Analytická geometrie ( lekce)
|
|
|
- Marie Navrátilová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Analytická geometrie ( lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 16. června 2011
2 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádření vektoru v pomocí vektorů a, b, c: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b c).
3 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádření vektoru v pomocí vektorů a, b, c: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b c). Řešení: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b c) =
4 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádření vektoru v pomocí vektorů a, b, c: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b c). Řešení: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b c) = = 4 a + 12 b 2 c + 6 a 12 b + 3 c 10 a + 5 b 2 c =
5 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádření vektoru v pomocí vektorů a, b, c: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b c). Řešení: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b c) = = 4 a + 12 b 2 c + 6 a 12 b + 3 c 10 a + 5 b 2 c = = 5 b c
6 Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d.
7 Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d. Řešení: a) a b + 2 c = 3 d
8 Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d. Řešení: a) a b + 2 c = 3 d a = b 2 c + 3 d
9 Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d. Řešení: a) a b + 2 c = 3d a = b 2 c + 3d a = (1, 2, 5) 2 (2, 7, 1) + 3 (3, 9, 2)
10 Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d. Řešení: a) a b + 2 c = 3d a = b 2 c + 3d a = (1, 2, 5) 2 (2, 7, 1) + 3 (3, 9, 2) a = (6, 15, 1)
11 Příklad 2 Řešení: b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2) b) 2 a + b = 3 c d
12 Příklad 2 Řešení: b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2) b) 2 a + b = 3 c d 2 a = b + 3 c d
13 Příklad 2 Řešení: b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2) b) 2 a + b = 3 c d 2 a = b + 3 c d a = 1 2 ( b + 3 c d)
14 Příklad 2 Řešení: b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2) b) 2 a + b = 3 c d 2 a = b + 3 c d a = 1 2 ( b + 3 c d) a = (1, 5, 3)
15 Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1).
16 Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R
17 Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1)
18 Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1) 3 = 4a + 3b
19 Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1) 3 = 4a + 3b u 2 = a + 2b
20 Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1) 3 = 4a + 3b u 2 = a + 2b 5 = b
21 Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1) 3 = 4a + 3b u 2 = a + 2b 5 = b b = 5, a = 3, u 2 = 13
22 Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6].
23 Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M =
24 Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M = ( 11, 2, 10)
25 Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M = ( 11, 2, 10) v =
26 Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M = ( 11, 2, 10) v = ( 11)
27 Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M = ( 11, 2, 10) v = ( 11) v = 15
28 Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC.
29 Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A =
30 Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1)
31 Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A =
32 Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A = ( 3, 0, 4)
33 Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A = ( 3, 0, 4) u v =
34 Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A = ( 3, 0, 4) u v = ( 2) ( 3) + ( 5) 0 + ( 1) 4
35 Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A = ( 3, 0, 4) u v = ( 2) ( 3) + ( 5) 0 + ( 1) 4 u v = 2
36 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6.
37 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 )
38 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a
39 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0
40 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0
41 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0
42 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0
43 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0 x c = 6
44 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0 x c = 6 2x 1 x 2 + x 3 = 6
45 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0 x c = 6 2x 1 x 2 + x 3 = 6 řešení soustavy: x 1 = 3, x 2 = 3, x 3 = 3
46 Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0 x c = 6 2x 1 x 2 + x 3 = 6 řešení soustavy: x 1 = 3, x 2 = 3, x 3 = 3 hledaný vektor: x = ( 3, 3, 3)
47 Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e.
48 Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) a = 5 a = a
49 Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) a = 5 a = a } porovnáme: a = 5
50 Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) a = 5 a = a } porovnáme: a = 5 a = 25
51 Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) a = 5 a = a } porovnáme: a = 5 a = 25 a 2 1 = 9
52 Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) } a = 5 a = a porovnáme: a 1 = 3 a 1 = 3 a = 5 a = 25 a 2 1 = 9
53 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e
54 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0
55 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0
56 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1
57 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R
58 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2)
59 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l
60 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l 0 = 3k 2l
61 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l 0 = 3k 2l 2 = 4k + 2l
62 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l 0 = 3k 2l 2 = 4k + 2l k = 2, l = 3
63 Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l 0 = 3k 2l 2 = 4k + 2l k = 2, l = 3 Vektor c je lineární kombinací vektorů d, e.
64 Příklady k provičení Cvičení 1 Jsou dány vektory a = (2, 1, 1), b = (3, 2, 1), c = (1, 3, 2). Najděte souřadnice vektoru u, pro který platí a u = 2, b u = 7, c u = 1. [ u = (2, 1, 3)]
65 Příklady k provičení Cvičení 2 Jsou dány vektory a = (1, r, 2), b = ( r, 4, 2 + r), c = (1, 3, 2), d = (2, 1, 1), e = (3, 4, 5). a) Určete r tak, aby velikost vektoru a byla 3. b) Určete r tak, aby vektory a, b byly navzájem kolmé. c) Najděte všechny vektory, které jsou kolmé k vektorům c, d. d) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. [a) r 1 = 2, r 2 = 2, b) r = 4, c) (k, 3k, 5k), k R {0}, d) ne]
66 Příklady k provičení Cvičení 3 V trojúhelníku ABC je c = (2, 6, 4), b = (4, 2, 2), kde c = B A, b = C A. a) Vypočtěte souřadnice vektorů, jejichž umístěními jsou těžnice trojúhelníku ABC, přičemž počáteční body těchto umístění jsou vrcholy daného trojúhelníku. b) Vypočtěte velikost ostrého úhlu, který svírá těžnice t c a strana CB. [ a) t a = (3, 4, 3), t b = (0, 5, 3), t c = ( 3, 1, 0), b) C 1CB. = ]
67 Příklady k provičení Cvičení 4 Jsou dány body A[ 1, 1, 1], B[5, 1, 7], C[4, 2, 3], D[1, 2, 1]. a) Dokažte, že ABCD je lichoběžník. b) Které strany jsou základnami lichoběžníku ABCD a v jakém poměru jsou jejich délky? c) Vypočítejte velikost úhlu BAD. [b) Základnami jsou strany AB a CD, přitom platí AB : CD = 2 : 1, c) BAD. = ]
68 Příklady k provičení Cvičení 5 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavnou hranou a = 4 cm a výškou v = 6 cm; střed hrany BC je označen E. Zvolte vhodně soustavu souřadnic v prostoru a řešte následující úkoly. a) Vypočítejte délku boční hrany jehlanu. b) Určete velikost α úhlu vektorů u = V E a v = D A. c) Určete velikost β úhlu vektorů u = V E a w = C A. [a) AV = 2 11 cm, b) α = 90, c) β. = ]
69 Příklady k provičení Cvičení 6 Určete bod D tak, aby obrazec ABCD byl rovnoběžník, je-li dáno A[2, 3, 1], B[4, 0, 3], C[ 2, 3, 4]. [D[ 4, 0, 0]]
70 Příklady k provičení Cvičení 7 Jsou dány body A[20, 5, 10], B[8, 4, 10], C[ 4, 13, 10], D[8, 4, 10]. a) Dokažte, že ABCD je rovnoběžník. b) Vypočítejte velikost úhlu DAB. c) Vypočítejte velikost úhlu ABD. [ b 53 08, c) 90 ]
15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles
Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles ZS 2008 1 / 41 Příklad (Řez šikmého hranolu) Sestrojte řez šikmého
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.057 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova
c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
Lineární algebra. Vektorové prostory
Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:
Věty o pravoúhlém trojúhelníku. Vztahy pro výpočet obvodu a obsahu. Eukleidova věta o výšce. Druhá mocnina výšky k přeponě je rovna součinu
Věty o pravoúhlém trojúhelníku Eukleidova věta o výšce. Druhá mocnina výšky k přeponě je rovna součinu b v a obou úseků přepony: v 2 = c a c b c b c a Eukleidova věta o odvěsně A c B Druhá mocnina délky
Úlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Matematika pro 9. ročník základní školy
Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Ćíselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy
Rostislav Horčík. 13. října 2006
3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem
Kružnice. Kruh. Kruh K(S; r) je množina všech bodů roviny, které mají. od zadaného bodu S, vzdálenost r. Bod S je střed, r je poloměr kružnice.
Kružnice Kružnice k(s; r) je množina všech bodů roviny, které mají d od zadaného bodu S, vzdálenost r. Bod S je střed, r je poloměr kružnice. S r Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová. Matematika, Mnohoúhelníky, pokračování
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová Tematická oblast Matematika, Mnohoúhelníky, pokračování Ročník 2. Datum
Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.
Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.b Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které prochází
Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovin shodné zobrazení nep ímou shodnost shodnost p ímou
Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz; zapisujeme Z: X X. Zobrazení v rovině je shodné
α + β < 180 trojúhelník lze sestrojit 3. ROZBOR 5. KONSTRUKCE
GEOMETRIE KONSTRUKCE TROJÚHELNÍKŮ Knstrukce trjúhelníku zadanéh pdle věty sss SSS strana, strana, strana Př. Sestrjte trjúhelník ABC, je-li dán a = 6 cm, b = 8 cm a c = 7 cm 1. NÁČRT VĚTA sss Dva trjúhelníky
Goniometrie trigonometrie
Goniometrie trigonometrie Goniometrie se zabývá funkcemi sinus, kosinus, tangens, kotangens (goniometrické funkce). V tomto článku se budeme zabývat trigonometrií (součást goniometrie) používáním goniometrických
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
Dů kazové úlohy. Jiří Vaníček
Dů kazové úlohy Jiří Vaníček Následující série ú loh je koncipována tak, ž e student nejprve podle předem daného konstrukčního postupu sestrojí konstrukci a v ní podle návodu objeví některý nový poznatek.
7.8 Kosmická loď o délce 100 m letí kolem Země a jeví se pozorovateli na Zemi zkrácena na 50 m. Jak velkou rychlostí loď letí?
7. Speciální teorie relativity 7.1 Kosmonaut v kosmické lodi, přibližující se stálou rychlostí 0,5c k Zemi, vyšle směrem k Zemi světelný signál. Jak velká je rychlost signálu a) vzhledem k Zemi, b) vzhledem
2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.
Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například
Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q.
7. průzkum bojem 1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 2)Jsou dány vektory u = (5;-3), v = (-6;4), f = (53;-33). Určete čísla k,l R taková, že k.u + l.v
M - Příprava na 1. čtvrtletní písemku
M - Příprava na 1. čtvrtletní písemku Určeno pro třídu 2ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat?
3..4 Trojúhelní Předpolady: 303 Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelní. o to je, víme. Ja ho definovat? Př. : Definuj trojúhelní jao průni polorovin. Trojúhelní je průni polorovin, a.
Orientovaná úseka. Vektory. Souadnice vektor
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úseka Mjme dvojici bod A, B (na pímce, v rovin nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úseka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od A k B nebo od B k
( ) ( ) 7.2.2 Sčítání vektorů. Předpoklady: 7201
7.. Sčítání ektorů Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Stdenti ětšino necítí potřeb postpoat při definici sčítání ektorů (obecně při zaádění jakékoli operace) tak striktně, jak yžadje matematika. Upozorňji
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor013 Vypracoval(a),
1. a) Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. b) Skalární součin vektorů, úhel dvou vektorů, kolmost a rovnoběžnost vektorů.
. a) Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. b) Skalární součin vektorů, úhel dvou vektorů, kolmost a rovnoběžnost vektorů. A.: Řeš v R : 4 B.: Vypočti velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku
SILNIČNÍ DAŇ U OSOBNÍCH AUTOMOBILŮ
SILNIČNÍ DAŇ U OSOBNÍCH AUTOMOBILŮ Název školy Obchodní akademie, Vyšší odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Uherské Hradiště Název DUMu VY_32_INOVACE_UCE1414 Autor Ing. Martina
souřadné systémy geometrické určení polohy pevně spojené se vztažným tělesem
souřadné systémy geometrické určení polohy pevně spojené se vztažným tělesem kartézský souřadný systém Z Y X kartézský souřadný systém Z Y X kartézský souřadný systém Z x y Y X kartézský souřadný systém
3.2.4 Podobnost trojúhelníků II
3..4 odobnost trojúhelníků II ředpoklady: 33 ř. 1: Na obrázku jsou nakresleny podobné trojúhelníky. Zapiš jejich podobnost (aby bylo zřejmé, který vrchol prvního trojúhelníku odpovídá vrcholu druhého trojúhelníku).
Fyzika pro chemiky Ukázky testových úloh: Optika 1
Fyzika pro chemiky Ukázky testových úloh: Optika 1 1. Světelný paprsek prochází rozhraním vzduchu a skla. Pod jakým úhlem se paprsek láme ve skle, dopadá-li paprsek na rozhraní ze vzduchu pod úhlem 45
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Posouzení únosnosti svaru se provádí podle zásad pružnosti a pevnosti v nebezpečném průřezu.
Svarové spoje Posouzení únosnosti svaru se provádí podle zásad pružnosti a pevnosti v nebezpečném průřezu. Vybrané druhy svarů a jejich posouzení dle EN ČSN 1993-1-8. Koutový svar -T-spoj - přeplátovaný
2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie
1. Kruh, kružnice. Mezi poloměrem a průměrem kružnice platí vztah : d = 2. r. Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
Kruh, kružnice, válec 1. Kruh, kružnice 1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed kružnice. Stejnou vzdálenost nazýváme poloměr
a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
Ráda bych poděkovala RNDr. Jarmile Robové, CSc., která mi pomohla při tvorbě této práce. Dále pak svým spolužákům a rodině za podporu.
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Bakalářská práce Ludmila Kadlecová Webová aplikace pro výuku stereometrie Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jarmila Robová,
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
Kótování na strojnických výkresech 1.část
Kótování na strojnických výkresech 1.část Pro čtení výkresů, tj. určení rozměrů nebo polohy předmětu, jsou rozhodující kóty. Z tohoto důvodu je kótování jedna z nejzodpovědnějších prací na technických
KONSTRUKČNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ UŽITÍM MNOŽIN BODŮ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KONSTRUKČNÍ
Mongeova projekce - řezy hranatých těles
Mongeova projekce - řezy hranatých těles KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Mongeova projekce - řezy hranatých těles 1 / 73 Obsah 1 Zobrazení těles v základní poloze 2 Řez hranolu rovinou Osová afinita Sestrojení
Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. Učivo
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel
ZÁKLADNÍ PRINCIPY ÚČTOVÁNÍ DPH
ZÁKLADNÍ PRINCIPY ÚČTOVÁNÍ DPH Název školy Obchodní akademie, Vyšší odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Uherské Hradiště Název DUMu VY_32_INOVACE_UCE1403 Autor Ing. Martina
Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí (např. dva křížky u jedné úlohy) bude považován za nesprávnou odpověď.
MATEMATIKA 5 M5PZD16C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 16 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Časový limit pro řešení didaktického testu je 60
Poznámka 1: Každý příklad začneme pro přehlednost do nového souboru tímto krokem:
Mongeovo promítání základní úlohy metrické (skutečná velikost úsečky - sklápění, kolmice k rovině, vzdálenost bodu od roviny, vzdálenost bodu od přímky, rovina kolmá k přímce, otáčení roviny, trojúhelník
IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:
IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti
Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.
STEREOMETRIE Zadání 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK = AK ; M EH; HM = EM ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM; K AB; BK = AK ; L CD; DL = CL ; M
SMĚŠOVACÍ KALORIMETR -tepelně izolovaná nádoba s míchačkou a teploměrem, která je naplněná kapalinou
KALORIMETRIE Kalorimetr slouží k měření tepla, tepelné kapacity, případně měrné tepelné kapacity Kalorimetrická rovnice vyjadřuje energetickou bilanci při tepelné výměně mezi kalorimetrem a tělesy v kalorimetru.
Test typografie (export do pdf)
Test typografie (export do pdf) Ditta Kukaňová Název školy Adresa školy Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Svitavy Sokolovská 1638, 568 02 Svitavy IČO 62033026 Operační program
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_3_12 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE
CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Z injekční stříkačky je skrze jehlu vytlačovaná voda. Průměr stříkačky je D, průměr jehly d. Určete výtokovou rychlost,
Návody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký
Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9.
5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo M9101 provádí početní operace
Numerická integrace. 6. listopadu 2012
Numerická integrace Michal Čihák 6. listopadu 2012 Výpočty integrálů v praxi V přednáškách z matematické analýzy jste se seznámili s mnoha metodami výpočtu integrálů. V praxi se ale poměrně často můžeme
Grafické sčítání úseček teorie
Grafické sčítání úseček teorie Nezáleží na tom, kterou úsečku přeneseme na polopřímku jako první. Úsečka AD je grafickým součtem úseček AB a CD. Příklad 1 Hana jde ze školy na poštu, z pošty do knihovny.
MECHANIKA TUHÉ TĚLESO
Projekt Efektivní Učení Reformou oblastí gymnaziálního vzělávání je spolufinancován Evropským sociálním fonem a státním rozpočtem České republiky. Implementace ŠVP MECHANIKA TUHÉ TĚLESO Učivo - Tuhé těleso
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní
1) Vypočítej A) 32 B) 44 C) 48 D) 56. 2) Urči číslo, které se skrývá za A ve výpočtu: 8 5 A) 12 B) 13 C) 14 D) 15
Varianta A 4 4 4 4 4 4 4 4 1) Vypočítej A) 32 B) 44 C) 48 D) 56 2) Urči číslo, které se skrývá za A ve výpočtu: 8 5 20 120 A. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 3) Najdi největší a nejmenší trojciferné číslo skládající
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení) KVADRATICKÉ ROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická rovnice o jedné neznámé se nazývá každá taková rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. VZPĚR VZPĚR
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 8. ZÁŘÍ 2013 Název zpracovaného celku: VZPĚR VZPĚR U všech předcházejících druhů namáhání byla funkce součásti ohroţena překročením
Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.
18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa
STEREOMETRIE, OBJEMY A POVRCHY TĚLES
STEREOMETRIE, OBJEMY POVRCHY TĚLES Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_181 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací
Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP
Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu
Úloha č. 4 Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úkoly měření:. Určete moment setrvačnosti vybraných těles, kruhové a obdélníkové desky.. Stanovení momentu setrvačnosti proveďte s využitím dvou rozdílných
Průměty rovinných obrazců a těles
Průměty rovinných obrazců a těles Tato část je podmíněna znalostí základních úloh, principů Mongeova promítání a pravoúhlé axonometrie. Slouží jako pracovní sešit na procvičování. Pracovní list č. 1 Zadání:
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se
Přechodové jevy, osciloskop
Přechodové jevy, osciloskop Cíl cvičení: 1. seznámit se s funkcemi osciloskopu, paměťového osciloskopu 2. pozorovat přechodové stavy na RC, RL a RLC obvodech, odečíst parametry přechodového děje na osciloskopu
2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA 7 M7PZD16C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový
Jan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 17. března 2015 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
Příklad 1.3: Mocnina matice
Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních
VY_62_INOVACE_VK53. Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Květen 2012 Ročník, pro který je VM určen
VY_62_INOVACE_VK53 Jméno autora výukového materiálu Věra Keselicová Datum (období), ve kterém byl VM vytvořen Květen 2012 Ročník, pro který je VM určen Vzdělávací oblast, obor, okruh, téma Anotace 9. ročník
MODEL MOSTU. Ing.Jiřina Strnadová. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti. Předmět:Fyzika
MODEL MOSTU Ing.Jiřina Strnadová Předmět:Fyzika Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Model mostu Teoretický úvod: Příhradové nosníky (prutové soustavy) jsou složené z prutů, které jsou vzájemně spojené
Zakládání staveb. 18. ZÁKLADY výpočet návrh základového pasu
S třední škola stavební Jihlava Zakládání staveb 18. ZÁKLADY výpočet návrh základového pasu Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava - šablony Ing. Jaroslava Lorencová 2012 Projekt je spolufinancován
ROČNÍKOVÁ PRÁCE TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH
ROČNÍKOVÁ PRÁCE TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH Vypracoval: Jan Vojtíšek Třída: 8.M Školní rok: 2011/2012 Seminář: Aplikace Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem svou ročníkovou práci napsal samostatně a
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_16 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2
Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t
MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
MATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 MA1ACZMZ06DT MATEMATIKA 1 didaktický test Testový sešit obsahuje 18 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište
Profilová část maturitní zkoušky 2015/2016
Střední průmyslová škola, Přerov, Havlíčkova 2 751 52 Přerov Profilová část maturitní zkoušky 2015/2016 TEMATICKÉ OKRUHY A HODNOTÍCÍ KRITÉRIA Studijní obor: 78-42-M/01 Technické lyceum Předmět: MATEMATIKA
4. Model M1 syntetická geometrie
4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
1) Určete ohniskové vzdálenosti čoček, jsou-li jejich optické mohutnosti 2 D, 16 D, - 4 D, - 12 D.
ČOČKY ) Určete ohniskové vzdálenosti čoček, jsou-li jejich optické mohutnosti 2 D, 6 D, - 4 D, - 2 D. φ = 2 D φ 2 = 6 D φ = 4 D φ = 2 D f 4 =? (m) Optická mohutnost je převrácená hodnota ohniskové vzdálenosti
COPY SPS. Návrh převodovky. Vypracoval Jaroslav Řezníček IV.B 2.KONSTRUKČNÍ CVIČENÍ ZA 4. ROČNÍK
SPS 2.KONSTRUKČNÍ CVIČENÍ ZA 4. ROČNÍK Návrh převodovky Vypracoval Jaroslav Řezníček IV.B 26.listopadu 2001 Kinematika Výpočet převodového poměru (i), krouticích momentů počet zubů a modul P 8kW n n 1
Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín
Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Hodnota kterého výrazu je sudé číslo? (A) 200 + 9 (B) 200 9 (C) 200 9 (D) 2 + 0 + 0 + 9 (E) 2 0 + 0 + 9 2. Kolik
Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky
provádí pamětné a písemné početní Čísla přirozená Opakování září, říjen operace v oboru přirozených čísel porovnává a uspořádává čísla celá a Čísla celá, racionální racionální, provádí početní operace
Matematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
VÝZNAMOVÉ POMĚRY MEZI VH
Základní škola, Šlapanice, okres Brno-venkov, příspěvková organizace Masarykovo nám. 1594/16, 664 51 Šlapanice www.zsslapanice.cz MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA reg. č.: CZ.1.07/1.4.00/21.2389 VÝZNAMOVÉ
Matematika 9. ročník
Matematika 9. ročník Náhradník NáhradníkJ evátá třída (Testovací klíč: PFFNINW) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Geometrie / Slovní úlohy