EJ = q. (2) Funkci y(x) můžeme vyjádřit ve tvaru. (3) kde pro α platí: α =

Transkript

1 materiálu - verze Úloha č. Měření Youngova modulu pružnosti metodou dynamickou určení logaritmického dekrementu útlumu materiálu ) Pomůcky: Tónový generátor zesilovač milivoltmetr elektromagnetický budič elektromagnetický snímač stojan pro zavěšení vzorků měřené vzorky. ) Teorie: a) Měření je prováděno na tyčích obdélníkového průřezu. Vzorky jsou rozkmitávány ohybovými kmity. Pro netlumené ohybové kmity tyčí platí pohybová rovnice y y EJ q x t () kde y je výchylka v místě x q hmotnost délkové jednotky t čas J moment setrvačnosti průřezu a E modul pružnosti v tahu. Její řešení můžeme psát ve tvaru y( x t) y( x) sinωt. () Funkci y(x) můžeme vyjádřit ve tvaru αx αx y( x) C e + Ce + C3 sinαx + C cosαx (3) kde pro α platí: qω α EJ () Dosazením okrajových podmínek pro x a x l dostaneme konkrétní řešení výrazu (3) a (). V případě volně zavěšené tyče je pro x a x l y y (křivost i změna křivosti jsou na okrajích nulové). Pro tyto okrajové podmínky vyjde známý vztah cosh (α.l).cosh (α.l). (5) Dosadíme-li α.l m (6) dostaneme řešením rovnice (5) tyto hodnoty: m 73 m 785 m 3 m... π m k k + (pro vyšší hodnoty k ). ( ) Použitím těchto hodnot a vztahu (6) můžeme z výrazu () určit vlastní kmity volně zavěšené tyče. 3 Pro tyč obdélníkového průřezu je J ab kde a je šířka a b je tloušťka tyče a q ρs ρab. Zavedením těchto výrazů do vztahu () obdržíme mk b π 3 l k - - E ρ (7)

2 materiálu - verze Vzorek je nutno zavěsit v místě uzlu chvění tyče. Pro toto místo je y(x). Vypočítáme-li v (3) konstanty C - C a zavedeme sem hodnoty α k příslušející vypočteným hodnotám m k můžeme řešením vztahu (3) pro y(x k ) vypočítat polohy uzlů x k v nichž je výchylka nulová. x k l x k Polohy uzlů jsou v místech x l x 3 l 5 l x 3 9 l 356 l (8) Zavěsíme-li vzorek v místě uzlů a rozkmitáme ho můžeme změřením rezonanční rekvence která odpovídá vlastním kmitům vzorku vypočítat podle (7) modul pružnosti měřeného vzorku. b) Každý reálný mechanický kmitající systém je doprovázen tlumením způsobeným třením v materiálu a ve vzduchu. Tlumení vyjadřujeme pomocí ztrátového činitele η nebo logaritmického dekrementu útlumu ϑ. Mezi nimi je jednoduchý vztah ϑ πη (9) Řešení pohybové rovnice ohybových kmitů tyče za předpokladu tlumení a při vynuceném kmitání je značně obtížné. Dá se však experimentálně dokázat že kvalitu materiálu s dostatečnou spolehlivostí reprezentuje kterýkoliv z kmitajících bodů chvějící se tyče. Problém chvění tyče se tak zjednodušuje na kmitání jednoduchého harmonického oscilátoru jehož teoretické sledování není tak náročné. Budou-li oba konce tyče opatřeny železnými plíšky (napínáčky) můžeme uvést vzorek do chvění pomocí elektromagnetického budiče jehož obvodem bude procházet střídavý proud. Přitom je síla působící na tyč úměrná velikosti procházejícího proudu budičem. Kmitání druhého konce je možno zjistit pomocí elektromagnetického snímače. Železný plíšek kmitajícího konce tyče způsobuje v okolí snímače proměnný magnetický tok Φ a v závitech snímače je indukováno napětí u dané vztahem Φ Φ u N N v t d () kde N je počet závitů d vzdálenost plíšku od snímače Φ magnetický tok při nepohyblivém konci tyče v rychlost kmitání. Vidíme že je napětí na snímači úměrné rychlosti kmitání konce vzorku. Vynucené kmity harmonického oscilátoru určuje pohybová rovnice. d y dy m + r + ky F sin t dt dt () kde m je hmotnost k tuhost r veličina vyjadřující tlumení y okamžitá výchylka F amplituda budící síly kruhová rekvence budící síly. Ustálené řešení má tvar y A sin( t + ϕ) tj. závisí na rekvenci budící síly. Velikost amplitudy A je dána vztahem F A m ( ω ) + δ () kde r δ m - - (3)

3 materiálu - verze se nazývá konstantou tlumení k ω m () je vlastní rekvence harmonického oscilátoru. Protože měříme elektromagnetickým snímačem ne výchylku y nýbrž rychlost kmitání v (viz ()) je výhodnější sledovat tuto veličinu pro níž platí dy v. dt Podle toho je v A cos( t + ϕ) a amplituda rychlosti F V A U m ( ω ) + δ (5) kde U je napětí měřené na snímači (viz )). Závislost amplitudy rychlosti V (resp. napětí na snímači U ) na rekvenci se nazývá rezonanční křivka. Maximální hodnoty nabývá při rezonanci. Zjistíme ji z výrazu dv. d Tento výraz je splněn pro ω rez (6) a rezonance nastává při rekvenci budící síly rovné vlastní rekvenci netlumeného oscilátoru. Rezonanční amplituda rychlosti je pak F F V rez m.. δ r (7) Protože je veličina δ či r v praxi těžko měřitelná měříme raději veličinu ϑ nebo η. Můžeme je buď určit z dokmitávání vzorku po vypnutí budící síly nebo z rezonanční křivky. V prvém případě je δ ϑ ln D δt (8) kde A A An δt D... e. A A A 3 n+ Veličina D je útlum T doba kmitu rekvence. Útlum je podíl dvou po sobě následujících amplitud (viz obr.). Vypočítat ϑ představuje změřit přesně velikosti následujících amplitud což předpokládá velmi přesnou měřící aparaturu. Určení ϑ z rezonanční křivky není po experimentální stránce tak náročné a proto použijeme této metody

4 materiálu - verze Podle (5) a (7) je m O rezonanční křivce víme že je úzká a strmější u oscilátoru s menším tlumením a plochá a široká u velkého tlumení. Šířka rezonanční křivky nám tedy určuje tlumení oscilátoru. Logaritmický dekrement útlumu můžeme dobře určit ze šířky rezonanční křivky v poloviční hodnotě rezonanční amplitudy tj. pro V Vrez resp. ( ω ) + δ m.. δ F U U rez pro napětí na snímači. F (9) Po úpravě obdržíme 3δ ω ω ( ω + ) Předpokládáme-li přibližně rezonanční křivku symetrickou a a ω velmi blízké můžeme psát ω a ω + tedy 3δ. a 3δ () Podle (8) je δ. ϑ. Dosadíme-li tento výraz do () obdržíme 5 ϑ 3 a protože je π vyjde ϑ π 5 3 Stejným způsobem bychom odvodili výraz pro ϑ kdybychom uvažovali šířku rezonanční křivky v místě V Vrez tedy V 77 V rez což se v praxi též běžně užívá. V tomto případě vyjde ϑ π 7 ( ) Vztahů () a () použijeme k určení ϑ

5 Fyzikální praktikum IV. - Měření Youngova modulu pružnosti metodou dynamickou určení logaritmického dekrementu útlumu materiálu - verze 3) Úkol: a) Určete modul pružnosti dřevěné novodurové a ocelové tyče z rezonanční rekvence. Měření proveďte pro. a. rezonanční rekvenci (k ). b) Určete logaritmický dekrement útlumu ϑ pro dřevěnou ocelovou a novodurovou tyč ze šířky rezonanční křivky. Sestrojte rezonanční křivku dřevěné a novodurové tyče. Logaritmický dekrement útlumu ϑ počítejte z Vrez i z 77 V rez. podle vztahů () a (). Amplitudu rychlosti reprezentuje hodnota napětí měřeného na snímači. U ocelové tyče zjistěte pouze šířku rezonanční křivky v Vrez a z ní vypočítejte ϑ. ) Postup: Aparaturu zapojíme podle schématu ČÍTAČ ZÁVĚSY TÓNOVÝ GENERÁTOR ZESILOVAČ BUDIČ MĚŘENÁ TYČ SNÍMAČ MILIVOLTMETR Nejprve změříme a zvážíme vzorky a vypočítáme jejich hustotu ρ. Dále vypočítáme podle (8) polohy uzlů vzorek zavěsíme v uzlech a budič i snímač přiblížíme - mm od napínáčků kterými jsou opatřeny oba konce vzorků. Potom postupně měníme rekvenci tónového generátoru a hledáme rezonanční rekvenci. Zesilovač nesmí být přemodulován vstupní signál z tónového generátoru do zesilovače musí být velmi malý (rozsah - db ručička přístroje asi v l/3 rozsahu stupnice měřidla). Modul pružnosti vypočítáme ze vztahu (7). Rezonanční křivku získáme jako závislost U U ( ) v okolí rezonanční rekvence. Rozměry vzorků změříme lx vypočítáme jejich chyby a z nich chybu veličiny E. Pro přesnost měření je nutno změnit hodnoty napětí alespoň pro hodnot rekvence. Po proměření rezonanční křivky provedeme ještě kontrolu tak že najdeme maximální hodnotu napětí a zjistíme obě rekvence odpovídající poloviční či 77 hodnotě tohoto maxima. Rozdíl obou rekvencí dá. Logaritmický dekrement útlumu vypočítáme podle () resp. (). Poznámka: U ocelové tyče je rezonanční křivka tak strmá že ji nelze změřit. Zjistíme proto pouze rezonanci a hodnoty rekvence v polovičním napětí. Frekvenci odečítáme na čítači s přesností na desetiny Hz tj. s sekundovým měřením. Literatura: Čeněk Strouhal - Akustika Miroslav Brdička - Mechanika kontinua Antonín Špelda - Úvod do akustiky pro hudebníky Jose Marhaut - Teorie elektroakustických přístrojů - 5 -