PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

Transkript

1 Připrav se na státní matritní zkošk z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 8. tematický okrh: ANALYTICKÁ GEOMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online příprav na SMZ z matematiky školní rok 2014/2015

2 Toto je bons číslo 1 k výkovém vide: Analytická geometrie. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a bdeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když ž tě Analytická geometrie naví, nebo tě přestane bavit, dej si jednodše paz a pokračj později. Pracovní sešit ti bde složit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k témat Analytická geometrie msíš znát. Není ž tedy třeba hledat informace v čebnicích, starých sešitech nebo si platit dočování. Příjemné čení s Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním prodktem, který doprovází výkové video Analytická geometrie. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešit třetím osobám bez sohlas atorky je zakázáno! Děkji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiál rozmíte, že jakékoli požití informací z tohoto materiál a úspěchy či neúspěchy z toho plynocí, jso poze ve Vašich rkách a atorka za ně nenese žádno zodpovědnost. 2

3 8. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Analytická geometrie je geometrie, ve které skoro nepožijeme pravítko, kržítko nebo jiné pomůcky. Podstato analytické geometrie je převádění úloh na. Tedy úlohy, které jsme dříve rýsovali, bdeme zde počítat pomocí metody sořadnic, a rovnic pomocí metod. 8.1 SOUŘADNICE BODU A VEKTORU NA PŘÍMCE Sořadnice na přímce S počítáním začneme nejprve v tom nejjednodšším, a to prostor, který má poze jedn dimenzi ( ) začneme na přímce. Abychom dali poloh jakéhokoliv bod v jednodimenzionálním prostor, tedy na přímce, potřebjeme znát jeho sořadnice v tomto případě jen jedn sořadnici. Pro rčení polohy sořadnice bdeme požívat os x se zvoleným bodem O a dano ( OI 1). Každém bod X této přímky přiřadíme reálné číslo = sořadnici x: X x x OX, leží-li bod X na polopřímce OI, x OX, leží-li bod X na opačné polopřímce k polopřímce OI. BOD a jeho sořadnice 3

4 Příklad: Zobrazte na přímce následjící body: A 4,5, 3 B, 3 C 2. Vzdálenost dvo bodů Pomocí sořadnic bodů můžeme vypočítat jejich vzdálenost: Vzdálenost dvo bodů A x A a x B B na přímce: AB Vypočítejte vzdálenost bodů P 6 a 2,5 Q. 5 KL : K 7, L. 4 Určete velikost úsečky Sořadnice střed úsečky Střed úsečky dělí úsečk na dvě stejné části. Pro střed S x S úsečky AB, kde A x A a x B B platí: x S x A x 2 B 4

5 Určete sořadnice střed úsečky : E 5, F 3 EF. Jso dány body C 9,6, S 4,1 S byl středem úsečky CD.. Vypočítejte sořadnice bod D tak, aby bod Vektor na přímce Orientovaná úsečka Orientovano úsečko rozmíme úsečk, která má pevně zvolený a bod. Graficky znázorňjeme orientovano úsečk jako úsečk se koncového bod. Velikostí orientované úsečky je počátečního a koncového bod. Příklad: Určete sořadnice vyznačených orientovaných úseček a rčete jejich velikost. Nenlový vektor je všech orientovaných úseček, které mají stejno (nenlovo) a stejný. Vektory označjeme:. Nlový vektor je množina všech orientovaných úseček délky. Nlový vektor označjeme: Každá orientovaná úsečka, která rčje nějaký vektor se nazývá místění vektor. 5

6 Sořadnice vektor Je-li vektor rčen orientovano úsečko AB ( A xa B x B je rovna: x, tedy B A. x, ), sořadnice vektor Velikost vektor na přímce je rovna: Určete sořadnice vektorů a jejich velikost: 2 AB, A, 3 B 0 w 4, Y 12 XY, X 8,3, V 5,2 v UV, U 6 o OP, O, P 6 Operace s vektory Vektory lze sčítat a také násobit konstanto reálným číslem. Sočet vektorů Sočtem libovolných dvo vektorů: x v x v x x x. w x vypočítáme: w v, je w v, jehož sořadnici 6

7 Dále platí: v v sčítání vektorů je komtativní sčítání vektorů je asociativní v w v w o Opačný vektor Je-li B A, nazývá se vektor A B vektor k vektor a značí se. Platí: x x o Násobení vektor reálným číslem Pro každý vektor na přímce a každé reálné číslo k platí: k k x x Násobení vektor je tedy opět. Tto operaci si můžeme představit jako zvětšování či zmenšování vektor, eventálně změny jeho směr na. 7

8 Lineární kombinace vektorů Pokd provádíme operace výše zmíněné a je dohromady, říkáme, že tváříme lineární kombinace vektorů. Výsledkem lineární kombinace několika vektorů je opět Např.: Vektor a b v c w, kde a, b, c R, je lineární kombinací tří vektorů, v a w. Vypočítejte lineární kombinaci: a) 3v 2 vektorů 3,5 a 1 v. 3a b) 6b c 5 vektorů 10 1 a, b 3 2 a 1 c. Určete číslo a a sořadnice vektorů m 2 a a 4a 2 1 5m n 5 2 n tak, aby platilo: 8

9 8.2 SOUŘADNICE BODU A VEKTORU V ROVINĚ Nyní se přesneme z jednodimenzionálního prostor (tedy přímky) do prostor o jedn dimenzi složitějšího - bdeme se zabývat analyticko geometrií v. 2D = dvě dimenze: délka výška - Abychom dali poloh jakéhokoliv bod v rovině, bdeme potřebovat znát jeho. Pro rčení polohy sořadnic bodů bdeme požívat sostav sořadnic v rovině Oxy, tj. dvojici na sebe číselných os x a y se zvoleným společným počátkem, bodem O, který je os, ten na obo osách odpovídá čísl 0. X x; y BOD v rovině a jeho sořadnice Určete sořadnice bodů na obrázk: A B C D ; ; ; ; Zobrazte v Oxy následjící body. K L 2; 3 3,5; 2 M 0; 1,5 N 1; 0 9

10 Vzdálenost dvo bodů Pomocí sořadnic bodů můžeme vypočítat jejich, neboli velikost úsečky, ktero rčjí. Vzdálenost dvo bodů A x A ; y A B ; v rovině: x B y B a AB Vypočítejte vzdálenost bodů M 4,5; 1 a 1,5; 3 N. Jso dány body C 1; 4 a D x; 3 byla rovna 5., rčete číslo x, tak aby velikost úsečky CD 10

11 Sořadnice střed úsečky Střed úsečky je charakterizován tím, že dělí úsečk na dvě části. Pro střed S x S ; y S A ; a B ; x A y A úsečky AB, kde x B y B platí: x S xa xb, 2 y S 2 Určete sořadnice střed úsečky : A 3; 5, B 2; 1 AB. 1 2 bod S byl středem úsečky CD. Jso dány body C ; 2, S 3; 1. Vypočítejte sořadnice bod D tak, aby Vektor v rovině Orientovaná úsečka Již jsme si v předchozí kapitolce řekli, co je to orientovaná úsečka, že má počáteční a bod, jak ji graficky znázorňjeme a jak vypočítáme její. 11

12 Příklad: Určete sořadnice vyznačených orientovaných úseček a rčete jejich velikost. Připomínám Nenlový vektor je množina všech úseček, které mají stejno (nenlovo) a stejný. Vektory označjeme:. Nlový vektor je množina všech orientovaných úseček délky. Nlový vektor označjeme: Každá orientovaná úsečka, která rčje nějaký vektor se nazývá místění vektor. Na obrázk vidíte několik orientovaných úseček, všechny ale rčjí jeden vektor, protože každá z těchto orientovaných úseček má stejno a stejný. Pozn.: Orientované úsečky AB, CD rčjí vektor právě tehdy, mají-li úsečky AD, BC společný. 12

13 Sořadnice vektor v rovině Je-li vektor rčen orientovano úsečko AB ( A x ; y, B x ; y vektor ; x y jso rovny: x y x y B B x A y A A A B, tedy B A. B ), sořadnice Dá se říci, že rozdíl dvo bodů je vektor Velikost vektor Velikost vektor ; x y v rovině je rovna: Určete sořadnice vektorů a jejich velikost: AB, A 5; 3, B 9; 0 UV, U 12; 4, V 7,5; 1 v Posntí o vektor Zobrazení roviny, které každém bod X v rovině přiřadí bod vektor. Co z toho vyplývá? X, se nazývá o Když k bod přičt vektor, znamená to, že daný bod v daném směr o dano velikost a dostan se tím do nového bod 13

14 V rovině je dán bod A 7; 6 a vektor 3; 16 B A. rčete sořadnice bod V rovině rčete sořadnice bod A 7; 11 a 13; 4 B. D C a, je-li a B A : 1 C 5; 2, Operace s vektory Stejně jako v 1D prostor (na ) lze i v 2D v vektory sčítat, násobit reálným číslem a navíc také počítat tzv. sočin vektorů. Sočet vektorů Sočtem libovolných dvo vektorů: x ; y, v x ; y v v je vektor w v, jehož sořadnice x w; y w vypočítáme: x y w w x y x v y v Sčítání dvo vektorů si můžeme představit jako dvo sil ve fyzice. Sočet vektorů B A w v C A. a v C B je vektor 14

15 Stále platí, že: v v sčítání vektorů je komtativní sčítání vektorů je asociativní v w v w o Opačný vektor Je-li B A, nazývá se vektor A B opačný vektor k vektor a značí se. Platí: x ; y x ; y o Násobení vektor reálným číslem Pro každý vektor ; v rovině a každé reálné číslo k platí: k k x ; k x y y. Násobení vektor je tedy opět. Tto operaci si můžeme představit vektor v daném směr, který rčje, nebo eventálně v opačném směr. Lineární kombinace vektorů Pokd provádíme operace výše zmíněné a kombinjeme je dohromady, říkáme, že tváříme lineární kombinace vektorů. Výsledkem lineární kombinace několika je opět vektor Např.: Vektor a b v c w, kde a, b, c R, je lineární kombinací tří vektorů, v a w. 15

16 Vypočítejte lineární kombinaci: a) 3v 4 vektorů 1,5; 2 a 5; 0 v. b b) 2a 5c vektorů a 7;, b 9; 0 a 1; 2 c. Skalární sočin vektorů v rovině Skalárním sočinem dvo vektorů: x ; y, v x ; y v x x v v v je číslo: Pro každé vektory, v, w a každé reálné číslo k platí: v v w k v k v v w wv Vypočítejte skalární sočin vektorů: 1 8; 11, v ; 3 4 a) b) a 2; 7, b 3; 0 c) n 5; 2, p 2; 5 16

17 o o v v o o 8. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Velikost úhl dvo vektorů Jak je definován úhel dvo vektorů? Jestliže mají dva vektory UOV úhel vektorů, v., v místění OU, OV, nazývá se velikost úhl Pro úhel dvo libovolných (nenlových) vektorů platí:, v cos v Odtd vyplývá: Skalární sočin dvo vektorů, v je roven právě tehdy, jestliže aspoň jeden z vektorů, v je nlový vektor, nebo jso oba dva vektory nenlové a navzájem. v 0 o o v v o o o v o o v o, v V rovině je dán trojúhelník KLM : K 0; 2, L 3; 5, M 2; 0 obvod a velikosti vnitřních úhlů.. Určete jeho 17

18 8.3 PŘÍMKA V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky Je jasné, že každé dva různé body A, B rčjí právě jedn AB. Vektor B A se nazývá vektor přímky AB. Pozn.: Každá přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, každý z nich je nenlovým násobkem jiného směrového vektor. Rovnice: X, kde t R se nazývá parametrické vyjádření přímky rčené bodem A a směrovým vektorem. Proměnná t se nazývá. Pokd výše zmíněné vyjádříme v sořadnicích X x; y, A x ; y, x ; y vyjádření přímky vypadat následovně: A A bde x x y y A A t x t y, t R Určete parametrické vyjádření přímky procházející body: 2; 5, B 10; 3 Dále zjistěte, zda bod C 4; 2 na této přímce leží či ne. A. 18

19 Doplňte x-ovo sořadnici bod?; 16 K 4,5; 7, L 3; 2. M tak, aby ležel na přímce m KL, Obecná rovnice přímky Vektor na směrový vektor přímky se nazývá vektor této přímky. Nejčastěji ho značíme:.. Rovnice:, kde a, b, c R a aspoň jedno z čísel a,b je nenlové, se nazývá obecná rovnice přímky. n a; b Určete obecno rovnici přímky procházející body: A 2; 5, B 10; 3 zjistěte, zda bod C 8; 7 na této přímce leží či ne.. Dále 19

20 Přímka a prochází bodem 1; 2 Určete obecno rovnici přímky a. A a je rovnoběžná s přímko p : x 3y Směrnicový tvar přímky Pokd pravíme rovnici přímky tak, že vyjádříme y, dostaneme následjící tvar: a c ax by c 0 y x b b V podstatě získáme přímk jako graf lineární fnkce. Takto můžeme vyjádřit každo přímk, která není s oso y. Rovnice:, kde k, q R se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo k se nazývá přímky. q rčje, ve kterém bodě přímka protíná os y 0 ; q k rčje úhl, který přímka svírá s kladno polooso x Platí: k tg y k x 20

21 Napište rovnici přímky p (ve směrnicovém tvar), která prochází bodem 5; 2 s kladno polooso x svírá úhel 120. X a Určete směrnicový tvar přímky p : x 5 2t, y 2 t, t R. Polohové vztahy bodů a přímek v rovině Pokd bdeme rčovat vztahy bodů a přímek, bdeme zjišťovat odpovědi na otázky typ: Prochází přímka daným bodem? Leží tento bod na přímce? Jso dané dvě přímky rovnoběžné? Jso dané přímky na sebe kolmé? atp. Bod a přímka Vzájemná poloha bod a přímky může být v rovině následjící: bod B leží na přímce p / přímka p prochází bodem B zapisjeme: sořadnice bod rovnici přímky 21

22 bod B neleží na přímce p / přímka p neprochází bodem B zapisjeme: sořadnice bod rovnici přímky, neplatí pro ně předepsaná rovnost Určete, zda přímka prochází daným bodem: a) 2 p : y 2x 7, A ; b) q : x 5t B 4; 3,4 y 3 0,5t, t R Dvě přímky Dvě přímky v rovině moho mít následjící vzájemno poloh: přímky aa,, bb v zapisjeme:, jso rovnoběžné splývající / totožné směrový/normálový vektor je směrového/normálového vektor v a bod B leží na přímce A přímky aa,, bb v, jso rovnoběžné různé zapisjeme: směrový/normálový vektor je násobkem směrového/normálového vektor v 22

23 přímky aa,, bb v, jso různoběžné zapisjeme: nebo mají společný právě jeden bod ; vektor není násobkem vektor v Určete vzájemno poloh přímek: a) AB : A 3; 8, B 2;5 a, b : 6x 10y b) m : y x 5, 6, n : x 2 3 t, y 6 2t, t R 5 c) p : x 2 2t y 4 t, t R q : x 6 4s y 6 2s, s R Je dána přímka : 2x y 2 0 a a bod X 3; 1 p : X p, p a a také rovnici přímky q : X q, q a.. Napište rovnici přímky 23

24 Metrické vztahy bodů a přímek v rovině Vzdálenost bod od přímky Vzdálenost bod P ; a : ax by c 0 vypočítáme: x P y P od přímky d ax P by P c Vzdálenost dvo rovnoběžných přímek Při počítání vzdálenosti dvo přímek a, b, převedeme tto úloh na počítání vzdálenosti přímky a od bod B b. Odchylka dvo různoběžných přímek Odchylka přímek a, b se směrovými vektory, v je úhel 0; 2, pro který platí: cos v v 24

25 Určete vzdálenost dvo rovnoběžek: m : 2x 3y 6 0, n : 4x 6y 1 0. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelník, jehož strany leží na přímkách, které mají rovnice: 7x y 10 0, 4x 3y 12 0, x 7y 3 0. Vypočítejte obsah rovnoběžník ABCD, jestliže: A 5; 3, 2; 5 C 2; 4 a rčete sořadnice bod D. B, SKVĚLE, TEORII K ANALYTICKÉ GEOMETRII MÁŠ ZA SEBOU! HURÁ 25