IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:
|
|
- Vladimíra Švecová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti práce s odmocninami a iracionálními rovnicemi lze využít v mnoha přírodovědných a praktických oborech. Teorie: Iracionální rovnice je rovnice, v níž se neznámá nachází pod odmocninou. Než se pustíme do samotných matematických úprav iracionální rovnice, nezapomeňme uvést podmínky pro neznámou určit definiční obor rovnice. ři práci s iracionálními rovnicemi používáme často operaci umocňování. Umocnění obou stran rovnice je důsledková úprava vystihuje skutečnost, že každé řešení původní rovnice je také řešením rovnice nové, avšak obráceně to platit nemusí. Důsledkovou úpravou se žádné řešení neztratí, ale některá řešení mohou přibýt nutnou součástí řešení těchto rovnic je ZKOUŠKA! Zkoušku provádíme dosazením vypočteného možného kořene (příp. kořenů) rovnice do původní iracionální rovnice. orovnáním vypočtených levých a pravých stran rovnice zjistíme, zda případný kořen je skutečným kořenem původní rovnice. okud ano, zapíšeme množinu kořenů; pokud ne, uvedeme množinu kořenů rovnice jako prázdnou. ři úpravách rovnice používáme rovněž ekvivalentní úpravy. Ekvivalentními úpravami jsou například: - přičtení (odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice - přičtení (odečtení) stejného násobku neznámé k oběma stranám rovnice - vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným nenulovým číslem - ekvivalentní úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice, atd. (Ekvivalentní úprava vystihuje skutečnost, že každá nově získaná rovnice má naprosto stejné řešení jako výchozí rovnice.) řipomeňme, že početní operace násobení a dělení mají přednost před sčítáním a odčítáním! Řešené úlohy: říklad. Řešte rovnici 4 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: ; definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 4 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 4 /(-4) (ekvivalentní úpravy) 4) 3 (pro lepší pochopení matematické úpravy)
2 3) rovedení zkoušky: 5 /: 5 5 (zjistíme, zda číslo je prvkem definičního oboru rovnice) 5 5 ; (číslo je prvkem definičního oboru rovnice; přesto Vypočtený kořen rovnice ( 5 orovnáme, zda se po dosazení obě strany rovnice sobě rovnají. je NUTNÉ ROVÉST ZKOUŠKU!) ) dosadíme postupně do levé a pravé strany původní rovnice (číslo je řešením původní rovnice) říklad. 5 K (výsledek) Řešte rovnici ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 0 ; ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: definiční obor rovnice (úprava rovnice osamostatnění odmocniny) 3. /:3 (rovnici vydělíme číslem 3) 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) 3 0 /: ( ) (pro lepší pochopení matematické úpravy)
3 3) rovedení zkoušky: 5 (zjistíme, zda kořen 5 je prvkem definičního oboru rovnice) 5 ; (číslo 5 je prvkem definičního oboru rovnice; přesto je NUTNÉ ROVÉST ZKOUŠKU!) Vypočtený kořen rovnice ( 5 ) dosadíme postupně do levé a pravé strany původní rovnice. orovnáme, zda se po dosazení obě strany rovnice sobě rovnají (číslo 5 je řešením původní rovnice) 5 K (výsledek) říklad 3. Řešte rovnici 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: jakékoli reálné číslo umocněné na druhou je číslo nezáporné R definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 3) ( ) (OZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě a b a ab b ) 3 (ekvivalentní úpravy) /: (zjistíme, zda případný kořen rovnice ( ) je prvkem definičního oboru rovnice) R (číslo (-) náleží definičnímu oboru rovnice; přesto je NUTNÉ ROVÉST ZKOUŠKU!) 3) rovedení zkoušky: Vypočtený kořen rovnice ( ) dosadíme postupně do levé a pravé strany původní rovnice. orovnáme, zda se po dosazení obě strany rovnice sobě rovnají.
4 3 3 4 (pro vypočtený kořen rovnice (-) zkouška nevyšla nevyhovuje zadání původní rovnice rovnice nemá žádný kořen) K Ø (prázdná množina - výsledek) říklad 4. Řešte rovnici 0 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: ; 0 definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 0 (ekvivalentní úprava) 0 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 0 ) ( ) (OZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě a b a ab b ) (ekvivalentní úpravy) /: 3 0 (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( ).( 3) 0 ; 3 (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 3) rovedení zkoušky: 0; 0 3 0; 0 (. vypočtený kořen (-) náleží definičnímu oboru rovnice) (. vypočtený kořen 3 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: (-) i 3, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla (-) a 3.
5 0 ( ) (číslo (-) není řešením původní rovnice) (číslo 3 je řešením původní rovnice) 3 K (výsledek) říklad 5. Řešte rovnici ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 6 0 6; definiční obor rovnice 6 ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 3. 6) (4 ) (OZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice.( probíhá podle vzorce; v tomto případě a b a ab b ) 6) 6 8 (ekvivalentní úpravy) (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( 7).( 0) 0 7 ; 0 (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 7 ; ) (. vypočtený kořen 7 náleží definičnímu oboru rovnice) 0 ; ) (. vypočtený kořen 0 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: 7 i 0, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!)
6 3) rovedení zkoušky: Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 7 a (číslo 7 není řešením původní rovnice) (číslo 0 není řešením původní rovnice) říklad 6. K Ø (prázdná množina - výsledek) Řešte rovnici 5 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: 5 0 5; definiční obor rovnice 5 ) ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 5 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 5) ( ) (OZOR! Umocnění na druhou na pravé straně rovnice probíhá podle vzorce; v tomto případě a b a ab b ) 4( 5) 4 4 (ekvivalentní úpravy rovnice) 3) rovedení zkoušky: (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené 4 ) kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 5; (. vypočtený kořen 4 náleží definičnímu oboru rovnice) 4 5; ) (. vypočtený kořen (-4) náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny 4 i (-4) jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba možné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 4 a (-4).
7 (číslo 4 je řešením původní rovnice) (číslo (-4) není řešením původní rovnice) 4 K (výsledek) říklad 7. Řešte rovnici 7 5 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocnina na levé straně rovnice má smysl, je-li výraz pod odmocninou nezáporný, tj. platí-li: ; ) definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 7 5 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 7) ( 5) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) (ekvivalentní úpravy rovnice) 8 0 (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( ).( ) 0 ; (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 7; ) (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) 3) rovedení zkoušky: 7; ) (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: i, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla a (číslo není řešením původní rovnice)
8 (číslo je řešením původní rovnice) K (výsledek) říklad 8. Řešte rovnici ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na obou stranách rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: (uvedené nerovnice musí platit současně; řešíme je ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) 3 číselná osa ; definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) (ekvivalentní úpravy rovnice) /: (zjistíme, zda vypočtený kořen ( ) je prvkem definičního oboru rovnice) ; (číslo není prvkem definičního oboru rovnice tj. 3) Zapíšeme množinu kořenů rovnice: některý z výrazů na levé či pravé straně rovnice, po dosazení čísla, nemá smysl ( 4 6 ) rovnice nemá žádný kořen) K Ø (prázdná množina - výsledek)
9 říklad. Řešte rovnici 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: 0 0 (uvedené nerovnice musí platit současně; řešíme je ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) číselná osa Ø definiční obor rovnice je prázdný rovnice nemá smysl ) Zapíšeme množinu kořenů rovnice: K Ø (výsledek) říklad 0. Řešte rovnici ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) -5 4 číselná osa 5;4 definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav. OZOR! Vyskytují-li se v rovnici dvě odmocniny, je výhodné převést jednu odmocninu na opačnou stranu rovnice tak, aby na každé straně rovnice byla jen jedna odmocnina! (převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) /() (umocnění obou stran rovnice na druhou)
10 6 ( 4 ) (3 5 ) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) (iracionální rovnice s jednou odmocninou; odmocninu /: osamostatníme převedením na jednu stranu rovnice, v tomto případě levou stranu; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme) /() (obě strany rovnice opět umocníme na druhou; dále ( 3 5 ) (5.(5 ) 5 0 ) postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou) (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( 5).( 4) 0 5 ; 4 (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 5 5; 4 (. vypočtený kořen (-5) náleží definičnímu oboru rovnice) 3) rovedení zkoušky: 4 5; 4 (. vypočtený kořen 4 náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: (-5) i 4, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla (-5) a ( 5) (číslo (-5) je řešením původní rovnice) (číslo 4 je řešením původní rovnice) K 5;4 (výsledek)
11 říklad. Řešte rovnici 7 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) 7;3 definiční obor rovnice -7 3 číselná osa ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav. OZOR! Vyskytují-li se v rovnici dvě odmocniny, je výhodné převést jednu odmocninu na opačnou stranu rovnice tak, aby na každé straně rovnice byla jen jedna odmocnina! 7 3 (převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) 3 7 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 7) ( 3 ) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) 7 (iracionální rovnice s jednou odmocninou; odmocninu osamostatníme převedením na jednu stranu rovnice, v tomto případě ji ponecháme na pravé straně; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme) /: 3 5 /() (obě strany rovnice opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou) ( 5) ( (3 ) ) (rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů) ( 3).( ) 0 3 ; (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda vypočtené kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)
12 3) rovedení zkoušky: 3 7; 3 7; 3 (. vypočtený kořen (-3) náleží definičnímu oboru rovnice) (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) (oba kořeny: (-3) i, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla (-3) a ( 3) (číslo (-3) není řešením původní rovnice) (číslo je řešením původní rovnice) říklad. K (výsledek) Řešte rovnici. 3 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: odmocniny na levé straně rovnice musí mít smysl výrazy pod odmocninami musí být nezáporná čísla, tj. platí: (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) 3 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) ; definiční obor rovnice -3 číselná osa ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:. 3 (převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice). 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) (. ) ( 3) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b )
13 4.( ) (iracionální rovnice s jednou odmocninou; roznásobíme závorku na levé straně rovnice) (odmocninu osamostatníme převedením na jednu stranu rovnice, v tomto případě na levou stranu; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme) /() (obě strany opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou) ( 4 3) ( 3 6.( 3) 66 ) (kvadratická rovnice, kterou řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) D b 4. a. c ( a ; b 8; c 73 ) D ( 8) 4..( 73) D 406 b D,. a 8 64, 8 73 ; (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny 73 ; (. vypočtený kořen vyhovují definičnímu oboru rovnice) 73 náleží definičnímu oboru rovnice) ; (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) 3) rovedení zkoušky: (oba kořeny: 73 i, jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 73 a (číslo není řešením původní rovnice)
14 (číslo je řešením původní rovnice) říklad 3. K (výsledek) Řešte rovnici. 7 4 ) Stanovíme podmínky pro neznámou: (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) 7 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) -7 - číselná osa ; definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav:. 7 4 (převedení jedné odmocniny na opačnou stranu rovnice) 4. 7 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 4) (. 7) (při umocňování levé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) ( 7) (iracionální rovnice s jednou odmocninou; roznásobíme závorku na pravé straně rovnice) (odmocninu osamostatníme, v tomto případě ji ponecháme na levé straně; všechny ostatní členy rovnice převedeme ekvivalentními úpravami na opačnou stranu rovnice a rovnici upravíme) /() (obě strany rovnice opět umocníme na druhou; dále postupujeme stejně jako při řešení iracionální rovnice s jednou odmocninou) ( 8. ) (3 64.( ) )
15 4 8 0 (kvadratická rovnice, kterou řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) D b 4. a. c ( a ; b 4; c 8 ) D ( 4) 4..( 8) D 04 b D,. a 4 3, 8 4 ; 3) rovedení zkoušky: (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) ; (. vypočtený kořen náleží definičnímu oboru rovnice) 4 ; (. vypočtený kořen ( rovnice) (oba kořeny: i ( 4 4 ) náleží definičnímu oboru ) jsou prvky definičního oboru rovnice; nyní pro ně ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro oba případné kořeny původní iracionální rovnice tj. čísla 73 a (číslo je řešením původní rovnice) (číslo ( 4 ; K (výsledek) 4 ) je řešením původní rovnice)
16 říklad 4***. Řešte rovnici ) Stanovíme podmínky pro neznámou: 3 > (uvedené nerovnice, které musí platit současně, řešíme ekvivalentními úpravami platnými pro úpravy nerovnic) 5 > -3 < 3 5 (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou tzv. definiční obor rovnice využijeme znalostí intervalů) 5 3 číselná osa ; 5 definiční obor rovnice ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: / ( 5).(3 ) 3 (odstranění zlomku; celou rovnici násobíme výrazem 3 ) (úprava rovnice) /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( ) ( ) (při umocňování levé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) (ekvivalentní úpravy rovnice) /: (kvadratická rovnice; řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) D b 4. a. c ( a ; b 3; c 7 ) D ( 3) 4..( 7) D 5 b D,. a 3 5, 4 ; 3 (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice)
17 3) rovedení zkoušky: ; (. vypočtený kořen nenáleží definičnímu oboru 5 rovnice neprovádíme s ním zkoušku) 3 ; (. vypočtený kořen (-3) náleží definičnímu oboru 5 rovnice) (pro možný kořen (-3) ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro případný kořen původní iracionální rovnice tj. číslo (-3) ( 3) ( 3) 3 5.( 3) říklad 5***. K 3 (výsledek) (číslo (-3) je řešením původní rovnice) 6 6 Řešte rovnici 3. ) Stanovíme podmínky pro neznámou: (nalezneme průnik řešení těchto nerovnic a stanovíme rozhodující podmínku pro neznámou, tzv. definiční obor rovnice) 3; definiční obor rovnice 0 3 číselná osa ) Danou rovnici řešíme užitím ekvivalentních a důsledkových úprav: 3. /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) ( 3) (. ) (při umocňování levé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b )
18 . ( ).( 3) 3 4 (ekvivalentní úpravy rovnice). 5 3 /() (umocnění obou stran rovnice na druhou) (. 5 3) ( ) (při umocňování pravé strany rovnice použijeme vzorec a b a ab b ) 4.( 5 3) 4 4 (ekvivalentní úpravy rovnice) (kvadratická rovnice; řešíme užitím vzorce pro diskriminant a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) D b 4. a. c ( a 7; b 4; c 6 ) D ( 4) 4.7.( 6) D 04 b D,. a 4 3, ; 7 3) rovedení zkoušky: (rovnice má dva reálné kořeny; zjistíme, zda oba kořeny vyhovují definičnímu oboru rovnice) 3 ; (. vypočtený kořen 4 náleží definičnímu oboru rovnice) 4 4 ; 7 3 (. vypočtený kořen ( 4 7 ) nenáleží definičnímu oboru rovnice neprovádíme pro něj zkoušku) (pro možný kořen 4 ROVEDEME ZKOUŠKU!) Zkoušku provádíme pro případný kořen původní iracionální rovnice, tj číslo (číslo 4 je řešením původní rovnice) 4 K (výsledek) Vysvětlivky: symbolem *** je označeno rozšiřující učivo (např. pro studenty Technického lycea)
19 Úlohy k procvičování: ) Řešte rovnici 4 7 Výsledek: ) Řešte rovnici Výsledek: 8 3) Řešte rovnici. Výsledek: Ø 4) Řešte rovnici 7 Výsledek: 3 5) Řešte rovnici 5 Výsledek: 0 6) Řešte rovnici 5 Výsledek: 0; 3 7) Řešte rovnici 3 3 Výsledek: 8) Řešte rovnici. 5 Výsledek: 4 ) Řešte rovnici Výsledek: - 0) Řešte rovnici 3 4 Výsledek: Ø ) Řešte rovnici 4 5 Výsledek: 0
20 ) Řešte rovnici Výsledek: 3) Řešte rovnici 6 Výsledek: -; 5 4) Řešte rovnici 4 Výsledek: 3 5) Řešte rovnici Výsledek: 6) Řešte rovnici Výsledek: ; 34 7) Řešte rovnici Výsledek: - 8) Řešte rovnici 0 8 Výsledek: ) Řešte rovnici 4 Výsledek: -5 0) Řešte rovnici Výsledek: Ø ) Řešte rovnici 3 7 Výsledek: -; 3 ) Řešte rovnici 3 4 Výsledek: 4 3) Řešte rovnici 3. 5 Výsledek: 5
21 3 4) Řešte rovnici 7 Výsledek: 3 4 5) Řešte rovnici Výsledek: 8 5 6***) Řešte rovnici Výsledek: Ø 7***) Řešte rovnici 5 7. Výsledek: 4 8***) Řešte rovnici 4 6 Výsledek: ; 4 5 ***) Řešte rovnici 4 5 Výsledek: 5; 30***) Řešte rovnici Výsledek: 5 3***) Řešte rovnici Výsledek: 3 4 3***) Řešte rovnici Výsledek: 5
22 33***) Řešte rovnici Výsledek: Ø 34***) Řešte rovnici 6 5. Výsledek: 35***) Řešte rovnici. 3 Výsledek: - 36***) Řešte rovnici Výsledek: -3
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení) KVADRATICKÉ ROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická rovnice o jedné neznámé se nazývá každá taková rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami
VíceGymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
Více4. R O V N I C E A N E R O V N I C E
4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4.1 F U N K C E A J E J Í G R A F Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) Definiční obor funkce (definice, značení)
VíceVýrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.
Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například
Více2.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I
.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I Předpoklady: 711, 71 Pedagogická poznámka: Látka této hodiny vyžaduje tak jeden a půl vyučovací hodiny, pokud nepospícháte můžete obětovat hodiny dvě a nechat
Více2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Více(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
VíceDefinice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
Více2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem
.8.8 Kvadratické nerovnice s arametrem Předoklady: 806 Pedagogická oznámka: Z hlediska orientace v tom, co studenti očítají, atří tato hodina určitě mezi nejtěžší během celého středoškolského studia. Proto
VíceM - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceRostislav Horčík. 13. října 2006
3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem
VíceLineární algebra. Vektorové prostory
Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceGoniometrie trigonometrie
Goniometrie trigonometrie Goniometrie se zabývá funkcemi sinus, kosinus, tangens, kotangens (goniometrické funkce). V tomto článku se budeme zabývat trigonometrií (součást goniometrie) používáním goniometrických
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor013 Vypracoval(a),
VíceKvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceVztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2
Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel
VíceHra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R },
Hra a hry Václav Vopravil Úvod 1 Kombinatorické hry Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována pomocí jednodušších her, tj. jako uspořádaná dvojice množin her.
Více( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715
.7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme
Více2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
VíceNumerická integrace. 6. listopadu 2012
Numerická integrace Michal Čihák 6. listopadu 2012 Výpočty integrálů v praxi V přednáškách z matematické analýzy jste se seznámili s mnoha metodami výpočtu integrálů. V praxi se ale poměrně často můžeme
VíceDruhá mocnina. Druhá odmocnina. 2.8.5 Druhá odmocnina. Předpoklady: 020804. V této hodině jsou kalkulačky zakázány.
.8.5 Druhá odmocnina Předpoklady: 0080 V této hodině jsou kalkulačky zakázány. Druhá mocnina nám umožňuje určit z délky strany plochu čtverce. Druhá mocnina 1 1 9 11 81 11 délky stran čtverců obsahy čtverců
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
VíceM - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
Více2.6.4 Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou
.6. Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou Předpoklady: 60, 603 Pedagogická poznámka: Hlavním cílem hodiny je nácvik volby odpovídajícího postupu. Proto je dobré nechat studentům chvíli, aby si metody
VíceStřední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1. Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/34.
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Uživatelská nastavení parametrických modelářů, využití
VíceMS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE
MS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE 1 ZAPNUTÍ SLEDOVÁNÍ ZMĚN Pokud zapnete funkci Sledování změn, aplikace Word vloží značky tam, kde provedete mazání, vkládání a změny formátu. Na kartě Revize klepněte
Více1 Měření kapacity kondenzátorů
. Zadání úlohy a) Změřte kapacitu kondenzátorů, 2 a 3 LR můstkem. b) Vypočítejte výslednou kapacitu jejich sériového a paralelního zapojení. Hodnoty kapacit těchto zapojení změř LR můstkem. c) Změřte kapacitu
Více4 Soustavy lineárních rovnic
4 Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic, to znamená několika lineárními rovnicemi, které musí být současně splněny. 4.1 Základní pojmy Definice Soustavu
VíceKvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
VíceProfilová část maturitní zkoušky 2015/2016
Střední průmyslová škola, Přerov, Havlíčkova 2 751 52 Přerov Profilová část maturitní zkoušky 2015/2016 TEMATICKÉ OKRUHY A HODNOTÍCÍ KRITÉRIA Studijní obor: 78-42-M/01 Technické lyceum Předmět: MATEMATIKA
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_3_12 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
Více4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:
Více1.2.7 Druhá odmocnina
..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceJan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 17. března 2015 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
VíceM - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
VíceAnalytická geometrie (3. - 4. lekce)
Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 16. června 2011 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky
VíceAritmetika s didaktikou II.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé
Více( ) ( ) 7.2.2 Sčítání vektorů. Předpoklady: 7201
7.. Sčítání ektorů Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Stdenti ětšino necítí potřeb postpoat při definici sčítání ektorů (obecně při zaádění jakékoli operace) tak striktně, jak yžadje matematika. Upozorňji
Víceax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1.
1 Rovnice, nerovnice a soustavy 11 Lineární rovnice Rovnice f(x) = g(x) o jedné neznámé x R, kde f, g jsou reálné funkce, se nazývá lineární rovnice, jestliže ekvivalentními úpravami dostaneme tvar ax
VíceALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
VíceFyzikální praktikum 3 - úloha 7
Fyzikální praktikum 3 - úloha 7 Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití Teorie: Operační zesilovač je elektronická součástka využívaná v měřící, regulační a výpočetní technice. Ideální model má nekonečně
VíceMatematika pro 9. ročník základní školy
Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Ćíselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy
VíceUŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceSBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY
SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY 1. Výrazy a počítání s nimi... 4 1.1. Mocniny s celým exponentem a s racionálním exponentem... 4 1.2 Počítání s odmocninami... 7 1.3 Úpravy algebraických výrazů... 10 2. Rovnice,
Více1. a) Přirozená čísla
jednotky desítky stovky tisíce desetitisíce statisíce miliony 1. a) Přirozená čísla Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jejich pomocí zapisujeme počet věcí
Více7. Silně zakřivený prut
7. Silně zakřivený prut 2011/2012 Zadání Zjistěte rozložení napětí v průřezu silně zakřiveného prutu namáhaného ohybem analyticky a experimentálně. Výsledky ověřte numerickým výpočtem. Rozbor Pruty, které
Více( ) 4.2.13 Slovní úlohy o společné práci I. Předpoklady: 040212. Sepiš postup na řešení příkladů o společné práci.
.. Slovní úlohy o společné práci I Předpoklady: 00 Př. : Sepiš postup na řešení příkladů o společné práci. Ze zadání si určíme jakou část práce vykonali účastníci za jednotku času. Vyjádříme si jakou část
Více2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
Vícetitul před titul za rodné číslo datum narození (nebylo-li přiděleno rodné číslo)
Návrh na vklad do katastru nemovitostí podle 4 zákona č. 265/1992 Sb. Spisová značka Určeno: Katastrálnímu úřadu pro Katastrální pracoviště vyplní katastrální úřad I. Údaje o účastnících řízení fyzických
VíceBusiness Contact Manager Správa kontaktů pro tisk štítků
Business Contact Manager Správa kontaktů pro tisk štítků 1 Obsah 1. Základní orientace v BCM... 3 2. Přidání a správa kontaktu... 4 3. Nastavení filtrů... 5 4. Hromadná korespondence... 6 5. Tisk pouze
VíceAMU1 Monitorování bezpečného života letounu (RYCHLÝ PŘEHLED)
20. Července, 2009 AMU1 Monitorování bezpečného života letounu (RYCHLÝ PŘEHLED) ZLIN AIRCRAFT a.s. Oddělení Výpočtů letadel E-mail: safelife@zlinaircraft.eu AMU1 Monitorování bezpečného života letounu
VíceMatematika - Sekunda Matematika sekunda Výchovné a vzdělávací strategie Učivo ŠVP výstupy
- Sekunda Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo
VíceZměnu DPH na kartách a v ceníku prací lze provést i v jednotlivých modulech.
Způsob změny DPH pro rok 2013 Verze 2012.34 a vyšší Úvod Vzhledem k tomu, že dnes 23.11.2012 nikdo netuší, zda od 1.1.2013 bude DPH snížená i základní 17.5% nebo 15% a 21%, bylo nutné všechny programy
VíceVěty o pravoúhlém trojúhelníku. Vztahy pro výpočet obvodu a obsahu. Eukleidova věta o výšce. Druhá mocnina výšky k přeponě je rovna součinu
Věty o pravoúhlém trojúhelníku Eukleidova věta o výšce. Druhá mocnina výšky k přeponě je rovna součinu b v a obou úseků přepony: v 2 = c a c b c b c a Eukleidova věta o odvěsně A c B Druhá mocnina délky
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
VíceVýstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky
provádí pamětné a písemné početní Čísla přirozená Opakování září, říjen operace v oboru přirozených čísel porovnává a uspořádává čísla celá a Čísla celá, racionální racionální, provádí početní operace
VíceStřední škola pedagogická, hotelnictví a služeb, Litoměříce, příspěvková organizace
Střední škola pedagogická, hotelnictví a služeb, Litoměříce, příspěvková organizace Předmět: Počítačové sítě Téma: Servery Vyučující: Ing. Milan Káža Třída: EK3 Hodina: 5 Číslo: III/2 S E R V E R Y 3.4.
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
VíceMatrika otázky a odpovědi Vidimace částečné listiny. Ing. Markéta Hofschneiderová Eva Vepřková 26.11.2009
Matrika otázky a odpovědi Vidimace částečné listiny Ing. Markéta Hofschneiderová Eva Vepřková 26.11.2009 1 Ženská příjmení Příjmení žen se tvoří v souladu s pravidly české mluvnice. Při zápisu uzavření
VíceExterní zařízení Uživatelská příručka
Externí zařízení Uživatelská příručka Copyright 2009 Hewlett-Packard Development Company, L.P. Informace uvedené v této příručce se mohou změnit bez předchozího upozornění. Jediné záruky na produkty a
VíceEHLED OSV za rok 2015 vykonávajících pouze hlavní SV
Zadání pro programátory ehled o p íjmech a výdajích OSV za rok 2015 N_OSVC lokální aplikace ehled o p íjmech a výdajích OSV za rok 2015 Údaje P ehledu 2015 Dle FU(kont): Oznámil da. p.: M l podat na FU:
Více1.3 Druhy a metody měření
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 1.3 Druhy a metody měření Měření je soubor činností, jejichž cílem je stanovit hodnotu měřené fyzikální veličiny.
VíceSTUDNY a jejich právní náležitosti.
STUDNY a jejich právní náležitosti. V současné době je toto téma velmi aktuální, a to na základě mediální kampaně, která však je, jako obvykle, silně poznamenána povrchními znalostmi a řadou nepřesností,
VíceVyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
VíceNovinky v programu Majetek 2.06
Novinky v programu Majetek 2.06 Možnost použít zvětšené formuláře program Majetek 2.06 je dodávám s ovládacím programem ProVIS 1.58, který umožňuje nastavit tzv. Zvětšené formuláře. Znamená to, že se formuláře
VíceVY_52_INOVACE_2NOV70. Autor: Mgr. Jakub Novák. Datum: 19. 3. 2013 Ročník: 8. a 9.
VY_52_INOVACE_2NOV70 Autor: Mgr. Jakub Novák Datum: 19. 3. 2013 Ročník: 8. a 9. Vzdělávací oblast: Člověk a příroda Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Elektromagnetické a světelné děje Téma: Zapojení
Více10.1.13 Asymptoty grafu funkce
.. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol
VíceOperační program Rybářství 2007-2013
OP Rybářství 2007-2013 Operační program Rybářství 2007-2013 Elektronické podání Žádosti o dotaci (19. kolo příjmu žádostí OP Rybářství opatření 3.2. b) Oddělení metodiky OP Rybářství Ing. Antonín VAVREČKA,
VíceMODEL MOSTU. Ing.Jiřina Strnadová. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti. Předmět:Fyzika
MODEL MOSTU Ing.Jiřina Strnadová Předmět:Fyzika Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Model mostu Teoretický úvod: Příhradové nosníky (prutové soustavy) jsou složené z prutů, které jsou vzájemně spojené
Více= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)
.8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.
VícePřílohy. Příloha I. Seznam příloh
Přílohy Seznam příloh Příloha I.: Párové značky...78 Příloha II.: Dotazník...79 Příloha III.: Zápis zadání úloh a jejich řešení...80 Příloha IV.: Obtížnost úloh podle chlapců a dívek...84 Příloha I. Párové
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_2_20 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
VíceVydání občanského průkazu
Vydání občanského průkazu 01. Identifikační kód 02. Kód 03. Pojmenování (název) životní situace Vydání občanského průkazu 04. Základní informace k životní situaci Občanský průkaz je povinen mít občan,
VíceSEZNAM PŘÍLOH. Příloha č. 1 Dohoda o individuální hmotné odpovědnosti podle 252 zákoníku práce 114
SEZNAM PŘÍLOH Příloha č. 1 Dohoda o individuální hmotné odpovědnosti podle 252 zákoníku práce 114 Příloha č. 2 Dohoda o společné hmotné odpovědnosti podle 252 zákoníku práce.. 116 Příloha č. 3 Upozornění
VíceŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM
Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 7. ročník J.Coufalová : Matematika pro 7.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko, J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 7.ročník ZŠ (Prometheus)
Více1 Matematické základy teorie obvodů
Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
VíceZákladní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9.
5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo M9101 provádí početní operace
Více1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I
.. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: základní početní operace Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi dvěma výrazy obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme
Vícematematika vás má it naupravidl
VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti.
VíceKatedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ
Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ Obsah 1. Úvod 2. Kontaktní logické řízení 3. Logické řízení bezkontaktní Leden 2006 Ing.
VíceI. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb
I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní
VíceÚVOD DO HRY PRINCIP HRY
Počet hráčů: 2-6 Věk: od 6 let Délka hry: cca 20 min. Obsah: 66 hracích karet: 45 karet s čísly (hodnota 0 8 čtyřikrát, hodnota 9 devětkrát), 21 speciálních karet (9 karet Výměna, 7 karet Špehuj, 5 karet
VíceZajištěný věřitel v insolvenčním řízení - vybrané otázky
Praha 7. 12. 2015 Zajištěný věřitel v insolvenčním řízení - vybrané otázky Mgr. Petr Sprinz, LL.M., advokát OBSAH 1. Základní informace 2. Legislativní zásahy 3. Vznik práva na uspokojení ze zajištění
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceSBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 ŠKOLNÍ ROK 2014/2015 Obsah 1 Dělitelnost přirozených čísel... 3 2 Obvody a obsahy
VíceTřetí sazba DPH 10% v programech Stravné a MSklad pokročilé nastavení
Pro koho je tento návod určen Tento návod je určen pro uživatele, kteří používají: program MSklad s modulem Účtování skladu nebo přenáší faktury do programu Účtárna. program Stravné 4.45 a nižší s modulem
VíceŠkola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Cyklus while, do-while, dělitelnost, Euklidův algoritmus
Číslo a název šablony Číslo didaktického materiálu Druh didaktického materiálu Autor Jazyk Téma sady didaktických materiálů Téma didaktického materiálu Vyučovací předmět Cílová skupina (ročník) Úroveň
Více4 Algebraické rovnice a nerovnice
Algebraické rovnice a nerovnice Matematika je stenografie abstraktního myšlení. Je-li používána správně, nenechává prostor žádné neurčitosti ani nepřesné interpretaci. (Louis de Broglie). Základní pojmy
VíceMECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE
MECHANICKÁ RÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE Konání práce je podmíněno silovým působením a pohybem Na čem závisí velikost vykonané práce Snadno určíme práci pro případ F s ráci nekonáme, pokud se těleso nepřemísťuje
Více2.8.10 Rovnice s neznámou pod odmocninou a parametrem
.8.10 Rovnie s neznámou pod odmoninou a parametrem Předpoklady: 806, 808 Budeme postupovat stejně jako v předhozíh hodináh. Nejdříve si zopakujeme obený postup při řešení rovni s neznámou pod odmoninou
Více