11. Geometrická optika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "11. Geometrická optika"

Transkript

1 Trivium z optiky 83 Geometrická optika V této a v následující kapitole se budeme zabývat studiem světla v situacích, kdy je možno zanedbat jeho vlnový charakter V tomto ohledu se obě kapitoly podstatně liší od všeho, o čem jsme hovořili v kapitolách předcházejících Zanedbáváme-li vlnové vlastnosti světla (tedy především ohyb), hovoříme obvykle o přiblížení geometrické optiky nebo prostě o geometrické optice V následujících dvou kapitolách se proto budeme zabývat geometrickou optikou Soustředíme se při tom především na optická zobrazení, přičemž v této kapitole probereme některé zcela obecné axiomy a pojmy a odvodíme obecné výsledky týkající se optického zobrazování Jejich použití v konkrétních případech jednoduchých i složitějších zobrazovacích soustav probereme v kapitole následující Axiomy geometrické optiky Zobrazovací soustavy 3 Zobrazovací rovnice 3 Obecný tvar zobrazovacích rovnic 3 Newtonovy zobrazovací rovnice pro centrované soustavy 33 Příčné zvětšení, hlavní roviny a hlavní body 34 Grafické řešení zobrazovacích rovnic pro centrované soustavy 35 Čočkové zobrazovací rovnice pro centrované soustavy 36 Úhlové zvětšení, uzlové body 4 Klasifikace zobrazovacích soustav 5 Skládání zobrazovacích soustav Axiomy geometrické optiky V rámci geometrické optiky se obvykle omezujeme na izotropní a homogenní prostředí Jedinými přípustnými nehomogenitami jsou rozhraní, na nichž se optické vlastnosti po částech homogenních prostředí (index lomu) mění skokem Základní axiomy proto formulujeme právě pro takové systémy: světlo se šíří homogenním a izotropním prostředím přímočaře, při průchodu rozhraním se láme podle Snellova zákona lomu, při odrazu od rozhraní se odráží podle zákona odrazu, světlo se šíří prostředím nezávisle na tom, zda tímto prostředím prochází i jiné světlo, Ústředním pojmem geometrické optiky je světelný paprsek Formulace předcházejících axiomů pomocí tohoto pojmu je nasnadě a přenecháváme ji čtenáři Připojme k nim ještě jeden, už poslední, o záměnnosti směru chodu paprsků je-li paprsek probíhán jedním směrem, může být probíhán i směrem opačným V kapitole 7 jsme podrobně probrali odraz a lom světla od rovinných rozhraní Uvedli jsme si též, že výsledky v této kapitole uvedené platí i pro obecná rozhraní, není-li jejich křivost velká Za rovinu rozhraní v tomto případě považujeme rovinu k němu tečnou Toto tvrzení je důsledkem linearity Maxwellových rovnic a rovnic materiálových Neplatí mimo rámec lineární optiky, tedy v silných elektromagnetických polích, kdy materiálové rovnice přestávají být lineární

2 84 Geometrická optika Fermatův princip Uvedené axiomy jsou důsledkem jediného, v rámci geometrické optiky zcela obecně platného principu, tzv principu Fermatova : 3 Světlo se šíří z jednoho bodu prostoru do bodu jiného po takové dráze (paprsku), aby čas nutný k uražení této dráhy byl minimální Fermatův princip platí pro obecná, nejen homogenní prostředí Máme-li co do činění s nehomogenním prostředím, jehož index lomu je funkcí polohy, n = n( r ), závisí na poloze i rychlost světla v takovém prostředí, c ( r ) = c/ n( r ), 4 a Fermatův princip lze přeformulovat následujícím způsobem: 5 Reálný světelný paprsek procházející body A a B obecně nehomogenního prostředí o indexu lomu nr ( ) je dán křivkou ϕ tyto body spojující, pro kterou nabývá křivkový integrál prvního druhu nr ( )dϕ své minimální hodnoty 6 Uvedený křivkový integrál se obvykle nazývá optickou dráhou paprsku a Fermatův princip je možno též vyslovit tak, že optická dráha odpovídající reálnému paprsku je minimální Matematicky vede Fermatův princip k velmi obtížné úloze nalezení minima funkce, jejíž nezávislou proměnnou je prostorová křivka Takové funkce se obvykle nazývají funkcionály a hledání extrémů funkcionálů je obsahem matematické disciplíny zvané variační počet 7 Zobrazovací soustavy Pod zobrazovací soustavou rozumíme jakoukoliv soustavu odrazivých a lámavých ploch, která mění chod světelných paprsků Paprsky přicházející od zdroje, či od více zdrojů, které obvykle umisťujeme vlevo od soustavy, budeme nazývat paprsky (do soustavy) vstupujícími a paprsky, jejichž chod je zobrazovací soustavou pozměněn, paprsky (ze soustavy) vystupujícími Protože obvykle předpokládáme, že je zobrazovací soustava obklopena homogenním a izotropním prostředím, budou tyto paprsky vždy přímé a můžeme si je představit jako polopřímky končící či začínající na některé z lámavých či odrazivých ploch soustavy Pro praktické účely je vhodná pouze taková zobrazovací soustava, která zobrazuje bod na bod a přímku na přímku Přesněji, pokud do soustavy vstupuje svazek paprsků vycházejících z jednoho bodu 8, budou se vystupující paprsky protínat rovněž v jediném bodě, a to nezávisle na barvě použitého světla; 9 leží-li body, z nichž vycházejí paprsky do soustavy vstupující, na jedné přímce, leží i průsečíky paprsků ze soustavy vystupujících na jedné (obecně však jiné!) přímce, opět nezávislé na barvě použitého světla 0 ϕ 3 Dá se dále ukázat, že samotný Fermatův princip je zase přiblížením plynoucím z Maxwellových rovnic 4 c je rychlost světla ve vakuu 5 Poučení o křivkách a křivkových integrálech nalezne čtenář například v R KALUS A D HRIVŇÁK, Breviář vyšší matematiky, vydání, Ostravská univerzita, 00, kap 5 6 n c' dϕ= c dϕje čas, který světlo potřebuje na uražení infinitezimální dráhy d ϕ Čas potřebný k uražení dráhy odpovídající celému úseku mezi body A a B je zřejmě dán křivkovým integrálem n c dϕ Konstantu c ovšem můžeme ϕ z integrálu vytknout, a protože je kladná bude dϕ nabývat svého minima, právě když je minimální i n dϕ n ϕ c 7 Základní poučení o variačním počtu může čtenář najít např v K REKTORYS A KOL, Přehled užité matematiky, SNTL 98 nebo další vydání, kap 3 8 tzv homocentrický svazek paprsků 9 Tj pro všechny vlnové délky získáme jeden a tentýž průsečík vystupujících paprsků 0 Z druhé podmínky vyplývá bezprostředně, že se rovina vždy zobrazí na rovinu Promyslete! ϕ

3 Trivium z optiky 85 Soustavu splňující první z uvedených předpokladů nazýváme obvykle stigmatickou, soustavu splňující oba předpoklady současně pak ideální zobrazovací soustavou V dalším, aniž to však budeme zdůrazňovat, budeme pracovat výlučně s ideálními zobrazovacími soustavami Body, z nichž vycházejí paprsky do soustavy vstupující, se obvykle označují jako vzory (nebo též předměty ), body, v nichž se protínají paprsky vystupující, pak jako obrazy Reálné zobrazovací soustavy splňují oba uvedené předpoklady vždy jen přibližně obrazový bod není přesně matematickým bodem, ale velmi malou oblastí prostoru, obraz přímky je obvykle slabě zakřiven Zobrazení může též záviset na barvě použitého světla a při použití bílého světla může dokonce vznikat více vzájemně posunutých obrazů různých barev Říkáme, že reálné zobrazovací soustavy trpí tzv zobrazovacími vadami Ty se ovšem vždy snažíme důmyslnými konstrukcemi co nejvíce potlačit a reálnou zobrazovací soustavu tak co nejvíce přiblížit soustavě ideální Paprsky vystupující z ideální zobrazovací soustavy jsou polopřímky a jako takové se nemusí nutně, byť by byly různoběžné, protínat ve společném bodě V něm se mohou protnout teprve po doplnění na přímky Uvedené skutečnosti využíváme k rozdělení obrazů vytvářených danou zobrazovací soustavou do dvou velkých skupin Protínají-li se různoběžné vystupující paprsky ve společném bodě jako polopřímky, tedy před doplněním na přímky, hovoříme o tomto bodě jako o skutečném (reálném) obraze Pokud se různoběžné vystupující paprsky jako polopřímky neprotínají a protnou se až po doplnění na přímky, hovoříme o obraze zdánlivém (virtuálním) Skutečný obraz je možno zachytit na stínítko (fotografickou desku, film, filmový pás), neskutečný nikoliv Neskutečný obraz můžeme ale vnímat zrakem poté, co jej oko přemění na skutečný obraz promítaný na sítnici 3 Zobrazovací rovnice 3 Obecný tvar zobrazovacích rovnic Vzory a obrazy optického zobrazení jsou množiny bodů v trojrozměrném prostoru, každý z těchto bodů je možno jednoznačně zadat uspořádanou trojicí čísel souřadnicemi v pevně zvolených souřadnicových soustavách S a S V případě souřadnicové soustavy S, pomocí které zadáváme polohy zobrazovaných předmětů, hovoříme obvykle jako o soustavě předmětové, soustavu S, spojenou s obrazy, pak zpravidla nazýváme souřadnicovou soustavou obrazovou Obě soustavy mohou být obecně různé, ba dokonce se ukazuje, že právě tato volba je matematicky výhodná Souřadnice předmětů budeme v dalším označovat písmeny x, y a z, u obrazů připojíme čárky, x, y a z Ideální zobrazovací soustavu pak můžeme reprezentovat vhodným 3 3 matematickým zobrazením, které libovolné uspořádané trojici souřadnic (x,y,z) přiřadí právě jednu uspořádanou trojici souřadnic (x,y,z ) V notaci obvyklé ve fyzice můžeme pro toto zobrazení psát x = x ( x, y, z), y = y ( x, y, z), z = z ( x, y, z ) Ne každé zobrazení je ale pro reprezentaci ideální zobrazovací soustavy vhodné Jsou to jen ta, která navíc zobrazují přímku na přímku či rovinu na rovinu Matematikové pro ně užívají sou- Předpoklad, že zadané trojici předmětových souřadnic (x,y,z) odpovídá právě jedna trojice souřadnic obrazových (x,y,z ), automaticky zajišťuje splnění prvního požadavku kladeného na ideální zobrazovací soustavu bod se zobrazuje na bod

4 86 Geometrická optika hrnné označení kolineace a dá se ukázat, že se jedná o prosté lineární lomené funkce, ax+ b y+ cz+ d x = ax + by + cz + d ax+ b y+ cz+ d y = ax + by + cz + d ax+ b y+ cz+ d z = ax + by + cz + d,, Konstanty a k, b k, c k, d k, a, b, c a d jednoznačně zadávají konkrétní zobrazovací soustavu Uvedené rovnice uvádějící do vzájemného vztahu polohy předmětů a jejich obrazů nazýváme v optice rovnicemi zobrazovacími 3 Newtonovy zobrazovací rovnice pro centrované soustavy V následujících odstavcích budeme pracovat výhradně s osově symetrickými zobrazovacími soustavami 3 Pro takové soustavy používáme zpravidla označení centrovaná zobrazovací soustava a pro jejich osu symetrie pak označení optická osa Osovou symetrii centrované zobrazovací soustavy můžeme využít ke speciální volbě předmětové a obrazové souřadnicové soustavy Bez újmy na obecnosti můžeme totiž osu symetrie zobrazovací soustavy ztotožnit se souřadnicovými osami x a x, které navíc zvolíme tak, aby byly navzájem totožné (x x ) a stejně orientované V souladu s obecně přijímanou konvencí volíme orientaci optické osy soustavy, a tedy i os x a x, zleva doprava a předpokládáme, že se stejným směrem šíří světelné paprsky Pozor ale, počátky souřadnicových soustav S a S již totožné být nemusí! Též souřadnicové osy y, y a z, z můžeme, a to opět bez újmy na obecnosti, zvolit tak, aby byly rovnoběžné a souhlasně orientované, tj y y a z z Podle obvyklé konvence se orientace os y a y (někdy ale os z a z ) volí zdola nahoru Je jasné, že uvedená speciální volba souřadnicových soustav S a S nutně omezí i přípustné tvary kolineací reprezentujících optické zobrazení studovanou zobrazovací soustavou Podívejme se nejdříve na omezení, která dostaneme pro první zobrazovací rovnici, tj pro rovnici pro x Především je jasné, že pro osově symetrické soustavy s osu symetrie totožnou s x-ovými souřadnicovými osami nemůže x záviset na y a z 4 Musí tedy být b = c = b = c = 0, neboli ax + d x = ax + d Tento vztah můžeme ještě dále zjednodušit vhodnou volbou počátků souřadnicových soustav S a S, opět ovšem bez újmy na obecnosti Vycházíme z toho, že se body ležící v rovině ax + d =0 (kolmé k souřadnicové ose x) zobrazí do nekonečna 5 a tedy že tato rovina má mezi všemi ostatními rovinami do jisté míry význačné postavení V optice ji nazýváme předmětovou Ne úplně triviální důkaz je možno najít v doporučené studijní literatuře 3 Zobrazovací soustavu nazveme osově symetrickou, pokud se její (zobrazovací) vlastnosti nemění při libovolném pootočení kolem jisté přímky Tuto přímku pak nazveme osu symetrie soustavy 4 Pootočením centrované zobrazovací soustavy kolem osy symetrie (tj kolem os x = x ) se nemůže změnit x-ová souřadnice předmětového ani obrazového bodu Souřadnice y a z se ale určitě, nejsou-li nulové, změní x tedy na nich nemůže záviset 5 Směr chodu paprsků předpokládáme zleva doprava (viz výše)

5 Trivium z optiky 87 ohniskovou rovinou a ztotožňujeme ji se souřadnicovou rovinou yz Do jejího průsečíku s osou x pokládáme tedy počátek předmětové souřadnicové soustavy, který má vzhledem ke své výlučnosti rovněž vlastní jméno i označení nazýváme ho předmětovým ohniskem zobrazovací soustavy označujeme písmenem F 6 S takto vhodně zvoleným počátkem předmětové souřadnicové soustavy se tvar první zobrazovací rovnice dále zjednoduší na 7 D x = A + x Na druhé straně se body z levého nekonečna ( x ) zobrazují do roviny x = A Tuto rovinu nazveme obrazovou ohniskovou rovinou (označení ϕ ), její průsečík s osou x obrazovým ohniskem (označení F ) a právě do tohoto průsečíku umístíme počátek obrazové souřadnicové soustavy V zobrazovací rovnici pro x proto dále vymizí i parametr A a rovnice získá vskutku jednoduchý konečný tvar 8 D x = x Druhá a třetí zobrazovací rovnice jsou díky osové symetrii studované zobrazovací soustavy rovnocenné Navíc je možno vždy zajistit pomocí vhodné rotace souřadnicových soustav S a S kolem osy symetrie, aby zobrazovaný bod i jeho obraz ležely v souřadnicové rovině xy 9 a stačí se tedy zabývat jen druhou zobrazovací rovnicí 0 Ta bude v takovém případě nabývat tvaru ax+ b y+ d y = ax Protože se ale body ležící na optické ose zobrazovací soustavy (souřadnicové ose x) musí nutně, zobrazit zase jen na body ležící na optické ose, musí pro y = 0 být i y = 0 Toho lze ale dosáhnout pro libovolnou hodnotu x jen tak, že položíme a = d = 0 Druhá zobrazovací rovnice musí mít tudíž konečný tvar b y y y = B ax x Zobrazovací rovnice pro x a y ve tvaru odvozeném v tomto odstavci se obvykle nazývají Newtonovými zobrazovacími rovnicemi 6 Předmětovou ohniskovou rovinu budeme označovat symbolem ϕ 7 Parametr d musí být nutně nulový a konstanta a tím pádem nenulová První zobrazovací rovnice nabývá proto tvaru ax + x = d a d D ax = a + ax A + x 8 Připomeňme ale ještě jednou, že jsme všech zjednodušení zobrazovací rovnice pro x dosáhli jen a pouze speciální volbou předmětové a obrazové souřadnicové soustavy Podle principu ekvivalence všech inerciálních soustav pro popis fyzikálních jevů jsme proto neučinili žádný předpoklad omezující fyzikální obecnost našich úvah 9 Leží-li zobrazovaný bod v souřadnicové rovině xy, je jistě rozumné předpokládat, že v ní bude ležet i jeho obraz Eventuální vychýlení obrazu vpravo či vlevo od této roviny jsou rovnocenná, a tudíž v konečném důsledku nulová Samotný předpoklad osové symetrie centrované soustavy ale k důkazu uvedeného tvrzení nestačí Potřebovali bychom jej např doplnit předpokladem invariance zobrazovacích vlastností soustavy při zrcadlení vzhledem k libovolné rovině procházející její osou symetrie 0 Mohli bychom ovšem soustavy S a S pootočit tak, že by zobrazovaný bod ležel v rovině xz Pak bychom se zabývali rovnicí třetí Konečná volba je, v důsledku osové symetrie zobrazovací soustavy, ponechána zcela na naší libovůli Víme už, že b = c = d = 0, nyní je navíc i z = 0 Žádný směr kolmý k optické ose nemůže být, vzhledem k osové symetrii zobrazovací soustavy, v obrazovém prostoru preferován

6 88 Geometrická optika 3 Příčné zvětšení, hlavní roviny a hlavní body Poměr y /y udává, kolikrát je obraz bodu dále od optické osy než zobrazovaný bod sám Nazýváme jej proto příčným zvětšením příslušného optického zobrazení, přičemž pod příčným rozumíme příčný (kolmý) vzhledem k optické ose 3 Obecný zobrazovaný předmět si můžeme v zjednodušené formě představit jako orientovanou úsečku kolmou k optické ose, s počátkem na této ose a s koncovým bodem mimo ni Obraz této úsečky bude rovněž úsečka 4 Její počáteční bod se bude nacházet na optické ose a samotná úsečka bude k této ose, podobně jako její vzor, kolmá 5 Bude-li absolutní hodnota poměru y /y větší než jedna, y /y >, řekneme, že obraz předmětu je zvětšený, v opačném případě, y /y <, hovoříme o obraze zmenšeném Vzhledem ke speciální orientaci souřadnicových os y a y (jsou rovnoběžné a souhlasně orientované) znamená kladné znaménko poměru y /y souhlasnou orientaci předmětu a obrazu, znaménko záporné orientaci opačnou V prvním případě hovoříme o přímém obraze, ve druhém o obraze obráceném Množina všech bodů zobrazujících se s příčným zvětšením + je rovina kolmá k optické ose zobrazovací soustavy, její obraz je rovněž rovina, přičemž i kolmost k optické ose zůstává zachována 5 I tyto dvě nové roviny mají svým způsobem výjimečné postavení (podobně jako roviny ohniskové), a tudíž i speciální pojmenování a označení První z nich se nazývá předmětová hlavní rovina, druhá obrazová hlavní rovin a používáme pro ně označení h a h Pro jejich průsečíky s optickou osu (s osami x a x ) se obvykle používá pojmenování předmětový a obrazový hlavní bod a označení H a H Podobně jako roviny ohniskové jsou i hlavní roviny určeny pro danou zobrazovací soustavu jednoznačně Bez velkých obtíží je možno dokázat (viz výklad níže), že ohniskové a hlavní roviny centrovanou zobrazovací soustavu zadávají jednoznačně 6 Centrovaná zobrazovací soustava je tedy jednoznačně určena svou optickou osou a oběma ohniskovými a hlavními rovinami Stačí dokonce zadat ohniska a hlavní body soustavy, protože dobře víme že hlavní i ohniskové roviny jsou kolmé k optické ose Vzdálenost mezi předmětovým ohniskem a předmětovým hlavním bodem studované zobrazovací soustavy nazýváme předmětovou ohniskovou vzdáleností této soustavy a označujeme ji symbolem f Opatřujeme ji navíc znaménkem kladným, pokud orientovaná úsečka HF míří ve směru souřadnicové osy x (zleva doprava), a záporným, pokud tato úsečka míří proti směru ori- 3 Zobrazovací rovnici, která udává poměr y /y, budeme v dalším nazývat rovnicí pro příčné zvětšení Uvědomme si též, že pro různé předměty obdržíme zpravidla odlišná příčná zvětšení Příčné zvětšení není univerzální vlastností studované zobrazovací soustavy 4 Viz druhý požadavek kladený na ideální zobrazovací soustavy 5 Dokažte pomocí zobrazovacích rovnic 6 x-ové souřadnice poloh předmětu a obrazu vztažené vzhledem k hlavním rovinám označujeme obvykle symboly a a a Blíže viz odstavec 35

7 Trivium z optiky 89 entace souřadnicové osy x 7 Vzdálenost obrazového ohniska a obrazového hlavního bodu, opatřená znaménkem podle vzájemné orientace úsečky HF a souřadnicové osy x, budeme nazývat obrazovou ohniskovou vzdáleností Obvykle k jejímu označení používáme symbol f Zadáme-li ohniska a ohniskové vzdálenosti, můžeme najít okamžitě i hlavní body zadané centrované soustavy, zadáme-li její hlavní body a ohniskové vzdálenosti, snadno nalezneme ohniska Libovolná centrovaná zobrazovací soustava je tedy jednoznačně určena nejen svými hlavními body a ohnisky, ale i ohnisky a ohniskovými vzdálenostmi či hlavními body a ohniskovými vzdálenostmi Pomocí ohniskových vzdáleností je možno Newtonovy rovnice upravit do obvyklého tvaru 8 xx = ff, f y = y = y x x f 34 Grafické řešení zobrazovacích rovnic pro centrované soustavy Obraz zadaného bodu nalezneme pro zadanou centrovanou zobrazovací soustavu řešením zobrazovacích rovnic Přesněji dosazením jeho souřadnic x a y do zobrazovacích rovnic pro x a y a výpočtem souřadnic jeho obrazu Poměrně elegantně je ale možno najít obraz zadaného bodu i graficky Stačí si uvědomit platnost následujících tvrzení leží-li zadaný bod na nějakém paprsku vstupujícím do zobrazovací soustavy, bude jeho obraz ležet na sdruženém vystupujícím paprsku, tj na takovém paprsku, který ze vstupujícího paprsku vznikne průchodem zmíněnou zobrazovací soustavou, prochází-li vstupující paprsek předmětovým ohniskem zobrazovací soustavy, je s ním sdružený vystupující paprsek rovnoběžný s její optickou osu, 9 je-li vstupující paprsek rovnoběžný s optickou osou zobrazovací soustavy, prochází s ním sdružený vystupující paprsek jejím obrazovým ohniskem 30 Zvláště snadno se zobrazují body ležící mimo optickou osu např bod P na obrázku Takovými body vedeme dva význačné vstupující paprsky jeden rovnoběžný s optickou osu a 7 Předmětová ohnisková vzdálenost tedy není nic jiného než opačná hodnota x-ové souřadnice předmětového hlavního bodu v Newtonově předmětové souřadnicové soustavě Připomínáme též, že x-ové souřadnicové osy jsou orientovány podle naší konvence zleva doprava 8 Důkaz uvádíme v následujícím odstavci věnovaném grafickému řešení zobrazovací rovnice V tuto chvíli nezbývá než požádat čtenáře o trpělivost 9 Předmětové ohnisko se podle definice zobrazí do nekonečna, všechny paprsky jím procházející se proto musí změnit na výstupu ze soustavy na paprsky rovnoběžné Kdyby tomu tak nebylo, musely by se nutně protnout v nějakém bodě v konečnu Vystupující paprsky by musely být různoběžné a všechny by se musely protnout v jednom bodě Podle požadavků kladených na ideální zobrazovací soustavu se bod (a ohnisko je bod) zobrazuje na bod 30 Vyplývá z předcházejícího tvrzení a ze záměnnosti směru chodu paprsků

8 90 Geometrická optika druhý procházející předmětovým ohniskem zobrazovací soustavy První paprsek protíná předmětovou hlavní rovinu v bodě A, podle definice se tento bod zobrazí do obrazové hlavní roviny s příčným zvětšením +, tedy na bod A v obrázku Paprsek sdružený s prvním paprskem prochází tímto bodem a navíc též obrazovým ohniskem F Můžeme jej tedy zakreslit jako spojnici těchto dvou bodů Podobnou konstrukci můžeme provést i pro druhý paprsek, který prochází předmětovým ohniskem Tento paprsek protíná předmětovou hlavní rovinu v bodě B, k němu sdružený paprsek je podle definice předmětového ohniska rovnoběžný s optickou osou zobrazovací soustavy a prochází bodem B, který je obrazem bodu B konstruovaným podobně jako A pro paprsek první V průsečíku obou takto získaných vystupujících paprsků se pak zřejmě nachází obraz bodu P, v obrázku jej značíme P Zobrazujeme-li graficky body ležící na optické ose soustavy, např bod P v obrázku, vztyčíme v nich nejdříve kolmici k této ose a na ni vyznačíme libovolný pomocný bod P ležící mimo osu Ten zobrazíme pomocí výše uvedeného postupu na bod P Z tohoto bodu spustíme kolmici k optické ose soustavy a pata této kolmice je již hledaný obraz bodu P, v obrázku bod P 3 Výše uvedených grafických konstrukcí můžeme užít i k odvození obvykle užívaného tvaru Newtonových zobrazovacích rovnic, který jsme uvedli v závěru odstavce 33 Je například zřejmé, že trojúhelníky A H F a P P F jsou podobné Platí tedy AH : PP = HF : FP Podle definic můžeme dále psát (pozor na znaménka!) neboli po dosazení AH = y = y, PP = y = y, HF = f = f, FP = x = x, y = y x / f Zcela obdobně bychom získali i druhý tvar zobrazovací rovnice pro příčné zvětšení pomocí trojúhelníků BHF a P P F y = y f / x A nakonec porovnáním obou právě odvozených vzorců yx / f = yf/ x i poslední ze zobrazovacích rovnic xx = f f 35 Čočkové zobrazovací rovnice pro centrované soustavy Volba počátků předmětové a obrazové souřadnicové soustavy S a S je ponechána zcela na naší libovůli a nemůže nijak ovlivnit fyziku problému Kromě možnosti, kterou jsme se zabývali výše počátky souřadnic klademe do ohnisek studované zobrazovací soustavy, se často používá i volba jiná Počátek předmětové souřadnicové soustavy S ztotožníme tentokrát s předmětovým hlavním bodem a počátek soustavy obrazové S s obrazovým hlavním bodem zobrazovací soustavy Orientaci souřadnicových os přitom zachováváme Tato volba je výhodná zejména pro čočky (ale i pro kulová zrcadla), proto jí odpovídající zobrazovací rovnice nazýváme obvykle rovnicemi čočkovými (čočkově zrcadlovými ) Je jasné, že zobrazovací rovnice pro y-ové souřadnice bodů předmětu a obrazu se po posunu počátků souřadnicových soustav podél optické osy (tj podél osy x či x ) nemění Čočkovou rovnici pro příčné zvětšení můžeme tedy i nadále psát ve tvaru f y = y = y x x f 3 Kolmice k optické ose se musí zobrazit opět na kolmici k optické ose (dokažte pomocí zobrazovacích rovnic!) Proto je pata kolmice spuštěné z bodu P totožná s obrazem bodu P

9 Trivium z optiky 9 a v dalším nemusíme mezi Newtonovou rovnicí pro příčné zvětšení a odpovídající rovnicí čočkovou rozlišovat Změny dozná pouze rovnice pro x-ové souřadnice zobrazovaného bodu a jeho obrazu, které budeme pro odlišení od Newtonovy volby značit a a a 3 Jejich vztah s dříve zavedenými souřadnicemi x a x je zřejmý z obrázku a = x + f, a = x + f Vyjádřením x a x z těchto vztahů a dosazením do první Newtonovy zobrazovací rovnice, xx = f f, získáme po nenáročných úpravách odpovídající zobrazovací rovnici čočkovou f a f + = a 36 Úhlové zvětšení, uzlové body Označme symbolem α úhel, který svírá vstupující paprsek procházející bodem P ležícím na optické ose s kladným směrem této osy (souřadnicové osy x) 33 Obdobně označme symbolem α úhel, který svírá s kladným směrem optické osy (souřadnicové osy x ) paprsek sdružený Pak poměr tangent obou úhlů, tg α /tg α, nazveme úhlovým zvětšením příslušným zvolenému vstupujícímu paprsku Podobně jako v případě zvětšení příčného není úhlové zvětšení obecnou charakteristikou zobrazovací soustavy Různým paprskům mohou odpovídat různá úhlová zvětšení Na druhé straně je však možno ukázat, že pro všechny paprsky procházející zadaným bodem optické osy je úhlové zvětšení stejné Označíme-li symboly x a x x-ové souřadnice průsečíků vstupujícího a s ním sdruženého vystupujícího paprsku, můžeme pro úhlové zvětšení psát A tg α α = x = f tg f x Úhlové zvětšení závisí tedy pouze na tom, ve kterém místě paprsek protíná optickou osu zobrazovací soustavy (souřadnicové osy x = x ), nikoliv však na úhlu, který tento paprsek s optickou osou svírá Částečná nezávislost úhlového zvětšení na paprsku umožňuje definovat na optické ose zadané zobrazovací soustavy další dva význačné body ten, pro nějž je úhlové zvětšení rovno jedné, budeme jej označovat jako U a používat pro něj název předmětový uzlový bod, a jeho obraz 3 x-ové souřadnice předmětu a obrazu v souřadnicových soustavách s počátky v hlavních bodech dané zobrazovací soustavy se obvykle nazývají předmětová vzdálenost a obrazová vzdálenost Nejedná se však o vzdálenosti v obvyklém slova smyslu, neboť mohou být kladné i záporné 33 Úhly měříme od optické osy k paprsku

10 9 Geometrická optika U (obrazový uzlový bod) Pro jejich polohu můžeme z rovnice pro úhlové zvětšení okamžitě psát x = f, x = f U nebo též, vezmeme-li v úvahu definiční vztahy pro předmětovou a obrazovou vzdálenost a a a, U U a = a = f + f 4 Klasifikace zobrazovacích soustav U Ve spojitosti s centrovanými zobrazovacími soustavami se často setkáváme s těmito pojmy: dioptrická (čočková ), katoptrická (zrcadlová ), spojná (kolektivní ), rozptylná (dispansivní ) či teleskopická zobrazovací soustava Uveďme si na tomto místě jejich definice a pro názornost i konkrétní příklady Pod dioptrickou zobrazovací soustavou rozumíme takovou soustavu, která nemění orientaci chodu světelných paprsků Vstupují-li tedy světelné paprsky do takové soustavy např zleva, je orientace chodu s nimi sdružených vystupujících paprsků rovněž zleva doprava Zobrazovací soustava, která mění orientaci chodu světelných paprsků (např zleva doprava na vstupu na zprava doleva na výstupu), se nazývá katoptrická Příkladem dioptrické soustavy může být kulová lámavá plocha, čočka, soustava čoček, ale i soustava sudého počtu zrcadel či kombinace čoček a sudého počtu zrcadel Katoptrická soustava musí naopak obsahovat vždy lichý počet zrcadel O lámavých plochách, čočkách a zrcadlech více v následující kapitole Spojná zobrazovací soustava mění vždy vstupující svazek paprsků rovnoběžných s optickou osou na svazek sbíhavý, rozptylná na svazek rozbíhavý V obou případech se vystupující sbíhavé či rozbíhavé paprsky protínají v obrazovém ohnisku zobrazovací soustavy, rozbíhavé ovšem po doplnění na přímky Příkladem spojné zobrazovací soustavy je spojná čočka či duté kulové zrcadlo Rozptylnými soustavami jsou například rozptylná čočka a vypuklé kulové zrcadlo Více o nich v následující kapitole Teleskopická soustava má předmětové i obrazové ohnisko v nekonečnu Přesněji jsou její ohniskové vzdálenosti v absolutní hodnotě nekonečné Pomocí zobrazovací rovnice snadno zjistíme, že teleskopická soustava zobrazuje nekonečně vzdálené body ( x při postupu paprsků zleva doprava) opět na body nekonečně vzdálené ( x ± ) Nejjednodušším příkladem teleskopické zobrazovací soustavy je rovinné zrcadlo, nejužitečnějším dalekohled O obou více v následující kapitole 5 Skládání zobrazovacích soustav 3 3 Kolineace můžeme jakožto zobrazení skládat Snadno nahlédneme, že jsou-li dvě zobrazení kolineacemi (tj zobrazují-li přímku na přímku a pochopitelně bod na bod), je jejich složení rovněž kolineací Podobně můžeme skládat i ideální zobrazovací soustavy, jejímiž matematickými reprezentacemi kolineace jsou, přičemž je jasné, že složením dvou ideálních zobrazovacích soustav získáme opět ideální zobrazovací soustavu Při skládání zobrazovacích soustav (kolineací) se nemusíme, podobně jako v případě obecných matematických zobrazení, nezbytně omezovat jen na jejich dvojice Bez obtíží můžeme naše závěry rozšířit i na libovolný konečný počet zobrazovacích soustav Speciálním případem skládání ideálních zobrazovacích soustav je skládání soustav centrovaných, jejichž optické osy navíc splývají Právě tímto speciálním případem se budeme zabývat v tomto odstavci poněkud podrobněji Výsledky zde odvozené totiž využijeme s velkým užitkem v kapitole následující

11 Trivium z optiky 93 Výchozím bodem všech našich úvah je obrázek Na něm je zakreslena dvojice centrovaných zobrazovacích soustav, jejichž složením získáme soustavu výslednou Ve shodě s dříve uvedeným předpokládáme, že optické osy obou dílčích soustav jsou totožné S nimi bude tedy totožná i optická osa soustavy výsledné Značení v obrázku je standardní, pouze pomocí indexů a odlišujeme symboly příslušné k dílčím zobrazovacím soustavám Pro složenou soustavu používáme pak označení bez indexů Kromě nám již známých symbolů můžeme ale v obrázku vidět i symboly nové: e, e a První dva označují souřadnice předmětového a obrazového ohniska složené soustavy v předmětové souřadnicové soustavě první či v obrazové souřadnicové soustavě druhé dílčí zobrazovací soustavy Tedy polohy výsledných ohnisek a ohniskových rovin Třetí z nově zavedených symbolů charakterizuje vzájemnou polohu obou skládaných soustav Tento parametr udává tedy konkrétní geometrické uspořádání skládaných soustav a obvykle se nazývá optický interval Chceme-li složenou zobrazovací soustavu zadat jednoznačně a umět pro ni napsat zobrazovací rovnice, musíme najít např její ohniska (tedy parametry e a e ) a její ohniskové vzdálenosti f a f Vše jako funkce ohniskových vzdáleností dílčích soustav a jejich optického intervalu veličin, které zadávají jednoznačně dílčí zobrazovací soustavy a jejich vzájemný vztah Získání kýžených formulí je jen otázkou nenáročného algebraického cvičení B e f f =, f f ff f f e =, f = a f = Těmito vzorci je již složená soustava určena jednoznačně Pomocí nich můžeme snadno najít i její hlavní a uzlové body a nakonec napsat ve standardním tvaru i zobrazovací rovnice Matematické doplňky A K důkazu si na vstupujícím paprsku zvolíme pomocný bod P ležící mimo optickou osu Jeho souřadnice v Newtonově notaci označme x a y Podobně označme x a y souřadnice jeho obrazu a x a x x-ové souřadnice bodu P a jeho obrazu P (y-ové souřadnice jsou nulové, P i P leží na optické ose soustavy) Z obrázku je zřejmé, že platí y y y tg α= = = x x x + x x x, α = y y y tg = = x x x + x x x Pozor na znaménka souřadnic jednotlivých bodů a jejich obrazů i na znaménka tangent obou úhlů! Podstatné je rovněž to, že situace zakreslená na obrázku věrně odráží zobrazení všech bodů konkrétní zobrazovací soustavou zadanou konkrétním uspořádáním hlavních a ohniskových rovin Trpělivý čtenář si jistě sám ověří, že ke stejným závěrům, byť pomocí odlišných postupných vztahů, bychom dospěli i pro jiná uspořádání definující jiné zobrazovací soustavy Nyní ale zpět k výpočtu úhlového zvětšení

12 94 Geometrická optika tg α y = x x f x x x x x x x x = = = =, tg α y x x x f f / x f f / x f x/ x f x x f kde jsme využili výsledků plynoucích ze zobrazovacích rovnic: y = yf / x, x = f f / x a x = f f / x Můžeme tedy uzavřít konstatováním, že úhlové zvětšení závisí pro daný paprsek jen a pouze na vlastnostech zobrazovací soustavy (zde ohnisková vzdálenost f ) a na poloze průsečíku tohoto paprsku s optickou osou soustavy Vezmeme-li navíc v úvahu zobrazovací rovnici x x = f f, můžeme též psát tg α / tg α = x/ f = f / x B Začněme nalezením obrazového ohniska složené soustavy Podle definice je to takový bod, v němž se po průchodu soustavou protnou vystupující paprsky, pokud byly na vstupu do soustavy rovnoběžné s její optickou osou Jinými slovy je obrazové ohnisko obrazem levého nekonečna Tento nevlastní bod optické osy se nejdříve zobrazí prostřednictvím první zobrazovací soustavy do jejího obrazového ohniska F Píšeme-li tedy x, platí x'= 0 Obraz levého nekonečna se dále stává vzorem pro zobrazení druhou zobrazovací soustavou, přičemž s ohledem na znaménka jednotlivých veličin (viz obrázek) platí x = Ze zobrazovací rovnice pro druhou zobrazovací soustavu pak máme okamžitě x ' = f f '/x = f f '/ Ovšem x' není ničím jiným než hledaným parametrem e Obdobným postupem nalezneme i předmětové ohnisko složené soustavy, tj parametr e, uvědomíme-li si, že se podle definice jedná o takový bod, pro který se paprsky z něj vycházející přemění na výstupu na svazek paprsků rovnoběžných s optickou osu Tento bod se proto musí nutně zobrazit pomocí první zobrazovací soustavy do předmětového ohniska soustavy druhé Platí tedy x = e a x' = a po dosazení do zobrazovací rovnice pro první zobrazovací soustavu i e x = ff '/x '= ff '/ K získání ohniskových vzdáleností složené soustavy musíme zjistit, jak se pomocí ní zobrazí body ležící mimo optickou osu Má-li takový bod v předmětové souřadnicové soustavě první zobrazovací soustavy souřadnice x a y, bude mít jeho obraz získaný pomocí této zobrazovací soustavy v odpovídající obrazové souřadnicové soustavě souřadnice x' = ff'/x a y' = f y/x Tento obraz je dále předmětem pro zobrazení druhou zobrazovací soustavou s x = x' a y = y' Jeho obraz má proto souřadnice x' f f ' f f ' f f ' f f 'x = = = = x x' ff '/x ff ' x y y' f y / x f f y, y' = f = f = f = x x' ff '/x ff ' x Uvědomíme-li si dále, že pro veličiny vztahující se k výsledné (složené) zobrazovací soustavě platí x = x e, x' = x ' e', y = y a y' = y ', získáme přímým dosazením do rovnice pro y' ff y ff y ff y y' y ' = = = f f' ( x+ e) f f' ( x+ f f'/ ) x a porovnáním s obecnou rovnicí y' = f y/x i konečný vztah pro předmětovou ohniskovou vzdálenost složené soustavy f = ff/ K odvození vzorce pro obrazovou ohniskovou vzdálenost f musíme nejdříve rovnici pro y' invertovat dosadit do ní za x z rovnice pro x f f ' x y = y ', ff ff'x' ff' ( x'+e' ) ff' ( x' f f'/ ) ff' ( x' f f'/ ) x = = = = f f ' + x ' f f ' + ( x'+e' ) f f ' + ( x' f f '/ ) x' a upravit Po úpravách se výsledek značně zjednoduší f'f' y' f'f' y' y y = = x' x' Nakonec již prostým porovnáním s obecnou rovnicí y = f 'y'/x' odečteme bez obtíží i výsledný vzorec pro obrazovou ohniskovou vzdálenost složené soustavy f' = f'f'/

Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky

Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky Úloha 6 02PRA2 Fyzikální praktikum II Ohniskové vzdálenosti čoček a zvětšení optických přístrojů Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky a principy optických přístrojů.

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima KULOVÁ ZRCADLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima Zakřivená zrcadla Zrcadla, která nejsou rovinná Platí pro ně zákon odrazu, deformují obraz My se budeme zabývat speciálním typem zakřivených

Více

OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE

OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE OPTIKA OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE - jeden z nejstarších oborů yziky - studium světla, zákonitostí jeho šíření a analýza dějů při vzájemném působení světla a látky SVĚTLO elektromagnetické vlnění λ = 380 790

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Měření ohniskových vzdáleností čoček, optické soustavy

Měření ohniskových vzdáleností čoček, optické soustavy Úloha č. 9 Měření ohniskových vzdáleností čoček, optické soustavy Úkoly měření: 1. Stanovte ohniskovou vzdálenost zadaných tenkých čoček na základě měření předmětové a obrazové vzdálenosti: - zvětšeného

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

Nejdůležitější pojmy a vzorce učiva fyziky II. ročníku

Nejdůležitější pojmy a vzorce učiva fyziky II. ročníku Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Nejdůležitější pojmy a vzorce učiva fyziky II. ročníku V tomto článku uvádíme shrnutí poznatků učiva II. ročníku

Více

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC A JIŘÍ VONDRÁK APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA MODUL 01 OPTICKÁ ZOBRAZENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

17. března 2000. Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický

17. března 2000. Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický Úloha č. 6 Ohniskové vzdálenosti a vady čoček, zvětšení optických přístrojů Václav Štěpán, sk. 5 17. března 2000 Pomůcky: Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Světlo v multimódových optických vláknech

Světlo v multimódových optických vláknech Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý

Více

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Maticová optika. Lenka Přibylová. 24. října 2010

Maticová optika. Lenka Přibylová. 24. října 2010 Maticová optika Lenka Přibylová 24. října 2010 Maticová optika Při průchodu světla optickými přístroji dochází k transformaci světelného paprsku, vlnový vektor mění úhel, který svírá s optickou osou, paprsek

Více

OPTIKA Optické přístroje TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.

OPTIKA Optické přístroje TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. OPTIKA Optické přístroje TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. ) Oko Oko je optická soustava, kterou tvoří: rohovka, komorová voda, čočka a sklivec.

Více

8.1. ELEKTROMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ A JEHO SPEKTRUM. Viditelné světlo Rozklad bílého světla:

8.1. ELEKTROMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ A JEHO SPEKTRUM. Viditelné světlo Rozklad bílého světla: 8. Optika 8.1. ELEKTROMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ A JEHO SPEKTRUM Jak vzniká elektromagnetické záření? 1.. 2.. Spektrum elektromagnetického záření: Infračervené záření: Viditelné světlo Rozklad bílého světla:..

Více

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami 5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si

Více

Optika pro mikroskopii materiálů I

Optika pro mikroskopii materiálů I Optika pro mikroskopii materiálů I Jan.Machacek@vscht.cz Ústav skla a keramiky VŠCHT Praha +42-0- 22044-4151 Osnova přednášky Základní pojmy optiky Odraz a lom světla Interference, ohyb a rozlišení optických

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý. @001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme

Více

Hloubka ostrosti trochu jinak

Hloubka ostrosti trochu jinak Hloubka ostrosti trochu jinak Jan Dostál rev. 1.1 U ideálního objektivu platí: 1. paprsek procházející středem objektivu se neláme, 2. paprsek rovnoběžný s optickou osou se láme do ohniska, 3. všechny

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Někdy je výhodné nerozlišovat mezi odrazem a lomem tím způsobem, že budeme pokládat odraz za lom s relativním indexem lomu n = 1.

Někdy je výhodné nerozlišovat mezi odrazem a lomem tím způsobem, že budeme pokládat odraz za lom s relativním indexem lomu n = 1. nauka o optickém zobrazování pracuje s pojmem světelného paprsku úzký svazek světla, který by vycházel z malého osvětleného otvoru v limitním případě, kdy by se jeho příčný rozměr blížil k nule a stejně

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 0520 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek: Pa 9:30 Spolupracovníci: Jana Navrátilová Hodnocení: Geometrická optika - Ohniskové vzdálenosti

Více

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny Elektromagnetické vlny Optika, část fyziky zabývající se světlem, patří spolu s mechanikou k nejstarším fyzikálním oborům. Podle jedné ze starověkých teorií je světlo vyzařováno z oka a oko si jím ohmatává

Více

2. Mechanika - kinematika

2. Mechanika - kinematika . Mechanika - kinematika. Co je pohyb a klid Klid nebo pohyb těles zjišťujeme pouze vzhledem k jiným tělesům, proto mluvíme o relativním klidu nebo relativním pohybu. Jak poznáme, že je těleso v pohybu

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

Výfučtení: Jednoduché optické soustavy

Výfučtení: Jednoduché optické soustavy Výfučtení: Jednoduché optické soustavy Na následujících stránkách vám představíme pravidla, kterými se řídí světlo při průchodu různými optickými prvky. Část fyziky, která se těmito jevy zabývá, se nazývá

Více

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech 3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech V předchozích dvou kapitolách jsme zjistili, jak se zobrazují tělesa ve středovém promítání a hlavně v lineární perspektivě, a jak pomocí těchto promítání vytvořit

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů Optické soustav a optická zobrazení Přímé vidění - paprsek od zobrazovaného předmětu dopadne přímo do oka Optická soustava - soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění chod paprsků Optické

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 19.3.2011 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 2 Hodina: Po 7:30 Spolupracovníci: Viktor Polák Hodnocení: Ohniskové vzdálenosti a vady čoček a zvětšení

Více

Geometrická optika 1

Geometrická optika 1 Geometrická optika 1 Popis pomocí světelných paprsků těmi se šíří energie a informace, zanedbává vlnové vlastnosti světla světelný paprsek = přímka, podél níž se šíří světlo, jeho energie index lomu (základní

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

Konstrukce teleskopů. Miroslav Palatka

Konstrukce teleskopů. Miroslav Palatka Přednášky - Přístroje pro astronomii 1 Konstrukce teleskopů Miroslav Palatka Palatka SLO/PA1 2011 1 Reflektory Zrcadlové teleskopy Palatka SLO/PA1 2011 2 Ideální optická soustava BOD-BOD, PŘÍMKA-PŘÍMKA,

Více

9. Geometrická optika

9. Geometrická optika 9. Geometrická optika 1 Popis pomocí světelných paprsků těmi se šíří energie a informace, zanedbává vlnové vlastnosti světla světelný paprsek = křivka (často přímka), podél níž se šíří světlo, jeho energie

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Technická mechanika - Statika

Technická mechanika - Statika Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

OPTICKÝ KUFŘÍK OA1 410.9973 Návody k pokusům

OPTICKÝ KUFŘÍK OA1 410.9973 Návody k pokusům OPTICKÝ KUFŘÍK OA 40.9973 Návody k pokusům Učitelská verze NÁVODY K POKUSŮM OPTIKA 2 NÁVODY K POKUSŮM OPTIKA SEZNAM POKUSŮ ŠÍŘENÍ SVĚTLA Přímočaré šíření světla (..) Stín a polostín (.2.) ODRAZ SVĚTLA

Více

Dostáváte do rukou zadání druhé série svého oblíbeného Fyzikálního korespondenčního

Dostáváte do rukou zadání druhé série svého oblíbeného Fyzikálního korespondenčního Milí řešitelé! Dostáváte do rukou zadání druhé série svého oblíbeného Fyzikálního korespondenčního semináře. Doufáme, že se vám naše úlohy budou líbit a pošlete nám svá řešení, na která již nyní netrpělivě

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

8 b) POLARIMETRIE. nepolarizovaná vlna

8 b) POLARIMETRIE. nepolarizovaná vlna 1. TEORETICKÝ ÚVO Rotační polarizace Světlo má zároveň povahu vlnového i korpuskulárního záření. V optických jevech se světlo chová jako příčné vlnění, přičemž světelné kmity probíhají všemi směry a směr

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

5.2.7 Zobrazení spojkou I

5.2.7 Zobrazení spojkou I 5.2.7 Zobrazení spojkou I Předpoklady: 5203, 5206 Pedagogická poznámka: Obsah hodiny neodpovídá vyučovací hodině. Kvůli dalším hodinám je třeba dojít alespoň k příkladu 8. případě, že žákům dáte stavebnice

Více

Abstrakt. Obr. 1: Experimentální sestava pro měření rychlosti světla Foucaultovou metodou.

Abstrakt. Obr. 1: Experimentální sestava pro měření rychlosti světla Foucaultovou metodou. Měření rychlosti světla Abstrakt Rychlost světla je jednou z nejdůležitějších a zároveň nejzajímavějších přírodních konstant. Nezáleží na tom, jestli světlo přichází ze vzdálené hvězdy nebo z laseru v

Více

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zrcadla Zobrazení zrcadlem Zrcadla jistě všichni znáte z každodenního života ráno se do něj v koupelně díváte,

Více

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ELEKTROTECHNIKA PRVNÍ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 30. 9. 203 Ele elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

6. Geometrická optika

6. Geometrická optika 6. Geometrická optika 6.1 Měření rychlosti světla Jak už bylo zmíněno v kapitole o elektromagnetickém vlnění, předpokládali přírodovědci z počátku, že rychlost světla je nekonečná. Tento předpoklad zpochybnil

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná

Více

L a b o r a t o r n í c v i č e n í z f y z i k y

L a b o r a t o r n í c v i č e n í z f y z i k y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZI KY L a b o r a t o r n í c v i č e n í z f y z i k y Jméno TUREČEK Daniel Datum měření 1.11.006 Stud. rok 006/007 Ročník. Datum odevzdání 15.11.006 Stud.

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Ing. Jakub Ulmann Zobrazování optickými soustavami 1. Optické

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů

Více

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY Záš pojmy A. Popiš aspoň jede fyzikálí experimet měřeí rychlosti světla. - viz apříklad Michelsoův, Fizeaův, Roemerův pokus. Defiuj a popiš fyzikálí veličiu idex lomu. - je to bezrozměrá fyzikálí veličia

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Využití zrcadel a čoček

Využití zrcadel a čoček Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Využití zrcadel a čoček V tomto článku uvádíme několik základních přístrojů, které vužívají spojných či rozptylných

Více

Paprsková a vlnová optika

Paprsková a vlnová optika Modularizace a modernizace studijního programu počáteční přípravy učitele fyziky Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Paprsková a vlnová optika Ivo Vyšín, Jan Říha Olomouc 2012 Modularizace

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

MĚŘENÍ PARAMETRŮ DUTÉHO ZRCADLA; URČENÍ INDEXU LOMU KAPALIN POMOCÍ DUTÉHO ZRCADLA

MĚŘENÍ PARAMETRŮ DUTÉHO ZRCADLA; URČENÍ INDEXU LOMU KAPALIN POMOCÍ DUTÉHO ZRCADLA MĚŘENÍ PARAMETRŮ DUTÉHO ZRCADLA; URČENÍ INDEXU LOMU KAPALIN POMOCÍ DUTÉHO ZRCADLA V geometrické optice, a také ve většině experimentálních metod, se k určení ohniskové vzdálenosti dutého zrcadla využívá

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Shodná zobrazení v rovině

Shodná zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech

Více

3 Elektromagnetické vlny ve vakuu

3 Elektromagnetické vlny ve vakuu 3 Elektromagnetické vlny ve vakuu Od mechanických vln s pružinkami a závažími se nyní přesuneme k vlnám elektromagnetickým. Setkáváme se s nimi na každém kroku radiové vlny, mikrovlny, světlo nebo třeba

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více