6.1 Shrnutí základních poznatků

Transkript

1 6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice ve tvaru τ τ τ τ. (1) σ Prvk, a σ ležící na hlavní diagonále představují normálové složk napětí a prvk τ, τ, τ, τ, a ležící mimo hlavní diagonálu repreentují smkové složk napětí. Orientace uvedených složek a rovin, v nichž působí, jsou patrné obr. 1, na kterém je náorněn elementární hranolek vjmutý tělesa. τ τ τ τ τ τ τ σ Pro smkové složk napětí přitom platí tv. ákon sdružených smkových napětí, který le apsat ve tvaru τ = τ =, τ = = τ, τ = = τ. () τ To však namená, že původních 9 složek napětí σ τ τ bývá poue 6 růných složek, toho tři normálové,, σ a tři smkové τ, τ a. Prostorovou napjatost le také popsat jednodušeji pomocí tv. hlavních napětí σ 1, σ a σ 3 σ (σ 1 σ σ 3 ), což jsou normálová napětí působící v tv. hlavních rovinách. Hlavní rovinou Obr. 1: Element vjmutý tělesa. roumíme takovou rovinu v tělese, ve které je smková složka napětí nulová. Velikost hlavních napětí le určit podmínk ( σ i ) τ ( σ i ) τ τ τ (σ σ i ) = 0, pro i = 1,, 3, (3) kde i představuje inde příslušného hlavního napětí. Včíslením determinantu dostaneme kubickou rovnici pro výpočet tří hlavních napětí. Speciálními případ prostorové napjatosti jsou tv. jednoosá a rovinná napjatost. Danou napjatost onačíme a jednoosou, je-li poue jedna normálová složka napětí nenulová a všechn ostatní složk jsou nulové. V takovém případě hovoříme o prostém tahu či tlaku. 1

2 β α σρ 0 τ ρ δ ρ (a) (b) Obr. : Rovinná napjatost. V případě rovinné napjatosti leží všechn nenulové složk napětí poue v jedné rovině, všechn ostatní složk jsou nulové. S takovým případem napjatosti se často setkáváme při kombinovaném namáhání. Příkladem je např. napjatost v rovině náorněná na obr. (a) popsaná složkami napětí, a. Předpokládejme, že náme složk napětí, a popisující rovinnou napjatost v rovině. Potom velikost složek napětí σ ρ a τ ρ působících v rovině ρ, která je vůči rovině pootočena o úhel α (vi obr. (b)), určíme pomocí vtahů σ ρ = + τ ρ = + cos α + sin α, sin α cos α, (4) přičemž úhel α považujeme a kladný, směřuje-li proti směru otáčení hodinových ručiček. Rovnice (4) představují parametrické vjádření kružnice s parametrem α a se středem na ose σ v Mohrově rovině napětí στ. Tato kružnice se naývá Mohrova a pro případ > > 0 je náorněna na obr. 3. Geometrická interpretace vtahů (4) je náorněna do tohoto obráku pomocí trojúhelníka SAρ. Z uvedeného obráku vplývá, že každý bod kružnice představuje obra jedné rovin (v tomto případě rovin ρ) patřící do svaku rovin, který je určen průsečnicí rovin, v nichž působí složk napětí, a, v tomto případě osou. Dále je obr. 3 řejmé, že se úhl do Mohrov kružnice (diagramu) vnášejí s dvojnásobnou velikostí a se stejnou orientací v porovnání se skutečností (vi obr. (b) a obr. 3). Podle výše uvedeného le snadno provést vlastní konstrukci Mohrov kružnice (diagramu) na ákladě nalosti složek napětí, a. Do Mohrov rovin potom vneseme bod představující obra dvou navájem kolmých rovin β a δ (vi obr. (b)), jejichž poloha je dána velikostmi normálových a smkových složek napětí působících v těchto rovinách (vi všrafované trojúhelník SA β a SA δ v obr. 3). Znaménka smkových napětí přitom

3 τ III IV δ II 0 A S σ α A α A ρ τ ma τ ρ I σ σ >0 β <0 IV V <0 σ ρ σ 1 >0 Obr. 3: Konstrukce Mohrov kružnice. Obr. 4: Znaménka smkových složek napětí při vnášení do Mohrov rovin. vnášíme podle úmluv náorněné na obr. 4. Tato úmluva plne e druhého vtahu (4) a obr. (b) pro úhel α = 0. Dodržíme-li pravidlo pro naménko smkových napětí, bude smsl otáčení rovin ρ v elementu na obr. (b) shodný se smslem pohbu jejího obrau (bodu) na Mohrově kružnici na obr. 3. Bod I a II v obr. 3 představují obra hlavních rovin. Z obráku je řejmé, že v těchto rovinách působí etrémní (maimální a minimální) napětí - hlavní napětí σ 1 > σ. Pokud OS onačíme vdálenost středu Mohrov kružnice od počátku souřadnicového sstému στ a R poloměr Mohrov kružnice, le velikosti těchto napětí stanovit podle vtahu (σ σ 1, = OS ± R = + ± ) + τ. (5) Z Mohrova diagramu můžeme dále také určit polohu hlavních rovin vhledem k rovině β či δ. Rovina I s napětím σ 1 je například od rovin β natočena o úhel φ (v Mohrově kružnici o úhel φ) proti směru hodinových ručiček, jehož velikost určíme pravoúhlého trojúhelníka SA β v obr. 3 jako tan φ = φ = 1 ( arctan τ ). (6) 3

4 Dalšími charakteristickými bod na Mohrově kružnici jsou bod IV a V (vi obr. 3). Tto bod představují obra rovin, v nichž působí stejně velká normálová napětí σ s a maimální smková napětí τ ma, pro jejichž velikost platí σ s = + a τ ma = (σ ) + τ. (7) Mohrovu kružnici le sestrojit i pro prostorovou napjatost. V takovém případě pak hovoříme o tv. Mohrově diagramu, který se skládá e tří Mohrových kružnic. Příklad takového Mohrova diagramu pro prostorovou napjatost popsanou hlavními napětími σ 1, σ a σ 3, pro která platí σ 1 > σ > σ 3 > 0, je náorněn na obr. 5. Bod I, II a III pak repreentují obra hlavních rovin. τ σ σ 3 τ ma 0 III II I σ σ σ 1 Obr. 5: Mohrův diagram pro prostorovou napjatost. Vtah mei složkami napětí a deformace při prostorové a rovinné napjatosti Vtah mei složkami napětí a deformace je v teorii pružnosti popsán tv. Hookeovým ákonem. V případě prostorové napjatosti le tento ákon apsat v obecněném tvaru ε = 1 E [ µ( + σ )], γ = 1 G τ, ε = 1 E [ µ( + σ )], γ = 1 G τ, (8) ε = 1 E [σ µ( + )], γ = 1 G, kde E [MPa] představuje modul pružnosti v tahu (tv. Youngův modul), µ [-] je Poissonovo číslo a G [MPa] je modul pružnosti ve smku. Mei těmito konstantami platí vtah E G = (1 + µ). (9) 4

5 Vhledem k tomu, že rovinná napjatost je speciálním případem napjatosti prostorové, le podobu Hookeova ákona pro tuto napjatost snadno odvodit e vtahů (8). Pro rovinnou napjatost v rovině potom platí ε = 1 E ( µ ), ε = 1 E ( µ ), γ = 1 G. (10) Inverí vtahů (10) pak dostáváme příslušné vtah pro složk napětí = E 1 µ (ε + µε ), = E 1 µ (ε + µε ), = G γ. (11) Teorie pevnosti (hpoté) - podmínk pevnosti V případě jednoosé napjatosti či napjatosti prostého smku má podmínka pevnosti jednoduchý tvar (blíže vi kapitola Tah (tlak) a Krut). Jedná-li se o složitější napjatost (rovinnou či prostorovou) je situace komplikovanější, protože chování materiálu ovlivní všechn složk napětí. Pro řešení uvedeného problému bla navržena růná kritéria a pro vjádření potřebné mechanické vlastnosti materiálu se vcháí jednoosé napjatosti, na kterou se pohlíží jako na vláštní případ napjatosti prostorové σ 1 = σ 0, σ = σ 3 = 0. Závislost mei těmito veličinami, kd b nastala porucha, le obecně vjádřit ve tvaru f(σ 1, σ, σ 3, R mt, R md ) = 0, (1) kde R mt je pevnost materiálu v tahu a R md pevnost v tlaku. Pro ajištění spolehlivého provou součásti je potřeba abepečit, že k uvedenému menímu stavu nedojde. Proto, jak již blo uvedeno u prostého tahu - tlaku (jednoosá napjatost), se avádí součinitelé bepečnosti k k > 1 vůči mei kluu a k p > 1 vůči mei pevnosti. Přípustná (dovolená) napětí le potom pro tvárné materiál vjádřit ve tvaru σ D = σ k k k, (13) kde σ k = Re pro materiál s výranou meí kluu a σ k = R p 0. pro materiál se smluvní meí kluu. Pro křehké materiál, pro které platí R mt < R md, jsou dovolené hodnot napětí definován vtah σ Dt = R mt k p a σ Dd = R md k p. (14) Pevnostní podmínk se vájemně liší podle toho, jakého předpokladu vcháejí. Na ákladě toho se obecná napjatost vjádří pomocí ekvivalentního napětí tv. redukovaného napětí σ red. Eistuje řada podmínek pevnosti, které jsou definován pro tvárný nebo křehký materiál. Zde uvedeme poue tři nejužívanější. 5

6 Podmínk pevnosti pro tvárné materiál: 1. Teorie (hpotéa) pevnosti podle maimálního smkového napětí - tv. Guestova hpotéa. Podle této teorie rohoduje o pevnosti součásti velikost maimálního smkového napětí. Pevnostní podmínku le obecně apsat ve tvaru což le přepsat do tvaru σ D σ i σ j σ D, kde i, j = 1,, 3, (15) σ red σ D. (16) Redukované napětí σ red v (16) le přitom podle této hpoté vjádřit jako σ red = σ 1 σ 3 = τ ma, (17) kde σ 1 je největší a σ 3 nejmenší hlavní napětí. Zde je potřeba dát poor u rovinné napjatosti, při které jsou obě hlavní napětí σ 1, σ stejného naménka. Protože o pevnosti rohoduje maimální smkové napětí, je nutné rovinnou napjatost chápat jako speciální případ napjatosti prostorové, tj. třetí hlavní napětí je σ 3 = 0 a pomocí toho pak správně určit σ red podle rovnice (17). V případě rovinné napjatosti dané dvěma složkami normálových napětí a jednou smkovou složkou (např., a ) bude velikost redukovaného napětí rovna σ red = ( ) + 4τ. (18). Teorie pevnosti podle hustot deformační energie na měnu tvaru - tv. hpotéa HMH (Huber-Mises-Henck). Podle této teorie rohoduje o pevnosti součásti velikost deformační energie na měnu tvaru. Pevnostní podmínku le opět apsat ve tvaru σ red σ D, (19) kde velikost redukovaného napětí σ red určíme jako σ red = σ1 + σ + σ3 (σ 1 σ + σ σ 3 + σ 3 σ 1 ), (0) nebo σ red = σ + σ + σ ( + σ + σ ) + 3 ( τ + τ + τ ). (1) V případě rovinné napjatosti dané např. složkami, a se vtah pro σ red redukuje na σ red = σ + σ + 3τ. () Redukované napětí určené dle této hpoté je v literatuře velmi často onačováno jako tv. Misesovo napětí (von Mises stress). 6

7 Podmínk pevnosti pro křehké materiál: 1. Mohrova hpotéa pevnosti. Tuto podmínku le apsat ve tvaru σ red σ Dt, (3) Hodnotu redukovaného napětí σ red přitom obecně stanovíme jako σ red = σ 1 ρσ 3, (4) kde konstantu ρ určíme v případě rodílných součinitelů bepečnosti v tahu a v tlaku jako ρ = σ Dt σ Dd. (5) Pokud uvažujeme stejné součinitele bepečnosti, přecháí vtah (5) do podob ρ = R mt R md. (6) Při posuování rovinné napjatosti pomocí této hpoté je nutné, stejně jako u Guestov hpoté, chápat danou napjatost jako prostorovou a správně tak určit maimální a minimální hlavní napětí. 7