UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE VÝUKA PRVKŮ MATEMATICKÉ ANALÝZY NA STŘEDNÍ ŠKOLE S VYUŽITÍM ICT Disertační práce Autor: Mgr. Jiří Hátle Školitel: doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc. Olomouc 2015

2 Tato disertační práce je duševním vlastnictvím Mgr. Jiřího Hátleho a podléhá právní ochraně podle 2 zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon).

3 Prohlašuji, že jsem disertační práci vypracoval samostatně a použil jen uvedených pramenů a literatury. V Olomouci dne Mgr. Jiří Hátle

4 Děkuji svému školiteli doc. RNDr. Stanislavu Trávníčkovi, CSc., za odborné vedení disertační práce, cenné rady a připomínky. Zvláštní poděkování patří mé rodině a přátelům za pomoc a podporu.

5 Bibliografická identifikace Název práce: Autor: Katedra: Školitel: Studijní program: Studijní obor: Jazyk: Výuka prvků matematické analýzy na střední škole s využitím ICT Mgr. Jiří Hátle Katedra algebry a geometrie Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc. Matematika Didaktika matematiky Český Počet stran: 116 Počet příloh: 1 Rok obhajoby: 2015 Klíčová slova: Abstrakt: matematika, matematická analýza, ICT, program, využití, vyučování V této práci je zpracován přehled prvků matematické analýzy v učebních dokumentech středních škol, dále informačních a komunikačních technologií a jejich využití ve výuce a softwaru pro výuku matematiky s možnostmi a návrhy jeho využití ve vyučovací hodině. Disertační práce obsahuje výsledky výzkumu, který se zabývá využitím ICT ve výuce matematiky na středních školách.

6 Bibliographical identification Title: Author: Department: Supervisor: Study Programme: Field of Study: Language: Teaching parts of mathematical analysis at secondary school using ICT Mgr. Jiří Hátle Department of Algebra and Geometry of Faculty of Science of Palacký University in Olomouc doc. RNDr. Stanislav Trávníček, CSc. Mathematics Didactics of Mathematics Czech Number of pages:: 116 Number of appendices: 1 The year of presentation: 2015 Keywords: Abstract: mathematics, mathematical analysis, ICT, programme, use, teaching Our project introduces a summary of mathematical analysis in teaching documents at secondary school, information and communication technologies and their use in lessons. Moreover it presents software for teaching mathematics and suggestions for its use in lessons. It includes results of our research, which discusses the use of ICT in teaching mathematics at secondary schools.

7 Obsah 1 Úvod 9 I. Teoretická část 2 Prvky matematické analýzy na střední škole Vymezení prvků matematické analýzy Matematická analýza v učebnicích pro střední školy Matematická analýza ve středoškolském vzdělávání Matematická analýza ve druhé polovině 90. let 20. století Gymnázia Učební obory Matematická analýza po roce Matematická analýza v rámcovém a školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání Gymnaziální vzdělávání Střední odborné vzdělávání s maturitou Střední odborné vzdělávání s výučním listem 34 3 ICT ve výuce Hardware pro výuku Software pro výuku Rozdělení Software pro výuku matematiky Podpora výuky prostřednictvím internetu Obecné aspekty použití ICT ve výuce..64 II. Empirická část 4 Příprava, realizace a vyhodnocení výzkumu Příprava a realizace Tvorba dotazníku 67

8 4.1.2 Sonda a předvýzkum Dotazníkové šetření Analýza získaných dat Vyhodnocení získaných dat po otázkách Další vyhodnocení získaných dat Ověřování statistických hypotéz Vliv aprobace ICT na frekvenci používání ICT ve výuce matematiky Vliv délky pedagogické praxe na frekvenci používání ICT ve výuce matematiky Vliv typu školy na využití počítačových učeben pro výuku matematiky Závěry a interpretace výsledků.94 5 Využití softwaru při výuce matematické analýzy Grafy funkcí Derivace funkce Vyšetřování průběhu funkce Určitý integrál Posloupnosti Limita funkce Závěr.108 Seznam zkratek..111 Seznam zdrojů a literatury.112 Přílohy...117

9 1 Úvod 1.1 Předmluva V současné době se informační a komunikační technologie (ICT) a hlavně internet vyvíjejí a rozmáhají obrovským způsobem a rychlostí. Vyskytují se ve všech oblastech lidské činnosti, od vědy a výzkum počínaje, přes průmysl, dopravu, obchod a další odvětví dále až po každého člověka, lidského jedince, konče. ICT jsou všude kolem nás a mají vliv na náš každodenní život. Stejně tak se nelze ubránit faktu, že ICT pronikly a dále s vývojem nových forem pronikají do vzdělávání na všech typech škol. Pokrok nelze zastavit. Otázkou zůstává, zde takovýto trend zasahující do vzdělávání je správný, nebo jestliže je to v jistých mezích, zda je to vhodné či dokonce prospěšné. Možná se jednou naše děti budou v první třídě učit psát na tabletu, nebo jiné moderní technologii, místo klasického psaní perem na papír. Kdo ví Domnívám se, že v současné době je na místě přiměřenost v používání ICT ve výuce a uvážlivost, zda to v dané situaci opravdu je, nebo není vhodné. Hlavními cíli této disertační práce je zpracovat přehled matematické analýzy v matematice středních škol, informačních a komunikačních technologií využitelných pro výuku matematiky na středních školách v České republice a navrhnout jejich možné využití při výuce témat z matematické analýzy v hodinách matematiky a zmapovat současný stav použití ICT ve výuce matematiky. Práce je rozdělena do dvou částí teoretické a empirické, celkem se práce skládá ze šesti kapitol, přičemž první je Úvod a poslední je Závěr. Ke zpracování daného tématu bylo potřeba definovat a vymezit pojem matematická analýza, čemuž se věnuje druhá kapitola nazvaná Prvky matematické analýzy na střední škole. Kromě samotného vymezení pojmu matematická analýza se zde věnujeme analýze a porovnání výskytu prvků matematické analýzy v učebních textech a pedagogických dokumentech středních škol v minulosti a současnosti. Cílem třetí kapitoly pojmenované ICT ve výuce je vymezit pojmy ICT, hardware a software a jejich rozdělení. Hlavním cílem však je analyzovat, rozkategorizovat a porovnat počítačové programy vhodné k použití ve výuce 9

10 matematiky a zpracovat přehled internetových zdrojů užitečných pro výuku. Poslední podkapitola je věnována obecným aspektům využití ICT ve výuce. Ve čtvrté kapitole se zabýváme přípravou, realizací a vyhodnocením výzkumu, který byl proveden mezi učiteli matematiky SŠ v celé ČR. Tématem výzkumu souvisejícím s disertační prací je využití počítačů ve výuce matematiky na SŠ. Zjišťovali jsme četnost použití počítačů ve výuce matematiky, které počítačové programy vhodné pro výuku matematiky učitelé mají, znají a používají, při kterých tematických celcích a jakým způsobem je ICT využito atd. Pátá kapitola obsahuje vytvořené návrhy a ukázky využití vybraného softwaru při výuce prvků matematické analýzy v hodinách matematiky na SŠ s cílem nabídnout učitelům matematiky obohacení jejich portfolia témat vyučovaných s využitím ICT. 1.2 Cíle práce, výzkumné otázky a hypotézy, výzkumné metody Hlavní cíle disertační práce jsou: vymezit pojem matematická analýza v kontextu středoškolské matematiky; analyzovat a porovnat výskyt prvků matematické analýzy a její postavení v matematice v učebních textech a pedagogických dokumentech středních škol ČR v současnosti a historii; vymezit pojmy ICT, hardware a software; analyzovat, utřídit, vybrat, popsat a porovnat software vhodný pro výuku matematiky na SŠ; analyzovat, vybrat a popsat internetové zdroje vhodné pro výuku matematiky na SŠ; popsat obecné aspekty požití ICT ve výuce; prostudovat domácí odbornou literaturu a zdroje o ICT a jeho využití ve výuce; zjistit aktuální stav používání ICT ve výuce matematiky na SŠ; vytvořit a navrhnout ukázky uplatnění ICT v hodině matematiky při probírání učiva matematické analýzy. 10

11 Cílem výzkumného šetření je, kromě zjištění aktuálního stavu používání ICT ve výuce matematiky na SŠ, zjistit odpovědi na související výzkumné otázky: Jaká je četnost používání ICT v hodinách matematiky na SŠ? Jaká je vybavenost škol prostředky ICT? Používají učitelé ICT ve výuce? Do jaké míry? Jakou odbornou literaturu, časopisy a zdroje k výuce matematiky s využitím ICT učitelé sledují? V čem učitelé matematiky ze SŠ spatřují výhody a nevýhody v použití ICT ve výuce matematiky? Jakou podporu by učitelé uvítali pro výuku matematiky s počítači? a ověřit tyto hypotézy: Učitelé matematiky na SŠ, kteří mají druhou aprobaci ICT, používají ICT ve výuce častěji. Učitelé matematiky na SŠ, kteří mají delší pedagogickou praxi, nepoužívají ICT ve výuce častěji. Počítačové učebny se pro výuku matematiky na gymnáziích a středních odborných školách používají stejně často. Pro zjištění odpovědí na výzkumné otázky a ověření hypotéz byla použita metoda sběru dat formou dotazníku, při jehož zpracování byly použity statistické metody kvalitativní a kvantitativní: analýza; komparace; rozbor; tabulky četností; diagramy a grafy; aritmetický průměr, modus, medián; test nezávislosti chí-kvadrát pro kontingenční tabulku. 11

12 I. Teoretická část 2 Prvky matematické analýzy na střední škole Matematika se věcně i historicky rozčleňuje na několik relativně samostatných částí podle úrovně pohledu. Tradiční dělení na aritmetiku, algebru, matematickou analýzu, geometrii atd. však nikterak neznamená, že tyto celky jsou samy v sobě uzavřené. Jsou mezi nimi jednak významné vazby teoretické a přirozeně se prolínají zejména v aplikacích. S vědomím této skutečnosti se v další práci soustředíme na vymezení prvků matematické analýzy a na její postavení ve středoškolské matematice v České republice. První objevy na poli matematické analýzy, ovšem s ohledem na tehdejší dobu, znalosti, terminologii i chápání světa, můžeme najít již ve starověku a v antickém Řecku, např. funkční závislosti, nekonečné posloupnosti a řady, limity posloupnosti. Za zlaté období matematické analýzy, kdy dochází k největšímu rozvoji a rozkvětu matematické analýzy, lze považovat 17. a 18. století. V této době nezávisle na sobě položili anglický matematik, fyzik a astronom Isaac Newton ( ) a německý matematik a filozof Gottfried Wilhelm Leibnitz ( ) základy infinitezimálního počtu (diferenciálního a integrálního počtu). Více viz Polák (2014). S matematickou analýzou je také spjat zajímavý a důležitý pojem 2. krize matematiky, neboli potíže růstu diferenciálního a integrálního počtu. K vyřešení krize došlo v 19. století vybudováním logických základů matematické analýzy (Schwabik, 1998). 2.1 Vymezení prvků matematické analýzy Matematická analýza je velká oblast matematiky založená na pojmech funkce, derivace a integrál. Do této oblasti spadá kromě diferenciálního a integrálního počtu mnoho disciplín, jako jsou diferenciální rovnice (obyčejné i parciální), integrální 12

13 rovnice, funkce komplexní proměnné, diferenciální geometrie, variační počet a další (Šilov, 1974), které jsou však už za hranicemi středoškolského učiva. K němu se vztahují prvky matematické analýzy, jak jsou vymezeny např. v knihách Přehled matematické analýzy 1 a 2 (Danilov, 1968 a Ljusternik, 1969) vymezeny následujícím způsobem: funkce (jedné i více proměnných), posloupnosti, limity funkcí a posloupností, číselné řady, řady funkcí, diferenciální a integrální počet. S ohledem na téma a zaměření této práce se zmíníme o prvcích matematické analýzy ve výuce matematiky na středních školách v pojetí různých autorů. Nejdříve uveďme definici: Matematická analýza je souhrn matematických oborů vyšetřujících vlastnosti funkcí reálné proměnné, komplexní proměnné, posloupností a řad. Ve školské matematice mají z matematické analýzy největší význam diferenciální počet a integrální počet (Leibnitz, Newton). Další součástí matematické analýzy je teorie obyčejných diferenciálních rovnic, teorie parciálních diferenciálních rovnic, teorie integrálních rovnic, teorie funkcí komplexní proměnné, variační počet a funkcionální analýza. S geometrií má matematická analýza styčnou oblast v diferenciální a integrální geometrii, s geometrií a fyzikou pak vektorovou a tenzorovou analýzu (Slovník školské matematiky, 1981). Fuchs a Hrubý (2006) ve svém návrhu rozdělují učivo matematiky na gymnáziu do tematických celků Úvod do studia matematiky, Aritmetika a algebra, Elementární geometrie, Analytická geometrie, Pravděpodobnost a statistika, Matematická analýza. V posledně jmenovaném celku nalezneme podkapitoly Posloupnosti a řady, Diferenciální počet, Integrální počet. Hejný a kol. (1990) uvádí, že studium matematické analýzy na střední škole je zaměřené především na seznámení se s elementárními funkcemi a pojmy limita, derivace a integrál. Naproti tomu Polák (2014) do jedné ze čtrnácti kapitol středoškolské matematiky Matematická analýza řadí témata: limita funkce, spojitost funkce, spojitost funkce na intervalu, diferenciální počet (derivace funkce, derivace základních elementárních funkcí, vyšetřování vlastností funkcí pomocí derivací, výpočet limit funkcí pomocí derivací, slovní úlohy na globální extrémy funkce optimalizační úlohy) a integrální počet (primitivní funkce, neurčitý integrál, základní integrační metody, určitý integrál, metody výpočtu určitých integrálů, výpočet obsahů rovinných obrazců užitím určitých integrálů, výpočet objemů těles užitím určitých integrálů). Kapitoly Funkce, Goniometrie (uvažujme goniometrické funkce) a Posloupnosti a nekonečné 13

14 řady však stojí samostatně mimo matematickou analýzu. Obdobně již dříve (Polák, 1995) vyčlenil kapitoly Funkce a Posloupnosti a řady a do kapitoly Matematická analýza zařadil prvky limita a spojitost funkce, derivace funkce, užití diferenciálního počtu k vyšetřování průběhu funkcí, primitivní funkce, neurčitý integrál, určitý integrál a jeho aplikace. Tato různá rozčlenění však lze považovat jen za technickou záležitost umožňující lepší orientaci v příslušných knihách. Já se budu ve své práci zabývat těmito tematickými celky matematické analýzy ve středoškolské matematice: funkce posloupnosti a řady diferenciální počet integrální počet 2.2 Matematická analýza v učebnicích pro střední školy Jedním z významných prvků učebních pomůcek jsou učebnice a učební texty a sbírky úloh. Jaký je odraz matematické analýzy v učebnicích matematiky pro střední školy? Široce používanou sadou učebnic na gymnáziích jsou učebnice vydavatelství Prometheus Matematika pro gymnázia, které jsou vydávány ve spolupráci s Jednotou českých matematiků a fyziků. V těchto učebnicích není učivo matematiky zpracováno podle ročníků, ale podle tematických celků, a lze je tedy používat podle toho, do kterého ročníku je dané téma ve škole zařazeno. Prvky matematické analýzy zde nalezneme v učebnicích Funkce (Odvárko, 2008), Goniometrie (Odvárko, 2002), Posloupnosti a řady (Odvárko, 1995) a Diferenciální a integrální počet (Hrubý, Kubát, 1997). Toto rozdělení je v souladu s kategorizací tematických celků matematické analýzy uvedenou výše. 14

15 2.3 Matematická analýza ve středoškolském vzdělávání Jaké zastoupení měla matematická analýza ve středoškolské matematice dříve a hlavně jaké má zastoupení v současné době se pokusíme zmapovat a porovnat v následujících kapitolách Matematická analýza ve druhé polovině 90. let 20. století V jednotném školství let minulého století bylo vzdělávání realizováno podle učebních osnov (Normativní pedagogické dokumenty stanovující cíle, vymezující obsah, rozsah, posloupnost a distribuci učiva vyučovacích předmětů do jednotlivých ročníků a časových úseků vyučování. Zpravidla doporučují také specifické metody a organizační formy. Byly tradičně vypracovávány izolovaně pro jednotlivé předměty, jako program vyučování určený učiteli (Průcha, Walterová, Mareš, 2009).) a učebních plánů (Dříve normativní vymezení časových dotací předepsaných vyučovacích předmětů, zavedené po roce Učební plány byly sestavovány centrálně jako závazná norma pro všechny školy daného stupně nebo typu (Průcha, Walterová, Mareš, 2009).) Gymnázia Gymnaziální vzdělávání bylo rozděleno na větev přírodovědnou a humanitní, každá z větví byla ještě dále dělena podle zaměření, např. pedagogické, na matematiku a fyziku, na tělesnou výchovu atd. Každé větvi a jejím zaměřením byl předepsán počet hodin matematiky v jednotlivých ročnících a tematické celky s probíranými pojmy. V učebních osnovách gymnázia matematiky (Ministerstvo školství České socialistické republiky, 1977 a 1981) pro přírodovědnou větev můžeme najít následující prvky matematické analýzy (v závorce je uvedeno rozšíření pro zaměření na matematiku a fyziku): Relace, zobrazení, funkce Relace, graf relace. Zobrazení z množiny do množiny. Prosté zobrazení, vzájemně jednoznačné zobrazení. Zobrazení v R2. Funkce, způsoby určení funkce. Funkce rostoucí a klesající. 15

16 Funkce konstantní, lineární a kvadratické Konstantní a lineární funkce. Grafy funkcí a relací s absolutními hodnotami. Lineární interpolace. Maximum a minimum funkce. Sudé a liché funkce. Kvadratické funkce. Grafická řešení kvadratických rovnic a nerovnic. Omezená funkce. (Průběh funkce. Parametrické systémy lineárních a kvadratických funkcí.) Mocniny a mocninné funkce Mocniny s přirozeným exponentem. Nepřímá úměrnost. Mocniny s celočíselným exponentem. Inverzní relace a inverzní funkce. Odmocniny. Mocniny s racionálním exponentem. Mocniny s iracionálním exponentem. Exponenciální a logaritmické funkce Exponenciální funkce. Logaritmické funkce, logaritmus. Věty o logaritmování součinu, podílu a mocniny. Dekadické logaritmy. Tabulky hodnot logaritmických funkcí, logaritmické pravítko. Užití logaritmů k výpočtům. Logaritmické a exponenciální rovnice. (Změna základu logaritmu.) Goniometrické funkce Periodické funkce. Velikost úhlů v obloukové míře. Orientovaný úhel. Funkce sinus a kosinus. Funkce tangens a kotangens. Vlastnosti goniometrických funkcí a vztahy mezi nimi. Složené funkce. (Skládání funkcí. Funkce y = A sin(ωt + φ).) Další vlastnosti goniometrických funkcí. Trigonometrie Vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Goniometrické funkce součtu argumentů, dvojnásobného a polovičního argumentu. Součet a rozdíl goniometrických funkcí. Goniometrické rovnice. Sinová a kosinová věta. Řešení trojúhelníku. Použití trigonometrie v praxi. Posloupnosti a řady Metody důkazu matematickou indukcí. Posloupnost, n-tý člen posloupnosti, rekurentní určení posloupnosti. Aritmetická posloupnost, geometrická posloupnost. Nulová posloupnost, limita posloupnosti. Nekonečná geometrická řada, součet nekonečné geometrické řady. (Věty o limitách.) Diferenciální a integrální počet Okolí bodu. Aproximace čísla a výpočty s aproximacemi. Směrnice tečny. Limita a spojitost funkce. Operace s funkcemi a limita. Funkce spojité na 16

17 intervalu. Derivace, pravidla počítání derivací. Monotónnost a derivace. Lokální a globální extrémy. Druhá derivace. Derivace složené funkce. Derivace funkce určené implicitně. Primitivní funkce. Určitý integrál. Přibližný výpočet určitých integrálů. Obsah rovinných útvarů, objem rotačních těles. (Rolleova věta. Lagrangeova věta o přírůstku funkce. Řešení složitějších úloh z praxe. Metody integrace. Řešení nejjednodušších diferenciálních rovnic. Řešení úloh s fyzikálními náměty.) Je možno konstatovat, že dnešní požadavky na žáky jsou výrazně nižší (viz podkapitola ). Otázkou je, zda je to dobře či špatně, ale to není předmětem zájmu této práce. Každopádně je obecně platný fakt, že nároky a požadavky na žáky v jejich vzdělávání, a to napříč celého školství, se snižují Učební obory Krátce se ještě zastavme u učebních osnov středoškolského vzdělávání v tříletých učebních oborech (Ministerstvo školství České socialistické republiky, 1985). Následující tematické celky obsahují prvky matematické analýzy v rozsahu: Funkce Lineární funkce, přímka. Definiční obor funkce. Obor hodnot funkce. Grafy funkcí. Kvadratická funkce, parabola. Rostoucí a klesající funkce. Nepřímá úměrnost, hyperbola. Exponenciální a logaritmické funkce Exponenciální funkce a její vlastnosti. Logaritmická funkce a její vlastnosti. Logaritmy, dekadický logaritmus. Logaritmická stupnice. Exponenciální a logaritmické funkce v přírodovědné a technické praxi. Goniometrické funkce Orientovaný úhel. Funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens. Grafy goniometrických funkcí. Vlastnosti goniometrických funkcí. Určování hodnot goniometrických funkcí. 17

18 Ze srovnání výše uvedených učebních osnov a současných požadavků (viz podkapitola ) vyplývá, že dříve vyučovaná matematická analýza v učňovských oborech se zúžila na pouhé základní poznatky o funkcích a konkrétně na přímou a nepřímou úměrnost a lineární funkce Matematická analýza po roce 1989 Novela školského zákona v roce 1990 vymezila první kroky liberalizace obsahu a organizace vzdělávání v regionálním školství. Školy získaly pravomoc formulovat a realizovat vlastní strategie rozvoje vzdělávací nabídky, přizpůsobovat obsah vzdělávání určený schválenou pedagogickou dokumentací. Byly uvolněny učební plány, posíleny pravomoci ředitelů škol v rozhodování o tom, kterým předmětům se bude vyučovat (možnost upravit učební plán v rozsahu 10 % hodinové dotace, upravit obsah učebních osnov jednotlivých předmětů v rozsahu 30 % hodinové dotace), současně byla dána volnost v používání učebnic a učebních pomůcek (MŠMT, 2009). Gymnaziální vzdělávání Tato reforma a uvolnění se projevilo v platných učebních dokumentech pro gymnázia (MŠMT ČR, 1999) a dotklo se i výuky matematiky. Tematické celky byly rozděleny na devět částí: Základní poznatky z matematiky, číselné obory, Algebra, Planimetrie, Funkce, Goniometrie a trigonometrie, Stereometrie, Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika, Posloupnosti, Analytická geometrie v rovině a na tři doporučené rozšiřující tematické celky: Komplexní čísla, Analytická geometrie v prostoru a Základy diferenciálního a integrálního počtu. Prvky matematické analýzy jsou obsaženy v těchto: Funkce Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, graf funkce. Konstantní funkce, lineární funkce, přímá úměrnost. Funkce s absolutními hodnotami. Kvadratická funkce a její při řešení kvadratických rovnic a nerovnic. Rovnost funkcí. Funkce monotónní, funkce prostá, funkce omezená, funkce sudá a lichá, maximum a minimum funkce. Periodická funkce. Složená funkce. Lineární lomená funkce, nepřímá úměrnost. Mocninné funkce s přirozeným a celým mocnitelem. Inverzní funkce. Funkce druhá a 18

19 třetí odmocnina. Definice n-té odmocniny. Operace s odmocninami. Mocniny s racionálním a reálným exponentem. Úpravy algebraických výrazů s mocninami a odmocninami. Exponenciální a logaritmická funkce. Logaritmus, věty o logaritmech. Logaritmy o různých základech, přirozený logaritmus. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice. Doporučené rozšiřující učivo: Konstrukce grafu funkce y = a. f(bx + c) + d. Parametrické systémy funkcí. Polynomická a racionální funkce, mocninné funkce s racionálním mocnitelem. Složitější exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice a jejich soustavy. Goniometrie a trigonometrie Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové. Orientovaný úhel. Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Graf složené funkce typu y = a. sin (bx + c) + d. Součtové vzorce, vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument. Úpravy goniometrických výrazů. Jednoduché goniometrické rovnice a nerovnice. Sinová a kosinová věta. Řešení obecného trojúhelníku, aplikace. Doporučené rozšiřující učivo: Složitější goniometrické rovnice a nerovnice a jejich soustavy. Cyklometrické funkce. Posloupnosti Posloupnost, její určení, vzorec pro n-tý člen, rekurentní vztah, součet prvních n členů posloupnosti. Graf posloupnosti. Vlastnosti posloupností. Aritmetická a geometrická posloupnost, aplikace. Matematická indukce. Doporučené rozšiřující učivo: Limita posloupnosti. Věty o limitách. Užití limit posloupností. Nevlastní limita. Konvergentní a divergentní posloupnost. Nekonečná geometrická řada. Číslo π a číslo e jako limita posloupnosti racionálních čísel. Základy diferenciálního a integrálního počtu Elementární funkce, vlastnosti, grafy. Okolí bodu. Spojitost funkce v bodě a intervalu. Limita funkce v bodě. Limita funkce v nevlastním bodě. Věty o limitách. Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam. Derivace elementárních funkcí. Derivace součtu, součinu a podílu funkcí. Derivace složené funkce. Druhá derivace. Průběh funkcí. Užití diferenciálního počtu. Primitivní funkce. Primitivní funkce k 19

20 základním funkcím. Určitý integrál. Výpočet obsahu obrazce. Objem rotačního tělesa. Fyzikální aplikace určitého integrálu. Pro srovnání Fuchs, Kubát a kolektiv (2001) řadí tematické okruhy s prvky matematické analýzy Funkce, Goniometrie a Posloupnosti do tzv. základního standardu (to, co by měl znát každý absolvent čtyřletého gymnázia) a Řady a Diferenciální a integrální počet do maturitního standardu (to, co by měl zvládnout maturant z matematiky) Matematická analýza v rámcovém a školním vzdělávacím programu Po školské reformě, která probíhala postupně na různých typech škol v jednotlivých etapách zhruba mezi roky 2005 a 2012 a která je zakotvena v zákoně č. 561/2004 Sb., o předškolním, základním, středním, vyšším odborném a jiném vzdělávání, se v současnosti uskutečňuje vzdělávání žáků od 3 do 19 let podle platných Rámcových vzdělávacích programů (RVP). Tyto Rámcové vzdělávací programy stanovují na státní úrovni očekávané výstupy a úroveň vzdělání všech absolventů jednotlivých typů a stupňů škol. Samotné vzdělávání na jednotlivých typech a stupních škol probíhá podle školních vzdělávacích programů (ŠVP), které si v souladu s RVP dle vlastních požadavků a svého zaměření vytvářejí školy individuálně. Nyní se zaměříme na výskyt prvků matematické analýzy ve vzdělávání na čtyřletých gymnáziích a vyšších ročnících víceletých gymnázií, dále na středních odborných školách a na středních odborných učilištích. Pro úplnost uvedeme na začátku i stopy matematické analýzy na 2. stupni základních škol a v odpovídajících ročnících víceletých gymnázií. Pro lepší představu, větší přehled a snadnější orientaci v RVP uvedeme obsah např. RVP pro gymnázia. Struktura, nikoli obsah a jednotlivé podkapitoly, RVP pro jiná vzdělávání jsou velice podobná. ČÁST A 1. Vymezení Rámcového vzdělávacího programu pro gymnázia 1.1 Systém kurikulárních dokumentů 20

21 1.2 Principy Rámcového vzdělávacího programu pro gymnázia ČÁST B 2. Charakteristika vzdělávání 2.1 Organizace vzdělávání 2.2 Podmínky přijetí ke vzdělávání 2.3 Způsob a podmínky ukončování vzdělávání a získání dokladu o dosaženém stupni vzdělání ČÁST C 3. Pojetí a cíle vzdělávání 3.1 Pojetí vzdělávání 3.2 Cíle vzdělávání 4. Klíčové kompetence 5. Vzdělávací oblasti 5.1 Jazyk a jazyková komunikace Český jazyk a literatura Cizí jazyk Další cizí jazyk 5.2 Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 5.3 Člověk a příroda Fyzika Chemie Biologie Geografie Geologie 5.4 Člověk a společnost Občanský a společenskovědní základ Dějepis Geografie 5.5 Člověk a svět práce Člověk a svět práce 5.6 Umění a kultura Hudební obor Výtvarný obor 21

22 5.7 Člověk a zdraví Výchova ke zdraví Tělesná výchova 5.8 Informatika a informační a komunikační technologie Informatika a informační a komunikační technologie 6. Průřezová témata 6.1 Osobnostní a sociální výchova 6.2 Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech 6.3 Multikulturní výchova 6.4 Environmentální výchova 6.5 Mediální výchova 7. Rámcový učební plán 7.1 Obecné poznámky 7.2 Poznámky ke vzdělávacím oblastem 8. Zásady pro tvorbu školního vzdělávacího programu pro čtyřletá gymnázia a vyšší stupeň víceletých gymnázií ČÁST D 9. Vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami 9.1 Vzdělávání žáků se zdravotním postižením a zdravotním znevýhodněním 9.2 Žáci z odlišného kulturního a sociálně znevýhodňujícího prostředí 10. Vzdělávání mimořádně nadaných žáků 11. Podmínky pro vzdělávání na gymnáziu Slovníček použitých výrazů Základní vzdělávání Základní vzdělávání má žákům pomoci utvářet a postupně rozvíjet klíčové kompetence a poskytnout spolehlivý základ všeobecného vzdělání orientovaného zejména na situace blízké životu a na praktické jednání (RVP pro základní vzdělávání, 2013). Ve vzdělávacích oblastech je zařazena oblast Matematika a její aplikace, jejíž vzdělávací obsah je rozdělen na čtyři okruhy: Číslo a proměnná, Závislosti, vztahy a práce s daty, Geometrie v rovině a v prostoru a Nestandardní aplikační úlohy a 22

23 problémy. Všimněme si těch okruhů, ve kterých se vyskytují prvky matematické analýzy. Závislosti, vztahy a práce s daty Očekávané výstupy: Žák vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data porovnává soubory dat určuje vztah přímé anebo nepřímé úměrnosti vyjádří funkční vztah tabulkou, rovnicí, grafem matematizuje jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů Učivo závislosti a data příklady závislostí z praktického života a jejich vlastnosti, nákresy, schémata, diagramy, grafy, tabulky; četnost znaku, aritmetický průměr funkce pravoúhlá soustava souřadnic, přímá úměrnost, nepřímá úměrnost, lineární funkce Nestandardní aplikační úlohy a problémy Očekávané výstupy: Žák užívá logickou úvahu a kombinační myšlení při řešení úloh a problémů a nalézá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací, řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tematických a vzdělávacích oblastí Učivo číselné a logické řady číselné a obrázkové analogie logické a netradiční geometrické úlohy Gymnaziální vzdělávání Vzdělávání ve čtyřletých gymnáziích a na vyšším stupni víceletých gymnázií má žáky vybavit klíčovými kompetencemi a všeobecným rozhledem na úrovni 23

24 středoškolsky vzdělaného člověka a tím je připravit především pro vysokoškolské vzdělávání a další typy terciárního vzdělávání, profesní specializaci i pro občanský život (RVP pro gymnázia, 2007). Výuka matematiky na gymnáziu rozvíjí a prohlubuje pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného světa, utváří kvantitativní gramotnost žáků a schopnost geometrického vhledu. Ovládnutí požadovaného matematického aparátu, elementy matematického myšlení, vytváření hypotéz a deduktivní úvahy jsou prostředkem pro nové hlubší poznání a předpokladem dalšího studia. Osvojené matematické pojmy, vztahy a procesy pěstují myšlenkovou ukázněnost, napomáhají žákům k prožitku celistvosti. Matematické vzdělávání napomáhá rozvoji abstraktního a analytického myšlení, rozvíjí logické usuzování, učí srozumitelné a věcné argumentaci s cílem najít spíše objektivní pravdu než uhájit vlastní názor. Těžiště výuky spočívá v osvojení schopnosti formulace problému a strategie jeho řešení, v aktivním ovládnutí matematických nástrojů a dovedností, v pěstování schopnosti aplikace. Matematika přispívá k tomu, aby žáci byli schopni hodnotit správnost postupu při odvozování tvrzení a odhalovat klamné závěry (RVP pro gymnázia, 2007). Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace se skládá z pěti tematických celků: Argumentace a ověřování, Číslo a proměnná, Práce s daty, kombinatorika, pravděpodobnost, Závislosti a funkční vztahy a Geometrie. Matematická analýza je zastoupena v následující oblasti. Závislosti a funkční vztahy Očekávané výstupy: Žák načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí 24

25 řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích a posloupnostech interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice Učivo obecné poznatky o funkcích pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkcí funkce lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi posloupnost určení a vlastnosti posloupností, aritmetická a geometrická posloupnost Z výše uvedeného přehledu je zřejmé, že matematická analýza nemá tak velké zastoupení v Rámcovém vzdělávacím programu pro gymnázia, jak by mohl někdo očekávat. To ovšem neznamená, že by se více matematické analýzy na gymnáziích nemohlo vyučovat. Rámcové vzdělávací programy obecně určují pouze rámce a výstupy závazné pro příslušné typy škol a jejich absolventy. Každá škola tak může podle své profilace nebo podle požadavků přidávat učivo mimo to předepsané v RVP. A zde je právě jistý manipulační prostor, se kterým mohou školy pracovat. Mohou tak zařadit do školního vzdělávacího programu pro předmět matematika další kapitoly týkající se, samozřejmě nejen, matematické analýzy. Výsledkem prostudování několika ŠVP náhodně vybraných gymnázií je, že poměrně často gymnázia zařazují z matematické analýzy do matematického vzdělávání řady, limity funkcí, spojitost funkcí, diferenciální a integrální počet. Pozor, není to však obecně platné tvrzení a ne všechna gymnázia o výše uvedená témata, nebo alespoň některá z nich, své vzdělávání v matematice rozšiřují. To je čistě v jejich kompetenci. V některých případech, jak doporučují autoři Fuchs a Hrubý (2006), se rozšíření učiva matematiky provádí ve volitelném předmětu, semináři z matematiky, ten už ale není povinný pro všechny žáky gymnázií. 25

26 Ukažme si na příkladu Školního vzdělávacího programu Slovanského gymnázia Olomouc, které prvky matematické analýzy, ať už povinné podle RVP pro gymnázia, či navíc doplněné, se vyskytují. Osnovy předmětu matematika jsou rozděleny do šestnácti tematických celků: Teorie čísel, Teorie množin, výroková logika, Algebraické výrazy, mocniny a odmocniny, Rovnice a nerovnice, Planimetrie, Shodná a podobná zobrazení, Funkce, Goniometrie, Stereometrie, Komplexní čísla, Analytická geometrie, Kombinatorika a pravděpodobnost, Práce s daty, Posloupnosti a řady, Limita funkce, diferenciální a integrální počet, Systematizace poznatků. Nyní se podrobněji zaměříme na celky týkající se matematické analýzy. Funkce Učivo: Obecné poznatky o funkcích pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkcí (parita, monotónnost, ohraničenost, extrémy, periodičnost). Lineární funkce. Kvadratická funkce. Funkce s absolutní hodno-tou. Lineární lomená funkce. Mocninné funkce (s přirozeným a celým exponentem). Mocniny s racionálním exponentem, n tá od-mocnina. Inverzní funkce. Exponenciální a logaritmické funkce, logaritmy, vlastnosti logaritmů. Exponenciální a logaritmické rovnice. Školní výstup žák: Načrtne grafy elementárních funkcí (v základním i posunutém tvaru) a určí jejich vlastnosti. Formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí Využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů. Aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních a logaritmických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi. Modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí. Řeší exponenciální a logaritmické rovnice Řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích. Goniometrie Učivo: Oblouková míra a orientovaný úhel. Goniometrické funkce, vztahy mezi Školní výstup žák: Umí zakreslit grafy goniometrických funkcí. 26

27 goniometrickými funkcemi. Goniometrické rovnice, využití goniometrických vzorců. Trigonometrie pravoúhlého a obecného trojúhelníku, vzorce pro obsah trojúhelníku, sinová a kosinová věta Aplikuje goniometrické vzorce při úpravě goniometrických výrazů. Řeší goniometrické rovnice. Aplikuje praktické úlohy na řešení obecného trojúhelníku popř. čtyřúhelníku. Posloupnosti a řady Učivo: Definice a určení posloupností (vzorcem pro n tý člen a rekurentně). Důkaz matematickou indukcí Vlastnosti posloupností. Aritmetická a geometrická posloupnost. Finanční matematika. Limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost. Nekonečná řada, konvergentní a divergentní řada, kritéria konvergence, součet nekonečné geometrické řady. Školní výstup žák: Vysvětlí rozdíl mezi posloupností a funkcí reálných čísel. Formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných posloupností. Řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o posloupnostech. Interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice. Vysvětlí pojem limita posloupnosti, zná základní věty o limitách posloupností a umí je využít při výpočtu limit posloupností. Vysvětlí pojmy nekonečná řada a součet nekonečné řady, pomocí základních kritérií konvergence určí chování jednodušších řad, pro nekonečnou geometrickou řadu zná podmínku její konvergence a umí určit její součet. Limita funkce, diferenciální a integrální počet Učivo: Školní výstup žák: Limita a spojitost funkce, věty o limitách. Interpretuje pojem limity funkce, řeší 27

28 Nevlastní limity, limity v nevlastních bodech. Derivace funkce, derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí, derivace složené funkce. Druhá derivace a její význam. Aplikace diferenciálního počtu. Průběh funkce. Primitivní funkce, neurčitý integrál. Základní typy integrací. Určitý integrál. Aplikace integrálního počtu. úlohy o limitách funkcí. Rozumí pojmu derivace funkce. Ovládá použití pravidel pro derivace a umí je aplikovat v praktických úlohách. Užitím diferenciální počtu umí vyšetřit průběh funkce. Rozumí pojmu primitivní funkce, neurčitý a určitý integrál. Ovládá základní integrační metody a umí je aplikovat v praktických úlohách. Doplňme a vyzdvihněme pro nás důležitou poznámku, která je u témat Funkce a Goniometrie: Využití matematického softwaru pro kreslení grafů funkcí Střední odborné vzdělávání s maturitou Matematické vzdělávání má v odborném školství kromě funkce všeobecně vzdělávací ještě funkci průpravnou pro odbornou složku vzdělávání. Obecným cílem matematického vzdělávání je výchova přemýšlivého člověka, který bude umět používat matematiku v různých životních situacích (v odborné složce vzdělávání, v dalším studiu, v osobním životě, budoucím zaměstnání, volném čase apod.) (RVP pro obor vzdělání Strojírenství). Kurikulární rámce pro oblast Matematického vzdělávání jsou tvořeny sedmi tematickými celky: Operace s čísly a výrazy, Funkce a její průběh, řešení rovnic a nerovnic, Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie v rovině, Posloupnosti a jejich využití a Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika v praktických úlohách. V oborech vzdělání se zvýšenými nároky na matematické vzdělávání rozšíří škola ve svém školním vzdělávacím programu matematické vzdělávání v souvislosti s potřebami odborného vzdělávání zejména o: operace s komplexními čísly a řešení kvadratických rovnic v množině C; řešení aplikačních úloh s využitím funkcí, posloupností a trigonometrie; analytickou geometrii kuželoseček (RVP pro obor vzdělání Strojírenství). 28

29 Funkce a její průběh, řešení rovnic a nerovnic Očekávané výstupy: Žák rozlišuje jednotlivé druhy funkcí, načrtne jejich grafy a určí jejich vlastnosti řeší lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy, lineární a kvadratické nerovnice třídí úpravy rovnic na ekvivalentní a neekvivalentní převádí jednoduché reálné situace do matematických struktur, pracuje s matematickým modelem a výsledek vyhodnotí vzhledem k realitě znázorní goniometrické funkce v oboru reálných čísel, používá jejich vlastností a vztahů při řešení jednoduchých goniometrických rovnic i k řešení rovinných i prostorových útvarů Učivo základní pojmy pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkcí lineární rovnice a nerovnice racionální funkce kvadratická rovnice a nerovnice exponenciální a logaritmické funkce, logaritmus goniometrie a trigonometrie orientovaný úhel, goniometrické funkce ostrého a obecného úhlu, řešení pravoúhlého trojúhelníku, věta sinová a kosinová, řešení obecného trojúhelníku goniometrické rovnice Posloupnosti a jejich využití Očekávané výstupy: Žák vysvětlí posloupnost jako zvláštní případ funkce určí posloupnost: vzorcem pro n-tý člen, výčtem prvků, graficky rozliší aritmetickou a geometrickou posloupnost provádí výpočty jednoduchých finančních záležitostí a orientuje se v základních pojmech finanční matematiky 29

30 Učivo aritmetická a geometrická posloupnost finanční matematika Z tematických celků pro možné rozšíření ŠVP vypíchněme Řešení aplikačních úloh s využitím funkcí, posloupností a trigonometrie, protože zde se prvky matematické analýzy vyskytují. Na příkladu ŠVP Střední průmyslové školy Přerov si ukážeme korespondenci mezi ŠVP a RVP v matematice, konkrétně nás budou zajímat opět prvky matematické analýzy. V ŠVP pro obor M/01 Strojírenství tak nalezneme tematické celky: Lineární funkce, rovnice a nerovnice Učivo Pojem funkce Lineární funkce Lineární rovnice Lineární nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami Lineární rovnice s parametrem Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních nerovnic Slovní úlohy Výsledky vzdělávání vysvětlí pojem funkce, definiční obor, obor hodnot a graf funkce načrtne graf lineární funkce řeší lineární rovnice a jejich soustavy řeší lineární nerovnice a některé jejich soustavy řeší lineární rovnice i nerovnice s jednou nebo více absolutními hodnotami řeší rovnice s parametrem, vysvětlí význam parametru a vzhledem k němu provádí diskusi řešení řeší slovní úlohy rozlišuje ekvivalentní a důsledkové úpravy Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice Učivo Pojem kvadratické funkce Graf kvadratické funkce Kvadratická rovnice Výsledky vzdělávání vysvětlí pojem funkce, definiční obor, obor hodnot a graf funkce načrtne graf kvadratické funkce 30

31 Kvadratická nerovnice Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou Soustava lineární a kvadratické rovnice Rovnice s neznámou pod odmocninou Slovní úlohy řeší kvadratické rovnice a nerovnice řeší soustavu lineární a kvadratické rovnice řeší kvadratické rovnice s jednou nebo více absolutními hodnotami řeší slovní úlohy řeší iracionální rovnice a vysvětlí nutnost provedení zkoušky rozlišuje ekvivalentní a důsledkové úpravy Funkce Učivo Vlastnosti funkcí Lineární a kvadratická funkce s absolutními hodnotami Lineární lomená funkce Mocninná funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce Logaritmy, věty o logaritmech Exponenciální a logaritmické rovnice Exponenciální a logaritmické nerovnice Výsledky vzdělávání rozlišuje jednotlivé druhy funkcí, načrtne jejich grafy a popíše jejich vlastnosti popíše pojem inverzní funkce rozliší dekadický a přirozený logaritmus definuje logaritmus, používá pravidla pro počítání s logaritmy řeší exponenciální a logaritmické rovnice používá grafy k řešení exponenciálních a logaritmických nerovnic používá kalkulátor Goniometrie Učivo Goniometrické funkce, jejich vlastnosti a grafy Goniometrické vzorce Úpravy goniometrických výrazů Goniometrické rovnice Výsledky vzdělávání popíše vlastnosti goniometrických funkcí a načrtne jejich grafy ovládá metody řešení goniometrických rovnic a používá grafy k řešení goniometrických nerovnic 31

32 Goniometrické nerovnice Věta sinová a kosinová Slovní úlohy užívá goniometrické vzorce při úpravě goniometrických výrazů a určí podmínky, kdy má daný goniometrický výraz smysl užívá sinovou a kosinovou větu při řešení obecného trojúhelníku a při řešení slovních úloh Posloupnosti a jejich využití Učivo Pojem posloupnosti a její určení Vlastnosti posloupnosti Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Užití posloupností Limita posloupnosti Nekonečná geometrická řada Užití nekonečné geometrické řady Základy finanční matematiky, složené úrokování Výsledky vzdělávání vysvětlí posloupnost jako zvláštní případ funkce určí posloupnost vzorcem pro n-tý člen, výčtem prvků a graficky rozliší aritmetickou a geometrickou posloupnost, popíše jejich vlastnosti určí r-tý a n-tý člen, diferenci a součet prvních n členů aritmetické posloupnosti určí r-tý a n-tý člen, kvocient a součet prvních n členů geometrické posloupnosti řeší pomocí vztahů v posloupnostech jednoduché slovní úlohy užívá věty o limitách posloupností vysvětlí pojem limita posloupnosti, definuje posloupnost konvergentní a divergentní charakterizuje nekonečnou geometrickou řadu, používá její součet a užívá ji při řešení úloh provádí výpočty jednoduchých finančních záležitostí a orientuje se v základních pojmech finanční matematiky 32

33 Zajímavý příklad toho, jak lze nad rámec RVP zařadit rozšiřující tematický celek, je vidět níže, kdy není tedy rozšířen předmět samotný, ale je vytvořen volitelný předmět Aplikovaná matematika zařazený do třetího a čtvrtého ročníku, v němž se vyskytují tematické celky Lineární algebra, Základy diferenciálního počtu, Integrální počet a opakování, procvičování a upevňování znalostí z kapitol matematiky probíraných dříve v předmětu Matematika. Základy diferenciálního počtu Učivo Elementární funkce, vlastnosti a grafy Okolí bodu, spojitost funkce v bodě a intervalu Limita funkce v bodě, věty o limitách funkcí Limita funkce v nevlastním bodě, věty Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam Derivace elementárních funkcí Derivace součtu, součinu a podílu funkcí Derivace složené funkce Druhá derivace Monotónnost funkce, extrémy funkce Fce konvexní, konkávní, inflexní body Průběh funkce Užití diferenciálního počtu Výsledky vzdělávání převádí jednoduché reálné situace do matematických struktur, pracuje s matematickým modelem a výsledek vyhodnotí vzhledem k realitě definuje limitu funkce v bodě, aplikuje věty o limitách v konkrétních úlohách užitím diferenciálního počtu určí okamžitou změnu veličiny a směrnici tečny i normály k dané křivce vyjádřené funkční rovnicí vyšetří monotónnost, extrémy ovládá vztah limity a derivace funkce ovládá základní derivační postupy, pracuje s derivačními vzorci aplikuje derivaci při řešení geometrických a fyzikálních problémů vyšetří průběh jednodušší neelementární funkce používá derivaci jako další efektivní nástroj pro řešení matematických problémů 33

34 Integrální počet Učivo Primitivní funkce, neurčitý integrál, základní vzorce Výpočet neurčitého integrálu Metoda per partes Substituční metoda Určitý integrál a jeho výpočet Obsah rovinného obrazce Objem rotačního tělesa Technické a fyzikální aplikace Výsledky vzdělávání vysvětlí pojem primitivní funkce a definuje neurčitý integrál používá základní vzorce pro integrování a užívá integračních metod při výpočtech definuje určitý integrál a jeho geometrický význam určuje obsah rovinného obrazce a objem rotačního tělesa užitím určitého integrálu aplikuje integraci při řešení technických a fyzikálních úloh určuje délku křivky a obsah rotační plochy užitím určitého integrálu Střední odborné vzdělávání s výučním listem Vzdělávání směřuje k tomu, aby žáci dovedli využívat matematických poznatků v praktickém životě, efektivně numericky počítat, používat a převádět, matematizovat jednoduché reálné situace, užívat matematický model a vyhodnotit výsledek řešení vzhledem k realitě, zkoumat a řešit problémy, orientovat se v matematickém textu a porozumět zadání matematické úlohy, kriticky vyhodnotit informace kvantitativního charakteru získané z různých zdrojů (grafů, diagramů a tabulek), správně se matematicky vyjadřovat (RVP pro obor vzdělání Autoelektrikář). Obsah matematického vzdělávání je rozdělen na sedm tematických celků: Operace s reálnými čísly, Výrazy a jejich úpravy, Řešení rovnic a nerovnic v množině R, Funkce, Planimetrie, Výpočet povrchů a objemů těles a Práce s daty. V oborech vzdělání, které mají vyšší nároky na matematické vzdělávání s ohledem na odborné vzdělávání, rozšíří škola ve svém školním vzdělávacím programu matematické vzdělávání v souladu s potřebami oboru (kvadratická funkce a kvadratická rovnice, goniometrické funkce obecného úhlu, jejich vlastnosti, grafy a jejich užití při řešení praktických úloh, statistika) (RVP pro obor vzdělání Autoelektrikář). 34

35 Funkce Očekávané výstupy: Žák sestrojí graf funkce, určí, kdy funkce roste nebo klesá aplikuje v úlohách poznatky o funkcích, úpravách výrazů a rovnic Učivo základní pojmy: pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, graf druhy funkcí: přímá a nepřímá úměrnost, lineární funkce Je zřejmé, že v odborném vzdělávání je cílem právě odbornost, která je proto společně s praxí upřednostňována před pouhými teoretickými znalostmi. Po nahlédnutí do ŠVP Střední školy polytechnické Olomouc pro obor Autoelektrikář a porovnání s příslušným RVP je patrné, že kapitoly z matematiky v ŠVP: Operace s reálnými čísly, Planimetrie, Výrazy a jejich použití, Řešení rovnic a nerovnic v množině R, Funkce, Stereometrie a Práce s daty odpovídají tematickým celkům z matematiky v RVP. Prvky matematické analýzy v ŠVP taktéž odpovídají RVP: Funkce Výsledky vzdělávání je seznámen s pojmy funkce, definiční obor funkce a obor hodnot funkce sestrojí pravoúhlou soustavu souřadnic a určí polohu daného bodu rozlišuje nezávisle proměnnou a funkční hodnotu v daném bodě (závisle proměnnou) vyjádří funkční závislost tabulkou a sestrojí graf funkce - lineární, přímá úměrnost, nepřímá úměrnost určí, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající orientuje se v grafu funkce a určí z něj potřebné hodnoty Učivo Základní pojmy pravoúhlá soustava souřadnic pojem funkce, definiční obor, obor hodnot funkce funkce rostoucí, klesající Druhy funkcí funkce lineární, přímá úměrnost, konstantní grafické řešení soustavy lineárních rovnic funkce nepřímá úměrnost praktické úlohy s využitím funkční závislosti 35

36 je seznámen s grafickým řešením soustavy lineárních rovnic vyjádří v praktických úlohách funkční závislosti tabulkami, zapíše je rovnicemi a znázorní graficky 36