Magnetická levitace - modelování, simulace a řízení. Bc. Radek Pelikán

Transkript

1 Magneticá levitace - modelování, imulace a řízení Bc. Rade Pelián Diplomová práce 6

2

3

4 ABTRAKT Tato diplomová práce e zabývá modelováním, imulací a řízením reálného modelu magneticá levitace CE5. Cílem je etavit taový matematicý model, terý bude z hledia vtupu a výtupu reálným protějšem evivalentní. Dalším úolem je navrhnout truturu a parametry taových regulátorů, teré zajití levitaci uličy v různých polohách pracovního protoru a dále pa porovnat valitu regulačních pochodů. Klíčová lova: Magneticá levitace, modelování, imulace, řízení, CE5. ABTRACT Thi mater thei deal with modelling and control of the magnetic levitation ytem CE5. The goal i to derive a mathematical model equivalent to the real ytem in term of input/output relation. Next goal i to deign uitable controller enabling levitation of the ball in different poition and compare quality of control procee. Keyword: Magnetic levitaiton, modelling, imulation, control, CE5.

5 Děuji tímto vedoucímu mé diplomové práce Ing. Františovi Gazdošovi za odborné vedení, rady a připomíny, teré mi poytl během řešení této práce. Ve Zlíně. Jméno diplomanta

6 OBAH ÚVOD...8 I TEORETICKÁ ČÁT...9 MATEMATICKÝ POPI A MODELOVÁNÍ... II. VNITŘNÍ TRUKTURA REÁLNÉHO MODELU..... D/A převodní..... Cíva uličou Proudový zeilovač nímač polohy A/D převodní...9. KOMPLETNÍ IMULAČNÍ CHÉMA... PRAKTICKÁ ČÁT... IDENTIFIKACE.... PARAMETRY D/A A A/D PŘEVODNÍKU.... PROUDOVÝ ZEILOVAČ NÍMAČ POLOHY CÍVKA KULIČKOU ROZAH IGNÁLŮ LINEARIZACE LINEARIZACE V PRACOVNÍM BODĚ VOLBA PRACOVNÍHO BODU POROVNÁNÍ MODELŮ ŘÍZENÍ A IMULACE KVALITA REGULAČNÍHO POCHODU PID REGULÁTOR tabilita zpětnovazebního regulačního obvodu PID regulátorem Řízení a imulace PID regulátorem PID REGULÁTOR FILTRACÍ DERIVAČNÍ LOŽKY POLYNOMIÁLNÍ YNTÉZA DOF onfigurace řízení DOF onfigurace řízení zpětnovazební regulátory DIKUE VÝLEDKŮ...7 ZÁVĚR...73 EZNAM POUŽITÉ LITERATURY...74 EZNAM POUŽITÝCH YMBOLŮ A ZKRATEK...75 EZNAM OBRÁZKŮ...78

7 EZNAM TABULEK...8 EZNAM PŘÍLOH...8

8 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 8 ÚVOD Laboratorní model magneticá levitace CE5 předtavuje výuový ériově vyráběný reálný model od firmy HUMUOFT []. Na tomto modelu je možno dobře demontrovat problémy matematicého modelování a řízení reálných proceů. Z hledia teorie automaticého řízení tento model reprezentuje pojitý nelineární netabilní jednorozměrný ytém. Hlavní čátí tohoto modelu je olenoidní cíva jádrem, ocelová uliča a indučnotní nímač polohy. Prochází-li cívou proud, vzniá v oolí cívy magneticé pole. Toto magneticé pole půobí na uliču a vyvolá v ní magneticé pole opačné orientace. Kuliča je tedy při průchodu proudu cívou přitahována jádru. Záladem levitace je rovnováha il, teré na uliču půobí. Model je pře A/D a D/A převodní propojen PC, terým e tento model řídí. Pro vlatní řízení a imulace je použito programové protředí MATLAB/imulin nátavbou Real Time Toolbox. Toto protředí umožňuje použití různých regulátorů ja předem vytvořených, ta i vlatní ontruce. Dále zajišťuje omuniaci modelem magneticé levitace v reálném čae.

9 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 9 I. TEORETICKÁ ČÁT

10 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy MATEMATICKÝ POPI A MODELOVÁNÍ Úolem této apitoly je odvodit matematicý popi reálného modelu magneticá levitace CE5 a implementovat ho do programového protředí MATLAB/imulin. Při modelování e nejdříve provede rozdělení tohoto ytému na dílčí podytémy. Po té e odvodí matematicý popi těchto podytému a jejich odpovídající imulační chémata. Model je PC propojen pře A/D a D/A převodníy, teré jou umítěny na PCI artě. Tato arta je praticy umítěna v PC. Pro tento případ budou vša převodníy považovány za oučát modelu.. Vnitřní trutura reálného modelu Na Obr.. je uvedeno bloové chéma modelu. Vtupem je ignál u MU, terý z pohledu teorie automaticého řízení předtavuje ační záah. Výtupním ignálem je y MU, což je poloha uličy (regulovaná veličina). Reálný model e ládá z náledujících čátí, teré budeme považovat za podytémy. D/A převodní Proudový zeilovač Cíva uličou nímač polohy A/D převodní u MU Reálný model magneticé levitace y MU Obr.. Bloové chéma modelu

11 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy Reálný model magneticé levitace obahuje jednotlivé dílčí bloy, teré jou mezi ebou propojeny. chématicé upořádání je uvedeno na Obr. []. R u MU D/A DA u u am R i L PC Proudový zeilovač c F m A/D x F g y MU DA y x x y MU y nímač polohy Obr.. Vnitřní trutura modelu Vtupní ignál u MU e v D/A převodníu tranformuje na ignál u. Tento ignál vtupuje do proudového zeilovače, terý ho převádí na proud i. Poloha x je ve nímači převedena na ignál y, terý e v A/D převodníu tranformuje na y MU... D/A převodní D/A převodní převádí digitální ignál z PC na analogový napěťový ignál. Jeho čaová ontanta je vůči dynamice ytému zanedbatelná, proto můžeme jeho převodní charateritiu popat lineární funcí ve tvaru: u = () DA umu + u

12 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy de: u výtupní napětí z převodníu [V] DA převodní ontanta [V] u MU vtupní ignál [-] u offet [V] Obr. 3. imulační chéma D/A převodníu Na Obr. 3. je uvedeno imulační chéma D/A převodníu. Toto chéma jme zíali implementací rovnice () do imulačního protředí... Cíva uličou Ja již bylo zmíněno, záladem levitace uličy je rovnováha il, teré na ni půobí. Jedná e o gravitační ílu F g a magneticou ílu F m. Magneticá íla je funcí dvou proměnných, a to proudu a polohy uličy. Gravitační íla je funcí hmotnoti, a tedy v tomto případě ontantní. Pohybové rovnice: F a = F F () m g F m i c = (3) ( x x ) Fg = m g (4) F = m & x x& (5) a fv

13 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 3 i c m & x fv x& = m g (6) ( x x ) de: F a acelerační íla [N] F m magneticá íla [N] F g gravitační íla [N] i proud [A] x poloha uličy [m] c ontanta cívy a uličy [Nm A - ] x offet cívy [m] m hmotnot uličy [g] g gravitační zrychlení [m - ] fv ontanta tlumení [Nm - ] Rovnice (6) popiuje chování uličy v magneticém poli cívy. Jedná e o nelineární diferenciální rovnici druhého řádu. Proud i předtavuje vtupní a poloha x výtupní veličinu. Na Obr. 4. jou uvedeny hlavní čáti modelu a jejich upořádání. Vertiální pohyb uličy je hora omezen jádrem cívy a zdola nímačem polohy.

14 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 4 i c l φd F m F g x Obr. 4. Cíva uličou Legenda Obr. 4.: d průměr uličy [m] l vzdálenot enzoru polohy a jádra cívy [m] x poloha uličy [m] Obr. 5. imulační chéma cívy uličou

15 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 5 Na Obr. 5 je uvedeno imulační chéma cívy uličou. Toto chéma reprezentuje diferenciální rovnici (6). Dále obahuje podytém, terý zajišťuje reet integračního členu, poud je plněna jedna z těchto podmíne: uliča e nachází v dolní rajní poloze a zároveň acelerační íla je nulová uliča e nachází v horní rajní poloze a zároveň acelerační íla je nulová Obr. 6. imulační chéma podytému reetu imulační chéma podytému reetu je uvedeno na Obr. 6. chéma obahuje blo filtr F a, terý zpožďuje acelerační ílu. Tím je zajištěno, aby e během imulačních výpočtů nevyytovaly algebraicé myčy. Čaová ontanta filtru byla zvolena T =.. fa

16 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 6..3 Proudový zeilovač Na Obr. 7. je uvedena vnitřní trutura proudového zeilovače. V tomto případě e nebudeme zabývat přeným eletricým zapojením, ale funčnotí. chéma e ládá ze dvou zeilovačů, oučtového členu a rezitoru R. Rezitor R předtavuje odpor vodiče cívy. R [Ω] am u [V] u m [V] i [A] L [H] u i [V] R [Ω] Obr. 7. Vnitřní trutura proudového zeilovače Legenda Obr. 7. am, ontanty zeílení [-] R odpor vodiče cívy [Ω] L vlatní indučnot cívy [H] R zemnící odpor [Ω] Nyní odvodíme matematicý popi tohoto podytému e zápornou zpětnou vazbou: di u m = ir + L + ir (7) dt u m = u u ) (8) am ( i

17 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 7 ui = R i (9) di ir + L + ir = am ( u R i) () dt di L + ir + ir + am ir = amu () dt di L + ( R + R + amr ) i = amu () dt Provedeme-li přímou Laplaceovu tranformaci za nulových počátečních podmíne, zíáme: I( ) L + ( R + R + R ) I( ) U ( ) (3) am = am I( ) U ( ) = am L + ( R + R + R ) (4) am I( ) U ( ) = am R + R + amr L + R + R + R am (5) Pro zjednodušení vztahu (5) zavedeme ubtituci: T a = L R + R + R (6) am i = am (7) R + R + am R I( ) i G A ( ) = = (8) U ( ) T + a

18 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 8 Chování proudového zeilovače polu cívou můžeme tedy modelovat jao ytém. řádu e zeílením i a čaovou ontantou T a. Obr. 8. imulační chéma proudového zeilovače..4 nímač polohy K měření vertiální polohy je použit indučnotní nímač. Jeho převodní charateritiu můžeme popat lineární funcí ve tvaru []: y = x x + (9) y de: y výtupní napětí ze nímače [V] x zeílení [Vm - ] x poloha [m] y offet [V] imulační chéma tohoto nímače je uvedeno na Obr. 9. Obr. 9. imulační chéma nímače polohy

19 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 9..5 A/D převodní A/D převodní převádí pojitý napěťový ignál na digitální. Chování A/D převodníu můžeme popat lineární funcí ve tvaru []: y = y + y () MU AD MU de: y MU výtupní ignál z převodníu [-] AD převodní ontanta [V - ] y vtupní napětí [V] y MU offet [-] Obr.. imulační chéma A/D převodníu

20 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy. Kompletní imulační chéma Na Obr.. je uvedeno imulační chéma reálného modelu magneticé levice. Toto chéma e ládá z je jednotlivých imulačních bloů popiující dílčí podytémy. Obr.. imulační chéma magneticé levitace

21 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy II. PRAKTICKÁ ČÁT

22 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy IDENTIFIKACE Tato apitola e zabývá identifiací parametrů, jejichž výrobcem uváděné hodnoty neodpovídají dobře zoumanému modelu. Obdobně jao při modelování e bude potupně provádět identifiace parametrů dílčích podytémů.. Parametry D/A a A/D převodníu Tyto převodníy, teré zajišťují propojení modelu a PC, jou umítěny na PCI artě. Tato arta má označení MF64. D/A převodní převádí digitální bezrozměrný ignál v rozahu u = až u =,5 na napěťový ignál u = V až u = V. Odtud je tedy zřejmé, že převodní MU ontanta = V. DA Obdobně lze popat i chování A/D převodníu, terý převádí napěťový ignál rozahu y = V až y = 5 V na bezrozměrný ignál y = až y =. Převodní ontanta =, V -. Offety obou převodníu jou nulové, tedy u V, y. AD MU = MU MU MU = Oba převodníy umožňují natavit periodu vzorování, což je to doba, po teré e převádí ignály. Při měření a řízení byla perioda vzorování v D/A a A/D převodníu tejná, T =, 5.

23 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 3. Proudový zeilovač Ja bylo při odvození matematicého popiu uvedeno, proudový zeilovač lze chápat jao ytém. řádu e zeílením i a čaovou ontantou popiuje vztah (8). T a. Chování tohoto ytému Tabula I. Hodnoty parametrů oučáte v proudovém zeilovači uváděné výrobcem označení hodnota rozměr am - 3,33 - L,3 H R 3,5 Ω R,5 Ω počtěme nyní čaovou ontantu a zeílení proudového zeilovače podle (6) a (7). L 5 T a = = 9 [] R + R + amr am i = =,3 [A/V] R + R + R am Jeliož čaová ontanta T a je v porovnání dynamiou ytému velmi malá, bude blo proudového zeilovače modelován pouze jao zeilovač. To znamená, že imulační chéma na Obr. 8 e zjednoduší na náledující: Obr.. Zjednodušené imulační chéma proudového zeilovače

24 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 4.3 nímač polohy nímač polohy uličy má lineární převodní charateritiu. Pro identifiaci jeho neznámých parametrů x a y budou tedy tačit rajní polohy uličy. Doadíme-li rovnici (9) do () zíáme vztah (), terý popiuje převodní charateritiu nímače polohy a A/D převodníu. y = x () MU AD x + AD y Tabula II. Naměřené a vypočtené hodnoty pro výpočet parametrů nímače polohy i y MU(i) [-] x (i) [m] y (i) [V],37,83,94,57 4,7 y = y,83 [V] () = y() y() x = = 8,36 [Vm - ] x x () ()

25 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 5.4 Cíva uličou Na Obr. 3. je uvedeno zjednodušené vnitřní bloové chéma modelu, de blo cíva uličou tvoří hlavní čát. Budou zde identifiovány parametry c a x. u M [-] DA u [V] i i [A] cíva uličou c x fv x [m] x y [V] AD y MU [-] y Obr. 3. Zjednodušené vnitřní bloové chéma modelu Tabula III. Naměřené parametry podytému cívy uličou označení hodnota rozměr d,7 mm m 8,7 g l 8,4 mm x min mm x max = l - d 5,7 mm Při identifiaci těchto dvou ontant e vycházelo z rovnovážného tavu. To znamená, že čaové derivace jou rovny nule. Gravitační íla je rovna magneticé. F m = F g () i c ( x x ) = m g (3) Indexem ( ) označme hodnoty v rovnovážném tavu.

26 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 6 ( i ) ( x x ) = gm c (4) x i gm = (5) x c Při odmocnění bychom měli právně pát gm ±, pro model vyhovuje pouze c gm c, a to z toho důvodu, že rotoucím proudem uliča leá. i gm gm = x + x (6) c c x c = i + x (7) gm Rovnovážné tavy jou tedy popány lineární rovnicí: x = Ki + (8) x c K = (9) gm

27 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 7 Tabula IV. Naměřené a vypočtené hodnoty v rovnovážných tavech č. m. u MU [-] y MU [-] u [V] i [A] x [ -3 m],64, 5,8,584,59,36,9 4,7,46,3 3,3,8 4,6,78,68 4,9,38 3,8,4,9 5,7,47 3,44,3,84 6,5,57 3,4,9 3,45 7,35,66,7,8 3,99 8,8,75,36,78 4,54 9,97,85,94,58 5,5 Přílad výpočtu pro první řáde tabuly: u = u DA MU =,64 = 5,8 V i = i u =,3 5,8 =,584 A y, 8,36 MU AD,,,83 3 x = = =,59 m AD x y Nyní vyneeme do grafu závilot polohy uličy na proudu, terý prochází cívou v rovnovážném tavu. Rovnice přímy, terá byla zíána lineární regreí, obahuje hledané parametry.

28 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 8 x [m],6,5,4,3, Graf záviloti polohy uličy na proudu v rovnovážném tavu x = -,467i +,776 R =,9943,,5,7,9,,3,5,7 i [A] Obr. 4. Graf záviloti polohy uličy na proudu v rovnovážném tavu Výpočet c a x : x = Ki + x x =,467i +,776 x =,776 m K =,467 ma - Hledaný parametr c počteme z rovnice (3) tato: 3 6 c = K gm =,467 9,8 8,7 =,769 Nm A -

29 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 9 imulaci. V tabulce V. jou uvedeny parametry matematicého modelu, teré byly použity při Tabula V. Parametry matematicého modelu označení hodnota rozměr označení hodnota rozměr DA V x,76 m AD, V - x min m d,7-3 m x max 5,7-3 m m 8,7 - g i,3 AV - g 9,8 m - x 8,36 Vm - fv, Nm - y,83 V c,769 Nm A - T fa,.5 Rozah ignálů Ační záah (vtupní ignál) e může pohybovat v rozahu u = až u =, 5. Tento ignál e pře D/A převodní a proudový zeilovač převede na proud, terý prochází cívou a budí magneticé pole. Proud v cívce e pohybuje v rozahu i = A až i = 3 A. Přepočtový vztah mezi ačním záahem a proudem je: MU MU i = u (3) DA i MU I dyby byl ační záah větší než dovolená horní mez, reálný model obahuje proudový omezovač, terý proud aturuje. Výtupní ignál e pohybuje v rozahu y = až y =. Nenulový offet nímače polohy způobuje, že dolní rajní mez je y =,37, což je ale v podtatě nulová hodnota. Horní rajní mez je y =,94, což odpovídá horní poloze uličy xmax = 5,7 (). -3 MU MU m. Přepočtový vztah mezi polohou a výtupním ignálem popiuje rovnice MU MU

30 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 3 3 LINEARIZACE Tato apitola e zabývá linearizací nelineárního matematicého modelu v oolí zvoleného pracovního bodu. Dále e zoumá, ja e mění parametry linearizovaného ytému v záviloti na volbě tohoto pracovního bodu. 3. Linearizace v pracovním bodě Zavedeme-li do rovnice (6) vliv D/A převodníu, proudového zeilovače (3), nímače polohy a A/D převodníu (), zíáme: m AD x fv DAi umu c & y MU y& MU = m g (3) AD x ymu AD y x AD x Tato rovnice (3) je nelineární diferenciální rovnice. řádu. Vhodnou ubtitucí ji převedeme na outavu dvou diferenciálních rovnic řádu prvního. ubtituce: z = y MU (3) z y& = MU (33) Obecně lze tedy pát: z z = (34) z což bude reprezentovat vetor tavových veličin, jejichž derivace mohou být vyjádřeny v obecné formě jao: počáteční podmínou z& z& = = f ( z, u) f ( z, u) (35)

31 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 3 z = ( t ) z (36) V onrétním případě budou tavové rovnice vypadat náledovně: z& z& = z = AD fv x z AD x DAi umu c + z AD y m x AD x AD x g (37) de proměnná z reprezentuje polohu a z rychlot uličy. V rovnovážném tavu jou čaové derivace rovny nule a tedy po úpravě platí: z = (38) c x AD DAiuMU + x AD x + AD y gm z = (39) Repetive chceme-li počítat veliot ačního záahu u MU v rovnovážném tavu, terý je potřebný pro levitaci uličy v požadované rovnovážné poloze z : u MU z x AD AD = (4) c gm x x AD DA i y Obecný tavový model lineárního t-invariantního ytému má tvar []: x& ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) (4)

32 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 3 počáteční podmínou x = ( t ) x (4) de: u(t) vtupní vetor ( m ) y(t) výtupní vetor ( r ) x(t) vetor tavových veličin ( n ) A tavová matice ytému ( n n) B matice buzení ( n m) C matice výtupní ( r n) D matice převodní ( r m) Zaveďme nyní nové tavové i vtupní veličiny jao odchyly původních veličin od jejich utálených tavů, nejprve obecně: x ( t) = x ( t) x (43) u ( t) = u ( t) u (44) Pro náš onrétní případ: x ( t) = z ( t) z x ( t) = z ( t) z (45) u( t) = u ( t) (46) MU u MU Jeliož rychlot uličy je v rovnovážném tavu nulová, z, můžeme rovnice (45) přepat do náledujícího tvaru: = x ( t) = z x ( t) = z ( t) z ( t) (47)

33 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 33 Ze outavy rovnic (35) počítáme nejdříve obecně podle [3] tavovou matici a matici buzení linearizovaného ytému. = z f z f z f z f A (48) = u f u f B (49) Jednotlivé prvy těchto matic předtavují parciální derivace funcí, teré popiují chování ytému, podle přílušných proměnných v pracovním bodě, a jou tedy ontantní. Nyní ze outavy diferenciálních rovnic (37) počteme podle (48) a (49) onrétní matice: = fv x AD x AD AD c MU i DA x AD m x y z m u A 3 ) ( (5) = x y z m u B x AD AD c MU i DA x AD (5) Jeliož výtupním parametrem ze ytému je poloha, bude matice C pouze vetor ve tvaru: [ ] = C (5)

34 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 34 Matice převodu D je nulová, tedy: [ ] D = (53) Doadíme-li do matic (5) a (5) vztah (38), ta po úpravě zíáme: A = DA u i g MU m c g m fv (54) B = AD x g (55) umu Důledem zavedení odchylových veličin (46) a (47) je utečnot, že počáteční podmíny pro tavové veličiny jou nulové. Tímto potupem jme tedy zíali linearizovaný tavový popi (56) původně nelineárního ytému (3). x& ( t) = A y( t) = C x( t) + B x( t) u( t) (56) počáteční podmínou x ( ) = (57) Převedeme-li tavový popi (56) na vtupně výtupní podle náledujícího vztahu [4]: G + det( I A ) ( ) = C adj( I A ) B D (58) de je operátor Laplaceovy tranformace a A, B, C, D jou přílušné matice tavového popiu (56).

35 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 35 Podle vztahu (58) zíáme přeno: G( ) b = + a + a (59) de jednotlivé oeficienty jou dány vztahy: g b = u (6) AD x MU fv a = (6) m a g = (6) c DAiuMU m g Podle rovnice (63) počítejme pro ontrolu zeílení, teré by v tomto případě mělo být ontantní (nezávilé na volbě pracovního bodu). Kontantní zeílení vychází z rovnovážného vztahu rovnice (3) a popiuje vztah mezi rovnovážnou polohou rovnovážným ačním záahem u UM. z a b = a umu = g DA u i AD MU x g m c g = DA x AD i m c g (63) 6,769 = 8,36,,3 = 4,6 [-] 3 8,7 9,8

36 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy Volba pracovního bodu Nyní prozoumáme, ja e mění parametry linearizovaného ytému v záviloti na volbě pracovního bodu. Zvolme tři pracovní body, ve terých provedeme linearizaci. První v polovině dráhy, po teré e může uliča pohybovat a další dva ± 3 % od této hodnoty. Pracovní bod P : max 5,7 x = x = =,85 mm, čemuž odpovídá hodnota výtupu y MU =, 47 a ační záah u =,75. MU Potom tedy přeno počtený podle rovnice (59), repetive podle (6), (6) a (6) je: 879 G ( ) = (64), Tabula VI. Hodnoty pracovních bodů a jim odpovídajících veličin Pracovní x [mm] u MU [-] y MU [-] Přeno póly bod P (+3%) 4,56,4,75 ( 83 p = 79,54 G ) =, p = -77, P,85,75,47 G ) = ( 84, p = 64,45 p = -6,3 P 3 (-3%),4,63,9 G ) = 3 ( 3638, p 3 = 55,66 p 3 = -53,4 Přeno zíaný linearizací v pracovním bodě P i, má reálné ořeny, jeden tabilní a jeden netabilní. To znamená, že ytém je netabilní. Poouvá-li e pracovní bod maximální poloze, ořeny přenou e vzdalují od imaginární oy.

37 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy Rozlozeni polu v ompexni rovine G G G 3 Im Re Obr. 5. Rozložení pólů linearizovaného ytému v omplexní rovině..8 AFFCH G G G 3.6 Im Re Obr. 6. Amplitudová fázová frevenční charateritia jednotlivých přenoů

38 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy Porovnání modelů Porovnejme nyní chování reálného, nelineárního a linearizovaého modelu v oolí pracovního bodu P. Abychom mohli toto rovnání provét, muíme výtupu linarizovaného ytému přičítat hodnotu polohy chéma pro toto rovnání je uvedeno na Obr. 7. y MU v pracovním bodě P. imulační Obr. 7. imulační chéma pro porovnání modelů Pro porovnání byl zvolen PID regulátor filtrací derivační ložy [5]. Tento regulátor je popán přenoem: I D G R ( ) = P + + (65) + N Porovnání bylo provedeno parametry, teré jou uvedeny v Tabulce VII. Natavení je totožné pro všechny tři regulační myčy. V tomto případě e návrhem parametrů regulátoru nebudeme zabývat. Ten je uveden v apitole 4...

39 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 39 Tabula VII. Parametry PID regulátoru filtrací der. ložy α a P I D N 45,,547 4,95, Prubeh polohy w, y MU [-] lin. model realny model nelin. model w P t [] Obr. 8. Průběh polohy, porovnání jednotlivých modelů Z průběhu polohy na Obr. 8. je vidět, že ja nelineární ta i linearizovaný matematicý model popiuje chování reálného modelu v oolí pracovního bodu P velmi přeně. Pozn.: imulační model, ta ja ho uvádí výrobce ve vém manuálu [], chování zoumaného reálného modelu vůbec nevytihuje. Parametry jou nevyhovující, trutura je nepřená.

40 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 4 4 ŘÍZENÍ A IMULACE Tato apitola e zabývá návrhem lineárních pojitých regulátorů pro účely řízení daného ytému. Všechny typy regulátorů jou navrženy přenou G. Jao referenční, ta i poruchový ignál bude brána v úvahu oová změna. Nelineární netabilní ytém magneticé levitace bude tedy řízem lineárním robutním regulátorem. Robutnotí v tomto mylu chápeme jao necitlivot regulátoru vůči změně parametrů řízeného ytému (regulátor je navržen pouze na záladě linearizovaného modelu). Dále e porovná chování reálného a matematicého modelu. Kvalita regulačního pochodu e vyhodnotí vhodným riteriem vality. 4. Kvalita regulačního pochodu Pojem valita regulačního pochodu (valita řízení) [6] je chápán jao chování regulované (řízené) veličiny v průběhu řízení. Exituje celá řada riterií, teré pouzují regulační pochod z různých hledie. Pro tento případ byly vybrány dvě náledující riteria. Kriterium podle maximálního přeregulovaní Maximální přeregulování [6] e zpravidla hodnotí v procentech pomocí veličiny definované vztahem: y M [%] σ = (66) w de: y M maximální přemit regulované veličiny v daném intervalu w změna žádané veličiny

41 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 4 Integrál vadrátu regulační odchyly Kritérium je definováno vztahem [6]: J = e ( t) dt (67) de: e( t) = w( t) y( t) Pro tento případ budou upraveny meze integrálu na tvar: t J = e ( t) dt (68) t Určité meze integrálu předtavují čaový interval, ve terém e valita regulace leduje. Protože pracujeme vetory dirétně naměřených dat, upravíme riterium (68), ta že integrál nahradíme umací: J = e( ) + e( ) T (69) de: e( ) = ( w( ) y ( ) ) MU = tt = tt Tato náhrada e taé v literatuře označuje jao lichoběžníová [7]. Hodnota T předtavuje periodu vzorování, po teré jou data do přílušných vetorů uládány. V tomto případě byla pro všechna měření zvolena T =, 5, čaový interval pa t = a t = 5. Pozn.: Před vlatním vyhodnocením vality regulace dvěma výše uvedenými ritérii, přefiltrujeme regulovanou veličinu. Tuto filtraci provedeme z důvodu odtranění šumu.

42 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 4 chéma pro filtrování regulované veličiny je uvedeno na Obr. 9. Čaová ontanta filtru byla zvolena T =,. f Obr. 9. imulační chéma filtru polohy 4. PID regulátor Na Obr.. je uvedena obecná trutura zpětnovazebního regulačního obvodu regulátorem PID [4]. Vtupním ignálem tohoto obvodu je žádaná veličina w. Výtupem je regulovaná veličina y. Na záladě regulační odchyly e generuje PID regulátor ační záah u, terý vtupuje do regulované outavy G. w e PID u G y Obr.. Obecná trutura zpětnovazebního regulačního obvodu PID regulátorem Přeno ideálního PID regulátoru je: I G R ( ) = P + + D (7) de P, I, D jou tavitelné parametry tohoto regulátoru.

43 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy tabilita zpětnovazebního regulačního obvodu PID regulátorem Charateriticý polynom uzavřeného regulačního obvodu (URO) e dá podle [4] odvodit jao: 3 + a + b D) + ( a + b P) + b I = d( ) (7) ( Nutnou podmínou tability URO je, aby všechny oeficienty měli hodné znaméno, tedy v našem případě ladné. Z tohoto tvrzení plynou náledující podmíny: a + b D (7) > a + b P (73) > de: a <, a <, b a dále předpoládáme že P,I,D > > b I > (74) Odvoďme nyní podmíny tability zpětnovazebního regulačního obvodu pomocí Hurtwitzova ritria []: Hw a + bd b I = (75) a + b P Hw = a + b D (76) Regulační obvod bude tabilní, dyž bude platit: Hw > Hw > (77)

44 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 44 Druhá čát podmíny (77) je totožná nerovnicí (7). Odtud plyne omezení na parametr D: a D > (78) b Z nerovnice (73) plyne omezení na parametr P: a P > (79) b Omezení na ložu I plyne z první čáti podmíny (77) a je: I a a + a b P + a b D b PD < (8) b Vyčílíme-li podmínové nerovnice (78) a (79) pro přenog, dotaneme onrétní omezení: 4 D >,3 (8) loža I je závilá na volbě P a D. P >,7 (8) Nerovnice (78),(79) a (8) vyjadřují podmíny, za terých bude uzavřený regulační obvod tabilní. Není z nich vša patrné, zda-li bude mít charateriticý polynom reálné či omplexní ořeny, tedy nedozvíme e nic o valitě řízení. Experimentováním modelem bylo zjištěno, že poud má charateriticý polynom URO (7) jiné než reálné ořeny, regulovaná veličina při regulačním pochodu netlumeně mitá (což je pravděpodobně důlede zjednodušení původně nelineárního modelu na linearizovaný a náledný návrh regulátoru podle něho). Proto při návrhu parametrů PID regulátoru zvolíme trochu netradiční způob výpočtu, charateriticý píše pro metody polynomiální yntézy.

45 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 45 Zvolme tedy polynom d() na pravé traně polynomiální rovnice (6) tato: 3 d ) = ( + ) (83) ( α de: α > což by mělo zabezpečit (alepoň v blízoti zvoleného pracovního bodu) aperiodicý, tedy nemitavý průběh regulované veličiny. Touto volbou e ice poněud omezí možnoti natavení regulátoru, nicméně ompenzováno to bude jednoduchotí způobu ladění regulátoru pouze jedním parametrem. Porovnáme-li oeficienty u přílušných mocnin proměnné zíáme náledující rovnice: P 3 = α (84) b a I 3 α = (85) b D 3 a b = α (86) Tyto rovnice definují hledané parametry PID regulátoru a jou pouze funcí α. Vymezení intervalu volby α: Parametr α, což je vlatně abolutní hodnota trojnáobného ořenu charateriticého polynomu URO, lze teoreticy volit z intervalu ( ; ). Vyřešme nyní závilot citlivoti regulačního obvodu na volbě α. Citlivotní funce [8] uzavřeného regulačního obvodu je definována vztahem: ( ) = (87) + G ( ) G( ) R Tedy pro náš případ:

46 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy a + a ( ) = (88) α + 3α + α počtěme nyní normu tato: H citlivotní funce (). Podle [8] je norma H definována ( jω) c ω R (89) Nejmenší taové c e označuje a je to norma H. Podle definice je taé poloměr nejmenší ružnice opané olem amplitudové fázové frevenční charateritiy e tředem v počátu omplexní roviny. Pro vlatní výpočet byla použita funce z Matlabu norm, tedy: c = norm(,inf) (9) 5 Závilot normy cit. funce na alfa c α Obr. Graf závilot normy citlivotní funce na parametru α, PID

47 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 47 Z grafu na Obr.. je vidět, že rotoucím parametrem α, leá norma H citlivotní funce. V tomto případě je pro ná norma H citlivotní funce jaými číelným vyjádřením citlivoti regulačního obvodu na změnu parametrů řízeného ytému. To znamená, že e zvyšuje robutnot regulátoru. Od hodnoty α olem 45 e norma H citlivotní funce výrazně nemění a je ontantní. Z tohoto důvodu byl pro regulaci zvolen parametr α blízý této hodnotě. 4.. Řízení a imulace PID regulátorem Obr.. chéma regulačního obvodu PID regulátorem Na Obr.. je uvedeno chéma pro řízení polohy. Toto chéma je oproti laicému zpětnovazebnímu regulačnímu obvodu doplněno o blo filtr w, terý filtruje žádanou veličinu. Čaová ontanta tohoto filtru byla zvolena T f =,5. Tento filtr byl přidán do regulačního obvodu z toho důvodu, aby e zamezilo otré oové změně žádané veličiny. Obvod bez tohoto filtru nevyazoval dobré výledy pro větší oové změny žádané veličiny. Protože v literatuře e čato etáváme přenoem PID regulátoru ve tvaru (9), než popiem (7), uvedeme parametry PID regulátoru i v tomto vyjádření. G = + + T R ( ) r d (9) Ti

48 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 48 de: r zeílení regulátoru [-] T i integrační čaová ontanta [] T d derivační čaová ontanta [] Přepočtové vzorce mezi přenoy (7) a (9) jou náledující: r = P (9) P T i = (93) I D T d = (94) P V Tabulce VIII. jou uvedeny parametry PID regulátoru, teré byly při regulaci použity. Tabula VIII. Parametry PID regulátoru α P I D r T i T d 4,478 3,478,67,478,38,39 45,547 4,953,75,547,,36 5,65 6,797,83,65,9,33

49 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy Prubeh polohy, PID mat. model real. model α = 4 w, y MU [-] t [] Obr. 3. Průběh polohy, PID, α = Prubeh acniho zaahu, PID mat. model real. model α = 4 u MU [-] t [] Obr. 4. Průběh ačního záahu, PID, α = 4

50 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 5 Na Obr. 3. je uvedeno rovnání průběhů polohy reálného a matematicého modelu během regulace. Z tohoto průběhu je vidět, že odvozený matematicý model popiuje chování reálného modelu velmi přeně. Na Obr. 4. je pa rovnání ačních záahů pro reálný a matematicý model Prubeh polohy, PID, porovnani = 4 = 45 = 5 α α α w, y MU [-] t [] Obr. 5. Průběh polohy, PID, porovnání pro různé α Na Obr. 5. je uveden průběh polohy uličy reálného modelu během regulace pro různé hodnoty parametru α. Z těchto průběhů je patrné, že rotoucím parametrem α je regulační pochod rychlejší. Tento parametr totiž předtavuje převrácenou hodnotu čaové ontanty charateriticého polynomu URO. Dále je vidět, že rotoucím α e zmenšuje přemit regulované veličiny.

51 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 5 Tabula IX. Kvalita regulace, PID regulátor α J -3 σ [%] σ [%] σ 3 [%] 4, , ,5 8 9 V Tabulce IX. jou uvedeny hodnoty vadraticého ritéria J pro různou volbu parametru α. Dále jou zde uvedeny hodnoty přemitů σ i pro první (v čae t = ), druhou (v čae t = 3 ) a třetí (v čae t = 4 ) oovou změnu žádané veličiny. 4.3 PID regulátor filtrací derivační ložy Obecná trutura regulačního obvodu tímto regulátorem je totožná předchozí truturou, terá je uvedena na Obr.. Přeno PID regulátoru filtrací derivační ložy je dán vztahem [5]: I D G R ( ) = P + + (95) + N de hodnota N předtavuje čaovou ontanta filtru. P N = (96) Da Parametr a e zpravidla volí v intervalu (,5 ;,).

52 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 5 V tomto případě e nebudeme zabývat tabilitou URO, ani návrhem parametrů regulátoru. Pro regulaci použijeme parametry, teré jou uvedeny v Tabulce VIII., pro α = 45. Omezíme e tedy na jediný volitelný parametrem a. Obr. 6. chéma regulačního obvodu PID regulátorem, filtrace derivační ložy Na Obr. 6. je uvedeno chéma regulačního odbodu tímto regulátorem. Toto chéma je obdobné jao chéma na Obr.. Tabula X. Parametry PID regulátoru filtrací derivační ložy α a P I D N 45,,547 4,95, ,,547 4,95, Na Obr. 7. je uvedeno rovnání průběhu polohy uličy reálného a matematicého modelu. Průběhy e téměř ryjí, rozdíl je jen na počátu, dy e uliča zvedá nulové polohy. Na Obr. 8. jou pa uvedeny průběhy ačních záahů reálného a matematicého modelu.

53 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 53 Prubeh polohy, PID filtraci derivacni lozy.8.7 mat. model real. model α = 45 N = w, y MU [-] t [] Obr. 7. Průběh polohy, PID filtrací derivační ložy Prubeh acniho zaahu, PID filtraci derivacni lozy mat. model real. model α = 45 N = u MU [-] t [] Obr. 8. Průběh ačního záahu, PID filtrací derivační ložy

54 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 54 Prubeh polohy, PID filtraci derivacni lozy.8.7 N = 733 N = 366 α = 45.6 w, y MU [-] t [] Obr. 9. Průběh polohy, PID filtrací derivační ložy, porovnání pro různé N Na Obr. 9. je uvedeno rovnání průběhů polohy uličy reálného modelu pro různé hodnoty parametru N, repetive a. Z tohoto rovnání jde vidět, parametr a nemá na průběh regulace významný vliv. Tabula XI. Kvalita regulace, PID filtrací der. ložy α a J -3 σ [%] σ [%] σ 3 [%] 45,,5 4 45,,3 9 9 Z Tabuly XI., de jou uvedeny hodnoty ritérií vality regulace, je vidět, že pro větší a, je valita regulace nepatrně lepší. Přemity jou rovnatelné.

55 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 55 Na Obr.3. je uvedeno rovnání průběhů polohy uličy reálného modelu při regulaci ideálním PID a PID regulátorem filtrací derivační ložy. Z obrázu je vidět, že oba průběhy jou téměř totožné. To znamená, že zavedení filtru do derivační ložy PID regulátoru e na valitě regulačního obvodu v tomto případě výrazně neprojeví..8.7 Prubeh polohy, idealni PID a PID filtraci derivacni lozy ideal. PID PID fil. der.. α = 45 N = w, y MU [-] t [] Obr. 3. Průběh polohy, ideální PID a PID filtrací derivační ložy

56 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy Polynomiální yntéza Na rozdíl od předchozích regulátorů budou v této apitole navrženy nejen parametry, ale taé trutura regulátorů. Teorie návrhů těchto regulátorů je založena na algebraicém přítupu DOF onfigurace řízení Na Obr. 3 je uvedena obecná trutura regulačního obvodu DOF. Tento regulační obvod má jeden tupeň volnoti (z anglicého Degree Of Freedom). Popi vtupních a výtupních ignálů je tejný jao u regulačního obvodu PID regulátoru. V tomto případě navíc uvažujeme měřitelnou poruchu v, terá e na výtupu z regulované outavy přičítá regulované veličině y. Obr. 3. Obecná trutura regulačního obvodu DOF K přenou G navrhneme podle [9] regulátor ve tvaru: ) ( ) ( p p q q q Q = (97) Charateriticý polynom URO: ) ( ) ( ) ( ) ( 3 4 d q b q b p a q b p a p a p a p p = (98) Q G w y e v u

57 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 57 Abychom e vyhnuli mitavému průběhu regulované veličiny, zvolíme polynom d() na pravé traně polynomiální rovnice (98) tato: 4 d ( ) = ( + α) (99) de: α > Tím e omezíme na volbu jednoho parametru, terý předtavuje abolutní hodnotu čtyřnáobného ořenu polynomu d (). Úpravou a porovnáním oeficientů u tejných mocnin proměnné, zíáme rovnice, teré tvoří hledané parametry regulátoru. p = () q 4 α = () b p = 4α a () q 4a a 3 = (3) b p q 6 a p a = α (4) b

58 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 58 Obdobně jao v 4.. vyřešme závilot normy Citlivotní funce uzavřeného regulačního obvodu regulátorem Q () je: H citlivotní funce na α. + ( a + p ) + ( a + a 4 3 ( ) = (5) p ) + 4α + 6α + 4α + α + a p 5 Závilot normy cit. funce na alfa c α Obr. 3 Graf závilot normy citlivotní funce na α, DOF onfigurace řízení Z grafu na Obr. 3. je vidět, že rotoucím α leá norma hodnoty α olem 9 e norma H citlivotní funce. Od H citlivotní funce výrazně nemění a je ontantní. Z tohoto důvodu byl pro regulaci zvolen parametr α blízý této hodnotě.

59 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 59 Obr. 33. chéma regulačního obvodu DOF Na Obr. 33. je uvedeno chéma regulačního obvodu DOF. Obdobě jao u regulačního obvodu PID regulátorem, je toto chéma doplněno a blo filtr w. Tabula XII. Parametry regulátoru Q α q q q p 7,85 35,93 34,9 8,4 3,53 34, ,9 4,4 3 5,797 59, 55,3 5, Na Obr. 34. je uvedeno rovnání průběhů polohy reálného a matematicého modelu během regulace. Na Obr. 35. je pa rovnání ačních záahů pro reálný a matematicý model.

60 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 6 Prubeh polohy, DOF.8.7 mat. model real. model α = 7.6 w, y MU [-] t [] Obr. 34. Průběh polohy, DOF onfigurace řízení Prubeh acniho zaahu, DOF mat. model real. model α = 7 u MU [-] t [] Obr. 35. Průběh ačního záahu, DOF onfigurace řízení

61 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 6 Prubeh polohy, DOF, porovnani.8.7 α α α = 7 = = 3.6 w, y MU [-] t [] Obr. 36. Průběh polohy, DOF onfigurace řízení, porovnání pro různé α Na Obr. 36. je uvedeno rovnání průběhů polohy uličy reálného modelu pro různé hodnoty parametru α. Z obrázu je vidět, že rotoucím α e zvyšuje rychlot regulačního pochodu e nižuje přemit regulované veličiny. Tabula XIII. Kvalita regulace, DOF onfigurace řízení α J -3 σ [%] σ [%] σ 3 [%] 7 6, 5 9, , Z Tabuly XIII je vidět, že nejlepšího průběhu regulačního pochodu je doaženo při hodnotě parametru α =.

62 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy DOF onfigurace řízení Na Obr. 37 je uvedena trutura regulačního obvodu DOF. Regulační obvod e ládá z přímovazební a zpětnovazební čáti. Má dva tupně volnoti.. Popi vtupních a výtupních ignálů je tejný jao u regulačního obvodu DOF. Obr. 37. Obecná trutura regulačního obvodu DOF K danému přenou G navrhneme podle [9] zpětnovazební (6) a přímovazební (7) čát regulátoru: ) ( ) ( p p q q q Q = (6) ) ( ) ( p p r R + = (7) Charateriticý polynom URO: ) ( ) ( ) ( ) ( 3 4 d q b q b p a q b p a p a p a p p = (8) tabilitu URO zajišťuje zpětnovazební čát, repetive tabilní polynom d() na pravé traně polynomiální rovnice (8). Aymptoticé ledování referenčního ignálu zajišťuje přímovazební čát URO. Hledaný parametr r, zíáme řešením druhé polynomiální rovnice (9). R G Q w y v u -

63 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy t + t + t + t + b r = d( ) (9) 3 Kde t je pomocný polynom, terý do regulátorů nevtupuje, ale je nutný pro řešení této rovnice. Polynom d() na pravé traně polynomiálních rovnic (8) a (9) zvolme tejně jao v předchozím případě: 4 d ( ) = ( + α) () Obdobně jao při DOF porovnáme oeficienty jednotlivých mocnin u proměnné a po úpravě zíáme hledané rovnice regulátorů Q () a R () : p = () q 4 α = () b p = 4α a (3) q 4 a p b 3 = α (4) q 6 a p a = α (5) b 4 α r = (6) b

64 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 64 Obr. 38. chéma regulačního obvodu DOF Na Obr. 38. je uvedeno chéma regulačního obvodu DOF. Toto chéma již není o blo filtr w doplněno, jeliož filtraci žádané veličiny zajišťuje regulátor R. V Tabulce XIV jou uvedeny parametry regulátorů Q a R, teré byly při jednotlivých regulačních pochodech použity. Tabula XIV. Parametry Q a R regulátorů α q q q p r 7,85 35,93 34,9 8,4 34,9 3,53 34, ,9 4,4 5434,9 3 5,797 59, 553 5,4 553 Na Obr. 39. je uvedeno rovnání průběhů polohy reálného a matematicého modelu během regulace. Z průběhů je vidět, že regulační pochod má průběh bez přemitu. Na Obr. 4. je pa rovnání ačních záahů pro reálný a matematicý model.

65 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 65 Prubeh polohy, DOF.7.6 mat. mode real. model α = 7.5 w, y MU [-] t [] Obr. 39.Průběh polohy, DOF onfigurace řízení Prubeh acniho zaahu, DOF mat. mode real. model α = 7 u MU [-] t [] Obr. 4. Průběh ačního záahu, DOF onfigurace řízení

66 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy Prubeh polohy, DOF, porovnani α α α = 7 = = 3.5 w, y MU [-] t [] Obr. 4. Průběh polohy, DOF onfigurace řízení, porovnání pro různé α Na Obr. 4. je uvedeno rovnání průběhů polohy uličy reálného modelu pro různé hodnoty parametru α. Z obrázu je vidět, že rotoucím α e zvyšuje rychlot regulačního pochodu. Všechny regulační průběhy jou bez přemitu. Tabula XV. Kvalita regulace, DOF α J -3 σ [%] σ [%] σ 3 [%] 7 9, , , Z Tabuly XV. je vidět, že minimální hodnotu riteria vality regulace, má regulační průběh parametrem α = 3.

67 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy zpětnovazební regulátory Na Obr. 4. je uvedeno chéma regulačního obvodu e dvěmi zpětnovazebními regulátory. Tento regulační obvod tvoří jaýi hybrid mezi DOF a DOF. Obr. 4. Obecná trutura regulačního obvodu e dvěma zpětnovazebními regulátory Podle [9] navrhneme truturu regulátorů: ) ( p p q q Q + + = (7) ) ( ) ( p p r r r R = (8) Polynomiální rovnice, repetive charateriticý polynom URO je pa ve tvaru: ) ( ) ( ) ( ) ( 3 4 d t b t b p a t b p a p a p a p p = (9) Polynom ) ( d je tabilní polynom na pravé traně polynomiální rovnice (9), zvolme ho tato: R G Q w y e v u

68 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 68 4 d ( ) = ( + α) () Porovnáním oeficientů jednotlivých mocnin u proměnné a po úpravě zíáme hledané parametry regulátorů Q () a R () : p = () p = α a () 4 p t 4 α = (3) b 4a a p 3 = (4) b t t 6 a = α (5) b p a r = t (6) r = β (7) t q ( β) t = (8) r = β (9) t q ( β ) t = (3) de: β, β jou volitelné parametry, β, ; β. V tomto případě e omezíme na volbu jednoho parametru.

69 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 69 β = β = β (3) Zvolíme-li β =, regulační obvod e chová jao DOF a pro β = e chová jao DOF. Obr. 43. chéma regulačního obvodu e dvěmi zpětnovazebními regulátory V Tabulce XVI jou uvedeny parametry regulátorů Q a R, teré byly při jednotlivých regulačních pochodech použity. Tabula XVI. Parametry regulátorů R a Q, zpětnovazební regulátory α β r r r q q p 7,3,5557 4,77 34,9,966 95,5 8,4 7,5,96 67,96 34,9,96 67,96 8,4 7,7,966 95,5 34,9,5557 4,77 8,4 Na Obr. 44. je uvedeno rovnání průběhů polohy reálného a matematicého modelu během regulace. Z průběhů je vidět, že regulační pochod má aperiodicý průběh bez přemitu. Na Obr. 45. je pa rovnání ačních záahů pro reálný a matematicý model.

70 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 7 Prubeh polohy, zpetnovazebni regulatory.8.7 mat. model real. model α = 7 β =.3.6 w, y MU [-] t [] Obr. 44.Průběh polohy, zpětnovazební regulátory Prubeh acniho zaahu, zpetnovazebni regulatory mat. model real. model α = 7 β = u MU [-] t [] Obr. 45.Průběh ačního záahu, zpětnovazební regulátory

71 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy Prubeh polohy, zpetnovazebni regulatory, porovnani β =.3 β =.5 β =.7 α = 7 w, y MU [-] t [] Obr. 46.Průběh polohy, zpětnovazební regulátory, porovnání pro různé β Na Obr. 46. je uvedeno rovnání průběhů polohy uličy reálného modelu pro různé hodnoty parametru β. Z obrázu je vidět, že rotoucím β e zvyšuje rychlot regulačního pochodu a tay e zvyšuje přemit regulované veličiny. Tabula XVII. Kvalita regulace, zpětnovazební regulátory α β J -3 σ [%] σ [%] σ 3 [%] 7,3 8, ,5 7, 4 7,7, Z Tabuly XVII. je vidět, že minimální hodnotu riteria vality regulace, má regulační průběh parametrem β =,5, i dyž tento průběh má výrazný přemit. Průběh regulačního pochodu pro parametr β =,3 je bez přemitu.

72 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy Diue výledů V Tabulce XVIII. je uveden přehled hodnot riterií valit jednotlivých regulačních pochodů. Minimální hodnota riteria vality J bylo doaženo při regulační pochodu e dvěmi zpětnovazebními regulátory, při hodnotách volitelných parametrů α = 7, β =,5. Tento regulační průběh obahuje vša přemity. Malého riteria J bylo taé doaženo při volbě parametru β =,3. Tento regulační průběh je navíc bez přemitů. Nejvyšší hodnoty riteria vality regulace bylo doaženo e truturou regulačního obvodu DOF, při natavení volitelného parametru α = 7. Ale zato regulační pochod přemity neobahuje. Z tabuly je dále patrné, že poud požadujeme regulační pochod bez přemitu, je třeba zvolit něterou z výše uvedených metod polynomiální yntézy. Poud ale přemit není nežádoucí, můžeme zvolit pro regulaci i něterý z regulátorů pevně danou truturou. imulace, teré jou uvedeny polu regulačními pochody, uazují, že odvozený matematicý model popiuje chování reálného protějšu velmi přeně. Tabula XVIII. Kvalita regulace, porovnání jednotlivých regulačních pochodů Typ regulátoru α a β J -3 σ [%] σ [%] σ 3 [%] PID PID filtrací 4 - -, , , , -,5 4 der. ložy 45, -,3 9 9 DOF DOF zpětnovazební regulátory , , , , , , ,3 8, ,5 7, 4 7 -,7,

73 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 73 ZÁVĚR Tato diplomová práce e zabývá modelováním, imulacemi a řízením reálného modelu magneticá levitace CE 5. V teoreticé čáti bylo zpracováno matematicé modelování tohoto ytému. V experimentální čáti jem e zabýval: identifiací neznámých parametrů matematicého modelu linearizací nelineárního matematicého modelu v oolí zvoleného pracovního bodu porovnáním reálného, nelineárního a linearizovaného modelu v oolí pracovního bodu z hledia taticého a dynamicého chování návrhem regulátorů, imulacemi a řízením modelu magneticé levitace porovnáním a vyhodnocením regulačních pochodů. Dále byly zjištěny něteré pecificé vlatnoti tohoto ytému, a to, že tento nelineární netabilní ytém má lineární leající rovnovážnou charateritiu. To znamená, že má ontantní záporné zeílení. V této diplomové práci bylo potupováno podle jednotlivých bodů zadání. Hlavního cíle, řízení vertiální polohy uličy, bylo doaženo e všemi zvolenými regulátory. Nejložitější čátí této práce bylo etavení, identifiace a odladění matematicého modelu ta, aby co nejlépe popioval reálný ytém. K problému řízení polohy uličy v magneticém poli eletromagnetu lze přitupovat i jinými způoby. Napřílad iterativním laděním zpětné vazby [], fuzzy regulací nebo adaptivním řízením. Co e týče dalšího zoumání a práce modelem, navrhuji změřit a vyhodnotit frevenční charateritiy tohoto modelu, nebo dále vyzoušet adaptivní řízení.

74 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 74 EZNAM POUŽITÉ LITERATURY [] CE 5 Magnetic levitation model - educational manual. Humuoft.r.o.,. [] BALÁTĚ, J. Vybrané tatě z automaticého řízení. UTB ve Zlíně, duben 3.IBN [3] Mileš, J., Fiar, M.: Proce Modelling, Identifcation, and Control I. Model and dynamic characteritic of continuou procee. TU Pre, Bratilava, 7pp,. IBN [4] BALÁTĚ, J.: Automaticé řízení. BEN-technicá literatura, Praha 3.. vydání. IBN [5] Mileš, J., Fiar, M.: Modelovani, identifiácia a riadenie proceov II. Identifiácia a optimálne riadene. TU Bratilava. Verzia: 9. mája 4. [6] Robert C. Rice, Rachelle R. Jyringi, Dougle J. Cooper: Performace Monitoring Fundamental: Demytifying Performace Aement Technique. Dotupné z: < [7] Vaše, V.: Teorie automaticého řízení II. Vyoé učení technicé v Brně. Faulta technologicá, 989. [8] Robutní řízení: Netruturované neurčitoti,. Neurčitoti normy. Katedra řídicí techniy ČVUT-FEL Praha. Polední revie Dotupné z: < >. [9] Dotál, P., Bobál, V., Gazdoš, F.: Adaptive control of nonlinear procee uing polynomial approach and LQ control technique. Proc. of th Mediterranean Conference on Control and Automation MED, Libon, Portugal,. Paper no. TUA-6, IBN X. [] Gächter,.: Optimization of the magnetic levitation proce by iterative feedbac tuning - thei, wi federal intitute of technology, Lauanne,.

75 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 75 EZNAM POUŽITÝCH YMBOLŮ A ZKRATEK A a i tavová matice ytému oeficient jmenovatele přenou B b matice buzení oeficient čitatele přenou C matice výtupní c norma citlivotní funce H D d e F a matice převodní tabilní polynom regulační odchyla acelerační íla F g gravitační íla F m g Hw magneticá íla gravitační zrychlení Hurtwitzův determinant hw, prvy Hurtwitzova determinantu i j i J eletricý proud riterium vadraticé plochy regulační odchyly zeílení ytému převodní ontanta A/D převodníu AD zeílení přímovazebního zeilovače am c ontanta cívy a uličy převodní ontanta D/A převodníu DA

76 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 76 zeílení zpětnovazebního zeilovače x převodní ontanta nímače polohy i zeílení proudového zeilovače ontanta tlumení fv L l vlatní indučnot cívy vzdálenot nímače a jádra cívy m hmotnot uličy N m parametr PID regulátoru filtrací derivační ložy hmotnot uličy p i oeficient jmenovatele přenou polynomiálního regulátoru q i oeficient čitatele přenou polynomiálního regulátoru R R odpor vodiče cívy zemnící odpor r i oeficient čitatele přenou polynomiálního regulátoru T f Čaová ontanta filtru žádané veličiny T Čaová ontanta filtru acelerační íly v podytému reetu fa t u u m pomocný polynom polynomiální rovnice výtupní napětí z D/A převodníu napětí na cívce a zemnícím odporu u vtupní ignál D/A převodníu MU u i napětí na zemnícím odporu v w poruchová veličina žádaná veličina

77 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 77 x poloha uličy x maximální poloha uličy max x minimální poloha uličy min y vtupní napětí A/D převodníu y výtupní napětí A/D převodníu MU z i pomocné ubtituenty α β σ i abolutní hodnota n-náobného pólu polynomu d (volitelný parametr regulátoru) volitelný parametr regulačního obvodu e dvěma zpětnovazebními regulátory přemit regulované veličiny

78 UTB ve Zlíně, Faulta apliované informatiy 78 EZNAM OBRÁZKŮ Obr.. Bloové chéma modelu... Obr.. Vnitřní trutura modelu... Obr. 3. imulační chéma D/A převodníu... Obr. 4. Cíva uličou... 4 Obr. 5. imulační chéma cívy uličou... 4 Obr. 6. imulační chéma podytému reetu... 5 Obr. 7. Vnitřní trutura proudového zeilovače... 6 Obr. 8. imulační chéma proudového zeilovače... 8 Obr. 9. imulační chéma nímače polohy... 8 Obr.. imulační chéma A/D převodníu... 9 Obr.. imulační chéma magneticé levitace... Obr.. Zjednodušené imulační chéma proudového zeilovače... 3 Obr. 3. Zjednodušené vnitřní bloové chéma modelu... 5 Obr. 4. Graf záviloti polohy uličy na proudu v rovnovážném tavu... 8 Obr. 5. Rozložení pólů linearizovaného ytému v omplexní rovině Obr. 6. Amplitudová fázová frevenční charateritia jednotlivých přenoů Obr. 7. imulační chéma pro porovnání modelů Obr. 8. Průběh polohy, porovnání jednotlivých modelů Obr. 9. imulační chéma filtru polohy... 4 Obr.. Obecná trutura zpětnovazebního regulačního obvodu... 4 Obr. Graf závilot normy citlivotní funce na parametru α, PID Obr.. chéma regulačního obvodu PID regulátorem Obr. 3. Průběh polohy, PID, α = Obr. 4. Průběh ačního záahu, PID, α = Obr. 5. Průběh polohy, PID, porovnání pro různé α... 5 Obr. 6. chéma regulačního obvodu PID regulátorem, filtrace derivační ložy... 5 Obr. 7. Průběh polohy, PID filtrací derivační ložy Obr. 8. Průběh ačního záahu, PID filtrací derivační ložy Obr. 9. Průběh polohy, PID filtrací derivační ložy, porovnání pro různé N Obr. 3. Průběh polohy, ideální PID a PID filtrací derivační ložy Obr. 3. Obecná trutura regulačního obvodu DOF... 56