α + β < 180 trojúhelník lze sestrojit 3. ROZBOR 5. KONSTRUKCE

Transkript

1 GEOMETRIE KONSTRUKCE TROJÚHELNÍKŮ Knstrukce trjúhelníku zadanéh pdle věty sss SSS strana, strana, strana Př. Sestrjte trjúhelník ABC, je-li dán a = 6 cm, b = 8 cm a c = 7 cm 1. NÁČRT VĚTA sss Dva trjúhelníky jsu shdné právě tehdy, když se shdují ve všech třech stranách. 2. ZKOUŠKA Trjúhelníkvá nervnst Sučet dvu nejkratších stran musí být větší než strana třetí 6+7> 8 - trjúhelník lze sestrjit 3. ROZBOR 4. POPIS KONSTRUKCE 5. KONSTRUKCE 6. OVĚŘENÍ Trjúhelník vyhvuje zadání 7. DISKUSE Jedn řešení v jedné plrvině Knstrukce trjúhelníku zadanéh pdle věty sus SuS strana, úhel, strana Př. Sestrjte trjúhelník ABC, je-li dán α =40 b = 7 cm a c = 8 cm VĚTA sus Dva trjúhelníky jsu shdné právě tehdy, když se shdují ve dvu stranách a úhlu jimi sevřeném. 1. NÁČRT k 2. ZKOUŠKA α < 180 trjúhelník lze sestrjit 4. POPIS KONSTRUKCE 3. ROZBOR 5. KONSTRUKCE 6. OVĚŘENÍ 7. DISKUSE Trjúhelník vyhvuje zadání Jedn řešení v jedné plrvině 10

2 Knstrukce trjúhelníku zadanéh pdle věty usu usu úhel, strana, úhel Př. Sestrjte trjúhelník ABC, je-li dán α =40 β = 60 a c = 8 cm 1. NÁČRT 2. ZKOUŠKA α + β < 180 trjúhelník lze sestrjit VĚTA usu Dva trjúhelníky jsu shdné právě tehdy, když se shdují v jedné straně a dvu úhlech k tét straně přilehlých. 4. POPIS KONSTRUKCE 3. ROZBOR 5. KONSTRUKCE 6. OVĚŘENÍ Trjúhelník vyhvuje zadání 7. DISKUSE Jedn řešení v jedné plrvině STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Středvá suměrnst je, shdné zbrazení v rvině, které převádí vzry na brazy. Překlpení vzru prbíhá přes jediný bd, který nazýváme střed suměrnsti. Středvá suměrnst je určena středem suměrnsti a dvjící dpvídajících si bdů. Jediným samdružným bdem je střed suměrnsti. Středvá suměrnst zachvává rvnběžnst,, t znamená, že kterákliv úsečka vzru je rvnběžná se svým brazem. Knstrukce brazu ve středvé suměrnsti 1. Jak sestrjit braz A` bdu A ve středvé suměrnsti se středem S? a) Narýsuj přímku AS. b) Na přímce AS sestrj bd A`tak, aby bd S byl středem úsečky A A`(kružítkem neb pravítkem) 2. Jak sestrjit braz útvaru ve středvé suměrnsti se středem S? Zadání : Sestrjte braz trjúhelníku ABC ve středvé suměrnsti se středem S. Pstup knstrukce Pstupně vyneseme plpřímky AS, BS, CS a sestrjíme bdy A', B', C' tak, aby bd S byl vždy středem úsečky vzr-braz. braz. Obrazy bdů A,B,C spjíme v trjúhelník, čímž dstaneme braz ABC ve středvé suměrnsti se středem S. Středvě suměrný útvar je vždy suměrný pdle vlastníh středu S. T znamená, že ke každému bdu nalezneme jeh braz ve středvé suměrnsti se středem S, který rvněž náleží tmut útvaru. Ve středvé suměrnsti se středem S se zbrazí sám na sebe. 11

3 ČTYŘÚHELNÍKY R O V N O B Ě Ž N Í K Y Čtverec Obdélník Ksčtverec Ksdélník Všechny strany jsu stejně dluhé Susední strany mají různé délky Všechny strany jsu stejně dluhé Susední strany mají různé délky Všechny vnitřní úhly jsu pravé (pravúhelníky) Žádný vnitřní úhel není pravý (ksúhelníky) Úhlpříčky se navzájem půlí Úhlpříčky mají stejnu délku Úhlpříčky nemají stejnu délku Úhlpříčky jsu k sbě klmé Úhlpříčky k sbě nejsu klmé Úhlpříčky jsu k sbě klmé Úhlpříčky k sbě nejsu klmé Úhlpříčky půlí vnitřní úhly Úhlpříčky nepůlí vnitřní úhly Úhlpříčky půlí vnitřní úhly Úhlpříčky nepůlí vnitřní úhly Středvě suměrné útvary Osvě suměrný (čtyři sy suměrnsti) Osvě suměrný (dvě sy suměrnsti) Osvě suměrný (dvě sy suměrnsti) Není svě suměrný 12

4 Susední vrchly čtyřúhelníku: A a B; B a C; C a D; D a A Prtější vrchly čtyřúhelníku: A a C; B a D Susední strany čtyřúhelníku: a b; b a c; c a d; d a a Prtější strany čtyřúhelníku: a c; b a d Susední vnitřní úhly čtyřúhelníku: Prtější vnitřní úhly čtyřúhelníku: α a β ; β a χ; χ a δ ; δ a α α a χ; β a δ Úhlpříčky čtyřúhelníku: AC; BD Rvnběžník je čtyřúhelník, jehž každé dvě prtější strany jsu rvnběžné a shdné. Každé dva prtější vnitřní úhly rvnběžníku jsu shdné Sučet velikstí všech vnitřních úhlů rvnběžníku je 360 Sučet velikstí susedních úhlů rvnběžníku je 180 Výška rvnběžníku udává vzdálenst rvnběžek, na kterých leží jeh prtější strany. Existuje neknečně mnh výška na stranu rvnběžníku, všechny jsu navzájem rvnběžné a stejně dluhé. 13

5 Př. Sestrj rvnběžník ABCD, je-li dán: Náčrt a rzbr: k X l p Zkuška: úhel BAD je menší než 180 trjúhelník ABD lzde sestrjit Ppis knstrukce: Knstrukce: D p q Ověření: : čtyřúhelník vyhvuje zadání Diskuse: jedn řešení v jedné plrvině OBVOD ROVNOBĚŽNÍKU = a + b + c + d / a = c ; b = d = a + b + a + b = 2. a + 2. b = 2.( a + b) 14

6 OBSAH ROVNOBĚŽNÍKU Obsah rvnběžníku je sučin délky strany a výšky k tét straně S = a. v a = b. v b OBVOD TROJÚHELNÍKU Obvd trjúhelníku se spčítá jak sučet délek všech tří stran. = a + b + c O ABC = a + b +c OBSAH TROJÚHELNÍKU Obsah trjúhelníku se rvná plvině sučinu délky strany trjúhelníku a výšky příslušné k tét V b straně. V a av. a bv. b cv. c S ABC = = = bsah pravúhléh trjúhelníku je rven sučinu jeh dvěsen vydělený dvěma 15

7 LICHOBĚŽNÍKY Obecný Pravúhlý Rvnramenný Dvě prtější strany jsu rvnběžné, dvě různběžné Dvě prtější strany jsu rvnběžné, dvě různběžné Dvě prtější strany jsu rvnběžné, dvě různběžné Sučet vnitřních úhlů je 360 Nemá žádný vnitřní úhel pravý Vnitřní úhly při základnách nejsu shdné Není své suměrný Sučet vnitřních úhlů je 360 Má dva vnitřní úhly pravé Vnitřní úhly při základnách nejsu shdné Není svě suměrný Sučet vnitřních úhlů je 360 Nemá žádný vnitřní úhel pravý Vnitřní úhly při základnách jsu shdné Je svě suměrný pdle spjnice středů bu základen Úhlpříčky nejsu shdné Úhlpříčky nejsu shdné Úhlpříčky jsu shdné Lichběžník je čtyřúhelník, jehž dvě prtější strany jsu rvnběžné a další dvě zbývající různběžné A, B, C, D - vrchly lichběžníku a, b, c, d - strany lichběžníku AB, CD - základny lichběžníku (jsu rvnběžné) BC, AD - ramena lichběžníku (jsu různběžné) v -výška rvnběžníku (vzdálenst rvnběžných přímek p, q) AC, BD - úhlpříčky lichběžníku α, β, γ, δ- vnitřní úhly lichběžníku OBVOD LICHOBĚŽNÍKU Sučet délek jeh stran = a + b + c + d OBSAH LICHOBĚŽNÍKU S = ( a + c) 2.v 16 Obsah lichběžníku S spčteš tak, že vynásbíš sučet délek bu základen (a + c) výšku v a výsledek pdělíš dvěma.

8 HRANOLY pdstava výška výška Pdstavná hrana Bční hrana ČTYŘBOKÝ HRANOL = KVÁDR Bční stěna pdstava TROJBOKÝ HRANOL Pdstavu hranlu jsu dva shdné čtyřúhelníky (bdelníky). Pdstavu hranlu jsu dva shdné trjúhelníky Hranl je těles, jehž Bční stěny jsu bdélníky neb čtverce Pdstavy jsu rvnběžné, shdné n- úhelníky Výška je délka jeh bční hrany SÍŤ HRANOLU POVRCH HRANOLU S p bsah pdstavy S = 2 S p +S pl Rzvinutý plášť hranlu je bdelník, neb čtverec. Jeden jeh rzměr se rvná bvdu pdstavy, druhý rzměr se rvná výšce hranlu. S pl..bsah pláště OBJEM HRANOLU V = a b c Sučin a b je bsah pdstavy Vzrec bjemu hranlu lze napsat V = S p v 17 c je výška kvádru