknout výraz typu Nazýváme ho neurčitým výrazem a jeho itu počítáme úpravami unkce, krácením a opětovným dosazením Jiný způsob určení této ity spočívá v použití tzv L Hospitalova pravidla (viz ity řešené pomocí derivace)

2 Jde-li například o podíl dvou polynomů, můžeme oba rozložit na součin a společným kořenovým činitelem ) krátit ( ( ) ( ) ( ) ( ) Další možnou úpravou je v případě iracionální unkce vhodně unkci rozšířit (výrazem s odmocninou s opačným znaménkem) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( ) 8 ( ) 6 Jestliže po dosazení dostaneme výraz k, kde k, jde o nevlastní itu Její hodnota, pokud eistuje, je buď nebo Je třeba vypočítat nejprve jednostranné ity Pokud jsou stejné je ita rovna jejich společné hodnotě, pokud se liší, daná oboustranná ita neeistuje Je-li unkce deinovaná v okolí bodu, může nastat jeden z následujících 4 případů : L P L P L P L P ita eistuje ita eistuje ita neeistuje ita neeistuje Poznámka : Jestliže aspoň jedna z jednostranných it unkce () ve vlastním bodě eistuje a je nevlastní, říkáme, že přímka je asymptotou bez směrnice grau

3 unkce () (viz asymptoty) Při výpočtu nevlastní ity zvlášť v pravém a levém (ryzím) okolí bodu ( ) je tedy třeba rozhodnout o znaménku podílu g( ) g Je-li v okolí bodu podíl k g Je-li v okolí bodu podíl k g g g >, tj čitatel i jmenovatel má stejné znaménko, je <, tj čitatel a jmenovatel mají znaménka opačná, je Po dosazení 4 Jde tedy o nevlastní itu Určíme obě jednostranné ity a jejich porovnáním rozhodneme o eistenci a hodnotě zadané ity L ProtožeL P, daná ita neeistuje, P Poznámka: Z geometrického hlediska tento výsledek znamená, že gra unkce y má asymptotu, přičemž v levém okolí tohoto bodu unkce neohraničeně klesá a v pravém okolí neohraničeně roste

4 sin Po dosazení sin L P sin sin ProtožeL P, daná ita eistuje a platí sin ( ) Po dosazení je 6 ( ) Můžeme výraz v závorce převést na společného jmenovatele nebo rozepíšeme itu na dvě části a vyřešíme každou zvlášť Tento postup je méně pracný Tedy () 6 ( ) ( ) ( ) Dále musíme vyřešit jednostranné ity: L ( ) P ( ) ProtožeL P, ita eistuje a platí ( )

5 To znamená, že pro zadanou itu platí: 6 ( ) ( ) 6 4 Pokud ±, jde o itu v nevlastním bodě Hledáme hodnotu unkce, jestliže její argument roste (nebo klesá) nade všechny meze Pro hodnotu it polynomů a racionální lomené unkce v nevlastním bodě jsou rozhodující členy s nejvyšší mocninou (včetně koeicientu) Platí : ( ± n n a a an an) a ± n a b ± a a a a b n n n n m m b b m b ± m nm ( ) ( 7 5 ) ( 5 ) Poznámka : U elementárních unkcí můžeme hodnotu ity v nevlastních bodech a bodech nespojitosti vyčíst z grau Určete chování unkce y v nevlastních bodech

6 Z grau je vidět, že, y 5 4 Určete log Z grau unkcey log je vidět, že pro log se hodnoty unkce blíží k, tedy y 4 Limita složené unkce Nejdříve vypočteme itu vnitřní složky a potom aplikujeme výsledek na vnější složku Potom ( ϕ( ) ) ( ϕ( )) arccos arccos π arccos Pokud o hodnotě ity vnitřní složky pro dané nelze jednoduše rozhodnout, vyřešíme nejdříve tuto itu a potom vypočteme itu vnější složky pro jdoucí k získanému výsledku 4 ln ) ( Vnitřní složka unkce je pro výrazem Vyřešíme proto nejdříve itu vnitřní 4 složky : ) (

7 L 4 ( ) 4, P A protože L P, ( ) 4 ( ) 4 Označme si t ( ) Vypočítali jsme, že pro platí t Zbývá určit lnt t Protože 4 lnt, můžeme napsat ln t ( ) arctg Protože vnitřní složka je pro výrazem a výsledek potom použijeme pro výpočet zadané ity složené unkce Proto arctg t k, vyřešíme itu vnitřní složky zvlášť π arctgt