MATEMATIKA. učebnice pro 5. ročník základní školy. autoři: Milan Hejný Darina Jirotková Eva Bomerová Jitka Michnová

Transkript

1 MATEMATIKA učebnice pro 5. ročník základní školy autoři: Milan Hejný Darina Jirotková Eva Bomerová Jitka Michnová ilustrace: Lukáš Urbánek Dana Raunerová Nakladatelství Fraus 2011

2 MATEMATIKA 5 učebnice pro základní školy Autoři: prof. RNDr. Milan Hejný, CSc. RNDr. Darina Jirotková, Ph. D. PhDr. Eva Bomerová PhDr. Jitka Michnová Recenzenti: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Mgr. Božena Rezková Ilustrace: MgA. Lukáš Urbánek, Dana Raunerová Autoři a zdroje obrazového materiálu: Mgr. Karel Brož; Archiv Nakladatelství Fraus; Photos.com; Shutterstock / Orla Citace: SMULLYAN, Raymond M. Jak se jmenuje tahle knížka? Praha: Mladá fronta, 1986 Odpovědná redaktorka: Mgr. Jana Tomšíková Redaktorka obrazové části: Dagmar Metlická Návrhy obálky: Olga Matulová s použitím ilustrace Lukáše Urbánka Grafická úprava a sazba: Olga Matulová Jazyková korektura: Mgr. Alena Hanušová Součásti díla: Učebnice ISBN Pracovní sešit 1 ISBN Pracovní sešit 2 ISBN Příručka učitele ISBN Doložka MŠMT: Schválilo MŠMT č.j. 4877/ dne k zařazení do seznamu učebnic pro základní školy jako součást ucelené řady učebnic pro vzdělávací obor Matematika a její aplikace s dobou platnosti šest let. Učebnice je aplikací výsledků výzkumu podpořeného výzkumným záměrem Učitelská profese v měnících se požadavcích na vzdělávání, č. MSM (první čísla označují pořadí a rok tisku) Vydalo Nakladatelství Fraus, Edvarda Beneše 72, Plzeň Printed in the Czech Republic Výhrada práv: Všechna práva vyhrazena. Reprodukce a rozšiřování díla nebo jeho částí jakýmkoli způsobem jsou bez písemného souhlasu nakladatele zakázány, s výjimkou případů zákonem výslovně povolených. Copyright: Nakladatelství Fraus, Plzeň vydání ISBN Vytištěno na papíře běleném bez použití chlóru a vyrobeném postupy šetrnými k životnímu prostředí.

3 Obsah Po prázdninách Opakování... 5 Zákonitosti, vztahy a práce s daty Sčítání a odčítání Násobení a dělení Mnohoúhelník Dělitelnost Část, zlomek, desetinné číslo Objem, povrch Rovnice I Práce s daty Konstrukce Biland a ciferník Písemná práce Vennův diagram Řady Pravděpodobnost a náhoda Úhel Rovnice II Desetinné číslo, zlomek Geometrie Velká čísla Logika Co už umíme Opakování Žáci sobě Další úlohy od královny Viktorie Písemná práce Výstupy a kompetence Průřezová témata. Poděkování OBSAH 3

4 Použité ikony: pavučiny Biland autobus trasy barevné trojice hra neposedové krokování stavby zvířátka násob. obdélníky parkety výstaviště rodina sousedé hadi součt. trojúhelníky výklad učiva 4 POUŽITÍ IKON

5 matem matematika Po prázdninách O prázdninách jsme se stěhovali. Jsem tady nový, a vidím, že jsme se učili trochu jinou matematiku. Neboj, něco znáš a na něco přijdeš rychle sám. Kuba se o prázdninách přestěhoval a začal chodit do nové školy, kde probírali matematiku jinak, než byl zvyklý. Nevěděl, zda-li bude všemu rozumět. 1 Tucet čísel rozděl do čtyř trojbarevných skupin. Součet čísel ve skupině je: a) 10; b) = = = = = = = = Když budeš mít přece jen problém, tak tady Nela umí všechno hezky vysvětlit. Třeba tohle: Po tabulce se pohybuješ podle šipek. Třeba tato cesta 4 znamená, že si stoupnu na 4 a jdu ve směru šipky na 5, pak dolu na Ve stovkové tabulce najdi: Součet čísel této cesty a) součet cesty 64 ; je = 24. b) součet cesty 28 ; c) součet všech nejkratších cest od čísla 52 k číslu Na které číslo myslím? a) Když ho zvýším o 23, dostanu 85. b) Když ho vydělím šesti a přičtu 9, dostanu 22. OPAKOVÁNÍ 5

6 4 Vypočítej : 7 72 : (11 6) 2 23 : 5 50 : 7 44 : : 7 36 : 2 54 : 3 65 : 7 56 : 3 5 Z číslic 2, 3, 5, 6 a 8 vyber tři a vytvoř jedno dvoumístné číslo tak, aby součin tohoto čísla se zbylým jednomístným byl a) co největší, b) co nejmenší. Každá číslice smí být 6 Z číslic 2, 3, 5, 6 a 8 vytvoř dvě dvoumístná čísla, aby jejich součin byl: a) co největší; b) co nejmenší. použita jen jednou. 7 Vyřeš algebrogramy. a) AB + B = 18 b) CD + D = 42 c) EFE + EF = 233 Aha, už chápu. U úlohy 7 hledám místo písmen číslice 0 9. Stejné písmeno znamená stejnou číslici. To je zajímavé! Ale co ta další úloha? V násobilkových obdélnících mezi sebou vynásobíš rohová čísla a výsledek zapíšeš do středového pole mezi nimi. 3 4 = 12 Takto: = 15 8 Vyřeš násobilkové obdélníky. Součet čísel středových polí značíme s. a) Zjisti s. b) Zjisti s. c) Vyřeš, když s = Najdi podíl a zbytek při dělení čísla a) 126, b) 510, c) každým z čísel 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Zapiš do tabulky. Podíl Zbytek OPAKOVÁNÍ

7 10 Doplň indické násobení a výsledek ověř běžným způsobem. a) Násobíš pomocí tabulky zapíšeš takto: b) pak násobíš: 4 3 = c) nakonec sčítáš: Děda vzal své 4 vnuky do kina. Kolik korun stál jeden dětský lístek, jestliže lístek pro dospělé stál dvakrát víc než pro děti a za pět lístků děda zaplatil 330 Kč? Už jsem něco zaslechl. Vím, že: = = = = = Taky máme krávu, ta je silná jako dvě kozy, a koně. Ten je stejně silný jako dvě krávy. 12 Do družstva doplň jedno zvířátko z nabídky tak, abys mohl skupinu rozdělit na: a) dvě stejně silná družstva; b) tři stejně silná družstva; c) dvě i tři stejně silná družstva. Nabídka: OPAKOVÁNÍ 7

8 13 Doplň. a) b) c) Každá barva šipky má jinou hodnotu. Mým úkolem je doplnit čísla do pavučiny tak, aby všechno platilo. Od čísla k číslu se přičte hodnota šipky Vrať čísla zpět. a) b) c) d) = = = 15 = 8 + = 9 =48 =25 + =25 =30 =20 + = 11 ( + ) =10 + =43 = 15 + =35 = 15 Doplň tak, aby součet každých tří sousedních čísel byl 8 a všech pěti čísel obdélníku byl: a) 13; b) 12; c) 11; d) Vyřeš algebrogramy. a) A A A = B b) A A A = B B c) A A A = A B 17 Vypočítej písemně. Výsledky zaokrouhli na tisíce Já a Leoš máme dohromady Kč. Když dám Leošovi 350 Kč, budeme mít oba stejně. Kolik korun mám já a kolik Leoš? 8 OPAKOVÁNÍ

9 19 Která zvířátka jsou ukryta za maskami? a) = b) = c) = d) = e) = f) = Jedna šipka je jeden krok. Například toto znamená: Jdi tři kroky dopředu a jeden dozadu. Dva nebo tři žáci si stoupnou vedle sebe a krokují. Šipky do úlohy doplníš tak, aby nakonec žáci stáli opět vedle sebe. znamená: Čelem vzad. V číslech ho zapíšeš jako minus před závorkou. 20 Vyřeš, přepiš pomocí čísel a krokuj. a) b) c) d) = = = = = = 21 Vyřeš. Součet čtyř čísel prvního řádku je Doplň hada tak, aby součet žlutých polí byl a) 25, b) Na táboře bydlely děti v chatách. V každé chatě byl jeden pokoj dvoulůžkový a jeden čtyřlůžkový. Kolik dětí bylo na táboře, jestliže pět chat bylo plných a v jedné spaly tři děti? OPAKOVÁNÍ 9

10 V Bilandu se platí groši Ag, Bg, Cg, Bg = 2 Ag; Cg = 2 Bg; Dg = 2 Cg Správný bilandský zápis je takový, který každou minci použije jen jednou. Např. 3 Ag = Bg + Ag 5 Ag = Cg + Ag Bilandské číslo používá jen 1 a 0. Ag = 1 Bg = 10 Cg = 100 Dg = 1000 Takže Cg + Ag = 101 My bychom napsali 5 Ag. 24 Zapiš bilandským zápisem a bilandským číslem: 3 Ag, 6 Ag, 8 Ag, 9 Ag, 10 Ag, 15 Ag. 25 Vyřeš dvojice rovnic. = = = = = = 26 Zjisti přesné rozměry obrazce a narýsuj ho do čtvercové sítě, když: a) CD = 2, BC = 1 a ABEF je čtverec; b) AB = 3, CD = 2, obvod ACDF je 12; c) BC = 2, ABEF je čtverec s obvodem 12. F A E B D C Stejná maska ve dvojici rovnic označuje stejné zvířátko. 27 Vyřeš šipkové grafy. a) b) c) d) OPAKOVÁNÍ

11 28 Jaký obsah má polovina, třetina, čtvrtina, šestina, osmina obdélníka? 29 K svátku dostala maminka kytici. V kytici bylo 12 květů žlutých, 9 modrých, 6 červených, 4 bílé, 3 růžové a 2 fialové. Zapiš zlomkem, jakou část kytice tvořily a) modré, b) žluté, c) červené, d) bílé květy. Jakou část tvořily žluté a červené květy dohromady? 30 Zapiš desetinným číslem, kolik decimetrů je 1 cm, 5 cm, 7 cm, 3 cm a 2 mm Rodina Klosova jela na dovolenou. Jak dlouhá byla cesta, jestliže během ní Ivan řekl: Ujeli jsme již 80 km, to je třetina cesty. 32 Zaokrouhli na celé koruny. 3,60 Kč 186,50 Kč 59,80 Kč 14,20 Kč 475,30 Kč 509,80 Kč 33 Vypočítej a zjisti polovinu výsledku : Tucet čísel rozděl do čtyř trojbarevných skupin. Součet čísel ve skupině je 10: 2,2 8,1 10 = + + 2,1 7,3 3,6 10 = + + 5,3 10 = + + 1,5 3,3 0,4 0,5 10 = + + 3,1 2,6 OPAKOVÁNÍ 11

12 35 Jakou část hodiny tvoří: a) 30 min; b) 20 min; c) 15 min; d) 12 min; e) 10 min; f) 6 min; g) 5 min; h) 3 min; i) 2 min; j) 1 min? 36 Jana nakupuje u paní Nové a Luboš u pana Malého. Včera nakoupili úplně totéž a rozhodli se porovnat ceny. Nákup u paní Nové: 1 kg pomerančů 21,20 1 kg jablek 28,30 1 kg hrušek 32,10 1 kg banánů 31,40 máslo 16,30 olej 24,60 ledové kaštany 9,20 10 vajíček 19,30 Nákup u pana Malého: 1 kg pomerančů 20,90 1 kg jablek 27,30 1 kg hrušek 32,60 1 kg banánů 28,30 máslo 22,10 olej 19,50 ledové kaštany 8,90 10 vajíček 22,10 a) Kolik korun zaplatila za ovoce Jana? b) Kdo zaplatil za ovoce více? O kolik? c) Luboš řekl: U pana Malého je ovoce levnější. Když u něj nakoupím ovoce, máslo a ledové kaštany, bude to levnější než u paní Nové. Má pravdu? 37 Na které číslo myslím? a) Jeho třetina je 6. b) Jeho polovina je o 2 větší než jeho čtvrtina. 38 Rodina Klosova jela na dovolenou. Jak dlouhá byla cesta, jestliže během ní Ivan řekl: Ujeli jsme již 172 km. Zbývá nám třetina cesty. 39 Na stole leželo několik desetikorun. Tatínek řekl: Z těch peněz si vezmi polovinu a 5 korun. Mirek se usmál a vzal si a) 2, b) 3, c) 5 desetikorun. Kolik desetikorun leželo na stole? 40 Polovina tyče je natřena na modro, čtvrtina na červeno. Zbytek je bílý a měří 12 cm. Jak dlouhá je celá tyč? 41 Přečti čísla OPAKOVÁNÍ

13 42 Honza a Jirka mají dohromady Kč. Kolik korun má Honza a kolik Jirka, když víš, že budou mít stejně, jestliže: a) Jirka utratí 300 Kč; b) Jirka získá 486 Kč; c) Honza získá 250 Kč a Jirka utratí 250 Kč. 43 Na táboře bydlely děti v chatách. V každé chatě byl jeden pokoj dvoulůžkový a jeden čtyřlůžkový. Kolik dětí bylo na táboře, jestliže ze sedmi obsazených chat byly dva dvoulůžkové pokoje prázdné? 44 Kolik let je Alešovi, když víš, že: a) je o rok starší než Blanka a dohromady mají 11 let; b) Blance je 13 let. Je jí o 7 let méně než Alešovi; c) Blance jsou 3 roky. Až jí bude tolik let, kolik je dnes Alešovi, bude Alešovi 11 let. 45 V březnu stojí kolo Kč. a) Kolik korun bude stát v květnu, když jeho cenu sníží o polovinu? b) Kolik korun bude stát v květnu, když jeho cenu sníží o čtvrtinu a ještě o 200 Kč? c) Kolik korun stálo v lednu, když od té doby jeho cenu snížili o 600 Kč? 46 Rodina Klosova jela na dovolenou. Jak dlouhá byla cesta, jestliže během ní Ivan řekl: Ujeli jsme 227 km. Ještě 7 km a bude zbývat jen čtvrtina cesty. 47 Mistr vyrobí tři skleničky za stejnou dobu jako učedník jednu skleničku. Kolik skleniček celkem vyrobili, když: a) učedník vyrobil 15 skleniček? b) mistr vyrobil 210 skleniček? c) učedník vyrobil 1 skleničku za 5 minut a pracoval 3 hodiny nepřetržitě? Narýsuj čtverec s obvodem 24 cm. Jaký je jeho obsah? 48 Polovina tyče je natřena na modro, třetina na červeno. Zbytek je bílý a měří 8 cm. Jak dlouhá je celá tyč? 49 Narýsuj obdélník ABCD, když AB = 7 cm, CD = 40 mm. Vypočítej obvod a obsah. 13

14 50 Kolik různých trojciferných čísel můžeš vytvořit z číslic: a) 1, 2, 3; b) 5, 4, 0; c) 5, 3, 0, 7. Každá číslice smí být použita jen jednou. 51 Kolik různých obdélníků můžeš vytvořit z a) 12, b) 18, c) 24 čtvercových kartiček pexesa? 52 Kolika způsoby lze doplnit sčítací trojúhelník? Nejmenší číslo není menší než 0. a) b) c) d) Kolika způsoby je možné přečíst názvy planet v tabulkách? Součet čísel Součet tří čísel v barevných prvního řádku je 4. polích je 8. a) Z E M b) V E N U Š c) E M Ě E N U Š E M E R K E R K U R K U R d) e) 14 OPAKOVÁNÍ

15 54 Přerýsuj obrázek do centimetrové mříže a zjisti obsah v cm 2 i obvod v mm největšího: a) obdélníku; b) trojúhelníku; c) lichoběžníku. G D A E B H C F 55 Obrázek není narýsován přesně. Zjisti délky úseček AB, BC, FC, DG, GH a HC, když víš, že ABED je čtverec a: a) AD = 3 cm, HF = 2 cm, AC = 4 cm; b) 5 AD 5= 5 cm, 5 HF 5= 3 cm, ACHG je čtverec; c) AG 5= 8 cm, 5 EF 5= 2 cm a obvod čtyřúhelníku ACHG je 28 cm. 56 Narýsuj: úsečku AC dlouhou 8 cm; přímku b kolmou k přímce AC a procházející středem S úsečky AC; na přímce b sestroj body B, D tak, aby ABCD byl čtverec. Čtverec narýsuj. Na přímce b zvol body E, F tak, aby byl AECF kosočtverec. Kosočtverec narýsuj. Já umím dobře kružnice! Narýsuji ještě kružnici k 1, která prochází všemi vrcholy čtverce ABCD, a kružnici k 2, která se dotýká všech stran kosočtverce AECF. 57 Vytvoř síť krychle tak, že spojíš červený a modrý díl. a) b) c) d) Hledej všechny možnosti. 58 Kolik existuje mřížových lichoběžníků, na jejichž šipkový zápis potřebuji právě 10 šipek? Lichoběžník je čtyřúhelník, který má dvě strany rovnoběžné a další dvě různoběžné. OPAKOVÁNÍ 15

16 59 Narýsuj do centimetrové mříže čtyřúhelník ABCD, který je zapsán pomocí šipek. Zjisti jeho obsah v cm 2 a obvod v mm. a) A B C D A; b) A B C D A; c) A B C D A. 60 Bod A z úlohy 59 a) zvol jako počátek a všechny vrcholy čtverce ABCD zapiš souřadnicemi. Totéž udělej pro úlohu 59 b) i 59 c). O D A C B Když je bod O na obrázku počátek, pak souřadnicový zápis bodů A, B, C a D vypadá takto: A (4, 1 ), B (7, 0), C (6, 3 ), D (3, 2 ). U úlohy 59 je počátkem bod A. 61 Narýsuj do mříže úsečku KL (K L). a) Najdi takové body M a N, aby KLMN byl čtverec. b) Najdi takové body M a N, aby KLMN byl obdélník. c) Najdi takový mřížový bod M, aby KLM byl pravoúhlý trojúhelník s obsahem 2. Hledej více řešení. 62 Sestroj rovnostranný trojúhelník EFG o straně délky 6 cm; střed S strany FG; úsečku ES; přímku e rovnoběžnou se stranou FG, procházející bodem E. Narýsuj bod J tak, aby EJFS byl obdélník. Narýsuj bod K tak, aby KJFG byl obdélník. 63 Zjisti velikost úhlu z obrázku u úlohy 62. a) b) c) d) Řecké písmeno čti delta. 16 OPAKOVÁNÍ

17 Jirka si postavil oranžovou stavbu z krychlí, říkal a zapisoval si: Tohle je její plán, takhle vypadá, když se na ni podívám shora, takhle, když zepředu a takhle zprava. A tak jsem ji postavil. Svedeš to i ty? 64 Vytvoř z krychlí stavby podle obrázku. a) Zakresli jejich plán. b) Zakresli pohled shora, zepředu a zprava. c) Zapiš jejich konstrukci. 65 Jirka si celou svou stavbu ozdobil sluníčky. Musel jich nakreslit 18. Zjisti, kolik sluníček potřebuješ, abys jimi ozdobil stavby z předchozí úlohy jako Jirka. 66 Vytvoř stavbu z 12 krychlí a zapiš její plán, když víš, že: a) v 1. podlaží je stejně krychlí jako ve 2. a 3. podlaží dohromady; b) v 1. podlaží je 1 2, ve 2. podlaží 1 3 c) v 1. podlaží je 1 2, ve 2. podlaží 1 3 Najdi vždy alespoň tři řešení. všech krychlí stavby; a ve 4. podlaží 1 12 všech krychlí stavby. 67 Na obrázku je z 60 krychlí postaven kvádr. Jeho povrch je 94. Postav kvádr ze: a) 4; b) 8; c) 12 krychlí. OPAKOVÁNÍ 17

18 68 Postupuj podle vývojového diagramu. Napiš si SEZNAM: 7, 69 Na hromádce bylo 6 kamenů. Dáša a Eliška střídavě odebíraly jeden, nebo dva kameny. Ta, která odebrala poslední kámen, vyhrála. Která vyhrála? Uvedenou hru hrajte ve dvojicích za těchto podmínek: a) na hromádce je 7 kamenů, hráč na tahu odebírá 1, nebo 2 kameny; b) na hromádce je 9 kamenů, hráč na tahu odebírá 1, 2, nebo 3 kameny. ANO Konec. Začni. K poslednímu číslu seznamu přičti 8. Zapiš výsledek do seznamu. Jsou v seznamu dvě stejná čísla? NE Je poslední číslo seznamu větší nebo 24? NE ANO Odečti od něj Vytvoř harmonogram a doplň tabulku jízdy autobusem ze zastávky A přes B, C, D do E, když víš, že se celkem vezlo 5 cestujících a: a) na zastávce A nastoupili 3, na zastávce B 2 a všichni vystoupili na E; b) 2 cestující jeli 4 zastávky a na B vystoupili 3 cestující; c) 2 nastoupili na A a na každé další zastávce nastoupil 1 cestující. V autobuse byli vždy přítomni právě 2 cestující. V N J A B C D E 71 Pokračuj v řadě, která se láme číslem 25. Co pozoruješ? a) 5, 10, 15, b) 7, 15, 23, c) 13, 26, 1, d) 3, 27, 2, 18 OPAKOVÁNÍ

19 Už vím, jak na to! Doma zkusím sedm zvířátek. 72 U dědy Lesoně se sešlo několik jeho zvířátek. Myslím, že to zvládnu. Nehrála na přetahovanou ani se neschovávala za maskami. Hrála hru, ve které bylo nutné, aby u stromu stála vždy tři různá zvířátka a přitom žádné dvě trojice nebyly stejné. Zvířátek bylo právě tolik, aby utvořila všechny možné trojice. Trvalo jim hodně dlouho, než se rozdělila, ale povedlo se. U kolika stromů stály trojice zvířátek, když přišli: a) kozy, berani, krávy a koně; b) myši, husy, kozy, berani a koně; c) kočky, husy, kozy, berani, krávy a koně. západ sever jih východ 73 Řeš výstaviště, jestliže v zeleném a hnědém poli budou čísla: a) 2 a 14; b) 1 a 11; c) 19 a 9; d) 13 a 3 a vychází se na jih; e) 17 a 7 a vychází se na východ. 74 Mezi obcemi A, B, C, D, E a F jezdí dvě okružní linky modrá a červená: a) ABCDA a ABFEA; b) ABCA a ACDEFA; c) ABCDEFA a ABCDA. Překresli a doplň názvy obcí. Hledej více řešení. 75 Zapiš římskými číslicemi. a) 6, 9, 23 b) 8, 14, 27 c) 48, 62, 164 d) 176, 344, 683 e) 846, 1 328, I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = Zapiš arabskými číslicemi. a) IV, XI, XXV b) VII, XVI, XXXIV c) LXV, CLVIII, CCXXII d) DLV, DCLIII, DXXXIX e) MCXV, MDCXX, MDCCCLVIII OPAKOVÁNÍ 19

20 mate matematika 20mate Jednotlivé kapitoly mají rozsah čtyř stran a každá kapitola je obohacena o rozšiřující učivo. Sčítání a odčítání Zákonitosti, vztahy a práce s daty 1 Vyřeš úlohy. a) Součet všech čísel jednoho řádku stovkové tabulky je 545. Kterého? b) Součet všech čísel jednoho sloupce stovkové tabulky je 500. Kterého? 2 K Vyřeš. Odhadni součet všech čísel stovkové tabulky. Pak součet vypočítej. 3 Z číslic 1 a 2 lze vytvořit čtyři dvoumístná čísla 11, 12, 21, 22. Jejich součet je 66. Zjisti součet všech dvoumístných čísel složených z číslic. a) 1 a 3 b) 1 a 4 c) 1 a 5 d) 1 a 6 e) 1 a 9 f) 2 a 3 g) 2 a 4 h) 2 a 5 i) 2 a 9 j) 3 a 7 k) 4 a 6 4 K Vyřeš algebrogramy. a) AA + AB + BA + BB = 176 b) CC + CD + DC + DD = Ve stovkové tabulce je 19 čísel, ve kterých je alespoň jedna číslice 1. Součet všech těchto čísel je 594. Najdi součet všech čísel stovkové tabulky, ve kterých je alespoň jedna číslice: a) 2; b) 3; c) 4; d) 5; e) 6; f) 7; g) 8; h) 9. 6 K Najdi ve stovkové tabulce součet všech čísel, ve kterých se nevyskytuje číslice: a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4; f) 5; g) 6; h) 7. 7 Vyznač ve stovkové tabulce obdélník zahrnující šest čísel tak, aby obsahoval i čísla: a) 13 a 18; b) 11 a 61; c) 63 a 84; d) 56 a 68. Najdi součet všech šesti čísel tohoto obdélníka. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY U cvičení označených K lze použít kalkulačku.

21 8 K Najdi ve stovkové tabulce obdélník obsahující šest čísel tak, aby součet těchto čísel byl: a) 33; b) 72; c) 93; d) Najdi taková tři po sobě jdoucí celá čísla, že když od součtu dvou menších odečteš největší, dostaneš číslo: Cvičení označené * je náročnější. * * * * a) 9; b) 78; c) 4 305; d) 0; e) 1; f) 2; g) 5; h) Číslo 15 lze zapsat třemi různými způsoby jako součet několika po sobě jdoucích čísel: = = = 15. Kolika různými způsoby lze takto zapsat číslo: a) 10; b) 18; c) 21; d) 63? 11 Vyřeš K Najdi rychle zelené číslo, když ti řeknu červené číslo. Sabina tvrdí, že u první úlohy zelené číslo získám, když od čísla 98 odečtu červené. = 98 Má Sabina pravdu? Hledej podobné pravidlo i pro další trojúhelníky. V každém sčítacím trojúhelníku je jedno číslo zelené a jedno červené Vrať čísla zpět a najdi i to, které se ukrývá ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 21

22 14 Doplň tak, aby pro čísla v pavučině platilo: a) součet všech pěti čísel je 20; b) součet všech pěti čísel je 25; c) součet dvou nejmenších čísel je 3; d) součet tří největších čísel je 18; e) součet nejmenšího a největšího čísla je K * Leopold řekl, že když do pavučin může psát i čísla záporná, bude mít úloha 14 a) alespoň deset různých řešení. Má Leopold pravdu? 16 Pavla řešila vývojový diagram. Zvolila číslo a zapsala jej do seznamu. Z jeho číslic vytvořila největší možné číslo a nejmenší možné číslo 789. Zjistila jejich rozdíl a zapsala jej do seznamu. Dokonči její práci. Vstupní číslo je dobré, když mezi jeho největší a nejmenší číslicí je rozdíl větší než 0. Zvol dobré čtyřmístné číslo. Zapiš jej do seznamu. Z číslic posledního čísla seznamu utvoř největší i nejmenší možné čtyřmístné číslo. NE Začni. Konec ANO Jsou v seznamu dvě stejná čísla? Rozdíl těchto čísel zapiš do seznamu. Seznam: 9 870, 9 801, 17 K Seznam Pavly obsahuje šest čísel. Najdi seznam, který obsahuje víc než šest čísel. 18 Z devíti čísel 32, 84, 91, 141, 177, 181, 618, 689, 792 vyber tři tak, aby jejich součet byl co nejblíže k číslu: a) 500; b) 1 000; c) ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

23 19 V tabulce jsou součty (žlutá pole) i rozdíly (modrá pole) každých dvou z trojice čísel 1, 2, 4. Podobnou tabulku vytvoř pro trojice čísel: a) 38, 89, 93; b) 166, 616, Přestavením číslic v čísle 135 lze vytvořit pět dalších trojmístných čísel. Zapiš ta čísla. Najdi součet i rozdíl každých dvou z těchto šesti čísel. Výsledky zapiš do podobné tabulky, jako je ve cvičení Zapiš čísla: tisíc osm; tisíc osmdesát; tisíc osm set; tisíc osm set osm; tisíc osm set osmdesát. Najdi součet i rozdíl každých dvou různých z těchto pěti čísel a zapiš je do tabulky jako u cvičení Z čísel 1 911, 2 911, 3 042, 3 047, 4 042, vyber tři tak, aby jejich součet byl Najdi tři různá řešení. 23 Najdi součet všech lichých čísel od 1 do: a) 5; b) 11; c) 15; d) 23. Rozšiřující učivo 24 Najdi pravidlo, pomocí kterého lze snadno najít výsledek kterékoli z úloh cvičení 20/3. Umíš pravidlo zdůvodnit? 25 Najdi součet všech osmi trojmístných čísel, ve kterých se vyskytují pouze číslice: a) 1 a 2; b) 1 a 3; c) 2 a 5. Najdi pravidlo, pomocí kterého lze snadno najít výsledek kterékoli z těchto úloh i úloh podobných. Umíš pravidlo zdůvodnit? 26 Dokaž, že rozdíl dvoumístných čísel AB a BA je dělitelný číslem Ukaž, že číslo 126 lze zapsat pěti různými způsoby jako součet několika po sobě jdoucích čísel. Najdi podobné číslo menší než 100. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 23

24 Násobení a dělení 1 Vypočítej zpaměti (41 6) : 3 =. Martin se na úlohu podíval a hned řekl výsledek 82. Pak vysvětlil, že vynásobit číslo šesti a pak ho vydělit 3 je totéž, jako původní číslo násobit 2. Nakreslil trojúhelníkový graf a řekl, ať dám do žlutého pole jakékoli číslo Č, bude pokaždé (Č 6) : 3 = Č 2. Prověř Martinův trik pro několik čísel. 2 6 : 3 2 Vypočítej zpaměti. (33 4) : 2 (20 9) : 3 (17 14) : 7 (54 : 3) 6 (21 : 3) 9 (72 : 6) 3 (21 : 6) 2 (54 3) : 6 (77 : 3) 6 (72 7) : 9 (36 : 10) 5 (77 6) : 11 3 K Z osmi čísel 4, 5, 7, 9, 35, 45, 63, 64 vyber dvě, jejichž součin je roven číslu: a) 20; b) 225; c) 245; d) 252; e) 315; f) 567; g) 1 575; h) Jedna z těchto úloh má tři řešení. Která? 4 Číslo 36 je možné vyjádřit pěti způsoby jako součin dvou přirozených čísel: 36 = 1 36 = 2 18 = 3 12 = 4 9 = 6 6. Najdi dvoumístné číslo, které je možné zapsat šesti různými způsoby jako součin dvou přirozených čísel. 5 Vyřeš. U každého obdélníku najdi součet jeho čtyř středových čísel Z číslic 1, 2, 3, 4 a 5 vytvoř jedno trojmístné a jedno dvoumístné číslo tak, aby jejich součin byl menší než Hledej více řešení. 7 Z číslic 1, 2, 3, 4, 5 a 6 vytvoř dvě trojmístná čísla tak, aby jejich součin byl větší než Hledej více řešení. 8 V jídelně je 23 stolů. U každého stolu jsou 4 židle a na každé sedí žák. Kolik rukou a kolik nohou je v jídelně? Úloha ze starého Egypta je více než let stará: Sedm lidí má po sedmi kočkách. Každá kočka chytne 7 myší a každá myš sní 7 klasů. Z každého klasu může vyrůst 7 měr ječmene. Jak veliké je to číslo? 24 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

25 9 Přemyslovci vládli dědičně Čechám měsíců. Kolik to bylo let? 10 Vyděl. 732 : : : : : : : : : : : : : : 9 11 * Vyřeš algebrogram ABB : C = CC (A), když víš, že číslice C je: a) 3; b) 4; c) 5; d) 6; e) 7; f) 8; g) 2. Dělení dvoumístným číslem Na příkladu : 14 si ukážeme, jak se dělí dvoumístným číslem. 1 najdu 4 najdu 7 najdu 85 : 14 = 6 (1) 17 : 14 = 1 (3) 30 : 14 = 2 (2) neboť 14 6 = 84 neboť 14 1 = 14 neboť 14 2 = 28 a = 1 a = 3 a = 2 2 zapíši 6, 84 i 1 5 zapíši 1, 14 i 3 8 zapíši 2, 28 i : 14 = : 14 = : 14 = sepíši 7 6 sepíši 0 9 Odpověď: : 14 = : 14 = : 14 = 612 (2) Edita řekla, že nejtěžší je trefit správné číslo ve výsledku. Ukázala třídě, že ona si udělá tabulku násobků dělitele. Například: Číslem 14 vyděl každé z čísel: 99; 896; 900; 1 300; 1 302; 1 848; ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 25

26 13 Vyřeš pavučinu, ve které je osm čísel. Zjisti hodnotu žluté i modré šipky, když je: A B C D a) F = 76, G = 115; b) E = 53, G = 121; c) E = 66, H = 171; d) A = 81, H = 195; e) A = 74, D = 200; f) E + F = 8, B = 7; g) E + F = 13, B = 11; h) E + F = 41, B = 25. E F G H 14 * Vyřeš, když víš, že v horní pavučině se E + F = 31. Zjisti hodnotu žluté i modré šipky, když je: a) C = 18; b) C = 38; c) C = 23; d) G = 33; e) G = 19; f) G = 68; g) H = 38; h) H = 110; i) H = 83; j) D = 120; k) D = 32; l) D = Vyřeš. U prvních tří obdélníků najdi součet jeho čtyř středových čísel. U posledního obdélníku je tento součet * Vyřeš hady. : : : K Výprava trvala a) 100 hodin, b) hodin, c) hodin, d) hodin. Kolik je to dnů? Kolik je to měsíců? Výsledky najdi jako dělení se zbytkem a pak je zaokrouhli na celé dny a celé měsíce. Měsíc počítáme jako 30 dnů. 18 Jedno z čísel 55, 56,, 64, 65 má tu vlastnost, že při dělení kterýmkoli z čísel 2, 3, 4, 5 a 6 vyjde zbytek 1. Které je to číslo? 19 Číslo 169 má tu vlastnost, že při dělení kterýmkoli z čísel 6, 7 a 8 vyjde zbytek 1. Najdi další čtyři trojmístná čísla mající tuto vlastnost. 20 * Vyřeš algebrogramy. a) ABC : C = CC b) ABC : C = BC c) AAB : B = CB d) ABA : A = CCA 26 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

27 21 Vyděl. 21 : : : : : : 3 22 Každé z čísel 364, 624, a vyděl každým z čísel 4, 7, 11 a Vyřeš. a) Do žlutého pole dej postupně čísla 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. b) Do červeného pole dej postupně čísla 5, 15, 25, 75. c) Do fialového pole dej postupně čísla 3, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, Rozšiřující učivo Patrik vymyslel hru. Zvolím číslo. Rozložím ho na součet dvou čísel. Ta vynásobím. Tento součin je pokračovatelem mého čísla. Například číslo 7 rozložím 7 = Vynásobím 2 5 = 10. Tedy 10 je pokračovatelem čísla 7. I číslo 6 je pokračovatelem čísla 7, neboť 7 = a 1 6 = 6. I číslo 12 je pokračovatelem čísla 7, neboť 7 = a 3 4 = 12. Číslo 7 má tři pokračovatele: 6, 10 a K Kolik pokračovatelů má číslo: a) 6; b) 8; c) 9; d) 10; e) 15; f) 18? 25 K Najdi a) největšího, b) nejmenšího pokračovatele čísel 50 a K Ukaž, že číslo 20 je pokračovatelem pokračovatele čísla 6. Zjisti, zda i číslo 21 je pokračovatelem pokračovatele čísla Vyřeš algebrogramy. a) ABA : 11 = AA (0) b) ABA : 11 = CA (0) 28 Kolik sester má sestra Ivana Klose? Kolik má bratrů? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 27

28 Mnohoúhelník 1 Přerýsuj obrázek na centimetrový čtverečkový papír. Prověř: AB = 20! mm, délka úsečky AB je přesně 20 mm. BE = 22 + mm, délka úsečky BE je trochu delší než 22 mm. CE = 32 mm, délka úsečky CE je trochu kratší než 32 mm. A E B D C Změř podobně délky všech úseček určených body A, B, C, D, E. 2 Vypiš všech deset trojúhelníků určených body A, B, C, D a E. Kolik z nich je rovnoramenných? 3 Zjisti obsah a změř obvod trojúhelníků ABC, BCD, ABE a ACE. 4 Mezi trojúhelníky ze cvičení 2 najdi dva: a) shodné rovnoramenné; b) shodné nerovnoramenné. 5 Narýsuj mřížový bod F tak, aby trojúhelník CDF byl rovnoramenný se základnou CD. Najdi více řešení. 6 * Narýsuj mřížový bod G tak, aby trojúhelník CEG byl rovnoramenný se základnou CG. Najdi všech šest řešení. 7 Vypiš všech pět čtyřúhelníků určených body A, B, C, D a E. Je mezi nimi a) rovnoběžník, b) lichoběžník, c) kosočtverec? 8 Který ze čtyřúhelníků ze cvičení 7 má největší a) obsah, b) obvod? 9 Zjisti obsah a změř obvod pětiúhelníku ABCDE. 10 Vypiš všech pět úhlopříček pětiúhelníku ABCDE. Která z nich je a) nejdelší, b) nejkratší? 11 Adam, Boris a Cyril mají dohromady 78 Kč. Adam s Cyrilem mají dohromady 51 Kč. Adam má stejně jako Boris. Kolik korun má Cyril? 12 Číslo 12 je trojobdélníkové, protože 12 knoflíků lze uspořádat do tří různých obdélníků: 1 12, 2 6 a 3 4. Kolika obdélníkové je číslo 60? 28 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

29 A 12 A 11 A 1 13 Pravidelný dvanáctiúhelník A 1 A 2 A 12 je vepsán do kružnice s poloměrem 25 mm. Překopíruj mnohoúhelník na papír. Změř délky jeho stran. A 9 A mm A 2 A 3 Narýsuj jeho úhlopříčky: A 1 A 11 ; A 1 A 7 ; A 2 A 7 ; A 5 A 9 ; A 8 A 11. A 8 A 4 Které dvě z těchto úhlopříček jsou na sebe kolmé? A 7 A 5 A 6 Strana spojuje sousední vrcholy mnohoúhelníku. Úsečka, která spojuje nesousední vrcholy mnohoúhelníku, se nazývá úhlopříčka. 14 Vypiš všechny úhlopříčky z dvanáctiúhelníku na obrázku, jejichž délka je: a) 25! mm; b) 50! mm; c) 35 + mm; d) 43 + mm; e) 48 + mm. Kolik úhlopříček má náš dvanáctiúhelník? Ve cvičeních 15 až 18 hledáme mnohoúhelníky s vrcholy v některých z bodů A 1, A 2,, A 12 našeho dvanáctiúhelníku. 15 Trojúhelník A 3 A A je rovnostranný. Najdi další tři rovnostranné trojúhelníky Najdi: a) tři různé čtverce; b) dva různé pravidelné šestiúhelníky. 17 Kolik je v našem dvanáctiúhelníku a) rovnoramenných trojúhelníků, b) obdélníků, c) lichoběžníků, * d) kosočtverců? 18 Který z trojúhelníků je pravoúhlý? A 6 A A 1 12 A A A A A A A A A A A A A 6 A A 7 12 A A A A A A A A A A A A Adam, Boris a Cyril mají dohromady 78 Kč. Když dá Adam 3 Kč Cyrilovi, budou mít všichni tři stejně. Kolik korun má Boris a kolik Cyril? 20 Najdi a oprav chybu v sešitě bilandského žáka = = 100 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 29

30 21 Narýsuj do mříže body K (0, 0), L (4, 0), M (1, 3), Q (1, 1). a) Najdi obsah každého z trojúhelníků KLQ, LMQ, MKQ i KLM. b) Najdi obsah každého ze čtyřúhelníků MQKL, KQLM a LQMK. K M Q (0, 0) (1, 3) (1, 1) L (4, 0) Mnohoúhelníky dělíme na konvexní (hezké) a nekonvexní (vykousnuté). Mnohoúhelník je nekonvexní, když v něm existují dva body, které na sebe nevidí. Tzn. úsečka, která tyto dva body spojuje, protíná hranici mnohoúhelníka. 22 Na geodesce vymodeluj nekonvexní čtyřúhelník. Překresli jej do mříže a dokresli dva body, které na sebe nevidí. Narýsuj obě úhlopříčky čtyřúhelníku. Zjisti jeho obsah. Hledej více řešení. 23 Na geodesce vymodeluj nekonvexní pětiúhelník. Překresli jej do mříže a dokresli dva body, které na sebe nevidí. Zjisti jeho obsah. Hledej více řešení. 24 Narýsuj nekonvexní čtyřúhelník ABCD tak, aby: AB = AD = 76 mm; CB = CD = 38 mm; AC = 51 mm. Změř BD. 25 Narýsuj čtverec KLMN o straně 34 mm. Narýsuj bod P = K-o-L (střed strany KL). Sestroj přímku p KM tak, že P p. Průsečík přímky p s přímkou LM označ Q. Měřením prověř, zda: a) KQ = NQ ; b) Q = L-o-M; c) trojúhelník PQN je rovnoramenný. 26 Adam, Boris a Cyril mají dohromady 78 Kč. Když dá Adam polovinu svých peněz Cyrilovi, budou mít všichni tři stejně. Kolik korun má Cyril? 27 Najdi a oprav chybu v sešitě bilandského žáka = = ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

31 28 Najdi číslice A a B tak, aby součet AB + BA byl roven číslu: a) 187; b) 176; c) 165; d) 154; e) 143; f) 132; g) 121; h) 198. Hledej více řešení. 29 Zjisti zbytek při dělení čísla čísly 11, 22, 33,, Obvod obdélníka je 24 cm. Určete délky jeho stran, když víte, že jeho obsah je: a) 20 cm 2 ; b) 11 cm 2 ; c) 27 cm 2 ; d) 32 cm 2 ; e) 35 cm Do každého ze 16 polí mřížového čtverce 4 4 napiš jedno číslo tak, aby součet tří čísel v každém obdélníku 3 1 i 1 3 byl 9 a součet všech 16 čísel byl: a) 45; b) 46; c) 47; d) 50; e) 53; f) 54. Rozšiřující učivo 32 Do kružnice s poloměrem 34 mm vepiš pravidelný pětiúhelník, když víš, že jeho strana má délku 40 mm. 33 Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník rozděl úsečkou na dvě části a jejich spojením vytvoř čtverec. 34 Čtverec rozděl úsečkou na dvě části tak, aby různým spojením těchto částí bylo možné vytvořit každý ze 4 následujících obrazců: lichoběžník, pravoúhlý trojúhelník, rovnoběžník a čtyřúhelník, který má dva pravé úhly. 35 Sestroj čtyřúhelník ABCD tak, že AB CD. 36 Sestroj čtyřúhelník EFGH, pro který je EF GH a FG EH. 37 Sestroj čtyřúhelník IJKL, pro který je IJ KL, JK IL i IK JL. 38 * Sestroj pětiúhelník a v něm tři body tak, že žádné dva na sebe nevidí. 39 * Sestroj šestiúhelník a v něm čtyři body tak, že žádné dva na sebe nevidí. 40 * Sestroj sedmiúhelník a v něm pět bodů tak, že žádné dva na sebe nevidí. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 31

32 Dělitelnost 1 Hlasatel ve dvousekundových intervalech počítá: nula, jeden, dva, tři, Na každé druhé číslo, tedy na nula, dva, čtyři, tleskač tleskne. Na každé třetí číslo, tedy na nula, tři, šest, devět, dupač dupne. Když to některý z hráčů splete, hra končí a hraje jiná trojice žáků. Hru Tleskni dvě, dupni tři hrají tři žáci: hlasatel, tleskač a dupač. V naší třídě ani po pěti pokusech žádná trojice nedošla k číslu 30. Podaří se to některé trojici ve vaší třídě? 2 Monika (hlasatel), Julka (tleskač) a Klára (dupač) tuto hru trénovaly a předvedly skvělý výkon. Spletly se až ve 156 sekundě, kdy nezaznělo ani tlesknutí, ani dupnutí. Které číslo ve 156 sekundě řekla Monika? Která z dívek to spletla? Kolikrát v průběhu prvních 155 sekund bylo slyšet tlesknutí? Kolikrát dupnutí? Kolikrát zaznělo tlesknutí a dupnutí současně? 3 Na čtverečkovaném papíře vyznač obdélník 5 11 a napiš do něj čísla od 0 do 54. Všechna sudá čísla škrtni a všechna čísla dělitelná třemi škrtni. První čtyři řádky tabulky jsou na obrázku. Kolik čísel tabulky je škrtnuto, kolik a kolik? Odpověz na předchozí otázku v případě, že rozměry tabulky jsou 5 20 nebo Z číslic A, B mohu vytvořit dvě dvoumístná čísla: AB a BA. Najdi A, B tak, že A < B a: a) AB je dělitelné číslem 5 a BA je dělitelné číslem 4. b) AB je dělitelné číslem 5 a BA je dělitelné číslem 17. c) AB je dělitelné číslem 8 a BA je dělitelné číslem 7. 5 Na obrázku je mřížový obdélník o rozměrech 4 2. Jeho úhlopříčka prochází čtyřmi čtverečky (jsou vybarvené). Zjisti, kolika čtverečky prochází úhlopříčka obdélníku: a) 3 2; b) 5 2; c) 6 2; d) 7 2; e) 8 2; f) 10 2; g) 11 2; h) 24 2; i) * Vyřeš algebrogramy. a) ABA : B = BCB b) ABAB : B = BCB c) AABB : AA = ACB d) ABBA : AA = CAD 32 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

33 7 Hrajte hru Tleskni dvě, dupni čtyři a pak hru Tleskni dvě, dupni pět. Znáte již tři hry typu Tleskni dupni. Která z nich je nejsnazší? Proč? Číslo 9 má tři dělitele 9, 3 a 1. Na obr. 1 je z nich vytvořen graf dělitelů čísla 9. Číslo 15 má čtyři dělitele 15, 5, 3 a 1. Na obr. 2 je z nich vytvořen graf dělitelů čísla 15. Číslo 18 má šest dělitelů 18, 9, 6, 3, 2 a 1. Na obr. 3 je z nich vytvořen graf dělitelů čísla obr. 1 9 obr obr Vytvoř graf dělitelů čísla: a) 4; b) 10; c) 12; d) 20; e) 25; f) 27; g) * Vytvoř graf dělitelů čísla a) 24, b) 40, c) Najdi číslo, jehož graf dělitelů je stejný jako: a) na obr. 1; b) na obr. 2; c) na obr Najdi dvojici čísel A < B tak, že: a) Číslo AB je a číslo BA není dělitelné číslem 5. Kolik má úloha řešení? b) Číslo AB není a číslo BA je dělitelné číslem 5. Kolik má úloha řešení? 12 Najdi dvojici čísel A < B tak, že číslo AB je a číslo BA není dělitelné číslem: a) 2; b) 3; c) 4; d) 6; e) 7; f) 8; g) 9. Kolik má každá z těchto úloh řešení? 13 Úhlopříčka obdélníku 4 2 na obrázku ze cvičení 32/5 prochází jediným mřížovým bodem. Kolika mřížovými body prochází úhlopříčka obdélníku: a) 4 3; b) 5 3; c) 6 3; d) 7 3; e) 8 3; f) 9 3; g) 8 6; h) 8 4; i) 12 4; j) 15 3; k) 15 5; l) 20 2; m) 20 4; n) 20 5? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 33

34 14 Čtvercovými dlaždicemi máme vydláždit obdélník o rozměrech 280 cm 175 cm. Kolik dlaždic nejméně potřebujeme? 15 Úlohu 14 řeš pro obdélník o rozměrech: * a) 2 m 3 m; b) 2,5 m 3 m; c) 2,7 m 1,8 m; d) 2,8 m 168 cm; e) 448 cm 192 cm. 16 Obdélníkovými dlaždicemi o rozměrech 21 cm 14 cm chceme vydláždit co nejmenší možný čtverec. Jak dlouhá bude jeho strana? Kolik dlaždic bude k dláždění potřeba? 17 Úlohu 16 řeš pro dlaždice o rozměrech: * * a) 2 m 3 m; b) 2,5 m 3 m; c) 2,7 m 1,8 m; d) 2,8 m 168 cm; e) 448 cm 192 cm. * 18 * Obdélníková místnost o rozměrech 4 m 480 cm se má pokrýt parketami typu. Kolik parket nejméně k tomu potřebujeme? 19 * Obdélníková místnost o rozměrech 1,8 m 4,8 m se má pokrýt parketami typu. Kolik parket nejméně k tomu potřebujeme? 20 Aneta porovnávala délku ženských a mužských jmen. Z kalendáře vypsala všechna jména začínající písmenem A. Mužská: Adam, Alan, Aleš, Adolf, Alois, Artur, Albert, Alexej, Andrej, Arnošt, Antonín, Alexandr, Augustýn. Ženská: Anna, Adéla, Agáta, Alena, Alice, Aneta, Albína, Anděla, Andrea, Anežka, Amálie, Adriana, Alžběta, Antonie, Apolena, Alexandra, Anastázie. Zjistila, že je to 30 jmen, v nichž je 179 písmen. Skoro přesně 6 písmen na jedno jméno. Ale u ženských jmen je to víc než 6 písmen na jméno a u mužských je to méně než 6 písmen na jméno. Tedy ženská jména jsou delší. Má Aneta pravdu? 21 Bartoloměje vyprovokovalo Anetino šetření a udělal podobné šetření se jmény začínajícími písmenem B. Vyšlo mu, že mužská jména jsou delší. Má Bartoloměj pravdu? 34 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

35 22 * Arnold napsal dva sloupečky dělení a dal spolužákům otázku: Jak bude pokračovat levý sloupeček a jak pravý? Amélie řekla: To vidím. Například desátý řádek bude takto: : 120 = 12 (10) : 12 = 120 (10) 145 : 12 = 12 (1) 290 : 24 = 12 (2) 435 : 36 = 12 (3) 580 : 48 = 12 (4) a stý řádek bude: : = 12 (100) : 12 = (100). 725 : 60 = 12 (5) 870 : 72 = 12 (6) : 84 = 12 (7) Má Amélie pravdu? 145 : 12 = 12 (1) 290 : 12 = 24 (2) 435 : 12 = 36 (3) 580 : 12 = 48 (4) 725 : 12 = 60 (5) 870 : 12 = 72 (6) : 12 = 84 (7) 23 V prvním řádku tabulky jsou čísla z příběhu o vynálezci šachu. V druhém řádku jsou zapsány zbytky těchto čísel při dělení číslem 3, např.: 128 : 3 = 42 (2). Ve třetím řádku jsou zbytky horních čísel při dělení číslem 5, např.: : 5 = 204 (4). V posledním řádku jsou zbytky horních čísel při dělení číslem 7, např.: 64 : 7 = 9 (1). Doplň všechna další pole tabulky Rozšiřující učivo 70 Simona pověsila model kostry krychle a k vrcholům připsala čísla. Řekla: To je graf dělitelů čísla 70. Rozumíš Simoně? 24 Pomocí krychle vytvoř graf dělitelů čísla: a) 30; b) 42; c) 66; d) Číslo 24 je pokračovatelem čísla 11, neboť 11 = a 3 8 = 24. Najdi všechna čísla, jejichž pokračovatelem je číslo K Najdi dvojici čísel B > A > 0 tak, že číslo BAB je a číslo ABA není dělitelné číslem: a) 4; b) 5; c) 7; d) 8; e) 9; f) 11. Hledej více řešení. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 35

36 Část, zlomek, desetinné číslo Obdélník A se skládá z pěti kachlíků. Zapíšeme: A = 5. Jeden kachlík je 1 5 obdélníku. Zapíšeme: 1 = 1 5 A. A Dva kachlíky jsou modré. Jsou to dvě pětiny obdélníku. Zapíšeme: m = 2 = 2 5 A. Tři kachlíky jsou žluté. Jsou to tři pětiny obdélníku. Zapíšeme: ž = 3 = 3 5 A. Zlomek obsahuje dvě čísla. Horní nazýváme čitatel a dolní nazýváme jmenovatel. 1 Jaká část obdélníku B je vybarvena zeleně, jaká žlutě a jaká zůstala nevybarvena? Stejnou úlohu vyřeš i pro obdélníky C, D a E. B C D E 2 U obdélníku D došlo ke sporu. Šlo o žlutou část. Uršula tvrdí, že je to 1 2 obdélníku, Vilém, že jsou to 2 4 obdélníku, Walter tvrdí, že jsou to 3 6 obdélníku a Xaver, že je to 6 12 obdélníku. Jak to vlastně je? 3 Kolik minut je: 1 2 hod; 3 4 hod; 1 3 hod; 2 3 hod; 1 5 hod; 2 5 hod; 3 5 hod; 4 5 hod? 4 Jakou částí hodiny je: a) 10 min; b) 20 min; c) 25 min; d) 35 min; e) 6 min; f) 12 min; g) 18 min; h) 24 min; i) 30 min; j) 36 min? Hledej více řešení. Najdi zlomek, který je zapsán co nejmenšími čísly. 5 V košíku byly hrušky. Vzal jsem z nich 2 5. Zůstalo jich tam 6. Kolik hrušek jsem vzal? 6 * V košíku byly hrušky. Odebral jsem z nich třetinu a 8 jich tam zůstalo. Kolik by jich tam zůstalo, kdybych si z nich vzal a) polovinu, b) čtvrtinu? 7 * Myslím si číslo. Jeho dvě třetiny jsou o 11 více než jeho polovina. Které číslo si myslím? 36 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

37 8 Vysvětli mladšímu kamarádovi, co znamená, když se řekne: a) Tyč je 1,4 m dlouhá. b) Banán stojí 5,60 Kč. c) Teplota vody je 18,9 C. d) Koupil jsem 0,20 kg salámu. e) Praha má 1,3 milionu obyvatel. 9 Co je víc 1,4 m nebo 1,40 m? Vysvětli. Čísla uvedená v předchozích dvou cvičeních nazýváme desetinná. Číslo 1,4 čteme: jedna celá čtyři desetiny Platí též: 0,01 = 100 (jedna setina) a 0,43 = 100 (čtyřicet tři setin). Číslo 1,76 čteme: jedna celá sedmdesát šest setin. 10 Uspořádej čísla od nejmenšího k největšímu. 0,22 0,2 0,02 0, Přerýsuj na papír stupnici z obrázku. Zaznamenej na ni všech 7 čísel ze cvičení 10. V případě potřeby stupnici rozšiř. 12 Vypočítej. 0,15 0,2 0,25 0,6 + 0,1 0,9 + 0,8 1,5 + 0,5 19,9 + 0,1 303,3 + 77,7 0,6 0,1 0,9 0,8 1,5 0,5 19,1 0,9 303,3 77,7 13 Doplň. 1,3 0,6 2,5 1,2 1,9 5 1,6 3,3 7 8,5 13,8 2 4,5 1, Vyřeš pavučinu, když víš, že: a) nejmenší číslo je 0, největší je 2,1; b) nejmenší číslo je 1,1 a součet všech čtyř čísel je 6,2; c) součet dvou největších čísel je 14,4. Hledej všechna řešení s nezápornými čísly. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 37

38 15 Vrať čísla do výpočtů. 0,7 7,4 4,7 + = 12,1 8,3 = 2 + = 7,7 0,9 9,2 3,5 16 Rozděl tucet čísel do čtyř skupin. V každé skupině bude jedno žluté, jedno modré a jedno červené číslo. Součet čísel v každé skupině bude 6. 3,1 0,7 6 = ,3 3,4 2 0,2 2,43 0,76 a) 3,7 1 b) 2,4 c) 4,2 1,3 4,1 0,8 1 0,17 1,6 0,4 2,1 0,9 4,8 3,5 2,2 4,1 0,2 5,1 0,3 0,4 2,25 1,14 0,7 0,9 4,7 2,15 17 Doplň čísla do prázdných polí tak, aby součet tří čísel v každých třech sousedních polích byl 3. 0,1 1,4 0, Zapiš desetinným číslem: a) polovinu každého z čísel ,2 7,8 2,22 2,3 2,7; b) čtvrtinu každého z čísel 1,2 2,4 3,2 4,44 2,0 1,0; c) třetinu každého z čísel 0,9 2,4 3,9 4,2 0,21 1,44; d) pětinu každého z čísel 1 2 1,5 2,5 0,1 0,2 0, Uspořádej čísla od nejmenšího k největšímu. Čísla znázorni na číselné ose ,04 0, , ,4 0,25 20 Najdi obvod každého z pěti obdélníků na obrázku. 5 1,5 4,3 2,7 21 Hynek tvrdí, že obsah zeleného obdélníku vypočítá vynásobením S = 5 4,3 = 21,5. Má Hynek pravdu? Najdeš obsahy dalších tří obdélníků? 22 Celá trasa dnešního výletu je dlouhá 11,6 km. Už jsme ušli 6,7 km. Kolik kilometrů máme ještě před sebou? Jak dlouho bude trvat výlet, když naše průměrná rychlost, včetně přestávek, je 1 km za 20 minut? 38 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

39 Regina zjistila pomocí ciferníku, že + =. Sabina zjistila pomocí kalkulačky, že = 0,9. Jsou oba výpočty správné? Vypočítej pomocí ciferníku a) + b) + c) K Leona našla trik, jak sečíst zlomky, které mají v čitateli K Prý to platí i pro rozdíl. Ukázala to na příkladech: Je trik Leony správný? a = = = = Například: nebo Je to pravda? = = = = Přemysl tvrdí, že ze čtyř po sobě jdoucích číslech mohu vždy vybrat dvě taková, aby jejich součet byl dělitelný číslem 7. Má Přemysl pravdu? Rozšiřující učivo Baltazar objevil, že 3 < 1. Paní učitelka jej požádala, aby svůj objev ukázal třídě. 3 Spolužáci si mysleli, že se jedná o žert, ale Baltazar to myslel vážně. Napsal 3 = 3 1 a zeptal se, zda s tím třída souhlasí. Nikdo neoponoval. 3 3 Pomocí kalkulačky zjistil, že 1 = 0, a napsal to na tabuli. 3 Pak toto číslo zapsal do jiné kalkulačky a vynásobil číslem 3. Na displeji se objevilo 0, Toto číslo napsal na tabuli a řekl: To je méně než 1. Co si o tom myslíš? Chvíli bylo ticho. Pak ale Evelína řekla, že na její kalkulačce to vychází dobře a že Baltazar má špatnou kalkulačku. Několik žáků opakovalo výpočet na svých kalkulačkách nebo mobilních telefonech. Někomu vyšlo 1 a někomu 0, Nik řekl: Ty devítky pokračují i za displejem, je jich nekonečně. Baltazar odpověděl: 1 > 0, , i když je tam devítek nekonečně. Evelína řekla: 0, = 1 a zeptala se paní učitelky, zda má pravdu Baltazar, nebo ona. Paní učitelka řekla: To je výborná otázka. Společně budeme hledat řešení. 39

40 Objem, povrch Tělesa budeme měřit pomocí těchto jednotek: Jednotkou délky je centimetr (cm) nebo milimetr (mm). Jednotkou obsahu je čtvereční centimetr (cm 2 ), tj. obsah čtverce o straně 1 cm, nebo čtvereční milimetr (mm 2 ), tj. obsah čtverce o straně 1 mm. Jednotkou objemu je kubický centimetr (cm 3 ), tj. objem krychle o hraně 1 cm, nebo kubický milimetr (mm 3 ), tj. objem krychle o hraně 1 mm. Běžná jednotka objemu je 1 litr, tj. 1 dm 3. Dodejme, že 1 cm = 10 mm, 1 cm 2 = 100 mm 2 a 1 cm 3 = mm 3. 1 Kvádr má rozměry 3 cm 1 cm 2 cm. Na obrázku je jeho síť. Urči povrch a objem kvádru. 2 Na obrázku je zvětšený tyčkový model našeho kvádru. Zjisti součet délek všech hran kvádru. Součet délek všech hran hranatého tělesa nazýváme kostra tělesa. 3 Zjisti objem, povrch i kostru hranolu o rozměrech (v centimetrech): a) 1 1 2; b) 1 1 3; c) 1 1 4; d) 1 1 5; e) 1 1 9; f) ; g) 1 1 v. 4 Krychlová tělesa na plánech jsou vytvořena z krychlí o objemu 1 cm 3. Zjisti objem, povrch i kostru krychlových těles A až H A B C D E F G H * 40 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

41 5 Krychle ABCDEFGH o hraně 24 mm je rovinou ACGE rozdělena na dva trojboké hranoly. Kolik má hranol ABCEFG vrcholů, kolik hran a kolik stěn? E H F G 6 Vytvoř síť i model hranolu ABCEFG ze cvičení 5. 7 K Zjisti a vypočítej kostru, povrch i objem hranolu ze cvičení 5. D C A B Trojboký hranol je těleso ohraničené dvěma shodnými trojúhelníky horní a dolní podstava hranolu a třemi bočními stěnami, které jsou buď obdélníky, nebo čtverce. Tyto tři stěny tvoří plášť hranolu. Těleso má šest podstavných hran (to jsou strany podstav) a tři boční hrany. Délka boční hrany je výška hranolu. 8 Vytvoř síť i model trojbokého hranolu ABCEFG, jehož výška je a) 20 mm, b) 30 mm, c) 40 mm a podstavy ABC i EFG jsou pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky s přeponou AC (EG) o délce 41 mm. 9 Zjisti a vypočítej kostru, povrch i objem trojbokého hranolu ze cvičení Vytvoř síť i model trojbokého hranolu, jehož výška je 30 mm a podstava je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 18 mm a 24 mm. 11 Zjisti a vypočítej kostru, povrch i objem trojbokého hranolu ze cvičení Vytvoř síť trojbokého hranolu, jehož každá hrana má délku 30 mm. 13 Zjisti a vypočítej kostru, povrch i objem hranolu ze cvičení Vytvoř síť i model trojbokého hranolu, jehož podstava je trojúhelník o stranách 26 mm, 28 mm a 30 mm a výška je 25 mm. Vypočítej kostru, povrch i objem hranolu ze cvičení 14. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 41

42 15 Vytvoř síť i model tetraedru o hraně 82 mm. 16 Vytvoř model čtyřstěnu ABCF, jehož zmenšená síť je načrtnuta na obrázku. Je to část krychle ABCDEFGH o hraně 58 mm. 17 Slož krychli ze čtyř trojbokých jehlanů vytvořených ve cvičení 16 a jednoho tetraedru vytvořeného ve cvičení 15. F Připomeneme, že tetraedr je pravidelný čtyřstěn každá jeho stěna je rovnostranný trojúhelník. C 18 Čtyřboký jehlan ABCDH je částí krychle ABCDEFGH o hraně 41 mm. Zmenšená síť jehlanu je na obrázku. H Sestroj model tohoto tělesa. A 19 Zjisti povrch i kostru jehlanu ABCDH ze cvičení 18. B F F H H D A A 58 mm C 41 mm B D 71 mm H B C 20 Čtyřboký jehlan BCGFH je částí krychle ABCDEFGH o hraně 41 mm. Sestroj model jehlanu. Zjisti povrch i kostru jehlanu. 21 Čtyřboký jehlan ABFEH je částí krychle ABCDEFGH o hraně 41 mm. Sestroj model jehlanu. Zjisti povrch i kostru jehlanu. 22 Slož krychli ze tří jehlanů, které jsi vytvořil ve cvičeních 18, 20 a 21. Zjisti objem každého ze tří vytvořených jehlanů. H 23 Vytvoř síť i model čtyřbokého jehlanu, jehož všechny hrany mají stejnou délku 30 mm. 24 Dva jehlany, které jsi ty a tvůj kamarád vymodelovali ve cvičení 23, spojte podstavami tak, aby vzniklo těleso, které má 12 shodných hran a osm stěn, všechny jsou rovnostranné trojúhelníky. 42 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

43 25 Vrať čísla do výpočtů. 50 : = ( ) [1, 7, 7] 29 : = ( ) [3, 5, 8] 30 : = ( ) [3, 3, 9] Neposedové jsou v závorkách. 26 Narýsuj do centimetrové mříže trojúhelník KLM. Zjisti jeho obsah i obvod, když platí: a) K L M K; b) K (0, 0), L (3, 4), M (0, 4). 27 Autobus vyjel ze zastávky A a přes zastávky B, C, D dojel na konečnou E. Na každé ze zastávek A, B, C a D nastoupili 4 lidé. Na každé ze zastávek B, C a D vystoupil stejný počet lidí. Na zastávce E jich vystoupilo 7. Kolik lidí jelo v autobusu ze zastávky B do zastávky C? 28 Vypočítej. Výsledky seřaď od nejmenšího k největšímu ,4 + 3,7 20 3,7 102 : 6 29 Rozhodni, zda je výrok pravdivý. a) Otec mého rodiče je můj děda. b) Rodič mého otce je můj děda. Rozšiřující učivo 30 Na obrázku je síť tělesa, které má pět stěn: jeden čtverec, dva lichoběžníky a dva rovnostranné trojúhelníky. Těleso má devět hran, z nichž jedna má délku 50 mm a všechny ostatní 25 mm. Sestroj toto těleso. 31 Ze dvou těles sestrojených ve cvičení 30 slož tetraedr. 32 Znáš délku d, hloubku h i výšku v kvádru. Jak zjistíš jeho objem, povrch i kostru? 33 Jak zjistíš objem trojbokého hranolu, když znáš obsah S jeho podstavy i jeho výšku v? v 34 Jak zjistíš plášť, povrch i kostru trojbokého hranolu, když znáš obsah S jeho podstavy, délky všech tří podstavných hran a, b, c i jeho výšku v? d h ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 43

44 Rovnice I 1 Soutěže v běhu na lyžích se zúčastnilo 40 žáků ze tří pátých tříd. Ze třídy A jich bylo o jednoho více než ze třídy B, ale o pět méně než ze třídy C. Kolik žáků z každé třídy se zúčastnilo soutěže? Kamil si řekl, že třetina ze 40 je asi 13. Zkusil vzít 13 běžců ze třídy A. Pak by se ze třídy B zúčastnilo 12 běžců a z C 18. Součet = 43 je víc než 40. Proto snížil odhad v každé třídě o 1 a získal řešení: Ze třídy A bylo 12 běžců, ze třídy B 11, ze třídy C 17. Vanda řešila předchozí cvičení pomocí rovnice. Počet běžců ze třídy A označila x. Tedy x je číslo, které zatím neznáme a chceme je najít. Víme: 1) Běžců ze třídy B bylo o jednoho méně než x. Bylo jich x 1. 2) Běžců ze třídy C bylo o pět více než x. Bylo jich x ) Všech běžců bylo x + (x 1) + (x + 5), tedy x + x + x + 4, tj. 3x ) Celkem všech běžců bylo 40, odtud zápis 3x + 4 = 40. 5) Máme rovnici 3x + 4 = 40. Vyřešíme ji: 3x = 36, tedy x = 36 : 3 = 12. 6) Odpověď: Ze třídy A bylo 12 běžců, ze třídy B 11 a ze třídy C 17. 7) Kontrola: = Následující tři úlohy vyřeš i pomocí rovnice. * a) Eva je o 4 roky starší než Bětka. Dohromady jim je 22 let. Kolik je Evě? b) Tyč dlouhá 50 cm je natřena třemi barvami. Černá část je o 4 cm delší než bílá a o 9 cm delší než modrá část. Jak dlouhá je modrá část? c) Táta utratil za banány, švestky a jablka 91 Kč. Jablka stála o 6 Kč více než švestky a o 2 Kč více než banány. Kolik zaplatil táta za švestky? 3 Každou z rovnic přepiš pomocí čísel. Rovnice vyřeš. a) = b) = c) = 4 Přepiš hady do číselných rovnic. Rovnice vyřeš. Které řešení se ti více zamlouvá? Kamilovo, nebo Vandino? Proč? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

45 5 Rovnice přepiš do úlohy o myšleném čísle. a) 3x + 1 = 10 b) 5x + 1 = c) 3x + 2 = d) 4x + 4 = 20 6 Kolik váží koule? Popiš, jak jsi úlohu řešil. Úlohu přepíšeme do číselné rovnice. Váhu koule označíme x kg. Pak situaci na obrázku zapíšeme rovnicí: 2x + 1 = Kolik váží krychle? Kolik kvádr? Kolik válec? 8 Každou z úloh předchozího cvičení přepiš do číselné rovnice. Porovnej tyto číselné rovnice s těmi, které jsou ve cvičení 3, 4 a 5. 9 Číselnou rovnici 3x + 3 = 21 přepiš jako úlohu: a) o zvířátkách; b) o kuchyňských váhách; c) o hadech; d) o myšleném čísle. 10 Zvířátka dědy Lesoně vylepšila přetahovanou o novou věc: skupinky. Každá skupinka se skládala z kočky a masky. Tři takové skupinky tvořily červené družstvo a kůň se psem modré, stejně silné družstvo. Zjisti, které zvířátko je pod maskou. 11 Přepiš předchozí cvičení do číselné rovnice. Rovnici vyřeš. 12 Vyřeš rovnice. Pak přepiš do šipkových grafů a vyřeš. a) (x + 3) 2 = 3x + 1 b) (x + 3) 3 = 4x + 5 c) (x + 1) 4 = 3x + 10 d) (x + 1) 5 = 4x + 12 e) (x + 2) 3 = 4x 1 f) (x 3) 5 = 3x Které z číselných rovnic předchozího cvičení nelze přepsat do rovnice a) o zvířátkách, b) o dvoumiskových váhách, * c) o myšleném čísle? Proč to nelze? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 45

46 14 Vyřeš rovnice. a) (x + 2) 3 = 21 b) 4 (x + 3) = 48 c) (x + 4) 5 = 90 d) 6 (x + 5) = 126 e) (x + 6) 7 = 210 f) 9 (x + 7) = Doplň. a) 5 + = b) 91 3 = 90 c) 12 4 = 16 d) 15 : = 9 : 3 e) 3 ( + 2) = 3 (2 + 3) f) 4 (3 1) = 2 ( 2) 16 Obdélník je rozdělen na modrý čtverec a hnědý obdélník. Zjisti obvod o i obsah S každého z těchto tří čtyřúhelníků. Víš, že: x cm a) o hnědý = 20 cm; b) o modrý = 20 cm; c) o celý = 40 cm; d) S hnědý = 28 cm 2; e) S modrý = 64 cm 2; f) S celý = 32 cm 2. Je možné tyto geometrické úlohy řešit číselnou rovnicí? Jak? x cm 4 cm x cm 12 cm 17 Šestiúhelník je rozdělen na tři obdélníky. Víš, že obvod šestiúhelníku je 100 cm. Zjisti obvod i obsah všech tří obdélníků. 8 cm 18 Vytvoř pro kamaráda úlohu o šestiúhelníku ze cvičení 17. x cm 19 Do kružnice o poloměru 29 mm je vepsán šestiúhelník. Tři jeho strany mají délku 41 mm a další tři 15 mm. Narýsuj šestiúhelník. Hledej více řešení. U každého zjisti obvod šestiúhelníku. D C S B 20 Obvod šestiúhelníku je 60 cm. Má stejně dlouhé tři krátké strany a tři dlouhé strany, podobně jako ten na obrázku ze cvičení 19. Délka jedné jeho strany je: a) 6 cm; b) 8,1 cm; c) 3,3 cm. Urči délku každé jeho strany. E F A 21 Najdi a oprav chybu v sešitě bilandského žáka = = ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

47 22 Vyřeš šipkové grafy. a) b) c) d) Vyřeš rovnice. a) 2 (x + 4) = 4x + 2 b) 4x + 7 = 3 (x + 5) c) 5x + 3 = 3 (x + 5) d) 3x 8 = 2 (x + 1) Proč jsou výsledky těchto rovnic a výsledky cvičení 22 stejné? 24 Vypočítej pomocí ciferníku a) + b) + c) Rozšiřující učivo 25 Překresli pavučinu na papír a do pěti prázdných kruhů dopiš, co tam má být. Pak zjisti, jaký je součet a) tří spodních čísel, b) tří horních čísel, c) všech šesti čísel. Za x zvol postupně čísla 1, 2, 3, 4 a V pavučině zvol x tak, aby: a) součet tří spodních čísel byl 30, nebo 42; b) součet tří horních čísel byl 30, nebo 72; c) součet všech šesti čísel byl 51, nebo 99. x Hilda dala spor Baltazara a Evelíny dědečkovi a ten po dlouhém hraní si s kalkulačkou ukázal, že kalkulačka lže. Přesněji řečeno, zaokrouhluje. Naťukal do ní číslo 0, , stikl rovnítko a na obrazovce se objevilo číslo 1. Dodal, že kalkulačka neumí rozlišit číslo 0, od čísla 1. Tím spíše neumí rozlišit číslo 1 od čísla 0,999, kde je těch devítek nekonečně. Hilda ne zcela rozuměla, co jí děda říká, ale pak to přesně zopakovala ve třídě. Baltazar pochopil a zajásal, protože jeho teorie se zde potvrzuje. Jásal Baltazar oprávněně? 28 Sestav slovní úlohu, která vede k vyřešení rovnice: a) 2x + 3 = 9; b) 3x 1 = 14. Dědeček použil kalkulačku TI-81. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 47

48 Práce s daty 1 Byli jsme na čtyřdenním výletě. Ve čtvrtek jsme urazili 15 km, v pátek 17 km, v sobotu jen 11 km a v neděli 13 km. Amos vypočítal, že jsme urazili denně průměrně 14 km. Vysvětli, co tím Amos myslel. 2 V tabulce jsou uvedeny známky Alfonze, Báry, Cyrila, Dereka a Evy na pololetním vysvědčení ze čtyř předmětů. a) Jaká průměrná známka z těchto čtyř předmětů vychází každému ze žáků? b) Jakou průměrnou známku získalo těchto pět žáků v každém předmětu? c) Zjisti, jaký je průměr všech 20 uvedených známek. A B C D E Český jazyk Matematika Přírodopis Tělesná výchova Mám 15letého bratra. Náš věkový průměr je 13 let. Kolik mi je? 4 Jsem z dvojčat. Máme ještě jednu šestnáctiletou sestru. Věkový průměr nás tří je 12 let. Kolik mi je? 5 Tátovi je 40 let a mámě o 3 roky méně. Sestře je 10 let a věkový průměr nás čtyř je 25 let. Kolik mi je? 6 Florián řešil cvičení 5 výpočtem: já = ; = 100; = 13. Mně je 13 let. Rozumíš, jak to Florián řešil? 7 V roce 2020 bude Vítovi Klosovi 17 let. Věkový průměr Ivana a Víta bude 18,5 roku. Kolik let bude v roce 2020 Ivanovi? 8 Zjisti věkový průměr všech pěti vnoučat Anny Klosové v roce: a) 2011; b) 2012; c) * Rodiče Davida se jmenují Tomáš a Táňa Brody. Tomáš je o 3 roky starší než Táňa. Věkový průměr Tomáše, Táni a Davida v roce 2010 byl 61 let. Kolik let bylo v tom roce Tomášovi a kolik Táně? 10 * Každý den od pondělí do soboty jsem přečetl 20 stran. V neděli jsem jich přečetl tolik, že v tomto týdnu jsem měl denní průměr 21 stran. Kolik stran jsem přečetl v neděli? 48 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

49 11 Od pondělka do neděle jsme vždy v poledne měřili teplotu naším teploměrem na balkoně. Výsledky měření jsme zaznamenali do grafu. Přepiš tyto výsledky do tabulky. C Odpověz na otázky. a) Který den byla teplota nejvyšší a který 13 nejnižší? 12 b) Mezi kterými dvěma po sobě jdoucími dny došlo k největší teplotní změně? 11 c) O kolik to bylo stupňů? 10 d) Mezi kterými dvěma sousedními dny došlo 9 k nárůstu teploty? e) Jaká byla průměrná teplota v první části 8 týdne (Po, Út, St)? f) Jaká byla průměrná teplota v závěru týdne (Pá, So, Ne)? g) Jaká byla průměrná teplota v průběhu celého týdne? 13 Udělej si podobné šetření o změně teploty. Výsledky zaznamenej do grafu i tabulky. 14 Pět chlapců a pět děvčat změřilo svoji výšku i rozpětí paží. Výsledky zaznamenali do grafu. Modré tečky označují hochy, červené dívky. Co lze z grafu vypozorovat? výška rozpětí 14 Po Út St Pá So Ne chlapci dívky 15 Udělej podobné šetření s několika spolužáky. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 49

50 16 Mistrovství světa v atletice se od roku 1991 pořádá v každém lichém roce ,82 85,98 89,58 88,40 89,52 92,80 85,44 87,17 90,33 89,59 Z Wikipedie jsme vypsali výsledky hodu oštěpem v letech Tabulka uvádí vítězný hod měřený v metrech. Znázorni tyto údaje graficky. 17 Ve třech případech stál na nejvyšším stupni náš reprezentant. Zjisti jeho jméno a ve kterých letech to bylo. 18 * V hokejovém turnaji soutěžilo 12 družstev. Hrálo se systémem každý s každým na jedno utkání. Bylo sehráno 66 utkání. Z nich osm skončilo výsledkem 3:2. Výsledkem 2:1 skončila čtyři utkání a stejný počet utkání výsledkem 2:2 a 4:2. Všechny údaje jsou zaznamenány v tabulce. V grafu je uvedeno, kolik branek v kolika zápasech dali domácí. Počet Výsledky utkání utkání 8 3: :3 5 3:1, 2:4 4 2:1, 2:2, 4: :0, 4:3, 1:3, 2:3 2 4:0, 1:1, 3: :0, 1:0, 3:0, 5:0, 4:1, 5:1, 0:2, 1:2, 5:2, 0:3, 4:4, 7: Vytvoř tři podobné grafy. Do grafů uveď: a) kolik branek v kolika zápasech dostali domácí; b) kolik branek v kolika zápasech padlo; c) v kolika utkáních byl počet vstřelených branek minus počet obdržených branek domácího mužstva roven číslu 3, v kolika roven číslu 2, 19 a) Kdo je bratr dcery Vítova dědečka? b) Kdo je matka matky dcery Cyrila Klose? c) Kdo je otec otce syna Cecílie? 50 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

51 20 Doplň a) jednu šipku, b) právě tři šipky, c) nejvýše čtyři šipky, d) právě pět šipek tak, aby platilo: = Hledej všechna řešení. 21 Které číslo si myslím? Jeho čtyřnásobek je o 10 větší než jeho dvojnásobek. 22 Vytvoř násobilkový obdélník, jehož tři středová čísla jsou 28, 33 a Vyřeš šipkový graf, když číslo p je: a) 5; b) 7; c) Najdi tři čísla, když součet čísel cesty ve stovkové tabulce je: + p a) 37; b) 100; c) 280. Rozšiřující učivo Kiliána zaujala řada čísel 1, 2, 4, 8, 16, Znal ji z příběhu o vynálezci šachu. Hoch chtěl vědět, která číslice se v řadě objevuje nejčastěji. Zjistil, že v prvních pěti číslech se číslice 1 vyskytne dvakrát, každá z číslic 2, 4, 6 a 8 jednou a číslice 0, 3, 5, 7 a 9 se nevyskytnou. Pak vzal dalších pět čísel 32, 64, 128, 256, 512 a výsledky již zapsal do tabulky. Stejně doplnil ještě další dva řádky tabulky. Třetí pětice čísel byla 1 024, 2 048, 4 096, 8 192, a čtvrtá pětice byla , , , , součet prvních 5 čísel prvních 10 čísel prvních 15 čísel prvních 20 čísel Kilián se díval na výsledky a vyslovil tři domněnky: 1) Sudých číslic je stále víc než lichých. 2) Ze sudých číslic se nejčastěji vyskytne dvojka a nejméně často nula. 3) Z lichých číslic se nejčastěji vyskytne jednička. 25 Udělej podobnou tabulku pro prvních a) 25, b) 30, c) 35 čísel. Zjisti, zda Kiliánovy tři domněnky platí i v těchto případech. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 51

52 Konstrukce 1 Narýsuj kružnici m se středem S a poloměrem 29 mm. m: m = k (S, 29 mm) Bodem S veď přímku p. p: S p Bodem S veď přímku q kolmou na p. q: S q, p q Průsečíky přímky p a kružnice m označ A, C. A, C: p m = A, C Průsečíky přímky q a kružnice m označ B, D. B, D: q m = B, D Narýsuj úsečky AB, BC, CD, AD. Jaký útvar jsi narýsoval? 2 Zjisti velikosti všech šesti úseček určených body A, B, C, D. 3 Narýsuj dvě kolmé přímky a označ je a, b. a, b: a b Průsečík přímek a, b označ B. B: a b = B Sestroj kružnici m se středem B a poloměrem 24 mm. m: m = k (B, 24 mm) Průsečíky kružnice m a přímky a označ A a A. A, A : a m = A, A Průsečíky kružnice m a přímky b označ C a C. C, C : b m = C, C Sestroj kružnici n se středem C a poloměrem 24 mm. n: n = k (C, 24 mm) Sestroj kružnici p se středem A a poloměrem 24 mm. p: p = k (A, 24 mm) Kružnice p, n se protínají v bodě B a ještě v dalším bodě; ten označ D. D: D = p n, D = B Narýsuj úsečky CD, AD. Je čtyřúhelník ABCD čtverec? Zdůvodni. Následující tři cvičení se vztahují k obrázku, který jsi právě narýsoval. 4 Které čtyři body narýsovaného obrázku tvoří vrcholy čtverce o straně 34 mm? 5 Narýsuj kružnici h opsanou čtverci ABCD. Zjisti poloměr kružnice h. Popiš, jak jsi kružnici h sestrojil. 6 Pomocí jediné úsečky najdi střed H úsečky AB, tedy H = A-o-B. Přímka t se dotýká kružnice v bodě T. Nazývá se tečna. Bod T je bod dotyku. Tečna je kolmá na přímku p = ST. 7 Přerýsuj obrázek na čistý papír a svoji konstrukci popiš. p S k T t 52 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

53 8 Narýsuj stejný obrázek jako ve cvičení 1. Dorýsuj do něj tečnu a ke kružnici m v bodě A. Pak narýsuj další tři tečny b, c, d, které se kružnice m dotýkají v bodech B, C, D. Označ body K = a b, L = b c, M = c d, N = a d. Zjisti obvod čtyřúhelníku KLMN. L B K F E b 9 Do obrázku ze cvičení 8 dorýsuj na kružnici m bod E, který dělí oblouk (čtvrtkružnici) na poloviny. C A Stejně postupuj u bodu F, rozpul oblouk BC. Bodem G rozpul oblouk CD a bodem H S p rozpul oblouk AD. H M G m N 10 Narýsuj pravidelný osmiúhelník. D d Popiš, jak jsi postupoval. c q a 11 Je dána přímka t a na ní bod T. Existují dvě kružnice, které mají poloměr 25 mm a jichž se přímka t dotýká v bodě T. Narýsuj je. 12 Sestroj. q t U Q T V m S n W kružnici m kružnici n přímku q body Q, W bod T přímku t body U, V m: m = k (S, 20 mm) n: n = k (S, 40 mm) q: S q Q, W: Q, W q n T: T = S-o-Q (T je střed úsečky SQ) t: t = tečna kružnice m v bodě T U, V: U, V t n Když jsi rýsoval přesně, tak: 1) UVW je rovnostranný, UV = VW = WU ( 69 mm). 2) Kružnice n je opsaná UVW, prochází všemi jeho vrcholy. 3) Kružnice m je vepsaná UVW, dotýká se všech jeho stran. 13 Do centimetrové mříže narýsuj: ABC, kde jsou body A (4, 0), B (0, 3), C (0, 0); bod S (1; 1), bod Q = A-o-B; kružnice m = k (S, 1) a n = k (Q, 25 mm). ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 53

54 14 Obdélník má strany 35 mm a 12 mm. Změř délku úhlopříčky. 15 Rovnoramenný trojúhelník má základnu 56 mm a výšku na základnu 45 mm. Změř délku ramena. Ve cvičeních 14 až 23 narýsuj na čistý papír daný útvar a změř požadovanou délku. Popiš, jak jsi postupoval. 16 Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 48 mm a 20 mm. Změř délku přepony. 17 Kosočtverec má úhlopříčky 32 mm a 60 mm. Změř jeho obvod. 18 Obdélník má jednu stranu 36 mm a úhlopříčku 45 mm. Změř délku druhé strany. 19 Pravoúhlý trojúhelník má jednu odvěsnu 42 mm a přeponu 58 mm. Změř jeho obvod. 20 Rovnoramenný trojúhelník má základnu 48 mm a rameno 51 mm. Změř výšku na základnu. 42 mm 51 mm 58 mm 21 Obdélník má jednu stranu 45 mm a obvod 138 mm. Změř úhlopříčku. 22 Kosočtverec s úhlopříčkou 42 mm má obvod 140 mm. Změř druhou úhlopříčku. 48 mm 23 * Rovnoramenný trojúhelník má obvod 98 mm a jedna jeho strana měří 40 mm. Zjisti délky všech ostatních stran i výšku na základnu. 24 Vyřeš algebrogramy. a) (A + A + A) : A = A b) (BB + B) : B = AB c) AB : A = CC(C) 54 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

55 25 Vyřeš pavučinu, když číslo v prostředním kroužku je: a) 3; b) 5; c) 7; d) 9. Hledej více řešení. 26 Rozhodni, kdo mluví pravdu. 27 Součin čísel je 63, jejich rozdíl je 2. Která jsou to čísla? Rozšiřující učivo 28 V centimetrové mříži je vyznačen obdélník 10 1 a jeho úhlopříčka. Jiří tvrdí, že délka modré úsečky je 1 5 cm, délka červené jsou 2 5 cm, hnědé 3 5 cm, délka žluté 4 5 cm a fialové 5 cm, tedy 1 cm. Má Jiří pravdu? 5 Umíš tímto způsobem najít v obdélníku 5 2 úsečku o délce a) 2 5 cm, b) 1 5 cm? Veronika se vrátila ke cvičení 51/25 a pomocí 5 4 grafu si naznačila, jak postupovala číslice 2 (červeně), číslice 1 (zeleně) a číslice 6 (modře). 2 3 Překresli tento graf a doplň, jak postupovala 1 číslice ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 55

56 Biland a ciferník Základním stavebním kamenem mozku je neuron. Je to buňka, která buď spí, nebo bdí. Obrovské množství těchto buněk (u člověka asi miliard) je propojeno 1 000násobně větším množstvím drátů. Tento velice složitý systém nám umožňuje vnímat, mluvit, hýbat se i řešit matematické úlohy. Podobně pracují i počítače. I zde je propojeno mnoho buněk a každá v každém okamžiku buď spí, tzn. neprochází jí proud (to kódujeme číslicí 0), nebo bdí, tzn. proud jí prochází (to kódujeme číslicí 1). Pomocí dvou takových buněk můžeme kódovat čtyři čísla 0, 1, 2 a 3: číslo 0 = kód 00; číslo 1 = kód 01; číslo 2 = kód 10; číslo 3 = kód 11. Když máme pět takových buněk, můžeme kódovat čísla od 0 do 31: číslo Jeho kód číslo Jeho kód číslo Jeho kód číslo Jeho kód S tímto způsobem zápisu čísla, kterému říkáme dvojková soustava, jsme se setkali v pomyslné krajině Biland. Tam se platí groši. Nejmenší hodnotu má A-groš, za dva A-groše je jeden B-groš, za dva B-groše jeden C-groš,, za dva K-groše jeden L-groš, Například hodnotu 10 A-grošů lze platit jako D-groš + B-groš a hodnotu 25 A-grošů lze platit jako E-groš + D-groš + A-groš. Marek řekl, že to lze vyčíst z horní tabulky. 1 Jak Marek dokáže vyčíst z horní tabulky uvedené dva vztahy? 2 Vypočítej bilandsky, tedy ve dvojkové soustavě ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

57 3 Radim přinesl do třídy čtyři kouzelné kartičky. Pomocí nich uhodl, na které číslo si někdo myslí. Jako první si myslela paní učitelka a za Radimovými zády na prstech ukázala třídě číslo 9. Pak se Radim zeptal, kterými barvami je myšlené číslo obarveno. Paní učitelka řekla, že žlutou a zelenou. Radim ihned řekl, že si myslela číslo 9. Pak si i žáci mysleli svá čísla a Radim pokaždé uhodl správně žlutá Ž modrá M hnědá H zelená Z Uhodni, které číslo si myslím. V tabulce je obarveno: a) Ž + M; b) M + Z; c) Ž; d) M; e) H; f) Z; g) M + H; h) Ž + H; i) Ž + Z. 4 Najdi všechna čísla od 0 do 15, která jsou obarvena jen jedinou barvou. Napiš tato čísla bilandsky. 5 Najdi všechna čísla od 0 do 15, která jsou obarvena právě dvěma barvami. Napiš tato čísla bilandsky. 6 Najdi všechna čísla od 0 do 15, která jsou obarvena právě třemi barvami. Napiš tato čísla bilandsky. 7 * Vysvětli Radimovo kouzlo. Jak je možné z toho, že mi někdo řekne, kterými barvami je jeho myšlené číslo obarveno, určit skoro okamžitě, jaké je to číslo? 8 * Vytvoř sadu pěti barevných karet, pomocí kterých lze způsobem Radimova kouzla rychle uhodnout každé z čísel od 0 do Čísla 1, 10, 100, 1000,, tedy čísla, ve kterých je jediná číslice 1 a pak již jenom nuly, nazývají Bilanďané základní čísla. Číslo 6 se dá zapsat jako součet dvou základních bilandských čísel: Číslo 7 se dá zapsat jako rozdíl dvou základních bilandských čísel: Která z čísel 1 až 30 se nedají zapsat jako součet nebo rozdíl dvou základních bilandských čísel? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 57

58 10 Hodiny ukazují 11 hodin. Za dvě hodiny bude 1 hodina. V této ciferníkové aritmetice platí = 1, což můžeme zapsat i 1 2 = 11. Vypočítej v ciferníkové aritmetice Jan začal řešit vývojový diagram, ve kterém se pracuje s ciferníkovou aritmetikou. Práci nedokončil. V seznamu měl zapsáno 4, 9, 2, Začni. Zvol číslo od 1 do 12. Zapiš číslo do seznamu. Odečti 12. ANO Je číslo větší než 12? K poslednímu číslu v seznamu přičti 5. a) Dokonči Janův seznam. b) Vyřeš úlohu pro jiné vstupní číslo. c) Změň číslo 5 ve vývojovém diagramu na číslo 7, za vstupní číslo zvol 4 nebo 5 a napiš seznam. d) Změň číslo 5 ve vývojovém diagramu na číslo 11, za vstupní číslo zvol 4 nebo 5 a napiš seznam. ANO Konec NE Zapiš výsledek do seznamu. Jsou v seznamu dvě stejná čísla? NE 12 Vyřeš rovnice v ciferníkové aritmetice. x + 4 = 5 2x + 1 = 9 3x + 2 = 5 4x 1 = 11 x 9 = 3 2x 3 = 7 3x 3 = 3 4x + 1 = 5 x 9 = 4 2x + 12 = 2 3x + 4 = 1 4x 3 = 5 5 x = 2 2x + 1 = 8 3x + 1 = 12 4x + 2 = 3 13 Zde vidíme kousek tabulky ciferníkové násobilky. V pracovním sešitu 2 na straně 9 je připravena tabulka k doplnění. Vyplň ji. 14 Pokračuj v ciferníkové řadě čísel 1, 3, 6, 10, 3, 9, 4, 12, 9, 7, tak dlouho, až se v ní objeví počtvrté číslo 12. Řada je tvořena postupným přičítáním čísel 1, 2, 3, 4, ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

59 15 Vyřeš výstaviště. Najdi všechna řešení Najdi ve stovkové tabulce dvě různé cesty od čísla 71 k číslu 53, jejichž součet je stejný. Každá z hledaných cest obsahuje pět čísel. 17 Obvod modrého obdélníku je 22 cm. Obsah žlutého čtverce je 16 cm 2. Zjisti, jaký je obvod i obsah celého obdélníku. 18 Součet všech šesti čísel součtového trojúhelníku je 28. Součet tří čísel prvního řádku je 6. Sestroj tento součtový trojúhelník. Najdi dvě řešení. 19 Sestroj kosočtverec s úhlopříčkami 4 cm a 4,2 cm. Zjisti jeho obvod. 20 Najdi všechna čísla od 100 do 200, která při dělení číslem 11 mají zbytek Najdi všechna čísla od 100 do 200, která při dělení čísly 11 a 13 dají pokaždé zbytek 1. Rozšiřující učivo 22 Trpaslíci si rozdělili den na 7 hodin. Ciferník jejich hodin měl jen 7 čísel. V jejich ciferníkové aritmetice platí, že: = 1; = 2; 1 2 = 6. Napiš tabulku násobilky pro ciferníkovou aritmetiku trpaslíků. 23 Do sporu Baltazara a Evelíny o tom, zda je 0,9999 = 1, nebo 0,9999 < 1 (viz strana 39 a 47) přinesl novou myšlenku Baltazar. Zeptal se Evelíny, zda podle ní je číslo 1 0,9999 kladné. Ona řekla, že je. Pak Baltazar vítězně požádal Evelínu, ať to číslo napíše. Evelína to neuměla. Umíš jí poradit? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 59

60 Písemná práce Na řešení celé písemky je 40 minut, kalkulačka není povolena. 1 Po snížení cen stojí počítač Kč. Kolik stál původně, Bodování když cena byla snížena: a) o polovinu; [3] b) o třetinu; [4] c) o pětinu a pak ještě o 160 Kč. [6] 2 Žáci hráli hru tleskni dupni. Zjisti, kolikrát se tlesklo, kolikrát duplo, kolikrát se zároveň tlesklo i duplo, když hráli: a) tleskni 2, dupni 5 a napočítali do 42. [3] b) tleskni 3, dupni 5 a napočítali do 89. [4] c) tleskni 6, dupni 8 a napočítali do 160. [5] 3 Kolik cm je: a) 1 m + 5 cm + 3 dm; [3] b) 7 dm + 4 dm a 6 cm + 2 m a 5 cm; [4] c) 0,36 km + 52 cm m + 5 dm. D [5] F 4 Zjisti obsah: a) rovnoramenného trojúhelníku; C [3] b) lichoběžníku; [4] A E c) nekonvexního šestiúhelníku. [5] B 5 Vypočítej. Dělení v úlohách b) a c) je dělení se zbytkem. a) ; : 6; (420 : 70); 5,2 + 4,6 0,9 [6] b) (210 10) + (127 36); : 12; 0,36 + 9,6 4,06 [7] c) ( ); : 26; (0,37 + 4,16) (1,03 + 2,4) [8] 6 Adam, Cyril a Boris mají dohromady 102 Kč. Kolik korun má Adam, kolik Boris a kolik Cyril, jestliže všichni tři budou mít stejně, když: a) Adam dá 3 Kč Cyrilovi. [3] b) Boris dá polovinu svých peněz Cyrilovi. [4] c) Adam dá třetinu svých peněz Borisovi. [5] 7 Zjisti objem a povrch tělesa a) b) c) [3] [4] [5] 60 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

61 Vennův diagram Na obrázku je Vennův diagram. Do něj jsou vložena čísla 6, 7, 12 a 13. Číslo 6 je sudé a jednomístné, proto je ve fialové oblasti, která je průnikem obou oválů. Číslo 7 je jednomístné a není sudé, proto je zapsáno v modré oblasti. Číslo 12 je sudé a není jednomístné, proto je zapsáno v červené oblasti. Číslo 13 není ani sudé, ani jednomístné, proto je zapsáno v šedivé oblasti, mimo oba ovály jednomístná 12 sudá 1 Překresli horní diagram a vlož do něj čísla 8, 9, 10, Překresli diagram z horního obrázku. K červenému oválu napiš ČENĚK, k modrému MICHAL. Do červené oblasti diagramu zapiš věci, které má Čeněk, ale nemá Michal. Do modré věci, které má Michal, ale nemá Čeněk. Do fialové zapiš věci, které mají oba dva. Do šedivé, které nemá ani Michal, ani Čeněk. Seznam věcí, které máš zapsat: zelené tenisky (ZT), černé tenisky (ČT), modré kalhoty (MK), žluté kalhoty (ŽK), žlutá mikina (ŽM), červená mikina (ČM), červená čepice (ČČ). 3 Překresli diagram z horního obrázku. K modrému oválu napiš PĚTIPÍSMENNÁ SLOVA a k červenému PODSTATNÁ JMÉNA. Do diagramu zapiš těchto šest slov: kočka, modrá, pravítko, matematika, krásný, brýle. 4 Do diagramu ze cvičení 3 dopiš dalších šest slov tak, aby v každé jeho oblasti byl stejný počet slov. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 61

62 5 Vennův diagram utvořený ze tří kruhů dělí čtverec na osm oblastí. Vyjmenuj je podle barev. Diagram překresli. Pak do něj vlož sedm věcí z cvičení 2: ZT, ČT, MK, ŽK, ŽM, ČM a ČČ. Nakonec vlož i hnědé kalhoty (HK), které má na sobě Žofie. Michal Čeněk Žofie 6 Překresli diagram ze cvičení 5. K modrému kruhu napiš SLOVO MÁ PĚT PÍSMEN, ke žlutému SLOVESO a k červenému SLOVO OBSAHUJE PÍSMENO n. Do diagramu vlož těchto deset slov: kočka, modrá, běhat, pravítko, vynášet, matematika, krásný, snaha, brýle, nosit. 7 Dopiš do diagramu ze cvičení 6 další slova tak, aby v každé jeho oblasti byl stejný počet slov. 8 Překresli diagram ze cvičení 5. K modrému kruhu napiš DĚLITELNÉ TŘEMI, k červenému DĚLITELNÉ PĚTI a ke žlutému TROJMÍSTNÉ. Do diagramu vlož těchto osm čísel 25, 345, 346, 58, 64, 255, 30, Doplň do diagramu ze cvičení 8 další čísla tak, aby v každé jeho oblasti byl stejný počet čísel. 10 Vytvoř podobnou úlohu. Nejprve použij diagram se dvěma kruhy, pak diagram se třemi kruhy. 62 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

63 Každý občan ČR má vlastní rodné číslo, které nemá žádná jiná osoba. Prvních šest číslic označuje datum narození ve formátu RRMMDD (R = rok, M = měsíc, D = den). Například číslo patří muži narozenému 24. července Žena narozená týž den má číslo K číslu měsíce se přičte 50. Rodné číslo člověka může být zneužito, proto jde o chráněný údaj. Mnohdy tímto číslem člověk prokazuje svoji totožnost. Někdy se tě pod různými záminkami na něj může zeptat neznámý tazatel prostřednictvím mailu nebo SMS zprávy. V těchto případech se vždy poraď s rodiči. 11 Zjisti, jaké máš rodné číslo. Jaké rodné číslo mají tvoji rodiče? 12 Urči datum narození každého ze sedmi členů rodiny Klosových, když víš, že: a) u pěti členů začínají rodná čísla šestičíslím , , , , ; b) u dvou dalších členů rodiny znáš alespoň čtyřčíslí (MMDD) 0229, Víš, že Ivan se narodil v úterý. Zjisti den týdne, v němž se narodila Hanka, a den, v němž se narodil Vít. 14 Zjisti, kolik dnů po Cyrilovi se narodila Cecílie, kolik dnů po ní se narodila Hanka. Kolik dnů po Hance se narodil Ivan a kolik dnů po Ivanovi se narodil Vít. Za šestičíslím (RRMMDD) v rodném čísle následuje lomítko a za ním ještě další čtyři číslice. Přitom celé dlouhé desetimístné číslo (bez lomítka) musí být dělitelné číslem 11. To je kontrola případné chyby v rodném čísle. 15 Urči poslední číslici rodného čísla: a) /607 ; b) / K chybnému určení pohlaví občana došlo u některých z následujících tří rodných čísel. U kterých? a) b) c) ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 63

64 Řady 1 Z obrázku vidíme, proč se číslům 1, 4, 9, 16, říká čtvercová. První čtyři čtvercová čísla známe. Které bude páté čtvercové číslo? A které šesté? Nakresli k těmto číslům obrázky. 2 K Napiš prvních patnáct čtvercových čísel. Zjisti dvacáté čtvercové číslo. Řekni, jak jsi dvacáté číslo hledal. 3 Číslům 1, 3, 6, 10, 15, říkáme čísla trojúhelníková. Nakresli obrázek k šestému, sedmému a osmému trojúhelníkovému číslu. 4 K Napiš prvních patnáct trojúhelníkových čísel. Zjisti dvacáté trojúhelníkové číslo. Řekni, jak jsi dvacáté číslo hledal. 5 K Zjisti, jak se v řadě a) čtvercových, b) trojúhelníkových čísel střídají lichá a sudá čísla. 6 K Laura tvrdí, že každé sudé čtvercové číslo je dělitelné čtyřmi. Má pravdu? 7 K Kim tvrdí, že součet dvou po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel je číslo čtvercové. Má pravdu? Ale platí to vždy? 8 K Je pravda, že součet několika prvních přirozených čísel je vždy číslo trojúhelníkové? Pro = 15 to platí. Ale platí to vždy? 9 K Je pravda, že součet několika prvních lichých čísel je vždy číslo čtvercové? Pro = 16 to platí. Ale platí to vždy? 64 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

65 10 Mirek řešil vývojový diagram. Z nabídky zvolil číslo 80 a zapsal je do seznamu. Měl rozhodnout, zda poslední číslo seznamu (PČS) je sudé. Zjistil, že je sudé. Vydělil je tedy 2. Dostal 40. To zapsal do seznamu. Do kódu napsal čárku. Práci však nedokončil. Udělej to za něj. Nabídka: 16, 20, 25, 32, 40, 64, 80, 100, 125, 128, 160, 320, 400, 500. Seznam: 80, 40, Kód: Zvol číslo z nabídky. Zapiš číslo do seznamu. Je PČS sudé? ANO Zapiš číslo PČS : 2 do seznamu. Do kódu napiš čárku. NE Začni. Konec NE Končí PČS číslicí 5? ANO Zapiš číslo PČS : 5 do seznamu. Do kódu napiš kolečko. 11 Vyřeš vývojový diagram pro čísla: a) 100; b) 32; c) 125; d) Zjisti, jaký mi vyšel kód, když můj seznam byl: a) 125, 25, 5, 1; b) 160, 80, 40, 20, 10, 5, 1. Zkoušel jsem další čísla, která nejsou v nabídce. U jednoho z nich, které bylo větší než 100, ale menší než 150, mi vyšel kód. Víš, jaké číslo jsem zvolil? 13 Zjisti, které číslo jsem zvolil, když mi vyšel kód: a) ; b) ; c) ; 14 K * Najdi jednoduché pravidlo, jak ze známého kódu zjistíš zvolené číslo. 15 Zvídavý Radim zvolil na začátku číslo 300, které není v nabídce. Jaký seznam a kód mu vyšel? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 65

66 Trojici kladných celých čísel nazýváme triáda, když první číslo je menší než druhé a třetí je součtem dvou předchozích. Například (5, 7, 12), (1, 9, 10) i (1, 2, 3) jsou triády, ale (2, 3, 4) ani (5, 2, 7) triády nejsou. Součet všech tří čísel triády je váha triády. Váha triády (2, 5, 7) je Doplň čísla do triád: a) (5, 6, ); b) (, 9, 10); c) (3,, 7). 17 Najdi triádu, jejíž váha je 10. Hledej více řešení. Triáda (2, 5, 7) a triáda (2, 3, 5) mají dvě čísla společná: 2 a 5. Takové triády jsou spřízněné. Ta s menší váhou se nazývá rodič a ta s větší váhou potomek. Triáda (2, 3, 5) má ještě jednoho potomka, je to (3, 5, 8). 18 Najdi oba potomky triády: a) (1, 2, 3); b) (1, 3, 4); c) (3, 4, 7); d) (2, 7, 9). 19 Najdi rodiče triády: a) (1, 4, 5); b) (2, 5, 7); c) (3, 7, 10); d) (4, 7, 11). Potomek potomka je prapotomek. 20 Najdi všechny prapotomky triády: a) (2, 3, 5); b) (2, 5, 7); c) (1, 8, 9). Dvě triády, které mají společného rodiče, se nazývají sourozenci. Například triády (3, 8, 11) a (5, 8, 13) jsou sourozenci. 21 Najdi sourozence triády: a) (1, 4, 5); b) (2, 5, 7); c) (3, 7, 10); d) (4, 7, 11). 66 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

67 22 Překresli a doplň tabulku jízdy autobusem. Víme, kdy nastupovaly ženy, ale nevíme, kdy nastupovali muži. Víme, kdy vystupovali muži, ale nevíme, kdy vystupovaly ženy. Víme, že při jízdě autobusu v něm bylo pokaždé stejně žen jako mužů. A B C D E V 0 N 0 J C Tři rohová čísla násobilkového obdélníku jsou 2, 3 a 6. Součet čtyř středových čísel je: a) 35; b) 56; c) 99. Najdi tento obdélník. 24 K Doplň do žlutých polí čísla. a) 2 6 : 11 = b) 4 6 : 16 = c) 3 : 5 = (1) d) 1 : 8 = (1) e) 2 : 17 = (1) f) 2 1 : 3 = 2 (8 ) * 25 Na číselné ose jsou vyznačeny dva zlomky. Najdi, kde leží čísla: 0; 1; 3 4 ; 1 8 ; 7 8 ; Rozšiřující učivo 26 Pokračuj v řadě. Najdi dalších sedm čísel Tato řada se nazývá podle italského matematika Fibonacciho (čti fibonačiho) ze začátku 13. století. 27 Řada rychle roste. Stovku přesáhne dvanácté číslo řady, tisícovku sedmnácté. Které číslo řady přesáhne ? A které ? 28 Zjisti, která čísla této řady jsou dělitelná číslem: a) 2; b) 5; c) 3; d) Sleduj: = 1; = 1; = 1; = 1. Jak to pokračuje dále? * ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 67

68 Pravděpodobnost a náhoda 1 Hodím mincí. Myslíš, že je pravděpodobnější, že padne orel o, nebo panna p? Řehoř hodil mincí desetkrát a padlo mu o, p, p, p, p, o, o, p, p, p. Řekl: Pravděpodobnější je, že padne panna. Souhlasíš s ním? 2 Kámen položím na modré pole. Hodím mincí. Padne-li o, jdu jeden krok vpravo. Padne-li p, jdu jeden krok dolu. To opakuji a dojdu na jedno z polí A, B, C. Aleš hodil o, o a došel na C. Beáta hodila p, o a došla na B. Cyril hodil o, p a došel na B. Myslíš, že je pravděpodobnější, že dojdeš na A, na B, nebo na C? p A o B C 3 Julie řekla, že když pokus zopakujeme čtyřikrát, tak bude spravedlivé, když jednou padne o, o, jednou o, p, jednou p, o a jednou p, p. Tedy ze čtyř případů v jednom skončím na poli A, v jednom na poli C a ve dvou na poli B. Kdybychom udělali 40 pokusů, tak asi v deseti případech skončíme na A, v deseti případech na C a ve dvaceti případech na B. Souhlasíš s Julií? 4 Julie a její čtyři kamarádky udělaly 400 pokusů a výsledky potvrdily to, co Julie předpověděla: 98krát padlo o, o; 107krát padlo o, p; 99krát padlo p, o a 96krát padlo p, p. Udělej spolu s kamarády podobný pokus. 5 Pavel, bratr Julie, vytvořil na počítači program, který ve vteřině udělá milion náhodných hodů. Pomocí počítače jsme pak udělali tuto tabulku. Co tato tabulka říká? Počet hodů Skončili jsme v A Skončili jsme v B Skončili jsme v C o 6 Hřiště ze cvičení 2 zvětšíme o další koncové pole. D Mincí budeme házet třikrát. Jak to bude teď? p C Jaká je pravděpodobnost, že dojdu na pole a) A, b) B, c) C, d) D? B A 7 * Prozkoumej případ, když hřiště bude mít pět koncových polí (A, B, C, D, E) a z modrého pole na koncové se dostanu pomocí čtyř hodů. 68 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

69 8 Mám dvě hrací kostky. První je běžná, na druhé jsou místo teček písmena a, b, c, d, e, f. Hodím obě kostky. Když padne číslo 4 a písmeno b, postavím krychli na pole 4b. Xaver to udělal dvacetkrát a získal zápis: 4b, 5d, 6d, 2a, 4f, 5b, 4f, 2e, 6d, 2c, 1e, 6f, 4a, 5b, 1c, 3d, 4f, 1e, 6a, 3b. Podle zápisu postavil staveniště, které je na fotografii. Vytvoř plán staveniště. Zapiš do tabulek rozložení krychlí podle sloupců i podle řádků. Počet krychlí ve sloupci a b c d e f 3 4 Počet krychlí v řádku Jan, Ken i Lída si také postavili podle zápisů svá staveniště. Zápis Jana: 4c, 1b, 5c, 1e, 6d, 5e, 6c, 1c, 1a, 3f, 6a, 3a, 6c, 2a, 6a, 4d, 6a, 4a, 4e, 1c. Zápis Kena: e5, d6, d2, d3, d5, b4, b1, e4, e3, b6, d3, b1, a1, e1, c6, b2, d5, a4, f2, a5. Zápis Lídy: 5e, 2d, 4d, 3c, 2c, 3b, 3b, 5f, 1b, 1c, 4d, 4d, 4b, 6c, 6f, 2f, 3b, 1b, 1f, 6b. Postav alespoň jedno ze tří stavenišť, vytvoř jeho plán a zapiš rozložení krychlí podle sloupců i podle řádků. 10 Když v zápisu Xavera ve cvičení 8 zaměním písmena takto: a f, b e, c d; dostanu nový zápis: 4e, 5c, 6c, 2f, 4a, 5e, 4a, a) Dokonči nový zápis a postav podle něj staveniště. b) Jak se původní Xaverovo staveniště liší od toho, co jsi teď postavil? 11 Když v zápisu Xavera zaměním čísla takto: 1 6, 2 5, 3 4; dostanu nový zápis: 3b, 2d, 1d, 5a, 3f, 2b, 3f, a) Dokonči nový zápis a postav podle něj staveniště. b) Jak se původní Xaverovo staveniště liší od toho, co jsi teď postavil? 12 Když v zápisu Xavera zaměním písmena jako ve cvičení 10 a čísla jako ve cvičení 11, dostanu nový zápis: 3e, 2c, 1c, 5f, 3a, 2e, 3a, a) Dokonči nový zápis a postav podle něj staveniště. b) Jak se původní Xaverovo staveniště liší od toho, co jsi teď postavil? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 69

70 13 Hodím dvěma hracími kostkami. Čísla, která padnou, sečtu a na toto pole postavím krychli. Například, když padne 3 a 6, postavím krychli na pole 9. Pokus opakuji dvacetkrát Dostanu staveniště z 20 krychlí. Odhadni, kolik z nich bude v modré části, kolik ve žluté, kolik v hnědé a kolik v zelené. Pak pokus proveď a ověř, jak přesný byl tvůj odhad. 14 Pavel nám dal z počítače seznam 144 hodů. Jak je možné zpracovat tento soubor dat? (1, 6), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (5, 3), (4, 1), (3, 1), (2, 6), (5, 5), (1, 3), (6, 4), (5, 4), (2, 6), (6, 6), (3, 6), (2, 2), (6, 6), (6, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 1), (2, 1), (6, 3), (4, 6), (4, 3), (2, 6), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (2, 5), (2, 2), (1, 5), (3, 5), (5, 6), (3, 4), (5, 2), (1, 3), (4, 5), (1, 5), (1, 3), (6, 3), (4, 5), (2, 5), (5, 2), (6, 6), (5, 6), (1, 6), (4, 3), (6, 1), (1, 2), (2, 6), (2, 1), (4, 2), (2, 3), (1, 5), (2, 5), (2, 2), (5, 6), (1, 1), (6, 6), (4, 6), (6, 1), (5, 4), (5, 5), (1, 4), (1, 4), (5, 3), (2, 5), (6, 5), (4, 1), (5, 2), (5, 1), (6, 3), (6, 1), (2, 2), (1, 2), (3, 2), (2, 5), (5, 5), (6, 6), (6, 5), (1, 6), (2, 1), (1, 4), (2, 1), (1, 2), (4, 4), (3, 3), (4, 5), (1, 4), (1, 5), (3, 2), (2, 1), (6, 1), (4, 3), (1, 2), (5, 3), (3, 2), (6, 3), (5, 6), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 2), (3, 3), (6, 2), (4, 1), (5, 3), (3, 4), (5, 4), (6, 2), (3, 5), (6, 4), (4, 2), (4, 1), (1, 1), (5, 5), (2, 6), (1, 1), (4, 1), (1, 6), (4, 4), (4, 3), (2, 5), (3, 2), (6, 3), (2, 3), (2, 6), (4, 5), (6, 1), (2, 4), (5, 3), (3, 6), (6, 5), (4, 6), (4, 6), (4, 5), (6, 2), (1, 2), (3, 2), (4, 4), (3, 1), (5, 5), (4, 3). 15 Stejnou hru jako ve cvičení 13 hrajeme se třemi hracími kostkami. Například, když padne 5, 2 a 4, tak na pole 11 postavím krychli. Pokus opakuji dvacetkrát Odhadni, kolik krychlí bude v jednotlivých barevných částech tabulky. Pak pokus proveď a ověř, jak přesný byl tvůj odhad. 16 Udělej odhad pro soubor veškerých pokusů všech žáků. Například, když je ve třídě 22 žáků, bude staveniště obsahovat 440 krychlí. Pak porovnej, jak přesný byl tvůj odhad. 70 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

71 17 Ze součtového trojúhelníku uteklo devět čísel. Vrať je zpět. 5 a) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 24; b) 1, 3, 4, 8, 11, 13, 15, 24, Najdi sourozence triády: a) (1, 5, 6); b) (2, 3, 5); c) (4, 6, 10); d) (5, 7, 12). 19 Které bilandské číslo je před a které za číslem a) 101, b) 1000? 20 Najdi další čtyři členy řady 1, 3, 5, 7, Pak zjisti součet všech osmi čísel. 21 Utratil jsem 48 Kč. Zůstaly mi 2 5 z celé částky. Kolik korun jsem měl původně? 22 Myslím si číslo. Je menší než 30. Když jej vydělím kterýmkoli z čísel 2, 3, 4, 6 nebo 8, pokaždé bude zbytek 1. Které číslo si myslím? Rozšiřující učivo Pravděpodobnost je možné počítat pomocí zlomků. Při hodu mincí jsou dvě stejně pravděpodobné možnosti: p nebo o. Pravděpodobnost, že padne panna, je tedy 1 2. Při hodu kostkou je šest stejně pravděpodobných možností: 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Pravděpodobnost, že padne číslo 2, je 1 6. Obecně: pravděpodobnost je dána zlomkem: počet příznivých případů počet všech případů 23 V osudí jsou tři lístky s čísly 1, 2 a 3. Namátkou z nich vyberu dva. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) bude číslo 2, b) nebude číslo 1? 24 V osudí jsou čtyři lístky s čísly 1, 2, 3 a 4. Namátkou z nich vyberu dva. Jaká je pravděpodobnost, že jejich součet bude a) 7, b) 5, c) číslo liché? 25 Hodím dvěma hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet čísel na obou kostkách je a) 2, b) 3, c) 4, d) 5, e) 6? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 71

72 Úhel Před více než čtyřmi tisíciletími babylonští astronomové zavedli měření úhlů. Protože základem jejich početní soustavy bylo číslo 60, vzali pravidelný (rovnostranný) trojúhelník a jeho úhel rozdělili na 60 stejných dílů. Jeden takový díl nazýváme stupeň a označujeme jej Úhloměrem změř všechny tři úhly. Seřaď je od nejmenšího k největšímu. Každý úhel má vrchol, z něhož vychází dvě polopřímky, ramena úhlu. rameno vrchol rameno Když udělám vpravo v bok, otočím se o 90. Velká ručička se za 15 minut otočí o 90, tedy o pravý úhel. Když udělám čelem vzad, otočím se o 180. Velká ručička hodin se za 30 minut otočí o 180, tedy o přímý úhel. Za hodinu se otočí o 360, tedy o úhel plný. 2 O jaký úhel se velká ručička otočí za: a) 10 min; b) 20 min; c) 30 min; d) 40 min; e) 50 min; f) 60 min. 3 Kolik minut uplyne, když se velká ručička hodin otočí o: a) 60 ; b) 90 ; c) 180 ; d) 120 ; e) 30 ; f) Kolik hodin uplyne, když se malá ručička hodin otočí o: a) 60 ; b) 90 ; c) 180 ; d) 120 ; e) 30 ; f) Otoč spolužáka na otáčecí židli ve směru pohybu hodinových ručiček o: a) 90 ; b) 10 ; c) 45 ; d) 60 ; e) 180 ; f) 120 ; g) 270 ; h) 360 ; i) 1. Otáčím Kubu o 45 proti pohybu hodinových ručiček. 72 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

73 6 a) Narýsuj si libovolný ABC a změř jeho délky stran i velikosti úhlů. b) Sestroj LMN o stranách: l = 49 mm, m = 36 mm, n = 41 mm. c) Změř velikosti jeho úhlů. d) Zjisti součet všech tří úhlů LMN. A b C c a B Úhly označujeme řeckými písmeny. Písmena alfa, beta, gama již známe. U LMN můžeme použít písmena lambda, mý, ν ný. 7 Narýsuj pravoúhlý trojúhelník, jehož jeden úhel má velikost: a) 45 ; b) 60 ; c) 30 ; d) 50. U Najdi velikost třetího úhlu u každého trojúhelníku. Zjisti součet všech tří úhlů u každého trojúhelníku. 8 a) Narýsuj obrázek podle náčrtku. Údaje jsou v mm. Najdi všechny čtyřúhelníky, které mají vrcholy v některých z bodů A, B, C, U, V. Zjisti obvod každého z nich. * b) Změř úhly čtyřúhelníku AVBU i čtyřúhelníku VCUB A B C 36 V 9 Fotbalová brána je široká 8 yardů a značka pokutového kopu je od středu brány vzdálena 12 yardů. Zjisti, jak velký je střelecký úhel ze značky pokutového kopu a jaká je vzdálenost (v yardech) od značky pokutového kopu k pravé tyči brány. Yard (čti jard) je anglická délková míra, její zkratka je y. 1 y = 91, 44 cm 10 Do centimetrové mříže narýsuj úsečku AB: A B. Ta představuje brankovou čáru. Najdi mřížový bod P, který na tomto plánu představuje značku pokutového kopu. V ABP změř úhel u vrcholu P. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 73

74 11 Do mříže zakresli šest bodů: A B C D E F. Body A, B představují tyče fotbalové brány. Bod C označuje místo, z něhož na bránu střílel Cyril. Podobně body D, E a F určují místa, z nichž na bránu stříleli Dušan, Emil a Filip. Zjisti velikost střeleckého úhlu ACB u Cyrila i vzdálenost jeho míče k bližší brankové tyči. Totéž vyřeš i u ostatních chlapců. 12 V obdélníku na obrázku znáš úhel: a) = 32 ; b) = 55 ; c) = 67 ; d) = 24. Výpočtem zjisti velikosti zbylých tří úhlů. 13 Narýsuj rovnoramenný trojúhelník ABC, pro který platí = = 70. Změř velikost úhlu. Řecké písmeno čti delta. 14 Eliška dala spolužákům úkol sestrojit pravidelný šestiúhelník ABCDEF s použitím co nejmenšího počtu čar. Ona sama to zvládla pomocí pěti kružnic a šesti úseček. Slávek našel konstrukci pomocí tří kružnic a sedmi úseček. Vytvoř vlastní konstrukci pravidelného šestiúhelníku. Kolik kružnic a kolik úseček má tvoje konstrukce? 15 Narýsuj pravidelný šestiúhelník ABCDEF o straně 40 mm. Narýsuj všech jeho devět úhlopříček. Kolik je na tomto obrázku rovnostranných trojúhelníků s délkou strany: a) 40 mm; b) 69 + mm; c) 23 + mm? 16 Na obrázku, který jsi narýsoval ve cvičení 15, najdi trojúhelník s úhly: a) 30 a 30 ; b) 90 a 60 ; c) 60 a 60 ; d) 30 a 60. Urči velikost třetího úhlu těchto trojúhelníků. 17 Narýsuj pětiúhelník ABCDE, který se skládá ze čtverce ABCE o straně 44 mm a rovnostranného trojúhelníku CDE. Změř délky všech úhlopříček. Zjisti velikosti úhlů v ABC, ACD, ADE a BDA. Zjisti součet úhlů v každém z těchto trojúhelníků. 74 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

75 18 V roce 2020 budou mít Ivan a jeho o rok starší kamarád Franta dohromady 41 let. Ve kterém roce se narodil Franta? 19 Doplň a) jednu šipku, b) právě tři šipky, c) nejvýše čtyři šipky, d) právě pět šipek tak, aby platilo =. Hledej všechna řešení. 20 K žilo na území ČR žen narozených v roce Je to o 14 osob více než trojnásobek mužů narozených v témže roce. Kolik to bylo mužů? 21 Osm zvířat dědy Lesoně soutěží ve dvou stejně silných družstvech. V modrém jsou pouze myši a berani, v červeném pouze kozy. Kolik je kterých? Rozšiřující učivo 22 Marek tvrdí, že umí dokázat, že v rovnostranném trojúhelníku je velikost každého úhlu 60. Věříš mu? 23 Naďa tvrdí, že umí dokázat, že v každém pravoúhlém trojúhelníku je součet tří úhlů roven 180. Věříš jí? 24 Olin tvrdí, že umí dokázat, že v každém rovnoramenném trojúhelníku je součet tří úhlů roven 180. Věříš mu? 25 Pavla tvrdí, že v každém trojúhelníku je součet tří úhlů 180. Vzala trojúhelník z papíru, rozstřihla jej na tři kusy a úhly dala k sobě jako na obrázku. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 75

76 Rovnice II. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých 1 Fíkovi a jeho paní je dohromady 33 let. Kolik let je Fíkovi a kolik jeho paní? 2 Věk kapitána je čtyřnásobkem věku jeho lodi. Kapitán je o 33 let starší než jeho loď. Kolik je kapitánovi a jak stará je jeho loď? Kamil řešil úlohu úvahou. Rozdíl věku kapitána a lodi je trojnásobkem věku lodi, což je 33 let. Lodi je tedy 11 a kapitánovi 44. Vanda řešila úlohu rovnicí. Věk lodi si označila x. Věk kapitána pak bude 4x. Rovnice bude 4x = 33 + x. Když od obou stran rovnice odečtu x, zůstane 3x = 33. Poté obě strany rovnice vydělím číslem 3 a vyjde x = Které řešení se ti více zamlouvá, Kamilovo nebo Vandino? Proč? 4 Vyřeš dvojice rovnic o zvířátkách. a) b) c) d) = = = = = = = = * Když místo masky píšeme x a místo masky píšeme y, můžeme rovnice z úlohy 4 a) přepsat do čísel takto: x + x = y, x + y = Po úpravě 2x = y, x + y = 9. Ve druhé rovnici místo y napíšeme 2x, pak bude x + 2x = 9, tedy 3x = 9. Odtud x = 3 a y = 6. Tedy = a =. 5 Přepiš rovnice z úlohy 4 b) do čísel a vyřeš je. Stejně postupuj v úlohách 4 c) i 4 d). 6 Myslím si dvě čísla. Jejich součet je 9 a první je polovinou druhého. Která čísla si myslím? 76 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

77 7 Kolik váží koule a kolik krychle? Popiš, jak jsi úlohu řešil. Úlohu lze řešit pomocí číselných rovnic. Váhu koule označíme x kg. Váhu krychle označíme y kg. Pak bude situace na obrázku popsána rovnicemi 2x = y, x + y = 12. Ve druhé rovnici místo y napíšeme 2x, zápis bude x + 2x = 12, tedy 3x = 12. Odtud x = 4 a y = 8. Koule váží 4 kg a krychle 8 kg. 8 Zjisti váhu krychle i váhu koule. Pak úlohy vyřeš pomocí číselných rovnic. a) b) c) 9 Vyřeš hady, když víš, že součet všech tří čísel v kroužcích je pokaždé Vyřeš součtové trojúhelníky, když víš, že součet čísel ve dvou žlutých polích je vždy 25. a) 11 b) c) 7 d) Vyřeš šipkový graf, když znáš součet ž čísel ve žlutých polích i součet čísel a + b: a) ž = 12, a + b = 6; b) ž = 12, a + b = 8; c) ž = 15, a + b = 11; d) ž = 15, a + b = 7; e) ž = 21, a + b = 9; f) ž = 21, a + b = 5. * + a + b 2 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 77

78 12 Krokují dva žáci. Do prázdných polí vlož právě tři šipky. a) = b) = 13 Krokují tři žáci. Do prázdných polí vlož nejvýše pět šipek. a) = = b) = = c) = = d) = = 14 Slož obdélník ze tří shodných obdélníků. Jestliže je slepíš k sobě delšími stranami, vznikne obdélník s obvodem 164 cm. Jestliže je slepíš k sobě kratšími stranami, dostaneš obdélník s obvodem 220 cm. Jaké jsou rozměry malého obdélníku? 15 Je dán obdélník. Jestliže dva takové přiložíme k sobě do tvaru L tak, že se obdélníky nepřekrývají, dostaneme šestiúhelník, jehož obvod je 94 cm. Jestliže je přiložíme na sebe do tvaru kříže, dostaneme dvanáctiúhelník s obvodem 84 cm. Jaké jsou rozměry obdélníku? 16 Šestiúhelník na obrázku má obvod 80 cm a obsah 199 cm 2. Najdi délky x a y. 5 cm 17 Řeš stejnou úlohu jako ve cvičení 16, ale pro tento obrázek. x cm y cm 12 cm 8 cm y cm x cm 23 cm 78 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

79 18 Zjisti, zda jsou sourozenci mezi triádami: (4, 11, 15); (5, 11, 16); (5, 12, 17); (6, 11, 17); (6, 12, 18); (7, 11, 18); (7, 12, 19); (8, 9, 17). 19 Kolik čísel v bilandské matematice leží mezi čísly 100 a 1000? Zapiš je. 20 Na číselné ose jsou vyznačeny dva zlomky. Najdi, kde leží čísla 0, 1, 1 6, 2 3, 5 6, Tři rohová čísla násobilkového obdélníka jsou 2, 3 a 6. Součet čtyř středových čísel je a) 32, b) 180, c) 405. Najdi tento obdélník. 22 Pokryj podlahu ve tvaru čtverce 5 5 parketami: a) čtyři, dvě, jedna ; b) osm a jedna ; c) šest a jedna. Rozšiřující učivo 23 Vyřeš soustavu rovnic. a) 2x y = 1, x + y = 11 b) 2x y = 1, x + y = 14 c) 2x y = 1, x + y = 29 d) 2x y = 1, x + y = 101 Magdaléna chtěla vědět, zda se krokovací rovnice 12 b) dá přepsat do čísel. Rudolf řekl, že samozřejmě ano. Nejprve rovnici přepsal tak, že místo šipek dal čísla a do prázdných polí vložil písmena: + 2 x = 1 y. Pak to přepsal běžným způsobem: 2 + x = 1 + y. Dodal, že šipky mají být tři, tedy x + y = 3. Magdaléna ale namítla, že řešení = nesedí. Zde je x = 2, y = +1 a x + y = = 1, tedy neplatí x + y = 3. Učitelka řekla, že Magda nám dala náročnou otázku a že o ní budeme uvažovat. Dodala, že když se nám to nepodaří vyřešit, vyřešíme to v šestém ročníku. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 79

80 Desetinné číslo, zlomek 1 Osm z patnácti čísel napiš slovy ,3 5,27 2,027 30,207 27, , Osm slovem napsaných čísel zapiš číslicemi. sedmdesát tři; pět set sedmdesát tři; tři tisíce dvě stě třicet pět; sedmdesát tři tisíce pět; sedm set tři tisíce třicet sedm; sedm set třicet sedm tisíc sedm; sto dva tisíce tři sta deset; milión třicet tisíc třicet; dva milióny sedm set sedmdesát sedm tisíc tři sta tři; tři tisíce dva celých sedm desetin; pět celých dvacet tři setin; dvě celých dvacet tři tisícin; sedmdesát celých dvě stě tři tisícin; dvacet tři celých dva tisíce tři desetitisícin; dva tisíce tři celých dvě stě tři desetitisícin 3 Najdi souvislost mezi patnácti čísly ze cvičení 1 a patnácti čísly ze cvičení 2. 4 Pomocí tabulky porovnej zlomky. celek polovina třetina čtvrtina pětina šestina sedmina osmina devítina desetina dvanáctina 1 2 a a a a a a a a a a a a a a Jedna polovina je na horním obrázku znázorněna obdélníkem, jehož délka je 50 mm. Vypočítej s přesností na desetinu milimetru délku obdélníku, kterým je znázorněn následující zlomek. Svoje výpočty zkontroluj měřením ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

81 6 Čísla a) 371,4 b) 505,3 c) 504,6 d) 254,7 zaokrouhli na celá čísla, pak na desítky a poté i na stovky. 7 Pro dvě z čísel platí, že po zaokrouhlení na desítky jsou stejná jako po zaokrouhlení na stovky. Která jsou to čísla? 8 Pro dvě z čísel 20,8 8,3 19,6 30,7 30,4 platí, že po zaokrouhlení na desítky jsou stejná jako po zaokrouhlení na celá čísla. Která jsou to čísla? Ve cvičeních 9 až 14 pracujeme pouze s těmito šesti čísly tří barev: 31,7 a 208,4 64,6 a 163,1 55,9 a 197,3. 9 Najdi rozdíl a) hnědých, b) modrých, c) zelených čísel a urči, který z těchto rozdílů je největší a který nejmenší. 10 Najdi a) dvě, b) tři čísla různých barev, jejichž součet je číslo celé. Toto číslo zaokrouhli na desítky. Hledej více řešení. 11 * Které z našich šesti čísel je pětina celého čísla? Najdi dvě řešení. 12 * Polovina součtu dvou čísel různých barev je: a) 43,8; b) 97,4. Najdi tato dvě čísla. 13 K Najdi tři čísla různých barev, jejichž součet zaokrouhlený na desítky je: a) 150; b) 250; c) 290; d) 390; e) 330; f) 430; g) 470; h) * Zvolím dvě čísla různých barev. Rozdíl mezi trojnásobkem prvního čísla a druhým číslem je číslo větší než 3 a menší než 4. Najdi tato čísla. 15 Na obrázku je část číselné osy od čísla 0 do čísla 1. Obrázek přerýsuj tak, aby délka úsečky byla 6 cm. Na této číselné ose vyznač body 1 2, 1 3, 2 3, 1 6 a Zjisti, do kterého z intervalů tvého obrázku padne číslo. a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 f) 0,6 g) 0,7 h) 0,8 i) 0,9 j) 0,33 k) 0,34 l) 0,66 m) 0,67 * * * * ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 81

82 2,75 17 Pan Novák má zahrádku. V rohu zahrádky je dřevěná bouda na nářadí, užší lůžko a stolek, u kterého lze něco sníst a vypít čaj. Na plánku jsou uvedeny rozměry zahrádky, boudy i vrátek. Plot je vyznačen hnědou, bouda šedivou, vrátka černou a plocha určená pro záhony a pěšinky zelenou barvou. Zjisti, jak dlouhý je plot bez vrátek (hnědá) a jak dlouhý je úsek, kde místo plotu jsou dvě stěny boudy (černá). 7,2 15 2,4 0,6 0,9 18 Honza u řešení předešlé úlohy potřeboval odčítat 15 2,75 a neuměl to. Hanka mu poradila, ať si to převede na centimetry. Udělej to též. 19 Výměru boudy (obsah šedivého obdélníku) počítali tři žáci. Honza: 275 cm 240 cm = cm 2 Hugo: 27,5 dm 24 dm = 660 dm 2 Hanka: 2,75 m 2,4 m = 6,6 m 2 Je to dobře? Když ne, oprav chybu. Který výpočet se ti jeví jako nejšikovnější? Hanka naučila Honzu násobit desetinná čísla. Řekla: Vynásob čísla bez těch čárek a pak ve výsledku desetinnou čárkou odděl zezadu tolik míst, kolik jich je v obou číslech, která násobíš dohromady. Například 2,75 2,4 vypočítám tak, že vynásobím = a pak řeknu, že u čísla 2,75 jsou dvě číslice za čárkou a u čísla 2,4 je jedna. Dohromady tři. Proto ve výsledku oddělím od konce tři desetinná místa. Tedy 2,75 2,4 = 6,600, neboli 6,6. Rozumíš Hančině návodu? 20 Odhadni výsledek. Vynásob. Výsledky kontroluj na kalkulačce. 3,6 5,2 3,9 6,27 12,35 7,8 5,07 4,11 7,1 0,8 4,45 1,8 9,13 9,22 8,32 0, Jak veliká je výměra (obsah) zahrady včetně boudy? Jak veliká je zelená plocha určená pro záhony a pěšinky? 82 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

83 22 Autobus vyjel ze zastávky A a přes zastávky B, C, D dojel na zastávku E. Celkem se vezlo 5 žen a 4 muži. Všichni muži nastoupili na zastávce A. Na každém ze čtyř úseků tratě bylo v autobusu vždy 6 cestujících. Na každé zastávce se počet žen zvýšil o jednu. Napiš tabulku jízdy autobusem. 23 Pomocí dvou parket a jedné nebo více parket pokryj pravoúhelník: a) 4 3; b) 4 4; c) 4 5; d) 4 6; e) 4 7; f) Nakresli rodokmen triády (1, 3, 4) do třetího kolena, tedy dcery, vnučky i pravnučky. Kolik je to dohromady triád a jaké jsou jejich váhy? 25 Polovina žáků naší třídy má křestní jméno složeno z 5 písmen. Třetina má křestní jméno složeno z méně než 5 písmen. Osmina žáků z více než 5 a méně než 10 písmen. Nejdelší jméno v naší třídě má Stanislava. Kolik žáků je v naší třídě? Rozšiřující učivo 26 Navazujeme na cvičení 13. Pro číslo S, které je součtem tří čísel různých barev, platí: Zaokrouhlení čísla S na celá čísla je stejné jako jeho zaokrouhlení na desítky. Najdi číslo S. 27 Najdi hnědé číslo H, modré číslo M a zelené číslo Z tak, aby bylo: 3 H 9 M = Z 12,1 28 Udělej si papírový model zahradní boudy pana Nováka 2,5 ze cvičení 17. Bouda má podlahu, čtyři stěny a střechu. Přední stěna je obdélník s rozměry 2,75 m 2 m. Ve stěně jsou obdélníkové dveře 0,9 m 1,8 m. 2,7 Zadní stěna je obdélník s rozměry 2,75 m 2,7 m. Boční stěny jsou shodné pravoúhlé lichoběžníky. Jedna stěna je načrtnuta na obrázku. Zjisti obsah každé stěny i střechy boudy. 2,4 2 83

84 Geometrie 1 Ve vrcholech krychle sedí čísla od 1 do 8. Součet čtyř čísel přední stěny je 12. Zjisti součet čtyř čísel: a) horní stěny; b) levé boční stěny; c) pravé boční stěny; d) spodní stěny; e) zadní stěny. 2 Přestav čísla ve vrcholech krychle tak, aby součet čtyř čísel každé stěny byl stejný * Ve vrcholech přední stěny krychle sedí čísla 2, 6, 18, 36. Ve vrcholech zadní stěny sedí čísla 4, 8, 9, 27. Ve vrcholech horní stěny sedí čísla 2, 4, 27, 36. Umísti čísla tak, aby součin čtyř čísel ve vrcholech každé stěny krychle byl K čárkované čáře přilož zrcátko a přečti slova. A M OT HIC DECI BIO U T O HOD DEKO 5 Ze kterých velkých tiskacích písmen můžeš tvořit takováto půlslova? Najdi je, vytvoř a zapiš další podobná půlslova. BOK I V 6 Na čtverečkovaný papír přerýsuj obrázek a dorýsuj jeho druhou polovinu. O správnosti rýsování se přesvědčíš přeložením papíru podél vyznačené přímky. Při pohledu proti oknu se obě části musí krýt. 7 Najdi obrázky, které je možné rozpůlit na dvě shodné části. 84 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

85 Obrázky, které vznikly ve cvičení 6 a 7, jsou osově souměrné. Slova ve cvičení 4 přečtená zrcátkem jsou také osově souměrná. Přímka, která v těchto případech dělí obrazec na dvě shodné (stejné) části, se nazývá osa souměrnosti. 8 Které z následujících geometrických obrazců jsou osově souměrné? Obdélník, kosodélník, čtverec, kosočtverec, kruh, rovnoramenný trojúhelník, pravoúhlý trojúhelník, lichoběžník, rovnostranný trojúhelník, pravidelný šestiúhelník, pravidelný dvanáctiúhelník. Urči vždy osu souměrnosti. Hledej více řešení. 9 Načrtni obě osově souměrné sítě krychle. Hledej další útvary (např. hexamina i pentamina), které jsou osově souměrné. Urči jejich osu souměrnosti. 10 Vlož mřížové útvary z obrázku do Vennova diagramu tak, aby: a) v červené oblasti byly osově souměrné útvary a v modré útvary, které mají alespoň jednu dvojici rovnoběžných stran, např. obdélník A zapíšeme do fialového průniku obou oblastí, protože je jak osově souměrný, tak má aspoň jednu dvojici rovnoběžných stran; J I F E A B * b) v červené oblasti byly útvary, které vznikly spojením dvou pravoúhlých trojúhelníků a v modré útvary, které lze rozstřihnout jedním střihem na dva shodné útvary. M K G C L H N D 11 * Řekni další dvě vlastnosti, podle kterých bychom mohli třídit útvary z obrázku do Vennova diagramu. ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 85

86 12 Na čtverečkovaný papír nakresli osově souměrný pětiúhelník, osmiúhelník, nekonvexní čtyřúhelník. 13 Dvanáctiúhelník ABCDEFGHIJKL je osově souměrný podle osy o procházející body A, G. Je popsán neúplným šipkovým zápisem. Nakresli obrázek a dokonči zápis. A B C D E F G A o 14 Vystřihni z papíru libovolný trojúhelník. Přelož jej tak, aby se dvě jeho strany kryly. Při jednom vrcholu vznikly dva úhly. Změř je a porovnej. 15 Na obrázku je krychlové těleso sestavené ze čtyř krychlí o hraně délky 1 cm. Postav těleso z krychlí a urči jeho povrch (S), počet vrcholů (v), hran (h) i stěn (s). 16 Kostra tělesa na obrázku je 28 cm. Přemísti jednu krychli tak, aby vzniklo krychlové těleso, jehož kostra je a) stejná, b) větší, c) menší než kostra daného tělesa. Zaznamenej plány tělesa. 17 U každého tělesa, které jsi vytvořil ve cvičení 16, zjisti povrch, počet vrcholů, hran i stěn. 18 Přemístěním jedné krychle tělesa ze cvičení 15 vytvoř další krychlové těleso, které má stejný počet vrcholů, hran i stěn. Zjisti kostru a povrch obou těles a údaje porovnej. Obě tělesa popiš konstrukčním zápisem. 19 Horní rohová čísla násobilkového obdélníka jsou 5 a 6. Najdi dolní rohová čísla tak, aby součet čtyř středových čísel byl Vyřeš šipkový graf ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

87 21 Najdi patnáctý člen řady 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, 62, 63, a) Podle jakého pravidla je řada tvořena? b) Od kterého členu řady budou další členy již větší než 1 000? c) Zjisti, jak vypadá řada zbytků dané řady při dělení číslem 2 i Vyřeš algebrogramy. a) ABC = C C C b) ABA = C C C c) AB AB = CAB d) AAAB = B B B B B Rozšiřující učivo 23 Narýsuj libovolný trojúhelník ABC. ABC Sestroj kružnici k se středem A a poloměrem r k: k = k (A, r); r < AB menším než je strana AB i AC. a r < AC Průsečík kružnice k se stranou AB označ P P: k AB = P a se stranou AC označ R. R: k AC = R Sestroj kružnici m se středem v P a poloměrem r. m: m = k (P, r) Sestroj kružnici n se středem v R a poloměrem r. n: n = k (R, r) Zvol jeden průsečík kružnic m, n a označ jej Q. Q: m n = Q Body A, Q veď přímku o. o: AQ = o 24 Přímka o rozdělila úhel při vrcholu A na dva úhly. Změř oba úhly a porovnej je. 25 Na přímce o zvol uvnitř trojúhelníku ABC libovolné tři body K, L M. Z každého bodu K, L, M veď kolmice k přímkám AB i AC. Změř na nich vzdálenost zvoleného bodu od přímek AB a AC. Přímka, kterou jsi sestrojil(a) ve cvičení 14 skládáním a ve cvičení 23 rýsováním, se nazývá osa úhlu. Je to osa souměrnosti daného úhlu. 87

88 Velká čísla 1 Před objevem desítkové soustavy byla práce s velkými čísly svízelná. Následující egyptská úloha, která vznikla před více než lety byla pro tehdejší počtáře velice náročná. Dnes ji vyřeší i žák pátého ročníku. Je 7 domů. V každém je 7 koček. Každá kočka chytí 7 myší. Každá myš sežere 7 klasů. Z každého klasu může vyrůst 7 věrtelů ječmene. Kolik je součet všech těch čísel dohromady? 2 K velkým číslům často docházíme násobením. Následujících 12 čísel dej do dvojic tak, že součin čísel každé dvojice bude : 10, 100, 1 000, , 125, 20, 200, 2 500, 40, 500, 5 000, Najdi čísla a, b, c, d, e, f tak, aby platilo: = a = b = c = d = e = f. 4 Vynásob. a) b) c) Hanka poradila Honzovi, jak rychle násobit čísla s nulami. Řekla: Chci násobit Tři nuly dám stranou a vynásobím 34 5 = 170. Teď ty tři stranou ležící nuly k výsledku připíši a vyjde mi Honzu to potěšilo a podle návodu správně vynásobil = Honza pak počítal Dal stranou tři nuly, vynásobil 26 7 = 182 a připsal tři stranou ležící nuly, dostal Ale podle kalkulačky má být výsledek Kde se Honza zmýlil? 6 Vyděl a pozoruj. 6 : 2 60 : : : : : : : : : : : : : : : Napiš návod pro dělení čísel končících nulami. Podle návodu pak rychle vyděl. a) : 90 b) : 400 c) : ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

89 S velkými čísly pracují nejen matematici, ale i astronomové, fyzici, ekonomové a mnozí další. Podívejme se na několik velkých čísel z astronomie (podle Nový rozum do kapsy. Praha, Albatros 2004). Vesmír vznikl před 13,7 miliardy let. Naše sluneční soustava je stará přibližně 4,6 miliardy let. Tvoří ji osm planet obíhajících kolem Slunce po (skoro) kružnicích se středem v Slunci. Nejblíže Slunci je Merkur. Je od něho vzdálen 57,9 milionu km. Nejvzdálenější je Neptun milionů km. Vzdálenosti ostatních planet od Slunce uvádí tabulka. 8 Zapiš číslem. * * * * a) O kolik let je Vesmír starší než naše sluneční soustava? b) Jak jsou dráhy planet vzdáleny od dráhy Země? c) Je dráha Venuše nebo dráha Marsu blíže k dráze Země? O kolik km? d) Jak dlouho by ti trvala chůze ze Země k dráze Marsu, když bys šel bez přestávek rychlostí 5 km/hod? Kdy skončí tvoje cesta, když vyjdeš v roce 2010? e) Jak dlouho letí světlo stejnou vzdálenost? Rychlost světla je skoro metrů za sekundu. Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran 108,2 milionu km 149,6 milionu km 227,9 milionu km 778,3 milionu km milionů km milion km 9 Žáci 5. B si vyrobili model sluneční soustavy. Našli si, že Jupiter je přibližně 318krát těžší než Země, Saturn 95krát, Uran 14,4krát a Neptun 17,1krát. Planeta Merkur je 18krát a Mars 9krát lehčí než Země. Hmotnost Venuše je 0,8 hmotnosti Země. Modelem Země byla sádrová koule o hmotnosti 36 g. a) Jakou hmotnost měly modely ostatních planet? b) Stačilo žákům na výrobu modelů 15 kg sádry? c) Kolika násobek hmotnosti nejlehčí planety je hmotnost Jupitera? Jupiter má hmotnost větší než všechny planety dohromady. 89

90 Kilometr je metrů. Kilogram je gramů. Tisíciletí bychom pak mohli nazvat kilo-rok. Sto měsíců můžeme nazvat hekto-měsíc (podle hektolitr). Deset dnů můžeme nazvat deka-den (podle dekagram). Desetinu týdne můžeme nazvat deci-týden (podle decilitr). Setinu dne můžeme nazvat centi-den (podle centimetr i centilitr). Tisícinu měsíce můžeme nazvat mili-měsíc (podle milimetr) atd. Měsíc počítáme jako 30 dní. 10 Rozhodni, který časový úsek je delší: a) 3 deka-dny, nebo měsíc; b) deci-den, nebo 150 minut; c) mili-rok, nebo 9 hodin; d) hekto-týden, nebo 2 roky; e) 10 kilo-minut, nebo týden; f) centi-den, nebo kilo-sekund; g) 3 kilo-hodiny, nebo 4 měsíce. 11 Zjisti, kolik sekund trvá: a) mili-hodina; b) mili-den; c) mili-týden; d) mili-měsíc; e) mili-rok. 12 V sobotu 13. srpna 2011 proběhl u Klosů tento rozhovor: Hanka: Mami, musíme Vítečkovi upéct dort, v pondělí má narozeniny. Cecílie: Ale on se přece narodil 6. června. Hanka: Ano, ale pozítří, v pondělí, bude mít 3 kilo-dny. Spočítala Hanka bratrovy zvláštní narozeniny správně? 13 Oslavil jsi již svoje 4 kilo-dny? Který den to bylo? Nebo to teprve bude? 14 Který den oslaví Cyril Klos 5 hekto-měsíců? 15 Odhadni, které ze tří nebo čtyř čísel je největší a které nejmenší: a) ; b) ; c) ; d) Prověř svůj odhad výpočtem. 16 Zaokrouhli každé z čísel na a) desetiny, b) setiny. 1,714 0,638 1,666 3, : 4 7 : 9 9 : 7 1 : 8 12 : 7 13 : 8 90 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

91 17 Doplň nejvýše čtyři šipky tak, aby platilo: = = Hledej všechna řešení. 18 Když Ali Baba spravedlivě rozdělil svoje stádo mezi svých sedm synů, dostal každý syn 56 velbloudů. Kolik velbloudů měl Ali Baba? 19 Najdi všechny potomky triády (6, 7, 13), jejichž váha je Do každého ze 16 polí tabulky 4 4 napiš číslo 6 nebo 7 tak, aby součet tří sousedních čísel (v řádku nebo sloupci) byl 20 a součet všech 16 čísel byl 107. Rozšiřující učivo U obrovských čísel se kterými pracují ekonomové, astronomové nebo fyzici používáme často jen čísla zaokrouhlená. Tak například vzdálenost Země od Slunce je přibližně m. Tato čísla pokaždé končí několika nulami a ty píšeme pomocí mocnin: 100 = 10 2, = 10 3, = 10 4, = 10 5, = 10 6 atd. Čteme: 10 2 je deset na druhou, 10 3 je deset na třetí, atd. Tedy číslo píšeme a čteme tisíc čtyři sta devadesát šest krát deset na osmou. To znamená, že za číslem je osm nul. Podobně 7 7 píšeme 7 2 a čteme sedm na druhou; stejně = 7 3 čteme sedm na třetí, číslo = 7 4 čteme sedm na čtvrtou atd. 21 Ve cvičení 1 jsme hledali číslo Zapiš tento součet pomocí mocnin. 22 V příběhu o vynálezci šachu jsme našli číslo Výsledek byl ohromující: Toto číslo můžeme přibližně zapsat jako n. Které číslo zde má být místo písmene n? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 91

92 Logika 1 Bez měření odhadni, který z trojúhelníků má větší obsah a který větší obvod. V jedné třídě žáci rychle odhadli, že žlutý trojúhelník má větší obsah, ale na obvod se názory lišily. Kašpar řekl: Modrý má větší obvod než žlutý. Melichar řekl: Modrý má menší obvod než žlutý. D B Baltazar řekl: Obvody obou trojúhelníků jsou stejné. C Paní učitelka se zeptala třídy: Bylo by možné bez měření rozhodnout, který z hochů má pravdu? A Vilma řekla: Kašpar má pravdu. Umím to dokázat. Nakreslila nový obrázek a řekla: Žlutý trojúhelník mohu posunout do hnědého. Tedy tyto dva trojúhelníky jsou stejné. Hnědý a modrý mají stranu AC společnou. Strana BC je stejně dlouhá jako strana CD. Strana AB je delší než AD. Tedy obvod žlutého je větší. Třída souhlasila. Paní učitelka Vilmu pochválila a řekla, že Vilma má dobré logické myšlení. Co to je to logické myšlení? Je to schopnost vyvodit ze zjevných tvrzení tvrzení méně zjevná, nebo dokonce ukrytá. Vilma tak bez měření vyvodila tvrzení: Obvod žlutého trojúhelníku je vetší než obvod modrého. Použila k tomu řetězec šesti zjevných tvrzení: 1. Žlutý a hnědý trojúhelník jsou stejné (tj. shodné). 2. Obvod modrého je AB + BC + AC. 3. Obvod hnědého, tedy i žlutého, je AD + DC + AC. 4. Stranu AC mají oba trojúhelníky společnou. 5. BC = DC 6. AB > AD. Takovému postupu říkáme dokazování. 2 Hádanka. Před vigvamem seděli dva rudokožci, jeden velký a jeden malý. Malý byl synem velkého, ale velký nebyl otcem malého. Jak je to možné? 92 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

93 3 Rozhodni, které z těchto čtyř tvrzení je pravdivé a které nepravdivé. a) Úhlopříčky čtverce se půlí. b) Obdélník má tři úhlopříčky. c) : 23 = 78 (16) d) 7 7 < Doplň jméno tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení. Hledej více řešení. A Jakub Brody je synem. B je vnukem Barbory Malé. C V rodině Klosových v únoru slaví narozeniny. 5 Doplň slovo tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení. Hledej více řešení. D Slovo je zájmeno. E Slovo má více než pět písmen. F Slovo není zájmeno. G Slovo nemá více než pět písmen. 6 Doplň číslo tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení. Hledej více řešení. H Číslo I Číslo J Číslo K Číslo L Číslo M Číslo je sudé. je liché. je buď sudé, nebo liché. je kladné. je záporné. je buď kladné, nebo záporné. 7 Doplň do vět A, B, C jména tak, aby vznikla nepravdivá tvrzení. Hledej více řešení. 8 Doplň do vět D, E, F a G slova tak, aby vznikla nepravdivá tvrzení. Hledej více řešení. 9 Jan řekl, že když stejné slovo dáme do věty D i do věty F, pak jedna z těchto vět je nutně pravdivá a jedna nepravdivá. Má Jan pravdu? 10 Leona řekla, že když stejné číslo dáme do věty K i do věty L, pak jedna z těchto vět je nutně pravdivá a jedna nepravdivá. Řekla, že věta M je pravdivá vždy, ať tam dáme jakékoli číslo. Lucie řekla, že je to jinak. Prý zná číslo, které když dosadí do kterékoli z vět K, L a M dostane tvrzení nepravdivé. Kdo má pravdu? Lucie, nebo Leona? 11 Hádanka. Dvě mince dávají dohromady 3 Kč, i když jedna z nich není koruna. Které mince to jsou? ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 93

94 Hádanky 92/2 a 93/11 i cvičení 12 až 19 a 27 až 31 jsou z krásné knihy Smullyan, R. M.: Jak se jmenuje tahle knížka? Praha, Mladá Fronta V této knize se mluví o zemi X, ve které žijí lidé dvou typů. Lháři, kteří pořád lžou, a pravdomluvní, kteří mluví jen pravdu. Cizinec, který do země X přichází, toto ví. Potká dva občany země X, občana A a občana B. Z jejich výpovědí má určit, kterého jsou typu (lhář/pravdomluvný). 12 A: Deset je sudé číslo. B: Deset je liché číslo. 13 A: Jedna a jedna jsou dvě. B: A je lhář. 14 A: Jedna a jedna jsou tři. B: A je lhář. 15 A: Jedna a jedna jsou tři. B: A je pravdomluvný. 16 A (napsal): 1 < 2 a 3 < 4. B: A je lhář. 17 A (napsal): 1 < 2 a 4 < 3. B: A je lhář. Když jsou U a V dvě tvrzení, pak tvrzení U a V je pravdivé jedině v tom případě, když obě tato tvrzení jsou pravdivá. 18 A (napsal): 1 < 2 nebo 4 < 3. B: A je lhář. 19 A (napsal): 2 < 1 nebo 4 < 3. B: A je lhář. Když jsou U a V dvě tvrzení, pak tvrzení U nebo V je pravdivé v tom případě, když aspoň jedno z těchto tvrzení je pravdivé. 20 Rozhodni, které tvrzení vyslovené členem rodiny Klosových je pravdivé a které nepravdivé. Adam: Ivan je můj vnuk a Hanka je vnučka Anny. Cyril: Cecílie je moje manželka a Vít je bratr její dcery. Cecílie: Fedor a Emil jsou mí švagři. Cecílie: Fedor nebo Emil je můj švagr. Hanka: Můj děda se jmenuje Adam nebo Blažej. 94 ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

95 21 Nakresli Vennův diagram se třemi ovály. K modrému oválu připiš slovo SUDÉ, k červenému připiš DĚLITELNÉ TŘEMI a ke žlutému připiš DĚLITELNÉ PĚTI. Do každé z 8 oblastí diagramu napiš alespoň jedno správné číslo. 22 Mezi čísly a leží dvě čtvercová čísla. Najdi je. Dokaž, že jedno z nich je i číslo trojúhelníkové. 23 Rodiče s dětmi byli na celodenním výletě. Polovina výletníků byly děti, třetina byly maminky a tatínků bylo pět. Kolik bylo výletníků? 24 Vrať čísla 1, 2, 3, 4, 5 do dělení se zbytkem. 7 : 9 = ( ) Rozšiřující učivo 25 Na tabuli byla dvě tvrzení. První: Dnes je čtvrtek, zítra pátek. Druhé: Když je dnes čtvrtek, pak zítra bude pátek. Podle Judity je první tvrzení pravdivé jen ve čtvrtek, ale druhé i v pondělí. Souhlasíš s Juditou? 26 Judita řekla: Když jsou x a y čísla sudá, pak i x + y je sudé. Je toto tvrzení pravdivé? David ale říká, že kdyby x, nebo y bylo liché, pak dané tvrzení pravdivé není. Má David pravdu? Posledních pět cvičení je opět o lhářích a pravdomluvných ze země X. 27 A: Oba jsme pravdomluvní. B: A je lhář. 28 A: Alespoň jeden z nás je pravdomluvný. B: Oba jsme lháři. 29 Nejprve A něco zamumlá. B: A říká, že je lhář. A: B je lhář. 30 Nejprve A něco zamumlá. B: A říká, že není lhář. A: B je lhář. 31 A: Aspoň jeden z nás je lhář. B: (mlčí). ZÁKONITOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY 95

96 mate matematika 96mate Opakování 1 Ze dvou číslic vytvoř všechna čtyři dvoumístná čísla. Zjisti jejich součet. a) 5 a 1 b) 6 a 2 c) 7 a 3 d) 8 a 4 e) 9 a 5 Co pozoruješ? 3 Ve stovkové tabulce vyznač takový obdélník s 8 čísly, který zároveň obsahuje čísla: a) 11 a 24; b) 33 a 64; c) 55 a 62; d) 77 a 86. Najdi součet všech osmi čísel tohoto obdélníka. 4 Zapiš pomocí číslic čísla: tisíc dvě stě dvacet jedna; dva tisíce dvě stě šedesát pět; jedenáct tisíc tři sta sedmdesát osm; čtyřicet osm tisíc čtyři sta čtyřicet čtyři; dvě stě patnáct tisíc pět set dvanáct. 5 Každé číslo napsané v předchozí úloze zaokrouhli nejprve na desítky, potom na stovky a nakonec na tisíce. Všechna tři zaokrouhlená čísla sečti. Pak součet vyděl třemi. Výsledný podíl porovnej s původním číslem a zjisti, zda je větší nebo menší a o kolik. 6 Vyřeš dvojice rovnic. = = = = = = = = 7 * Urči součet prvních třiceti čísel Fibonacciho řady: CO UŽ UMÍME Co už umíme 2 Vyřeš. a) 85 b) 19 c) d)

97 8 Do centimetrové mříže narýsuj body A B. Narýsuj kružnici k se středem B a poloměrem AB. Kružnice k prochází bodem A a dalšími mřížovými body. Označ je C 1, C 2,, C 7. 9 Z osmi bodů B, C 1 C 7 sestrojených v předchozím cvičení vyber tři, které spolu s vrcholem A jsou vrcholy: a) čtverce; b) obdélníku; c) lichoběžníku; d) nekonvexního čtyřúhelníku. 10 Narýsuj do mříže čtyřúhelník ABCD a urči jeho obvod a obsah. a) A B C D A b) A B C D A 11 Zvol bod A čtyřúhelníku z předchozí úlohy jako počátek a zapiš všechny vrcholy souřadnicemi. 12 Na obrázku je náčrtek bytu, do kterého se budou stěhovat Malí: obývací pokoj, kuchyň, čtvercová ložnice a koupelna. 1,8 a) Spočítej výměru celého bytu. b) Která místnost je největší? 3,5 c) Kolik m 2 koberce je potřeba na pokrytí celé podlahy v obývacím pokoji a ložnici? d) O kolik m 2 má obývací pokoj větší podlahovou plochu než koupelna? * e) Malí si chtějí vytapetovat kuchyň. Změřili, že výška stěn je 2,6 m a že okno a dveře zaberou dohromady 4 m 2. Kolik rolí tapety potřebují, když je role široká 1 m a je v ní 10 m tapety? 7,5 13 Narýsuj tři shodné kružnice, jejichž středy S 1, S 2, S 3 tvoří vrcholy rovnostranného trojúhelníku a které mají poloměr: 7 a) menší než třetina úsečky S 1 S 2 ; b) polovina úsečky S 2 S 3 ; c) stejný jako délka strany trojúhelníku S 1 S 2 S Narýsuj pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S a jeho úhlopříčky AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF, DF. Vyznač na obrázku úhly o velikosti a) 60, b) 90, c) 30, d) 120. CO UŽ UMÍME 97

98 15 Vyřeš. U každého obdélníku najdi součet jeho čtyř středových čísel Vypočítej zpaměti. a) (65 8) : 4 b) (14 6) : 2 c) (120 9) : 3 d) (19 14) : 7 e) (81 : 9) 3 f) (64 : 8) 4 g) (120 : 3) 9 h) (360 : 3) 6 17 Kolika čtverečky prochází úhlopříčka mřížového obdélníku? a) 10 3 b) 11 3 c) 12 3 d) 13 3 e) 14 3 f) 15 3 g) 31 3 h) 32 3 i) 33 3 * * * 18 Najdi prvních devět členů řady 7, 21, 63, 189, Potom vyděl každé číslo řady číslem: 19 Zjisti váhu krychle. a) 4; b) 5; c) 14. Zjisti zbytky při dělení. Údaje zapisuj do tabulky. 20 Vyřeš a přepiš do čísel. a) = b) = c) = 21 * Napiš libovolné trojciferné číslo (např. 789). Pak k němu připiš totéž číslo ještě jednou, takže dostaneš číslo šesticiferné (např ). Toto číslo vlož do pole A a vyřeš hada. A : 7 : 11 : 13 Zvol jiné číslo a opět vyřeš. Co pozoruješ? 22 * Pálka na stolní tenis stojí o 182 Kč více než míček a síťka o 312 Kč více než míček. Celkem jsme zaplatili Kč. Stůl stál Kč. Koupili jsme také síťku, 2 pálky a 6 míčků. Kolik stály jednotlivé druhy zboží? 98 CO UŽ UMÍME

99 23 Překresli modrý šestnáctiúhelník do centimetrové mříže. Urči jeho obvod v mm a obsah v cm 2. Dále vybarvi vnitřní úhly tohoto šestnáctiúhelníku: zeleně úhly 45, červeně úhly 135 a žlutě úhly K útvaru nakreslenému v předchozí úloze nakresli souměrné útvary podle os o 1, o 2, o 3 a o Kolik os souměrnosti má: a) čtverec; b) rovnostranný trojúhelník; c) pravidelný dvanáctiúhelník; d) pravidelný pětiúhelník; e) lichoběžník? o 4 o 3 o 1 o 2 26 Najdi všechny osy souměrnosti u vyobrazených útvarů. a) b) c) d) e) 27 Narýsuj čtyřúhelník, který má právě dva vnitřní úhly pravé a: a) je osově souměrný; b) není osově souměrný. 28 Narýsuj čtverec ABCD o straně AB = 6 cm. Narýsuj kružnice k 1, k 2, k 3, k 4 s poloměrem 6 cm a středy postupně v bodech A, B, C, D. Označ průsečíky kružnic ležící uvnitř čtverce ABCD takto: E k 1 k 2, F k 2 k 3, G k 3 k 4, H k 4 k 1. Narýsuj trojúhelníky AEB, BFC, CGD, DHA. Narýsuj čtyřúhelník EFGH. Dále zjisti délky úseček EF, FG, GH, HA, EG a FH. Změř úhly v trojúhelníku AEH, ADG a ACE. CO UŽ UMÍME 99

100 29 Christian řekl, že umí ihned rozhodnout, jestli umíš správně sčítat a dělit. Na kartách měl číslice 1 9 a dával pokyny. Postupuj podle nich. a) Vyber si tři různé karty. b) Z číslic na kartách sestav všech šest různých trojciferných čísel a zapiš je. c) Těchto šest trojciferných čísel sečti. d) Teď sečti čísla na vybraných kartách. e) Součet trojciferných čísel vyděl součtem čísel na kartách. Jaký podíl ti vyšel? Poznáš, podle čeho umí Christian bez počítání a bez toho, že by viděl tvé karty rozhodnout, zda máš správný výsledek? 30 Vyřeš rovnice. 31 Rozděl tucet čísel do čtyř skupin. * * a) (x + 4) 3 = 36 b) 5 (x + 2) = 25 c) (6 + x) 3 = 24 d) 7 (7 + x) = 77 e) (2 + x) 5 = 100 f) 14 (x + 29) = 574 g) (x + 18) 13 = = Zjisti váhu krychle i válce. Pak úlohy vyřeš pomocí číselných rovnic. a) b) 33 Adam, Petr a Zdeněk mají dohromady 165 Kč. Když dá Adam Zdeňkovi 16 Kč, budou mít všichni tři stejně. Kolik korun má každý z nich? 100 CO UŽ UMÍME

101 34 Na obrázcích jsou krychlové stavby sestavené z pěti krychlí o hraně délky 1 cm. Postav stavby z krychlí a urči jejich povrch (S), objem (V), kostru (K), počet vrcholů (v), hran (h) i stěn (s). a) b) c) 35 Nakresli síť hranolu postaveného z osmi krychlí. H G 1 G 36 Vytvoř síť i model tělesa na obrázku, které vzniklo odříznutím trojbokého hranolu z krychle. Body F 1, F 2, G 1 a G 2 jsou středy hran krychle. E F 1 F G 2 37 Zjisti počet vrcholů (v), hran (h) i stěn (s) tělesa z předchozího cvičení. D F 2 C 38 O jaký úhel se velká ručička otočí za: A B a) 15 min; b) 45 min; c) 60 min; d) 5 min; e) 50 min? 39 Sestroj KLM o stranách KL = 45 mm, LM = 52 mm, KM = 49 mm. Změř velikosti jeho úhlů. 40 Narýsuj pravoúhlý trojúhelník, jehož jeden úhel má velikost: a) 25 ; b) 35 ; c) 45 ; d) 55 ; e) 65 ; f) 75. Najdi velikost třetího úhlu. 41 Narýsuj kružnici k se středem S a poloměrem r = 34 mm. Bodem S veď dvě na sebe kolmé přímky p a q. Jeden z průsečíků kružnice k a přímky p označ A a druhý M. Jeden z průsečíků kružnice k a přímky q označ Q. Sestroj střed úsečky AS a označ jej P. Na úsečce SM sestroj bod R tak, že PR = PQ. Na kružnici k sestroj různé body B, C, D a E tak, že AB = BC = CD = DE = QR. Co jsi sestrojil? Změř úsečku AE. CO UŽ UMÍME 101

102 42 Aleš, který bydlí v místě A, o prázdninách trénoval na cyklistický závod. V pondělí projel třikrát modrý okruh a v úterý čtyřikrát okruh červený. Ve středu jel A třikrát okruh mžžžm. Ve čtvrtek odpočíval. V pátek jel dvakrát A-E-G-F- D-A a ujel stejně km jako v úterý. a) Který den ujel Aleš nejvíce a který nejméně kilometrů? b) Kolik km ujel od pondělí do pátku celkem? Kolik to bylo průměrně za den? c) Jak dlouhý je zelený úsek? 2,1 km B 4,4 km 2,6 km 3,2 km 1,7 km D 3,8 km 0,6 km 0,6 km C 3,8 km 1,2 km E F 2,9 km G 43 Vzdálenosti z předchozí úlohy převeď na metry a uspořádej je od nejmenší po největší. Zjisti, jaká je celková délka cyklostezek. 45 Zapiš desetinným číslem desetinu, osminu, pětinu a třetinu každého z následujících čísel. 28,8 9,6 7,2 6 1,2 46 Seřaď čísla od nejmenšího k největšímu a znázorni je na číselné ose ,1 0, Vyřeš pavučinu, když víš, že: a) nejmenší číslo je 0, největší je 4,2; b) nejmenší číslo je 0,8 a součet všech čtyř čísel je 10,4; c) součet největšího a nejmenšího čísla je 2,4. Hledej více řešení s kladnými čísly s nejvýše jedním desetinným číslem. 0, ,75 0,9 47 Myslím si číslo. Jeho trojnásobek zvětšený o 0,4 je desetinou čísla 100. Které číslo si myslím? 102 CO UŽ UMÍME

103 48 V 5. B je 24 dětí. Psa má 11 z nich, 10 má kočku. Čtyři děti nechovají žádné domácí zvíře. Kolik dětí má kočku i psa? 49 Překresli diagram ze cvičení 6 na straně 62. K modrému kruhu připiš MÁ ŠEST PÍSMEN, k červenému SLOVESO a ke žlutému VYJMENOVANÉ SLOVO. Do diagramu vlož těchto 10 slov: rozvrh, visel, viděla, hláska, polykat, vysoký, slíbit, objevit, slyšet, vydra. 50 Do diagramu z předchozí úlohy doplň další slova tak, aby v každé oblasti byla nejméně tři slova. 51 Napiš všechna dvojmístná čísla menší než 50 sestavená pouze ze dvou různých číslic. Vyber z nich taková různá čísla, aby byl jejich: a) rozdíl 39; b) rozdíl 31; c) součet 97; d) součet Doplň tabulku autobusu. Víš, že na zastávce A nastoupilo 23 lidí. Na zastávce B vystoupila polovina a půl člověka a nikdo nenastoupil. Totéž se událo na zastávkách C a D. V N J A B C D E 53 a) Najdi dvacátý člen řady 2, 9,8, 15, 14, 21, 20, 27, 26, 33, 32, b) Podle jakého pravidla je řada tvořena? c) Od kterého členu řady budou další členy již větší než 100? 54 Rozhodni, které z těchto šesti tvrzení je pravdivé a které nepravdivé: a) Polovina z poloviny je čtvrtina. b) Obdélník má čtyři úhlopříčky. c) : 15 =192 (5) d) Matka mé matky je moje prababička. e) = 100 f) Je nás ve třídě 25. Co je pravda? 55 Existuje celkem pět dvojciferných čísel, kterými můžeš vydělit číslo beze zbytku. Najdeš je? 56 * Kterým číslem je třeba dělit číslo , aby podíl byl stejný jako dělitel? 103