17. března Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický

Transkript

1 Úloha č. 6 Ohniskové vzdálenosti a vady čoček, zvětšení optických přístrojů Václav Štěpán, sk března 2000 Pomůcky: Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický objektiv, Ramsdenův okulár v držáku s Abbeho kostkou, spojné čočky +50; +100; +200, rozptylka, matnice, clona s otvorem, clona se šipkou, červenomodrý filtr, pomocný světelný zdroj s milimetrovou stupnicí, křížový vodič s objektivovým mikrometrem, matnička se stupnicí mm, pomocný mikroskop s měřícím okulárem, pomocný dalekohled, kovové měřítko. Pracovní úkol: 1. Určete ohniskovou vzdálenost spojné čočky následujícími metodami: odhadem, autokolimací, ze znalosti polohy předmětu a jeho obrazu (pro čtyři různé polohy předmětu; provést též graficky) a Besselovou metodou. Besselovou metodou změřte i ohniskovou dálku spojky +200, kterou použijete v bodě č. 9 pracovního úkolu k sestrojení dalekohledu. 2. Určete ohniskovou vzdálenost rozptylky. 3. Určete velikost barevné vady u spojky 1 zjištěním rozdílu 2 f c f m. 4. Určete sférickou vadu spojky určením rozdílu f s f k Určete astigmatický rozdíl 4 f sv f vod spojky. 6. Změřte ohniskovou dálku mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru (Besselovou metodou a ze změny zvětšení). Určete polohy jejich ohniskových rovin. 7. Změřte zvětšení lupy při akomodaci oka na normální zrakovou dálku. Stanovte z ohniskové vzdálenosti lupy zvětšení při oku akomodovaném na nekonečno. 1 Použijte spojku označenou +50 zde i dále. 2 Přičemž f c je ohnisková vzdálenost pro červenou barvu a f m ohnisková vzdálenost pro barvu modrou. 3 Vymezující clonky se umíst ují spolu s čočkou do zvláštního držáku (tak, aby clonka byla co nejblíže čočce). 4 Přičemž f sv je ohnisková vzdálenost svislé fokály, f vod ohnisková vzdálenost fokály vodorovné. 1

2 8. Z mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru sestavte na optické lavici mikroskop a změřte jeho zvětšení. Ze spojky +200 a Ramsdenova okuláru sestavte na optické lavici 5 dalekohled a změřte jeho zvětšení přímou metodou a z průměru pupil. 9. Výsledky měření zvětšení mikroskopu a dalekohledu porovnejte s hodnotami vypočítanými z ohniskových vzdáleností. Základní pojmy a vztahy: Terminologie: Kolineace objekt z předmětové roviny se v obrazové rovině zobrazí jako objekt téže třídy. Úběžná rovina nekonečně vzdálená rovina; předmět v ní ležící se zobrazí do ohniskové 6 roviny a naopak předmět ležící v ohniskové rovině se zobrazí do roviny úběžné. Hlavní roviny v předmětovém i obrazovém prostoru je po dvou hlavních rovinách, kladné a záporné. Přitom předmět ležící v kladné hlavní rovině v předmětovém prostoru se zobrazí na hlavní rovinu prostoru obrazového vzpřímeně (nepřevráceně) ve stejné velikosti a předmět ležící v záporné hlavní rovině předmětového prostoru se na hlavní rovinu prostoru obrazového zobrazí převráceně (a ve stejné velikosti). Kladné hlavní roviny leží mezi příslušnou ohniskovou rovinou a čočkou, záporné vně takové ohniskové roviny. Vzdálenosti ohniskové roviny od příslušné kladné a záporné hlavní roviny se rovnají ohniskové vzdálenosti f. Stanovení ohniskové vzdálenosti spojky: Odhadem zjistím, v jaké vzdálenosti od čočky (+100) mám obraz nekonečně 7 vzdáleného předmětu 8 Odečtu měřítkem. Použitelné pro hrubý odhad. Použiji-li zdroj v konečné vzdálenosti, měl bych provést korekci: 1 f = 1 f 1 1 l (1) Autokolimací potřebuji zdroj světla (ZS), matnici (M), stínítko (S), spojku (C) a rovinné zrcátko. Sestavím soustavu dle schématu 1. Podaří-li se mi umístit čočku tak, aby se otvor stínítka nacházel právě v ohniskové rovině, budou paprsky procházet právě dle schématu, totiž od čočky na zrcátko a zpět rovnoběžně a tedy paprsky z otvoru vyšlé budou odraženy právě zpět. Pohnu-li trochu zrcadlem, měl bych na matnici dostat ostrý obraz otvoru. Načež mohu odečíst vzdálenost stínítka a čočky jakožto vzdálenost ohniskovou. 5 Na pomocné krátké optické lavici. 6 Kterážto leží v konečné vzdálenosti od čočky. Čočka s nekonečnou ohniskovou vzdáleností tedy není čočkou? 7 Dostatečně. 8 Světelný zdroj do bodu nebo tak, aby dal obraz vlákna. 2

3 Obrázek 1: Měření ohniskové vzdálenosti spojky Z polohy předmětu a jeho obrazu Předpokládejme soustavu dle obr. 2, kde a a a jsou vzdálenosti předmětu a obrazu od středu tenké spojky C a f je její ohnisková vzdálenost. Pro zobrazování pomocí paprsků monochromatického světla blízkých optické ose platí čočková rovnice: 1 a + 1 a = 1 f (2) Obrázek 2: Zobrazení spojnou čočkou Změřím-li a a a, mohu použít bud přímo rovnici, nebo metodu grafickou (obr. 3) naměřené hodnoty zanesu na obě osy, odpovídající páry spojím 9 a v průsečíku 10 spojnic odečtu bod A[ f, f ]. 11 Měření ohniskové vzdálenosti a bočního zvětšení bud β boční zvětšení, y velikost zobrazovaného předmětu, y velikost jeho obrazu a a a a vzdálenosti před- 9 Tedy a z osy x k a na ose y. 10 Měl by být na y = x. 11 Zatímco abych mohl použít rovnici mi stačí pár jeden, na grafickou metodu musím mít (rozumně) minimálně tři (pročež čtyři). 3

4 Obrázek 3: Schéma grafické metody řešení čočkové rovnice mětu a obrazu předmětu od příslušných hlavních rovin. 12 Potom platí: β = y y = a a (3) Promítnu osvětlované měřítko na matnici s milimetrovou stupnicí. Najdu dvě vzdálenosti (a 1 a a 2), v nichž dostanu ostrý obraz. Načež posunu čočku a určím změnu zvětšení β. 13 (tedy získám dva páry a, β) a pro ohniskovou vzdálenost by mělo platit: f = a 1 a 2 = a β 1 β 2 β (4) Besselova metoda odhadem určím ohniskovou vzdálenost čočky 14. Sestavím soustavu dle obr. 4 tak, aby e > 4 f. Poté posunuji čočkou, 15 než najdu polohy I. a II. 16. Změřím d (vzdálenost mezi nimi) a e a spočtu ohniskovou vzdálenost dle vztahu: f = e2 d 2 4 e (5) Určení polohy ohniskových rovin tlustých čoček předmět ležící v ohniskové rovině čočky je jí zobrazován rovnoběžným svazkem paprsků. Vezmu tedy dalekohled, zaostřím (lze-li) na nekonečno a dívám se do čočky. Když uvidím ostrý obraz, mám právě předmět v ohniskové rovině. 12 Jejichž polohu ovšem neznáme (u tlusté čočky, kterážto je zřejmě předpokládána). 13 β zvolím číslo z promítaného měřítka (y), na matnici odečtu odpovídající y. 14 Bude se měřit pro čočky +100 a Ne, stínítko ani předmět se neposouvá! 16 Zvětšený a zmenšený obraz. 4

5 Obrázek 4: Schéma soustavy pro určení f Besselovou metodou Stanovení ohniskové vzdálenosti rozptylky: Sestavím soustavu dle obr. 5, přičemž y je nějaký předmět, y a y jeho obrazy, S spojka a R rozptylka (jejíž f měřím a kterou tam umístím až časem). Umístím stínítko tak, abych na něm měl ostrý obraz (y ). Odečtu vzdálenost l 1. Přidám rozptylku, příslušně posunu stínítko a odečtu y l 3 ). Na závěr odečtu l 2 a spočtu f z čočkové rovnice rozptylky: a = l 3 l 2 (6) a = l 1 l 2 (7) 1 a 1 a = 1 f (8) Obrázek 5: Schéma optické soustavy pro měření f rozptylky 5

6 Vady čoček: Chromatická (barevná) vada ohnisková vzdálenost čočky je odvislá od jejího indexu lomu. Ten závisí na λ světla. Pro f platí (n je index lomu, r 1,2 jsou poloměry křivosti kulových ploch čočky): 1 f ( 1 = (n 1) + 1 ) r 1 r 2 Velikost vady získám jako rozdíl ohniskových vzdáleností. 17 pro červený a modrý filtr. Sférická (kulová) vada s rostoucí vzdáleností od osy mají paprsky (vstupující do čočky jako rovnoběžné) stále nižší ohniskovou vzdálenost. Velikost vady určím takto do vzdálenosti větší než f umístím předmět. Zobrazím jej čočkou jednou středovými, jednou okrajovými paprsky (výběr pomocí clon), odečtu vzdálenosti obrazů od čočky a s a a k a dle vztahu (2) určím ohniskové vzdálenosti. Velikost vady je dána jejich rozdílem. Při měření pohybuji pouze stínítkem. Vada se udá jako relativní chyba: (9) f s f k f =?% f přitom znám z předchozích měření. 18 Astigmatická vada při zobrazení výrazně mimo optickou osu se bod zobrazí jako dvě úsečky (fokály). Určení bodem bude otvor v kruhové clonce umístěné ve vzdálenosti větší než ohniskové (od čočky). Otvor zobrazím na stínítko a odečtu a. Otočím spojku kolem svislé osy o 30 tak, aby se zobrazovaný bod dostal mimo optickou osu. Posouváním matnice bych měl získat obraz jednou svislé a jednou vodorovné úsečky. Ze vztahu (2) určím ohniskové vzdálenosti a spočtu jejich rozdíl, výsledek se opět vyjádří v procentech. Optické přístroje Lupa zvětšení lupy je definováno takto: Z = tanu tanu (10) Přitom u je zorný úhel, pod nímž předmět vidím lupou, a u zorný úhel pod nímž ho vidím prostým okem ve vzdálenosti l = 25 cm. Zvětšení je odvislé od okamžité akomodace oka, kterým předmět pomocí lupy pozoruji, běžně se užívá akomodace na +. Při akomodaci oka na + platí pro zvětšení lupy vztah (11). Znám-li tedy ohniskovou vzdálenost lupy a konvenční zrakovou vzdálenost, mohu spočíst 19 zvětšení. 17 Besselovou metodou pro spojku +50, předmět deska s otvorem tvaru šipky. 18 Případně použiji průměr. 19 Požadované v bodě 7 pracovního úkolu. 6

7 Z = l f (11) Měření zvětšení lupy při akomodaci oka na konvenční vzdálenost lze provést následovně v konvenční vzdálenosti od pupily oka umístím milimetrové měřítko. Pozorovaný předmět (srovnávací měřítko) umístím tak daleko od lupy, abych jeho obraz viděl ostře současně se srovnávacím měřítkem. Mezi oko a lupu umístím Abbeho kostku, která by měla umožnit pozorovat zároveň obraz srovnávacího měřítka i milimetrové měřítko. Zvětšení lupy potom odpovídá poměru velikostí stupnic (celá soustava je na obr. 6, snažím se, aby co největší část optické dráhy byla mezi hranolem a měřítkem, tedy abych měl oko co nejblíže hranolu a čočce lupy). Obrázek 6: Měření zvětšení lupy Je-li vzdálenost oka od středu čočky dostatečně malá, mohu následně spočíst ohniskovou vzdálenost lupy z rovnice (12). Ježto ale budu jako lupu používat spojnou čočku, jejíž vlastnosti budu studovat i tak, nebude toho zřejmě třeba. Ve vztahu (12) přitom l odpovídá l, c vzdálenosti lupy od oka a Z l označuje zvětšení lupy při akomodaci na konvenční zrakovou vzdálenost. f = l + c Z l 1 (12) Mikroskop zvětšení mikroskopu lze určit analogicky. Mezi oko a okulár mikroskopu umístím Abbeho kostku, do konvenční vzdálenosti příslušným směrem pak milimetrové měřítko tak, abych v kostce viděl jak měřítko tak objektivový mikrometr 20. Zvětšení opět určím z poměru obou stupnic. Znám-li ohniskové vzdálenosti objektivu a velikost intervalu, mohu zvětšení mikroskopu určit pomocí vztahu (13). Z = l f 1 f 2 (13) Dalekohled zvětšení dalekohledu lze určit pomocí průměrů pupil nastavím dalekohled objektivem proti zdroji rovnoběžného svazku paprsků, za okulár dám 20 Kterýžto bude umístěn za mikroskopem jakožto předmět. 7

8 stínítko, změřím velikost zobrazeného svazku. Ta dává průměr pupily výstupní (D 2 ). Průměr vstupní pupily (D 1 )odpovídá průměru objektivu. Zvětšení dalekohledu je rovno jejich poměru (vztah (14)). Alternativně lze zvětšení změřit přímou metodou předmětem budiž lat po jednom centimetru dělená, kterou umístíme do velké vzdálenosti. Čímž by měla být splněna podmínka a f 1 ( f 1 je jistě menší než vzdálenost objektivu a okuláru dalekohledu) a chybu plynoucí ze skutečnosti, že předmět je v konečné vzdálenosti, by mělo být možno zanedbat. Poznámky k pracovnímu postupu Add 1.: Tenká čočka Z = D 1 D 2 (14) Odhadem světelný zdroj v nekonečnu, čočka (+100), matnice najdu v jaké vzdálenosti dostanu obraz (bod), provedu korekci na konečnou vzdálenost (uvedou se obě). Jako předmět se má použít clona s otvorem ve tvaru šipky. Obraz vytvořený čočkou je záhodno zachytit na matici obrácenou matnou stranou k čočce a pozorovat na průhled. Besselovou metodou měří se čočky +50 (úkoly 3. 5., +100 (úkol 1), +200 (úkol 9), později se bude měřit Ramsdenův okulár a mikroskopický objektiv. Add 3.: Barevná vada Použije se spojka +50 (ohniskovou vzdálenost spočtu jako průměr), další viz teorie. Add 6.: f mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru 1. Určím zvětšení pomocného objektivu: Mezi oko a okulár mikroskopu umístím Abbeho kostku, do konvenční vzdálenosti příslušným směrem pak milimetrové měřítko tak, abych v kostce viděl jak měřítko tak objektivový mikrometr 21. Zvětšení opět určím z poměru obou stupnic: Z = y y = a a (15) 2. Určím ohniskovou rovinu pomocného objektivu (zhruba odhadem). 3. Určete polohy jejich ohniskových rovin jako tlusté čočky (půjde-li). 4. Určím ohniskovou vzdálenost mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru pomocný objektiv použiji jako matnici, jako předmět použiji tlustou skleněnou destičku se stupnicí dělenou po desetině milimetru. Vše má být odečítáno na měřítku připevněném na optické lavici. 21 Kterýžto bude umístěn za mikroskopem jakožto předmět. 8

9 Reference [1] Kolektiv KF FJFI. Fyzikální praktikum II. Ediční středisko ČVUT, Praha:

10 Vypracování: Add 1.: Ohnisková vzdálenost spojky různými metodami Provedli jsme měření ohniskové vzdálenosti spojné čočky (+50) požadovanými metodami. Výsledky jsou shrnuty v tabulce 3, dílčí naměřené údaje a výsledky jsou uvedeny v tabulkách 1 (pro metodu předmětu a obrazu) a 2 (pro měření Besselovou metodou). Besselovou metodou jsme určili i ohniskové vzdálenosti čoček +50 a +150 čehož využijeme dále. Určení ohniskové vzdálenosti čočky +100 jsem provedl i graficky (viz přílohu 1). Z podstaty metody plyne, že vynesu-li do kartézského systému na jednu osu a a na druhou a, protnou se spojnice sobě příslušných (z téhož měření) množin bodů v jediném bodě (na papíře teoreticky budou průsečíky dvojic čar jen všechny v nějakém malém okolí bodu [ f, f ]) o souřadnicích [ f, f ]. Náhodné chyby (nepřesnosti měření) způsobí, že dostanu více průsečíků. V našem případě je výsledkem průsečík jediný, a to [a,a] = [12.0,10.9]. Chyba je tedy svou podstatou systematická. Měření jsme prováděli dle uspořádání na obr. 2. Matnice, předmět i čočka byly umístěny na jezdcích na optické lavici. Na každém jezdci je ryska, z níž lze odečítat polohu proti stupnici na optické lavici. U matnice je ryska umístěna právě pod její zadní stěnou (tedy lze přímo odečítat dle rysky), u ostatních jezdců může být ryska vzhledem k předmětu různě posunuta dle způsobu zasunutí předmětu do držáku jezdce. Vzhledem k výsledku tedy rysky opravdu neodpovídaly). Protože jsme desky při měřeních upevňovali vždy stejným způsobem, chyba se projevila jako systematická a ne jako náhodná. Nejjednodušší a vzhledem k přesnosti měření rozumně použitelnou korekcí je lineární interpolace proti výsledku, který bych dostal při grafickém řešení při záměně os: = Co se měření odhadem týče jedním z předpokladů je světelný zdroj ve vzdálenosti limitně blízké nekonečnu. Zřejmě bychom bývali mohli využít Slunce, ale to jsme si včas neuvědomili. Pro měření se zdrojem v konečné vzdálenosti lze použít korekci ( f je ohnisková vzdálenost naměřená odhadem, l vzdálenost světelného zdroje, f ohnisková vzdálenost po provedené korekci): 1 f + 1 l = 1 f = 1 f f = cm Čímž ovšem v principu přejdu na metodu měření ohniskové vzdálenosti ze znalosti polohy předmětu a obrazu. Add 2.: Ohnisková vzdálenost rozptylky Provedli jsme měření ohniskové vzdálenosti rozptylky (-50) za použití spojky Postup měření je popsán na str. 5, výsledky uvedeny v tabulce 4, k výpočet byl proveden pomocí vztahu: 10

11 a [cm] a [cm] f [cm] f φ [cm] ± 0.09 Tabulka 1: Ohnisková vzdálenost spojky (+100) ze znalosti polohy předmětu a obrazu (PO) e [cm] d [cm] f [cm] f φ [cm] 5.32 ± ± ± 0.04 Tabulka 2: Ohniskové vzdálenosti spojných čoček Besselovou metodou (+50, +100, +150) f [cm] Odhadem 13.1 Odhadem s korekcí PO početně ± 0.09 PO graficky Besselova metoda ± 0.06 Tabulka 3: Ohnisková vzdálenost spojky (+100) 11

12 f = a 2a 1 a 1 + a 2 = (l 3 l 2 )(l 1 l 2 ) l 1 + l 3 l 1 [cm] 80.0 l 2 [cm] 76.6 l 3 [cm] 90.0 f [cm] 4.56 Tabulka 4: Ohnisková vzdálenost rozptylky (-50) Add 3., 4., 5.: Vady spojky Dle zadání jsme použili čočku +50, výsledky měření jsou uvedeny v tabulkách 5, 6 a 7. První měření chromatické vady považuji za zatížené hrubou chybou f c musí být větší než f m, protože f je nepřímo úměrné indexu lomu čočky a ten pro rostoucí vlnovou délku klesá. λ [nm] a [cm] a [cm] f λ [cm] f c f m [cm] Tabulka 5: Vady čoček chromatická vada (+50) okrajové p. vnitřní p. a [cm] a [cm] f i [cm] f s f k [cm] 0.38 Tabulka 6: Vady čoček sférická vada (+50) Add 6.: Ohnisková vzdálenost Ramsdenova okuláru a mikroskopického objektivu K měření ohniskové vzdálenosti obou jsme použili uspořádání dle obr. 7. Nejprve jsme, bez Ramsdenova okuláru, zaostřili pomocný mikroskopický objektiv (MIO) na skleněnou destičku s měřítkem, poté přidali Ramsdenův okulár a provedli běžným postupem měření Besselovou metoudou, přičemž jsme jako matnici používali MIO vzdálenost mezi destičkou a MIO (28.6 cm) před vložením Ramsdenova okuláru jsme brali jako nulovou a od údajů s následným měřením s okulárem odečítali. Tentýž postup jsme použili i při měření ohniskové vzdálenosti mikroskopického objektivu výsledky viz tabulku 8. 12

13 svislá f. vodorovná f. a [cm] a [cm] f i [cm] f sv f vod [cm] Tabulka 7: Vady čoček astigmatická vada (+50) Mikroskopický objektiv Ramsdenův okulár e [cm] d [cm] f [cm] Tabulka 8: Ohnisková vzdálenost Ramsdenova okuláru a mikroskopického objektivu Obrázek 7: Schéma měření f Ramsdenova okuláru a mikr. objektivu (Z je zdroj světla, P destička s měřítkem, RO Ramsdenův okulár, MIO pomocný mikroskopický objektiv) 13

14 Add 7.: Zvětšení a ohnisková vzdálenost lupy (Ramsdenova okuláru) Měření jsme provedli dle postupu popsaného na str. 7 v sestavě dle obrázku 6. Výsledek Ramsdenův okulár při akomodaci oka na konvenční zrakovou vzdálenost zvětšuje 9. S použitím vztahu 11 můžeme spočíst i požadované zvětšení při akomodaci oka na nekonečno ( f znám z předchozího úkolu): Z = l f = = Add 8.: Zvětšení mikroskopu a dalekohledu Zvětšení mikroskopu Pomocí změny zvětšení (překryv zobrazení dvou stupnic na sebe pomocným hranolem) jsme zvětšení mikroskopu určili jako 75 : 1. Zvětšení dalekohledu Na pomocné optické lavici umístěné na výsuvném stojanu jsme z Ramsdenova okuláru a spojky +200 sestavili dalekohled. K určení jeho zvětšení jsme využili možnosti sledovat pomocí hranolu cílový objekt (použili jsme na stěně stupnici na druhé straně sousední místnosti vzdálenou přibližně osm metrů osvětlenou lampou) zároveň skrz dalekohled i přímo okem. Mám za to, že v tomto případě je chyba vzniklá skutečností, že nepozoruji obraz v nekonečnu zanedbatelná. Porovnali jsme velikosti obou obrazů a určili zvětšení dalekohledu jako 6.7 : 1. Dále bylo požadováno určení zvětšení z průměrů pupil. Zacílili jsme dalekohled na osvětlenou stěnu, vystupující světelný svazek zobrazili na list papíru a změřili jeho šířku. Zobrazovat přímo lampu se ukázalo jako nevhodné (nevyužití celé šířky pupily). Šířka svazku na vstupní pupile: 3.59 cm Šířka svazku na výstupní pupile: 0.48 cm Metodou pupil jsme tedy získali zvětšení 7.5 : 1. 14

15 Závěr Změřili jsme ohniskovou vzdálenost spojné čočky požadovanými metodami, s příslušnými korekcemi, diskutovanými na str. 10 jsou výsledky srovnatelné (viz tabulku 3). (Příjemně mne překvapilo, že grafické řešení může mít i své kladné stránky možnost lépe posoudit charakter chyby.) Ohniskovou vzdálenost rozptylky jsme určili jako 4.56 cm (viz tabulka č. 4). Změřili jsme velikost barevné, sférické a astigmatické vady spojky +50 s výsledky: Sférická vada: f s f k [cm] 0.38 Astigmatická vada: f sv f vod [cm] Chromatická vada: f c f m [cm] 2.92 Ohniskovou vzdálenost mikroskopického objektivu jsme určili jako 1.77 cm, Ramsdenova okuláru jako 2.33 cm. Jako lupu pro zpracování úlohy 8. jsme použili Ramsdenův okulár. Při akomodaci oka na normální zrakovou délku zvětšuje devětkrát, při akomodaci na nekonečno přibližně dvanáctkrát. Změřili jsme zvětešní dalekohledu ze změny zvětšení (6.7:1) i pomocí měření průměru pupil (7.5:1). Rozdíl výsledků získaných různými metodami je přibližně deset procent, což v tomto případě považuji za přijatelné. Zvětšení mikroskopu jsme určili jako 75 : 1. 15