Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců

Transkript

1 Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Tém 9 Těžiště Těžiště rovinných čr Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště složených rovinných orců Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, VŠB - Technická univerit Ostrv

2 Těžiště Hmotný útvr - v nejoecnějším přípdě trojroměrné těleso látky o měrné tíe γ [kn/m ], tké ideliovná těles jko npř.: Hmotný rovinný orec (tuhá desk) - o měrné tíe γ [kn/m ] Hmotná rovinná čár -o měrné tíe γ [kn/m] Tíhově homogenní hmotné útvry měrná tíh je po celém útvru konstntní Fyikální výnm těžiště: ) hmotný od se soustředěnou hmotností útvru ) od, ve kterém le hmotný útvr vystvený tíe podepřít proti posunutí niž y docháelo k rotci Těžiště je chápáno jko sttický střed soustvy rovnoěžných sil v prostoru či rovině, které tvoří vlstní tíhy elementů hmotného útvru. Těžnice os procháející těžištěm Pojem těžiště / 48

3 Vrignonov momentová vět Zdáno: oecná rovinná soustv n sil P i m sttických momentů dvojic sil M j. Vypočteno: výslednice R d. Pltí: Pierre Vrignon ( ) Sttický moment výslednice oecné rovinné soustvy k liovolnému momentovému středu v rovině soustvy se rovná lgerickému součtu všech sttických momentů sil soustvy k témuž momentovému středu všech sttických momentů dvojic sil. Vrignonov vět Mtemticky: R d. p R n P. p + m i i i 1 j 1 M j Tém č. Přímková rovinná soustv sil Těžiště rovinných čr / 48

4 Těžiště oecné rovinné čáry Rovinné čáry jednoduché (po celé délce jeden mtemtický předpis) složené (několik spojených jednoduchých čr) Jednoduché rovinné čáry úsečk, kružnicový olouk, prolický olouk Předpokld: čáry tíhově homogenní, u kterých hodnot měrné tíhy γ nemá n polohu těžiště žádný vliv, proto γ 1 (e fyikálního roměru) Dle diferenciální geometrie rovinných křivek pltí: d ' ds 1+ d d Délk ( ároveň i tíh) čáry: s ds 1+ s Těžiště rovinných čr ' d Rovinná čár Or / str / 48

5 Těžiště oecné rovinné čáry V kždém elementu půsoí elementární síl vyjdřující jeho vlstní tíhu Vniká soustv rovnoěžných sil d P γ.ds ds se sttickým středem v těžišti. Směr pprsků rovnoěžných sil le volit: ) v rovině vyšetřovné čáry, povh rovinné soustvy sil, směr svislý (), pk vodorovný () Sttické momenty sil k momentovému středu (k počátku O): S. ds. 1+ s ' d S Těžiště rovinných čr. ds. 1+ Z Vrignonovy věty: s ' T d S s T S s Těžiště rovinné čáry jko sttický střed rovinné soustvy rovnoěžných sil Or / str. 4 5 / 48

6 Těžiště oecné rovinné čáry Směr pprsků rovnoěžných sil le volit: ) kolmo k rovině vyšetřovné čáry, tedy ve směru y, povh prostorové soustvy sil, výpočet sttických momentů ke dvěm souřdnicovým osám ( ) Oě pojetí vedou ke shodným výsledkům Poučk: Je-li rovinná čár (neo jkýkoli jiný vyšetřovný útvr) symetrická podle nějké osy symetrie, leží těžiště čáry (útvru) nutně n této ose symetrie. Má-li vyšetřovný útvr dvě neo více os symetrie těžiště leží v průsečíku os symetrie není tře jišťovt výpočtem. Těžiště rovinných čr Těžiště rovinné čáry jko sttický střed prostorové soustvy rovnoěžných sil Or / str. 4 6 / 48

7 Těžiště úsečky Úsečk má osu symetrie - těžiště leží uprostřed úsečky při jkémkoliv sklonu úsečky. Těžiště úsečky Or. 4.. / str. 4 Těžiště rovinných čr 7 / 48

8 Těžiště kružnicového olouku ) prvoúhlá soustv složité mtemtické výry ) polární soustv pól S ve středu kružnice, úhlová souřdnice ϕ měřen od svislice procháející středem S kružnice, kldná ve směru hodinových ručiček, v rdiánech, středové úhly ϕ ϕ, poloměr kružnice r () () Těžiště rovinných čr Kružnicový olouk v prvoúhlé () polární () souřdnicové soustvě Or / str / 48

9 Těžiště kružnicového olouku Pltí: r.sinϕ ( 1 cosϕ ) r. r.sinϕ r.sinϕ ds r.dϕ Délk olouku: s ds r. dϕ r ( ϕ ϕ ) s ϕ. ϕ Sttické momenty: S. ds r. ( 1- cosϕ ).dϕ r.[( ϕ ϕ ) ( sinϕ sinϕ )] s ϕ ϕ S s. ds r. sinϕ.dϕ r ( cosϕ cosϕ ). Souřdnice těžiště: cosϕ T r. ϕ ϕ ϕ T r. cosϕ ϕ ( sinϕ sinϕ ) ϕ ϕ Těžiště rovinných čr 9 / 48

10 Těžiště kružnicového olouku ) symetrický kružnicový olouk podle osy, středový úhel α, ϕ -α, ϕ +α T 0 T sinα r. 1 α ) půlkružnice, απ/ T 0 T r. 1 & 0,64. r π Těžiště rovinných čr () () Symetrický kružnicový olouk () půlkružnice () Or / str / 48

11 Příkld 9.1 Zdáno: r 8 o o 0 ϕ 0.π 0,560 rd o 180 ϕ o + +0,897 rd?? T T Řešení: cosϕ cosϕ T r. 0,59 m ϕ ϕ Těžiště rovinných čr ( sinϕ sinϕ ) ϕ ϕ T r. + 0,91 m ϕ ϕ Zdání výsledek příkldu 9.1 Or / str / 48

12 Težiště prolického olouku Zdáno:,, neo Rovnice proly ve volené souřdnicové soustvě: Derivce rovnice proly:. k. k. k s 1+ 4k d S. 1+ 4k d S k 1+ 4k d S využitím: s ds 1+ s ' d S. ds. 1+ s ' d S. ds. 1+ s Těžiště rovinných čr ' d Prolický olouk Or / str / 48

13 Numerická integrce určitých integrálů Výpočet určitých integrálů je prcný numerická integrce s využitím Simpsonov prvidl. Postup: ) Rodělit integrční oor n sudý počet n dílů, ody dělení i 0, 1,, n Délk jednoho dílku: Těžiště rovinných čr Δ n ) Určit souřdnici i : + i. Δ i c) Vypočítt číselnou hodnotu f i integrovné fukce f() d) Přiližná číselná hodnot integrálu je pk: f ( ) d f + + 4( f1 + f fn 1) + ( f + f f ) + f. 0 Δ 4 n Přesnost výpočtu ávislá n n, pro prktické účely stčí jižn4 n Thoms Simpson ( ) Simpsonovo prvidlo Or / str / 48

14 Příkld 9. Zdáno:,,, dopočteno rovnice proly, n4 Výpočet těžiště: Prmetr k k 1 1 0,05 m 6 18 Δ m Integrál pro i4 + 6 f ( ) d f ( f1 + f) +. ( f ) + f 4 Těžiště rovinných čr Zdání výsledek příkldu 9. Or / str / 48

15 Příkld 9. Tulkový výpočet: i [m] + ( ) k. 1+ ( k). 1+ ( k) 1 k 0-1,044 0,76 -, ,0000 0,0000 0,0000 1,044 0,76, ,094 0,977 4, ,019,407 7,111 8,449 4, ,8460 s S 8,449 m 4,6517 m Souřdnice těžiště: S 17,8460 m T S s Těžiště rovinných čr,116 m T S s 0,551m Zdání výsledek příkldu 9. Or / str / 48

16 Těžiště rovinné složené čáry Rovinná složená čár vniká spojením několik (oecně n) jednoduchých rovinných čr v téže rovině. Prvky s ončením i1,, n mohou mít růnou měrnou tíhu γ i, pokud je stejná - homogenní složená čár. Postup: ) Složenou čáru umístit do prvoúhlé souřdnicové soustvy ) Pro kždý prvek i vypočítt délku s i odpovídjící tíhovou sílu P γ. s i i i c) Pro kždý prvek i určit souřdnice i i jeho těžiště T i d) Zvést sílu P i do těžiště T i určit: R n i 1 P i S n i 1 P n i. i S i 1 P. i i e) Vypočítt souřdnice těžiště rovinné složené čáry T S R T S R Těžiště rovinných čr 16 / 48

17 Příkld 9. Zdáno: ) Svislá úsečk s hrničními ody 1, γ 1 1 ) Kružnicový olouk s hrničními ody, ϕ -1,1760 rd, ϕ 0, r,5 m, γ 1,5 c) Svislá úsečk s hrničními ody 4, γ 1, Řešení: ) délky, tíhy těžiště prvků i ( -1,7007 m, 0,6990 m) ) souřdnice těžiště R 10,807 m S 1,081m S 1,91m T 1,0 m T 1,10 m Zdání výsledek příkldu 9. Or / str. 47 Těžiště rovinných čr 17 / 48

18 Těžiště rovinných příhrdových nosníků T R P i T i + + Těžiště rovinných čr 18 / 48

19 Dřevěné příhrdové vníky Těžiště rovinných čr 19 / 48

20 Dřevěné příhrdové vníky Těžiště rovinných čr 0 / 48

21 Těžiště jednoduchých rovinných orců Jednoduchý rovinný orec orys umožňuje určit polohu těžiště e výpočtu n ákldě symetrie neo výpočtem podle jednoduchého mtemtického předpisu, tíhově homogenní Složený rovinný orec několik spojených jednoduchých orců T P i T[ T, T ] R i T + + Těžiště jednoduchých rovinných orců 1 / 48

22 Těžiště oecného rovinného orce Plošný osh (ploch) rovinného orce A. Ploch elementárního odélník: Celková ploch orce: A da Směr rovnoěžných elementárních sil dp le volit: d P γ.da da ) v rovině vyšetřovného orce, povh rovinné soustvy sil, směr svislý (), pk vodorovný () Sttické momenty orce k Roměr [m momentovému středu O: ] S.dA A Souřdnice těžiště: Z Vrignonovy věty: A.dd.dA Těžiště jednoduchých rovinných orců S T T A S s S s A A A d. d.dd γ 1 A γ.a d A d. d () Těžiště rovinného orce jko sttický střed rovinné soustvy rovnoěžných sil Or / str. 48 / 48

23 Těžiště oecného rovinného orce Směr rovnoěžných elementárních sil dp le volit: ) kolmo k rovině vyšetřovného orce, tedy ve směru y, povh prostorové soustvy sil, výpočet sttických momentů orce ke dvěm souřdnicovým osám ( ) Oě pojetí vedou ke shodným výsledkům d P γ.da da Poučk: Je-li rovinný orec symetrický podle nějké osy symetrie, leží těžiště orce nutně n této ose symetrie. () Má-li vyšetřovný orec dvě neo více os symetrie těžiště leží v průsečíku os symetrie není tře jišťovt výpočtem. Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště rovinného orce jko sttický střed prostorové soustvy rovnoěžných sil Or / str. 48 / 48

24 Těžiště jednoduchých rovinných orců ) čtverec ) kosočtverec c) odélník d) kosodélník e) rovnostrnný trojúhelník f) prvidelný šestiúhelník g) kruh h) meikruží i) elips () () (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště některých jednoduchých rovinných orců Or / str / 48

25 Těžiště prvoúhlého oecného trojúhelníku Ploch trojúhelníku: Sttický moment: 1 A.. h h / h h h. S.d.d d d d d h h A h () () (c) (d) Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště trojúhelníku Or / str / 48

26 Těžiště prvoúhlého oecného trojúhelníku. h Svislá pořdnice těžiště: T.. h. h Výpočet e souřdnic vrcholů: T.( + + ) T.( + + ) 1 () () (c) (d) Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště trojúhelníku Or / str / 48

27 Ploch kruhové úseče Symetrie podle osy, polární soustv středový úhel α, poloměr kružnice r Pltí: r.sinϕ r. ( 1 cosϕ ) Ploch úseče: Sttický moment: d r.cosϕ. dϕ α d r.sinϕ. dϕ sin α A d.d. r.sinϕr.sinϕdϕ. r sin ϕrdϕ r. α A 0 α 0 (převod prvoúhlé soustvy do polární) S α A.d.d. ( 1 cosϕ). r.sinϕ. r.. r.sinϕ.dϕ 0 α. r ( 1 cosϕ).sin ϕ.dϕ 0 α sin α sin α. r. 4 Těžiště jednoduchých rovinných orců 0..d () Těžiště kruhové úseče Or / str / 48

28 Těžiště kruhové úseče, půlkruhu čtvrtkruhu Souřdnice kruhové úseče: Půlkruh: T S A α sin α sin α. r. 4 4 sin α r. 1. sin α α sin α r. α π S 4 4. r α T r. 1 & 0, 5756r Čtvrtkruh: T r T & 0, 444r A.π.π () () (c) Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště kruhové úseče (), půlkruhu () čtvrtkruhu (c) Or / str / 48

29 Příkld 9.4 Zdáno: r,5m T? α 10 o α o π 60 1,047rd Řešení: T S A r sin α 1,0 m sin α α Těžiště jednoduchých rovinných orců Zdání výsledek příkldu 9.4 Or / str. 5 9 / 48

30 Těžiště prolické úseče Ploch prolické úseče: A d.d..d..k.d 4k. A d Sttický moment prolické úseče: S. d.d...d. k.k.d 4k. A d Vdálenost těžiště: T () Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště prolické úseče Or / str. 5 0 / 48

31 Těžiště poloviny prolické úseče Ploch poloviny prolické úseče: Sttický moment poloviny prolické úseče: Vdálenost těžiště: A S T.. 4. d.d.d d.k.d k..d. A Těžiště jednoduchých rovinných orců () Těžiště poloviny prolické úseče Or / str. 5 1 / 48

32 Těžiště ocelových válcovných tyčí Válcovné průřey (profily): růné tvry, I-profil, U-profil, rovnormenný úhelník () () (c) Těžiště jednoduchých rovinných orců Příkldy válcovných profilů Or / str. 5 / 48

33 Ocelové válcovné tyče Těžiště jednoduchých rovinných orců / 48

34 Tulky ocelových válcovných profilů Těžiště jednoduchých rovinných orců 4 / 48

35 Tulky ocelových válcovných profilů Těžiště jednoduchých rovinných orců 5 / 48

36 Ocelové válcovné tyče profilu I Těžiště jednoduchých rovinných orců 6 / 48

37 Ocelové válcovné tyče profilu U Těžiště jednoduchých rovinných orců 7 / 48

38 Ocelové válcovné rovnormenné úhelníky Těžiště jednoduchých rovinných orců 8 / 48

39 Ocelové válcovné nerovnormenné úhelníky Těžiště jednoduchých rovinných orců 9 / 48

40 Ocelové želeniční kolejnice Těžiště jednoduchých rovinných orců 40 / 48

41 Těžiště složených rovinných orců Složený rovinný orec vniká spojením několik (oecně n) jednoduchých rovinných orců v téže rovině. Prvky s ončením i1,, n mohou mít růnou měrnou tíhu γ i, pokud je stejná - homogenní složený rovinný orec. Postup: ) Složený orec umístit do prvoúhlé souřdnicové soustvy ) Pro kždý prvek i vypočítt plochu A i odpovídjící tíhovou sílu c) Pro kždý prvek i určit souřdnice i i jeho těžiště T i, možno použít lokální souřdnicovou soustvu d) Zvést sílu P i do těžiště T i určit: (pro homogenní orce pltí RA) e) Vypočítt souřdnice těžiště složeného rovinného orce R n i 1 P i S n i 1 P n i. i S i 1 P γ. A i P. i i i i T S R T S R Těžiště složených rovinných orců 41 / 48

42 Těžiště kosodélníku, lichoěžníku oecného čtyřúhelníku ) kosodélník úhlopříčk souřdnicová os. h 1 h1. h ) lichoěžník: A A. h1 + h. ( h 1 + h ). h1 h1. h h1 + h R A S. +.. h1 + h1. h + h 6 () () (c) ( ) ( ) ( ). h. h 1....(. h1 +. h 1 h S + h1 + h ) T. 1 + h1. h + h 6 h1 + h T. h1 + h c) oecný čtyřúhelník orec složený e dvou trojúhelníků Těžiště kosodélníku (), lichoěžníku () oecného čtyřúhelníku (c) Or / str. 54 Těžiště složených rovinných orců 4 / 48

43 Těžiště rovinného orce složeného válcovných tyčí T P U i T[ T, Y ] R P I U I T + Těžiště složených rovinných orců + 4 / 48

44 Těžiště složených orců s otvory výřey Zvláštní přípd složených orců s otvory (s oslením) neo s výřey (otvory sousedící s orysem orce) Výpočet: Jednotlivé orce povžovt smosttné prvky e otvorů, otvory povžovt dlší prvky se ápornou plochou měrnou tíhou stejnou jko orec oklopující. Těžiště složených rovinných orců 44 / 48

45 Příkld 9.5 Zdáno: homogenní složený rovinný orec oslený otvory, složený půlkruhu r0,m, odélníku dvou kruhových otvorů o r0,1m. Výpočet těžiště: ) plochy souřdnice těžišť prvků i ) výslednice sttické momenty složeného orce R 0,5585 m S 0,164 m S +0,0068 m c) souřdnice těžiště složeného orce T 0,011 m T 0,5665 m Těžiště složených rovinných orců Zdání výsledek příkldu 9.5 Or / str / 48

46 Příkld 9.6 Zdáno: tíhově homogenní rovinný orec tvru L (le řešit jko dv odélníky neo jko odélník opsán průřeu jeho odélníkový výře) Výpočet těžiště: ) plochy souřdnice těžišť prvků i ) výslednice sttické momenty složeného orce R 0,175 m S 0,04669 m S 0,01706 m c) souřdnice těžiště složeného orce T 0,14 m T 0,66 m Těžiště složených rovinných orců Zdání výsledek příkldu 9.6 Or / str / 48

47 Příkld 9.7 Zdáno: tíhově nehomogenní rovinný orec e tří odélníků, γ 1 γ 1, γ Výpočet těžiště: ) tíhové síly souřdnice těžišť prvků i ) výslednice sttické momenty složeného orce R 0,87 m S 0,765 m S 0,075 m c) souřdnice těžiště složeného orce T 1,0 m T 1,10 m Těžiště složených rovinných orců Zdání výsledek příkldu 9.7 Or / str / 48

48 Okruhy prolémů k ústní části koušky 1. Výpočet těžiště rovinných čr. Výpočet těžiště jednoduchých rovinných orců. Výpočet těžiště složených rovinných orců Podkldy ke koušce 48 / 48