Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY

Transkript

1 Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí podle obtížnosti a znalosti lineárních či kvadratických rovnic. Student má umět: roznásobení mnohočlenů umocňování dvojčlenu ekvivalentní úpravy rovnic stanovení podmínek pro jmenovatel zlomku vyjádření neznámé ze vzorce Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond

2 I. Kapitola Soustava dvou lineárních rovnic Nejčastěji používáme metodu sčítací nebo dosazovací. Na vzorovém příkladu si ukážeme obě. V dosazovací metodě nejdříve vyjádříme z jedné rovnice jednu neznámou pomocí druhé. Vyjádřený vztah dosadíme do druhé rovnice a dopočítáme rovnicí o jedné neznámé. Ve sčítací metodě se snažíme dosáhnout vyloučení, odečtení jedné neznámé. Ve většině případů musíme nejdříve některou z rovnic nebo obě vynásobit vhodným číslem. Př. 1: Řešte v R 2 soustavu rovnic Řešení: metoda dosazovací: vyjádříme x z druhé rovnice dosadíme za x do první rovnice ( ) zpět do vyjádřené rovnice řešením je uspořádaná dvojice [ ] [ ] metoda sčítací: v první rovnici odečteme 10 druhou rovnici vynásobíme ( 2) sečteme obě upravené rovnice dosadíme do některé rovnice a dořešíme pro x řešením soustavy je uspořádaná dvojice [ ] [ ] Př. 2: Řešte v R 2 soustavu rovnic ( ) ( ) Řešení: odstraníme závorky v první rovnici odstraníme zlomky v druhé rovnici sečteme rovnice dopočteme druhou neznámou řešením soustavy je uspořádaná dvojice [ ] [ ] Nejdříve upravit obě rovnice tak, aby každá osahovala každou neznámou nejvýše jednou. 2

3 Př. 3: Řešte v R 2 soustavu rovnic ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Řešení: odstraníme závorky, odečteme člen ab druhou rovnici vynásobíme ( 3) a obě rovnice sečteme dopočteme druhou neznámou řešením soustavy je uspořádaná dvojice [ ] [ ] Cvičení 1: Řešte v R 2 soustavy rovnic ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Řešení: ) [ ] * + ) [ ] [ ] ) [ ] [ ] ) [ ] * + Správně umocnit dvojčlen. Odečíst stejné členy z obou stran rovnic. Př. 4: Řešte v R 2 soustavu rovnic první rovnici vynásobíme 3 druhou rovnici vynásobíme ( 2) po sečtení Dospěli jsme k rovnici, která platí nezávisle na hodnotách x a y. Soustava má nekonečně mnoho řešení. Neplatí ovšem jakákoliv dvojice, jedna neznámá musí být závislá na druhé. Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [ ] [ ] 3

4 Př. 5: Řešte v R 2 soustavu rovnic první rovnici vynásobíme 2 druhou rovnici vynásobíme 3 po sečtení obou rovnic Dospěli jsme k výrazu, který neplatí. Závěrem je, že soustava nemá řešení v R. Pečlivě odlišit tyto dvě možnosti s velice rozdílnými závěry. Cvičení 2: Řešte v R 2 soustavy rovnic ( ) ( ) Řešení: ) [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] Správně umocnit dvojčlen. Stanovit podmínky pro jmenovatele zlomku. 4

5 II. Kapitola Soustava tří lineárních rovnic Soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých redukujeme metodou sčítací nebo dosazovací na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pak postupujeme známým způsobem. Př. 6: Řešte v R 3 soustavu rovnic ( 2) násobek třetí rovnice druhou rovnici přičteme ( 5) násobek třetí rovnice první rovnici přičteme upravená soustava s upravenou druhou a třetí rovnicí pokračujeme dále známým způsobem po vynásobení druhé rovnice ( 1) a přičtení třetí dostáváme výsledek první neznámé dosadíme 4 za z do druhé rovnice a vypočteme y dosadíme 4 za z a 3 za y do první rovnice a vypočteme x řešením soustavy je uspořádaná trojice [ ] [ ] Pořadí rovnic lze v soustavě libovolně zaměňovat. Sčítat můžeme libovolné dvě rovnice. Cvičení 3: Řešte v R 3 soustavy rovnic 5

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Řešení: ) [ ] [ ] ) [ ] [ ] ) [ ] [ ] ) [ ] [ ] III. Kapitola Soustava rovnic s alespoň jednou kvadratickou rovnicí Př. 7: Řešte v R 2 soustavu rovnic Vyjádříme z lineární rovnice jednu neznámou a do kvadratické rovnice dosadíme. například dosadíme ( ) pomocí Viètových vzorců ( )( ) dopočet řešením soustavy jsou dvě uspořádané dvojice [ ] [ ] [ ] [ ] Př. 8: Řešte v R 2 soustavu rovnic vyjádříme x z druhé rovnice dosadíme do první rovnice a upravíme ( ) řešením soustavy jsou dvě uspořádané dvojice [ ] [ ] [ ] [ ] 6

7 Cvičení 4: Řešte v R 2 soustavy rovnic Řešení: ) [ ] [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ] ) Př. 9: Řešte v R 2 soustavu rovnic Je vhodné použít metodu srovnávací. vyjádříme z obou rovnic y řešením soustavy je uspořádaná dvojice [ ] [ ] Př. 10: Řešte v R 2 soustavu rovnic Převedeme na soustavu lineární a kvadratické rovnice. například ( 1) násobek druhé rovnice přičteme k první rovnici vyjádříme x dosadíme do první rovnice ( ) ( ) vyjádříme rovnici pro jednu neznámou pomocí Viètových vzorců ( )( ) řešením soustavy jsou dvě uspořádané dvojice [ ] [ ] [ ] [ ] 7

8 Cvičení 5: Řešte v R 2 soustavy rovnic Řešíme srovnávací metodou pro z obou rovnic. Jinak je nutno použít substituci v bikvadratické rovnici. Dosadíme za součet druhých mocnin číslo 100. Například z druhé rovnice dosadíme do první rovnice. Řešení: ) [ ] [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ] [ ] [ ] Použitá literatura: 1. Jindra Petáková: Matematika příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, 1. vydání, Prometheus Praha Benda, Daňková, Skála: Sbírka maturitních příkladů z matematiky, 7. upravené vydání, SPN Josef Polák: Přehled středoškolské matematiky, 5. přepracované vydání, SPN František Janeček: Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy, 3. přepracované vydání, Prometheus 1995 V příloze jsou zadání příkladů, které mohou být použity pro práci studentů při hodinách individuální výuky. 8

9 I. Kapitola Soustava dvou lineárních rovnic Př. 1: Řešte v R 2 soustavu rovnic Př. 2: Řešte v R 2 soustavu rovnic ( ) ( ) Př. 3: Řešte v R 2 soustavu rovnic ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Cvičení 1: Řešte v R 2 soustavy rovnic ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Př. 4: Řešte v R 2 soustavu rovnic Př. 5: Řešte v R 2 soustavu rovnic Cvičení 2: Řešte v R 2 soustavy rovnic ( ) ( ) 9

10 II. Kapitola Soustava tří lineárních rovnic Př. 6: Řešte v R 3 soustavu rovnic Cvičení 3: Řešte v R 3 soustavy rovnic ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10

11 III. Kapitola Soustava rovnic s alespoň jednou kvadratickou rovnicí Př. 7: Řešte v R 2 soustavu rovnic Př. 8: Řešte v R 2 soustavu rovnic Cvičení 4: Řešte v R 2 soustavy rovnic Př. 9: Řešte v R 2 soustavu rovnic Př. 10: Řešte v R 2 soustavu rovnic Cvičení 5: Řešte v R 2 soustavy rovnic 11