Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava KUŽELOSEČKY, KOLINEACE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava KUŽELOSEČKY, KOLINEACE"

Transkript

1 Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava KUŽELOEČKY KOLINECE Deskriptivní geometrie Krista Dudková Radka Hamříková O T R V 0 0 5

2 OH 1. Kuželosečky Řezy na kuželové ploše Elipsa 7 odová konstrukce elipsy 8 Popis elipsy 9 Proužková konstrukce elipsy 9 Oskulační kružnice 11 Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s elipsou 13 Tečna elipsy 14 Ohniskové vlastnosti elipsy 15 družené průměry elipsy 19 Rytzova konstrukce 19 Úkoly k řešení 1 Nápověda 1.3. Hyperbola 3 odová konstrukce hyperboly 3 Popis hyperboly 4 Oskulační kružnice 6 Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s hyperbolou 7 Tečna hyperboly 8 Ohniskové vlastnosti hyperboly 9 Úkoly k řešení 33 Nápověda Parabola 35 odová konstrukce paraboly 35 Oskulační kružnice 36 Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s parabolou 37 Tečna paraboly 38 Ohniskové vlastnosti paraboly 39 Normála paraboly 41 Úkoly k řešení 43 Nápověda Výsledky 45 Úkoly k řešení elipsa (zadání na straně 1) 45 Úkoly k řešení hyperbola (zadání na straně 33) 51 Úkoly k řešení parabola (zadání na straně 43) 55

3 . Kolineace Nevlastní prvky 58 Nevlastní bod přímky 58 Nevlastní přímka roviny 60.. tředová kolineace v prostoru 61 Typy kolineací 63 Osová afinita v prostoru tředová kolineace v rovině 65 Úkoly k řešení 67 Nápověda Osová afinita v rovině 69 Úkoly k řešení 73 Nápověda Výsledky 74 Úkoly k řešení středová kolineace v rovině (zadání na straně 67) 74 Úkoly k řešení osová afinita v rovině (zadání na straně 73) 78 Literatura 79 Poděkování Děkujeme doc. RNDr. Pavlu urdovi Cc. a Mgr. Jiřímu Doležalovi za pečlivou recenzi svědomitou korekturu a cenné připomínky. Ostrava prosinec 004 Krista Dudková Radka Hamříková

4 1. KUŽELOEČKY 1.1. Řezy na kuželové ploše 1. KUŽELOEČKY 1.1. Řezy na kuželové ploše Je dána rotační kuželová plocha která vznikne rotací dvou různoběžných přímek se společným bodem V kolem osy o jednoho z úhlů obou různoběžek. Rovina ρ je rovina kolmá k ose o neprocházející bodem V rovina σ je rovina řezu a rovina ω je rovina rovnoběžná s rovinou řezu σ která prochází bodem V (tzv. vrcholová rovina). Označme α odchylku povrchových přímek kuželové plochy od roviny ρ. Kružnice k V ω σ Je-li rovina řezu σ rovnoběžná s rovinou ρ je řezem kružnice k. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společný pouze bod V (obr. 1). α ρ Obr. 1 Elipsa ω V e σ Je-li rovina řezu σ různoběžná s rovinou ρ a svírá s rovinou ρ úhel menší než úhel α je řezem elipsa e. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společný pouze bod V (obr. ). α ρ Obr. 5

5 1. KUŽELOEČKY 1.1. Řezy na kuželové ploše Parabola V ω p σ Je-li rovina řezu σ rovnoběžná s povrchovou přímkou kuželové plochy tedy svírá s rovinou ρ úhel α je řezem parabola p. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společnou přímku ω je tečná rovina kuželové plochy (obr. 3). α ρ Obr. 3 Hyperbola ω V σ Je-li rovina řezu σ různoběžná s rovinou ρ a svírá s rovinou ρ úhel větší než úhel α je řezem hyperbola h. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společné dvě různoběžky které se protínají v bodě V (obr. 4). h α ρ Obr. 4 Vyzkoušejte si Nalijte obarvenou tekutinu do sklenice kuželovitého tvaru třeba na šampaňské shora zakryjte sklenici tvrdou podložkou a naklánějte ji postupně se vám ukáží všechny výše zmíněné kuželosečky. V analytické geometrii se kuželosečky popisují rovnicemi. V deskriptivní (konstruktivní) geometrii je sestrojujeme z daných geometrických prvků. Jedná se o tytéž kuželosečky důkazy zde nebudeme uvádět. 6

6 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa 1.. Elipsa Elipsa je po kružnici pravděpodobně nejčastěji používaná křivka. etkáte se s ní v promítacích metodách kde se objeví jako průmět kružnice. Elipsa je také rovinným řezem rotační válcové plochy rotační kuželové plochy (odtud název kuželosečky z úvodní kapitoly) a dalších ploch. Vyzkoušejte si elipsou se setkáte také v parcích a na zahradách kde se záhon tvaru elipsy osadí okrasnými rostlinami. Jak takový zahradník udělá elipsu jednoduše a přitom přesně? Postačí mu 3 kolíky a provázek konce provázku přiváže ke dvěma kolíkům ty zapíchne do země třetím kolíkem napne provázek a kreslí elipsu na záhonku. Vy si můžete vzít dva špendlíky nit tužku a kousek polystyrenu. Na špendlíky přivážete konce niti zapíchnete do polystyrenu a tužkou napínáte nit a kreslíte elipsu (obr. 5). a E Obr. 5 7

7 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Elipsa je množina všech bodů v rovině které mají od dvou pevně zvolených různých bodů E konstantní součet vzdáleností a který je větší než vzdálenost bodů E. odová konstrukce elipsy Podle definice je elipsa určena dvěma body E a velikostí a. Zvolme si body E jejichž vzdálenost je 8 cm. estrojme úsečku KL délky a = 10 cm. Mezi body KL zvolíme dělicí bod I jehož vzdálenost od krajních bodů úsečky je minimálně 1 cm. Například IK = 3 cm IL = 7 cm. Nyní sestrojíme oblouky kružnic k 1 ( Er = IK ) k ( r = IL ). Pro průsečík M = k 1 k platí: ME + M = IK + IL = 10 cm = a je tedy bod M bodem elipsy. Volbou jednoho dělicího bodu I získáme čtyři body elipsy další bod je druhý průsečík kružnic k k 1. Zbývající dva body získáme výměnou poloměrů obou kružnic. Volbou dalších dělicích bodů sestrojíme libovolné množství bodů elipsy. Na spojnici o 1 bodů E sestrojíme střed úsečky E dále body tak že platí: a = =. od je bodem elipsy protože E + = E + E + E = E + E + = = a podobný vztah platí i pro bod. V bodě sestrojíme přímku o o 1. ody C D které leží na o a platí pro ně že EC = C = a ED = D = a jsou zřejmě body elipsy. K I k k 1 M o C L a b E e o 1 D Obr. 6 8

8 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Popis elipsy střed a = = délka hlavní poloosy hlavní vrcholy b = C = D délka vedlejší poloosy C D vedlejší vrcholy e = E = excentricita E ohniska přímky EM M průvodiče bodu M o 1 hlavní osa o vedlejší osa Pro abe platí Pythagorova věta: e + b = a. Elipsa je osově souměrná podle o 1 a o a středově souměrná podle. Proužková konstrukce elipsy Obr. 7 Je dána elipsa délkou hlavní poloosy a a délkou vedlejší poloosy b. estrojíme osy o 1 a o a vrcholy elipsy. Na proužek papíru si vyznačíme součet délek poloos a+b koncový bod hlavní poloosy umístíme na vedlejší osu elipsy koncový bod vedlejší poloosy umístíme na hlavní osu elipsy. polečný bod poloos určí jeden bod M elipsy. Posouváním proužku papíru po osách dostaneme jakýkoli bod elipsy. Tuto konstrukci nazýváme součtová proužková konstrukce elipsy. Na proužek papíru si vyznačíme rozdíl poloos a-b koncový bod hlavní poloosy umístíme na vedlejší osu elipsy koncový bod vedlejší poloosy umístíme na hlavní osu elipsy. polečný bod poloos určí jeden bod M elipsy. Posouváním proužku papíru po osách dostaneme jakýkoli bod elipsy. Tuto konstrukci nazýváme rozdílová proužková konstrukce elipsy (obr. 7). Vyzkoušejte si Pomocí jedné z proužkových konstrukcí se pokuste sestrojit elipsu. 9

9 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Řešení: Příklad: estrojte elipsu jsou-li dány hlavní vrcholy elipsy a jeden její bod M. Určete osy elipsy střed vedlejší vrcholy a ohniska. M b a V o U m o 1 K řešení použijeme rozdílovou proužkovou konstrukci (obr. 8) (součtová se nemusí vejít na formát papíru). 1. o1 ;o1 =. + ; = střed úsečky 3. o ;o o 4. m; m( M r = a = ) 5. U; U = m o 6. V; V = MU o1 7. b; b = MV Obr. 8 o M C m 8. C; C o C = b D; D o D = b b a 9. E; E o1 CE = a ; o1 C = a. E V o 1 U D Obr. 9 Elipsu budeme považovat za určenou budeme-li znát hlavní vrcholy a ohniska. Potřebujeme-li elipsu vyrýsovat použijeme některou známou konstrukci (bodovou proužkovou). 10

10 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Oskulační kružnice Název oskulační pochází z latiny oskulum znamená polibek. Elipsa má s oskulační kružnicí společný jen jeden bod - vrchol kterým kružnice prochází ale oblouk oskulační kružnice se nejvíc blíží tvaru elipsy v blízkém okolí vrcholu. Oskulační kružnice nahrazují elipsu v okolí vrcholů. Uvedeme si dva postupy jak najít středy oskulačních kružnic elipsy. 1. Hlavním vrcholem vedeme rovnoběžku s vedlejší osou o vedlejším vrcholem C vedeme rovnoběžku s hlavní osou o 1. Průsečík rovnoběžek označíme 1 dostaneme obdélník C1. odem 1 sestrojíme kolmici na úhlopříčku C. Kolmice protíná hlavní osu v bodě O a vedlejší osu v bodě O C. Toto jsou středy oskulačních kružnic o a o C které procházejí body C. využitím souměrnosti elipsy sestrojíme středy O a OD oskulačních kružnic o a o D (obr. 10). o O D 1 C o C o o E O O o 1 D o D O C Obr

11 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa. estrojíme kružnice k 1 (r = b) a k (Cr = a). Průsečíky 1 kružnic k k 1 spojíme a tato přímka protíná hlavní osu v bodě O a vedlejší osu v bodě O C (obr. 11). Dále je postup stejný jako v předchozím případě. o k O D k 1 1 C o C o o E O O o 1 D o D O C Obr. 11 Vyzkoušejte si Elipsu v technické praxi může nahradit ovál. Je složený ze čtyř oblouků kružnic. Kružnice procházející hlavními C o vrcholy jsou oskulační kružnice kružnice ve vedlejších o Y vrcholech sestrojíme podle návodu: na vedlejší ose O najdeme bod Y tak aby ležel mezi body C a vzdálenost E YC byla rovna poloměru oskulační kružnice o. Pomocná kružnice o( Y r = O ) (obr. 1) protíná D kružnici o ve dvou bodech průsečík jejich spojnice s X vedlejší osou elipsy je bod X. Oblouk kružnice k ( Xr = XC) je další část oválu k' sestrojíme souměrně. Obr. 1 o k o O k' o 1 1

12 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s elipsou M K Elipsa e rozdělí všechny body roviny do tří oblastí: a) M e ME + M = a body elipsy E L b) K KE + K > a vnější body elipsy c) L LE + L < a vnitřní body elipsy. Obr. 13 p t T U Přímka a elipsa e mohou mít tuto vzájemnou polohu: a) p e = nesečna b) q e = { UV} sečna UV je tětiva elipsy t e = T tečna; T je bod dotyku. c) { } V q Obr. 14 Nesečna obsahuje pouze vnější body elipsy. ečna obsahuje dva body U V elipsy vnitřní body elipsy i body vnější. Tečna má s elipsou společný bod T ostatní body jsou vnější. 13

13 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Tečna elipsy Tečna elipsy je přímka která má s elipsou společný právě jeden bod T (bod dotyku). Ostatní body této přímky jsou vnější body elipsy. Pro konstrukci tečny nelze definici použít. K tomu slouží následující věta. Věta Tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku.( Vnější úhel průvodičů bodu dotyku je ten který neobsahuje bod.) o Q P T C X t E o 1 D Obr. 15 Důkaz: Na elipse si zvolíme bod T sestrojíme jeho průvodiče TE T. Osu tohoto úhlu označíme t. Ukážeme že se jedná o tečnu elipsy v bodě T. Označíme P patu kolmice spuštěné z ohniska E na přímku t. od Q je průsečík této kolmice a průvodiče T. Trojúhelníky ΔETP a Δ QTP jsou podle věty usu shodné a ΔETQ je tedy rovnoramenný. Přímka t je osa souměrnosti tohoto trojúhelníka. Platí: ET = QT. Podle definice elipsy platí: a = ET + T. Dosazením předchozí rovnosti dostaneme: a = QT + T = Q. Na přímce t zvolíme bod X různý od bodu T. Přímka t je osa úsečky EQ pak platí XE + X = XQ + X. Podle trojúhelníkové nerovnosti v trojúhelníku Δ QX platí: XQ + X > Q = a. Je tedy bod X vnějším bodem elipsy. Protože jsme tento bod zvolili libovolně je každý bod přímky t kromě bodu T vnějším bodem elipsy. Přímka t je tečna elipsy. od Q je obrazem bodu E v osové souměrnosti s osou t proto se nazývá bod souměrně sdružený s ohniskem E podle tečny t. Věty které budou následovat plynou z předchozího tvrzení. 14

14 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Ohniskové vlastnosti elipsy o Q T C t P E o 1 g 1 v g D Obr. 16 Věta Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem E podle všech tečen elipsy je kružnice g 1 ( r = a). Podobně množina bodů souměrně sdružených s ohniskem podle všech tečen elipsy je kružnice g Er = a. ( ) Kružnice g 1 ( r = a) a g ( Er = a) se nazývají řídicí kružnice. Trojúhelníky Δ EP a Δ EQ jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je E a koeficient k = ) proto je P Q a platí že P = Q = a je tedy P = a (obr. 16). (V trojúhelníku Δ EQ je P střední příčka.) Věta Množina pat kolmic P spuštěných z ohnisek E na všechny tečny elipsy je kružnice v ( r = a). Kružnice v ( r = a) se nazývá vrcholová kružnice. 15

15 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Příklad: Vnějším bodem R elipsy veďte tečny k této elipse. Elipsa je určena hlavními vrcholy a ohnisky. Řešení pomocí vrcholové kružnice. Th o P' R t T C P T' E t' o 1 v D Obr. 17 Řešení: 1. v; v( r = a) vrcholová kružnice. Th Thaletova kružnice nad průměrem RE 3. P P'; v Th = { P P' } paty kolmic spuštěných z ohniska E na hledané tečny 4. t; t = RP t' ; t' = RP' hledané tečny 5. T; T PT t T' ; T' P'T' t' body dotyku. V řešení je použita vrcholová kružnice. Dále pak spojnice EP je kolmá k tečně a tedy trojúhelník EPR je pravoúhlý. Vrchol P leží na Thaletově kružnici nad přeponou ER tohoto trojúhelníka. 16

16 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Řešení pomocí řídicí kružnice. Q' o Q R t T C T' k E t' o 1 g 1 D Obr. 18 Řešení: 1. ;g r a řídicí kružnice ( ) g1 1 =. k( R r RE ) k; = 3. Q Q'; g1 k = { Q Q' } body souměrně sdružené s ohniskem E podle hledaných tečen 4. t osa úsečky EQ t' osa úsečky EQ' 5. T; Q t = { T} T' ; Q' t' = T' body dotyku. { } Tato konstrukce je prostorově náročná (bod Q nemusí vyjít na formát papíru) pak je výhodnější použít obě řídicí kružnice g 1 i g. 17

17 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Příklad: Rovnoběžně se směrem s veďte tečny k elipse. Elipsa je určena hlavními vrcholy a ohnisky. Řešení pomocí vrcholové kružnice. s o P r C t' T P' E t o 1 T' v D Obr. 19 Řešení: 1. v; v( r = a) vrcholová kružnice. r; E r r s 3. P P'; v r = { P P' } paty kolmic spuštěných z ohniska E na hledané tečny 4. t; t s P t t' ; t' s P' t' hledané tečny 5. T; T PT t T' ; T'E PT' t' body dotyku. Tuto úlohu můžeme řešit také pomocí řídicích kružnic g 1 i g ale tato konstrukce je prostorově náročná. 18

18 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa družené průměry elipsy M K Obr. 0 N L Tětiva elipsy která prochází jejím středem se nazývá průměr elipsy. Jestliže platí že tečny v krajních bodech průměru MN jsou rovnoběžné s průměrem KL a tečny v krajních bodech průměru KL jsou rovnoběžné s průměrem MN pak průměrům KL a MN říkáme sdružené průměry elipsy. V některých úlohách např. při konstrukcích řezů těles rovinou se setkáte s elipsou zadanou sdruženými průměry. K sestrojení os a vrcholů elipsy slouží Rytzova konstrukce. Rytzova konstrukce M L Elipsa je určena sdruženými průměry KL a MN které se protínají ve středu elipsy. Určete osy a vrcholy elipsy. K N Jsou-li průměry k sobě kolmé pak se jedná o osy elipsy a body K L M N jsou vrcholy elipsy. Řešení: Obr. 1a M R L 1. n; n KL kolmice na delší průměr. R; R n R = L 3. RM spojnice bodů K n N Obr. 1b 19

19 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa U V M R O k L M + R 4. O; O = střed úsečky MR k; k Or = O 5. ( ) { } 6. U V;k MR = UV K n N Obr. 1c V M R O o U C k L o 1 7. o1 ;o1 = V hlavní osa o ;o = U vedlejší osa 8. a; a = MU = RV hlavní poloosa b; b = MV = RU vedlejší poloosa 9. ; o1 = a K D n N ; o1 = a 10. C; C o C = b D; D o D = b. Obr. 1d Nevyjde-li bod U na formát papíru sestrojíme vedlejší osu jako kolmici na hlavní osu středem elipsy. Hlavní osa je v ostrém úhlu sdružených průměrů. Je vhodné sestrojit tečny v krajních bodech průměrů konstrukce elipsy bude přesnější. 0

20 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Úkoly k řešení 1. estrojte elipsu znáte-li její střed ohnisko E a jeden její bod M.. estrojte elipsu znáte-li její vedlejší vrchol C ohnisko E a velikost vedlejší poloosy b. 3. estrojte elipsu znáte-li její ohniska E a tečnu t. 4. estrojte elipsu znáte-li její ohnisko E hlavní osu o 1 a tečnu t s bodem dotyku T. 5. estrojte elipsu znáte-li její střed tečnu t velikost hlavní poloosy a excentricitu e a > e. 6. estrojte elipsu znáte-li její střed velikost hlavní poloosy a tečnu t s bodem dotyku T. 7. estrojte elipsu znáte-li její ohnisko E a tři její tečny tt't''. Pokuste se úlohy vyřešit samostatně použijte vlastnosti elipsy které jste si osvojili v předchozím textu. Předpokládejte že úloha je vyřešena tzn. nakreslete si hotovou elipsu vyznačte v ní zadané prvky a doplňte další které se dají sestrojit. Hledejte v konstrukci další prvky elipsy abyste mohli určit její ohniska vrcholy na tečnách body dotyku. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je. 1

21 1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Nápověda 1. třed a ohnisko leží na hlavní ose druhé ohnisko je souměrné podle středu se zadaným ohniskem a platí definice elipsy. oučet vzdáleností bodu M od ohnisek je roven velikosti hlavní osy tedy a. Najít hlavní a vedlejší vrcholy už nebude problém.. Vedlejší vrchol leží na vedlejší ose ohnisko na ose hlavní osy se protínají ve středu elipsy a protože osy jsou k sobě kolmé je trojúhelník Δ CE pravoúhlý. V tomto trojúhelníku známe přeponu CE. od leží na Thaletově kružnici nad CE. Vzdálenost vedlejšího vrcholu od středu elipsy je rovna b. 3. Známe-li ohnisko a tečnu automaticky sestrojíme kolmici na tečnu z ohniska a patu této kolmice. Vzdálenost paty kolmice od středu elipsy je rovna a. Na tečně vždy určíme bod dotyku. 4. Opět je dáno ohnisko a tečna. estrojte kolmici z ohniska na tečnu patu kolmice a také bod souměrně sdružený s ohniskem podle tečny. pojíte-li ho s bodem dotyku budete moci najít druhé ohnisko. 5. Zde nám pomůže vrcholová kružnice která protíná tečnu v patách kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu. Kolmice tedy sestrojíme a na nich budeme hledat ohniska. Vzdálenost ohnisek od středu je rovna e. Nezapomeňte na tečně najít bod dotyku. 6. Úloha bude mít podobný postup. Začneme vrcholovou kružnicí najdeme paty kolmic a kolmice sestrojíme. odem dotyku povedeme rovnoběžku se spojnicí středu elipsy s jednou patou kolmice dostaneme ohnisko. Druhé ohnisko bude souměrné podle středu. 7. Máme dány tři tečny. Můžeme sestrojit na každou z nich kolmici z ohniska. Tyto tři paty kolmic tvoří trojúhelník. Jimi prochází vrcholová kružnice. Její střed je střed elipsy najdeme ho jako střed kružnice opsané trojúhelníku. Na tečnách nezapomeneme sestrojit body dotyku.

22 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola 1.3. Hyperbola Hyperbola je množina všech bodů v rovině které mají od dvou pevně zvolených různých bodů E konstantní kladný rozdíl vzdáleností a který je menší než vzdálenost bodů E. odová konstrukce hyperboly Podle definice je hyperbola určena dvěma body E a velikostí a. Zvolme si body E jejichž vzdálenost je 64 cm.(viz obr..) estrojme úsečku KL délky a = 5 cm. Před bodem K zvolíme dělicí bod I jehož vzdálenost od krajních bodů úsečky je minimálně 07 cm. Například IK = 38 cm IL = 88 cm. Nyní sestrojíme oblouky kružnic k 1 ( Er = IK ) k ( r = IL ). Pro průsečík M = k 1 k platí: ME M = IL IK = 5 cm = a. od M je bodem hyperboly. Volbou jednoho dělicího bodu I získáme 4 body hyperboly další bod je druhý průsečík kružnic k k 1. Zbývající dva body získáme výměnou poloměrů obou kružnic. Volbou dalších dělicích bodů sestrojíme libovolné množství bodů hyperboly. Na spojnici o 1 bodů E sestrojíme střed úsečky E dále body tak že platí: a = =. od je bodem hyperboly protože E = E E = = a. Podobný vztah platí i pro bod. V bodě sestrojíme přímku o o 1. V hlavním vrcholu sestrojíme kolmici k ose o 1 a na ni naneseme vzdálenost E od středu hyperboly. Tento bod spojíme se středem a dostaneme přímku u. Podobně sestrojíme přímku v která je souměrná podle osy o 1 nebo osy o. 3

23 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola I K L o k M e b k 1 E a o 1 v u Obr. Popis hyperboly střed a = = délka hlavní poloosy hlavní vrcholy b délka vedlejší poloosy u v asymptoty e = E = excentricita E ohniska EM M průvodiče bodu M o 1 hlavní osa o vedlejší osa Pro abe platí Pythagorova věta: a + b = e. Hyperbola je osově souměrná podle o 1 a o a středově souměrná podle. 4

24 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Příklad: estrojte hyperbolu jsou-li dána ohniska E hyperboly a její bod M. Určete osy hyperboly střed asymptoty a hlavní vrcholy. o u v M Q E o 1 Obr. 3 Řešení: 1. o1 ;o1 = E. E + ; = střed úsečky E 3. EM M průvodiče bodu M 4. Q; Q EM QM = M 5. 1 a; a = EQ 6. ; o1 o1 = = a 7. u v asymptoty hyperboly (viz bodová konstrukce obr. ). Hyperbolu budeme považovat za určenou budeme-li znát hlavní vrcholy ohniska a asymptoty. 5

25 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Oskulační kružnice Oskulační kružnice nahrazují hyperbolu v okolí vrcholů. Hlavním vrcholem vedeme rovnoběžku s vedlejší osou o. Průsečíkem rovnoběžky s asymptotou sestrojíme kolmici k asymptotě. Kolmice protíná hlavní osu v bodě O. To je střed oskulační kružnice o která prochází bodem. využitím souměrnosti hyperboly sestrojíme střed O oskulační kružnice o (obr. 4). o u v O O o 1 E o o Obr. 4 6

26 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s hyperbolou o u L v M E o 1 K Obr. 5 Hyperbola h rozdělí všechny body roviny do tří oblastí: a) M h ME M = a body hyperboly b) K KE K > a vnitřní body hyperboly c) L LE L < a vnější body hyperboly. u q o m v r p U T M E o 1 R t V N Obr. 6 Přímka a hyperbola h mohou mít tuto vzájemnou polohu: a) q h = q u v nesečna obsahuje pouze vnější body hyperboly b) p h = { U V} sečna vnitřní body úsečky UV jsou vnější body hyperboly m h = { M N} sečna vnitřní body úsečky MN jsou vnitřní body hyperboly c) t h = { T} tečna; T je bod dotyku ostatní body jsou vnější d) u v h = asymptoty obsahují pouze vnější body mají vlastnosti tečny e) r h = R rovnoběžka s asymptotou obsahuje vnější i vnitřní body a bod R hyperboly. { } 7

27 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Tečna hyperboly Tečna hyperboly je přímka která má s hyperbolou společný právě jeden bod T (bod dotyku). Ostatní body této přímky jsou vnější body hyperboly. Věta Tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku. (Vnější úhel průvodičů bodu dotyku je ten který obsahuje bod.) o u v T Q P o 1 E X t Obr. 7 Důkaz: Na hyperbole zvolíme bod T a sestrojíme jeho průvodiče TE T. Osu tohoto úhlu označíme t. Ukážeme že se jedná o tečnu hyperboly v bodě T. Označíme P patu kolmice spuštěné z ohniska na přímku t. od Q je průsečík této kolmice a průvodiče TE. Trojúhelníky Δ TP a Δ QTP jsou podle věty usu shodné a Δ TQ je rovnoramenný. Přímka t je osa souměrnosti tohoto trojúhelníka. Platí: T = QT. Pro bod T platí podle definice hyperboly: a = ET T dosazením rovnosti T = QT dostaneme: a = ET TQ = EQ. Na přímce t zvolíme bod X různý od bodu T. Přímka t je osa úsečky Q. Pak platí X XE = XQ XE. Podle trojúhelníkové nerovnosti v trojúhelníku Δ EXQ platí: XQ XE < QE = a. od X je tedy vnějším bodem hyperboly. Protože jsme tento bod zvolili libovolně je každý bod přímky t mimo bod T vnějším bodem hyperboly. Přímka t je tečna hyperboly. od Q je obrazem bodu v osové souměrnosti s osou t proto se nazývá bod souměrně sdružený s ohniskem podle tečny t. Věty které budou následovat plynou z předchozího tvrzení. 8

28 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Ohniskové vlastnosti hyperboly g 1 g o u v w Q T P E o 1 t P' Q' Obr. 8 Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem podle všech tečen hyperboly je Věta kružnice g 1 ( Er = a). Podobně množina bodů souměrně sdružených s ohniskem E podle všech tečen hyperboly je kružnice g r = a. ( ) Kružnice g 1 ( Er = a) a g ( r = a) se nazývají řídicí kružnice. Trojúhelníky Δ P a Δ EQ jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je a koeficient k = ). Proto je P EQ a platí že P = EQ = a je tedy P = a. (V trojúhelníku Δ EQ je P střední příčka.) Věta Množina pat kolmic P spuštěných z ohnisek E na všechny tečny hyperboly je kružnice v r = a. ( ) Kružnice v ( r = a) se nazývá vrcholová kružnice. 9

29 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Příklad: Vnějším bodem R hyperboly veďte tečny k hyperbole která je určena ohnisky a vrcholy. Řešení pomocí řídicí kružnice. g 1 o u v T T' E Q o 1 Q' R t t' k Obr. 9 Řešení: 1. ;g E r a řídicí kružnice ( ) g1 1 =. k( R r R ) k; = 3. Q Q'; g1 k = { Q Q' } body souměrně sdružené s ohniskem podle hledaných tečen 4. t osa úsečky Q t' osa úsečky Q 5. T; QE t = { T} T' ; Q'E t' = T' body dotyku. { } Jiné řešení úlohy je pomocí vrcholové kružnice. Toto řešení neuvádíme můžete si je zkusit sami s využitím podobné úlohy u elipsy. 30

30 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Příklad: Rovnoběžně se směrem s veďte tečny k hyperbole která je určena ohnisky vrcholy a asymptotami. Řešení pomocí vrcholové kružnice. o s u k t' v w P' T P o 1 E T' t Obr. 30 Řešení: 1. v; v( r = a) vrcholová kružnice. k; k k s 3. P P'; v k = { P P' } paty kolmic spuštěných z ohniska na hledané tečny 4. t; t s P t t' ; t' s P' t' hledané tečny 5. T; T P'T t T' ; T'E P'T' t' body dotyku. Tuto úlohu můžeme řešit také pomocí řídicích kružnic g 1 i g. 31

31 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Příklad: estrojte hyperbolu znáte-li asymptoty u v a bod M. V řešení použijeme konstrukci a vlastnosti hyperboly které vyplývají z vlastností rovinného řezu rotační kuželové plochy. l u X v K o L a P M b Y E a b o 1 l' Obr. 31 Řešení: estrojíme velikost hlavní poloosy a: 1. ; = u v. o ; osy různoběžek u v hlavní osa leží ve stejném úhlu jako bod M o1 3. KL; KL o M KLK ul v platí vztah 4. l; Thaletova půlkružnice nad KL 5. X; LX KL X l R KM LM = a 6. a; a = MX ke konstrukci jsme použili Eukleidovu větu o odvěsně. estrojíme velikost vedlejší poloosy b: 1. ; = u v. o ; osy různoběžek u v hlavní osa leží ve stejném úhlu jako bod M o1 3. PR; PR o1m PRP vr u platí vztah 4. l'; Thaletova půlkružnice nad PR 5. Y; MY PR Y l' PM RM = b 6. b; b = MY ke konstrukci jsme použili Eukleidovu větu o výšce. 3

32 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Úkoly k řešení 1. estrojte hyperbolu znáte-li její ohniska E a jednu její tečnu t.. estrojte hyperbolu znáte-li její hlavní osu o 1 ohnisko E a tečnu t s bodem dotyku T. 3. estrojte kuželosečku znáte-li její ohnisko E její tečny tt' a velikost hlavní poloosy a. 4. estrojte hyperbolu znáte-li její ohnisko její tečnu t a asymptotu u. Pokuste se úlohy vyřešit samostatně použijte vlastnosti hyperboly které jste si osvojili v předchozím textu. Předpokládejte že úloha je vyřešena tzn. nakreslete si hotovou hyperbolu vyznačte v ní zadané prvky a doplňte další které se dají sestrojit. Hledejte v konstrukci další prvky hyperboly abyste mohli určit její ohniska vrcholy asymptoty a na tečnách body dotyku. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je. 33

33 1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Nápověda 1. Najdeme osy a střed hyperboly. Z ohnisek spustíme kolmice na tečnu najdeme paty kolmic a body souměrně sdružené. Získáme a a na tečně bod dotyku.. Z ohniska spustíme kolmici na tečnu najdeme patu kolmice a bod souměrně sdružený. pojnice tohoto bodu s bodem dotyku protíná osu v druhém ohnisku. 3. pustíme kolmice z ohniska na obě tečny a najdeme paty kolmic. Vzdálenost středu kuželosečky od pat kolmic je rovna velikosti hlavní poloosy. třed je průsečík kružnic které mají poloměr a a střed v patách kolmic. (Podle počtu průsečíků těchto kružnic máme dvě jedno nebo žádné řešení výsledkem může být i elipsa.) 4. Na asymptotu se díváme jako na tečnu. Vedeme tedy kolmice z ohniska k tečně a asymptotě. Dostaneme paty kolmic P P' střed hyperboly je průsečík osy úsečky PP' a asymptoty. 34

34 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola 1.4. Parabola Parabola je množina všech bodů v rovině které mají od zvolené přímky d a zvoleného bodu který na přímce d neleží stejnou vzdálenost. odová konstrukce paraboly Zvolíme bod a přímku d bodem vedeme kolmici o k přímce d. Průsečík přímek o a d označíme D. Na přímce o zvolíme bod X a sestrojíme bod M paraboly jehož vzdálenost od bodu i od přímky d je rovna velikosti úsečky DX. Množina bodů které mají od bodu vzdálenost DX je kružnice se středem a poloměrem DX. Množina bodů které mají od přímky d vzdálenost DX jsou dvě rovnoběžky s přímkou d. Použijeme rovnoběžku která leží v polorovině d. Průsečík kružnice s rovnoběžkou je bod M. Touto konstrukcí získáme dva body paraboly. třed V úsečky D splňuje definici a je tedy bodem paraboly. d Q M Popis paraboly D V X o d řídicí přímka ohnisko V vrchol o osa p = d = D parametr QM M průvodiče bodu M bod Q je pata kolmice spuštěné z bodu M na řídicí přímku d Obr. 3 Parabola je nestředová kuželosečka je osově souměrná pouze podle své osy o. 35

35 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Příklad: estrojte parabolu je-li dáno ohnisko paraboly její bod M a osa o. Určete řídicí přímku a vrchol paraboly. d Q V M V' k Q ' o Řešení: k; k M r = M 1. ( ). Q Q';QQ' kqq' o M QQ' 3. d; d o Q d d' ; d' o Q' d' řídicí přímka V V'; V = d V' = d' vrcholy parabol. d' Obr. 33 Parabolu budeme považovat za určenou budeme-li znát vrchol ohnisko a řídicí přímku. Oskulační kružnice Oskulační kružnice nahrazuje parabolu v okolí vrcholu. d Poloměr oskulační kružnice je roven o V parametru. třed O leží na ose paraboly ve vzdálenosti p od vrcholu V. V O o Obr

36 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s parabolou d Q M N Parabola rozdělí všechny body roviny do tří oblastí: a) M Md = M body paraboly b) N Nd > N vnitřní body paraboly V o c) L Ld < L vnější body paraboly. L Obr. 35 d V T u r t V U s o Přímka a parabola p mohou mít tuto vzájemnou polohu: a) u p = nesečna obsahuje pouze vnější body paraboly b) r p = { UV' } sečna vnitřní body úsečky UV' jsou vnitřní body paraboly c) t p = { T} tečna; T je bod dotyku ostatní body jsou vnější d) o p = { V} s p = { } osa a všechny rovnoběžky s osou obsahují vnější i vnitřní body a bod paraboly V. Obr

37 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Tečna paraboly Tečna paraboly je přímka která má s parabolou společný právě jeden bod T (bod dotyku). Ostatní body této přímky jsou vnější body paraboly. Věta Tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku. (Vnější úhel průvodičů bodu dotyku je ten který obsahuje vrchol V.) d Q v T t P V o X R Obr. 37 Důkaz: Na parabole zvolíme bod T a sestrojíme jeho průvodiče T TQ. Osu vnějšího úhlu průvodičů bodu T označíme t. Ukážeme že se jedná o tečnu paraboly v bodě T. Označíme P patu kolmice spuštěné z ohniska na přímku t. od Q je průsečík kolmice P a řídicí přímky d. Trojúhelníky Δ TP a Δ QTP jsou podle věty usu shodné. Trojúhelník Δ TQ je rovnoramenný a přímka t je osou souměrnosti tohoto trojúhelníka. Na přímce t zvolíme bod X různý od bodu T. Přímka t je osa úsečky Q pak platí X = XQ. V pravoúhlém trojúhelníku Δ XRQ bod R je průsečík kolmice vedené z bodu X k přímce d je přepona XQ větší než odvěsna XR. od X je tedy vnějším bodem paraboly. Protože jsme tento bod zvolili libovolně je každý bod přímky t mimo bod T vnějším bodem paraboly. Přímka t je tečna paraboly. od Q je obrazem bodu v osové souměrnosti s osou t proto se nazývá bod souměrně sdružený s ohniskem podle tečny t. Věty které budou následovat plynou z předchozího důkazu. 38

38 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Ohniskové vlastnosti paraboly d v t Q T P D V o Obr. 38 Věta Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem podle všech tečen paraboly je řídicí přímka d. Trojúhelníky Δ DQ a Δ VP jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je a koeficient k = 1 ) proto je VP DQ. VP je vrcholová tečna paraboly. Věta Množina pat kolmic P spuštěných z ohniska na všechny tečny paraboly je vrcholová tečna v. 39

39 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Příklad: Vnějším bodem R paraboly veďte tečny k této parabole která je určena ohniskem a řídicí přímkou. d k R Q Q' V T' T t o Řešení: 1. k; k( R r = R ). Q Q';d k = { Q Q' } body souměrně sdružené s ohniskem podle hledaných tečen 3. t osa úsečky Q t' osa úsečky Q 4. T; QT t = { T } QT d T' ; Q'T' t' = { T' }Q'T' d body dotyku. t' Obr. 39 Příklad: Rovnoběžně se směrem s veďte tečny k parabole která je určena ohniskem a řídicí přímkou. l d v s t Q P V T o Řešení: 1. l; l l s. Q; l d = Q bod souměrně sdružený s ohniskem podle hledané tečny 3. t; t s osa úsečky Q hledaná tečna 4. T; QT t = { T } QT d bod dotyku. Obr

40 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Normála paraboly Normála paraboly je kolmice na tečnu paraboly v bodě dotyku. Normálu značíme n. d v n t Q T P K D V L N o Označíme: K = t o N = n o L; TL o L o. Obr. 41 Úsečku KL nazýváme subtangenta bodu T. Úsečku LN nazýváme subnormála bodu T. Věta ubtangenta je půlena vrcholem. Velikost subnormály je rovna parametru. oučet subtangenty a subnormály je půlen ohniskem. Důkaz: Protože Δ KP je podle věty usu shodný s Δ TPQ je KTQ kosočtverec. Trojúhelníky Δ KDQ a Δ LT jsou proto shodné a tedy KD = L. Protože DV = V je bod V středem subtangenty KL. Trojúhelníky Δ QD a Δ TLN jsou shodné a tedy LN = D = p. Protože KD = L a LN = D je bod střed úsečky KN. 41

41 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Příklad: estrojte parabolu znáte-li dvě její tečny s body dotyku t + T t' + T'. ( t t' nejsou kolmé.) Řešení: T + T' 1. ; = t d. R; t t' = { R} Q l T 3. o' ; o' = R R Q' l' V f' T' f Obr. 4 t' o' o 4. l; l o' T l l' ; l' o' T' l' průvodiče bodů dotyku 5. f; l f v osové souměrnosti s osou t f' ; l' f' v osové souměrnosti s osou t' 6. ; f f' = {} 7. o; o o' o 8. Q Q' body souměrné s ohniskem podle tečen 9. d; d = Q Q'. Konstrukce směru osy v předchozí úloze nevyplývá z ohniskových vlastností paraboly. 4

42 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Úkoly k řešení 1. estrojte parabolu znáte-li její řídicí přímku d a dva body M M' paraboly.. estrojte parabolu znáte-li její ohnisko a dva body M M' paraboly. 3. estrojte parabolu znáte-li její ohnisko a její tečnu t s bodem dotyku T. 4. estrojte parabolu znáte-li její osu o a tečnu t s bodem dotyku T. Pokuste se úlohy vyřešit samostatně použijte vlastnosti paraboly které jste si osvojili v předchozím textu. Předpokládejte že úloha je vyřešena tzn. nakreslete si parabolu vyznačte v ní zadané prvky a doplňte další které se dají sestrojit. Hledejte v konstrukci další prvky paraboly abyste mohli určit její ohnisko vrcholřídicí přímku a na tečnách body dotyku. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je. 43

43 1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Nápověda 1. Ohnisko má od bodu M stejnou vzdálenost jakou má bod M od řídicí přímky d. Rovněž vzdálenost ohniska od bodu M' je rovna vzdálenosti tohoto bodu od řídicí přímky.. Podobně jako v předchozím příkladě je vzdálenost řídicí přímky od bodů M M' stejná jako vzdálenost těchto bodů od ohniska. Řídicí přímku sestrojíme jako společnou tečnu dvou kružnic. 3. a) Pomocí ohniskových vlastností paraboly. estrojíme bod Q souměrně sdružený s ohniskem podle tečny. Průvodič TQ je rovnoběžný s osou. b) Pomocí vlastností subtangenty a subnormály. estrojíme normálu v bodě T. Kružnice se středem v ohnisku a o poloměru T je Thaletova kružnice nad součtem subtangenty a subnormály. 4. a) Pomocí vlastností subtangenty a subnormály. estrojíme normálu v bodě T. Na ose získáme součet subtangenty a subnormály. b) Pomocí ohniskových vlastností paraboly. estrojíme průvodiče bodu T. Jeden je rovnoběžný s osou druhý je s ním souměrný podle tečny t. 44

44 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh 1.5. Výsledky Jestliže se vám nepodařilo vyřešit úlohy samostatně ani s nápovědou zde najdete podrobný návod. Pro ty kteří úlohy vyřešili je zde kontrola. amozřejmě že se některé úlohy dají řešit více postupy. To že se váš postup neshoduje s naším nemusí znamenat že ho máte špatně. Úkoly k řešení elipsa (zadání na straně 1) Úloha 1 Q k M C O o 1. ao1 ;o1 = E. ; o1 E = 3. k( M r ME ) k; = 4. M 5. Q; Q = M k 6. + Q O; O = střed úsečky Q 7. a; a = O E o 1 8. ; o1 = = a 9. o;o o1 o 10. C D;C D o EC = ED = a. D Kružnice k protíná přímku M ve dvou bodech pro druhý průsečík neplatí definice elipsy. Úloha má tedy jediné řešení. 45

45 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha Th E o' 1 ' O o C k o' o 1 1. EC. E + C O; O = střed úsečky EC Th; Th O r = OC 3. ( ) 4. k; k( C r = b) 5. ';Th k = { ' } 6. o1 ;o1 = E o' 1 ;o' 1 = E' 7. o;o o1 o o' ;o' o' 1 ' o' ' ' o 8. a; a = EC D' Th E ' O C k o' o 1 9. ; o1 = = a ' '; ' ' o' 1 '' = '' = a 10. C D;C D o EC = ED = a C' D';C' D' o' EC' = ED' = a. ' o' 1 D Počet řešení závisí na počtu společných bodů kružnic k a Th. Je-li EC > b pak má úloha dvě řešení. Je-li EC < b pak má úloha nemá řešení. Je-li EC = b pak se nejedná o elipsu. 46

46 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 3 E o C P r T t o 1 1. o1 ;o1 = E. E + ; = střed úsečky E 3. r; r t E r P; t r = P 4. { } 5. v( r P ) v; = 6. ;o1 v = { } 7. o;o o1 o 8. C D;C D o EC = ED = a v 9. T; T t T P. D Úloha 4 E t o P C D r T v Q o 1 1. r; r t E r P; t r = P. { } 3. Q; Q r PQ = EP 4. TQ 5. ; o 1 QT = { } 6. E + ; = střed úsečky E v; v r = P 7. ( ) 8. ;o1 v = { } 9. o;o o1 o 10. C D;C D o EC = ED = a. 47

47 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 5 r o o' 1 P o' ' E' T' C T C' t E o 1 D' k D ' ' v ( ) 1. v; v r = a. P; t v = {} P 3. r; r t P r 4. k; k( r = e) 5. E E';r k = { E E' } 6. o1 ;o1 = E o' 1 ;o' 1 = E' 7. o;o o1 o o' ;o' o' 1 o' 8. ;o1 v = ' ';o' 1 v = ' ' { } { } 9. C D;C D o EC = ED = a C' D';C' D' o' E'C' = E'D' = a {} { } 10. ; o 1 k = ' ;o' 1 k = ' 11. T; T t T P T' ; T' t 'T' P. Počet řešení závisí na počtu společných bodů kružnice k a přímky r. Je-li přímka r sečna kružnice k pak má úloha dvě řešení. Je-li přímka r tečna kružnice k pak má úloha jedno řešení. Je-li přímka r nesečna kružnice k pak úloha nemá řešení. 48

48 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 6 o P r C T P' r' E o 1 t v D ( ) 1. v; v r = a. P P'; t v = { P P' } 3. r; r t P r r' ; r' t P' r' 4. P 5. ; r' T P 6. o1 ;o1 = 7. E; r o = 1 { E} 8. o;o o1 o 9. ;o1 v = { } 10. C D;C D o EC = ED = a. 49

49 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 7 o r' r P' t C P T T' E t' o 1 t'' P'' T'' D v r'' 1. r r' r''; r t E r r' t' E r' r'' t'' E r' '. P P' P''; r t = {} P r' t' = { P' } r'' t'' = { P'' } 3. střed kružnice opsané trojúhelníku Δ PP' P' ' sestrojíme ho tedy jako průsečík os stran PP' PP'' 4. ;o E o1 1 = 5. ; o1 E = 6. v; v( r P = a) = { } 7. ;o1 v = 8. o ;o o 1 o 9. C D;C D o EC = ED = a 10. T T' T''; T t T P T' t' T' P' T'' t'' T'' P''. 50

50 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úkoly k řešení hyperbola (zadání na straně 33) Úloha 1 o u v w Q T P E o 1 t P' Q' 1. o1 ; o1 = E. E + ; = 3. o; o o1 o 4. P; P t P t 5. EP' ; EP' t P' t 6. w; w( r P = a) = { } 7. ;o1 w = 8. Q; Q P PQ = P 9. T; T = EQ t 10. u v asymptoty. 51

51 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha o u v w T E o 1 t P Q 1. EP; EP t P t. Q; Q EP PQ = EP 3. ; = TQ o 1 4. P; P t P t 5. E + ; = 6. o ; o o 1 o 7. w; w( r P = a) = { } 8. ;o1 w = 9. u v asymptoty. 5

52 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 3 u t' o h v w e P' w h l' o e C e T h o e 1 e E h e h T' e e e h h o h 1 T e D e l P t T' h 1. EP; EP t P t. EP' ; EP' t' P' t' 3. l; l( P r = a) 4. l' ; l' ( P' r = a) HYPEROL ELIP 5. h h ; = l l' 5. e e ; = l l' 6. h h h e e e o 1 ; o1 = E 6. o 1; o1 = E h h h h h e e e e e 7. o ; o o1 o 7. o ; o o1 o h h h e e e 8. w ; w ( r = a) 8. w ; w ( r = a) h h 9. { e e ;o1 w = } 9. ;o e e { 1 w = } h h h h h h h e e e e e e e 10. ; o1 = E 10. ; o1 = E 11. u v asymptoty. e e e e e e e 11. C D ; C D o C E = D E = a. 53

53 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 4 o u v w Q T P E o 1 P' s t 1. P; P t P t. P' ; P' u P' u 3. s; s PP' osa úsečky PP 4. ; = s u 5. o1 ; o1 = 6. o ; o o 1 o 7. w; w( r P = a) = { } 8. ;o1 w = 9. E; E o1 E = 10. v asymptota 11. Q; Q P PQ = P 1. T; T = EQ t. 54

54 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úkoly k řešení parabola (zadání na straně 43) Úloha 1 Q d V V' M ' k o' o k' 1. Q; Q d MQ d. Q' ;Q' d M'Q' d 3. k; k( M r = MQ ) 4. ;k'( M' r M'Q' ) k' = 5. ; k k' = { } 6. o; o d o 7. 1 V; V = d. Q' M' V závislosti na počtu průsečíků kružnic k k' dostaneme jedno dvě nebo žádné řešení úlohy. Úloha d m d' Q V M V' Th Q'' o' o 1. m; m( Mr = M ). ;m'( M'r M' ) m' = 3. dd' společné tečny kružnic mm' 4. o; o d o 5. o' ; o' d' o' V V'; V = d V' = d'. Q' T t M' m'' T' t' Q''' m' Úloha má dvě řešení. V případě že kružnice mají vnitřní dotyk se nejedná o parabolu. (Řídicí přímka by procházela ohniskem.) Ke konstrukci společných tečen dvou kružnic využijeme stejnolehlosti nebo posunutí (viz obr.). 55

55 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 3 a) d v t Q D P V T o 1. P; P tp t. Q; Q P QP = P 3. d; Q dd TQ 4. o; oo d 5. 1 V; V = d. b) K d D v V T L t Th N o 1. n; n tt n. Th( r T ) Th; = 3. K; t Th = { K} 4. N; n Th = { N} 5. o; o = KN 6. L; L otl o 7. L + K V; V = 8. D; D o VD = V 9. d; D dd o. n 56

56 1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 4 d v t Q T P K D V L N n o 1. n; n tt n. K; t o = { K} 3. N; n o = { N} 4. L; L otl o 5. L + K V; V = 6. N + K ; = 7. D; D o VD = V 8. d; D dd o. Uvedli jsme řešení pomocí subtangenty a subnormály. Druhé řešení je zřejmé z obrázku. 57

57 . KOLINECE.1. Nevlastní prvky. Kolineace.1. Nevlastní prvky Nevlastní bod přímky p q V U X=X' V' ' q' U' p' Obr. 43 Mějme dány různoběžky p p' a bod který neleží na žádné z nich. odům přímky p přiřadíme body přímky p' tak aby spojnice odpovídajících si bodů procházela bodem. tejně přiřadíme bodům přímky p' body přímky p. Promítáme-li z bodu bod přímky p na přímku p' zobrazí se jako ' ; ' = p'. (Viz obr. 43.) Chceme-li takto promítnout bod U přímky p na přímku p' zjistíme že spojnice U je s přímkou p rovnoběžná a neprotíná přímku p v žádném bodě neexistuje tedy průmět bodu U na přímku p'. Podobně chceme-li zobrazit bod V' přímky p' na přímku p je spojnice V' rovnoběžná s přímkou p a hledaný průmět neexistuje. Zavedeme tedy pojem nevlastní bod přímky a problém s neexistujícími obrazy bude vyřešen. V Nevlastním bodem přímky rozumíme množinu všech spolu rovnoběžných přímek tedy směr (obr. 44). Obr. 44 od U přímky p se zobrazí do nevlastního bodu přímek p' q'. Označíme ho U'. Podobně nevlastní bod V přímek p q se zobrazí do vlastního bodu V' přímky p'. 58

58 . KOLINECE.1. Nevlastní prvky Příklad: Mějme dány různoběžky p p' a bod který neleží na žádné z nich. Na přímce p jsou dány body C D (viz obr. 44). estrojte jejich obrazy obraz průsečíku přímek p p' a obrazy úseček CD U C. p V D' D U X=X' C' V' ' U' C ' p' Obr. 45 Řešení: 1. ' ; ' = p' podobně body ' C' D'. X' ; X' = X = p p' samodružný bod 3. U' ; obraz bodu U 4. V' ; obraz bodu V 5. obrazem úsečky je úsečka ' ' 6. obrazem úsečky CD je úsečka C'D' 7. obrazem úsečky U je polopřímka ' ' 8. obrazem úsečky C není úsečka ' C' ale polopřímky ' ' a C' D'. Protože bod U leží mezi body C bude U' ležet mezi body ' C'. Proto se obraz úsečky C roztrhne na dvě polopřímky. 59

59 . KOLINECE.1. Nevlastní prvky Nevlastní přímka roviny a b α U a' V α' b' Obr. 46 Jsou dány rovnoběžné roviny α α'. V rovině α zvolíme dvě různoběžky a b v rovině α ' sestrojíme přímky a' b' tak že a a' a b b'. Přímky a a' mají společný nevlastní bod U a přímky b b' mají společný nevlastní bod V. Tyto nevlastní body určují nevlastní přímku rovin α α'. Nevlastní přímkou roviny rozumíme množinu všech spolu rovnoběžných rovin tedy dvojsměr (obr. 46). 60

60 . KOLINECE.. tředová kolineace v prostoru.. tředová kolineace v prostoru V α a U U' a' α' ' I o V' ' Obr. 47 Jsou dány různoběžné roviny α α' a bod který v žádné z nich neleží. Uvažujme zobrazení které bodům roviny α přiřadí body roviny α' tak že spojnice odpovídajících si bodů prochází bodem. Na obr. 47 je bodu přiřazen bod ' bodu přiřazen bod '. ody určují přímku a roviny α jejím obrazem v rovině α' je přímka a' určená body ' '. Roviny α α' se protínají v přímce o. odem se přímka o zobrazuje sama na sebe stejně se zobrazí sám na sebe každý její bod. Na obr. 47 je bod I průsečík přímky o a přímky a. Zobrazí se sám na sebe a přímka a' jím tedy prochází. Odpovídající si přímky a a' se protínají na přímce o. Hledáme-li obraz bodu U přímky a jehož spojnice U je rovnoběžná s přímkou a' dostaneme nevlastní bod U' přímky a'. Hledáme-li obraz nevlastního bodu V přímky a vedeme bodem rovnoběžku s a. Její průsečík V' s přímkou a' je hledaný bod. 61

61 . KOLINECE.. tředová kolineace v prostoru V α η U u μ U' α' ' I o v' V' ' Obr. 48 Tak jako jsme v obr. 47 vedli bodem rovnoběžku s přímkou a' povedeme nyní bodem rovinu μ rovnoběžně s rovinou α'. Průsečnice u rovin α a μ se zobrazí bodem do nevlastní přímky roviny μ. Obdobně povedeme bodem rovinu η rovnoběžně s rovinou α. Průsečnice v' rovin α ' a η je obrazem nevlastní přímky roviny η. Výše popsané zobrazení se nazývá středová kolineace v prostoru. od nazýváme střed kolineace přímku o nazýváme osa kolineace. Přímky u a v' se nazývají úběžnice. Každý bod U přímky u se nazývá úběžník. Každý bod V' přímky v' se také nazývá úběžník. 6

62 . KOLINECE.. tředová kolineace v prostoru Typy kolineací Kolineace je dána dvěma různými rovinami a středem který v žádné z nich neleží. Podle toho jsou-li roviny různoběžné nebo rovnoběžné a je-li střed vlastní či nevlastní bod dostáváme následující možnosti. α s α C o C C' o ' ' ' α' α' ' C' Obr. 49a Obr. 49b Různoběžné roviny a vlastní střed středová kolineace (viz obr. 49a). Různoběžné roviny a nevlastní střed (směr) osová afinita (viz obr. 49b). α C α s C α' ' ' C' α' ' ' C' Obr. 49c Obr. 49d Rovnoběžné roviny a vlastní střed prostorová stejnolehlost (viz obr. 49c). Rovnoběžné roviny a nevlastní střed (směr) prostorové posunutí (viz obr. 49d). 63

63 . KOLINECE.. tředová kolineace v prostoru Osová afinita v prostoru a α s b I II o ' ' a' b' α' Obr. 50 V osové afinitě je s směr afinity a přímka o = α α' je osa afinity. Odpovídající si body leží na přímkách rovnoběžných se směrem afinity. Odpovídající si přímky se protínají na ose o. Obrazem rovnoběžek jsou rovnoběžky. (Viz obr. 50.) 64

64 . KOLINECE.3. tředová kolineace v rovině.3. tředová kolineace v rovině tředovou kolineaci v rovině získáme rovnoběžným promítnutím středové kolineace v prostoru do roviny. o D C III C' ' II I IV ' D' Obr. 51 tředová kolineace je dána středem osou o a párem odpovídajících si bodů ' jejichž spojnice prochází bodem. K obdélníku CD sestojíme kolineární čtyřúhelník ''C' D'. (Rovnoběžnost se nezachovává.) Při konstrukci použijeme následující vlastnosti kolineace: odpovídající si přímky se protínají na ose kolineace spojnice odpovídajících si bodů procházejí středem kolineace. Popis konstrukce: 1. I; I = C o samodružný bod. C ' I 3. C' ; C' = C 'I 4. II; II = o 5. ' II 6. ' ; ' = ' II 7. III; III = CD o 8. D C' III od D' jsme mohli také sestrojit pomocí 9. D' ; D' = D C'III přímky D a jejího samodružného bodu IV. 10. ''C'D'. 65

65 . KOLINECE.3. tředová kolineace v rovině Příklad: tředová kolineace je dána osou o středem a párem odpovídajících si bodů ' jejichž spojnice prochází bodem. Najděte obě její úběžnice p V V U X=X' V' u o v' ' p' U' U' Obr. 5 Řešení: 1. p; p p o libovolně zvolená přímka. p' ; ' p' p' o = p o = X obraz přímky p 3. U' 4. U; U = U' p úběžník přímky p 5. V 6. V' ; V' = V p' úběžník přímky p' 7. u; U u u o úběžnice 8. v' ; V' v' v' o úběžnice. Rovnoběžným promítnutím prostorové středové kolineace (viz obr. 48) do roviny se zachovává rovnoběžnost. Úběžnice u v' jsou proto rovnoběžné s osou o. Dá se dokázat že platí: vzdálenost jedné úběžnice od osy kolineace je stejná jako vzdálenost druhé úběžnice od středu kolineace. 66

66 . KOLINECE.3. tředová kolineace v rovině Úkoly k řešení 1. Mějme dánu středovou kolineaci osou o středem a úběžnicí u. K trojúhelníku C sestrojte kolineární trojúhelník ''C' jestliže a) trojúhelník C nemá s úběžnicí u žádný společný bod b) trojúhelník C má s úběžnicí u společný vrchol C c) strana C trojúhelníku C leží na úběžnici u d) úběžnice u protíná hranici trojúhelníka C ve dvou libovolných bodech různých od vrcholů. Pokuste se úlohy vyřešit samostatně pomoc hledejte v předchozím textu. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je. 67

67 . KOLINECE.3. tředová kolineace v rovině Nápověda 1. a) třed kolineace spojíme s úběžníkem U jedné strany trojúhelníka samodružným bodem této strany vedeme rovnoběžku s U. Na ní sestrojíme kolineární body třetí vrchol sestrojíme pomocí samodružného bodu některé strany trojúhelníka. b) třed kolineace spojíme s úběžníkem C samodružným bodem strany C vedeme rovnoběžku s C. Na ní sestrojíme kolineární body třetí vrchol sestrojíme pomocí samodružného bodu některé strany trojúhelníka. Obrazem trojúhelníka není trojúhelník! c) třed kolineace spojíme s úběžníkem C samodružným bodem strany C vedeme rovnoběžku s C. Na ní sestrojíme kolineární body. třed kolineace spojíme s úběžníkem bodem ' vedeme rovnoběžku s. Obrazem trojúhelníka není trojúhelník! d) třed kolineace spojíme s úběžníkem U jedné strany trojúhelníka samodružným bodem této strany vedeme rovnoběžku s U. Na ní sestrojíme kolineární body třetí vrchol sestrojíme pomocí samodružného bodu některé strany trojúhelníka. Obrazem trojúhelníka není trojúhelník! 68

68 . KOLINECE.4. Osová afinita v rovině.4. Osová afinita v rovině Je-li ve středové kolineaci v rovině střed nevlastní mluvíme o osové afinitě v rovině. finita je určena osou o a párem odpovídajících si bodů '. Přímka s = ' je směr afinity. C o IV I II III D ' D' s ' C' Obr. 53 Osová afinita je dána osou o a párem odpovídajících si bodů '. Jejich spojnice je směr afinity s. K rovnoběžníku CD sestojíme afinní čtyřúhelník ''C' D'. Při konstrukci použijeme následující vlastnosti afinity: odpovídající si přímky se protínají na ose afinity spojnice odpovídajících si bodů jsou rovnoběžné se směrem afinity rovnoběžnost se zachovává. Popis konstrukce: 1. I; I = D o samodružný bod. 'I 3. D' ; D' 'I DD' s 4. II; II = o 5. 'II 6. ' ; ' 'II ' s 7. III; III = CD o 8. D'III 9. C' ;C' D'III CC' s 10. ''C'D'. od C' jsme mohli také sestrojit pomocí přímky C a jejího samodružného bodu IV. Také lze bod C' získat doplněním ' ' D' na rovnoběžník ''C' D'. 69

69 . KOLINECE.4. Osová afinita v rovině Příklad: Osová afinita je dána osou o. estrojte směr afinity s tak aby obrazem rovnoběžníka CD byl čtverec ''C' D' čtverec sestrojte. o V ' ' Th I D III D' II k s C' C IV Obr. 54 Ve čtverci jsou strany k sobě kolmá a úhlopříčka svírá se stranou čtverce úhel 45. Řešení: 1. I; I = CD o. II; II = D o 3. III; III = D o 4. Th Thaletova kružnice nad průměrem I II 5. k kružnice jako množina bodů ze kterých je úsečka II III vidět pod úhlem D' ; D' = Th k 7. s; s = DD' směr afinity 8. ' ; ' D'II ' s 9. C' ;C' D'I CC' s 10. ' ; ' D'III ' s. 70

70 . KOLINECE.4. Osová afinita v rovině Příklad: Osová afinita je dána osou o a párem odpovídajících si bodů kružnici o středu a poloměru r její afinní obraz. '. estrojte ke Th h III C O II C' v D ' IV I ' o s D' v' ' h' Obr. 55 Obrazem kružnice bude elipsa. V kružnici si zvolíme dva kolmé průměry jejich afinním obrazem budou sdružené průměry elipsy tu sestojíme Rytzovou konstrukcí. Nebo se pokusíme najít v kružnici takové kolmé průměry aby jim odpovídaly osy elipsy. Osy jsou k sobě kolmé stejně jako průměry v kružnici leží proto střed kružnice i elipsy na stejné Thaletově kružnici. Ta prochází samodružnými body kolmých průměrů. Řešení: 1. I II samodružné body kružnice. s osa úsečky ' 3. O; O = s o 4. Th; Th( O r = O ) 5. III IV;Th o = { III IV} 6. v; v = III v' ; v' = ' III h; h = IV h' ; h' = ' IV h' v' osy elipsy 7. C D průsečíky přímek h v s kružnicí 8. ' 'C'D' afinní obrazy bodů C D jsou vrcholy hledané elipsy. 71

71 . KOLINECE.4. Osová afinita v rovině Příklad: estrojte průsečíky přímky s elipsou. o v' C' p' X' C K' p X K E I o 1 L D L' D' Obr. 56 Existuje afinní vztah mezi elipsou a vrcholovou kružnicí elipsy. Osou této afinity je hlavní osa elipsy směr afinity je k ose kolmý. Řešení: 1. v' ; v' ( r = ) vrcholová kružnice elipsy. C' ;C' = v' o obraz bodu C v afinitě 3. I; I = p o 1 4. X; X p 5. X' obraz bodu X 6. p' ; p' = X' I 7. K' L'; v' p' = { K'L' } 8. K L obrazy bodů K' L' - hledané průsečíky přímky s elipsou. 7

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Průniky rotačních ploch

Průniky rotačních ploch Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Průniky rotačních ploch Vypracoval: Vojtěch Trnka Třída: 8. M Školní rok: 2012/2013 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovin shodné zobrazení nep ímou shodnost shodnost p ímou

Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovin shodné zobrazení nep ímou shodnost shodnost p ímou Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz; zapisujeme Z: X X. Zobrazení v rovině je shodné

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Číslo projektu Z.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium rno s.r.o. utor Tematická oblast Mgr. Marie hadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Ročník

Více

Poznámka 1: Každý příklad začneme pro přehlednost do nového souboru tímto krokem:

Poznámka 1: Každý příklad začneme pro přehlednost do nového souboru tímto krokem: Mongeovo promítání základní úlohy metrické (skutečná velikost úsečky - sklápění, kolmice k rovině, vzdálenost bodu od roviny, vzdálenost bodu od přímky, rovina kolmá k přímce, otáčení roviny, trojúhelník

Více

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická

Více

Č část četnost. 部 分 频 率 relativní četnost 率, 相 对 频 数

Č část četnost. 部 分 频 率 relativní četnost 率, 相 对 频 数 A absolutní člen 常 量 成 员 absolutní hodnota čísla 绝 对 值 algebraický výraz 代 数 表 达 式 ar 公 亩 aritmetický průměr 算 术 均 数 aritmetika 算 术, 算 法 B boční hrana 侧 棱 boční hrany jehlanu 角 锥 的 侧 棱 boční stěny jehlanu

Více

1.9.5 Středově souměrné útvary

1.9.5 Středově souměrné útvary 1.9.5 Středově souměrné útvary Předpoklady: 010904 Př. 1: V obdélníkových rámech jsou nakresleny tři obrázky. Každý je sestaven z jedné přímky a jednoho obdélníku. Jeden z obrázků je středově souměrný.

Více

Dů kazové úlohy. Jiří Vaníček

Dů kazové úlohy. Jiří Vaníček Dů kazové úlohy Jiří Vaníček Následující série ú loh je koncipována tak, ž e student nejprve podle předem daného konstrukčního postupu sestrojí konstrukci a v ní podle návodu objeví některý nový poznatek.

Více

3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat?

3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat? 3..4 Trojúhelní Předpolady: 303 Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelní. o to je, víme. Ja ho definovat? Př. : Definuj trojúhelní jao průni polorovin. Trojúhelní je průni polorovin, a.

Více

3.cvičení. k p = {X, Y } u(x, r 1 = XA ), v(y, r 1 = XA ) u v = {A, R} q = AR. 1. Bodem A kolmici: Zvolím bod X p k(a, r 1 = XA ),

3.cvičení. k p = {X, Y } u(x, r 1 = XA ), v(y, r 1 = XA ) u v = {A, R} q = AR. 1. Bodem A kolmici: Zvolím bod X p k(a, r 1 = XA ), 3.cvičení 1. Bodem A kolmici: Zvolím bod X p k(a, r 1 = XA ), k p = {X, Y } u(x, r 1 = XA ), v(y, r 1 = XA ) u v = {A, R} q = AR Bodem A rovnoběžku: Ještě jednu kolmici. Tři úhly, které je možno rozdělit

Více

3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506

3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506 3.5.8 Otočení Předpoklady: 3506 efinice úhlu ze základní školy: Úhel je část roviny ohraničená dvojicí polopřímek se společným počátečním bodem (konvexní a nekonvexní úhel). Nevýhody této definice: Nevíme,

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se

Více

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů 4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

ROČNÍKOVÁ PRÁCE TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH

ROČNÍKOVÁ PRÁCE TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH ROČNÍKOVÁ PRÁCE TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH Vypracoval: Jan Vojtíšek Třída: 8.M Školní rok: 2011/2012 Seminář: Aplikace Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem svou ročníkovou práci napsal samostatně a

Více

Kótování na strojnických výkresech 1.část

Kótování na strojnických výkresech 1.část Kótování na strojnických výkresech 1.část Pro čtení výkresů, tj. určení rozměrů nebo polohy předmětu, jsou rozhodující kóty. Z tohoto důvodu je kótování jedna z nejzodpovědnějších prací na technických

Více

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině):

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině): Mechanismy Mechanismus klikový, čtyřkloubový, kulisový, západkový a vačkový jsou nejčastějšími mechanismy ve strojích (kromě převodů). Mechanismy obsahují členy (kliky, ojnice, těhlice, křižáky a další).

Více

STEREOMETRIE, OBJEMY A POVRCHY TĚLES

STEREOMETRIE, OBJEMY A POVRCHY TĚLES STEREOMETRIE, OBJEMY POVRCHY TĚLES Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Autodesk Inventor 8 vysunutí

Autodesk Inventor 8 vysunutí Nyní je náčrt posazen rohem do počátku souřadného systému. Autodesk Inventor 8 vysunutí Následující text popisuje vznik 3D modelu pomocí příkazu Vysunout. Vyjdeme z náčrtu na obrázku 1. Obrázek 1: Náčrt

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

Plochy stavebně-inženýrské praxe

Plochy stavebně-inženýrské praxe Plochy stavebně-inženýrské praxe 9. Plochy rourové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 95 98. Persistent

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_181 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky

Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky provádí pamětné a písemné početní Čísla přirozená Opakování září, říjen operace v oboru přirozených čísel porovnává a uspořádává čísla celá a Čísla celá, racionální racionální, provádí početní operace

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech Vypracoval: Michal Drašnar Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 03 VYSUNUTÍ TAŽENÍM A SPOJENÍM PROFILŮ.]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 03 VYSUNUTÍ TAŽENÍM A SPOJENÍM PROFILŮ.] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 03 VYSUNUTÍ TAŽENÍM A SPOJENÍM PROFILŮ.] 1 CÍL KAPITOLY Cílem této kapitoly je naučit uživatele efektivně navrhovat objekty v režimu

Více

Výroba ozubených kol. Použití ozubených kol. Převody ozubenými koly a tvary ozubených kol

Výroba ozubených kol. Použití ozubených kol. Převody ozubenými koly a tvary ozubených kol Výroba ozubených kol Použití ozubených kol Ozubenými koly se přenášejí otáčivé pohyby a kroutící momenty. Přenos je zde nucený, protože zuby a zubní mezery do sebe zabírají. Kola mohou mít vnější nebo

Více

6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi

6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi 6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky od Ing. Magdaleny Čepičkové

Více

Pokyny k hodnocení úlohy 1 ZADÁNÍ. nebo NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBĚJÍCÍ ŘEŠENÍ 0

Pokyny k hodnocení úlohy 1 ZADÁNÍ. nebo NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBĚJÍCÍ ŘEŠENÍ 0 PZK 9 M9-Z-D-PR_OT_ST M9PZD6CT Pokyny k hodnocení Pokyny k hodnocení úlohy BODY ZADÁNÍ Vypočtěte, kolikrát je rozdíl čísel,4 a,7 (v tomto pořadí) menší než jejich součet. (V záznamovém archu je očekáván

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět: Období ročník: Učební texty: Matematika 2. období 4. ročník R. Blažková: Matematika pro 3. ročník ZŠ (3. díl) (Alter) R. Blažková: Matematika pro 4. ročník ZŠ (1. díl) (Alter) J. Jurtová:

Více

Strojní součásti, konstrukční prvky a spoje

Strojní součásti, konstrukční prvky a spoje Strojní součásti, konstrukční prvky a spoje Šroubové spoje Šrouby jsou nejčastěji používané strojní součástí a neexistuje snad stroj, kde by se nevyskytovaly. Mimo šroubů jsou u některých šroubových spojů

Více

Mezní kalibry. Druhy kalibrů podle přesnosti: - dílenské kalibry - používají ve výrobě, - porovnávací kalibry - pro kontrolu dílenských kalibrů.

Mezní kalibry. Druhy kalibrů podle přesnosti: - dílenské kalibry - používají ve výrobě, - porovnávací kalibry - pro kontrolu dílenských kalibrů. Mezní kalibry Mezními kalibry zjistíme, zda je rozměr součástky v povolených mezích, tj. v toleranci. Mají dobrou a zmetkovou stranu. Zmetková strana je označená červenou barvou. Délka zmetkové části je

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

TÉMATICKÝ PLÁN OSV. čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20, užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

TÉMATICKÝ PLÁN OSV. čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20, užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti TÉMATICKÝ PLÁN MA 1.ročník Očekávaný výstup /dle RVP/ Žák: Konkretizace výstupu, učivo, návrh realizace výstupu PT Číslo a početní operace používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá

Více

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2 Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

Antény. Zpracoval: Ing. Jiří. Sehnal. 1.Napájecí vedení 2.Charakteristické vlastnosti antén a základní druhy antén

Antény. Zpracoval: Ing. Jiří. Sehnal. 1.Napájecí vedení 2.Charakteristické vlastnosti antén a základní druhy antén ANTÉNY Sehnal Zpracoval: Ing. Jiří Antény 1.Napájecí vedení 2.Charakteristické vlastnosti antén a základní druhy antén Pod pojmem anténa rozumíme obecně prvek, který zprostředkuje přechod elektromagnetické

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

TECHNICKÉ KRESLENÍ A CAD

TECHNICKÉ KRESLENÍ A CAD Přednáška č. 7 V ELEKTROTECHNICE Kótování Zjednodušené kótování základních geometrických prvků Někdy stačí k zobrazení pouze jeden pohled Tenké součásti kvádr Kótování Kvádr (základna čtverec) jehlan Kvalitativní

Více

- 1 - Vzdělávací oblast : matematika a její aplikace Vyučovací předmět : : matematika Ročník: 3.

- 1 - Vzdělávací oblast : matematika a její aplikace Vyučovací předmět : : matematika Ročník: 3. - 1 - Vzdělávací oblast : matematika a její aplikace Vyučovací předmět : : matematika Ročník: 3. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Výstup Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy Zápis čísel. Čtení a zápisy

Více

Název: Osová souměrnost

Název: Osová souměrnost Název: Osová souměrnost Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia)

Více

3D modely v programu Rhinoceros

3D modely v programu Rhinoceros 3D modely v programu Rhinoceros Petra Surynková Dep. of Mathematics Education, Fac. of Mathematics and Physics, Charles University in Prague Sokolovská 83, 186 75 Praha 8, Czech Republic email: petra.surynkova@seznam.cz

Více

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl

Více

Příručka uživatele návrh a posouzení

Příručka uživatele návrh a posouzení Příručka uživatele návrh a posouzení OBSAH 1. Všeobecné podmínky a předpoklady výpočtu 2. Uvažované charakteristiky materiálů 3. Mezní stav únosnosti prostý ohyb 4. Mezní stav únosnosti smyk 5. Mezní stavy

Více

1 NÁPRAVA De-Dion Představuje přechod mezi tuhou nápravou a nápravou výkyvnou. Používá se (výhradně) jako náprava hnací.

1 NÁPRAVA De-Dion Představuje přechod mezi tuhou nápravou a nápravou výkyvnou. Používá se (výhradně) jako náprava hnací. 1 NÁPRAVA De-Dion Představuje přechod mezi tuhou nápravou a nápravou výkyvnou. Používá se (výhradně) jako náprava hnací. Skříň rozvodovky spojena s rámem zmenšení neodpružené hmoty. Přenos točivého momentu

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY ANALYTICKY A GEOMETRICKY DEFINOVANÉ KŘIVKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Iveta Svobodová Vedoucí práce: Mgr. Lukáš Honzík Plzeň, 2012 Prohlašuji,

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

ÚVOD... 5. 2 PÍSMO... 13 2.1 PÍSMO VE STAVEBNĚ TECHNICKÉ PRAXI... 13 Jak popisovat stavební výkresy?... 14

ÚVOD... 5. 2 PÍSMO... 13 2.1 PÍSMO VE STAVEBNĚ TECHNICKÉ PRAXI... 13 Jak popisovat stavební výkresy?... 14 2 OBSAH ÚVOD... 5 1 POMŮCKY, TECHNIKA RÝSOVÁNÍ... 6 1.1 ZÁKLADNÍ RÝSOVACÍ POMŮCKY... 6 Jak si vybrat vhodné rýsovací pomůcky... 6 1.2 TECHNIKA RÝSOVÁNÍ... 10 Jak správně kreslit... 10 2 PÍSMO... 13 2.1

Více

Osvětlovací modely v počítačové grafice

Osvětlovací modely v počítačové grafice Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz

Více

(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3)

(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3) Učební tet k přednášce UFY1 Předpokládejme šíření rovinné harmonické vln v kladném směru os z. = i + j kde i, j jsou jednotkové vektor ve směru os respektive a cos ( ) ω ϕ t kz = + () = cos( ωt kz+ ϕ )

Více

doc. Dr. Ing. Elias TOMEH e-mail: elias.tomeh@tul.cz

doc. Dr. Ing. Elias TOMEH e-mail: elias.tomeh@tul.cz doc. Dr. Ing. Elias TOMEH e-mail: elias.tomeh@tul.cz Elias Tomeh / Snímek 1 Nevyváženost rotorů rotačních strojů je důsledkem změny polohy (posunutí, naklonění) hlavních os setrvačnosti rotorů vzhledem

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204 .2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý

Více

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY 1. Výrazy a počítání s nimi... 4 1.1. Mocniny s celým exponentem a s racionálním exponentem... 4 1.2 Počítání s odmocninami... 7 1.3 Úpravy algebraických výrazů... 10 2. Rovnice,

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 4.3 HŘÍDELOVÉ SPOJKY Spojky jsou strojní části, kterými je spojen hřídel hnacího ústrojí s hřídelem ústrojí

Více

I. kolo kategorie Z6

I. kolo kategorie Z6 58. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z6 Z6 I 1 Naobrázkuječtvercovásíť,jejížčtvercemajístranudélky1cm.Vsítijezakreslen obrazec vybarvený šedě. Libor má narýsovat přímku, která je rovnoběžná

Více

4.5.1 Magnety, magnetické pole

4.5.1 Magnety, magnetické pole 4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus

Více

Základní škola a mateřská škola, Ostrava-Hrabůvka, Mitušova 16, příspěvková organizace Školní vzdělávací program 2. stupeň, Matematika.

Základní škola a mateřská škola, Ostrava-Hrabůvka, Mitušova 16, příspěvková organizace Školní vzdělávací program 2. stupeň, Matematika. Matematika Matematika pro žáky 6. až 9. ročníku napomáhá k rozvoji paměti, logického myšlení, kritickému usuzování a srozumitelné a věcné argumentaci prostřednictvím matematických problémů. Žáci si prostřednictvím

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ mechanismy. Přednáška 8

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ mechanismy. Přednáška 8 Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ mechanismy Přednáška 8 Převody s korigovanými ozubenými koly Obsah Převody s korigovanými ozubenými koly Výroba ozubení odvalováním

Více

Měření hustoty kapaliny z periody kmitů zkumavky

Měření hustoty kapaliny z periody kmitů zkumavky Měření hustoty kapaliny z periody kmitů zkumavky Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=14 Po několika neúspěšných pokusech se zkumavkou, na jejíž dno jsme umístili do vaty nejprve kovovou kuličku a

Více

Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu. Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvíjení klíčových kompetencí žáků

Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu. Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvíjení klíčových kompetencí žáků Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení Charakteristika vyučovacího předmětu 1.-2. ročník 4 hodiny týdně 3.-5. ročník 5 hodin týdně Vzdělávací obsah

Více

na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:

na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu: Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace

Více

Definice tolerování. Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka

Definice tolerování. Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Téma: geometrické tolerance 1) Definice geometrických tolerancí 2) Všeobecné geometrické tolerance 3) Základny geometrických tolerancí 4) Druhy geometrických

Více

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

Obsah: Archivní rešerše. Popis stávajícího stavu mostků č.1 5. Stavební vývoj. Vyjádření k hodnotě mostků. Vyjádření ke stavu mostků.

Obsah: Archivní rešerše. Popis stávajícího stavu mostků č.1 5. Stavební vývoj. Vyjádření k hodnotě mostků. Vyjádření ke stavu mostků. OPERATIVNÍ DOKUMENTACE PĚTI MOSTKŮ V PODZÁMECKÉ ZAHRADĚ V KROMĚŘÍŽI NPÚ ÚOP V KROMĚŘÍÍŽII RADIIM VRLA ZÁŘÍÍ- PROSIINEC 2011 1 2 Obsah: Úvod Archivní rešerše Popis stávajícího stavu mostků č.1 5 Stavební

Více

Metoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka

Metoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Metoda konečných prvků 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Diskretizace Analýza pomocí MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný

Více

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úloha č. 4 Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úkoly měření:. Určete moment setrvačnosti vybraných těles, kruhové a obdélníkové desky.. Stanovení momentu setrvačnosti proveďte s využitím dvou rozdílných

Více

(1) (3) Dále platí [1]:

(1) (3) Dále platí [1]: Pracovní úkol 1. Z přiložených ů vyberte dva, použijte je jako lupy a změřte jejich zvětšení a zorná pole přímou metodou. 2. Změřte zvětšení a zorná pole mikroskopu pro všechny možné kombinace ů a ů. Naměřené

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 7. ročník J.Coufalová : Matematika pro 7.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko, J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 7.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část Základy sálavého vytápění (2162063) 7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část 30. 3. 2016 Ing. Jindřich Boháč Obsah přednášek ZSV 1. Obecný úvod o sdílení tepla 2. Tepelná pohoda 3. Velkoplošné

Více

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502 .5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady

Více

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem

Více

Ploché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky

Ploché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky Ploché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky Způsob výroby Dodávaný stav Podle ČSN EN 10025-6 září 2005 Způsob výroby oceli volí výrobce Pokud je to

Více

Vyhrubování a vystružování válcových otvorů

Vyhrubování a vystružování válcových otvorů Vyhrubování a vystružování válcových otvorů Vyhrubováním se dosáhne nejen hladších povrchů otvorů, ale i jejich přesnějších rozměrů a správnějších geometrických tvarů než při vrtání. Vyhrubování je rozšiřování

Více

Přednáška č.10 Ložiska

Přednáška č.10 Ložiska Fakulta strojní VŠB-TUO Přednáška č.10 Ložiska LOŽISKA Ložiska jsou základním komponentem všech otáčivých strojů. Ložisko je strojní součást vymezující vzájemnou polohu dvou stýkajících se částí mechanismu

Více

LANOVÁ STŘECHA NAD ELIPTICKÝM PŮDORYSEM

LANOVÁ STŘECHA NAD ELIPTICKÝM PŮDORYSEM LANOVÁ STŘECHA NAD ELIPTICKÝM PŮDORYSEM 1 Úvod V roce 2012 byla v rámci projektu TA02011322 Prostorové konstrukce podepřené kabely a/nebo oblouky řešena statická analýza návrhu visuté lanové střechy nad

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Tematický plán pro školní rok 2015/16 Předmět: Matematika Vyučující: Mgr. Iveta Jedličková Týdenní dotace hodin: 5 hodin Ročník: pátý

Tematický plán pro školní rok 2015/16 Předmět: Matematika Vyučující: Mgr. Iveta Jedličková Týdenní dotace hodin: 5 hodin Ročník: pátý ČASOVÉ OBDOBÍ Září Říjen KONKRÉTNÍ VÝSTUPY KONKRÉTNÍ UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Umí zapsat a přečíst čísla do 1 000 000 Porovnává čísla do 1 000 000 Zaokrouhluje čísla na tisíce, desetitisíce, statisíce Umí

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

Řešené příklady z OPTIKY II

Řešené příklady z OPTIKY II Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Řešené příklady z OPTIKY II V následujícím článku uvádíme několik vybraných příkladů z tématu Optika i s uvedením

Více

2.8.23 Využití Pythagorovy věty III

2.8.23 Využití Pythagorovy věty III .8.3 Využití Pythagorovy věty III Předpoklady: 008 Př. 1: Urči obsah rovnoramenného trojúhelníku se základnou 8 cm a rameny 5,8 cm. Pro výpočet obsahu potřebujeme znát jednu ze stran a odpovídající výšku.

Více

1. POLOVODIČOVÁ DIODA 1N4148 JAKO USMĚRŇOVAČ

1. POLOVODIČOVÁ DIODA 1N4148 JAKO USMĚRŇOVAČ 1. POLOVODIČOVÁ DIODA JAKO SMĚRŇOVAČ Zadání laboratorní úlohy a) Zaznamenejte datum a čas měření, atmosférické podmínky, při nichž dané měření probíhá (teplota, tlak, vlhkost). b) Proednictvím digitálního

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,

Více

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Tém 9 Těžiště Těžiště rovinných čr Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště složených rovinných orců Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, VŠB - Technická univerit

Více

Měření základních vlastností OZ

Měření základních vlastností OZ Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím

Více

Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání - VLNKA Učební osnovy / Matematika a její aplikace / M

Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání - VLNKA Učební osnovy / Matematika a její aplikace / M I. název vzdělávacího oboru: MATEMATIKA (M) II. charakteristika vzdělávacího oboru: a) organizace: Vzdělávací obsah vzdělávacího oboru Matematika je realizován ve všech ročnících základního vzdělávání.

Více

MATEMATIKA. 1 Základní informace k zadání zkoušky

MATEMATIKA. 1 Základní informace k zadání zkoušky MATEMATIKA PŘIJÍMAČKY LIK 2012 DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 15 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je

Více

TEORETICKÝ VÝKRES LODNÍHO TĚLESA

TEORETICKÝ VÝKRES LODNÍHO TĚLESA TEORETICKÝ VÝKRES LODNÍHO TĚLESA BOKORYS (neboli NÁRYS) je jeden ze základních pohledů, ze kterého poznáváme tvar kýlu, zádě, zakřivení paluby, atd. Zobrazuje v osové rovině obrys plavidla. Uvnitř obrysu

Více

Měřidla. Existují dva druhy měření:

Měřidla. Existují dva druhy měření: V této kapitole se seznámíte s většinou klasických druhů měřidel a se způsobem jejich použití. A co že má dělat měření na prvním místě mezi kapitolami o ručním obrábění kovu? Je to jednoduché - proto,

Více

Válec - slovní úlohy

Válec - slovní úlohy Válec - slovní úlohy VY_32_INOVACE_M-Ge. 7., 8. 20 Anotace: Žák řeší slovní úlohy z praxe. Využívá k řešení matematický aparát. Vzdělávací oblast: Matematika Autor: Mgr. Robert Kecskés Jazyk: Český Očekávaný

Více

MONTÁŽNÍ A UŽIVATELSKÝ NÁVOD SPRCHOVÝ KOUT PREMIUM PSDKR 1/90 S

MONTÁŽNÍ A UŽIVATELSKÝ NÁVOD SPRCHOVÝ KOUT PREMIUM PSDKR 1/90 S 763 64 Spytihněv č.p. 576, okres Zlín tel.:+420 577 110 311, fax:+420 577 110 315 teiko@teiko.cz; www.teiko.cz zelená linka 800 100 050 MONTÁŽNÍ A UŽIVATELSKÝ NÁVOD SPRCHOVÝ KOUT PREMIUM PSDKR 1/90 S ver.

Více

TECHNICKÁ DOKUMENTACE NA PC

TECHNICKÁ DOKUMENTACE NA PC TECHNICKÁ DOKUMENTACE NA PC Vypracovala: Jitka Chocholoušková 1 Obsah: 1. Uživatelské prostředí... 4 2. Tvorba objektů... 7 3. Tvorba úsečky... 10 4. Tvorba kružnice a oblouku... 15 4.1. Tvorba kružnice...

Více

Bod, přímka a rovina. bezrozměrnost, jeden rozměr a dva rozměry

Bod, přímka a rovina. bezrozměrnost, jeden rozměr a dva rozměry Úvod Posvátná geometrie mapuje rozkrývání významu čísel v prostoru. Základní trasa vede z izolovaného bodu do přímky, následuje rozprostření do roviny, poté do třetího rozměru, ba až za jeho hranice, a

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více