FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý, Oto Přibyl 4

3 Obsah 1 Úvod Cíle modulu Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Křivkový integrál ve skalárním poli 5.1 Základní vlastnosti Geometrické a fyzikální aplikace křivkového integrálu ve skalární poli 9 3 Křivkový integrál ve vektorovém poli Základní vlastnosti Greenova věta Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě Kontrolní otázky, autotest 7 5 Studijní prameny. 3 3

4 1 Úvod 1.1 Cíle modulu Prostudováním kapitoly Křivkový integrál ve skalárním poli byste měli získat následující vědomosti a dovednosti: Umět vysvětlit integrální součet pro křivkový integrál ve skalárním poli na základě úlohy na stanovení hmotnosti oblouku. Znát vlastnosti křivkového integrálu a vztahy pro výpočet křivkových integrálu po oblouku v rovině i v prostoru; Porozumět vztahům pro geometrické a technické aplikace křivkového integrálu ve skalárním poli na základě příslušných integrálních součtů. Jde zejména o výpočet délky křivky, obsahu válcové plochy, těžiště a momentu setrvačnosti hmotného oblouku; Následující odstavce vás předběžně seznámí s obsahem této kapitoly Křivkový integrál ve vektorovém poli a přestaví vám studijní cíle, kterých máte dosáhnout: Seznámit se s integrálními součty pro křivkový integrál ve vektorovém poli, které dostaneme při řešení úlohy o nalezení práce silového pole po orientovaném oblouku. Tyto úvahy vyústí v definici křivkového integrálu ve vektorovém poli. Je třeba znát jeho vlastnosti a vztahy pro výpočet v rovinném i prostorovém vektorovém poli. Seznámit se s Greenovou větou, která umožňuje převést křivkový integrál v rovinném vektorovém poli na dvojný integrál. Je zapotřebí znát detailně všechny předpoklady pro její použití a umět ji aplikovat při řešení praktických úloh. Jednoduchou úvahou se přesvědčíte o správnosti vztahu pro výpočet obsahu rovinné oblasti užitím křivkového integrálu. Závěrečný odstavec je věnován nezávislosti křivkového integrálu na integrační cestě. Dozvíte se o různých druzích vektorových polí, o jejich charakterizaci a vzájemných vztazích. Naučíte se zjišt ovat, zda je pole nevírové, určovat potenciál a jeho užitím vypočítat zadaný křivkový integrál. 1. Požadované znalosti Pro zvládnutí křivkových integrálů je nezbytné dobře zvládnout problematiku kapitoly Dvojný integrál modulu Dvojný a trojný integrál a umět rovnice a grafy základních křivek v prostoru R 3. 4

5 1.3 Doba potřebná ke studiu Přibližně lze odhadnout potřebnou dobu ke studiu křivkového integrálu na 5 hodin. Pro získání zkušeností a zručnosti ve výpočtu bude ještě zřejmě zapotřebí další čas závislý na dosavadní početní praxi studenta. 1.4 Klíčová slova Křivkový integrál ve skalárním poli, základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli, délka křivky, obsah části válcové plochy, těžiště hmotného oblouku, křivkový integrál ve vektorovém poli, práce v silovém poli, základní vlastnosti křivkového integrálu ve vektorovém poli, Greenova věta, nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě, potenciální vektorové pole, potenciál, jednoduše souvislá oblast, plošně jednoduše souvislá oblast. Křivkový integrál ve skalárním poli.1 Zavedení pojmu, základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli Průvodce studiem Před studiem této kapitoly je nutné si zopakovat základní pojmy z teorie křivek viz Modul Určitý integrál, Dodatek A. Necht je dán oblouk R, který má parametrické rovnice x = ϕ(t), y = ψ(t), t a, b. V každém bodě M křivky známe hustotu ϱ(m). Chceme znát hmotnost celé křivky. Na oblouku A i A i+1 si zvolíme libovolný bod M i = [ξ i, η i ] a vypočteme ϱ(ξ i, η i ) = ϱ(m i ). Předpokládejme, že ta stejná hustota je v každém bodě oblouku  i A i+1. Označme s i délku oblouku  i A i+1. Hmotnost tohoto oblouku  i A i+1 bude tedy dána přibližně vztahem m i = ϱ(m i ) s i. Celkem dostáváme n n m n = m i = ϱ (M i ) s i. i=1 i=1 Toto číslo jistě neudává hmotnost křivky přesně, ale přibližně. Položme ν n = max { s 1, s,..., s n } a přejdeme-li ve výrazu m n k limitě, tj. bude-li existovat limita n lim ϱ (M i ) s i, ν n i=1 5

6 pak tuto limitu nazveme hmotnost drátu ve tvaru křivky a budeme značit m. V naší úvaze, ale můžeme místo hustoty ϱ uvažovat libovolnou spojitou funkci f na oblouku. Integrální součet bude mít tvar n n S n = f (M i ) s i = f (ξ i, η i ) s i. i=1 i=1 Definice.1. Jestliže existuje konečná limita integrálního součtu lim S n = lim n n n f (ξ i, η i ) s i, i=1 která nezávisí jak na způsobu dělení křivky, tak na výběru bodů M i = [ξ i, η i ] na obloucích  i A i+1, pak tuto limitu značíme ıf (M)s = ıf (x, y)s. a nazveme ji křivkovým integrálem funkce f přes křivku. Věta.1. Necht oblouk je dán parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t a, b a funkce f (x, y) je spojitá na oblouku. Pak platí f (M) ds = f (x, y) ds = b f (ϕ (t), ψ (t)) ϕ (t) + ψ (t) dt. a Poznámka.1. Je-li dána křivka předpisem y = g(x), x a, b a derivace g je spojitá na a, b, pak platí f (x, y) ds = b a f (x, g (x)) 1 + (g (x)) dx. Je-li dána křivka předpisem x = h(y), y c, d a derivace h je spojitá na c, d, pak platí f (x, y) ds = d c f (h (y), y) 1 + (h (y)) dy. Příklad.1. Vypočtěte I = 6 xy ds,

7 kde je křivka R dána rovnicí x + y = ax, a >. Řešení: x = a + a cos t, y = a sin t, t, π I = a3 8 = a4 16 = a4 16 π π ( 1 (1 + cos t) sin t a 4 sin t + a 4 cos t dt ( sin t + cos t sin t ) dt = a4 16 [t 1 ] π [ 1 π ) sin t + t] 3 sin3 π sin t dt + = πa4 16. π cos t sin t dt Věta.. Necht oblouk je dán parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t) t a, b a funkce f (x, y, z) je spojitá na oblouku. Pak platí f (M) ds = = b a f (x, y, z) ds f (ϕ (t), ψ (t), χ (t)) ϕ (t) + ψ (t) + χ (t) dt. Příklad.. Vypočtěte I = z x + y + z ds, kde je křivka R 3 dána parametrickými rovnicemi x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t, π, a >, b >. Řešení: ϕ (t) + ψ (t) + χ (t) = a sin t + a cos t + b = a + b I = b a + b π π t a sin t + a cos t + b t dt = b a + b = b [ 1 ] π a + b a + b a + b b t = ( a + 4π b b a ). t a + b t dt 7

8 Příklad.3. Vypočtěte I = xy ds, kde křivka R 3 je průsečík ploch x + y + z a =, x + y ay =, x >, y >, z >, a >. Řešení: x = a sin t, y = a sin t, z = a cos t, t, π/, Odtud I = a 3 = a3 π/ 1 ϕ(t) = a cos t, ψ(t) = a sin t, χ(t) = a sin t. cos t sin 3 t 1 + sin t dt = (u 1) u du = a3 1 + sin t = u t = π/ sin t cos t dt = du u = 1 = ( 1 + ) a 3. [ 5 u5/ 3 u3/ ] 1 15 Věta.3. (Základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli) (a) Linearita. Necht R n (n =, 3) je oblouk a funkce f a g jsou spojité na oblouku. Pak platí (c 1 f + c g)(m) ds = c 1 kde c 1 a c jsou libovolné reálné konstanty. f(m) ds + c g(m) ds, (b) Aditivita. Necht R n (n =, 3) je křivka, která je sjednocením dvou oblouků 1, a funkce f je spojitá na křivce. Pak platí f(m) ds = f(m) ds + 1 f(m) ds. Cvičení.1. Vypočítejte křivkové integrály po dané křivce : 1. 1 x y ds, kde je usečka AB, A = [, ], B = [4, ]; [ ] 5 ln. x ds, kde je oblouk AB křivky dané rovnicí y = ln x pro A = [, ln ], B = [1, ]; ( 5 5 ) ] 3. (x y) ds, kde je kružnice x + y ax =, a > ; [ 1 3 [ 1 πa] 8

9 4. (x + y + z ) ds, kde je oblouk šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at, [ ] t, π, a > ; 3 πa3 (4π + 3) 5. z ds, kde je křivka x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, [. 3 (4 )]. Geometrické a fyzikální aplikace křivkového integrálu ve skalární poli (a) Délka křivky L = ds. Příklad.4. Vypočtěte délku křivky určené průsečnicí ploch o rovnicích y = arcsin x, z = 1 ln x + x od bodu A = [,, ] do bodu B = [1, π/3, ln 3/]. Řešení: Při užití přirozené parametrizace dostaneme Odtud L = = 1 ds = ( 1 1 x = t, y = arcsin t, z = 1 ln t + t, ẋ = 1, ẏ =, ż = 4 t t t (t 4) dt = ) 1 (t ) + 1 (t + ) t 6 t 4 dt [ dt = t + 1 ln t + t ] 1 = ln 3[m]. (b) Obsah části válcové plochy Φ s řídící křivkou R, : a, b R v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z = g(x, y), z = f(x, y), g(x, y) f(x, y) pro každé [x, y]. P = [f(x, y) g(x, y)] ds. 9

10 Příklad.5. Vypočtěte obsah části válcové plochy Φ s řídící křivkou R danou rovnicí y = ln x, x [1, e] v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami: z =, z = x. Řešení: P = = [f(x, y) g(x, y)] ds = x ds = e 1 t 1 + t dt = e 1 t t dt 1 + t = u t = 1 e t dt = u du u = 1 + e 1+e = u du = 1 3 ( (1 + e) 3/ 3/) [m ]. (c) Hmotnost drátu ve tvaru křivky. m = ϱ(x, y, z) ds s lineární hustotou ϱ (x, y, z) [kg m 1 ]. Příklad.6. Vypočtěte hmotnost homogenního drátu ve tvaru křivky R 3 s parametrickými rovnicemi x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π a konstantní lineární hustotou ϱ (x, y, z) = ϱ [kg m 1 ]. Řešení: m = = ϱ(x, y, z) ds = ϱ ds = ϱ t = u t = π dt = du u = π/ π + t dt π/ = ϱ = ϱ [ u 1 + u + ln ( u + )] π/ 1 + u ( ( π π = ϱ 1 + π + ln + )) 1 + π 1 + u du [kg]. (d) Statický moment hmotného drátu ve tvaru křivky R vzhledem k přímce p. S p = d([x, y], p) ϱ(x, y) ds, 1

11 kde d([x, y], p) je orientovaná vzdálenost bodu [x, y] od přímky p. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x a y. S x = y ϱ(x, y) ds, S y = x ϱ(x, y) ds. (e) Statické momenty hmotného drátu ve tvaru křivky R 3 vzhledem k rovině τ. S τ = d([x, y, z], τ) ϱ(x, y, z) ds. kde d([x, y, z], τ) je orientovaná vzdálenost bodu [x, y, z] od roviny τ. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým rovinám xy, xz a yz. S xy = z ϱ(x, y, z) ds, S xz = y ϱ(x, y, z) ds, S yz = (f) Těžiště hmotného drátu ve tvaru křivky R a R 3. T = [ Sy m, S ] [ x Syz, T = m m, S xz m, S ] xy. m x ϱ(x, y, z) ds. Příklad.7. Vypočtěte těžiště homogenního drátu ve tvaru křivky R 3 s parametrickými rovnicemi x = t sin t, y = 1 cos t, z = 4 cos(t/), t, π a konstantní lineární hustotou ϱ (x, y, z) = ϱ [kg m 1 ]. Řešení: m = S yz = S xz = = ϱ = ϱ = ϱ ϱ(x, y, z) ds = ϱ π sin t dt = 4 ϱ xϱ(x, y, z) ds = ϱ π ds = ϱ [ cos t 1 cos t dt ] π x ds = π ϱ [ t cos t + 3 sin t sin 3 t ] π yϱ(x, y, z) ds = ϱ [ 3 cos t cos 3 t ] π 11 = 4 ϱ [kg], y ds = π ϱ (t sin t) sin t dt = 16 ϱ [kg m], 3 (1 cos t) sin t dt = 16 ϱ [kg m], 3

12 S xy = = 4 π ϱ zϱ(x, y, z) ds = ϱ T = z ds = 8 π ϱ sin t cos t dt sin t dt = 4 ϱ [cos t] π = 8 ϱ [kg m], [ Syz m, S xz m, S ] [ xy 4 = m 3, 4 ] 3,. (g) Moment setrvačnosti hmotného drátu ve tvaru křivky R, R 3 vzhledem k přímce p R, resp. p R 3. I p = d ([x, y], p) ϱ(x, y) ds, I p = d ([x, y, z], p) ϱ(x, y, z) ds, kde d([x, y], p) je vzdálenost bodu [x, y] od přímky p R, resp. d([x, y, z], p) je vzdálenost bodu [x, y, z] od přímky p R 3. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x a y. I x = y ϱ(x, y) ds, I y = x ϱ(x, y) ds. Speciální případ vzhledem k souřadnicovým osám x, y a z. ( I x = y + z ) ( ϱ(x, y, z) ds, I y = x + z ) ϱ(x, y, z) ds, I z = ( x + y ) ϱ(x, y, z) ds. Cvičení.. Užitím křivkového integrálu ve skalárním poli vypočtěte: 1. Délku křivky : r = a cos t i+a sin t j +vt k pro t, π, a, v > ; [ π a + v ]. Obsah části válcové plochy Φ : 4x + 9y = 36 pro y s řídící křivkou v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami ] z =, z = xy; 3. Hmotnost konická šroubovice = {[x, y, z] R 3 ; x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π }, ( ] je-li hustota křivky σ(x, y, z) z; π + 1 ) 4. Souřadnice těžiště T = [x T, y T ] homogeního oblouku cykloidy [ 3 : r(t) = a(t sin t) i + a(1 cos t) j, t, π, kde a > je konstanta, je-li hustota křivky σ( r(t)) k. [ 76 5 [ ] T = [πa, 4a/3] 1

13 3 Křivkový integrál ve vektorovém poli 3.1 Zavedení pojmu, základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli Ve fyzice a v technických aplikacích se často setkáváme s různými druhy rovinných nebo prostorových vektorových polí silové pole, pole rychlostí částic proudící nestlačitelné kapaliny, pole magnetické a elektrické intenzity. Z matematického hlediska jde vlastně o zobrazení, které bodům přiřazuje vektory. Vektorové pole je zobrazení f : ΩR n, kde Ω R n je otevřená množina. V technické praxi je nejčastější použití pro n =, 3. V tomto případě budeme jednoduše psát f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), kde P, Q, R jsou složky (komponenty) vektorové funkce f. Říkáme, že vektorové pole f je spojité vektorové pole, nebo stručněji je třídy C na Ω, když všechny složky jsou spojité na Ω. Říkáme, že vektorové pole f je třídy C 1 na Ω, když všechny složky tohoto pole mají spojité všechny první parciální derivace na množině Ω. Uvažujeme-li orientovaný oblouk : a, b R (resp.r 3 ), pak můžeme v každém bodě M = Γ(t), t (a, b) oblouku určit jednotkový tečný vektor vztahem t(m) = Γ(t) Γ(t). Mějme nyní spojité vektorové silové pole f na oblouku a hledejme práci, která se vykoná v zadaném vektorovém poli, pohybuje-li se hmotný bod po oblouku ve směru jeho orientace. Rozdělíme-li oblouk na dostatečně malé oblouky i, i = 1,..., n můžeme vektor síly f na oblouku i aproximovat konstantním vektorem f(m i ). Z fyziky je známo, že absolutní hodnota práce W i je pak rovna součinu velikosti tečné složky f t síly f(m i ) a délky dráhy s i, což je délka oblouku i. Protože f(mi ) t(m i ) = ft (M i ) pak práce W je přibližně rovna W = n i=1 f(m i ) t(m i ) s i, což je možno interpretovat jako integrální součet pro křivkový integrál f t ds. V aplikacích se často tento integrál označuje f d r. 13

14 Definice 3.1. Necht f je spojité vektorové pole na orientovaném oblouku. Křivkovým integrálem ve vektorovém poli f (křivkovým integrálem druhého druhu) přes křivku nazýváme integrál tvaru f d s = f t ds. Jeli Γ : a, b, parametrizace orientovaného oblouku (tj. parametrizace oblouku souhlasí s jeho orientací), pak platí = b a f t ds = b a f (Γ(t)) b Γ(t) Γ(t) Γ(t) dt = a f (Γ(t)) Γ(t) dt [ P (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ϕ(t) + Q (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ψ(t) + R (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) χ(t) ] dt. Mnohdy se používá označení f t ds = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz, které se po dosazení z parametrických rovnic oblouku převede na výše uvedený tvar. Poznámka 3.1. Je-li dána křivka předpisem y = g(x), x a, b a g je spojitá na a, b, pak platí P (x, y) dx = b a P (t, g (t)) dt. Je-li dána křivka předpisem x = h(y), y c, d a h je spojitá na c, d, pak platí Q (x, y) dy = d c Q (h (t), t) dt. Příklad 3.1. Vypočtěte I = y dx + x(1 + y ) dy, kde je část elipsy 4x + y = 16, ležící v prvním kvadrantu a orientovaná od bodu A = [, ] do bodu B = [, 4]. 14

15 Řešení: Parametrické rovnice jsou: Odtud I = π/ = 8 π/ x = cos t, y = 4 sin t, t, π. ( 3 sin 3 t + 8 cos t( sin t) ) dt ( 4 sin 3 t + cos t + 16 sin cos t ) dt = 8 [ 4 3 cos3 t + 4 cos t sin t 1 sin 4t + 5 ] π/ t = 1π Příklad 3.. Vypočtěte I = y x + z dx (x + z) dy + y z dz, kde je úsečka s počátečním bodem A = [3,, 1] a s koncovým bodem B = [1, 1, ]. Řešení: Parametrické rovnice úsečky jsou: Odtud x = 3 t, y = t, z = 1 + t, t, 1. I = = 1 ( t 4 t t ) dt 1 + t [ ln(t + 4) arctg t ] 1 + 4t + 3 ln t + 1 = 4 arctg 1 + ln 1. Příklad 3.3. Vypočtěte práci silového pole při pohybu hmotného bodu po průnikové křivce = {[x, y, z] R 3 : x + y = 1, z = 1 + y } od bodu A = [ 3, 1, 5] přes 4 bod B = [,, 3 ] do bodu C = [, 1, ]. Silové pole působí v každém bodě silou, která směřuje kolmo k rovině xz a velikost této síly je rovna převrácené hodnotě vzdálenosti bodu od roviny xy. Řešení: Sílu F = (f 1, f, f 3 ) můžeme vyjádřit ve tvaru F = F F = 1 z (, y y, ). 15

16 Křivku lze parametrizovat např. takto: Γ(t) = (cos t, sin t, 1 + sin t), t π 6, π. Pak dostáváme W = 1 = 1 F d s = π π 6 cos t 1 + sin t dt = u du = [arctg u]1 1 sin t = u t = π 6 π cos t dt = du u = 1 1 = π 4 + arctg 1. Věta 3.1. (Základní vlastnosti křivkového integrálu ve vektorovém poli) (a) Linearita. Necht R n (n =, 3) je orientovaný oblouk a f a g jsou spojitá vektorová pole na oblouku. Pak platí (c 1 f + c g) d s = c 1 f d s + c g d s, kde c 1 a c jsou libovolné reálné konstanty. (b) Aditivita. Necht R n (n =, 3) je křivka, která je sjednocením dvou orientovaných oblouků 1, a f je spojitá vektorové pole na křivce. Pak platí f d s = f d s + f d s. 1 Cvičení 3.1. Vypočítejte křivkové integrály po dané křivce (uvažujeme pravotočivý souřadnicový systém): 1. y dx + x dy, kde je orientovaná čtvrtkružnice r(t) = a cos t i + a sin t j, [ ] t π/ a kde bod A = [a, ] je daný jako počáteční bod, a > konstanta; x dx + y dy + z dz, kde je orientovaná úsečka AB, s počátečním bodem A = [1, 1, 1] a koncovým bodem B = [4, 4, 4]; 3 ] x + y + z x y + z [ 3 (x + y ) dx + (x y ) dy, kde je orientovaná křivka y = 1 1 x pro [ ] x, počáteční bod A = [, ]; 4 3 yz dx + xz dy + xy dz, kde je oblouk AB šroubovice r(t) = a cos t i + a sin t j + bt/π k (orientovaný) od bodu A = [a,, ] do B = [a,, b], a, b > konstanty. [ ] 16

17 Cvičení 3.. V každém bodě silového pole v R (resp. R 3 ) působí síla F ( r). Vypočítejte práci A tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce : 1. F = xy i + (x + y) j, je oblouk AB křivky dané rovnicí y = arctg x od bodu ( A = [1,?] do bodu B = [,?]; 16 8π π ) ln ]. F ( r) = y i + z j + yz k, : r(t) = (cos t, sin t, ct) orientované souhlasně s daným ( parametrickým vyjádřením pro t, π, c >. c 4c 1 ) ] 3. Greenova věta Oblast Ω R se nazývá jednoduše souvislá v R, jestliže s každou kružnicí, která je obsažena v Ω je také vnitřek kružnice obsažen v Ω. Mezikruží není jednoduše souvislá množina v R. [ 1 3 [ π Věta 3.. (Greenova věta) Necht Ω R je otevřená, ohraničená množina, jejíž hranicí je jediná kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka. Dále necht f = (P, Q) je spojité vektorové pole na Ω a P/, Q/ x jsou spojité funkce na Ω. Pak platí Ω ( Q x (x, y) P (x, y) ) dxdy = = f(x, y) d s Důkaz. Důkaz provedeme pouze pro oblast prvního druhu P (x, y) dx + Q(x, y) dy. {[x, y] R : a < x < b, g(x) < y < G(x)}, kde funkce g a G jsou spojité na a, b (viz obrázek). 17

18 Ω P (x, y) dxdy = = b a b a G(x) g(x) P (x, y) dy dx = b [ ] P (x, G(x)) P (x, g(x)) dx. Poslední integrály můžeme vyjádřit podle Poznámky 3.1 následovně b a b a P (x, G(x)) dx = P (x, g(x)) dx = Vzhledem k předešlému můžeme psát P (x, y) dxdy = P (x, y) dx Ω DC = = = AB AB AB P (x, y) dx P (x, y) dx P (x, y) dx CD BC DC AB P (x, y) dx a P (x, y) dx, P (x, y) dx. P (x, y) dx P (x, y) dx CD [ ] G(x) P (x, y) dx g(x) P (x, y) dx nebot integrály po úsečkách BC a DA jsou nulové. Můžeme-li náš integrační obor rozložit na konečné sjednocení oblastí prvního druhu, platí předešlá rovnice na každé takové oblasti a ze základních vlastností dvojných a křivkových integrálů plyne žádaná rovnice na celé oblasti. Analogicky se dokáže platnost rovnice Q x (x, y) dxdy = Q(x, y) dy, Ω DA P (x, y) dx kde Ω je oblast druhého druhu. Nakonec můžeme-li náš integrační obor rozložit na konečné sjednocení oblastí prvního druhu a současně na sjednocení konečného počtu oblastí druhého druhu, sečteme předešlé rovnice a dostaneme žádaný vzorec. Příklad 3.4. Užitím Greenovy věty vypočtěte ( I = x y x ) dx ( xy + y ) dy, 18

19 kde je křivka o rovnici x + y = y, orientovaná ve směru pohybu hodinových ručiček. Řešení: Křivka je záporně orientovaná hranice jednoduše souvislé oblasti Ω = {[x, y] R : x + y y}. Vektorové pole f = (P, Q) je třídy C 1 v R a tedy dle Greenovy věty platí Odtud dostáváme P (x, y) dx + Q(x, y) dy = I = Ω Ω ( Q x P ) dxdy. ( y x ) dxdy = (x + y ) dxdy. Na poslední dvojný integrál použijeme transformace do polárních souřadnic Ω x = r cos t ϕ (r, t), y = r sin t ψ (r, t). s jakobiánem J(r, t) = r. Vzor množiny Ω je množina Ω = {[r, t] R : < t < π, < r < sin t}. I = = π sin t r 3 dt dr = 4 π [ t sin t + 1 t sin 4t ] π sin 4 t dt = = 3 π. π [1 cos t + 1 ] (1 + cos 4t) dt Aplikace Greenovy věty. Obsah rovinné oblasti splující předpoklady Greenovy věty. µ(ω) = 1 x dy y dx. Důkaz. Položíme-li v Greenově větě dostaneme požadovaný výsledek. Příklad 3.5. Vypočtěte obsah elipsy. Řešení: Zvolíme-li parametrizaci P (x, y) = 1 y, Q(x, y) = 1 x, x = a cos t, y = b sin t, t, π, 19

20 dostaneme µ = 1 x dy y dx = 1 ẋ = a sin t, ẏ = b cos t, π ( ab cos t + ab sin t ) dt = 1 π ab dt = πab [m ]. Příklad 3.6. Užitím Greenovy věty vypočtěte obsah množiny Ω R, kde Ω je ohraničená obloukem hyperboly o parametrických rovnicích x = a cosh t, y = b sinh t, t (, ), a, b >, osou x a spojnicí počátku souřadné soustavy s bodem A = [x, y ] hyperboly, kde x >, y >. Řešení: Platí P = 1 Ω x dy y dx, kde Ω je kladně orientovaná hranice oblasti Ω, tvořená křivkami 1,, 3. Odtud x dy y dx = x dy y dx + x dy y dx + x dy y dx. 1 Ω Parametrické rovnice postupně jsou: 1 : y =, x = t, t, a : x = a cosh t, y = b sinh t, t, t 3 : x = t, y = kt, t x,, kde k = y /x. Je vidět, že 1 x dy y dx = 3 x dy y dx =. 3

21 Dále 1 x dy y dx = ab Pro parametr t bodu A platí a celkem t cosh t + sinh t = e t = x a + y b ( cosh t sinh t ) dt = ab P = ab ( ln x a + y ) b [m ]. t dt = ab t. ( x t = ln a + y ) b Cvičení 3.3. Ověřte, že jsou splněny podmínky pro užití Greenovy věty, a užijte ji k výpočtu následujících integrálů: 1. (x + y) dx (x + y) dy, kde je kladně orientovaný obvod trojúhelníka OAB s vrcholy O = [, ], A = [1, ], B = [, 1]; [ 4/3]. (x + y) dx (x y) dy, kde je elipsa x + y = 1 orientovaná kladně.[ πab] a b Cvičení 3.4. Aplikací Greenovy věty vypočtěte obsah rovinného obrazce { } A = [x, y] R : x y x. [1/6] 3.3 Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě V tomto odstavci budeme oblastí v R n (n =, 3) rozumět otevřenou podmnožinu v R n (n =, 3), ve které můžeme každé dva různé body ležící v této množině spojit jednoduchou křivkou, ležící v této množině. Řekneme, že spojité vektorové pole f v oblasti Ω R n (n =, 3) nezávisí na integrační cestě, jestliže pro libovolné orientované křivky 1, ležící v Ω se stejným počátečním bodem A a koncovým bodem B, platí f d s = 1 f d s. Pak také píšeme B A f d s. 1

22 Necht f = (P, Q) ( f = (P, Q, R)) je spojité vektorové pole na oblasti Ω R (Ω R 3 ). Řekneme, že vektorové pole je potenciální na Ω, jestliže existuje funkce V C 1 (Ω) tak, že V = f pro každé [x, y] Ω ([x, y, z] Ω). Každou takovou funkci V nazýváme potenciálem vektorového pole f na Ω. Věta 3.3. Necht vektorové pole f = (P, Q) je třídy C 1 na jednoduše souvislé oblasti Ω R. Pak toto pole je potenciální tehdy a jen tehdy, když pro každé [x, y] Ω. Q x (x, y) = P (x, y) Rotaci vektorového pole f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) definujeme pomocí formálního determinantu rot f(x, i j k y, z) = x z P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z) ( R = Q ) ( P i + z z R ) ( Q j + x x P ) k. Oblast Ω R 3 se nazývá jednoduše souvislá v R 3, jestliže s každou kulovou plochou, která je obsažena v Ω je také vnitřek kulové plochy obsažen v Ω. Koule, trojrozměrný interval jsou jednoduše souvislé množiny, ale mezisféra není jednoduše souvislá množina v R 3. Oblast Ω R 3 se nazývá plošně jednoduše souvislá v R 3, jestliže ke každé jednoduché uzavřené křivce, která je obsažena v Ω existuje hladká plocha, která sama sebe neprotíná taková, že S Ω a jejíž okraj je tato křivka. Množina R 3 \ {[x, y, z] R 3 : x = y = } je jednoduše souvislá, ale není plošně jednoduše souvislá. Věta 3.4. Necht vektorové pole f = (P, Q, R) je třídy C 1 na plošně jednoduše souvislé oblasti Ω R 3. Pak toto pole je potenciální tehdy a jen tehdy, když pro každé [x, y, z] Ω. rot f(x, y, z) = (,, ) Věta 3.5. Necht f = (P, Q) je třídy C 1 v jednoduše souvislé oblasti Ω R. Křivkový integrál f(x, y) d s = P (x, y) dx + Q(x, y) dy,

23 kde Ω nezávisí na integrační cestě AB v oblasti Ω tehdy a jen tehdy, když vektorové pole f je na Ω potenciální. Je-li V jeho potenciál na Ω, pak platí B Příklad 3.7. Dokažte, že integrál A B ( A P (x, y) dx + Q (x, y) dy = V (B) V (A). y (x y) 1 x ) dx + ( 1 y x ) (x y) dy z bodu A = [1, ] do bodu B = [, 6] nezávisí na integrační cestě a určete jeho hodnotu. Řešení: Vektorové pole f = (P, Q) je v oblasti Ω = {[x, y] R : y > x > } třídy C 1. Pro funkce P, Q platí P (x, y) = Q x (x, y) = xy (x y) 3 pro každé [x, y] Ω. Vektorové pole f je tedy v jednoduše souvislé oblasti Ω potenciální a zadaný integrál tedy nezávisí na integrační cestě. Pro potenciál V platí V x (x, y) = P (x, y), V (x, y) = Q (x, y) pro každé [x, y] Ω. Integrací první rovnice podle proměnné x máme ( y V (x, y) = (x y) 1 ) dx + g(y) = y ln x + g(y). x y x Z rovnice plyne a po úpravě V Integrací předešlé rovnice dostáváme = Q (x, y) g (y) + y xy (x y) = 1 y x (x y) g (y) = y. g(y) = y + ln y + c, c R. Celkem Hodnota integrálu je V (x, y) = xy y x + ln y + c, c R. x V (B) V (A) = + ln 3. 3

24 Věta 3.6. Necht f = (P, Q, R) je třídy C 1 v plošně jednoduše souvislé oblasti Ω R 3. Křivkový integrál f(x, y, z) d s = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz, kde Ω nezávisí na integrační cestě AB na oblasti Ω tehdy a jen tehdy, když vektorové pole f je potenciální na Ω. Je-li V jeho potenciál na Ω, pak platí B A P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz = V (B) V (A). Příklad 3.8. Dokažte, že integrál B A yz dx + xz dy + xy dz z bodu A = [1,, 3] do bodu B = [3,, 1] nezávisí na integrační cestě a určete jeho hodnotu. Řešení: Vektorove pole f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = (yz, xz, xy) je třídy C 1 na plošně jednoduše souvislé oblasti Ω = R 3. Pro funkce P, Q, R platí R R x Q x (x, y, z) Q z (x, y, z) P z (x, y, z) P (x, y, z) = x x =, (x, y, z) = y y =, (x, y, z) = z z = pro každé [x, y, z] Ω. Vektorové pole f je tedy na Ω potenciální a existuje potenciál V tak, že V x (x, y, z) = yz, V (x, y, z) = xz, V z (x, y, z) = xy pro každé [x, y, z] Ω. Integrací první rovnice podle proměnné x máme V (x, y, z) = yz dx + g(y, z) = xyz + g(y, z), V = Z předešlého a využitím druhé rovnice máme g(y, z) (xyz + g(y, z)) = xz +. xz + g(y, z) 4 = xz

25 a tedy g(y, z) =. Integrací této rovnice podle proměnné y máme g(y, z) = dy + h(z) = h(z), Využitím třetí rovnice dostáváme Z předešlého máme V (x, y, z) = xyz + h(z). V z = z (xyz + h(z)) = xy + h (z) = xy. h (z) = = h(z) = c, c R a závěrem Hodnota integrálu je V (x, y, z) = xyz + c, c R. V (B) V (A) = 6 + c 6 c =. Příklad 3.9. Dokažte, že integrál B A x dx + y dy z 3 dz z bodu A = [1, 1, 1] do bodu B = [1, 1, 1] nezávisí na integrační cestě a určete jeho hodnotu. Řešení: Vektorové pole f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = (x, y, z 3 ) je třídy C 1 na plošně jednoduše souvislé oblasti Ω = R 3. Pro funkce P, Q, R platí R R x Q x (x, y, z) Q z (x, y, z) P z (x, y, z) P (x, y, z) = =, (x, y, z) = =, (x, y, z) = = pro každé [x, y, z] Ω. Vektorové pole f je tedy na Ω potenciální a existuje potenciál V tak, že V x = x, V = V y, z = z3 5

26 pro každé [x, y, z] Ω. Integrací první rovnice podle proměnné x dostáváme V (x, y, z) = x dx + g(y, z) = 1 x + g(y, z), V = ( 1 x + g(y, z)) = Z předešlého a využitím druhé rovnice máme g(y, z). g(y, z) = y. Integrací předešlé rovnice podle y máme g(y, z) = y dy + h(z) = 1 3 y3 + h(z), V (x, y, z) = 1 x y3 + h(z). V z = ( 1 z x y3 + h(z)) = h (z). Z předešlého a využitím třetí rovnice dostaneme a potenciál má tvar h (z) = z 3 = h(z) = 1 4 z4 + c, c R V (x, y, z) = 1 x y3 1 4 z4 + c, c R. Hodnota integrálu je V (B) V (A) =. Cvičení 3.5. Ověřte, že daný integrál nezávisí na integrační cestě v Ω R (resp. Ω R 3 ) a vypočtěte jeho hodnotu od bodu A do bodu B: x dx + y dy [ ] 1. x + y, A = [, 6], B = [1, ]; 1 ln 4 [ ]. x dx + y dy + (x + y 1) dz, A = [, 3, 4], B = [1, 1, 1]; 13 Cvičení 3.6. Ověřte, že práce v silovém poli F nezávisí na integrační cestě v R (resp. v R 3 ), určete potenciál F ( r) tohoto silového pole a vypočtěte práci A od bodu M do bodu N. 1. F (x, y) = (x cos y + 1) i x sin y j, M = [, π ], N = [ π, π]; [V (x, y) = 1 x cos y + x + c; W = 1 8 π(π + 4) ]. F ( r) = (x + yz) i + (y + xz) [ j + (z + xy) k, M = [1,, 3], N = [, 3, 4]. V (x, y, z) = 1 ( 3 x 3 + y 3 + z 3) ] + xyz + c; W =

27 4 Kontrolní otázky, autotest Otázky pro vás: Napište integrální součet, který vyjadřuje aproximaci hmotnosti oblou-ku. Kdy nazveme limitu integrálních součtů křivkovým integrálem ve skalá-rním poli? Uved te vztahy pro výpočet křivkového integrálu v rovinném a prostorovém skalárním poli. Jaké znáte základní vlastnosti křivkového integrálu ve skalárním poli? Vysvětlete vztahy pro výpočet základních geometrických a technických aplikací křivkového integrálu ve skalárním poli. Jaký tvar má integrální součet pro výpočet práce v silovém poli? Zapište vztahy pro výpočet křivkového integrálu ve vektorovém poli v rovině a v prostoru. Uved te základní vlastnosti křivkového integrálu ve vektorovém poli. Zformulujte Greenovu větu. Užitím Greenovy věty odvod te vztah pro výpočet plošného obsahu rovinné oblasti. Kdy řekneme, že křivkový integrál nezávisí na integrační cestě? Jak definujeme potenciál vektorového pole? Co je jednoduše souvislá oblast v R? Co stačí k tomu, aby rovinné vektorové pole na jednoduše souvislé oblasti bylo potenciální? Jak se změní tyto podmínky v případě prostorového vektorového pole? Popište postup při výpočtu potenciálu v případě rovinného a prostorového vektorového pole. Jak se vypočítá křivkový integrál nezávislý na integrační cestě, známe-li potenciál? 7

28 Autotest Vzorové zadání kontrolního testu. Matematika,. semestr Zpracoval: Test č. 4 Jméno: Adresa: A. Vypočtěte křivkové integrály 1. druhu po dané křivce : 1) (x + y) ds, kde je obvod trojúhelníka s vrcholy A = [1, 1], B = [, 1] ) 3) a C = [1, ]; z ( ds, kde je oblouk šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at, (x + y ) t, π, a > ; xy ds, kde je elipsa x a + y = 1 pro x, y, a, b >. b B. Vypočtěte křivkové integrály druhu po dané křivce : 4) x dx + y dy + (x + y 1) dz, kde je orientovaná úsečka A = [1, 1, 1], 5) 6) B = [, 3, 4]; (y x ) dx + (x + y ) dy, kde je orientovaná křivka x + y 1 = 1 pro y s koncovým bodem B = [, ]; xy dx + y dy, kde je oblouk AB křivky y = arctg x od bodu A = [1,?] do bodu B = [,?]. C. Ověřte, že daný integrál nezávisí na integrační cestě a vypočtěte jeho hodnou od bodu A do bodu B: 1 y y 7) dx + dy, A = [, ], B = [1, 1]; (1 + x) 1 + x 8) xz dx + y 3 dy + x z dz, A = [ 1, 1, ], B = [ 4,, 1]. D. Ověřte, že jsou splněny podmínky pro užití Greenovy věty a užijte ji k výpočtu integrálů:

29 9) 1) (x + y) dx (x + y) dy, kde je kladně orientovaný obvod trojúhelníka ABC, A = [, ], B = [1, ] a C = [, 1]; (xy + x + y) dx + (xy + x y) dy, kde je kladně orientovaná kružnice x + y = ax, a > konstanta. E. Vypočtěte délku křivky, je-li: 11) : r(t) = a cos t i + vt j + a sin t k, t π/4, a, v > konstanty. F. Vypočtěte obsah rovinného obrazce A, je-li 1) A = { [x, y] R : 3x + 4y 1, x y 3x }. G. Vypočtěte hmotnost křivky, je-li hustota křivky σ( r): 13) : y = x 3 pro x 4/9, σ(x, y) x. H. V každém bodě silového pole v R 3 působí síla F ( r). Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce : 14) : r(t) = (cos t, sin t, ct) orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřním pro t, π ; F ( r) y i + z j + yz k. př opravil(a) max. bodů zís. bodů 9

30 5 Studijní prameny. [1] Brabec, J., Hrůza, B.: Matematická analýza II., SNTL, Praha [] Drábek, P., Míka, S.: Matematická analýza II., FAV, Plzeň 1997,. vydání. [3] Fichtěngolc G.M.: Kurs diferencialnovo i integralnovo isčislenija III., Nauka, Moskva 1966, 4. vydání. [4] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha 1995, 6. přepracované vydání. [5] [6] Škrášek, J., Tichý, Z.: Základy aplikované matematiky II., SNTL, Praha Ženíšek, A.: Křivkový a plošný integrál, PC-DIR, Brno

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y 3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek

Více

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první

Více

Křivkový integrál vektorového pole

Křivkový integrál vektorového pole Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Obsah. 1. Komplexní čísla

Obsah. 1. Komplexní čísla KOMPLEXNÍ ANALÝZA - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Komplexní čísla 1 2. Holomorfní funkce 3 3. Elementární funkce komplexní proměnné 4 4. Křivkový integrál 7 5. Index bodu vzhledem ke křivce 9 6.

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

Technická mechanika - Statika

Technická mechanika - Statika Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...

Více

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) = Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží

Více

ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNKY 1. Rovinný úhel α (rad) arcα a/r a'/l (pro malé, zorné, úhly) α a α a' a arcα / π α/36 (malým se rozumí r/a >3 až 5) r l. Prostorový úhel Ω S/r (sr) steradián, Ω 4π 1 spat

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Základní radiometrické veličiny

Základní radiometrické veličiny Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde

Více

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

11. Geometrická optika

11. Geometrická optika Trivium z optiky 83 Geometrická optika V této a v následující kapitole se budeme zabývat studiem světla v situacích, kdy je možno zanedbat jeho vlnový charakter V tomto ohledu se obě kapitoly podstatně

Více

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.97/7/f/a Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v obasti tepotního namáhání Některé apikace a ukázky konkrétních řešení tepeného namáhání těes. Autorky:

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL

KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL Jiří Bouchala, Oldřich Vlach Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry. století (reg. č. CZ..7/../7.33), na kterém se společně podílela Vysoká škola

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla

Více

Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky. i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu?

Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky. i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu? Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu? Kapitola vstupních parametrů 1. Výběr materiálu a nastavení jednotek 1.1 Jednotky výpočtu 1.2 Materiál SI Units

Více

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více