15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích

Transkript

1 15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE 1 15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích 151 Definice hypersférických souřadnic r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ v E N Hypersférické souřadnice souvisejí s kartézskými souřadnicemi x 1,, x N vztahy x 1 = r sin ϑ N sin ϑ N 3 sin ϑ sin ϑ 1 cos ϕ, x = r sin ϑ N sin ϑ N 3 sin ϑ sin ϑ 1 sin ϕ, x 3 = r sin ϑ N sin ϑ N 3 sin ϑ cos ϑ 1, x 4 = r sin ϑ N sin ϑ N 3 cos ϑ, (1) x j = r sin ϑ N sin ϑ N 3 sin ϑ j 1 cos ϑ j, j = 3, 4,, N, x N 1 = r sin ϑ N cos ϑ N 3, x N = r cos ϑ N Obory proměnných r, ϑ k a ϕ jsou r <, ϕ < π, () ϑ k < π, k = 1,,, N Pro inverzní vyjádření hypersférických souřadnic kartézskými je účelné zavést označení podle něhož je ( j ) 1/ r j = x l = r sin ϑn sin ϑ N 3 sin ϑ j 1, j =,, N, (3) l=1 r = r N, cos ϕ = x 1 r, sin ϕ = x r, (4) cos ϑ k = x k+ r k+, sin ϑ k = r k+1 r k+, k = 1,,, N 15 Výpočet jacobiánu vyjádření kartézských souřadnic hypersférickými J(r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ) = x 1 r r x 1 ϑ N ϑ N x 1 x 1 ϑ 1 ϕ ϑ 1 ϕ (1) Vypočteme jednotlivé derivace tvořící jacobián: x j = x j, r r j = 1,, N, () x 1 ϕ = x 1 tg ϕ, x ϕ = x cotg ϕ, (3) x j ϕ =, j = 3, 4,, N,

2 15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE x j ϑ k = x j cotg ϑ k, j = 1,,, N; k = j 1, j, j + 1,, N 3, N, = x j tg ϑ j, j = 3, 4,, N; k = j, =, j = 3, 4,, N; k = 1,,, j 3 S přihlédnutím k těmto výrazům pro jednotlivé derivace zjednodušíme jacobián tím, že vytkneme (4) i) z prvního sloupce 1/r (srov ()), ii) z k-tého sloupce cotg ϑ N k ; k =, 3,, N 1 (srov (4)), iii) z n-tého sloupce cotgϕ (srov (3)), iv) z j-tého řádku x j (srov () až (4)), j = 1,, N Z determinantu (1) tedy vytýkáme výraz x 1 x x N r cotg ϑ N cotg ϑ 1 cotg ϕ = r N 1 sin N ϑ N sin ϑ 1 cos ϑ N cos ϑ 1 cos ϕ, takže v determinantu po výměně 1 a řádku, zbude D N = tg ϕ tg ϑ tg ϑ (5) Jacobián (5) napíšeme ve tvaru 1 tg ϑ N J(r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ) = r N 1 sin N ϑ N sin ϑ 1 cos ϑ N cos ϑ 1 cos ϕ D N, (6) Determinant D N vypočteme tak, že od prvního sloupce odečteme druhý sloupec a rozvineme determinant podle prvků takto vzniklého prvního sloupce Tím snížíme stupeň determinantu o jedničku a opakováním uvedeného postupu dostaneme tg ϕ D N = = ( 1)N+1 cos ϑ N D N 1 1 tg ϑ N tg ϑ N tg ϑ N Nakonec D N = ( 1)N+1 ( 1) N cos ϑ N cos ( 1)4 ϑ N 3 cos D ϑ 1 Také pro determinant D platí D = tg ϕ = tg ϕ 1 = 1 cos ϕ, takže Uvážíme-li, že ( 1)(N+1)+N+(N 1) (N 1)(N+4) D N = cos ϑ N cos ϑ 1 cos ϕ = ( 1) cos ϑ N cos ϑ 1 cos ϕ

3 15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE 3 je jacobián (6) roven ( 1) (N 1)(N+4) = ( 1) (N 1)(N+4) +3 = ( 1) (N+1)(N+), J(r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ) = ( 1) (N+1)(N+) r N 1 sin N ϑ N sin N 3 ϑ N 3 sin ϑ sin ϑ 1 = = ( 1) (N+1)(N+) r N 1 N sin s ϑ s (7) s=1 Poněvadž ϑ k < π; k = 1,,, N, je sin ϑ k, a tedy Takže N r N 1 s=1 sin s ϑ s N J(r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ) = r N 1 s=1 sin s ϑ s (8) 153 Vyjádření skalárního součinu x X v hypersférických souřadnicích Složky x j vektoru x jsou vyjádřeny hypersférickými souřadnicemi vztahy 151(1) a podobně vyjádříme složky X j vektoru X a označíme hypersférické souřadnice velkými písmeny: Dosazením do vztahu x = x (r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ), X = X (R, Θ N,, Θ 1, Φ) dostaneme x X { = rr x X = x 1 X 1 + x X + x 3 X x j X j + + x N 1 X N 1 + x N X N sin ϑ N sin Θ N sin ϑ N 3 sin Θ N 3 sin ϑ 1 sin Θ 1 cos ϕ cos Φ + + sin ϑ N sin Θ N sin ϑ N 3 sin Θ N 3 sin ϑ 1 sin Θ 1 sin ϕ sin Φ + + sin ϑ N sin Θ N sin ϑ N 3 sin Θ N 3 cos ϑ 1 cos Θ sin ϑ N sin Θ N sin ϑ N 3 sin Θ N 3 sin ϑ j 1 sin Θ j 1 cos ϑ j cos Θ j sin ϑ N sin Θ N cos ϑ N 3 cos Θ N 3 + } + cos ϑ N cos Θ N Vezmeme-li sčítance v opačném pořadí a vytkneme postupně sin ϑ j 1 sin Θ j 1, dostaneme x X = rr {cos ϑ N cos Θ N + sin ϑ N sin Θ N cos ϑ N 3 cos Θ N sin ϑ N 3 sin Θ N 3 cos ϑ N 4 cos Θ N (1) + sin ϑ sin Θ ( cos ϑ1 cos Θ 1 + sin ϑ 1 sin Θ 1 cos(ϕ Φ) )]]} Pro jednotlivé dimenze N prostoru má skalární součin tvar

4 4 15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE N = 1: x X = rr, () N = : x X = rr cos(ϕ Φ), (3) N = 3: x X = rr cos ϑ cos Θ + sin ϑ sin Θ cos(ϕ Φ)], (4) N = 4: x X = rr {cos ϑ cos Θ + sin ϑ sin Θ cos ϑ 1 cos Θ 1 + sin ϑ 1 sin Θ 1 cos(ϕ Φ)]} (5) atd 154 Vyjádření Fourierova integrálu v hypersférických souřadnicích Transformujeme-li definiční vztahy 11(1), 11() Fourierovy transformace a inverzní Fourierovy transformace do hypersférických souřadnic a dosadíme-li za absolutní hodnotu jacobiánu 15(8) a za skalární součin x X výraz 153(1), dostaneme F (R, Θ N,, Θ 1, Φ) = A N f(r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ) { exp ikrr cos ϑ N cos Θ N + sin ϑ N sin Θ N cos ϑn 3 cos Θ N 3 + ( + + sin ϑ sin Θ cos ϑ1 cos Θ 1 + sin ϑ 1 sin Θ 1 cos(ϕ Φ) )]]} r N 1 sin N ϑ N sin N 3 ϑ N 3 sin ϑ sin ϑ 1 dr dϑ N dϑ 1 dϕ, (1) f(r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ) = B N F (R, Θ N,, Θ 1, Φ) { exp ikrr cos ϑ N cos Θ N + sin ϑ N sin Θ N cos ϑn 3 cos Θ N sin ϑ sin Θ ( cos ϑ1 cos Θ 1 + sin ϑ 1 sin Θ 1 cos(ϕ Φ) )]]} R N 1 sin N Θ N sin N 3 Θ N 3 sin Θ sin Θ 1 dr dθ N dθ 1 dφ () Pro jednotlivé dimenze N prostoru má vyjádření Fourierovy transformace ve sférických souřadnicích tvar: N = 1: F (R) = A f(r) = B f(r) exp( ikrr) dr, (3) F (R) exp(ikrr) dr (4) (Meze integrace (, ) zde odpovídají skutečnosti, že funkce f(r), F (R) jsou definovány v intervalu (, ) Můžeme si představovat, že v intervalu (, ) jsou rovny nule) N = : F (R, Φ) = A f(r, ϕ) = B f(r, ϕ) exp ikrr cos(ϕ Φ) ] r dr dϕ, (5) F (R, Φ) exp ikrr cos(ϕ Φ) ] R dr dφ (6)

5 15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE 5 N = 3: F (R, Θ, Φ) = A 3 f(r, ϑ, ϕ) = B 3 { f(r, ϑ, ϕ) exp ikrr cos ϑ cos Θ + + sin ϑ sin Θ cos(ϕ Φ) ]} r sin ϑ dr dϑ dϕ, (7) { F (R, Θ, Φ) exp ikrr cos ϑ cos Θ + + sin ϑ sin Θ cos(ϕ Φ) ]} R sin Θ dr dθ dφ (8) N = 4: F (R, Θ, Θ 1, Φ) = A 4 f(r, ϑ, ϑ 1, ϕ) { exp ikrr cos ϑ cos Θ + sin ϑ sin Θ cos ϑ1 cos Θ sin ϑ 1 sin Θ 1 cos(ϕ Φ) ]]} r 3 sin ϑ sin ϑ 1 dr dϑ dϑ 1 dϕ, (9) f(r, ϑ, ϑ 1, ϕ) = B 4 F (R, Θ, Θ 1, Φ) { exp ikrr cos ϑ cos Θ + sin ϑ sin Θ cos ϑ1 cos Θ sin ϑ 1 sin Θ 1 cos(ϕ Φ) ]]} R 3 sin Θ sin Θ 1 dr dθ dθ 1 dφ (1) atd V aplikacích se často počítá Fourierův integrál kulově symetrických funkcí, tj funkcí závisejících jen na radiální proměnné, f(r), F (R) Přitom se využívá následujícího obratu, který dovoluje provést integraci podle úhlových proměnných: Směr X, v němž Fourierovu transformaci počítáme, zvolíme za směr osy x N, tj směr k pólu To lze vzhledem ke kulové symetrii vždy udělat Kartézské souřadnice vektorů x a X pak jsou x(x 1, x,, x N 1, x N ), X(,,,, X) a skalární součin má jednoduchý tvar Fourierův integrál (1) se tím zjednoduší do tvaru x X = x N X = rr cos ϑ N (11) F (R) = A N f(r) r N 1 exp( ikrr cos ϑ N ) sin N ϑ N dϑ N dr sin N 3 ϑ N 3 dϑ N 3 Integrály podle úhlových proměnných lze vypočíst, neboť platí (viz 1] 84117), sin ϑ 1 dϑ 1 dϕ (1) π Γ( N 1 exp(±ikrr cos ϑ N ) sin N ϑ N dϑ N = ) J N 1(krR) ) N (13) 1 ( krr sin n α dα = = / ( n + 1 sin n α dα = n B, n + 1 ) = n Γ( n+1 )] = Γ(n + 1) n Γ( n+1 )] n π Γ( n+1 ) Γ( n + 1) = π Γ( n+1 ) Γ( n + 1) (14)

6 6 15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE (viz 1], 3611, 83841, 83551) Dosadíme-li takto vyjádřené integrály do vztahu (1), dostaneme F (R) = A N ππ N 3 ( N 1 π Γ což po krácení a drobné úpravě dá výsledek F (R) = A N (π) N (kr) N 1 Γ( N N 3 )Γ( ) Γ( 3 )Γ(1) Γ( N 1 N )Γ( ) Γ()Γ( 3 ) ) f(r) r J N 1 N 1(krR) dr, (15) (krr/) N 1 f(r) r N J N 1(krR) dr (16) Vzhledem k tomu, že výraz na levé straně vztahu (13) nezávisí na znaménku u imaginární jednotky, platí též pro inverzní Fourierovu transformaci f(r) = B N (π) N (kr) N 1 F (R) R N J N 1(krR) dr (17) Pro dimenze N = 1,, 3, 4, 5 prostoru se výraz (15) zjednoduší Zejména pro liché dimenze, neboť v těchto případech je řád N/ 1 Besselových funkcí roven lichému násobku poloviny a Besselovy funkce lze vyjádřit elementárními funkcemi Zejména platí (viz B5(7), B5(8), B7(1), 1], 8464) J 1 (z) = J 1 (z) = J 3 (z) = cos z, πz sin z, πz ( sin z πz z ) cos z Konkrétně pro nízké dimenze prostoru je atd Reference N = 1 : F (R) = A N = : F (R) = A π N = 3 : F (R) = A 3 4π kr N = 4 : F (R) = A 4 (π) kr f(r) cos(krr) dr, (18) N = 5 : F (R) = A 5 8π (kr) f(r)j (krr) r dr, (19) f(r) sin(krr) r dr, () f(r)j 1 (krr) r dr, (1) ( ) sin(krr) f(r) krr cos(krr) r dr () 1] Gradshteyn I S, Ryzhik I M: Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, New York and London 1994