FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý, Oto Přibyl 4

3 Obsah 1 Úvod Cíle modulu Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Křivkový integrál ve skalárním poli 5.1 Základní vlastnosti Geometrické a fyzikální aplikace křivkového integrálu ve skalární poli 9 3 Křivkový integrál ve vektorovém poli Základní vlastnosti Greenova věta Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě Kontrolní otázky, autotest 7 5 Studijní prameny. 3 3

4 1 Úvod 1.1 Cíle modulu Prostudováním kapitoly Křivkový integrál ve skalárním poli byste měli získat následující vědomosti a dovednosti: Umět vysvětlit integrální součet pro křivkový integrál ve skalárním poli na základě úlohy na stanovení hmotnosti oblouku. Znát vlastnosti křivkového integrálu a vztahy pro výpočet křivkových integrálu po oblouku v rovině i v prostoru; Porozumět vztahům pro geometrické a technické aplikace křivkového integrálu ve skalárním poli na základě příslušných integrálních součtů. Jde zejména o výpočet délky křivky, obsahu válcové plochy, těžiště a momentu setrvačnosti hmotného oblouku; Následující odstavce vás předběžně seznámí s obsahem této kapitoly Křivkový integrál ve vektorovém poli a přestaví vám studijní cíle, kterých máte dosáhnout: Seznámit se s integrálními součty pro křivkový integrál ve vektorovém poli, které dostaneme při řešení úlohy o nalezení práce silového pole po orientovaném oblouku. Tyto úvahy vyústí v definici křivkového integrálu ve vektorovém poli. Je třeba znát jeho vlastnosti a vztahy pro výpočet v rovinném i prostorovém vektorovém poli. Seznámit se s Greenovou větou, která umožňuje převést křivkový integrál v rovinném vektorovém poli na dvojný integrál. Je zapotřebí znát detailně všechny předpoklady pro její použití a umět ji aplikovat při řešení praktických úloh. Jednoduchou úvahou se přesvědčíte o správnosti vztahu pro výpočet obsahu rovinné oblasti užitím křivkového integrálu. Závěrečný odstavec je věnován nezávislosti křivkového integrálu na integrační cestě. Dozvíte se o různých druzích vektorových polí, o jejich charakterizaci a vzájemných vztazích. Naučíte se zjišt ovat, zda je pole nevírové, určovat potenciál a jeho užitím vypočítat zadaný křivkový integrál. 1. Požadované znalosti Pro zvládnutí křivkových integrálů je nezbytné dobře zvládnout problematiku kapitoly Dvojný integrál modulu Dvojný a trojný integrál a umět rovnice a grafy základních křivek v prostoru R 3. 4

5 1.3 Doba potřebná ke studiu Přibližně lze odhadnout potřebnou dobu ke studiu křivkového integrálu na 5 hodin. Pro získání zkušeností a zručnosti ve výpočtu bude ještě zřejmě zapotřebí další čas závislý na dosavadní početní praxi studenta. 1.4 Klíčová slova Křivkový integrál ve skalárním poli, základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli, délka křivky, obsah části válcové plochy, těžiště hmotného oblouku, křivkový integrál ve vektorovém poli, práce v silovém poli, základní vlastnosti křivkového integrálu ve vektorovém poli, Greenova věta, nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě, potenciální vektorové pole, potenciál, jednoduše souvislá oblast, plošně jednoduše souvislá oblast. Křivkový integrál ve skalárním poli.1 Zavedení pojmu, základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli Průvodce studiem Před studiem této kapitoly je nutné si zopakovat základní pojmy z teorie křivek viz Modul Určitý integrál, Dodatek A. Necht je dán oblouk R, který má parametrické rovnice x = ϕ(t), y = ψ(t), t a, b. V každém bodě M křivky známe hustotu ϱ(m). Chceme znát hmotnost celé křivky. Na oblouku A i A i+1 si zvolíme libovolný bod M i = [ξ i, η i ] a vypočteme ϱ(ξ i, η i ) = ϱ(m i ). Předpokládejme, že ta stejná hustota je v každém bodě oblouku  i A i+1. Označme s i délku oblouku  i A i+1. Hmotnost tohoto oblouku  i A i+1 bude tedy dána přibližně vztahem m i = ϱ(m i ) s i. Celkem dostáváme n n m n = m i = ϱ (M i ) s i. i=1 i=1 Toto číslo jistě neudává hmotnost křivky přesně, ale přibližně. Položme ν n = max { s 1, s,..., s n } a přejdeme-li ve výrazu m n k limitě, tj. bude-li existovat limita n lim ϱ (M i ) s i, ν n i=1 5

6 pak tuto limitu nazveme hmotnost drátu ve tvaru křivky a budeme značit m. V naší úvaze, ale můžeme místo hustoty ϱ uvažovat libovolnou spojitou funkci f na oblouku. Integrální součet bude mít tvar n n S n = f (M i ) s i = f (ξ i, η i ) s i. i=1 i=1 Definice.1. Jestliže existuje konečná limita integrálního součtu lim S n = lim n n n f (ξ i, η i ) s i, i=1 která nezávisí jak na způsobu dělení křivky, tak na výběru bodů M i = [ξ i, η i ] na obloucích  i A i+1, pak tuto limitu značíme ıf (M)s = ıf (x, y)s. a nazveme ji křivkovým integrálem funkce f přes křivku. Věta.1. Necht oblouk je dán parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t a, b a funkce f (x, y) je spojitá na oblouku. Pak platí f (M) ds = f (x, y) ds = b f (ϕ (t), ψ (t)) ϕ (t) + ψ (t) dt. a Poznámka.1. Je-li dána křivka předpisem y = g(x), x a, b a derivace g je spojitá na a, b, pak platí f (x, y) ds = b a f (x, g (x)) 1 + (g (x)) dx. Je-li dána křivka předpisem x = h(y), y c, d a derivace h je spojitá na c, d, pak platí f (x, y) ds = d c f (h (y), y) 1 + (h (y)) dy. Příklad.1. Vypočtěte I = 6 xy ds,

7 kde je křivka R dána rovnicí x + y = ax, a >. Řešení: x = a + a cos t, y = a sin t, t, π I = a3 8 = a4 16 = a4 16 π π ( 1 (1 + cos t) sin t a 4 sin t + a 4 cos t dt ( sin t + cos t sin t ) dt = a4 16 [t 1 ] π [ 1 π ) sin t + t] 3 sin3 π sin t dt + = πa4 16. π cos t sin t dt Věta.. Necht oblouk je dán parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t) t a, b a funkce f (x, y, z) je spojitá na oblouku. Pak platí f (M) ds = = b a f (x, y, z) ds f (ϕ (t), ψ (t), χ (t)) ϕ (t) + ψ (t) + χ (t) dt. Příklad.. Vypočtěte I = z x + y + z ds, kde je křivka R 3 dána parametrickými rovnicemi x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t, π, a >, b >. Řešení: ϕ (t) + ψ (t) + χ (t) = a sin t + a cos t + b = a + b I = b a + b π π t a sin t + a cos t + b t dt = b a + b = b [ 1 ] π a + b a + b a + b b t = ( a + 4π b b a ). t a + b t dt 7

8 Příklad.3. Vypočtěte I = xy ds, kde křivka R 3 je průsečík ploch x + y + z a =, x + y ay =, x >, y >, z >, a >. Řešení: x = a sin t, y = a sin t, z = a cos t, t, π/, Odtud I = a 3 = a3 π/ 1 ϕ(t) = a cos t, ψ(t) = a sin t, χ(t) = a sin t. cos t sin 3 t 1 + sin t dt = (u 1) u du = a3 1 + sin t = u t = π/ sin t cos t dt = du u = 1 = ( 1 + ) a 3. [ 5 u5/ 3 u3/ ] 1 15 Věta.3. (Základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli) (a) Linearita. Necht R n (n =, 3) je oblouk a funkce f a g jsou spojité na oblouku. Pak platí (c 1 f + c g)(m) ds = c 1 kde c 1 a c jsou libovolné reálné konstanty. f(m) ds + c g(m) ds, (b) Aditivita. Necht R n (n =, 3) je křivka, která je sjednocením dvou oblouků 1, a funkce f je spojitá na křivce. Pak platí f(m) ds = f(m) ds + 1 f(m) ds. Cvičení.1. Vypočítejte křivkové integrály po dané křivce : 1. 1 x y ds, kde je usečka AB, A = [, ], B = [4, ]; [ ] 5 ln. x ds, kde je oblouk AB křivky dané rovnicí y = ln x pro A = [, ln ], B = [1, ]; ( 5 5 ) ] 3. (x y) ds, kde je kružnice x + y ax =, a > ; [ 1 3 [ 1 πa] 8

9 4. (x + y + z ) ds, kde je oblouk šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at, [ ] t, π, a > ; 3 πa3 (4π + 3) 5. z ds, kde je křivka x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, [. 3 (4 )]. Geometrické a fyzikální aplikace křivkového integrálu ve skalární poli (a) Délka křivky L = ds. Příklad.4. Vypočtěte délku křivky určené průsečnicí ploch o rovnicích y = arcsin x, z = 1 ln x + x od bodu A = [,, ] do bodu B = [1, π/3, ln 3/]. Řešení: Při užití přirozené parametrizace dostaneme Odtud L = = 1 ds = ( 1 1 x = t, y = arcsin t, z = 1 ln t + t, ẋ = 1, ẏ =, ż = 4 t t t (t 4) dt = ) 1 (t ) + 1 (t + ) t 6 t 4 dt [ dt = t + 1 ln t + t ] 1 = ln 3[m]. (b) Obsah části válcové plochy Φ s řídící křivkou R, : a, b R v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z = g(x, y), z = f(x, y), g(x, y) f(x, y) pro každé [x, y]. P = [f(x, y) g(x, y)] ds. 9

10 Příklad.5. Vypočtěte obsah části válcové plochy Φ s řídící křivkou R danou rovnicí y = ln x, x [1, e] v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami: z =, z = x. Řešení: P = = [f(x, y) g(x, y)] ds = x ds = e 1 t 1 + t dt = e 1 t t dt 1 + t = u t = 1 e t dt = u du u = 1 + e 1+e = u du = 1 3 ( (1 + e) 3/ 3/) [m ]. (c) Hmotnost drátu ve tvaru křivky. m = ϱ(x, y, z) ds s lineární hustotou ϱ (x, y, z) [kg m 1 ]. Příklad.6. Vypočtěte hmotnost homogenního drátu ve tvaru křivky R 3 s parametrickými rovnicemi x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π a konstantní lineární hustotou ϱ (x, y, z) = ϱ [kg m 1 ]. Řešení: m = = ϱ(x, y, z) ds = ϱ ds = ϱ t = u t = π dt = du u = π/ π + t dt π/ = ϱ = ϱ [ u 1 + u + ln ( u + )] π/ 1 + u ( ( π π = ϱ 1 + π + ln + )) 1 + π 1 + u du [kg]. (d) Statický moment hmotného drátu ve tvaru křivky R vzhledem k přímce p. S p = d([x, y], p) ϱ(x, y) ds, 1

11 kde d([x, y], p) je orientovaná vzdálenost bodu [x, y] od přímky p. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x a y. S x = y ϱ(x, y) ds, S y = x ϱ(x, y) ds. (e) Statické momenty hmotného drátu ve tvaru křivky R 3 vzhledem k rovině τ. S τ = d([x, y, z], τ) ϱ(x, y, z) ds. kde d([x, y, z], τ) je orientovaná vzdálenost bodu [x, y, z] od roviny τ. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým rovinám xy, xz a yz. S xy = z ϱ(x, y, z) ds, S xz = y ϱ(x, y, z) ds, S yz = (f) Těžiště hmotného drátu ve tvaru křivky R a R 3. T = [ Sy m, S ] [ x Syz, T = m m, S xz m, S ] xy. m x ϱ(x, y, z) ds. Příklad.7. Vypočtěte těžiště homogenního drátu ve tvaru křivky R 3 s parametrickými rovnicemi x = t sin t, y = 1 cos t, z = 4 cos(t/), t, π a konstantní lineární hustotou ϱ (x, y, z) = ϱ [kg m 1 ]. Řešení: m = S yz = S xz = = ϱ = ϱ = ϱ ϱ(x, y, z) ds = ϱ π sin t dt = 4 ϱ xϱ(x, y, z) ds = ϱ π ds = ϱ [ cos t 1 cos t dt ] π x ds = π ϱ [ t cos t + 3 sin t sin 3 t ] π yϱ(x, y, z) ds = ϱ [ 3 cos t cos 3 t ] π 11 = 4 ϱ [kg], y ds = π ϱ (t sin t) sin t dt = 16 ϱ [kg m], 3 (1 cos t) sin t dt = 16 ϱ [kg m], 3

12 S xy = = 4 π ϱ zϱ(x, y, z) ds = ϱ T = z ds = 8 π ϱ sin t cos t dt sin t dt = 4 ϱ [cos t] π = 8 ϱ [kg m], [ Syz m, S xz m, S ] [ xy 4 = m 3, 4 ] 3,. (g) Moment setrvačnosti hmotného drátu ve tvaru křivky R, R 3 vzhledem k přímce p R, resp. p R 3. I p = d ([x, y], p) ϱ(x, y) ds, I p = d ([x, y, z], p) ϱ(x, y, z) ds, kde d([x, y], p) je vzdálenost bodu [x, y] od přímky p R, resp. d([x, y, z], p) je vzdálenost bodu [x, y, z] od přímky p R 3. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x a y. I x = y ϱ(x, y) ds, I y = x ϱ(x, y) ds. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x, y a z. ( I x = y + z ) ( ϱ(x, y, z) ds, I y = x + z ) ϱ(x, y, z) ds, I z = ( x + y ) ϱ(x, y, z) ds. Cvičení.. Užitím křivkového integrálu ve skalárním poli vypočtěte: 1. Délku křivky : r = a cos t i+a sin t j +vt k pro t, π, a, v > ; [ π a + v ]. Obsah části válcové plochy Φ : 4x + 9y = 36 pro y s řídící křivkou v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami ] z =, z = xy; 3. Hmotnost konická šroubovice = {[x, y, z] R 3 ; x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π }, ( ] je-li hustota křivky σ(x, y, z) z; π + 1 ) 4. Souřadnice těžiště T = [x T, y T ] homogeního oblouku cykloidy [ 3 : r(t) = a(t sin t) i + a(1 cos t) j, t, π, kde a > je konstanta, je-li hustota křivky σ( r(t)) k. [ 76 5 [ ] T = [πa, 4a/3] 1

13 3 Křivkový integrál ve vektorovém poli 3.1 Zavedení pojmu, základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli Ve fyzice a v technických aplikacích se často setkáváme s různými druhy rovinných nebo prostorových vektorových polí silové pole, pole rychlostí částic proudící nestlačitelné kapaliny, pole magnetické a elektrické intenzity. Z matematického hlediska jde vlastně o zobrazení, které bodům přiřazuje vektory. Vektorové pole je zobrazení f : ΩR n, kde Ω R n je otevřená množina. V technické praxi je nejčastější použití pro n =, 3. V tomto případě budeme jednoduše psát f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), kde P, Q, R jsou složky (komponenty) vektorové funkce f. Říkáme, že vektorové pole f je spojité vektorové pole, nebo stručněji je třídy C na Ω, když všechny složky jsou spojité na Ω. Říkáme, že vektorové pole f je třídy C 1 na Ω, když všechny složky tohoto pole mají spojité všechny první parciální derivace na množině Ω. Uvažujeme-li orientovaný oblouk : a, b R (resp.r 3 ), pak můžeme v každém bodě M = Γ(t), t (a, b) oblouku určit jednotkový tečný vektor vztahem t(m) = Γ(t) Γ(t). Mějme nyní spojité vektorové silové pole f na oblouku a hledejme práci, která se vykoná v zadaném vektorovém poli, pohybuje-li se hmotný bod po oblouku ve směru jeho orientace. Rozdělíme-li oblouk na dostatečně malé oblouky i, i = 1,..., n můžeme vektor síly f na oblouku i aproximovat konstantním vektorem f(m i ). Z fyziky je známo, že absolutní hodnota práce W i je pak rovna součinu velikosti tečné složky f t síly f(m i ) a délky dráhy s i, což je délka oblouku i. Protože f(mi ) t(m i ) = ft (M i ) pak práce W je přibližně rovna W = n i=1 f(m i ) t(m i ) s i, což je možno interpretovat jako integrální součet pro křivkový integrál f t ds. V aplikacích se často tento integrál označuje f d r. 13

14 Definice 3.1. Necht f je spojité vektorové pole na orientovaném oblouku. Křivkovým integrálem ve vektorovém poli f (křivkovým integrálem druhého druhu) přes křivku nazýváme integrál tvaru f d s = f t ds. Jeli Γ : a, b, parametrizace orientovaného oblouku (tj. parametrizace oblouku souhlasí s jeho orientací), pak platí = b a f t ds = b a f (Γ(t)) b Γ(t) Γ(t) Γ(t) dt = a f (Γ(t)) Γ(t) dt [ P (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ϕ(t) + Q (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ψ(t) + R (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) χ(t) ] dt. Mnohdy se používá označení f t ds = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz, které se po dosazení z parametrických rovnic oblouku převede na výše uvedený tvar. Poznámka 3.1. Je-li dána křivka předpisem y = g(x), x a, b a g je spojitá na a, b, pak platí P (x, y) dx = b a P (t, g (t)) dt. Je-li dána křivka předpisem x = h(y), y c, d a h je spojitá na c, d, pak platí Q (x, y) dy = d c Q (h (t), t) dt. Příklad 3.1. Vypočtěte I = y dx + x(1 + y ) dy, kde je část elipsy 4x + y = 16, ležící v prvním kvadrantu a orientovaná od bodu A = [, ] do bodu B = [, 4]. 14

15 Řešení: Parametrické rovnice jsou: Odtud I = π/ = 8 π/ x = cos t, y = 4 sin t, t, π. ( 3 sin 3 t + 8 cos t( sin t) ) dt ( 4 sin 3 t + cos t + 16 sin cos t ) dt = 8 [ 4 3 cos3 t + 4 cos t sin t 1 sin 4t + 5 ] π/ t = 1π Příklad 3.. Vypočtěte I = y x + z dx (x + z) dy + y z dz, kde je úsečka s počátečním bodem A = [3,, 1] a s koncovým bodem B = [1, 1, ]. Řešení: Parametrické rovnice úsečky jsou: Odtud x = 3 t, y = t, z = 1 + t, t, 1. I = = 1 ( t 4 t t ) dt 1 + t [ ln(t + 4) arctg t ] 1 + 4t + 3 ln t + 1 = 4 arctg 1 + ln 1. Příklad 3.3. Vypočtěte práci silového pole při pohybu hmotného bodu po průnikové křivce = {[x, y, z] R 3 : x + y = 1, z = 1 + y } od bodu A = [ 3, 1, 5] přes 4 bod B = [,, 3 ] do bodu C = [, 1, ]. Silové pole působí v každém bodě silou, která směřuje kolmo k rovině xz a velikost této síly je rovna převrácené hodnotě vzdálenosti bodu od roviny xy. Řešení: Sílu F = (f 1, f, f 3 ) můžeme vyjádřit ve tvaru F = F F = 1 z (, y y, ). 15

16 Křivku lze parametrizovat např. takto: Γ(t) = (cos t, sin t, 1 + sin t), t π 6, π. Pak dostáváme W = 1 = 1 F d s = π π 6 cos t 1 + sin t dt = u du = [arctg u]1 1 sin t = u t = π 6 π cos t dt = du u = 1 1 = π 4 + arctg 1. Věta 3.1. (Základní vlastnosti křivkového integrálu ve vektorovém poli) (a) Linearita. Necht R n (n =, 3) je orientovaný oblouk a f a g jsou spojitá vektorová pole na oblouku. Pak platí (c 1 f + c g) d s = c 1 f d s + c g d s, kde c 1 a c jsou libovolné reálné konstanty. (b) Aditivita. Necht R n (n =, 3) je křivka, která je sjednocením dvou orientovaných oblouků 1, a f je spojitá vektorové pole na křivce. Pak platí f d s = f d s + f d s. 1 Cvičení 3.1. Vypočítejte křivkové integrály po dané křivce (uvažujeme pravotočivý souřadnicový systém): 1. y dx + x dy, kde je orientovaná čtvrtkružnice r(t) = a cos t i + a sin t j, [ ] t π/ a kde bod A = [a, ] je daný jako počáteční bod, a > konstanta; x dx + y dy + z dz, kde je orientovaná úsečka AB, s počátečním bodem A = [1, 1, 1] a koncovým bodem B = [4, 4, 4]; 3 ] x + y + z x y + z [ 3 (x + y ) dx + (x y ) dy, kde je orientovaná křivka y = 1 1 x pro [ ] x, počáteční bod A = [, ]; 4 3 yz dx + xz dy + xy dz, kde je oblouk AB šroubovice r(t) = a cos t i + a sin t j + bt/π k (orientovaný) od bodu A = [a,, ] do B = [a,, b], a, b > konstanty. [ ] 16

17 Cvičení 3.. V každém bodě silového pole v R (resp. R 3 ) působí síla F ( r). Vypočítejte práci A tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce : 1. F = xy i + (x + y) j, je oblouk AB křivky dané rovnicí y = arctg x od bodu ( A = [1,?] do bodu B = [,?]; 16 8π π ) ln ]. F ( r) = y i + z j + yz k, : r(t) = (cos t, sin t, ct) orientované souhlasně s daným ( parametrickým vyjádřením pro t, π, c >. c 4c 1 ) ] 3. Greenova věta Oblast Ω R se nazývá jednoduše souvislá v R, jestliže s každou kružnicí, která je obsažena v Ω je také vnitřek kružnice obsažen v Ω. Mezikruží není jednoduše souvislá množina v R. [ 1 3 [ π Věta 3.. (Greenova věta) Necht Ω R je otevřená, ohraničená množina, jejíž hranicí je jediná kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka. Dále necht f = (P, Q) je spojité vektorové pole na Ω a P/, Q/ x jsou spojité funkce na Ω. Pak platí Ω ( Q x (x, y) P (x, y) ) dxdy = = f(x, y) d s Důkaz. Důkaz provedeme pouze pro oblast prvního druhu P (x, y) dx + Q(x, y) dy. {[x, y] R : a < x < b, g(x) < y < G(x)}, kde funkce g a G jsou spojité na a, b (viz obrázek). 17

18 Ω P (x, y) dxdy = = b a b a G(x) g(x) P (x, y) dy dx = b [ ] P (x, G(x)) P (x, g(x)) dx. Poslední integrály můžeme vyjádřit podle Poznámky 3.1 následovně b a b a P (x, G(x)) dx = P (x, g(x)) dx = Vzhledem k předešlému můžeme psát P (x, y) dxdy = P (x, y) dx Ω DC = = = AB AB AB P (x, y) dx P (x, y) dx P (x, y) dx CD BC DC AB P (x, y) dx a P (x, y) dx, P (x, y) dx. P (x, y) dx P (x, y) dx CD [ ] G(x) P (x, y) dx g(x) P (x, y) dx nebot integrály po úsečkách BC a DA jsou nulové. Můžeme-li náš integrační obor rozložit na konečné sjednocení oblastí prvního druhu, platí předešlá rovnice na každé takové oblasti a ze základních vlastností dvojných a křivkových integrálů plyne žádaná rovnice na celé oblasti. Analogicky se dokáže platnost rovnice Q x (x, y) dxdy = Q(x, y) dy, Ω DA P (x, y) dx kde Ω je oblast druhého druhu. Nakonec můžeme-li náš integrační obor rozložit na konečné sjednocení oblastí prvního druhu a současně na sjednocení konečného počtu oblastí druhého druhu, sečteme předešlé rovnice a dostaneme žádaný vzorec. Příklad 3.4. Užitím Greenovy věty vypočtěte ( I = x y x ) dx ( xy + y ) dy, 18

19 kde je křivka o rovnici x + y = y, orientovaná ve směru pohybu hodinových ručiček. Řešení: Křivka je záporně orientovaná hranice jednoduše souvislé oblasti Ω = {[x, y] R : x + y y}. Vektorové pole f = (P, Q) je třídy C 1 v R a tedy dle Greenovy věty platí Odtud dostáváme P (x, y) dx + Q(x, y) dy = I = Ω Ω ( Q x P ) dxdy. ( y x ) dxdy = (x + y ) dxdy. Na poslední dvojný integrál použijeme transformace do polárních souřadnic Ω x = r cos t ϕ (r, t), y = r sin t ψ (r, t). s jakobiánem J(r, t) = r. Vzor množiny Ω je množina Ω = {[r, t] R : < t < π, < r < sin t}. I = = π sin t r 3 dt dr = 4 π [ t sin t + 1 t sin 4t ] π sin 4 t dt = = 3 π. π [1 cos t + 1 ] (1 + cos 4t) dt Aplikace Greenovy věty. Obsah rovinné oblasti splující předpoklady Greenovy věty. µ(ω) = 1 x dy y dx. Důkaz. Položíme-li v Greenově větě dostaneme požadovaný výsledek. Příklad 3.5. Vypočtěte obsah elipsy. Řešení: Zvolíme-li parametrizaci P (x, y) = 1 y, Q(x, y) = 1 x, x = a cos t, y = b sin t, t, π, 19

20 dostaneme µ = 1 x dy y dx = 1 ẋ = a sin t, ẏ = b cos t, π ( ab cos t + ab sin t ) dt = 1 π ab dt = πab [m ]. Příklad 3.6. Užitím Greenovy věty vypočtěte obsah množiny Ω R, kde Ω je ohraničená obloukem hyperboly o parametrických rovnicích x = a cosh t, y = b sinh t, t (, ), a, b >, osou x a spojnicí počátku souřadné soustavy s bodem A = [x, y ] hyperboly, kde x >, y >. Řešení: Platí P = 1 Ω x dy y dx, kde Ω je kladně orientovaná hranice oblasti Ω, tvořená křivkami 1,, 3. Odtud x dy y dx = x dy y dx + x dy y dx + x dy y dx. 1 Ω Parametrické rovnice postupně jsou: 1 : y =, x = t, t, a : x = a cosh t, y = b sinh t, t, t 3 : x = t, y = kt, t x,, kde k = y /x. Je vidět, že 1 x dy y dx = 3 x dy y dx =. 3

21 Dále 1 x dy y dx = ab Pro parametr t bodu A platí a celkem t cosh t + sinh t = e t = x a + y b ( cosh t sinh t ) dt = ab P = ab ( ln x a + y ) b [m ]. t dt = ab t. ( x t = ln a + y ) b Cvičení 3.3. Ověřte, že jsou splněny podmínky pro užití Greenovy věty, a užijte ji k výpočtu následujících integrálů: 1. (x + y) dx (x + y) dy, kde je kladně orientovaný obvod trojúhelníka OAB s vrcholy O = [, ], A = [1, ], B = [, 1]; [ 4/3]. (x + y) dx (x y) dy, kde je elipsa x + y = 1 orientovaná kladně.[ πab] a b Cvičení 3.4. Aplikací Greenovy věty vypočtěte obsah rovinného obrazce { } A = [x, y] R : x y x. [1/6] 3.3 Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě V tomto odstavci budeme oblastí v R n (n =, 3) rozumět otevřenou podmnožinu v R n (n =, 3), ve které můžeme každé dva různé body ležící v této množině spojit jednoduchou křivkou, ležící v této množině. Řekneme, že spojité vektorové pole f v oblasti Ω R n (n =, 3) nezávisí na integrační cestě, jestliže pro libovolné orientované křivky 1, ležící v Ω se stejným počátečním bodem A a koncovým bodem B, platí f d s = 1 f d s. Pak také píšeme B A f d s. 1

22 Necht f = (P, Q) ( f = (P, Q, R)) je spojité vektorové pole na oblasti Ω R (Ω R 3 ). Řekneme, že vektorové pole je potenciální na Ω, jestliže existuje funkce V C 1 (Ω) tak, že V = f pro každé [x, y] Ω ([x, y, z] Ω). Každou takovou funkci V nazýváme potenciálem vektorového pole f na Ω. Věta 3.3. Necht vektorové pole f = (P, Q) je třídy C 1 na jednoduše souvislé oblasti Ω R. Pak toto pole je potenciální tehdy a jen tehdy, když pro každé [x, y] Ω. Q x (x, y) = P (x, y) Rotaci vektorového pole f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) definujeme pomocí formálního determinantu rot f(x, i j k y, z) = x z P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z) ( R = Q ) ( P i + z z R ) ( Q j + x x P ) k. Oblast Ω R 3 se nazývá jednoduše souvislá v R 3, jestliže s každou kulovou plochou, která je obsažena v Ω je také vnitřek kulové plochy obsažen v Ω. Koule, trojrozměrný interval jsou jednoduše souvislé množiny, ale mezisféra není jednoduše souvislá množina v R 3. Oblast Ω R 3 se nazývá plošně jednoduše souvislá v R 3, jestliže ke každé jednoduché uzavřené křivce, která je obsažena v Ω existuje hladká plocha, která sama sebe neprotíná taková, že S Ω a jejíž okraj je tato křivka. Množina R 3 \ {[x, y, z] R 3 : x = y = } je jednoduše souvislá, ale není plošně jednoduše souvislá. Věta 3.4. Necht vektorové pole f = (P, Q, R) je třídy C 1 na plošně jednoduše souvislé oblasti Ω R 3. Pak toto pole je potenciální tehdy a jen tehdy, když pro každé [x, y, z] Ω. rot f(x, y, z) = (,, ) Věta 3.5. Necht f = (P, Q) je třídy C 1 v jednoduše souvislé oblasti Ω R. Křivkový integrál f(x, y) d s = P (x, y) dx + Q(x, y) dy,

23 kde Ω nezávisí na integrační cestě AB v oblasti Ω tehdy a jen tehdy, když vektorové pole f je na Ω potenciální. Je-li V jeho potenciál na Ω, pak platí B Příklad 3.7. Dokažte, že integrál A B ( A P (x, y) dx + Q (x, y) dy = V (B) V (A). y (x y) 1 x ) dx + ( 1 y x ) (x y) dy z bodu A = [1, ] do bodu B = [, 6] nezávisí na integrační cestě a určete jeho hodnotu. Řešení: Vektorové pole f = (P, Q) je v oblasti Ω = {[x, y] R : y > x > } třídy C 1. Pro funkce P, Q platí P (x, y) = Q x (x, y) = xy (x y) 3 pro každé [x, y] Ω. Vektorové pole f je tedy v jednoduše souvislé oblasti Ω potenciální a zadaný integrál tedy nezávisí na integrační cestě. Pro potenciál V platí V x (x, y) = P (x, y), V (x, y) = Q (x, y) pro každé [x, y] Ω. Integrací první rovnice podle proměnné x máme ( y V (x, y) = (x y) 1 ) dx + g(y) = y ln x + g(y). x y x Z rovnice plyne a po úpravě V Integrací předešlé rovnice dostáváme = Q (x, y) g (y) + y xy (x y) = 1 y x (x y) g (y) = y. g(y) = y + ln y + c, c R. Celkem Hodnota integrálu je V (x, y) = xy y x + ln y + c, c R. x V (B) V (A) = + ln 3. 3

24 Věta 3.6. Necht f = (P, Q, R) je třídy C 1 v plošně jednoduše souvislé oblasti Ω R 3. Křivkový integrál f(x, y, z) d s = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz, kde Ω nezávisí na integrační cestě AB na oblasti Ω tehdy a jen tehdy, když vektorové pole f je potenciální na Ω. Je-li V jeho potenciál na Ω, pak platí B A P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz = V (B) V (A). Příklad 3.8. Dokažte, že integrál B A yz dx + xz dy + xy dz z bodu A = [1,, 3] do bodu B = [3,, 1] nezávisí na integrační cestě a určete jeho hodnotu. Řešení: Vektorove pole f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = (yz, xz, xy) je třídy C 1 na plošně jednoduše souvislé oblasti Ω = R 3. Pro funkce P, Q, R platí R R x Q x (x, y, z) Q z (x, y, z) P z (x, y, z) P (x, y, z) = x x =, (x, y, z) = y y =, (x, y, z) = z z = pro každé [x, y, z] Ω. Vektorové pole f je tedy na Ω potenciální a existuje potenciál V tak, že V x (x, y, z) = yz, V (x, y, z) = xz, V z (x, y, z) = xy pro každé [x, y, z] Ω. Integrací první rovnice podle proměnné x máme V (x, y, z) = yz dx + g(y, z) = xyz + g(y, z), V = Z předešlého a využitím druhé rovnice máme g(y, z) (xyz + g(y, z)) = xz +. xz + g(y, z) 4 = xz

25 a tedy g(y, z) =. Integrací této rovnice podle proměnné y máme g(y, z) = dy + h(z) = h(z), Využitím třetí rovnice dostáváme Z předešlého máme V (x, y, z) = xyz + h(z). V z = z (xyz + h(z)) = xy + h (z) = xy. h (z) = = h(z) = c, c R a závěrem Hodnota integrálu je V (x, y, z) = xyz + c, c R. V (B) V (A) = 6 + c 6 c =. Příklad 3.9. Dokažte, že integrál B A x dx + y dy z 3 dz z bodu A = [1, 1, 1] do bodu B = [1, 1, 1] nezávisí na integrační cestě a určete jeho hodnotu. Řešení: Vektorové pole f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = (x, y, z 3 ) je třídy C 1 na plošně jednoduše souvislé oblasti Ω = R 3. Pro funkce P, Q, R platí R R x Q x (x, y, z) Q z (x, y, z) P z (x, y, z) P (x, y, z) = =, (x, y, z) = =, (x, y, z) = = pro každé [x, y, z] Ω. Vektorové pole f je tedy na Ω potenciální a existuje potenciál V tak, že V x = x, V = V y, z = z3 5

26 pro každé [x, y, z] Ω. Integrací první rovnice podle proměnné x dostáváme V (x, y, z) = x dx + g(y, z) = 1 x + g(y, z), V = ( 1 x + g(y, z)) = Z předešlého a využitím druhé rovnice máme g(y, z). g(y, z) = y. Integrací předešlé rovnice podle y máme g(y, z) = y dy + h(z) = 1 3 y3 + h(z), V (x, y, z) = 1 x y3 + h(z). V z = ( 1 z x y3 + h(z)) = h (z). Z předešlého a využitím třetí rovnice dostaneme a potenciál má tvar h (z) = z 3 = h(z) = 1 4 z4 + c, c R V (x, y, z) = 1 x y3 1 4 z4 + c, c R. Hodnota integrálu je V (B) V (A) =. Cvičení 3.5. Ověřte, že daný integrál nezávisí na integrační cestě v Ω R (resp. Ω R 3 ) a vypočtěte jeho hodnotu od bodu A do bodu B: x dx + y dy [ ] 1. x + y, A = [, 6], B = [1, ]; 1 ln 4 [ ]. x dx + y dy + (x + y 1) dz, A = [, 3, 4], B = [1, 1, 1]; 13 Cvičení 3.6. Ověřte, že práce v silovém poli F nezávisí na integrační cestě v R (resp. v R 3 ), určete potenciál F ( r) tohoto silového pole a vypočtěte práci A od bodu M do bodu N. 1. F (x, y) = (x cos y + 1) i x sin y j, M = [, π ], N = [ π, π]; [V (x, y) = 1 x cos y + x + c; W = 1 8 π(π + 4) ]. F ( r) = (x + yz) i + (y + xz) [ j + (z + xy) k, M = [1,, 3], N = [, 3, 4]. V (x, y, z) = 1 ( 3 x 3 + y 3 + z 3) ] + xyz + c; W =

27 4 Kontrolní otázky, autotest Otázky pro vás: Napište integrální součet, který vyjadřuje aproximaci hmotnosti oblou-ku. Kdy nazveme limitu integrálních součtů křivkovým integrálem ve skalá-rním poli? Uved te vztahy pro výpočet křivkového integrálu v rovinném a prostorovém skalárním poli. Jaké znáte základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli? Vysvětlete vztahy pro výpočet základních geometrických a technických aplikací křivkového integrálu ve skalárním poli. Jaký tvar má integrální součet pro výpočet práce v silovém poli? Zapište vztahy pro výpočet křivkového integrálu ve vektorovém poli v rovině a v prostoru. Uved te základní vlastnosti křivkového integrálu ve vektorovém poli. Zformulujte Greenovu větu. Užitím Greenovy věty odvod te vztah pro výpočet plošného obsahu rovinné oblasti. Kdy řekneme, že křivkový integrál nezávisí na integrační cestě? Jak definujeme potenciál vektorového pole? Co je jednoduše souvislá oblast v R? Co stačí k tomu, aby rovinné vektorové pole na jednoduše souvislé oblasti bylo potenciální? Jak se změní tyto podmínky v případě prostorového vektorového pole? Popište postup při výpočtu potenciálu v případě rovinného a prostorového vektorového pole. Jak se vypočítá křivkový integrál nezávislý na integrační cestě, známe-li potenciál? 7

28 Autotest Vzorové zadání kontrolního testu. Matematika,. semestr Zpracoval: Test č. 4 Jméno: Adresa: A. Vypočtěte křivkové integrály 1. druhu po dané křivce : 1) (x + y) ds, kde je obvod trojúhelníka s vrcholy A = [1, 1], B = [, 1] ) 3) a C = [1, ]; z ( ds, kde je oblouk šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at, (x + y ) t, π, a > ; xy ds, kde je elipsa x a + y = 1 pro x, y, a, b >. b B. Vypočtěte křivkové integrály druhu po dané křivce : 4) x dx + y dy + (x + y 1) dz, kde je orientovaná úsečka A = [1, 1, 1], 5) 6) B = [, 3, 4]; (y x ) dx + (x + y ) dy, kde je orientovaná křivka x + y 1 = 1 pro y s koncovým bodem B = [, ]; xy dx + y dy, kde je oblouk AB křivky y = arctg x od bodu A = [1,?] do bodu B = [,?]. C. Ověřte, že daný integrál nezávisí na integrační cestě a vypočtěte jeho hodnou od bodu A do bodu B: 1 y y 7) dx + dy, A = [, ], B = [1, 1]; (1 + x) 1 + x 8) xz dx + y 3 dy + x z dz, A = [ 1, 1, ], B = [ 4,, 1]. D. Ověřte, že jsou splněny podmínky pro užití Greenovy věty a užijte ji k výpočtu integrálů:

29 9) 1) (x + y) dx (x + y) dy, kde je kladně orientovaný obvod trojúhelníka ABC, A = [, ], B = [1, ] a C = [, 1]; (xy + x + y) dx + (xy + x y) dy, kde je kladně orientovaná kružnice x + y = ax, a > konstanta. E. Vypočtěte délku křivky, je-li: 11) : r(t) = a cos t i + vt j + a sin t k, t π/4, a, v > konstanty. F. Vypočtěte obsah rovinného obrazce A, je-li 1) A = { [x, y] R : 3x + 4y 1, x y 3x }. G. Vypočtěte hmotnost křivky, je-li hustota křivky σ( r): 13) : y = x 3 pro x 4/9, σ(x, y) x. H. V každém bodě silového pole v R 3 působí síla F ( r). Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce : 14) : r(t) = (cos t, sin t, ct) orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřním pro t, π ; F ( r) y i + z j + yz k. př opravil(a) max. bodů zís. bodů 9

30 5 Studijní prameny. [1] Brabec, J., Hrůza, B.: Matematická analýza II., SNTL, Praha [] Drábek, P., Míka, S.: Matematická analýza II., FAV, Plzeň 1997,. vydání. [3] Fichtěngolc G.M.: Kurs diferencialnovo i integralnovo isčislenija III., Nauka, Moskva 1966, 4. vydání. [4] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha 1995, 6. přepracované vydání. [5] [6] Škrášek, J., Tichý, Z.: Základy aplikované matematiky II., SNTL, Praha Ženíšek, A.: Křivkový a plošný integrál, PC-DIR, Brno