FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 4 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 4 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 Typeset by L A TEX 2ε c Josef Diblík, Oto Přibyl 2004

3 Obsah 1 Struktura řešení LDR Jaké lineární diferenciální rovnice budeme studovat? Základní pojmy z teorie LDR Počáteční úloha pro LDR Princip superpozice Lineární závislost systému funkcí Wronskián systému řešení LDR Počáteční podmínky Obecné řešení HLDR Počet nezavislých řešení Obecné řešení NHLDR LDR s pravou stranou nezávislou na řešení Snížení řádu homogenní rovnice Homogenní LDR s konstantními koeficienty Exponenciální tvar řešení Symbolické operátory Obecné řešení homogenní rovnice Aplikace rovnic druhého řádu harmonické kmity Partikulárního řešení nehomogenní LDR Metoda odhadu Metoda variace konstant i

4 ii OBSAH

5 Úvod Cíle modulu Cíle studia tohoto modulu jsou průběžně popisovány na začátku každé kapitoly, ke které se vztahují. Požadované znalosti Pro zvládnutí tohoto modulu je nezbytné zvládnout problematiku modulu BA02_M03: Obyčejné diferenciální rovnice 1. Doba potřebná ke studiu Přibližně lze odhadnout potřebnou dobu ke studiu tohoto modulu na 25 hodin. Pro získání dostatečné početní praxe bude ještě zřejmě zapotřebí další čas závislý na individuálních schopnostech studenta. Klíčová slova Homogenní lineární rovnice, lineární diferenciální rovnice, nehomogenní lineární rovnice, princip super pozice, lineární nezávislost systému funkcí, Wronskián, fundamentální systém řešení, exponeciální tvar řešení, charakteristická rovnice, symbolický diferenciální operátor, harmonické kmity, kriticky tlumené kmity, silně tlumené kmity, slabě tlumené kmity, amplituda, netlumené kmity, metoda neurčitých koeficientů, metoda odhadu, rezonance, metoda variace konstant. 1

6 2 OBSAH

7 Kapitola 1 Struktura řešení lineárních diferenciálních rovnic vyšších řádů; lineární nezávislost řešení, wronskián Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: V této části bude osvětlena struktura obecného řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Uvidíme, že obecné řešení má jednoduchý a logický tvar. Právem je tato část chloubou obyčejných diferenciálních rovnic. Pochopením tvaru řešení vstřebáte jakýsi nadhled nad situací, který budete potřebovat v dalších částech modulu při řešení konkrétních diferenciálních rovnic. Dílčí cíl: Po prostudování této části: si dále upevníte znalosti získané v 1. kapitole prvního modulu o diferenciálních rovnicích; budete vědět, jak má obecné řešení vypadat, i když jeho přesný konkrétní tvar vypočítat nepůjde; naučíte se pracovat s pojmem lineární závislosti a nezávislosti řešení diferenciálních rovnic; poznáte wronskián a načíte se s ním pracovat. Pan Přísný, váš přísný průvodce studiem: Využijeme některých poznatků z předchozího modulu. Půjde, například, o samotný pojem lineární diferenciální 3

8 4 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR rovnice n-tého řádu, pojem řešení diferenciální rovnice, partikulárního řešení a parametrické množiny řešení, definici a pojem obecného řešení. Proto je bezpodmínečně nutné, si tyto pojmy opět řádně zopakovat! Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Alespoň malé,,osvěžení by mělo přijít i v případě počáteční úlohy pro rovnici n-tého řádu. 1.1 Jaké lineární diferenciální rovnice budeme studovat? V centru naší pozornosti bude speciální případ lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a n (x)y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g(x). (1.1) Bez omezení obecnosti předpokládejme nejenom, že a n (x) 0 na intervalu I (v opačném případě by rovnice nebyla rovnicí n-této řádu), ale i to, že tento koeficient položíme identicky roven jedné, tj. a n (x) 1 na intervalu I. Pokud tento předpoklad není splněn, lze jednoduše takovou rovnici na rovnici s jednotkovým koeficientem převést. To je možné zajistit vždy dělením celé rovnice na nenulový koeficient a n (x) a následných přeznačením nově vzniklých koeficientů. Tento postup ilustrujme takto: Za předpokladu a n (x) 0 na intervalu I z rovnice (1.1) dělením na a n (x) dostaneme y (n) + a n 1(x) a n (x) y(n 1) + + a 1(x) a n (x) y + a 0(x) a n (x) y = g(x) a n (x). Utvoříme-li nové funkce pomocí předpisů A n 1 (x) := a n 1(x) a n (x),..., A 1 (x) := a 1(x) a n (x), A 0(x) := a 0(x) a n (x), G(x) := g(x) a n (x), pak má nová lineární rovnice n-tého řádu tvar y (n) + A n 1 (x)y (n 1) + + A 1 (x)y + A 0 (x)y = G(x). Bez omezení obecnosti se přidržíme původního značení pomocí malých písmen a budeme se dále odvolávat na lineární rovnici n-tého řádu y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g(x). (1.2)

9 1.2. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE LDR Homogenní a nehomogenní rovnice, další použité termíny a některé základní vlastnosti V teorii lineárních diferenciálních rovnic se vžily a dodnes se používají určité názvy a termíny. Nebylo by však účelné kdybychom se s nimi neseznámili nebo kdybychom se je snažili nahradit nějakými jinými, které by dle našeho názoru byly třeba i výstižnější. Hodně bychom tím ztratili a ztráta pravděpodobně nejzávažnější by byla ve ztížení nebo dokonce znemožnění komunikace s těmi odborníky, kteří by užívali terminologii standardní. K tomu, bohužel, někdy ve vědeckých a odborných disciplínách dochází. Možná je to částečně podmíněno bouřlivým vývojem některých z nich, kdy je nutno v krátké době pojmenovat nové jevy, tj. zavést,,novou terminologii. Stává se však, že odborníci si v překotné práci nevšimnou, že něco podobného je třeba již pojmenováno v jiném vědním oboru. Tak může vzniknout a vžít se jiné názvosloví. Nechme ale tuto širokou problematiku termínového chaosu či termínového babylnu stranou a vrat me se k lineárním diferenciálním rovnicím a k příslušné terminologii. V rovnici (1.2), tj. v rovnici y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g(x) je y = y(x), y : I R hledanou funkcí a y (i) (x) = y (i), i = 1, 2,..., n jsou její derivace. Připomeňme, že symbol I má stále stejný význam, tj., je jedním z číselných intervalů tvaru [a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (, b], (, b), [a, ), (a, ), nebo (, ), kde a < b. Funkce a i : I R, i = 0, 1,..., n 1 nazýváme koeficienty rovnice (1.2). Pravou stranou rovnice (1.2) nazýváme funkci g : I R. Předpokládáme, že všechny koeficienty a i, i = 0, 1,..., n 1 i pravá strana g jsou spojitými funkcemi na intervalu I. Homogenní a nehomogenní rovnice Pokud není v rovnici (1.2) pravá strana identicky nulová, tj., pokud g 0 na intervalu I, pak rovnici nazýváme (kromě již dalších přívlastků, tj. lineární a n-tého řádu) rovnicí nehomogenní. V opačném případě, tj., pokud g 0 na intervalu I je rovnice (1.2) nazývána homogenní. Přidružená homogenní rovnice Je-li dána rovnice (1.2), pak rovnici se stejnými koeficienty a s nulovou pravou stranou u (n) + a n 1 (x)u (n 1) + + a 1 (x)u + a 0 (x)u = 0

10 6 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR nazýváme přidruženou (nebo asociovanou) homogenní rovnicí k rovnici (1.2). Bez ztráty obecnosti úvah není nutné v přidružené rovnici značit hledanou funkcí jiným symbolem (v našem případě jsme užili písmena u) a můžeme hledanou funkci značit stejně jako v nehomogenní rovnici, tj., můžeme přidruženou rovnici psát ve tvaru y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 (1.3) s vědomím, že řešení přidružené homogenní rovnice (1.3) a řešení výchozí nehomogenní rovnice (1.2) jsou různými funkcemi. 1.3 Počáteční úloha pro lineární rovnice vyšších řádů Slíbili jsme, že se ještě vrátíme k otázce existence řešení počáteční úlohy pro lineární rovnice. Uvažujme tedy počáteční úlohu pro lineární nehomogenní rovnici n-tého řádu (1.2), tj. uvažujme úlohu: y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g(x), y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,... y (n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0. (1.4) kde x 0 I. Následující věta má na rozdíl od vět, uvedených v Kapitole?? nelokální charakter. Věta 1. Předpokládejme, že koeficienty a n 1 (x),..., a 1 (x), a 0 (x) rovnice (1.2) a její pravá strana - funkce g(x) - jsou spojitými funkcemi na intervalu I. Pak má počáteční úloha (1.4) jediné řešení y = y(x), které je definováno na celém intervalu I. 1.4 Princip superpozice V takzvaném principu superpozice je soustředěna nejdůležitější vlastnost řešení lineárních diferenciálních rovnic. Týká se struktury řešení jak homogenních tak i nehomogenních rovnic. V případě homogenních rovnic (po formulaci principu si promyslete jakou volbou funkcí k homogennímu případu dospějete) říká, že součet řešení homogenní rovnice je opět řešením homogenní rovnice a že výsledek násobení řešení homogenní rovnice libovolnou konstantou je opět řešením homogenní rovnice. V nehomogenním případě si princip superpozice můžeme zjednodušeně vyložit tak, že když má pravá strana komplikovaný tvar a lze ji rozložit na součet několika (jednodušších) funkcí tak, že substituce každé z těchto jednodušších funkcí místo

11 1.4. PRINCIP SUPERPOZICE 7 původní do rovnice vede k rychlému nalezení partikulárního řešení, je součet těchto partikulárních řešení také partikulárním řešením výchozí rovnice. Uved me znění tohoto principu. Věta 2 (Princip superpozice) Předpokládejme, že funkce g : I R je lineární kombinací dvou funkcí g 1 a g 2 s konstantami K 1, K 2, tj., g(x) = K 1 g 1 (x) + K 2 g 2 (x). Označme y = y 1 (x) partikulární řešení nehomogenní rovnice y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g 1 (x) (1.5) a y = y 2 (x) partikulární řešení nehomogenní rovnice y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g 2 (x). (1.6) Předpokládejme dále, že funkce u = u 1 (x) a u = u 2 (x) jsou řešení asociované homogenní rovnice se stejnými koeficienty Pak je lineární kombinace u (n) + a n 1 (x)u (n 1) + + a 1 (x)u + a 0 (x)u = 0. y(x) = K 1 y 1 (x) + K 2 y 2 (x) + C 1 u 1 (x) + C 2 u 2 (x) s libovolnými konstantami C 1, C 2 řešením rovnice (1.2) na intervalu I. Důkaz. Charakter důkazu má výpočetní charakter a proto jej v rámci procvičení početních úkonů probíhajících v lineárních rovnicích provedeme. Dosazení funkce y(x) do levé strany rovnice (1.2) dává (samostatně zdůvodněte rozepsání prvního výrazu na následující čtyři) y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y ( (n) = K 1 y 1 + a n 1 (x)y (n 1) ) a 1 (x)y 1 + a 0 (x)y 1 + K 2 ( y (n) 2 + a n 1 (x)y (n 1) a 1 (x)y 2 + a 0 (x)y 2 ) + C 1 ( u (n) 1 + a n 1 (x)u (n 1) a 1 (x)u 1 + a 0 (x)u 1 ) + C 2 ( u (n) 2 + a n 1 (x)u (n 1) a 1 (x)u 2 + a 0 (x)u 2 ) = K 1 g 1 (x) + K 2 g 2 (x) = g(x). Na závěr ještě poznamenejme, že jsme uvedli variantu principu superpozice se dvěma funkcemi g 1 (x) a g 2 (x) a dvěma řešeními u 1 (x) a u 2 (x). Lze podle vašeho názoru tento princip formulovat pro libovolný konečný počet funkcí g 1 (x), g 2 (x),..., g m (x)

12 8 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR a pro libovolný počet řešení u 1 (x), u 2 (x),..., u s (x)? Musí přitom platit m = s nebo může být m s? Podpořte váš názor konkrétními argumenty! Příklad 1. Prověřte, že funkce u 1 (x) = e 3x a u 2 (x) = e 3x vyhovují diferenciální rovnici druhého řádu u 9u = 0 (1.7) na intervalu I = R. Sestavte s pomocí principu superpozice další řešení této rovnice. Řešení. Pro dané funkce platí u 1 (x) = e 3x, u 1(x) = 3e 3x, u 1(x) = 9e 3x a u 2 (x) = e 3x, u 1(x) = 3e 3x, u 1(x) = 9e 3x. Nyní je zřejmé, že se jedná o řešení rovnice (1.7). Podle principu superpozice je řešením také každá funkce s libovolnými parametry C 1 a C 2. u(x) = C 1 u 1 (x) + C 2 u 2 (x) = C 1 e 3x + C 2 e 3x Příklad 2. Prověřte, že partikulárním řešením nehomogenní rovnice je funkce y = y 1 (x) = 1 x(x + 1) 4 a partikulárním řešením nehomogenní rovnice je funkce y + y 2y = x (1.8) y + y 2y = e x (1.9) y = y 2 (x) = 1 3 xex. Sestavte s pomocí principu superpozice partikulární řešení rovnice y + y 2y = x e x. (1.10)

13 1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ 9 Řešení. Pro dané funkce platí y 1 (x) = 1 4 (x2 + x), y 1(x) = 1 (2x + 1), y 4 1(x) = 1 2, y 1 (x) = 0 a y 2 (x) = y 2(x) = y 2(x) = y 2 (x) = e x. Nyní je zřejmé, že se jedná o řešení rovnic (1.8), (1.9). Podle principu superpozice je partikulárním řešením rovnice (1.10) funkce y(x) = y 1 (x) + y 2 (x) = 1 4 x(x + 1) 1 3 xex. 1.5 Co je to lineární závislost a lineární nezávislost systému funkcí? Vysvětlíme pojmy takzvané lineární závislosti a lineární nezávislosti systému funkcí. Jejich užitečnost brzy oceníme při konstrukcích obecných řešení homogenních a nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu. Definice 1. [Lineární závislost] Systém funkcí v 1, v 2,..., v k, zobrazujících interval I do R nazýváme lineárně závislým systémem na intervalu I, existují-li konstanty C 1, C 2,..., C k, které nejsou všechny rovné nule tak, že pro každé x I platí C 1 v 1 (x) + C 2 v 2 (x) + + C k v k (x) = 0. (1.11) Jinými slovy můžeme říci, že systém funkcí je lineárně závislý, pokud existují-li konstanty C 1, C 2,..., C k, které nejsou všechny rovné nule tak, že lineární kombinace daných funkcí s těmito konstantami je identicky rovna nule na intervalu I. Opakem této definice je vysvětlení pojmu lineární nezávislosti systému funkcí. Uved me příslušnou definici.

14 10 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Definice 2. [Lineární nezávislost] Systém funkcí v 1, v 2,..., v k, zobrazujících interval I do R nazýváme lineárně nezávislým systémem na intervalu I, platí-li vztah (1.11) pro každé x I pouze tehdy, když jsou všechny konstanty nulové, tj. v případě, že C 1 = C 2 = = C k = 0. Pro úplnost ještě dodejme následující. Naše definice předpokládaly, že systémy funkcí jsou systémy reálných funkcí. Je ovšem možné předpokládat, že pracujeme s funkcemi, které nabývají komplexních hodnot a znění definic zůstane stejné. Příklady lineární (ne:-)závislosti systémů funkcí Příklad 3. Jsou funkce v 1 (x) = 2, v 2 (x) = cos 2x, v 3 (x) = sin 2 x jsou lineárně závislé na libovolném intervalu I? Řešení. Protože platí cos 2x = 1 2 sin 2 x vidíme, že také platí 1 2 v 1(x) v 2 (x) 2v 3 (x) = 0 pro každé x I R. Pro k = 3 a C 1 = 1 2, C 2 = 1, C 3 = 2 je splněna Definice 1 o lineární závislosti systému funkcí. Daný systém funkcí je lineárně závislým systémem funkcí na libovolném intervalu I. Příklad 4. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé funkce v 1, v 2 : I := ( 1, 1) R, definované předpisy v 1 (x) = v 2 (x) = { x 5 je-li 1 < x 0, 0 je-li 0 < x < 1; { 0, je li 1 < x 0, x 5, je li 0 < x < 1.

15 1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ 11 Řešení. Proved me analýzu vztahu C 1 v 1 (x) + C 2 v 2 (x) = 0 (1.12) na intervalu I. Má-li tento vztah platit na celém intervalu I, pak musí platit i pro hodnotu x = 1/2 I. V tomto, případě je vztah (1.12) redukován na C C 2 0 = 0, tj., vztah (1.12) může platit jen tehdy, když C 1 = 0. Dosad me dále (za podmínky, že C 1 = 0) hodnotu x = 1/2 I do vztahu (1.12). Potom C = 0 a C 2 = 0. Tím jsme prověřili, že vztah (1.12) může platit na celém intervalu I jen tehdy, když C 1 = C 2 = 0. Podle Definice 2 jsou funkce v 1, v 2 lineárně nezávislé na intervalu I. Příklad 5. Jsou funkce ω 1 (x) = 2 x + 4, ω 2 (x) = x + 4x, ω 3 (x) = 2x + 1, ω 4 (x) = x 5 lineárně závislé na intervalu I = (0, )? Řešení. Prokážeme lineární závislost tohoto systému funkcí. Můžeme se přesvědčit, že na intervalu I platí Pro k = 4 a 1 2 ω 1(x) + ω 2 (x) 2 ω 3 (x) + 0 ω 4 (x) = 0. C 1 = 1 2, C 2 = 1, C 3 = 2, C 4 = 0 je splněna Definice 1 o lineární závislosti systému funkcí. Daný systém funkcí je lineárně závislým systémem funkcí na intervalu I. Příklad 6. Systém funkcí, které se často objevují jako řešení lineárních diferenciálních rovnic je systém e λx, xe λx,..., x k 1 e λx,

16 12 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR ve kterém je číslo λ různé od nuly. Ukažme, že se jedná o systém lineárně nezávislých funkcí na intervalu I = R. Řešení. Při řešení postupujeme standardně. Sestavíme lineární kombinaci C 1 e λx + C 2 xe λx + + C k x k 1 e λx = 0, která se po krácení nenulovým výrazem e λx stává lineární kombinací C 1 + C 2 x + + C k x k 1 = 0. (1.13) Zkuste chvilku přemýšlet o tom, jak zdůvodnit, proč je poslední vztah nulový na intervalu I pouze, když jsou všechny koeficienty nulové, tj. když C 1 = C 2 = = C n = 0. Cest k tomu vede několik a většinou využívají poznatky, které byly probírány již na středních školách. Ukážeme dvě možnosti. Dosad me do posledního vztahu místo x postupně k navzájem různých hodnot x = λ 1, x = λ 2,..., x = λ k. Tím zjistíme, že koeficienty C 1, C 2,, C k vyhovují k lineárním algebraickým rovnicím C 1 + C 2 λ C k λ k 1 1 = 0, C 1 + C 2 λ C k λ k 1 2 = 0,... C 1 + C 2 λ k + + C k λ k 1 k = 0. (1.14) Determinant tohoto systému rovnic 1 λ 1... λ k λ 2... λ k λ k... λk k 1 je tzv. Vandermondův determinant, který je uvažován v Příkladu 8, kde je ukázano, že za uvedeného předpokladu navzájem různých hodnot λ 1, λ 2,..., λ k, je Vandermondův determinant různý od nuly. Pak má systém (1.14) pouze řešení C 1 = C 2 = = C n = 0 a nezávislost daného systému funkcí je prokázána. Úkol pro vás: Ukažte, že daný determinant a Vandermondův determinant z Příkladu 8 jsou skutečně stejné. Přitom využijte svých poznatků o vlastnostech determinantů. Uved me i odlišný způsob řešení předchozí úlohy. Využijeme pouze tzv. hlavní větu algebry. Tato věta říká, že každá polynomiální rovnice stupně s má právě s kořenů (každý

17 1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ 13 kořen je počítán tolikrát, jaká je jeho násobnost). Necht vztah (1.13) platí pro nějaké konkrétní a ne všechny nulové hodnoty C 1, C 2,, C k na intervalu I. Pak má polynomiální rovnice C 1 + C 2x + + C kx k 1 = 0 (1.15) vzhledem k neznámé veličině x nejvýše k 1 kořenů x = x 1, x = x 2,..., x = x k 1. (Přijdete na to, proč za této situace nemusí být počet kořenů roven přesně číslu k 1 a kdy je počet kořenů přesně roven číslu k 1?) Pak je ale výraz uvedený v (1.15) roven nule pouze pro tyto uvedené hodnoty. Vezmeme-li jinou hodnotu, například x = x tak, aby x x 1, x x 2,..., x x k 1, musí platit C 1 + C 2x + + C kx k 1 0. To je ale spor s výchozím předpokladem. Proto C 1 = C 2 = = C k = 0 a nezávislost daného systému funkcí je také tímto postupem prokázána. Jak poznat lineární nezávislost systému funkcí, pojem wronskiánu Není nutné vždy zjišt ovat lineární závislost či lineární nezávislost systému funkcí přímo podle uvedených definic nebo na základě našich kombinačních schopností. V této části předkládáme postačující podmínku pro zjištění, zdali je daný systém funkcí lineárně nezávislý. Nejprve zavedeme název pro jeden konkrétní druh determinantu, který nazýváme wronskiánem. Definice 3. Necht je dán systém funkcí v 1, v 2,..., v k zobrazujících interval I do R. Předpokládejme navíc, že tyto funkce mají na intervalu I spojité derivace do řádu k 1 včetně. Pak determinant W : I R definovaný předpisem W (x) = W (v 1 (x), v 2 (x),..., v k (x)) := v 1 (x) v 2 (x)... v k (x) v 1(x) v 2(x)... v k(x) v (k 1) 1 (x) v (k 1) nazýváme wronskiánem systému funkcí v 1, v 2,..., v k.. 2 (x)... v (k 1) (x) k Věta 3. Předpokládejme, že reálné funkce v 1, v 2,..., v k jsou definované na intervalu I a mají zde spojité derivace do řádu k 1 včetně. Jestliže pro některé x 1 I platí: W (x 1 ) = W (v 1 (x 1 ), v 2 (x 1 ),..., v k (x 1 )) 0, (1.16)

18 14 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR pak jsou funkce systému v 1, v 2,..., v n lineárně nezávislé na intervalu I. Opačné tvrzení neplatí, tj., pro systém lineárně nezávislých funkcí nemusí v žádném bodě x 1 I platit nerovnost (1.16). Důkaz. Prověrka formulované vlastnosti je připomenutím poznatků o řešení algebraických rovnic. Pro snažší přehlednost budeme uvažovat jen systém dvou funkcí, tj. položíme k = 2. Předpokládejme, že pro některé x 1 I platí W (x 1 ) 0 a že existují konstanty C 1 a C 2 takové, že C 1 v 1 (x) + C 2 v 2 (x) = 0 (1.17) pro všechny hodnoty x I. Ukážeme, že obě konstanty musí být nulové. Derivováním vztahu (1.17) dostáváme C 1 v 1(x) + C 2 v 2(x) = 0. (1.18) Uvažujme systém lineárních algebraických rovnic vzhledem ke konstantám C 1 a C 2, který vznikne dosazením hodnoty x = x 1 do vztahu (1.17) a (1.18): C 1 v 1 (x 1 ) + C 2 v 2 (x 1 ) = 0, C 1 v 1(x 1 ) + C 2 v 2(x 1 ) = 0. (1.19) Systém (1.19) sestává ze dvou rovnic o dvou neznámých. Determinant jeho matice koeficientů je wronskiánem W (x 1 ). Podle předpokladu je W (x 1 ) 0. Proto má systém (1.19) pouze jediné řešení. Protože jako řešení vyhovují hodnoty C 1 = C 2 = 0 nemůže jiná alternativa existovat. Jsou splněny podmínky Definice 2, uvažovaný systém funkcí je tedy lineárně nezávislý. Tím je první část věty dokázána. To, že opačné tvrzení neplatí prověříme na konkrétním příkladu. Stačí, například, položit k = 2 a použít funkce v 1 a v 2, které byly definovány v Příkladu 4. Snadno ověříme, že pro wronskián tohoto systému funkcí na intervalu ( 1, 1) platí W (x) = W (v 1, v 2 ) = 0. Víme ale, že Příklad 4 ukazoval, že funkce v 1 a v 2 jsou na intervalu ( 1, 1) lineárně nezávislé. Opačné tvrzení tedy neplatí. Příklad 7. Ukažme, že funkce v 1 (x) = e λ 1x a v 2 (x) = e λ 2x jsou na intervalu I = R lineárně nezávislé v případě, kdy pro konstanty λ 1 a λ 2 platí λ 1 λ 2.

19 1.5. LINEÁRNÍ ZÁVISLOST SYSTÉMU FUNKCÍ 15 Řešení. Úlohu vyřešíme pomocí wronskiánu uvedených funkcí, vypočítaný v bodě x 1 = 0. Wronskián v libovolném bodě je W (x) = W ( e λ1x, e ) λ 2x e = λ 1x λ 1 e λ 1x e λ 2x λ 2 e λ 2x a 1 1 W (0) = λ 1 λ 2 = λ 2 λ 1 0. Tím je podle Věty 3 prokázána lineární nezávislost uvedených exponenciálních funkcí. Příklad 8. [Vandermondův determinant] Funkce testované v právě vyřešeném Příkladu 7 se často objevují jako řešení lineárních diferenciálních rovnic. Řešme proto obecnější úlohu - ukážme, že systém exponenciálních funkcí e λ 1x, e λ 2x,..., e λ kx, ve kterém jsou všechna čísla λ 1, λ 2,..., λ k navzájem různá, je systémem lineárně nezávislých funkcí na intervalu I = R. Řešení. Úlohu řešíme podobně jako v Příkladu 7. Sestavíme wronskián W (x) = W ( e λ1x, e λ2x,..., e ) λ kx = e λ 1x e λ 2x... e λ kx λ 1 e λ 1x λ 2 e λ 2x... λ k e λ kx λ k 1 1 e λ 1x λ k 1 2 e λ 2x... λ k 1 a najdeme jeho hodnotu, například, v bodě x = 0, tj. vypočítáme W (0) = λ 1 λ 2... λ k λ k 1 1 λ k λ k 1 Právě tento determinant se nazývá Vandermondovým determinantem. k k e λ kx Připomeňme ještě, že předchozí případ je speciálním případem naší úlohy. Odpověd uvádíme pro všechny kategorie řešitelů (postup je uveden, například, v knize [10]). Hodnota determinantu je: W (0) = 1 i<j k (λ j λ i ).

20 16 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Protože podle předpokladu nemůže být žádný z rozdílů čísel nulový, platí W (0) 0. Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Vandermondův determinant je jeden z význačných determinantů, hodnotu kterého lze vypočítat. Není to ale jednoduché. Může to pro vás být výzvou, pokusit se třeba během víkendové,,nečinnosti ho pokořit. Jedná se o úlohu typu rekreační matematiky a hodně bude záležet na vašem důvtipu. 1.6 Wronskián systému řešení rovnice (1.3) V procesu využití wronskiánu nyní nastává kvalitativní skok. Nebudeme již využívat wronskián ke zkoumání lineární nezávislosti libovolného systému funkcí. Nyní budeme předpokládat, že zkoumané systémy funkcí jsou řešeními lineární homogenní rovnice n-tého řádu (1.3), tedy rovnice y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0. Teprve při zkoumání takových systémů řešení nabývá wronskián nové diagnostikační síly a dává jednoznačnou odpověd na otázku, zdali je nebo není daný systém řešení lineárně závislý nebo lineárně nezávislý na intervalu I. Pak tedy platí tvrzení opačné k prvnímu tvrzení Věty 3. Věta 4. Je-li na intervalu I dán systém řešení y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) rovnice (1.3), pak je tento systém lineárně nezávislým systémem řešení tehdy a jen tehdy, když W (x) = W (y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)) 0 pro každé x I. Důkaz. První část věty je důsledkem předcházející Věty 3. Druhá část prověrky je zajímavým zúročením tvrzení věty o jednoznačnosti řešení počáteční úlohy (viz Věta 1) a prověří vaši schopnost logické dedukce. Opět se, kvůli přehlednosti, omezíme na případ n = 2, tedy na rovnici druhého řádu. Předpokládejme opak toho, co věta uvádí. Tedy předpokládejme, že W (x 1 ) = 0 pro některou hodnotu x 1 I. Ukážeme, že pak je systém dvou řešení lineárně závislým systémem funkcí. Uvažujme systém dvou rovnic C 1 y 1 (x 1 ) + C 2 y 2 (x 1 ) = 0, C 1 y 1(x 1 ) + C 2 y 2(x 1 ) = 0, (1.20) vzhledem k neznámým veličinám C 1 a C 2. Z poznatků o řešení rovnic pak vyplývá, že systém (1.20) má netriviální rešení C 1 = C 1, C 2 = C 2, tj. má takové řešení, že obě dvě hodnoty C 1, C 2 nejsou nulové. Vezměme tyto hodnoty a uvažujme na intervalu I

21 1.7. POČÁTEČNÍ PODMÍNKY 17 řešení rovnice (1.3) určené následující lineární kombinací (lineární kombinace řešení je dle principu superpozice opět řešením - viz Větu 2): y(x) C 1y 1 (x) + C 2y 2 (x). Potom z jednotlivých řádků systému (1.20) vyplývá, že a y(x 1 ) = C 1y 1 (x 1 ) + C 2y 2 (x 1 ) = 0 y (t 1 ) = C 1y 1(x 1 ) + C 2y 2(x 1 ) = 0. Podle již zmíněné věty o jednoznačnosti řešení počáteční úlohy je řešení y = y(x) rovnice druhého řádu určené počátečními podmínkami y(x 1 ) = 0, y (x 1 ) = 0 jediné. Protože homogenní lineární rovnice má triviální (nulové) řešení y = y(x) 0, je těmito podmínkami určeno právě toto řešení a žádné jiné. Proto musí na intervalu I platit: y(x) 0, tj. C 1y 1 (x) + C 2y 2 (x) 0. V posledním vztah vyjadřuje lineární závislost řešení y 1 a y 2. Logicky tedy - pokud má být tento systém lineárně nezávislým, musí být jejich wronskián nenulový pro všechny hodnoty x I. To je spor s naším výše uvedeným předpokladem. Tím je tvrzení prokázáno. Okamžitým důsledkem Věty 4 je následující tvrzení. Důsledek 1. Necht je dán na intervalu I systém řešení y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) rovnice (1.3). Pak je wronskián W (x) tohoto systému bud identicky nulový na intervalu I, anebo není roven nule v žádném bodě x I. Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Pokud jste si promysleli i tento důsledek, a shledali ho správný, nezbývá než vám gratulovat. Překlenuli jste se přes vrchol této problematiky a o úspěšném zvládnutí zbytku modulu již ve vašem případě není nejmenších pochyb, protože další konstrukce budou využívat již jen logických a konstruktivních obratů, které jsou analogické výše uplatněným. 1.7 Jak volit počáteční podmínky, abychom dostali lineárně nezávislá řešení Poukažme na některé lineární příklady, jimiž jsme se zabývali, ze zřetelem na počet lineárně nezávislých řešení, které jsme v těchto příkladech využili. Při rozboru lineární rovnice y 4y + 4y = 0

22 18 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR v Příkladu 3 na straně 9 předchozího modulu se ukázalo, že jejími řešeními je dvouparametrická množina funkcí y = (C 1 + C 2 x)e 2x. Fakticky je tato množina vytvořena superpozicí (to jest lineární kombinací) dvou řešení y 1 (x) = e 2x, y 2 (x) = xe 2x. Tato řešení jsou lineárně nezávislá, protože jsou tvořena funkcemi, které jsme prověřovali v Příkladu 6. Podobně při studiu lineární rovnice (1.7) v Příkladu 1 jsme pracovali s jejími řešeními u 1 (x) = e 3x, u 2 (x) = e 3x. Také tato dvě řešení jsou lineárně nezávislá, protože jsou tvořena funkcemi z Příkladu 8. Můžeme si položit otázku, jedná-li se o zákonitost, kterou nyní zformulujeme poněkud obecněji: Lineární homogenní rovnice n-tého řádu má alespoň n-lineárně nezávislých řešení. Brzy uvidíme, že jsme tímto tvrzením téměř vystihli podstatu problematiky. Upřesnění je pouze v tom smyslu, že těchto lineárně nezávislých řešení je přesně n, tedy ani více ani méně. Pro systém n-lineárně nezávislých řešení byl dokonce zaveden speciální název, kterým je nazvána následující pasáž. Fundamentální systém řešení homogenní rovnice V teorii lineárních homogenních diferenciálních rovnic n-tého řádu hraje při konstrukci obecného řešení zásadní roli pojem takzvaného fundamentálního systému řešení: Definice 4. [Fundamentální systém] Předpokládejme, že systém funkcí y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) je systémem lineárně nezávislých řešení rovnice (1.3) na intervalu I. Pak tento systém nazýváme fundamentálním systémem řešení rovnice (1.3) na intervalu I.

23 1.8. OBECNÉ ŘEŠENÍ HLDR 19 Počáteční podmínky vytvářející fundamentální systém Z Důsledku 1 ihned vyplývá, že na intervalu I budou fundamentální systém řešení tvořit, například, řešení y 1, y 2,..., y n definovaná těmito počátečními podmínkami y 1 (x 0 ) 1 y 2 (x 0 ) 0 y 1(t 0 )... = 0..., y 2(x 0 )... = 1...,..., y (n 1) 1 (x 0 ) 0 y (n 1) 2 (x 0 ) 0 y n (x 0 ) y n(x 0 )... y (n 1) n (x 0 ) 0 = 0..., 1 kde x 0 I. Vysvětlení je snadné. Podle Důsledku 1 je wronskián těchto řešení v bodě x = x 0 : W (x 0 ) = = 1 0. Řešení s takto vybranými počátečními podmínkami jsou tedy lineárně nezávislá na celém intervalu I. Podtrhněme ještě, že tyto počáteční podmínky určují jeden konkrétní fundamentální systém. Jiná množina lineárně nezávislých počátečních podmínek může určovat jiný fundamentální systém. Všechny fundamentální systémy mají některé zajímavé vlastnosti. Nebudeme se jimi ale zabývat, nebot tato problematika již vybočuje za omezení našich modulů. 1.8 Obecné řešení homogenní rovnice Přistupme k vyvrcholení této kapitoly. Je jím tvrzení o tom, jak vytvořit obecné řešení homogenní rovnice. Hlavním předmětem této části je tedy vyjasnění struktury obecného řešení lineární homogenní rovnice n-tého řádu (1.3). Následující věta obsahuje příslušné tvrzení: Věta 5. Je-li na intervalu I dán fundamentální systém řešení y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) rovnice (1.3), pak je její obecné řešení (1.3) určené lineární kombinací y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x), (1.21) s libovolnými konstantami C 1, C 2,..., C n. Důkaz. Opět uved me jen to, co je podstatné. Proto se omezíme na případ dvou rovnice a položíme n = 2. Z principu superpozice (Věta 2) vyplývá, že lineární kombinace (1.21) je řešením rovnice (1.3) pro libovolné konstanty. Tedy v našem případě (n = 2) pro libovolné konstanty C 1 a C 2. To znamená, že zbývá dokázat opačné

24 20 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR tvrzení, totiž že každé dané řešení rovnice (1.3) je obsaženo v množině řešení (1.21), která má v našem případě tvar Jinými slovy, stačí ukázat, že počátečním podmínkám y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x). (1.22) y(x 0 ) = b 0, y (x 0 ) = b 1, (1.23) kde x 0 I a b 0, b 1 jsou libovolné reálné konstanty, vyhovuje právě jedno řešení množiny (1.22). Derivováním výrazu (1.22), tj. v našem případě výrazu dostáváme vztah y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), y (x) = C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x). Dohromady budeme na oba vztahy pohlížet jako na systém dvou rovnic vzhledem ke koeficientům C 1 a C 2 a zapíšeme je takto: { C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) = y(x), C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) = y (1.24) (x). Nyní sem dosad me počáteční hodnotu x = x 0 a využijme počáteční podmínky (1.23). Systém (1.24) se změní takto: { C1 y 1 (x 0 ) + C 2 y 2 (x 0 ) = b 0, C 1 y 1(x 0 ) + C 2 y 2(x (1.25) 0 ) = b 1. Systém (1.25) je systémem dvou lineárních algebraických rovnic o dvou neznámých C 1 a C 2. Podle Věty 4 je hodnota determinantu matice daného systému, tj., hodnota wronskiánu W (x 0 ) = W (y 1 (x 0 ), y 2 (x 0 )) 0. Proto má uvažovaný systém (1.25) jediné řešení C 1 = C 0 1, C 2 = C 0 2. Výsledná lineární kombinace (1.22), tj. kombinace y(x)u = C 0 1y 1 (x) + C 0 2y 2 (x) (1.26) je jediným řešením počáteční úlohy (1.3), (1.23). Tím je naše věta dokázána. 1.9 Může mít homogenní rovnice více lineárně nezávislých řešení než je její řád? Důsledkem právě zformulované a dokázané Věty 5 je tvrzení o maximálním počtu lineárně nezávislých řešení, tj., o maximálním počtu řešení tvořících fundamentální systém. Tento počer je roven číslu n.

25 1.10. OBECNÉ ŘEŠENÍ NHLDR 21 Důsledek 2. Rovnice (1.3) nemůže mít na intervalu I víc než n lineárně nezávislých řešení. Důkaz. Pokusme se tento důsledek osvětlit. Předpokládejme, že máme n+1 lineárně nezávislých řešení y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x), y n+1 (x) (1.27) rovnice (1.3) na intervalu I. Pak jsou na intervalu I lineárně nezávislá taky řešení y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x). (1.28) Podle předchozí Věty 5 musí pro některé vhodné konstanty na intervalu I platit C 1 = C 1, C 2 = C 2,..., C n = C n y n+1 (x) = C 1y 1 (x) + C 2y 2 (x) + + C ny n (x). Tento vztah ale vyjadřuje, že řešení y n+1 (x) je lineární kombinací řešení systému (1.28). Proto je systém řešení (1.27) systémem lineárně závislých řešení. Poznámka 1. Poznamenejme, že z Věty 5 vyplývá, že řešení rovnice n-tého řádu (1.3) tvoří na intervalu I vektorový prostor dimenze n, jehož bází je libovolný fundamentální systém řešení Obecné řešení nehomogenní rovnice Zbývá ještě osvětlit strukturu řešení lineární nehomogenní rovnice n-tého řádu. To je provedeno v následujícím tvrzení, které říká, že obecné řešení lineární nehomogenní rovnice n-tého řádu je rovno součtu obecného řešení asociované homogenní rovnice a některého partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Věta 6. Je-li na intervalu I systém řešení y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) rovnice (1.3) fundamentálním systémem a je-li y p (x) některé partikulární řešení rovnice (1.2) na I, pak je obecné řešení rovnice (1.2) dané lineární kombinací y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) + y p (x), (1.29) kde C 1, C 2,..., C n jsou libovolné konstanty.

26 22 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Důkaz. Důkaz provedeme pro n = 2 podobně jako v předchozí Větě 5. Z principu superpozice (Věta 2) vyplývá, že výraz (1.29), tj. v našem případě výraz y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + y p (x), (1.30) je řešením rovnice (1.2) pro libovolné konstanty C 1 a C 2. Zbývá dokázat, že počátečním podmínkám (1.23) vyhovuje právě jedno řešení množiny (1.30). Derivováním vztahu (1.30) dostaneme y (x) = C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) + y p(x). Dohromady budeme na oba vztahy pohlížet jako na systém dvou rovnic vzhledem ke koeficientům C 1 a C 2 a zapíšeme je takto: { C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) = y(x) y p (x), C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) = y (x) y p(x). (1.31) Nyní sem dosad me počáteční hodnotu x = x 0 a využijme počáteční podmínky (1.23). Systém (1.31) se změní takto: { C1 y 1 (x 0 ) + C 2 y 2 (x 0 ) = b 0 y p (x 0 ), C 1 y 1(x 0 ) + C 2 y 2(x 0 ) = b 1 y p(x 0 ). (1.32) Systém (1.32) je systémem dvou lineárních algebraických rovnic o dvou neznámých C 1 a C 2. Tento systém má jediné řešení vzhledem ke koeficientům: C1 a C2, protože wronskián W (x 0 ) = W (y 1 (x 0 ), y 2 (x 0 )) 0. Pak je příslušná funkce daná vztahem (1.30), tj., funkce y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + y p (x), jediným řešením úlohy (1.2) s n = 2, (1.23) Rovnice y (n) = f(x) Uvažujme nyní na intervalu I diferenciální rovnici n-tého řádu y (n) = f(x) (1.33) se spojitou funkcí f. Jde o velmi speciální případ lineární nehomogenní diferenciální rovnice n-tého řádu, které jsme v této části probírali. Rovnici (1.33) můžeme integrovat vzhledem k její jednoduchosti bud přímo, nebo můžeme ilustrovat vyloženou teorii. Zvolíme druhou variantu. (V dalších částech modulu budou probírány lineární rovnice s konstantními koeficienty. Způsob řešení, který bude ukázán lze pro řešení rovnice (1.33) využít též.)

27 1.11. LDR S PRAVOU STRANOU NEZÁVISLOU NA ŘEŠENÍ 23 Obecné řešení homogenní rovnice y (n) = 0 V souladu s obecnou teorii lineárních rovnice je obecné řešení nehomogenní rovnice (1.33) tvořeno součtem asociované homogenní rovnice y (n) = 0 (1.34) a některého partikulárního řešení y p (x) rovnice (1.33). Protože y (n) = ( y (n 1)), můžeme rovnici (1.34) přepsat ve tvaru ( y (n 1) ) = 0, odkud integrací dostáváme y (n 1) = C 1, kde C 1 je libovolná konstanta. Podobný postup v dalších krocích dává y (n 2) = C 1 x + C 2, y (n 3) = C 1 2 x2 + C 2 x + C 3,... y = C 1 (n 2)! xn 2 + C 2 (n 3)! xn 3 + C 3 (n 4)! xn C n 1, y = C 1 (n 1)! xn 1 + C 2 (n 2)! xn 2 + C 3 (n 3)! xn C n 1 x + C n, kde C 1, C 2,..., C n jsou libovolné konstanty. Poslední vztah obsahuje všechna řešení rovnice (1.34) a je tedy obecným řešením homogenní rovnice (1.34). Volbou nových libovolných konstant D 1 = C 1 (n 1)!, D 2 = C 2 (n 2)!, D 3 = C 3 (n 3)!,..., D n 1 = C n 1, D n = C n lze obecné řešení přepsat ve tvaru y = D 1 x n 1 + D 2 x n 2 + D 3 x n D n 1 x + D n. Partikulární řešení nehomogenní rovnice Najděme nyní partikulární řešení nehomogenní rovnice y (n) p = f(x). (1.35) Budeme postupovat podobně jako v předchozí části. Přitom se domluvíme, že u neurčitých integrálů nebudeme psát integrační konstanty, protože nás zajímá pouze jedno partikulární řešení. Dostáváme ( ) y (n 1) p = f(x),

28 24 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR odkud integrací y p (n 1) = f(x)dx. Podobný postup v dalších krocích dává Obecné řešení y p (n 2) = f(x)dxdx, y p (n 3) = f(x)dxdxdx,... y p = f(x) dxdx }{{... dx}, }{{} (n 1)-krát y p = (n 1)-krát } {{ } n-krát f(x) dxdx }{{... dx}. n-krát Napišme výsledek - obecné řešení nehomogenní rovnice (1.33) je rovno součtu obecného řešení asociované homogenní rovnice (1.34) a partikulárního řešení y p (x) nehomogenní rovnice (1.35), tj. y(x) = D 1 x n 1 + D 2 x n 2 + D 3 x n D n 1 x + D n + kde D 1, D 2,..., D n jsou libovolné konstanty. } {{ } n-krát f(x) dxdx }{{... dx}, n-krát Příklad Najděme řešení počáteční úlohy { y = xe x, y(0) = 1, y (0) = 0. (1.36) Řešení. Nejprve najdeme obecné řešení nehomogenní rovnice y = xe x. Obecné řešení odpovídající asociované homogenní rovnici y = 0 má tvar y(x) = D 1 x + D 2, kde D 1 a D 2 jsou libovolné konstanty. Najdeme partikulární řešení nehomogenní rovnice. Procvičte si metodu integrace po částech na následujících dvou inegrálech.

29 1.11. LDR S PRAVOU STRANOU NEZÁVISLOU NA ŘEŠENÍ 25 První integrací metodou per partes dostaneme (integrační konstanty v souladu s předchozím postupem nebudeme zapisovat) y = xe x dx = xe x e x. Další integrování per partes vede k výsledku y = ( xe x e x + C 1 ) dx = xe x + 2e x. Obecné řešení nehomogenní rovnice má tvar y = D 1 x + D 2 + (x + 2)e x. Nakonec použijeme počáteční podmínky. Použití první z nich dává: y(0) = 1 = D 2 + 2, odkud máme D 2 = 2. Použijeme druhou počáteční podmínku. Nejprve nalézáme a po dosazení dostaneme y = D 1 xe x e x, y (0) = 0 = D 1 1, odkud D 1 = 1. Řešením počáteční úlohy je funkce y = (x + 2)e x + x 1. Průhyb nosníku Uved me ješte jednu aplikaci ze stavebnictví. Příklad 9. Průhyb homogenního nosníku (například trámu tvaru pravoúhlého hranolu) je často modelován diferenciální rovnicí čtvrtého řádu EIy (4) = w(x), (1.37) kde E je Youngův modul pružnosti, I je moment setrvačnost průřezu trámu vzhledem k neutrální ose, y(x) je statický průhyb trámu v bodě x a w(x) je zatížení trámu vztažené na jednotku délky. Předpokládejme, že trám má délku L, je ve vodorovné poloze a je na koncích pevně uchycen. Dále předpokládejme, že zatížení w(x) je konstantní, tj. že w(x) w 0. Najděte funkci popisující statický průhyb trámu.

30 26 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Řešení. V této úloze využijeme podmínky, které nejsou ryze počáteční. Říkáme jim okrajové podmínky. Průhyb trámu vyhovuje těmto podmínkám: y(0) = 0, y (0) = 0, y(l) = 0, y (L) = 0. Podmínky y(0) = 0, y(l) = 0 vyjadřují, že trám je na koncích pevně uchycen. Podmínky y (0) = 0, y (L) = 0 vyjadřují, že trám je na koncích v horizontální poloze. Přepišme rovnici (1.37) na tvar Obecné řešení rovnice (1.38) je y(x) = D 1 x 3 + D 2 x 2 + D 3 x + D 4 + y (4) = w 0 EI. (1.38) w0 EI dxdxdxdx = D 1 x 3 + D 2 x 2 + D 3 x + D 4 + w 0 24EI x4, kde D 1, D 2,..., D n jsou libovolné konstanty. Využitím první podmínky dostáváme y(0) = 0 = D 4. Potom y (x) = 3D 1 x 2 + 2D 2 x + D 3 + w 0 6EI x3, a využití druhé podmínky dává y (0) = 0 = D 3. Použití zbývajících dvou podmínek vede k rovnicím: Řešení této soustavy vede k hodnotám Průhyb trámu je určen křivkou y(l) = 0 = D 1 L 3 + D 2 L 2 + w 0 24EI L4, y (L) = 0 = 3D 1 L 2 + 2D 2 L + w 0 6EI L3, D 1 = w 0L 12EI, D 2 = w 0L 2 24EI. y(x) = w 0L 12EI x3 + w 0L 2 24EI x2 + w 0 24EI x4 = w 0 24EI x2 (x L) 2. Řada dalších příkladů, ukazujících aplikace diferenciálních rovnic ve stavebnictví, je obsažena ve skriptu [8].

31 1.12. SNÍŽENÍ ŘÁDU HOMOGENNÍ ROVNICE Snížení řádu homogenní rovnice Tuto kapitolu zakončíme návodem, jak je možné snížit řád homogenní lineární rovnice za předpokladu, že známe nějaké její (nenulové) partikulární řešení y = y (x). Úvahy provádíme na některém intervalu na intervalu I. Ukážeme, že v tomto případě lze řád rovnice o jedničku snížit, tj., že lze rovnici n-tého řádu (1.3) převést na homogenní lineární rovnici řádu n 1. Pro větší srozumitelnost budeme uvažovat jen rovnice řádu druhého n = 2, tedy rovnici Zaved me substituci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0. (1.39) y(x) = y (x) z(x), (1.40) kde z je nová hledaná funkce. Potom derivováním vztahu (1.40) dostáváme y (x) = y (x) z(x) + y (x) z (x), y (x) = y (x) z(x) + 2y (x) z (x) + y (x) z (x). Po dosazení do rovnice (1.39) dostaneme novou rovnici y (x) z + (a 1 (x)y (x) + 2y (x))z + (y (x) + a 1 (x)y (x) + a 0 (x)y (x)) z(t) = 0. Podle našeho předpokladu je funkce y (x) nenulovým řešením rovnice (1.39). Platí tedy y (x) + a 1 (x)y (x) + a 0 (x)y (x) 0 a nová rovnice má tvar y (x) z + (a 1 (x)y (x) + 2y (x))z = 0. Zavedeme-li novou proměnnou w(t) předpisem w(x) = z (x), dostáváme nakonec výsledný tvar homogenní lineární rovnice prvního řádu: w (x) + (a 1(x)y (x) + 2y (x)) w(x) = 0. (1.41) y (x) Ke stejnému výsledku bychom dospěli pomocí jedné substituce tvaru y(x) = y (x) w(x)dx, (1.42) kde nebereme do úvahy integrační konstantu v integrálu. Rovnice (1.41) je lineární rovnicí prvního řádu, kterou umíme řešit (viz část??). Zamyslete se nad tím k jakým změnám dojde v případě, že metodu použijeme k rovnicím řádu vyššího než druhého.

32 28 KAPITOLA 1. STRUKTURA ŘEŠENÍ LDR Příklad 10. Najděte obecné řešení rovnice y 2 x y + 2 x 2 y = 0 (1.43) na intervalu I = (, 0), víte-li že jeho partikulárním řešením je funkce y (x) = x. Řešení. V rovnici (1.43) použijeme substituci (1.42), tj. substituci y(x) = x w(x)dx. (1.44) Potom y (x) = w(x)dx + xw(x), y (x) = 2w(x) + xw (x). Po dosazení do rovnice (1.43) dostáváme lineární rovnici 2w(x) + xw (x) 2 x ( xw(x) + ) w(x)dx + 2 x x 2 w(x)dx = 0, tj., rovnici která má obecné řešení xw (x) = 0 neboli rovnici w (x) = 0, w(x) = C 1 s libovolnou konstantou C 1. Užitím (1.44) máme y(x) = x kde C 1 a C 2 jsou libovolné konstanty. w(x)dx = C 1 x 2 + C 2 x,

33 Kapitola 2 Homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty Tato část je věnována problematice nalezení obecného řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Z teoretického pohledu již nic nového nepřináší, protože otázky struktury řešení byly vyřešeny v Kapitole 1. Z praktického pohledu je však tato kapitolka (a také ta následující) nesmírně užitečná. Dává praktický návod, jak obecné řešení sestavit. Naší odměnou za čas strávený nad těmito moduly může být uspokojení z užitečnosti celé problematiky a z průhlednosti celého postupu sestavení obecného řešení. Abychom tedy byli konkrétní. Budeme se zabývat konstrukcí obecného řešení lineární homogenní rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Lineární diferenciální homogenní rovnicí n-tého řádu s konstantními koeficienty nazýváme rovnici (1.3) ve které jsou místo funkcí a n 1 (t),..., a 1 (t), a 0 (t) konstanty. Budeme tedy uvažovat rovnici y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0, (2.1) kde a n 1,..., a 1, a 0 jsou reálná čísla. Protože v rovnici (2.1) nejsou žádné funkce, které by nějakým způsobem zužovaly definiční obor, budou všechny naše úvahy platit na celé oboru reálných čísel a můžeme položit I = R. Cíl: Po prostudování této kapitoly by každý měl: rozpoznat to, čemu budeme říkat homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty; umět nalézt obecné řešení takovéto rovnice. 29

34 30 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY Pan Přísný, váš přísný průvodce studiem: V následující části budeme hodně pracovat s kořenovými vlastnostmi polynomů s reálnými koeficienty jedné proměnné. Před vlastním studiem této kapitoly nejprve v oboru komplexních čísel vyřešte následující algebraické rovnice, určené násobnost kořenů daných rovnic a proved te zkoušku správnosti řešení: 1) λ 2 4λ + 3 = 0, 2) λ 2 + 2λ + 1 = 0, 3) λ = 0, 4) λ 3 + λ = 0, 5) λ 3 6λ λ 6 = 0, 6) λ 4 1 = 0, 7) λ = 0, 8) λ 4 + 8λ = 0, 9) λ 5 + λ 3 = Exponenciální tvar řešení lineární homogenní rovnice s konstantními koeficienty, charakteristická rovnice Obecná teorie pro lineární diferenciální rovnice musí platit i pro rovnici (2.1). Jak ale najít její fundamentální systém řešení? Vzpomínáte si na význačnou vlastnost exponenciální funkce y = e x? Ano, je to výsledek jejího derivování, který je identický s původní funkcí. A jaké derivace má funkce jen o něco málo složitější - funkce y(x) = e λx, kde λ je nějaké nenulové číslo (třeba i komplexní)? I to je jednoduchá otázka. Derivace takové funkce jsou: y(x) = e λx, y (x) = λe λx, y (x) = λ 2 e λx,...,, y (n) (x) = λ n e λx. Zkusme hledat některé řešení rovnice (2.1) právě v exponenciálním tvaru, tj. ve tvaru funkce y(x) = e λx, kde λ = const je prozatím neznámý koeficient. Dosazením exponenciálního tvaru y(x) = e λx, λ = const (2.2) do uvažované rovnice (2.1) dostáváme (z každého výrazu vytkneme funkci e λx ) Charakteristická rovnice (λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 )e λx = 0. Vzhledem k důležitosti pojmu, který nyní zavedeme jsme si dovolili vložit do textu mezititulek. Pokračujme v našich úvahách dále. Exponenciální funkce e λx není nikdy rovna nule. Proto můžeme touto funkcí krátit. Pak dostáváme vztah - rovnici vzhledem ke hledanému koeficientu λ λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0. (2.3) Rovnice (2.3) je polynomiální rovnicí n-tého řádu. Je pro ni užíván název charakteristická rovnice, odpovídající rovnici (2.1). Mnohočlen (polynom) v levé straně rovnice (2.3) nazýváme charakteristický polynom a budeme pro něj užívat značení p(λ) := λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0. (2.4)

35 2.1. EXPONENCIÁLNÍ TVAR ŘEŠENÍ 31 Tzv. hlavní větu algebry jsme se již v našich modulech připomenuli (viz Příklad 6 na straně 11). Proto nyní můžeme říci, že rovnice (2.3) má celkem n kořenů (přitom každý kořen počítáme tolikrát, jaká je jeho násobnost). Kořeny charakteristické rovnice (2.3) jsou často nazývány charakteristickými kořeny. Dále můžeme říci, že jsme již našli řešení rovnice (2.1) v exponenciálním tvaru (2.2)? Každý kořen λ 1, λ 2,..., λ n (2.5) (nyní je každý kořen vypsán tolikrát jaká je jeho násobnost) rovnice (2.3) skutečně určuje některé řešení diferenciální rovnice (2.1) v předpokládaném exponenciálním tvaru, tj. každá funkce je řešením diferenciální rovnice (2.1). y j (x) = e λ jx, j = 1, 2,..., n. (2.6) Je již nalezen fundamentální systém řešení? Logická otázka nyní je - tvoří n exponenciálních funkcí uvedených v předpisu (2.6) fundamentální systéme řešení diferenciální rovnice (2.1)? Pokud bedlivě sledujete tento výklad odpovíte asi vyhýbavě - pravděpodobně ne vždy je tento systém systémem fundamentálním. A zřejmě tuto odpověd zdůvodníte poukazem na kořeny charakteristické rovnice, které mohou být násobné. Skutečně je to tak. Pokud jsou kořeny násobné, pak se v seznamu funkcí (2.6) musí objevit funkce, které jsou stejné. Vzhledem k linearitě rovnice (2.1) je každá lineární kombinace těchto řešení y(x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x + + C n e λnx (2.7) s konstantami C 1, C 2,..., C n také některým řešením. Tak jsme získali řešení diferenciální rovnice (2.1) s celkovým počtem n libovolných parametrů. Bohužel však v této lineární kombinaci je pouze tolik lineárně nezávislých exponenciálních funkcí, kolik je různých kořenů ve výčtu (2.5). Pokud jsou však všechny kořeny ve výčtu kořenů (2.5) navzájem různé, tj. pokud jsou navzájem různé kořeny charakteristické rovnice (2.3), pak není problémem se přesvědčit, že systém řešení diferenciální rovnice (2.1) y 1 (x) := e λ 1x, y 2 (x) := e λ 2x,..., y n (x) := e λnx je fundamentamentálním systémem řešení. Ověření tohoto tvrzení je snadné. Proved te ho samostatně na základě výsledku Příkladu 8 na straně 15. Jak doplnit systém řešení, aby byl fundamentálním? Jak ale postupovat v případě, když má charakteristická rovnice (2.3) násobné kořeny? Předpokládejme, například, že existuje s různých kořenů λ 1, λ 2,..., λ s

36 32 KAPITOLA 2. HOMOGENNÍ LDR S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY charakteristické rovnice (2.3), kde s < n. V tomto případě lze vztah (2.7) zapsat pouze s pomocí s libovolných konstant a proto tento vztah není obecným řešením diferenciální rovnice (2.1). Problém doplnění systému na fundamentální budeme řešit postupně a použijeme přitom zjednodušujícího zápisu diferenciální rovnice (2.1) pomocí symbolů, kterým říkáme symbolické operátory. Nyní ale ukážeme jaká další řešení mohou vznikat. V následujícím příkladu je v případě násobného kořene charakteristické rovnice ukázán tvar dalšího řešení, lineárně nezávislého s exponenciálním tvarem (2.2). Teoretický výklad této konstrukce je dán v následující části. V uvedeném příkladu jsou další řešení, odlišná od výchozího exponenciálního tvaru,,uhodnuta. Příklad 11. Zkonstruujte obecné řešení rovnice třetího řádu y 2y + 4y 8y = 0. (2.8) Řešení. Charakteristická rovnice, odpovídající diferenciální rovnici (2.8) je λ 3 2λ 2 + 4λ 8 = (λ 2) 3 = 0 a má trojnásobný reálný kořen λ 1,2,3 = 2. Snadno ověříme, že kromě exponenciálního řešení (2.2), tj., kromě řešení y 1 (x) = e 2x existují další dvě, lineárně nezávislá řešení, y 2 (x) = xe 2x a y 3 (x) = x 2 e 2x. Věnujte chvilku samostatnému prověření tohoto tvrzení! Tato tři řešení tvoří fundamentální systém řešení. Proto je obecné řešení vyjádřeno vztahem y(x) = C 1 e x + C 2 xe 2x + C 3 x 2 e 2x, kde C 1, C 2 a C 3 jsou libovolné konstanty. Pan Hodný, váš hodný průvodce studiem: Porovnejte tuto situaci s dalšími příklady, které jsme již řešili (viz Příklad 1 na 5. straně a Příklad 3 na 9. straně předchozího modulu Obyčejné diferenciální rovnice 1). 2.2 Užiteční pomocníci - symbolické operátory Právě řešený Příklad 11 ukazuje na obecnou situace ve vytváření fundamentální množiny řešení. Abychom obecnou situaci zvládli budeme potřebovat pomoc - ve formě tzv. pomocných operátorů.