Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Transkript

1 Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.16/ Matematika jinak Realizátorem tohoto projektu je Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

2 Pracovní list č. 7 Rovnice 2 Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů L(x) = P(x) s proměnnou x z daného číselného oboru M, kterému se říká definiční obor rovnice. Výrazem L(x) označujeme levou stranu rovnice, výrazem P(x) pravou stranu rovnice. Proměnná x se nazývá neznámá. Kořen (Řešení) rovnice je takové číslo x k, pro které platí rovnost L(x k ) = P(x k ). Množina všech kořenů rovnice K se nazývá Obor pravdivosti rovnice. Ekvivalentní úpravy rovnice Ekvivalentní úprava rovnice je pak taková úprava, která nezmění platnost rovnice. 1. Záměna stran rovnice Př: 3 = x + 1 x R x + 1 = 3 2. Přičtení čísla nebo výrazu k oběma stranám rovnice Př: x = 6-2x / +2x x R 3. Vynásobení obou stran rovnice nenulovým číslem nebo výrazem Př:, x R 4. Vydělení obou stran rovnice nenulovým číslem nebo výrazem Př: x R 5. Odmocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, pokud obě strany nabývají pouze nezáporných hodnot v celém definičním oboru rovnice Př: 6. Zlogaritmování obou stran rovnice, pokud obě strany nabývají pouze kladných hodnot v celém definičním oboru rovnice. Př: 7. Umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, pokud obě strany nabývají pouze nezáporných hodnot v celém definičním oboru rovnice Př: 2 strana 2

3 POZOR! Umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, pokud obě strany nenabývají pouze nezáporných hodnot, není ekvivalentní úprava. Proto je potřeba po této úpravě provést zkoušku. Úkol: Dokončete naznačené úpravy v předchozích příkladech a rovnice vyřešte. Exponenciální rovnice Příklad 1: Řešte exponenciální rovnici s neznámou Postup: 1. Nejprve všechny členy rovnice převedeme na stejný základ 2. Využijeme vztahy pro umocňování: a) Součin b) Násobení o stejném základu c) Umocňování d) Dělení e) Převod mocniny na exponent f) Převod mezi exponenciálním a zlomkovým tvarem čísla strana 3

4 3. Zjednodušíme exponent 4. Porovnáme exponenty (z rovnosti základů vyplývá rovnost mocnitelů) 5. Řešíme lineární rovnici Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: fcef[x_]:=2^(3*x-2)*4; fceg[x_]:=8^(x+1)*(1/ 2)^x; Reduce[fceF[x]==fceG[x],x,Reals] Výstup: Příklad 2: Řešte exponenciální rovnici s neznámou Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: fcef[x_]:=power[4^x, (4)^-1]*Power[2^(x-3), (3)^-1]; fceg[x_]:=power[16, (6)^-1] Reduce[fceF[x]==fceG[x],x,Reals] Výstup: strana 4

5 Příklad 3: Řešte exponenciální rovnici s neznámou Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: fcef[x_]:=5^x* 2^x; fceg[x_]:=100^(x-1); Reduce[fceF[x]==fceG[x],x,Reals] Výstup: Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice jsou rovnice, které obsahují logaritmy s neznámou. Typická logaritmická rovnice může vypadat například takto: Naším prvořadým úkolem je převést ji pomocí logaritmických vzorců do tvaru, kdy na každá straně rovnice bude logaritmus se stejným základem. Pak už můžeme pouze porovnávat argumenty logaritmů: Na konci výpočtu je důležité si ověřit, zda výsledné řešení odpovídá podmínkám plynoucím ze zadání. Podmínky vycházejí z požadavku kladného argumentu. strana 5

6 Pro náš vzorový příklady musí platit zároveň tyto podmínky: Vzorce pro počítání s logaritmy v logaritmických rovnicích Definice logaritmu o základu z; z > 0 a zároveň z Hodnoty logaritmu Logaritmus součinu 7. Logaritmus podílu 8. Logaritmus mocniny 9. Dekadický logaritmus 10. Přirozený logaritmus 11. Výpočet nedekadického logaritmu pomocí dekadických logaritmů 12. strana 6

7 Příklad 1: Řešte logaritmickou rovnici v R odlogaritmujeme Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: Výstup: Postup: 1. Určíme podmínku řešitelnosti 2. Porovnáme argumenty 3. Odlogaritmujeme 4. Řešíme lineární rovnici 5. Porovnáme s podmínkou řešení Příklad 2: Řešte logaritmickou rovnici v R Odlogaritmujeme Řešení v programu Wolfram Mathematica: Vstup: Výstup: strana 7

8 Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, kde neznámá x se nachází v argumentu nějaké goniometrické funkce. Například: sin(x+1) = 0,5 Průsečíky goniometrické funkce y = sin(x + 1) a konstantní funkce y = 0,5 tvoří řešení dané rovnice. Na zobrazeném intervalu vidíme celkem 4 průsečíky. Pokud bychom zobrazili větší rozsah stupnice x, tak bychom jistě našli další průsečíky, které by se opakovali v intervalech 2pí. Z toho vyplývá, že výsledky goniometrických rovnic je nutné uvádět v obecném tvaru a nikoli jen pro první a druhý kvadrant. Zadání goniometrických rovnic bývá většinou složitější, proto je potřeba si rovnice upravovat na jednodušší tvar podle goniometrických vzorců. strana 8

9 Goniometrické vzorce: Vztahy mezi funkcemi téhož argumentu 1. ; pro každé x Funkce dvojnásobného argumentu Hodnoty funkcí záporného argumentu Funkce součtu argumentů Podmínky Pro funkce sinus a kosinus není třeba uvádět žádné podmínky. Funkce tangens(x) není definovaná v, kde k je z celých čísel. A funkce cotangens není definovaná v Příklad 1: Určete všechny, pro které má daná rovnice smysl. Úlohu řešíme tak, že si vyneseme do jednotkové kružnice pro sinus x hodnotu 0,5 a potom narýsujeme kolmici na osu sinx (tečkovaně). Vzniklé průsečíky nám ukáží počet řešení. Přesné hodnoty x zjistíme z hlavy, kde máme uloženou tabulku hodnot goniometrických funkcí. V řádku pro sinx najdeme 0,5 a odečteme x = 30 = pi/6. Druhý kořen je třeba si odvodit z kružnice - viz obrázek. strana 9

10 Příklad 2: Určete všechny, pro které má daná rovnice smysl. Postup: 1. V tabulce hodnot si nejprve najdeme. 2. Narýsujeme kolmici a získáme průsečíky v a 3. Tento postup opakujeme pro s tím, že hodnoty x odvodíme z jednotkové kružnice. strana 10

11 Příklad 3: Určete všechny, pro které má daná rovnice smysl. Z tabulky hodnot stačí odečíst úhel. Nakonec výsledek zobecníme pro celý interval od mínus nekonečna do plus nekonečna. Tangens je periodická funkce s periodou 1 pí, proto ještě přidáme k*pí. Tangens se narozdíl od sinu nebo cosinu protne s v každé periodě jen jednou, proto není třeba kreslit jednotkovou kružnici. Příklad 4: Určete všechny, pro které má daná rovnice smysl. Nejdříve využijeme toho, že tangens je lichá funkce, pak z tabulky hodnot vyčteme úhel. strana 11

12 Použité zdroje: Wolfram Mathematica. [online]. [cit ]. Dostupné z: < Aristoteles.cz. [online]. [cit ]. Dostupné z: < strana 12