+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)"

Transkript

1 Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené funkce je = 2 3 a = 1 2. = nn 1 fu + n df du = nn 1 fu 2 n 3 f u df = n du = n 2 f u Ted platí + 2 = nn fu 2 n 2 f + 2 n 2 f = n n fu = nf. Ukažte, že každá funkce F,, která má spojité parciální derivace a jejíž hodnota závisí pouze na vzdálenosti bodu, od počátku, vhovuje rovnici = 0 Řešení: Podle zadání je funkce F, = fr, kde r = je vzdálenost bodu [; ] od počátku souřadnic. Protože r = 2 +, 2 r = 2 +, 2 je podle vět o derivování složené funkce = df dr r = f r, = df dr r = f r. Ted platí = f r f r = 0. Určete, jaká funkce tvaru F, = f, vhovuje rovnici + = F Tpeset b AMS-TEX 1

2 Řešení: Jedná se o derivace složené funkce F, = fu, v, kde u = a v =. Protože parciální derivace jsou = 1, platí pro derivace funkce F, vztah Po dosazení do dané rovnice dostaneme 2 = 0, = 2, = 1, = + = 2 = + = = = u = f. Nechť F, = fρ, ϕ, kde = ρ cos ϕ, = ρ sin ϕ jsou polární souřadnice v rovině a funkce f má spojité parciální derivace. Vjádřete v polárních souřadnicích grad F 2 = Řešení: Jedná se o derivace složené funkce. Kdbchom chtěli počítat přímo derivace, které potřebujeme k dosazení do daného vztahu, tj. = ρ ρ + ϕ ϕ, dostaneme derivace, které neumíme počítat přímo z definičního vztahu. Proto najdeme ρ = ρ + ρ ϕ = ϕ + = cos ϕ + sin ϕ = ρ sin ϕ + ρ cos ϕ ϕ. Hledané parciální derivace pak najdeme jako řešení této soustav. Tím dostaneme = cos ϕ ρ sin ϕ ρ ϕ, = sin ϕ ρ + cos ϕ ρ ϕ. Jestliže tto derivace dosadíme do daného vztahu, dostaneme = ρ ρ 2. ϕ Nechť F, = fρ, ϕ, kde = ρ cos ϕ, = ρ sin ϕ jsou polární souřadnice v rovině a funkce f má spojité parciální derivace. Vjádřete v polárních souřadnicích. 2

3 Řešení: Jedná se o derivace složené funkce. Kdbchom chtěli počítat přímo derivace, které potřebujeme k dosazení do daného vztahu, tj. = ρ ρ + ϕ ϕ, dostaneme derivace, které neumíme počítat přímo z definičního vztahu. Proto najdeme ρ = ρ + ρ ϕ = ϕ + = cos ϕ + sin ϕ = ρ sin ϕ + ρ cos ϕ ϕ. Hledané parciální derivace pak najdeme jako řešení této soustav. Tím dostaneme = cos ϕ ρ sin ϕ ρ ϕ, = sin ϕ ρ + cos ϕ ρ ϕ. Jestliže tto derivace dosadíme do daného vztahu, dostaneme = ϕ , kde f je spojitě diferencov- Dokažte, že všechn normál ke grafu funkce F, = f atelná funkce, protínají osu z. Řešení: Parametrické rovnice přímk, která prochází bodem [ 0 ; 0 ; z 0 ] a je rovnoběžná s vektorem a, b, c jsou = 0 + at, = 0 + bt, z = z 0 + ct, t R a osa z má rovnici = = 0. Přímka ted protíná osu z, pokud eistuje řešení soustav rovnic Nechť je 0 = 0 + at, 0 = 0 + bt. [ 0 ; 0 ; z 0 = f ] libovolný bod ploch, která je dána rovnicí z = F, = fr, kde r = Vektor normál k této ploše je úměrný vektoru n = Podle vět o derivování složené funkce je,, 1. = df dr r = f r, = df dr r = f r. Za vektor normál v bodě [ 0 ; 0 ; z 0 ] lze zvolit např. vektor n = 0 f r 0, 0 f r 0, , kde r 0 = Parametrické rovnice normál jsou = f r 0 t, = f r 0 t, z = z t, t R. 3

4 Protože soustava rovnic f r 0 t = 0, f r 0 t = 0 má za předpokladu f r 0 0, tj. kdž není normála rovnoběžná s osou z, řešení t = [ f r 0 ] 1, protíná normála osu z. Ukažte, že funkce F, = f 2 2, kde f má spojitou derivaci, vhovuje rovnici = F 2 Řešení: Označme u = 2 2 a F, = fu. Podle vět o derivaci složené funkce je = df du = 2f u, = f + df du = fu 22 f u. Jestliže dosadíme tto výraz do dané rovnice, dostaneme = 2f u + 1 f 2 2 f u = fu F, = 2. Ukažte, že každá funkce F, = vhovuje vztahu f 2 2, kde f je nenulová funkce mající spojitou derivaci, 2 + F = 0 Řešení: Najdeme derivace složené funkce F, = podílu a derivaci složené funkce je = f 2 u = df du fu df du Po dosazení do dané rovnice dostaneme = 2 f 2 u f u fu, kde u = 2 2. Podle vět o derivaci f 2 u = fu + 22 f u f 2. u 23 f 2 u + fu + 22 f u f f 2 u fu = 0. Do rovnice + = 0 zaveďte nové proměnné u = ln 2 + 2, v = arctg. Řešení: Najdeme parciální derivace funkce F, = fu, v, kde u = ln a v = arctg. Protože platí = 2 + 2, = 2 + 2, = 2 + 2, = 2 + 2, 4

5 je podle vět o derivaci složené funkce = + = + Po dosazení do dané rovnice získáme + = = = = = 0. Ukažte, že funkce F, = e f e 2 2 2, kde f je libovolná diferencovatelná funkce, vhovuje rovnici = F. Řešení: Nejprve nalezneme derivace složené funkce F, = e 2 fu, kde u = ep 2 2. Protože = 2 ep 2 2, je podle vět o derivaci součinu a složené funkce A po dosazení dostaneme df = e du = e = ep 2 2 f u = e fu + e df du = e fu + e ep 2 2, 2 ep 2 2 f u = 2 2 e 2 ep 2 2 f u + [e fu + e = e fu = F,. Ukažte, že funkce F,, z = n f rovnici ] 2 ep 2 2 f u = a, z, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje b + + z = nf. Řešení: Jedná se o parciální derivace funkce F,, z = n fu, v, kde u = a a v = z b. Protože = a 2, = 0, = 1 a, = z b 2, = 0, = 1 b, 5

6 je podle vět o derivaci součinu a vět o derivaci složené funkce = nn 1 f + n = n = n = n 1 a = n b Po dosazení do dané rovnice dostaneme + + z n = n 1 f n 2 a = n n fu, v = nf,, z., kde f je spojitě diferencovatelná funkce, v- Ukažte, že funkce F,, z = z ln + f, z hovuje vztahu = n n 1 f n 2 a n z b 2 n 1 + a n z b z = F + z + n z b = Řešení: Označme u = a v = z. Pak je podle vět o derivaci složené funkce u, v Z toho dostaneme = 2 z 2, u, v = 1, u, v = 1. = ln + z z + f = ln + z ln = z 2 +. Kdž dosadíme tto derivace do dané rovnice, dostaneme + + z ln = + z z + f z = z + ln z + fu, v = z z ln + + ln + z z z 2 + = + F,, z. Napište Talorův rozvoj funkce v bodě 0, 0. f, = e ln1 + Řešení: Protože je dk e d k = e a pro l 1 platí dokáže se indukcí d l ln1 + d l = 1l 1 l 1! 1 + l, 6

7 je Z toho dostanu k f k, = e ln1 +, k+l f k l, = e 1l 1 l 1! 1 + l pro l > 0. k+l { f 0 pro l = 0, k 0, 0 = l 1 l 1 l 1! pro l > 0. Ted n tý diferenciál funkce f, v bodě [0; 0] je d n f0, 0;, = n l=0 n n f l n l l 0, 0 n l l = A Talorův rozvoj funkce f, v bodě [0; 0] je podle definice T f, = n=0 1 n! dn f0, 0;, = n n=1 l=1 n l=1 1 l 1 l n l! n l l = n! l n l! n l l k=0 l=1 1 l 1 l k! k l. Nechť funkce f a g mají spojité derivace druhého řádu. Dokažte, že funkce F, = f + + g + vhovuje rovnici F + 2 F 2 = 0. Řešení: Máme najít druhé derivace funkce F, = fu + gu, kde u = +. Protože = = 1, jsou podle vět o derivaci složené funkce první derivace rovn = f + f + g, = f + g + g a pro druhé derivace snadno dostaneme F 2 = 2f + f + g, F = f + f + g + g, F 2 = f + 2g + g A po dosazení do dané rovnice získáme F + 2 F 2 = 2f + f + g 2 f + f + g + g + f + 2g + g = 0. Laplaceův operátor f = 2 f f f 2 2 n v R n vjádřete pro funkci, která závisí pouze na vzdálenosti bodu = 1,..., n od počátku souřadnicové soustav, tj. f 1,... n = F r, r = , n. 7

8 Řešení: Jedná se o derivaci složené funkce. Protože pro každé k = 1, 2,..., n je platí r = k k = k 2 r, n = df k dr r = k k r F. Pro druhou derivaci dostanu počítám ji jako součin tří funkcí 2 k Ted hledaný Laplaceův operátor je f = n F k=1 = 1 k k r F = F r 2 k r 3 F + 2 k r 2 F. r 2 k r 3 F + 2 k r 2 F = nf r r2 r 3 F + r2 r 2 F = F + n 1 F. r Výraz 2 f f přetransformujte pro funkci F u, v = f,, kde u =, v =. Řešení: Musíme najít druhé parciální derivace složené funkce. Podle vět o derivování složených funkcí platí Podobně zjistíme, že druhé derivace jsou 2 = 2 3 = = + = 2 = + = Kdž tto derivace dosadíme do dané rovnice, dostaneme = f f 2 = f = = = Ze vztahů u = a v = plne = u v a = u. jestliže dosadíme dostaneme výsledek 2 f f = v2 u 8 v2 2 F.

9 Ukažte, že je-li funkce f, řešením rovnice f 2 = 0, pak funkce F u, v = f,, kde je řešením rovnice u = 2 + 2, v = F 2 = 0, Řešení: Nejprve nalezneme první parciální derivace složené funkce. Protože = , = jsou první parciální derivace rovn = = , = = = , = , Výpočet druhých derivací je, jak to už bývá, trochu pracnější. Ale kdž se to umí, tak se hned napíše 2 2 = = A kdž tto výraz sečteme dostaneme rovnost ze které plne dokazované tvrzení. Výraz vjádřete pro funkci F u, v = f,, kde 0 = 2 f f 2 = 1 2 F F 2, 2 2 f f 2 u =, v =. Řešení: Protože =, = 1, =, = 2, 9

10 platí podle vět o derivaci složené funkce pro parciální derivace každé funkce g, = Gu, v vztah g = G + G = G + 1 g = G + G G = G G 2 Ted pro funkci F u, v = f, jsou první parciální derivace rovn = + 1, = 2. Pro druhé parciální derivace pak dostaneme 2 = 2 = Po dosazení do daného výrazu dostaneme = 2 2 F F = 2 2 F f f 2 = 42 2 F 2. Protože z definičních vztahů plne = uv a = u v je transformovaný výraz 2 2 f f 2 = 4uv 2 F 2u. Dokažte, že funkce f, = ln vhovuje rovnici f 2 = 0. Řešení: Musíme najít druhé parciální derivace funkce f, = ln Její první derivace jsou = 2 + 2, = Druhé parciální derivace, které potřebujeme, jsou f 2 = 2 = Jejich sečtením pak ověříme dokazovanou rovnost. = = = = Dokažte, že funkce f, = 2 a

11 vhovuje rovnici 2 a2 2 f 2 = 0. Řešení: Musíme najít druhé parciální derivace funkce f, = = 2a 2 2 a 2 2 2, = 2 + a a Druhé parciální derivace, které potřebujeme, jsou 2 = 2 = = 2a 2 2 a = 2a a a = 2 + a a = a a Jejich dosazením do daného vztahu pak ověříme dokazovanou rovnost. 2 a 2. Její první derivace jsou 2 Ukažte, že funkce vhovuje rovnici f,, z = z f f 2 = 0. Řešení: Musíme najít druhé parciální derivace funkce f,, z = derivace jsou z 2. Její první = z 2, 3/2 = Druhé parciální derivace, které potřebujeme, jsou f 2 = f 2 = f 2 = = = = Jejich sečtením pak získáme dokazovanou rovnost z 2, 3/2 = z 2 3/ z 2 3/2 z z 2 3/2 Ukažte, že funkce f,, z = ln z 2 vhovuje rovnici f f 2 = z 2. = 22 2 z z 2 5/2 = z z 2 5/2 = z z 2 5/2 z z 2 3/2. 11

12 Řešení: Musíme najít druhé parciální derivace funkce f,, z = ln z 2. derivace jsou Její první = z 2, = z 2, = z z 2. Druhé parciální derivace, které potřebujeme, jsou f 2 = f 2 = f 2 = Jejich sečtením pak získáme dokazovanou rovnost. = = = z 2 = z z 2 2 = z z z 2 2 = z z z z 2 2 Nechť f a g mají spojité derivace druhého řádu. Dokažte, že funkce F, = f + g vhovuje rovnici 2 2 F F F 2 = 0. Řešení: Označme u =. Pak pro každou diferencovatelnou funkci hu platí podle vět o derivaci složené funkce hu = 2 h u, hu = 1 h u. Protože daná funkce je F, = fu + gu, jsou její první parciální derivace = 2 f + g g, = 1 f + g. Druhé parciální derivace funkce F, jsou 2 = 2 4 f g f = 3 f 2 g 1 2 f 2 = 1 2 f + 1 g Jestliže dosadíme do daného vztahu, dostaneme 2 2 F F F 2 2 = 2 4 f g f f 2 g f f + 1 g = 0. 12

13 Jsou-li f a g funkce, které mají spojitou derivaci druhého řádu, dokažte, že funkce F, = 1 [fa + + ga ] vhovuje rovnici 2 2 F 2 = a2 2. Řešení: Označme u = a + a v = a. Podle vět o derivaci složené funkce jsou první parciální derivace funkcí fu a gv rovn u = af u, gv = ag v, u = f u, gv = g v. Protože F, = fu + gv, je = a f + g, = f g f + g 2. Abchom dokázali danou rovnost, najdeme příslušné parciální derivace. T jsou 2 = a2 f + g 2 = f g f g = f + g. Spočtěte je-li F 2 = F, F, = + f kde f je funkce, která má spojité derivace druhého řádu., Řešení: Označme u =. Podle vět o derivaci složené funkce jsou první parciální derivace funkce fu rovn u = 1 f, Ted pro funkci F, = + fu platí u = 2 f. = + f, = + f f. Protože pro druhé parciální derivace dostaneme 2 = f, 2 = 2 3 f, je F = f. 13

14 Výraz 2 2 f vjádřete pro funkci F u, v = f,, kde u = 2, v = + 2. Řešení: Podle vět o parciálních derivacích složené funkce je Pro potřebné druhé derivace dostaneme 2 = 2 = = = + = + = + = = + = 1 Po dosazení do daného výrazu pak dostaneme 2 2 f 2 1 F 2 = 2 = 2 F F + 2 F / / F + 2 F = 4 2 F / /2 = / /2 Jsou-li f a g funkce, které mají spojité derivace druhého řádu, ukažte, že funkce u, t = f + at + g at vhovuje rovnici 2 u t 2 = a2 2 u 2. Řešení: Označme u = + at a v = at. Máme najít druhé parciální derivace funkce u, t = fu + gv. Podle vět o parciálních derivacích složené funkce platí = f u + g v, 2 u 2 = f u + g v, =af u ag v, t 2 u t 2 =a2 f u + a 2 g v = a 2 2 u 2. Spočtěte první dvě derivace funkce, která je řešením rovnice v okolí bodu 0, 1. e + e = 0 14

15 Řešení: Funkce = je řešením rovnice F, = e + e = 0 a splňuje podmínku 0 = 1. Protože protože F 0, 1 = 0, může taková funkce eistovat. Abchom našli derivaci, derivujeme rovnici F, = 0 podle. Dostaneme e + + = 0 e + + = 0. To je vztah mezi, a. V bodě = 0, = 1 je tato rovnice e = 0 0 = e 1. Protože je tato rovnice v uvažovaném bodě jednoznačně řešitelná, to je podmínka 0, 1 0, funkce = eistuje. Abchom našli druhou derivaci, derivujeme rovnic pro první derivaci. Dostaneme rovnici e + + e = 0. Kdž dosadíme do této rovnice známe hodnot = 0, = 1, = e 1, dostaneme e 0 e 1 = 0 0 = e 2. Určete dz a d 2 z funkce z, definované rovnicí v bodě 2; 1; z 2 = e z Řešení: Předpokládejme, že eistuje řešení rovnice F,, z, = + + z 2, e z, = 0, které splňuje podmínku z2, 1 = 0. Protože F 2, 1, 0 = 0, může takové řešení eistovat. Abchom našli dz a d 2 z v bodě = 2, = 1, určíme všechn první a druhé parciální derivace funkce z = z, v tomto bodě. T najdeme tak, že derivujeme definiční rovnici F,, z, = 0 podle a. Tím dostaneme 1 + 2z e z = 0, 1 + 2z e z = 0. 1 Protože v daném bodě je 2z +e z = 0, funkce z = z, eistuje. Její první parciální derivace najdeme z 1, kde dosadíme = 2, = 1 a z = 0. Takto dostaneme 1 2, 1 = 0, 1 2, 1 = 0 Druhé parciální derivace získáme derivováním vztahu 1. To dává Ted podle definice je 2, 1 = 2, 1 = 1. 2 e z + 2z e z 2 z 2 = 0 = 1 2 z 2, 1 = 0 2 z 2, 1 = e z + 2z e z 2 z = 0 = 1 2 z 2, 1 = 0 2 z 2, 1 = 1 2 e z + 2z e z 2 z 2 = 0 = 1 2 z 2 2, 1 = 0 2 z 2, 1 = 1. 2 dz2, 1 = 2, 1 d + 2, 1 d = d + d d 2 z2, 1 = 2 z 2 2, 1 d z 2, 1 dd + 2 z 2 2, 1 d2 = d 2 + 2dd + d 2. 15

16 Nechť f : R R má spojitou derivaci. Dokažte, že funkce z,, která je řešením rovnice a + b + cz = f z 2 vhovuje rovnici c bz + az c = b a. Řešení: Předpokládejme, že funkce z = z, je řešení rovnice F,, z, = a + b + cz f z 2, = 0. Označme u = z 2 a derivujme definiční rovnici postupně podle proměnných a. Pomocí vět o derivaci složené funkce dostaneme vztah a + c f u 2 + 2z = 0, b + c f u 2 + 2z = 0, ze kterých plne = a 2f u 2zf u c, = b 2f u 2zf u c. Dosadíme-li tto derivace do daného vztahu, dostaneme po kratších úpravách dokazovanou rovnost. Určete a pro funkci, která je definována implicitně rovnicí v okolí bodu 1; 0. ln arctg = 0 Řešení: Předpokládejme, že eistuje hladká funkce =, která je řešením rovnice F, = ln arctg = 0 a platí pro ní 1 = 0. Protože F 1, 0 = 0, může taková funkce eistovat. Abchom našli její derivace, derivujeme definiční vztah. Tak dostaneme = 0 + = 0. 1 Protože 1, 0 = 1 0, funkce = eistuje v okolí bodu = 1, = 0 a její derivaci najdeme z rovnice 1 v tomto bodě. Takto dostaneme 1 1 = 0 1 = 1. Druhou derivaci nalezneme derivováním rovnice 1. To dává vztah ze kterého v bodě = 1, = 0, = 1 plne = 0, 1 = 2. Určete a pro funkci, která je definována implicitně rovnicí = 0. 16

17 Řešení: Máme najít první dvě derivace diferencovatelné funkce, která je zadána jako řešení rovnice F, = = 0. Kdž derivujeme definiční vztah, dostaneme pro první derivaci rovnici = = 0. 1 Mimo množinu, kde je = 0 a 2 = 0, tj. mimo bod = = 0 a = 3 4, = 3 2, plne z této rovnice = Druhou derivaci nalezneme pomocí derivace rovnice 1. Po derivovaní dostaneme = 0 = , kde je funkce dána rovnicí 2. Určete dz a d 2 z funkce z,, která je řešením rovnice v bodě 0; 1; 1. z ln z = 0 Řešení: Abchom našli první a druhý diferenciál funkce z = z, v daném bodě, najdeme její všechn první a druhé parciální derivace v tomto bodě. Funkce z = z, je dána v okolí bodu = 0, = z = 1 implicitně rovnicí F,, z, = z, ln = 0. Protože F 0, 1, 1 = 0, z, může taková funkce eistovat. Derivací definičního vztahu podle a dostaneme 1 z z 2 1 z = 0, z 2 1 z + 1 = 0. Pro zjednodušení dalších výpočtů vnásobím první rovnici z 2 0 a druhou z 2 0. Po úpravě dostanu z + z = 0, z2 + z = 0. 1 Hodnot prvních parciálních derivací najdeme jako řešení rovnic 1 v bodě = 0, = z = 1. Takto dostaneme 0, 1 = 1, 0, 1 = 1 = dz0, 1 = 0, 1 d + 0, 1 d = d + d. Druhé parciální derivace najdu derivováním rovnic 1. Tím dostanu vztah A ted druhý diferenciál je z 2 z 2 = 0 = 2 z 0, 1 = z 2 z = 0 = 2 z 0, 1 = 0 2z + z + z 2 z 2 = 0 = 2 z 0, 1 = 0. 2 d 2 z0, 1 = 2 z 2 0, 1 d z 0, 1 dd + 2 z 2 0, 1 d2 = d 2. 17

18 2 z Určete derivaci 0; 0 funkce z,, která je řešením rovnice z 2 2z 4 = 0 v okolí bodu 0; 0; 2. Řešení: Funkce z = z, je dána jako spojité řešeni rovnice F,, z, = z 2 4 = 0. Nejjednodušší je vřešit kvadratickou rovnici a napsat z, = ± Protože nás zajímá funkce, pro kterou platí z0, 0 = 2, musíme volit znaménko plus. Ted z, = , = , 2 2 z = = 2 z 0, 0 = 1. 3/2 Jiná možnost je najít derivaci pomocí vět o implicitních funkcích. Postupně dostaneme z + z = 0, z + z = 0 = 0, 0 = 0, 0 = 1. A derivací prvního vztahu podle dostaneme a po dosazení = = 0, z0, 0 = 2, Zjistěte, zda soustava rovnic z + + z 2 z = 0 0, 0 = 0, 0 = 1, dostaneme opět e u+v + 2uv = 1, e u v u 1 + v = 2 má v okolí bodu 1; 2; 0; 0 řešení ve tvaru u,, v, a určete du1, 2, dv1, 2. Řešení: Funkce u = u, a v = v, jsou dán jako spojitá řešení soustav rovnic F,, u,, v, = e u,+v, + 2u, v, 1 = 0, G,, u,, v, = e u, v, u, 2 = 0, 1 + v, 2 z 0, 0 = 1. které splňují podmínk u1, 2 = v1, 2 = 0. Protože F 1, 2, 0, 0 = G1, 2, 0, 0 = 0, mohli b funkce u, a v, eistovat. Abchom našli diferenciál du1, 2 a dv1, 2 stačí najít všechn parciální rovnice prvního řádu. T bchom mohli najít tak, že bchom derivovali oba definiční vztah podle a. Ale také lze diferenciál najít přímo. Vezmeme úplné diferenciál obou definičních vztahů a získáme soustavu e u+v d + e u+v du + dv + 2vdu + 2udv = 0, e u v d + e u v du dv du 1 + v + udv 1 + v 2 2d = 0. 18

19 Kdž do této soustav dosadíme = 1, = 2 a u = v = 0, dostaneme soustavu d + du + dv = 0, d + 2du dv du 2d = 0 pro neznámé du a dv. Její řešení, a ted i hledané diferenciál jsou du1, 2 = 1 3 d, dv1, 2 = d d. Dokažte,že funkce z,, která je implicitně definována rovnicí 2 sin + 2 3z 2 + 3z = 0 vhovuje vztahu + = 1. Řešení: Uvažujme funkci u = + 2 3z. Pak má daná rovnice tvar 2 sin u u = 0, která má tři řešení třeba si nakreslete její graf u k, k = 1, 2, 3.. Jedná se ted o jednu z funkcí + 2 3z = u k z = u k. V každém případě je Ted ve všech případech platí rovnost = 1 3, = = = 1. Dokažte, že funkce z,, která je určena implicitně rovnicí + z z 2 = 0, vhovuje rovnici + = z. Řešení: Daná rovnice má tvar a 2 + b 2 = 0. Ale jediné řešení této rovnice je a = b = 0. Ted musí platit + z = 0, + z = 0 = z =. A protože =, =, je + = 2 = z. 19

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více