KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)"

Transkript

1 KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení) KVADRATICKÉ ROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická rovnice o jedné neznámé se nazývá každá taková rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar: a 0, b c 0; a R b, c R; D je neznámá z příslušného definičního oboru rovnice (nejčastěji množina R) a, b, c jsou koeficienty kvadratické rovnice, přičemž a.. kvadratický koeficient b.. lineární koeficient c.. absolutní koeficient kvadratické rovnice Jednotlivým členům v zápisu kvadratické rovnice také říkáme: a.. kvadratický člen b lineární člen c.. absolutní člen resp. koeficient kvadratické rovnice Diskuse kvadratické rovnice: ) a b c 0; a 0 obecný tvar kvadratické rovnice Tento obecný tvar dále upravujme a b c 0 /. ; a 0 a a dostáváme se ke tvaru: b c ) 0 a a b p q 0; p, a q c a normovaný tvar kvadratické rovnice ) a 0; b 0; c 0 a b 0 kvadratická rovnice bez absolutního členu (neúplná kvadratická rovnice)

2 tuto rovnici řešíme pomocí vytýkání společného výrazu před závorku:.( a b) 0 0 a b 0 b a kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny, b K 0 ; množina kořenů dané kvadratické rovnice a 4) a 0; b 0; c 0 a 0 kvadratická rovnice bez lineárního a absolutního členu (neúplná kvadratická rovnice) tuto rovnici dále řešíme: a 0 /. a 0 0 kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný R-kořen, (a to číslo 0 ) K 0 množina kořenů dané kvadratické rovnice 5) a 0; b 0; c 0 a c 0 kvadratická rovnice bez lineárního členu tzv. ryze kvadratická rovnice (neúplná kvadratická rovnice) a; c mají stejná znaménka K Ø množina kořenů kvadratické rovnice je prázdná a; c mají rozdílná znaménka a c /. a c a c a (výraz pod odmocninou je ve skutečnosti kladný) c c ; a a rovnice má dva různé R-kořeny (dvě navzájem opačná čísla) c c K ; kořeny ryze kvadratické a a kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný R-kořen rovnice ( a to číslo 0 )

3 6) a 0; b 0; c 0 a b c 0 úplná kvadratická rovnice Rovnici nejprve řešíme výpočtem tzv. diskriminantu kvadratické rovnice: Vzorec pro VÝPOČET DISKRIMINANTU KVADRATICKÉ ROVNICE: D b 4ac Aby kvadratická rovnice měla R-kořeny, musí být D 0 Je-li D 0 kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny, které vypočteme podle VZORCE PRO VÝPOČET KOŘENŮ KVADRATICKÉ ROVNICE:, b a D Je-li D 0 kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen, které vypočteme podle upraveného předchozího VZORCE:, b a Je-li D 0 kvadratická rovnice nemá žádné reální kořeny množina kořenů rovnice je prázdná. Řešené úlohy: Příklad. Řešte v R kvadratickou rovnici: 9 0 Rovnici upravíme na tvar: 9 /. protože žádné R číslo umocněné na druhou není rovno číslu zápornému K Ø rovnice nemá řešení v R (množina kořenů je prázdná)

4 Příklad. Řešte v R kvadratickou rovnici: 9 0 Rovnici upravíme na tvar: 9 /. ; kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny (vzájemně opačná čísla) K ; množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad. Řešte v R kvadratickou rovnici: /. odstraníme zlomek (celou rovnici vynásobíme číslem ) 9 8 převedeme neznámou na jednu stranu rovnice na levé straně vytkneme společný člen a tím převedeme rovnici na součin 9.( ) 0 součin je roven nule, rovná-li se nule některý z uvedených výrazů 0 0 dva různé R-kořeny dané kvadratické rovnice K 0; množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři.

5 Příklad 4. Řešte v R kvadratickou rovnici: 0 0 /. odstraníme zlomek (celou rovnici vynásobíme číslem ) 6 0 na levé straně vytkneme společný člen a tím převedeme rovnici na součin.( 6) 0 součin je roven nule, rovná-li se nule některý z uvedených výrazů dva různé R-kořeny dané kvadratické rovnice K 0;6 množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad 5. Řešte v R rovnici o neznámé : ( ).( 5) 0 ( ).( 5) 0 součin je roven nule, rovná-li se nule některý z uvedených výrazů dva různé R-kořeny dané kvadratické rovnice 5 K ; množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři.

6 Příklad 6. Řešte v R kvadratickou rovnici: 9 0 Rovnici upravíme na tvar: 9 / ; kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny (vzájemně opačná čísla) K množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad 7. Řešte v R kvadratickou rovnici: Rovnici upravíme na tvar: /

7 4 4 ; kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny (vzájemně opačná čísla) 4 4 K ; množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad 8. Řešte v R kvadratickou rovnici: 4 0 Rovnici upravíme například na tvar: ( ).( ) 0 součin je roven nule, rovná-li se nule některý z uvedených výrazů 0 0 dva různé R-kořeny dané kvadratické rovnice K množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad 9. Řešte v R kvadratickou rovnici: 7 0 Rovnici upravíme například na tvar: ( 7).( 7) 0 součin je roven nule, rovná-li se nule některý z uvedených výrazů dva různé R-kořeny dané kvadratické rovnice K 7 množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři.

8 Příklad 0. Řešte v R rovnici o neznámé : ( ) 0 ( ) 0 ( ).( ) 0 0, jeden dvojnásobný R-kořen K množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad. Řešte v R kvadratickou rovnici: 0 Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici ( a ; b ; c ) vypočteme diskriminant kvadratické rovnice podle vzorce: D b 4ac D 0 K Ø rovnice nemá řešení v R (množina kořenů rovnice je prázdná) Příklad. Řešte v R kvadratickou rovnici: 0 0 Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici ( a ; b ; c 0) vypočteme diskriminant kvadratické rovnice podle vzorce: D b 4ac 4..( 0) 0

9 D 0 kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny,, b a D K ; množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad. Řešte v R kvadratickou rovnici: 5 0 Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici ( a ; b 5; c ) vypočteme diskriminant kvadratické rovnice podle vzorce: D b 4ac ( 5) 4..( ) D 0 kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny,, b a D ( 5) K ; množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři.

10 Příklad 4. Řešte v R kvadratickou rovnici: 4 0 Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici ( a ; b 4; c ) vypočteme diskriminant kvadratické rovnice podle vzorce: D b 4ac 4 4..() D 0 kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny, b D ( ), a. K množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad 5. Řešte v R kvadratickou rovnici: 0 Rovnici nejprve upravíme na tvar, ve kterém se nevyskytují zlomky: 0 /. celou rovnici vynásobíme číslem Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici ( a 9; b 6; c ) vypočteme diskriminant kvadratické rovnice podle vzorce: D b 4ac ( 6)

11 D 0 kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný R-kořen, b a D ( 6) , K množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad 6. Řešte rovnici s neznámou R! Nejprve uvedeme podmínky řešitelnosti rovnice: (tzn. kořenem rovnice nesmí být číslo Dále rovnici s neznámou ve jmenovateli upravujeme pomocí ekvivalentních úprav /.( ) odstranění zlomku z rovnice.( ).( ).( ) roznásobení závorek 4 4 převedení všech členů rovnice na jednu stranu rovnice další úpravy rovnice /. 0 kvadratická rovnice, kterou již dále zjednodušit nelze Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici ( a ; b ; c ) vypočteme diskriminant kvadratické rovnice podle vzorce: D b 4ac ( ) 4..( ) 4 8 D 0 kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny,, b a D ( ).( ). 4 4 ; K množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři.

12 Příklad 7. Řešte rovnici s neznámou 8 4 R! Nejprve uvedeme podmínky řešitelnosti rovnice: 4; (tzn.kořeny rovnice nesmí být čísla 4 a ( ) Rovnici s neznámou ve jmenovateli nejprve upravujeme pomocí ekvivalentních úprav /. 8.( 4).( ) odstranění zlomků z rovnice 8 4.( 4).( ) 8.( ).8.( 4) roznásobení závorek.( 4 8) roznásobení závorek převedení všech členů rovnice na jednu stranu rovnice další úpravy rovnice /. 4 0 kvadratická rovnice, kterou již dále zjednodušit nelze Tuto kvadratickou rovnici lze dále řešit dvěma různými způsoby: jednak pomocí vzorce pro výpočet diskriminantu kvadratické rovnice a kořenů kvadratické rovnice nebo užitím rozkladu kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů (již dříve probrané učivo viz úpravy algebraických výrazů).. způsob řešení: užitím vzorců pro diskriminant a kořeny kvadratické rovnice: Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici ( a ; b ; c 4) vypočteme diskriminant kvadratické rovnice podle vzorce: D b 4ac ( ) 4..( 4) D 0 kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny,, b a D ( ). 8 6 ; K 6; 4 množina kořenů dané kvadratické rovnice. způsob řešení: rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů (řešeno zpaměti): 4 0 ( ).( ) 0 obecný vztah;, jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice

13 ( ).( ) 0 kořeny kvadratické rovnice se odhadnou na základě již získaných znalostí z. ročníku studia SPŠ ( 6).( 4) 0 součin je roven nule, rovná-li se nule některý z uvedených výrazů dva různé R-kořeny dané kvadratické rovnice K 6; 4 množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad 8. Řešte rovnici s neznámou ( ) ( 4) ( R! ) Rovnici s neznámou ve jmenovateli nejprve upravujeme pomocí ekvivalentních úprav ( ) ( 4) ( ) výrazy v závorkách upravíme pomocí vzorců ( a b) převedení všech členů rovnice na jednu stranu rovnice další úpravy rovnice 0 0 kvadratická rovnice, kterou již dále zjednodušit nelze Tuto kvadratickou rovnici lze dále řešit dvěma různými způsoby: jednak pomocí vzorce pro výpočet diskriminantu kvadratické rovnice a kořenů kvadratické rovnice nebo užitím rozkladu kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů (již dříve probrané učivo viz úpravy algebraických výrazů).. způsob řešení: užitím vzorců pro diskriminant a kořeny kvadratické rovnice: Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici ( a ; b 0; c ) vypočteme diskriminant kvadratické rovnice podle vzorce: D b 4ac ( 0) 4..() D 0 kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny,, b a D ( 0) ; K 7; množina kořenů dané kvadratické rovnice. způsob řešení: rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů (řešeno zpaměti):

14 0 0 ( ).( ) 0 obecný vztah;, jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice ( ).( ) 0 kořeny kvadratické rovnice se odhadnou na základě již získaných znalostí z. ročníku studia SPŠ ( 7).( ) 0 součin je roven nule, rovná-li se nule některý z uvedených výrazů dva různé R-kořeny dané kvadratické rovnice K 7; množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři. Příklad 9. Řešte rovnici s neznámou R! Nejprve uvedeme podmínky řešitelnosti rovnice: (tzn. kořenem rovnice nesmí být číslo ( ). Rovnici s neznámou ve jmenovateli nejprve upravujeme pomocí ekvivalentních úprav /..( ) odstranění zlomků z rovnice ( ).( ) 69 roznásobení závorek úprava rovnice 8 neúplná kvadratická rovnice (ryze kvadratická rovnice) 8.69 ; dva různé R-kořeny kvadratické rovnice (navzájem opačná čísla) K množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři.

15 Příklad 0. Řešte rovnici s neznámou R! 7 5 Nejprve uvedeme podmínky řešitelnosti rovnice: ; 0 (tzn. kořenem rovnice nesmí být čísla 0 a Dále rovnici s neznámou ve jmenovateli upravujeme pomocí ekvivalentních úprav 7 5 úprava jmenovatele. zlomku rovnice 7 5.( ) /. ( ) odstranění zlomků z rovnice ( 7 ). 5.( ). roznásobení závorek úprava rovnice 0 kvadratická rovnice, kterou již dále zjednodušit nelze Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici ( a ; b ; c ) vypočteme diskriminant kvadratické rovnice podle vzorce: D b 4ac ( ) 4..( ) 8 9 D 0 kvadratická rovnice má dva různé R-kořeny,, b a D ( ) ; 4 4 K ; množina kořenů dané kvadratické rovnice Provedení zkoušky ponecháváme na čtenáři.

16 Úlohy k procvičování: Řešte rovnice o neznámé R! ) ( 5 ).( 5) 0 ) ) ) 5 0 5) 0 6) ( 5) 0 7) ) ) ) 0 ) 5 0 ) ) 4 0 4) ) 5 0 6) 6 0 7) ) ) 9 4 0) 0

17 ) ) ( )( ) ( )( ) 4 ) 4) ) ) 7) 8) 4 5 9) Výsledky: 5 ) ; ) 0 ; 6 ) 9 0 ; 4) Ø 5) 7 ; 6) 5 7) ; 8 8) Ø 9) ; 5 0) ) ; ) Ø 4) 5 5 ; ) ; 6 6 ; 5) Ø 6) 4; 6 6 7) 8) 4 9) 0) 0; ) 6 5 5; ) 6 ; ) 8; 5 4) ; 5) 4 ; 4 5 6) 7) 0; 8) 4 ; 9 9) 0 ;

18 KVADRATICKÉ ROVNICE (graficky) Teorie: Grafické řešení kvadratické rovnice spočívá ve dvou možných způsobech řešení: ) Kvadratickou rovnici upravíme na obecný tvar kvadratické rovnice. Levou stranu v zápisu rovnice pak považujeme za funkční předpis jedné (kvadratické) funkce a pravou stranu rovnice považujeme za předpis druhé (konstantní) funkce viz níže. Grafy takovýchto funkcí zakreslíme do téhož souřadnicového systému 0y a nalezneme jejich průsečíky (tj. průsečíky paraboly s osou ). V těchto bodech jsou si obě funkce rovny. X -ové souřadnice průsečíků grafů paraboly s osou (tj. společných bodů obou funkcí), jsou pak kořeny původní kvadratické rovnice. a b c 0 f() jedná se o funkční předpis kvadratické funkce y a b c grafem bude parabola g() jedná se o funkční předpis konstantní funkce y 0 grafem je přímka; v tomto případě osa Následně grafy funkcí f() a g() zakreslíme v 0y a porovnáme, pro která platí: f() = g() ) Kvadratickou rovnici upravíme na níže uvedený ekvivalentní tvar. Levou stranu v zápisu rovnice považujeme za funkční předpis jedné (základní kvadratické) funkce a pravou stranu rovnice považujeme za předpis druhé (lineární) funkce viz níže. Grafy takovýchto funkcí zakreslíme do téhož souřadnicového systému 0y a nalezneme jejich průsečíky (tj. průsečíky paraboly s přímkou). V těchto bodech jsou si obě funkce rovny. X -ové souřadnice průsečíků grafů těchto dvou funkcí, jsou pak kořeny původní kvadratické rovnice. a b c 0 a b c /. a b c a a f() jedná se o funkční předpis základní kvadratické funkce y grafem bude parabola g() jedná se o funkční předpis pro lineární b c funkci y a a grafem je přímka Následně grafy funkcí f() a g() zakreslíme v 0y a porovnáme, pro která platí: f() = g()

19 Řešené úlohy: Příklad. Řešte graficky rovnici: 0. způsob řešení: ) Levou stranu rovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y grafem funkce f() je parabola, kterou sestrojíme podle již známých pravidel (viz předcházející kapitola kvadratické funkce). ) Pravou stranu rovnice považujeme za předpis konstantní funkce g(): y 0 grafem je přímka (osa ). ) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f P - Q g 4) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g (průsečíky paraboly funkce f s osou ) -ové souřadnice těchto průsečíků jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice (dva průsečíky). Přímka g je sečnou paraboly f (dva společné body). 5) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice: 0 /.

20 0 D b 4ac, 4..( ) 8 9 b D 9 a. 4 ; K ; množina kořenů příslušné kvadratické rovnice je dvouprvková. způsob řešení: ) Původní kvadratickou rovnici upravíme na ekvivalentní tvar: 0 Takto upravenou rovnici řešíme obdobně jako u. způsobu řešení. )Levou stranu rovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y grafem funkce f() je parabola, která má vrchol v počátku souřadnicového systému a je otevřena směrem nahoru. Další vlastnosti této funkce jsou nám známy již z předcházející kapitoly kvadratické funkce. ) Pravou stranu rovnice považujeme za předpis lineární funkce g(): klesající přímka procházející např. body ; 0 a ;0 y grafem je 4) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f g P - Q

21 5) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g -ové souřadnice těchto průsečíků jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice (dva průsečíky). Přímka g je sečnou paraboly f (dva společné body). 6) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice (viz výše). Příklad. Řešte graficky rovnici: způsob řešení: ) Levou stranu rovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y 6 9 grafem funkce f() je parabola, kterou sestrojíme podle již známých pravidel (viz předcházející kapitola kvadratické funkce). ) Pravou stranu rovnice považujeme za předpis konstantní funkce g(): y 0 grafem je přímka (osa ). ) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f P g 4) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g (průsečíky paraboly funkce f s osou ) -ové souřadnice těchto průsečíků jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice (jeden průsečík). Přímka g je tečnou paraboly f (jeden společný bod). 5) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice:

22 6 9 0 ( ) 0, K množina kořenů příslušné kvadratické rovnice je jednoprvková. způsob řešení: ) Původní kvadratickou rovnici upravíme na ekvivalentní tvar: Takto upravenou rovnici řešíme obdobně jako u. způsobu řešení. ) Levou stranu rovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y grafem funkce f() je parabola, která má vrchol v počátku souřadnicového systému a je otevřena směrem nahoru. Další vlastnosti této funkce jsou Vám známy již z předcházející kapitoly kvadratické funkce. ) Pravou stranu rovnice považujeme za předpis lineární funkce g(): y 6 9 grafem je rostoucí přímka procházející např. body ; a ; 4) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f P g -9

23 5) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g -ové souřadnice těchto průsečíků jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice (jeden průsečík). Přímka g je tečnou paraboly f (jeden společný bod). 6) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice (viz výše). Příklad. Řešte graficky rovnici: 5 0. způsob řešení: ) Levou stranu rovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y 5 grafem funkce f() je parabola, kterou sestrojíme podle již známých pravidel (viz předcházející kapitola kvadratické funkce). ) Pravou stranu rovnice považujeme za předpis konstantní funkce g(): y 0 grafem je přímka (osa ). ) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f g 4) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g (průsečíky paraboly funkce f s osou ) -ové souřadnice těchto průsečíků jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice (žádný průsečík). Přímka g je vnější přímkou paraboly f (žádný společný bod). 5) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice: 5 0

24 D b 4ac ( ) D 0 K Ø množina kořenů příslušné kvadratické rovnice je prázdná. způsob řešení: ) Původní kvadratickou rovnici upravíme na ekvivalentní tvar: Takto upravenou rovnici řešíme obdobně jako u. způsobu řešení. ) ) Levou stranu rovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y grafem funkce f() je parabola, která má vrchol v počátku souřadnicového systému a je otevřena směrem nahoru. Další vlastnosti této funkce jsou Vám známy již z předcházející kapitoly kvadratické funkce. ) Pravou stranu rovnice považujeme za předpis lineární funkce g(): y 5 grafem je rostoucí přímka procházející např. body 0; 5 a ; 4) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f g 5) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g -ové souřadnice těchto průsečíků jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice (žádný průsečík). Přímka g je vnější přímkou paraboly f (žádný společný bod). 6) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice (viz výše).

25 Úlohy k procvičování: Řešte graficky rovnice! 9 ) 0 ) 4 0 ) ) 5) 4 6) 4 4

26 KVADRATICKÉ NEROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická nerovnice o jedné neznámé se nazývá každá nerovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z tvarů: a a a a a R b c 0 b c 0 b c 0 b c 0 0, b, c R; D je neznámá z příslušného definičního oboru rovnice (nejčastěji množina R) Řešené úlohy: Příklad. Řešte nerovnici 0 0! Levou stranu nerovnice lze rozložit na součin kořenových činitelů užitím Vietových vzorců: 0 0 užijeme Vietových vzorců; dostaneme nerovnici v součinovém tvaru ( ).( 5) 0 nerovnici dále řešíme metodou nulových bodů známou z dříve probírané látky nulové body: ( ); 5 + _ K ;5 množina všech řešení nerovnice Příklad. Řešte nerovnici 5 0! Levou stranu nerovnice rozložíme na součin kořenových činitelů. Nejprve musíme vypočítat kořeny příslušné kvadratické rovnice: 5 0 užitím vzorce pro diskriminant a výpočet kořenů kvadratické rovnice nalezneme kořeny

27 D b 4ac ( 5) 4..( ) b D , ; a Levou stranu nerovnice nyní můžeme zapsat ve tvaru součinu kořenových činitelů: ( ).( ) 0 nerovnici dále řešíme metodou nulových bodů známou z dříve probírané látky nulové body: ; + _ + 0 K ; ; ) množina všech řešení nerovnice Příklad. Řešte nerovnici 4 5 0! Levou stranu nerovnice lze rozložit na součin kořenových činitelů užitím Vietových vzorců: užijeme Vietových vzorců; dostaneme nerovnici v součinovém tvaru ( 5).( ) 0 nerovnici dále řešíme metodou nulových bodů známou z dříve probírané látky nulové body: ( ); 5 + _ ; 5 K ; množina všech řešení nerovnice

28 Příklad 4. Řešte nerovnici 5 0! Nerovnici nejprve upravíme tak, aby nezačínala koeficientem ( ) u kvadratického členu: 5 0 /.( ) vynásobením nerovnice záporným číslem mění nerovnice znaménko nerovnosti na opačné 5 0 levou stranu nerovnice rozložíme na součin kořenových činitelů užitím Vietových vzorců. Nejprve však nalezneme kořeny příslušné kvadratické rovnice: 5 0 D b 4ac ( ) 4.5.( ) b D 49 7, a ; ( ).( ) 0 nerovnici dále řešíme metodou nulových bodů známou z dříve probírané látky nulové body: ; 5 + _ K ; množina všech řešení nerovnice 5 Příklad 5. Řešte nerovnice: a) b) c) d) Levou stranu všech nerovnic představuje stejný kvadratický trojčlen. Tuto levou stranu nerovnice se následně pokusíme rozložit na součin kořenových činitelů. Proto nejprve musíme vypočítat kořeny příslušné kvadratické rovnice:

29 4 4 0 uvědomíme si, že levá strana rovnice představuje vzorce ( a b) ( ) 0, kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný R-kořen a) ( ) 0 pro každé reálné číslo platí, že ( ) 0 tj. na levé straně rovnice získáme vždy nezáporné číslo nerovnice nemá žádné řešení K Ø b) ( ) 0 pro každé reálné číslo platí, že ( ) 0 tzn. že K nerovnice je splněna jen právě tehdy, je-li ( ) 0 nerovnice má jediné řešení c) ( ) 0 zjistíme, pro která je výraz na levé straně nerovnice kladný; protože pro každé reálné číslo platí, že ( ) 0 tj. na levá strana nerovnice je vždy nezáporné číslo; pouze pro je výraz roven nule řešením nerovnice je jakékoli R-číslo, kromě čísla ( 0,5) K R d) ( ) 0 pro každé reálné číslo platí, že ( ) 0 tj. na levé straně rovnice získáme vždy nezáporné číslo za můžeme do nerovnice dosadit jakékoli R-číslo a výraz bude po umocnění na druhou vždy kladný nebo roven nule nerovnice má nekonečně mnoho řešení K R Příklad 6. Řešte nerovnici 5 6 0! Levou stranu nerovnice se pokusíme rozložit na součin kořenových činitelů. Nejprve musíme vypočítat kořeny příslušné kvadratické rovnice: D b 4ac ( 5) D 0

30 příslušná kvadratická rovnice nemá řešení v množině R-čísel rovnici nelze rozložit na součin kořenových činitelů V takovém případě postupujeme dále následovně: ) buď využijeme znalostí o grafu kvadratické funkce f: y 5 6. Grafem funkce je parabola otevřená nahoru, a protože diskriminant kvadratické rovnice je záporný, nelze vypočítat kořeny,, které tedy neeistují graf kvadratické funkce neprotíná osu leží celý nad osou. Nyní jen stačí zjistit, zda je splněna původní nerovnice: 5 6 0, tedy f < 0 tato splněna není nerovnice nemá žádné řešení K Ø ) nebo do původního zadání nerovnice dosadíme za libovolně zvolené R-číslo a zjistíme, zda je nerovnice splněna. Např. volíme za 0 po dosazení obdržíme: nerovnost je nepravdivá nerovnice nemá žádné řešení K Ø Příklad 7. Řešte nerovnici 5 6 0! Levou stranu nerovnice se pokusíme rozložit na součin kořenových činitelů. Nejprve musíme vypočítat kořeny příslušné kvadratické rovnice (viz předchozí řešený příklad): D b 4ac ( 5) D 0 kvadratická rovnice nemá řešení v množině R rovnici nelze rozložit na součin kořenových činitelů Postupujeme dále následovně: ) buď využijeme znalostí o grafu kvadratické funkce f: y 5 6. Grafem funkce je parabola otevřená nahoru, a protože diskriminant kvadratické rovnice je záporný, kořeny, neeistují graf kvadratické funkce neprotíná osu leží celý nad osou. Dále stačí zjistit, zda je splněna původní nerovnice: tedy f > 0 tato splněna je pro jakékoli reálné nerovnice má nekonečně mnoho řešení K R ) nebo do původního zadání nerovnice dosadíme za libovolně zvolené R-číslo a zjistíme, zda je nerovnice splněna. Např. volíme za 0 po dosazení obdržíme: nerovnost je pravdivá nerovnice má nekonečně mnoho řešení K R

31 Příklad 8. Určete, pro která R má výraz smysl (resp. určete definiční obor výrazu) 0! Výraz z odmocninou má smysl, jestliže výraz nacházející se pod odmocninou je nezáporný 0 0 Nerovnici tedy dále řešíme nám již známými postupy: 0 0 rozložíme na součin kořenových činitelů; nejprve nalezneme kořeny příslušné kvadratické rovnice 0 0 D 8 4 ; 5 0( ).( ) 0 řešíme metodou nulových bodů 4 5 nulové body: ; _ ( ; ; ) definiční obor výrazu (D) 5 4 Příklad 9. Řešte v R nerovnici ( ).(5 ) 0! Levou stranu nerovnice rozložíme na součin elementárních závorek, které již dále nelze rozložit druhou závorku rozložíme na součin kořenových činitelů (užitím Vietových vzorců) najdeme kořeny příslušné kvadratické rovnice: D 64 ; 5 Nyní začneme řešit původní nerovnici: ( ).(5 ) 0 nerovnici zapíšeme ve tvaru součinu kořenových činitelů 5.( ).( ).( ) 0 ( ).( ).( 5) 0 nerovnici řešíme dále metodou nulových bodů

32 5 nulové body: ; ; _ + _ K ( ; ) ; množina kořenů nerovnice Příklad 0. Řešte v R nerovnici 0! Jmenovatel na levé straně nerovnice rozložíme na součin kořenových činitelů jmenovatel představuje vzorec a b, který lze rozložit na součin ( a b)( a b) výraz lze tedy upravit takto: 0 0 nerovnici řešíme dále metodou nulových bodů ( )( ) nulové body: ; ; _ + _ + 0 K ( ; ) ; množina kořenů nerovnice

33 Příklad. Řešte v R nerovnici 4! Nerovnici s neznámou ve jmenovateli řešíme v množině R nejčastěji tak, že všechny výrazy převedeme ekvivalentními úpravami na jednu stranu nerovnice,, abychom na druhé straně získali nulu! V našem případě převedeme všechny výrazy v nerovnici doleva a vpravo získáme číslo následně výraz na levé straně nerovnice převedeme na 4 společný jmenovatel a upravíme čitatele řešíme metodou nulových bodů nulové body: ; 0 + _ K ( ;0) ( ; ) množina kořenů nerovnice Úlohy k procvičování: ) Řešte nerovnice: a) 0 b) 0 c) 0 d) e) 0 f) 0 g)

34 ) Řešte nerovnice: a) 0 b) c) 4 5 d) e) 5 4 f) 9 g) h) 5 0 i) j) 5 0 ) Řešte nerovnice v oboru přirozených čísel: a) 0 b) ) Řešte nerovnice: a) ( )( 6) 4( 6) b) ( ) ( )( ) c) ( ) 4 d) 0 e) f) 0,5 0 g) 0 5) Určete definiční obory výrazů: a) b) 9 4 6) Určete, pro která R má výraz smysl: a) b) 5 6 7) Určete definiční obor funkce:

35 a) y b) y 5 c) y 4 4 d) y 6 8) Řešte v R nerovnice: a) b) c) 7 0 d) 9 0 e) f) 4 4 g) Výsledky: ) a) ; 0 b) R c) ( ; ) ( ; ) d) ( 0; ) e) R f) ( ; ) g) Ø ) a) ( ; ) (; ) b) ; 7 c) Ø d) e) R f) ( ; ; ) 4 g) h) ( ;5) i) R j) ( ; ; ) ) a) ;; b) N 4) a) Ø b) ( ; ; ) c) 5; d) ( ;0)

36 e) ( ; 4; ) f) R g) ( ; ) 5) a) ( ; ; ) b) 4 6) a) Ø b) ( ;) 7) a) ( ; ) ( ; ) b) ; c) ; d) ; 6 8) a) ( ;) ;4) 5; ) b) ( ;) (5;7) c) ( ;) (; ) d) ( ;) (; ) e) ( 0; (; 4 f) ( ; (0; 6 g) ( ;0) (; ) (; )

37 KVADRATICKÉ NEROVNICE (graficky) Teorie: Grafické řešení kvadratické nerovnice spočívá na obdobném principu jako tomu je u grafického řešení kvadratické rovnice. Lze opět použít dvou možných způsobů řešení: ) Kvadratickou nerovnici upravíme ekvivalentními úpravami na jeden ze základních tvarů kvadratické nerovnice. Levou stranu v zápisu nerovnice pak považujeme za funkční předpis jedné (kvadratické) funkce a pravou stranu za předpis druhé (konstantní) funkce viz níže. Grafy těchto funkcí zakreslíme do téhož souřadnicového systému 0y a nalezneme jejich průsečíky (tj. průsečíky paraboly s osou, což jsou krajní body případných možných intervalů řešení). Pak podle znaménka nerovnosti určíme, pro která je splněna příslušná nerovnost, výsledek vyznačíme na -ové ose a zapíšeme intervalem příp. intervaly. a b c( )0 f() jedná se o funkční předpis kvadratické funkce y a b c grafem je parabola g() jedná se o funkční předpis konstantní funkce y 0 grafem je přímka; v tomto případě osa Následně grafy funkcí f() a g() zakreslíme v 0y a porovnáme, pro která je splněna příslušná nerovnost mezi funkcemi f() a g() ) Kvadratickou nerovnici upravíme ekvivalentními úpravami na níže uvedený tvar. Levou stranu v zápisu nerovnice považujeme za funkční předpis jedné (základní kvadratické) funkce a pravou stranu nerovnice považujeme za předpis druhé (lineární) funkce viz níže. Grafy těchto funkcí zakreslíme do téhož souřadnicového systému 0y a nalezneme jejich průsečíky (tj. průsečíky paraboly s přímkou). X-ové souřadnice průsečíků grafů určují krajní meze případných intervalů, které jsou řešením příslušné nerovnice. Podle znaménka nerovnosti zjistíme, pro která je splněna daná nerovnost, výsledek vyznačíme na -ové ose a zapíšeme intervalem příp. intervaly. a b c( )0 a ( ) b c ( ) b a c a /. a POZOR NA PŘÍPADNOU ZMĚNU ZNAMÉNKA NEROVNOSTI!!! f() jedná se o funkční předpis základní kvadratické funkce y grafem je parabola g() jedná se o funkční předpis pro lineární b c funkci y a a grafem je přímka Následně grafy funkcí f() a g() zakreslíme v 0y a porovnáme, pro která je splněna příslušná nerovnost mezi funkcemi f() a g()

38 Řešené úlohy: Příklad. Řešte graficky kvadratickou nerovnici: 0. způsob řešení: ) Levou stranu nerovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y grafem funkce f() je parabola, kterou sestrojíme podle známých pravidel (viz předcházející kapitola kvadratické funkce). ) Pravou stranu nerovnice považujeme za předpis konstantní funkce g(): y 0 grafem je přímka (osa ). ) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f - P Q g 4) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g (průsečíky paraboly funkce f s osou ) -ové souřadnice těchto průsečíků určují krajní body intervalu, který je řešením dané kvadratické nerovnice. 5) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice: 0 kvadratický trojčlen rozložíme na součin kořenových činitelů ( ).( ) 0 řešíme metodou nulových bodů

39 + _ + 0 K ; množina všech řešení nerovnice. způsob řešení: ) Původní kvadratickou nerovnici upravíme na ekvivalentní tvar: 0 Takto upravenou nerovnici řešíme obdobně jako u. způsobu řešení. ) Levou stranu nerovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y grafem funkce f() je parabola, která má vrchol v počátku souřadnicového systému a je otevřena směrem nahoru. Další vlastnosti této funkce jsou nám známy z předcházející kapitoly kvadratické funkce. ) Pravou stranu nerovnice považujeme za předpis lineární funkce g(): y grafem je klesající přímka procházející např. body 0 ; a ; 4) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. P f Q - g 5) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g -ové souřadnice těchto průsečíků určují krajní meze intervalu, který je řešením dané kvadratické nerovnice. 6) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice (viz výše).

40 Příklad. Řešte graficky kvadratickou nerovnici: způsob řešení: ) Levou stranu nerovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y 9 4 grafem funkce f() je parabola, kterou sestrojíme podle známých pravidel (viz předcházející kapitola kvadratické funkce). ) Pravou stranu nerovnice považujeme za předpis konstantní funkce g(): y 0 grafem je přímka (osa ). ) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f V=P g 4) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g (průsečíky paraboly funkce f s osou ) -ová souřadnice tohoto průsečíku určuje řešení dané kvadratické nerovnice. 5) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice:

41 9 4 0 kvadratický trojčlen rozložíme na součin kořenových činitelů; nejprve určíme kořeny příslušné kvadratické rovnice D 0, ( ) 0 číslo umocněné na druhou dává vždy číslo kladné nebo rovno 0; proto v našem případě lze uvažovat pouze o možnosti, kdy je tento dvojčlen roven 0, tedy platí, K množina všech řešení nerovnice. způsob řešení: ) Původní kvadratickou nerovnici upravíme na ekvivalentní tvar: ) Levou stranu nerovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y grafem funkce f() je parabola, která má vrchol v počátku souřadnicového systému a je otevřena směrem nahoru. Další vlastnosti této funkce jsou nám známy z předcházející kapitoly kvadratické funkce. 4 4 ) Pravou stranu nerovnice považujeme za předpis lineární funkce g(): y grafem je 9 4 klesající přímka procházející např. body 0 ; 9 a ; 0 4) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f P g

42 5) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g -ová souřadnice tohoto průsečíku určuje řešení dané kvadratické nerovnice. 6) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice (viz výše). Příklad. Řešte graficky kvadratickou nerovnici: způsob řešení: ) Levou stranu nerovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y 5 7 grafem funkce f() je parabola, kterou sestrojíme podle známých pravidel (viz předcházející kapitola kvadratické funkce). ) Pravou stranu nerovnice považujeme za předpis konstantní funkce g(): y 0 grafem je přímka (osa ). ) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f g 4) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g (průsečíky paraboly funkce f s osou ) v našem případě průsečíky neeistují f ( ) g( ) nerovnost je splněna pro všechna reálná čísla množina R je řešením dané kvadratické nerovnice. 5) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice:

43 5 7 0 kvadratický trojčlen rozložíme na součin kořenových činitelů; nejprve určíme kořeny příslušné kvadratické rovnice D 59 0 průsečíky grafu paraboly s osou neeistují parabola je otevřena nahoru ( a 0) a celá leží nad osou proto volíme libovolné R- číslo, které dosadíme do nerovnice a zjistíme, zda je tato nerovnost splněna: tedy volíme 0 dosadíme do předpisu nerovnosti 7 0 nerovnost je splněna R K R množina všech řešení nerovnice. způsob řešení: ) Původní kvadratickou nerovnici upravíme na ekvivalentní tvar: ) Levou stranu nerovnice považujeme za předpis kvadratické funkce f(): y grafem funkce f() je parabola, která má vrchol v počátku souřadnicového systému a je otevřena směrem nahoru. Další vlastnosti této funkce jsou nám známy z předcházející kapitoly kvadratické funkce. ) Pravou stranu nerovnice považujeme za předpis lineární funkce g(): 5 7 y grafem je 7 rostoucí přímka procházející např. body 0 ; a ; 4 4) Sestrojíme grafy obou funkcí (f a g) do téhož souřadnicového systému 0y. f g

44 5) Nalezneme průsečíky grafu funkce f s grafem funkce g průsečíky neeistují; celá parabola je otevřena nahoru ( a 0) a celá leží nad grafem funkce g pro libovolné R-číslo je splněna nerovnost f ( ) g( ) R je řešením dané kvadratické nerovnice. 6) Kontrolu můžeme provést provedením početního řešení příslušné kvadratické rovnice (viz výše). Úlohy k procvičování: Řešte graficky nerovnice! ) ) 5 0 ) 4 0 4) 5 0 5) 0

IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:

IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy: IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti

Více

4. R O V N I C E A N E R O V N I C E

4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4.1 F U N K C E A J E J Í G R A F Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) Definiční obor funkce (definice, značení)

Více

2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková

2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková .. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.

Více

Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY

Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí

Více

Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.

Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel. Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například

Více

Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.

Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2. Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v

Více

2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem

2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem .8.8 Kvadratické nerovnice s arametrem Předoklady: 806 Pedagogická oznámka: Z hlediska orientace v tom, co studenti očítají, atří tato hodina určitě mezi nejtěžší během celého středoškolského studia. Proto

Více

2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic .3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =

Více

(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.

(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1. . Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce

Více

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

Kvadratické rovnice pro učební obory

Kvadratické rovnice pro učební obory Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické

Více

10.1.13 Asymptoty grafu funkce

10.1.13 Asymptoty grafu funkce .. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol

Více

Lineární algebra. Vektorové prostory

Lineární algebra. Vektorové prostory Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:

Více

Kvadratické rovnice pro studijní obory

Kvadratické rovnice pro studijní obory Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

2.6.4 Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou

2.6.4 Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou .6. Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou Předpoklady: 60, 603 Pedagogická poznámka: Hlavním cílem hodiny je nácvik volby odpovídajícího postupu. Proto je dobré nechat studentům chvíli, aby si metody

Více

2.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I

2.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I .7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I Předpoklady: 711, 71 Pedagogická poznámka: Látka této hodiny vyžaduje tak jeden a půl vyučovací hodiny, pokud nepospícháte můžete obětovat hodiny dvě a nechat

Více

Řešení lineárních a kvadratických funkcí v prostředí programu GeoGebra

Řešení lineárních a kvadratických funkcí v prostředí programu GeoGebra Řešení lineárních a kvadratických funkcí v prostředí programu GeoGebra Lineární a kvadratické rovnice jsou součástí velké množiny rovnic. Jejich uplatnění je často velmi praktické, a proto je pojmu rovnice

Více

Rostislav Horčík. 13. října 2006

Rostislav Horčík. 13. října 2006 3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP

Více

Goniometrie trigonometrie

Goniometrie trigonometrie Goniometrie trigonometrie Goniometrie se zabývá funkcemi sinus, kosinus, tangens, kotangens (goniometrické funkce). V tomto článku se budeme zabývat trigonometrií (součást goniometrie) používáním goniometrických

Více

4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}

4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]} 1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:

Více

Fyzikální praktikum 3 - úloha 7

Fyzikální praktikum 3 - úloha 7 Fyzikální praktikum 3 - úloha 7 Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití Teorie: Operační zesilovač je elektronická součástka využívaná v měřící, regulační a výpočetní technice. Ideální model má nekonečně

Více

Numerická integrace. 6. listopadu 2012

Numerická integrace. 6. listopadu 2012 Numerická integrace Michal Čihák 6. listopadu 2012 Výpočty integrálů v praxi V přednáškách z matematické analýzy jste se seznámili s mnoha metodami výpočtu integrálů. V praxi se ale poměrně často můžeme

Více

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme

Více

Aritmetika s didaktikou II.

Aritmetika s didaktikou II. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

ax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1.

ax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1. 1 Rovnice, nerovnice a soustavy 11 Lineární rovnice Rovnice f(x) = g(x) o jedné neznámé x R, kde f, g jsou reálné funkce, se nazývá lineární rovnice, jestliže ekvivalentními úpravami dostaneme tvar ax

Více

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

4 Soustavy lineárních rovnic

4 Soustavy lineárních rovnic 4 Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic, to znamená několika lineárními rovnicemi, které musí být současně splněny. 4.1 Základní pojmy Definice Soustavu

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Profilová část maturitní zkoušky 2015/2016

Profilová část maturitní zkoušky 2015/2016 Střední průmyslová škola, Přerov, Havlíčkova 2 751 52 Přerov Profilová část maturitní zkoušky 2015/2016 TEMATICKÉ OKRUHY A HODNOTÍCÍ KRITÉRIA Studijní obor: 78-42-M/01 Technické lyceum Předmět: MATEMATIKA

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

1 Měření kapacity kondenzátorů

1 Měření kapacity kondenzátorů . Zadání úlohy a) Změřte kapacitu kondenzátorů, 2 a 3 LR můstkem. b) Vypočítejte výslednou kapacitu jejich sériového a paralelního zapojení. Hodnoty kapacit těchto zapojení změř LR můstkem. c) Změřte kapacitu

Více

2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou

2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou .. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor013 Vypracoval(a),

Více

1.2.7 Druhá odmocnina

1.2.7 Druhá odmocnina ..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž

Více

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY 1. Výrazy a počítání s nimi... 4 1.1. Mocniny s celým exponentem a s racionálním exponentem... 4 1.2 Počítání s odmocninami... 7 1.3 Úpravy algebraických výrazů... 10 2. Rovnice,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_3_12 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)

= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen) .8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.

Více

Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2

Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2 Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel

Více

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1. Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/34.

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1. Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/34. Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Uživatelská nastavení parametrických modelářů, využití

Více

7. Silně zakřivený prut

7. Silně zakřivený prut 7. Silně zakřivený prut 2011/2012 Zadání Zjistěte rozložení napětí v průřezu silně zakřiveného prutu namáhaného ohybem analyticky a experimentálně. Výsledky ověřte numerickým výpočtem. Rozbor Pruty, které

Více

1. a) Přirozená čísla

1. a) Přirozená čísla jednotky desítky stovky tisíce desetitisíce statisíce miliony 1. a) Přirozená čísla Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jejich pomocí zapisujeme počet věcí

Více

Druhá mocnina. Druhá odmocnina. 2.8.5 Druhá odmocnina. Předpoklady: 020804. V této hodině jsou kalkulačky zakázány.

Druhá mocnina. Druhá odmocnina. 2.8.5 Druhá odmocnina. Předpoklady: 020804. V této hodině jsou kalkulačky zakázány. .8.5 Druhá odmocnina Předpoklady: 0080 V této hodině jsou kalkulačky zakázány. Druhá mocnina nám umožňuje určit z délky strany plochu čtverce. Druhá mocnina 1 1 9 11 81 11 délky stran čtverců obsahy čtverců

Více

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715 .7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

MS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE

MS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE MS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE 1 ZAPNUTÍ SLEDOVÁNÍ ZMĚN Pokud zapnete funkci Sledování změn, aplikace Word vloží značky tam, kde provedete mazání, vkládání a změny formátu. Na kartě Revize klepněte

Více

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502 .5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

Matematika pro 9. ročník základní školy

Matematika pro 9. ročník základní školy Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Ćíselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 16. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY NOSNÍKY Nosníky jsou zpravidla přímá tělesa (pruty) uloţená na podporách nebo

Více

Změnu DPH na kartách a v ceníku prací lze provést i v jednotlivých modulech.

Změnu DPH na kartách a v ceníku prací lze provést i v jednotlivých modulech. Způsob změny DPH pro rok 2013 Verze 2012.34 a vyšší Úvod Vzhledem k tomu, že dnes 23.11.2012 nikdo netuší, zda od 1.1.2013 bude DPH snížená i základní 17.5% nebo 15% a 21%, bylo nutné všechny programy

Více

KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C)

KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÉ

Více

1 Matematické základy teorie obvodů

1 Matematické základy teorie obvodů Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení

Více

MODEL MOSTU. Ing.Jiřina Strnadová. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti. Předmět:Fyzika

MODEL MOSTU. Ing.Jiřina Strnadová. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti. Předmět:Fyzika MODEL MOSTU Ing.Jiřina Strnadová Předmět:Fyzika Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Model mostu Teoretický úvod: Příhradové nosníky (prutové soustavy) jsou složené z prutů, které jsou vzájemně spojené

Více

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204 .2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

( ) ( ) 7.2.2 Sčítání vektorů. Předpoklady: 7201

( ) ( ) 7.2.2 Sčítání vektorů. Předpoklady: 7201 7.. Sčítání ektorů Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Stdenti ětšino necítí potřeb postpoat při definici sčítání ektorů (obecně při zaádění jakékoli operace) tak striktně, jak yžadje matematika. Upozorňji

Více

Jan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015

Jan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015 TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 17. března 2015 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,

Více

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201 .. Zlomky I Předpoklady: 0001 Pedagogická poznámka: V hodině je třeba postupovat tak, aby se ještě před jejím koncem začala vyplňovat tabulka u posledního příkladu 9. V loňském roce jsme si zopakovali

Více

Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149

Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149 Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149

Více

Hra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R },

Hra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R }, Hra a hry Václav Vopravil Úvod 1 Kombinatorické hry Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována pomocí jednodušších her, tj. jako uspořádaná dvojice množin her.

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

1.3 Druhy a metody měření

1.3 Druhy a metody měření Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 1.3 Druhy a metody měření Měření je soubor činností, jejichž cílem je stanovit hodnotu měřené fyzikální veličiny.

Více

Jednofázový alternátor

Jednofázový alternátor Jednofázový alternátor - 1 - Jednofázový alternátor Ing. Ladislav Kopecký, 2007 Ke generování elektrického napětí pro energetické účely se nejčastěji využívá dvou principů. Prvním z nich je indukce elektrického

Více

Business Contact Manager Správa kontaktů pro tisk štítků

Business Contact Manager Správa kontaktů pro tisk štítků Business Contact Manager Správa kontaktů pro tisk štítků 1 Obsah 1. Základní orientace v BCM... 3 2. Přidání a správa kontaktu... 4 3. Nastavení filtrů... 5 4. Hromadná korespondence... 6 5. Tisk pouze

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,

Více

SMĚŠOVACÍ KALORIMETR -tepelně izolovaná nádoba s míchačkou a teploměrem, která je naplněná kapalinou

SMĚŠOVACÍ KALORIMETR -tepelně izolovaná nádoba s míchačkou a teploměrem, která je naplněná kapalinou KALORIMETRIE Kalorimetr slouží k měření tepla, tepelné kapacity, případně měrné tepelné kapacity Kalorimetrická rovnice vyjadřuje energetickou bilanci při tepelné výměně mezi kalorimetrem a tělesy v kalorimetru.

Více

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost Příloha č. 7 Seminář z matematiky V učebním plánu 2. druhého stupně se zařazuje nepovinný předmět Seminář z matematiky. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 15

Kód uchazeče ID:... Varianta: 15 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 15 1. V únoru byla zaměstnancům zvýšena mzda o 15 % lednové mzdy. Následně

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

( ) ( ) 9.2.12 Podmíněné pravděpodobnosti I. Předpoklady: 9207

( ) ( ) 9.2.12 Podmíněné pravděpodobnosti I. Předpoklady: 9207 9.. Podmíněné pravděpodobnosti I Předpoklady: 907 Pedagogická poznámka: Podmíněné pravděpodobnosti se často vynechávají jako velmi těžké a nepochopitelné učivo. Moje zkušenosti ukazují, že situace není

Více

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).

Více

1) Určete ohniskové vzdálenosti čoček, jsou-li jejich optické mohutnosti 2 D, 16 D, - 4 D, - 12 D.

1) Určete ohniskové vzdálenosti čoček, jsou-li jejich optické mohutnosti 2 D, 16 D, - 4 D, - 12 D. ČOČKY ) Určete ohniskové vzdálenosti čoček, jsou-li jejich optické mohutnosti 2 D, 6 D, - 4 D, - 2 D. φ = 2 D φ 2 = 6 D φ = 4 D φ = 2 D f 4 =? (m) Optická mohutnost je převrácená hodnota ohniskové vzdálenosti

Více

4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí

4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí 4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 7. ročník J.Coufalová : Matematika pro 7.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko, J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 7.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

DVOUPOTRUBNÍ DÁVKOVAČ DD

DVOUPOTRUBNÍ DÁVKOVAČ DD DVOUPOTRUBNÍ DÁVKOVAČ DD POUŽITÍ Dávkovače DD (DDB, DDC) jsou mazacím prvkem dvoupotrubního mazacího systému, který slouží k dávkování maziva do jednotlivých mazaných míst. Dávkovače jsou aplikovány pro

Více

ROZCVIČKY. (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy).

ROZCVIČKY. (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy). ROZCVIČKY Z MATEMATIKY 8. ROČ Prezentace jsou vytvořeny v MS PowerPoint 2010 (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy). Anotace: Materiál slouží k procvičení základních

Více

Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky

Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky provádí pamětné a písemné početní Čísla přirozená Opakování září, říjen operace v oboru přirozených čísel porovnává a uspořádává čísla celá a Čísla celá, racionální racionální, provádí početní operace

Více

Přílohy. Příloha I. Seznam příloh

Přílohy. Příloha I. Seznam příloh Přílohy Seznam příloh Příloha I.: Párové značky...78 Příloha II.: Dotazník...79 Příloha III.: Zápis zadání úloh a jejich řešení...80 Příloha IV.: Obtížnost úloh podle chlapců a dívek...84 Příloha I. Párové

Více

AMU1 Monitorování bezpečného života letounu (RYCHLÝ PŘEHLED)

AMU1 Monitorování bezpečného života letounu (RYCHLÝ PŘEHLED) 20. Července, 2009 AMU1 Monitorování bezpečného života letounu (RYCHLÝ PŘEHLED) ZLIN AIRCRAFT a.s. Oddělení Výpočtů letadel E-mail: safelife@zlinaircraft.eu AMU1 Monitorování bezpečného života letounu

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE

EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou .8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

Učební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.

Učební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč. Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování

Více

Příklad 1.3: Mocnina matice

Příklad 1.3: Mocnina matice Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních

Více

metodická příručka DiPo násobení a dělení (čísla 6, 7, 8, 9) násobilkové karty DiPo

metodická příručka DiPo násobení a dělení (čísla 6, 7, 8, 9) násobilkové karty DiPo metodická příručka DiPo násobení a dělení () PLUS násobilkové karty DiPo OlDiPo, spol. s r.o. tř. Svobody 20 779 00 Olomouc telefon: 585 204 055 mobil: 777 213 535 e-mail: oldipo@oldipo.cz web: www.oldipo.cz

Více

Analytická geometrie (3. - 4. lekce)

Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 16. června 2011 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 9. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo M9101 provádí početní operace

Více

Střední škola pedagogická, hotelnictví a služeb, Litoměříce, příspěvková organizace

Střední škola pedagogická, hotelnictví a služeb, Litoměříce, příspěvková organizace Střední škola pedagogická, hotelnictví a služeb, Litoměříce, příspěvková organizace Předmět: Počítačové sítě Téma: Servery Vyučující: Ing. Milan Káža Třída: EK3 Hodina: 5 Číslo: III/2 S E R V E R Y 3.4.

Více

MECHANIKA HORNIN A ZEMIN

MECHANIKA HORNIN A ZEMIN MECHANIKA HORNIN A ZEMIN podklady k přednáškám doc. Ing. Kořínek Robert, CSc. Místnost: C 314 Telefon: 597 321 942 E-mail: robert.korinek@vsb.cz Internetové stránky: fast10.vsb.cz/korinek Mechanické vlastnosti

Více

VÝZNAMOVÉ POMĚRY MEZI VH

VÝZNAMOVÉ POMĚRY MEZI VH Základní škola, Šlapanice, okres Brno-venkov, příspěvková organizace Masarykovo nám. 1594/16, 664 51 Šlapanice www.zsslapanice.cz MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA reg. č.: CZ.1.07/1.4.00/21.2389 VÝZNAMOVÉ

Více