1.6 Singulární kvadriky

Transkript

1 22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá přímka na kvadrice leží (A = ). Ted platí věta: Věta: Každá přímka procháející singulárním bodem kvadrik, leží buď celá na kvadrice (v případě, že její směr je asmptotický) nebo má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (v případě, že její směr není asmptotický). Ponámka: Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kuželové ploch. Obráek 1.1: Vrchol kuželové ploch jako příklad singulárního bodu 1.6 Singulární kvadrik Onačme písmenem determinant =det a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 (1.3) matice K kvadrik (1.32). Podle toho, da = nebo rodělíme všechn kvadrik do dvou disjunktních skupin. Definice: Kvadrika se naývá singulární jestliže =. Jestliže po- tom se kvadrika naývá regulární. Platí následující věta, která nám dává vtah mei singulární kvadrikou a singulárními bod. Věta: Obsahuje-li kvadrika singulární bod, pak je to kvadrika singulární. Důka: Nechť bod M =[m, n, p] je singulárním bodem kvadrik (1.32). To

2 1.6. SINGULÁRNÍ KVADRIKY 23 namená, že jsou splněn rovnice (1.33). Soustavu (1.33) přepíšeme do tvaru a 11 m + a 12 n + a 13 p = a 14 a 21 m + a 22 n + a 23 p = a 24 a 31 m + a 32 n + a 33 p = a 34 a 41 m + a 42 n + a 43 p = a 44. (1.36) Podle Frobeniov vět má soustava rovnic (1.36) alespoň jedno řešení právě tehd, kdž hodnost matice soustav je rovna hodnosti rošířené matice soustav, ted h a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 =h a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44. (1.37) Matice soustav je tpu (4, 3), ted její hodnost matice je menší nebo rovna třem, proto hodnost rošířené matice soustav je také menší nebo rovna třem. Odtud plne, že =. Ponámka: Obrácená věta neplatí. Válcová plocha je singulární kvadrikou, ale singulární bod neobsahuje. Definice: Bod kvadrik, který není singulární se naývá regulární. V následujícím tetu ukážeme příklad některých singulárních kvadrik. Protože v těchto případech vžd =, je hodnost matice kvadrik K = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 (1.38) buď3nebo2nebo1. Nechť h(k) = 3. Nejprve předpokládejme, že první tři řádk matice (1.38) jsou lineárně neávislé. Dále předpokládejme, že kvadrika má jediný střed M =[m, n, p], tj. platí rovnice (1.16). Protože čtvrtý řádek matice K je lineární kombinací ostatních řádků, plne odtud platnost rovnic (1.33), a bod M je ted jediným singulárním bodem kvadrik. Plocha, která má tuto vlastnost se naývá kuželová plocha.

3 24 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ Obráek 1.16: Kuželová plocha Najdeme její rovnici. Zvolme kartéskou soustavu souřadnic tak, ab pro singulární bod M platilo M =[,, ]. Protože M =[,, ] je řešením soustav (1.33), plne odtud a 14 = a 24 = a 34 = a 44 = a rovnice kuželové ploch má tvar a a a a 12 +2a 13 +2a 23 =. (1.39) Jiným příkladem singulární kvadrik, pro jejíž matici platí h(k) = 3, je válcová plocha daná rovnicí a 2 +2b + c 2 +2d +2e + f =, (1.4) jejíž tvořící přímk procháejí regulární kuželosečkou (1.4) a jsou kolmé na souřadnicovou rovinu. Skutečně, matice kvadrik (1.4) a b d b c e d e f, (1.41) má hodnost 3.

4 1.6. SINGULÁRNÍ KVADRIKY 2 Obráek 1.17: Válcová plocha Nechť h(k) = 2. Příkladem singulární kvadrik, jejíž matice má hodnost 2, je dvojice růnoběžných rovin α a β α : a 1 + b 1 + c 1 + d 1 = β : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 =. (1.42) Obráek 1.18: Dvě růnoběžné rovin Rovnice příslušné kvadrik je (a 1 + b 1 + c 1 + d 1 )(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )=. (1.43) Matice kvadrik (1.43) má (po vnásobení dvěma) tvar 2a 1 a 2 a 1 b 2 + a 2 b 1 a 1 c 2 + a 2 c 1 a 1 d 2 + a 2 d 1 b 1 a 2 + b 2 a 1 2b 1 b 2 b 1 c 2 + b 2 c 1 b 1 d 2 + b 2 d 1 c 1 a 2 + c 2 a 1 c 1 b 2 + c 2 b 1 2c 1 c 2 c 1 d 2 + c 2 d 1 d 1 a 2 + d 2 a 1 d 1 b 2 + d 2 b 1 d 1 c 2 + d 2 c 1 2d 1 d 2. (1.44) Hodnost matice le vpočítat buď přímo, což je dlouhavé nebo následujícím postupem. Onačíme-li u 1 =(a 1,b 1,c 1,d 1 )au 2 =(a 2,b 2,c 2,d 2 ), potom

5 26 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ můžeme matici (1.44) napsat ve tvaru a 2 u 1 + a 1 u 2 b 2 u 1 + b 1 u 2 c 2 u 1 + c 1 u 2 d 2 u 1 + d 1 u 2. (1.4) Protože rovin α a β jsou růnoběžné, jsou vektor u 1, u 2 lineárně neávislé a hodnost matice (1.4) je rovna dvěma. Nechť h(k) =1. Příkladem kvadrik, jejíž matice má hodnost 1 je dvojnásobná rovina. Rovnice příslušné kvadrik je (a + b + c + d) 2 =. (1.46) ajejímaticemátvar a 2 ab ac ad ba b 2 bc bd ca cb c 2 cd da db dc d 2. (1.47) Onačíme-li u =(a, b, c, d), potom (1.47) le psát ve tvaru (au,bu,cu,du). Je řejmé, že hodnost matice (1.47) je rovna jedné. 2 2 Obráek 1.19: Dvojnásobná rovina Eistují i další příklad singulárních kvadrik, které de nebudeme uvádět. Výčet všech singulárních kvadrik uvedeme při jejich klasifikaci. 1.7 Tečna a tečná rovina V této kapitole se budeme abývat tečnou a tečnou rovinou v regulárním bodě kvadrik. Uvědomme si, že regulární bod je takový bod, který není singulárním bodem. Na regulární kvadrice jsou všechn bod regulární, protože pokud b