Design experimentu UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY
|
|
- Věra Pokorná
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Design experimentu Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jaroslav Marek, Ph.D. Rok odevzdání: 2010 Vypracovala: Kristina Axmanová ME, III. ročník
2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracovala samostatně pod vedením pana Mgr. Jaroslava Marka, Ph.D. s použitím uvedené literatury. V Olomouci dne 14. dubna 2010
3 Poděkování Ráda bych poděkovala svému vedoucímu bakalářské práce Mgr. Jaroslavu Markovi, Ph.D., za cenné rady, odborné informace a čas strávený při konzultacích. Dík také patří rodině a přátelům, kteří mi pomáhali s experimentem a podporovali mě po celou dobu studia.
4 Obsah Úvod 4 1 Plánování experimentů Historie Základní pojmy Příprava experimentu Typy faktorových plánů Úplný faktorový experiment Jednofaktorový experiment Částečný faktorový experiment Poloviční plán Saturované (nasycené) plány Středové plány Průběh experimentu Úplný faktorový experiment s výsledky měřění Výpočet efektu faktorů Test významnosti efektu Poloviční plán První polovina plánu Druhá polovina plánu Shrnutí Regresní model Regresní model Box Behnken design Vzorový příklad Vlastní příklad Dodatečná měření Závěr 35 Literatura 36
5 Úvod V praxi se často setkáváme s úlohami, které vedou k regresní analýze. Problémem ale může být najít vhodnou funkci popisující vztah mezi jednou vysvětlovanou proměnnou a vysvětlujícími proměnnými. K nalezení vhodného regresního modelu nám slouží několik metod, mezi které patří i metoda plánování experimentu označovaná jako DOE (Design of Experiment). Účelem plánování experimentu je zkoumat vliv faktorů na výstupní proměnnou a stanovit, které z nich, resp. které jejich interakce, jsou statisticky významné a tedy ovlivňují sledovanou závislou proměnnou. Pro velký počet vysvětlujících proměnných byly zkonstruovány různé faktorové plány, pomocí nichž můžeme zredukovat počet zkoumaných faktorů. Použití těchto faktorových plánů umožňuje výběr vhodného regresního modelu a nalezení kvalitnějších odhadů neznámých parametrů aproximující funkce a k celkově efektivnějšímu způsobu získání výsledků experimentu. Jejich aplikace pak může vést ke snížení nákladů na výrobu. a k celkově efektivnějšímu způsobu získání výsledků experimentu. Prvním cílem práce je prostudovat vybrané partie z teorie plánování experimentu a zejména různé typy faktorových plánů. Druhým cílem je demonstrování jejich uplatnění na reálné úloze, která bude věnována kvalitě výroby papírových vrtulníků. Sledovaným znakem kvality bude doba letu. Užitím faktorových plánů určíme významnosti jednotlivých faktorů (šířka, délka papíru a úhel startu) a jejich interakcí. Po nalezení regesního modelu najdeme parametry výroby papírového vrtulníku, které nám prodlouží dobu jeho letu. 4
6 1. Plánování experimentů 1.1. Historie Teorie plánování experimentu je oblast matematické statistiky, která vznikla na počátku 20. století. Text k této partii vznikl kompilací textů z literatury [3, 6, 8]. Plánování experimentu je spojeno s vynikajícím anglickým matematikem Ronaldem Fisherem. Od roku 1919 zpracovával výsledky experimentální práce v Rothamsteadské královské zemědělské výzkumné stanici, které vznikaly po dobu šedesáti let. Při tomto výzkumu položil teoretické základy analýzy rozptylu a navrhování experimentu. Sedmiletá práce byla završena sepsáním jeho první knihy s názvem Statistické metody pro výzkumné pracovníky, která byla přeložena do několika jazyků. Další velmi významnou knihou, napsanou v roce 1935, je Design of Experiments. S novým experimentálním návrhem, při kterém je počet pokusů násobkem čtyř, přicházejí v roce 1940 vědci Plackett a Burman. V 70. letech se mezi vědci objevuje statistik George Box, který navrhl několik modelů experimentu, např. Box-Jenkins models, Box-Cox transformace, Box- Behnken designs. Douglas C. Montgomery, působící na státní univerzitě v Arizoně, napsal v roce 1976 učebnici Design and Analysis of Experiments, obsahující základy navrhování experimentu. Tuto publikaci dodnes využívají nejen praktici, ale i tvůrci různých softwarů. V posledních letech se požaduje zvyšování jakosti výrobků a procesů, kterých se docílí propracovaným systémem metod, např. Taguchiho metoda. Japonský odborník Genichi Taguchi přistupuje k navrhování experimentu pro veřejnost srozumitelnou formou, kdy není vyžadována hluboká znalost statistiky. V praxi se tato metoda používá ve velké míře zejména v zahraničí, nejvíce pak v Japonsku a o něco později v USA. U nás se s ní setkáváme v devadesátých letech v automobilovém průmyslu. 5
7 Z popsaného vývoje v oblasti designu experimentu je zřejmé, že bylo navrženo obrovské množství různých metod. Některé z nich si v této práci popíšeme a vyzkoušíme v praxi Základní pojmy Experiment je soustava pokusů, ve kterých měníme obvyklé pracovní podmínky s cílem nalézt nejlepší pracovní postupy a také získat poznatky o vlastnostech výrobku a výrobního procesu, viz [7]. Experimentální postupy rozdělujeme na dva druhy: a) experimenty neplánované, b) experimenty plánované. Plánované experimenty se řídí určitým plánem experimentu. Plán experimentu stanovuje počet pokusů, ze kterých se experiment skládá, podmínky, za kterých se jednotlivé pokusy uskuteční a pořadí pokusů. Rozlišujeme význam pojmů pokus a experiment. Pokus je zjištění hodnoty ukazatele kvality za určitých, předem plánovaných podmínek výroby a experiment je systém všech pokusů. Upřesníme pojem nejlepší pracovní postup. Označíme-li sledovaný ukazatel kvality Y a faktory, které jej ovlivňují A, B, C, D,... se mohou pohybovat na různých úrovních (pro faktor A na úrovních A 1, A 2, A 3,..., pro faktor B na úrovních B 1, B 2, B 3, atd.), pak cílem plánování experimentu je a) rozhodnout, které z faktorů A, B, C, D,... významným způsobem ovlivňují ukazatel kvality Y, b) určit optimální úrovně významných faktorů (viz [7]). Cílem plánování experimentu je určit, zda určité vstupní proměnné (faktory) mají vliv na sledovanou proměnnou, viz [4]. Faktory jsou vstupní proměnné, které ovlivňují hodnoty sledované veličiny. Pro každý faktor jsou stanoveny úrovně (minimálně dvě), které vedou k dosažení optima sledované veličiny. 6
8 Sledovaná veličina pomocí této veličiny vyjádříme výsledek experimentu. Různé výsledky získáme změnou úrovní faktorů a jejich interakcí. Základní principy, které musí být zachovány při plánování experimentu: replikace - je opakování experimentu při stejné úrovni faktorů. Opakováním odhalíme případné nepřesnosti měření a tím můžeme zvýšit spolehlivost závěru. náhodnost - náhodné proměnné mohou ovlivňovat výsledek experimentu, a proto je nutné jednotlivé pokusy provést v náhodném pořadí. rozdělení do bloků - experimentální jednotky rozdělíme do bloků, které vykazují podobné vlastnosti. Tím částečně zamezíme vlivu zdrojů variability. Podle typu zkoumaného problému můžeme stanovit jeden z následujících typů experimentu: jednofaktorový experiment, úplný faktorový experiment, částečný faktorový experiment Příprava experimentu V knize [1] na str. 71 je uveden příklad, ve kterém se hledají mezi délkou pružiny, tloušťkou drátu a typem materiálu faktory resp. jejich interakce ovlivňující životnost pružiny. V této práci se budu věnovat obdobné úloze. Příklad 1. Budeme sledovat dobu letu vrtulníku na zem z výšky 20 m vyrobeného z archu papíru v závislosti na těchto faktorech: šířka papíru S, délka papíru D a startovací úhel vrtulníku U, viz obr. 1. 7
9 Obrázek č. 1: Výroba vrtulníku (viz [11]) Řešení: Určíme si maximální a minimální úrovně faktorů, které zapíšeme do tabulky. faktor Označení Dolní úroveň Horní úroveň + Šířka papíru S 8 11 Délka papíru D Úhel spuštění vrtulníku U Tabulka č. 1: Faktory a jejich uvažované úrovně Plán experimentu lze sestavit více způsoby. Některé z nich si ukážeme v následující části. 8
10 2. Typy faktorových plánů 2.1. Úplný faktorový experiment Mezi nejpoužívanější plány experimentu patří úplný faktorový plán, který v daném případě vypadá takto: pokus S D U Y Tabulka č. 2: Plán experimentu Y je výsledek pokusu. Plán experimentu je výhodnější psát pomocí takové symboliky, že dolní úroveň bude značena -1 a horní úroveň +1. pokus S D U Y Tabulka č. 3: Plán experimentu v kódovaných proměnných 9
11 Přepočet původních proměnných na tzv. kódované proměnné se provede takto: kde x c = x 0 xmax+x min 2 x max x min 2 x 0 = proměnná v původních jednotkách, x c = kódovaná proměnná, x max = horní úroveň x, x min = dolní úroveň x. Tento přepočet můžeme provést nejen pro krajní hodnoty x max x min (= 1)., (= +1) a Počet pokusů úplného experimentu se vypočítá při k faktorech pomocí vztahu n = 2 k. Při k = 3 faktorech je počet pokusů n = 2 3 = 8. Poznámka 1. Mohlo by se zdát, že úplný faktorový design je možné použít vždy. Ovšem je třeba si uvědomit, jaký je počet měření v závislosti na počtu faktorů. Pokud uvažujeme pouze dolní a horní úroveň každého z k faktorů, pak experimentů v úplném faktorovém designu je 2 k. Například pro k = 5 potřebujeme 32 měření, pro k = 8 je dokonce nutných 256 měření. Je třeba si uvědomit, že ne vždy lze z důvodů ekonomických, časových či jiných tento s počtem faktorů narůstající počet měření uskutečnit. Tato situace vedla k nutnosti navrhnout postupy jiné a efektivnější. Některé z nich uvedeme v následující části. Situace je ještě horší, pokud spolu s dolní a horní úrovní sledovaných faktorů budeme ještě uvažovat střední úroveň, která je jejich průměrem a značí se symbolem 0. Potom je počet experimentů v úplném faktorovém modelu 3 k, např. pro k = 5 je to 243 experimentů a pro k = 8 jde o 6561 měření Jednofaktorový experiment Už z názvu vyplývá, že se jedná o faktorový plán, ve kterém budeme zkoumat změnu jednoho faktoru. U zkoumaného faktoru se mění úroveň z dolní na horní, 10
12 přičemž u ostatních se drží na střední úrovni. Střední úroveň je vlastně průměrem dolní a horní úrovně, značíme 0. V našem příkladě, kdy zkoumáme tři faktory, by plán vypadal takto: pokus S D U Tabulka č. 4: Jednofaktorový plán Počet pokusů jednofaktorového plánu se vypočítá při k faktorech pomocí vztahu n = 2k. Při k = 3 faktorech je počet pokusů n = 2 3 = Částečný faktorový experiment Na rozdíl od úplného faktorového experimentu, kde se sestavuje plán pro každý faktor, se u částečného faktorového plánu sestavuje plán jen pro několik faktorů (tzv. hlavní faktory) a ostatní faktory (tzv. vedlejší) se vyjádří jako kombinace hlavních faktorů. Částečné faktorové plány rozdělíme na: a) poloviční plány plány s nejnižším stupněm snížení, b) Saturované (nasycené) plány plány s nejvyšším stupněm snížení, c) středové plány plány mezi nejnižším a nejvyšším stupněm snížení. Mějme úplný experiment 2 k, kde 2 je počet úrovní faktorů a k je počet faktorů, pak 2 k p je částečný faktorový experiment, kde p je tzv. stupeň snížení, viz [7]. Nejmenší možné snížení počtu pokusů je snížení na polovinu, kde stupeň snížení p = 1, tj. 11
13 2 k 2 = 2k 1, kde 2 k 1 je počet pokusů částečného faktorového experimentu. Např.: V plánu 2 6 máme n = 64 pokusů. Snížením o p = 1 se dostaneme na polovinu = 26 1 = 2 5 = 32. Stupeň snížení může být i p > 1. V takovém případě ale musí platit podmínka, že počet pokusů nesmí být menší než počet faktorů, tedy n k. V uvedeném případě, kdy k = 6 je nejvyšší možné snížení p = 3, tj = 2 3 = 8. Mezi nejnižším a nejvyšším snížením počtu pokusů může být ještě řada možností snížení, konkrétně pro k = 6 můžeme ještě snižovat na = 2 4 = Poloviční plán Mějme 5 faktorů A, B, C, D, E. Dále označme jednotkový faktor I obsahující jen +. Smyslem polovičního plánu je určit hlavní faktory (např. A, B, C, D a vedlejší faktor E, který se určí jako kombinace hlavních faktorů, tj. E = ABCDE. Faktor E se nazývá generátor plánu. Kombinace faktorů je slovo, které se skládá z písmen (faktorů). 12
14 Zavedeme vlastnosti operací s faktory: A A = I, A I = I A = A, (A B)C = A(B C), A B = B A. Definiční rovnici určíme pomocí generátoru plánu s využitím uvedených vlastností: E = ABCD E, E E = E ABCD, I = ABCDE. Pomocí této rovnice lze nalézt zaměnitelné interakce, což jsou interakce faktorů, které mají stejné posloupnosti znamének. Pokud např. chceme zjistit zaměnitelnou interakci k AB, vynásobíme definiční rovnici touto interakcí I = ABCDE AB, AB I = AB ABCDE, AB = AA BB CDE, AB = CDE. Faktor E je možné sestavit mnoha způsoby, jelikož není nutné jej vyjadřovat pomocí všech faktorů. Např. a) E = CD, b) E = BCD a k nim příslušné definiční rovnice a) I = CDE, b) I = BCDE. Každá definiční rovnice má tzv. řešení plánu, které se zapisuje k typu plánu římskou číslicí jako index. Je to nejkratší slovo v definičních rovnicích. Řešením plánu pro a) a b) je tedy a) III, b) 25 1 IV, kde římská číslice určuje počet písmen (faktorů) ve slově. 13
15 Saturované (nasycené) plány Jsou to plány s nejvyšším stupněm snížení, pro které platí, že počet vedlejších faktorů je stejný jako počet všech možných interakcí hlavních faktorů, což je splněno právě tehdy, když je počet faktorů 2 r 1, kde r = 2, 3, 4,... Z toho vyplývá, že saturované plány nemůžeme použít pro každý počet faktorů. Např. Pro 6 faktorů zvolíme hlavní faktory (A, B, C) a vedlejší faktory (D, E, F ). Interakce hlavních faktorů jsou AB, AC, BC, ABC. Vidíme, že počet faktorů neodpovídá počtu interakcí, takže pro 6 faktorů nelze sestavit saturovaný plán. Uvažujme 7 faktorů A, B, C, D, E, F, G. Nejvyšší možné snížení je o p = 4, tj Zvolíme hlavní faktory A, B, C a vedlejší faktory D, E, F, G, ze kterých pomocí interakcí AB, BC, AC, ABC vytvoříme generátory plánu (jejich počet je p = 4) například takto: Určíme definiční rovnice pro vedlejší faktory D, E, F, G, D = AB, E = BC, F = AC, G = ABC. D = AB D I = ABD, E = BC E I = BCE, F = AC F I = ACF, G = ABC G I = ABCG. součin dvou vedlejších faktorů DE, DF, DG, EF, EG, FG, D E = AB BC DE = AC DE I = ACDE, D F = AB AC DF = BC DF I = BCDF, D G = AB ABC DG = C DG I = CDG, E F = BC AC EF = AB EF I = ABEF, 14
16 E G = BC ABC EG = A EG I = AEG, F G = AC ABC F G = B F G I = BF G. součin tří vedlejších faktorů DEF, DEG, DFG, EFG, D E F = AB BC AC DEF = I DEF I = DEF, D E G = AB BC ABC DEG = B DEG I = BDEG, D F G = AB AC ABC DF G = A DF G I = ADF G, E F G = BC AC ABC EF G = C EF G I = CEF G. součin všech vedlejších faktorů DEFG, D E F G = AB BC AC ABC DEF G = ABC DEF G I = ABCDEF G. Počet definičních rovnic je 2 p 1 = = 15. Pomocí nejvyššího stupně snížení jsme původních 2 7 = 128 pokusů snížili na = 8 pokusů, takže počet zaměnitelných interakcí a faktorů je 128/8 = 16. Např. pro A je to A + BD + ABCE + CF + BCG + CDE + ABCDF + ACDG + BEF + + EG + ABF G + ADEF + ABDEG + DF G + ACEF G + BCDEF G, kde + znamená, že tyto kombinace mají stejnou posloupnost znamének. Z těchto dvojic má smysl ponechat jen interakce dvou: A + BD + CF + EG Středové plány Středové plány by měly být dobrou kombinací polovičních a saturovaných plánů. Řekli jsme si, že středových plánů může být více, a proto mezi nimi hledáme ten, který má méně pokusů než poloviční a obsahuje nejvýhodnější skupiny 15
17 zaměnitelných faktorů. Nejlepší zaměnitelnou interakcí je interakce obsahující největší počet faktorů. Skupina zaměnitelných faktorů závisí na volbě generátorů plánu. Pro faktory A, B, C, D, E, F, G porovnáme dvě různé volby v plánu : a) generátory E=ABD, F=ABCD, G=ACD, pak definiční rovnice jsou I = ABDE = ABCDF = ACDG = CEF = BCEG = BF G = ADEF G a stupněm řešení plánu je nejkratší slovo, tj III. b) generátory E=ACD, F=BCD, G=ABD, pak definiční rovnice jsou I = ACDE = BCDF = ABDG = ABEF = BCEG = ACF G = DEF G, stupněm řešení je IV. 3. Průběh experimentu 3.1. Úplný faktorový experiment s výsledky měřění Z archu papíru o rozměrech S = 8; 11 a D = 13; 16 jsme vyrobili vrtulníky, které jsme pouštěli z 20 m na zem pod úhlem U = 90 ; 90. Každý pokus jsme opakovali dvakrát a naměřené výsledky jsou zaznamenány v Tab. 4, kde Y vyjadřuje průměr obou měření. pokus S D U Y 1 Y 2 Y 1 15,0 14,5 14, ,0 13,7 12, ,5 14,8 15, ,6 15,1 14, ,4 14,3 14, ,5 15,2 14, ,8 15,2 15, ,8 13,8 13,80 Tabulka č. 5: Výsledky pokusů 16
18 Sestavením tabulky skončily přípravné a experimentální práce. Dále se budeme zabývat výpočty, jejichž cílem bude stanovit, které z faktorů ovlivňují významným způsobem dobu letu vrtulníku Y. Pro určení optimální úrovně faktorů a pro sestavení modelu dále potřebujeme vědět, které dvojice faktorů mají vzájemně významnou interakci, proto budeme také počítat jejich vliv na Y. V následující tabulce je uvedeno vzájemné působení faktorů, kde znaménka ve sloupcích SD, DU, SU, SDU získáme jako součin znamének v příslušných sloupcích. pokus S D U SD SU DU SDU Y , , , , , , , ,80 Tabulka č. 6: Interakce faktorů Výpočet efektu faktorů Následně musíme provést výpočet tzv. efektů (vlivů) jednotlivých faktorů. Efekt faktoru znamená přechod jednotlivých faktorů z dolní úrovně (-) na horní úroveň (+), který způsobí změnu doby letu Y. Pro výpočet efektu můžeme použít více metod. My se zaměříme na znaménkovou metodu a Yatesův algoritmus. 17
19 Znaménková metoda: Sečteme hodnoty ve sloupci Y, přičemž každá hodnota má takové znaménko, jaké znaménko má příslušný faktor v příslušném řádku, a tento součet vydělíme n/2, kde n =počet pokusů. Např.: S = 14, ,35 15, ,85 14, ,85 15, ,80 4 = 0,975. Postupně vypočteme všechny efekty faktorů a jejich interakcí a zapíšeme do tabulky. pokus S D U SD SU DU SDU Y efekt faktor ,75 14,45 průměr ,35 0,975 S ,15 0,75 D ,85 0,025 SD ,35 0,35 U ,85 0,375 SU ,50 0,7 DU ,80 1,075 SDU Tabulka č. 7: Efekt faktorů - znaménková metoda Druhou metodou výpočtu efektu je Yatesův algoritmus. Zde se postupuje tak, že si vytvoříme pomocnou tabulku se sloupci (1), (2), (3). Do sloupce (1) postupně zapisujeme součet 1. a 2. řádku, potom 3. a 4. řádku, 5. a 6. řádku, 7. a 8. řádku, potom následuje rozdíl 2. a 1. řádku, potom 4. a 3. řádku, 6. a 5. řádku, 8. a 7. řádku. Pro výpočet používáme hodnoty ze sloupce Y. Stejným způsobem vytvoříme sloupec (2), akorát použijeme hodnoty ze sloupce (1), a podobně sloupec (3), kde použijeme hodnoty ze sloupce (2). Počet sloupců vždy odpovídá počtu faktorů. 18
20 Hodnotu 1. řádku sloupce (3) vydělíme n =počet pokusů a tím získáme průměrnou dobu letu vrtulníku. Ostatní řádky vydělíme n/2 a tak dostaneme efekty faktorů a jejich interakcí. Posloupnost řádků v posledním sloupci je pevně daná, nedá se měnit. Z toho také vyplývá seřazení faktorů v posledním sloupci Tab. 6. Y (1) (2) (3) dělitel efekt faktor 14,75 27,1 57,1 115,6 8 14,45 průměr 12,35 30,0 58,5 3,9 4 0,975 S 15,15 29,2 2,7 3,0 4 0,75 D 14,85 29,3 1,2 0,1 4 0,025 SD 14,35 2,4 2,9 1,4 4 0,35 U 14,85 0,3 0,1 1,5 4 0,375 SU 15,50 0,5 2,1 2,8 4 0,7 DU 13,80 1,7 2,2 4,3 4 1,075 SDU Tabulka č. 8: Efekt faktorů - Yatesův algoritmus Test významnosti efektu K testování významnosti efektu potřebujeme nejprve znát rozptyl odhadu efektu. Ten se vypočte pomocí vzorce jako s 2 e = 4σ2 n, kde σ 2 je rozptyl Y a n je počet pokusů (včetně opakování). σ 2 zjistíme pomocí veličiny s 2, která se v případě opakovaných pokusů vypočte s 2 = v 1s v 2 s v k s 2 k v 1 + v v k, kde v i = n i 1, n i =počet opakování i tého pokusu, s 2 i je rozptyl i tého pokusu. 19
21 Rozptyl s 2 i se vypočte pomocí vzorce s 2 i = 1 n 1 n (Y i Y ) 2. i=1 Jelikož máme v našem příkladu pouze dvě opakování, lze s využitím vzorce pro aritmetický průměr Y = Y 1 Y 2 2 tento vztah zjednodušit s 2 i = 1 n 1 n i=1 = (Y 1 Y 1 Y 2 2 = ( 2Y 1 Y 1 Y 2 2 = ( Y 1 Y 2 2 = 2(Y 1 Y 2 ) 2 4 (Y i Y ) 2 = (Y i Y ) 2 = i=1 ) 2 + (Y 2 Y 1 Y 2 ) 2 = 2 ) 2 + ( 2Y 2 Y 1 Y 2 ) 2 = 2 ) 2 + ( Y 2 Y 1 ) 2 = 2 = (Y 1 Y 2 ) 2. 2 Nyní můžeme začít testovat. Nejprve stanovíme nulovou a alternativní hypotézu, podle které budeme testovat významnost efektu H 0 : efekt faktoru je bezvýznamný, H 1 : efekt faktoru je významný. K testování použijeme statistiku t = efekt s e. Pro stanovení kritického oboru zvolíme hladinu významnosti α = 0,05 a zjistíme kritickou hodnotu testovacího kritéria t n1 +n n k n(α), kde n 1,..., n k jsou počty opakování pokusů a n je počet pokusů bez opakování. Konkrétně n i = 2 a n = 8. 20
22 Počítáme: 1) kritickou hodnotu t n1 +n n k n(α) = t 16 8 (0,05) = 1,86, 2) rozptyl a s 2 = 0, , , , , , , s 2 e = 4s2 n = 4.0, s e = 0,378. = 0,143, = 0,571 Pro efekty i, kde statistika t splní nerovnost t i > t n1 +n n k n(α), zamítáme nulovou hypotézu. To znamená, že jsou významné. Pro přehlednost uspořádáme všechny výpočty do tabulky. pokus Y 1 Y 2 Y 1 Y 2 s 2 i efekt t 1 15,0 14,5 0,5 0, ,0 13,7 2,7 3,645 S = 0,975 2, ,5 14,8 0,7 0,245 D = 0,75 1, ,6 15,1 0,5 0,125 SD = 0,025 0, ,4 14,3 0,1 0,005 U = 0,35 0, ,5 15,2 0,7 0,245 SU = 0,375 0, ,8 15,2 0,6 0,180 DU = 0,7 1, ,8 13,8 0 0 SDU = 1,075 2,844 Tabulka č. 9: Testování významnosti efektu Z tabulky vyplývá, že faktory S, D a interakce SDU v absolutní hodnotě převyšují kritickou hodnotu t n1 +n n k n(α). 21
23 3.2. Poloviční plán Budeme vycházet z Příkladu 1 a použijeme některé výpočty z úplného faktorového plánu. Určíme si hlavní faktory S, D a jejich kombinaci U = SD. Zavedeme faktor I obsahující jen +. V Tab. 9 je ukázán úplný faktorový plán se zařazením jednotkového faktoru I. pokus I S D U SD SU DU SDU Tabulka č. 10: Úplný faktorový experiment s jednotkovým faktorem Efekty faktorů v úplném plánu, viz Tab. 8: faktor S D U SD SU DU SDU efekt 0,975 0,75 0,35 0,025 0,375 0,7 1,075 Nyní zjistíme efekty faktorů v každé polovině úplného plánu První polovina plánu Z Tab. 10 vybereme ty pokusy, které odpovídají definiční rovnici I = SDU a připojíme sloupec úplný plán obsahující čísla pokusů v úplném faktorovém plánu. 22
24 pokus I S D U SD SU DU SDU úplný plán Tabulka č. 11: První polovina plánu Jak je vidět v tabulce, některé faktory nebo kombinace faktorů se rovnají (mají stejná znaménka ve sloupcích), tj. S = DU, D = SU, U = SD. Po úpravě každé rovnosti s využitím zavedených vlastností operací s faktory vždy dostaneme definiční rovnici I = SDU. S = DU S I = SDU, D = SU D I = SDU, U = SD U I = SDU. Z toho vyplývá, že nám postačí uvažovat tabulku obsahující pouze faktory S, D, a jejich kombinaci U a efekty vypočteme jen pro tyto tři faktory, použijeme znaménkovou metodu. pokus S D U úplný plán Y 1 Y 2 Y ,0 13,7 12, ,5 14,8 15, ,4 14,3 14, ,8 13,8 13,80 Tabulka č. 12: První polovina plánu s vybranými faktory Z důvodu zaměnitelnosti se efekty uvádějí pro součet faktorů a interakcí jako S + DU = 12,35 15,15 14, , = 1,675,
25 D + SU = U + SD = 12, ,15 14, , ,35 15, , ,80 2 což ale neznamená, že na každou připadá polovina. = 1,125, = 0,325, Druhá polovina plánu Budeme postupovat stejně jako u první poloviny, akorát zvolíme definiční rovnici I = SDU. pokus I S D U SD SU DU SDU úplný plán Tabulka č. 13: Druhá polovina plánu Opět vidíme, že se objevují stejné zaměnitelné dvojice, takže můžeme vytvořit tabulku a spočítat efekty. pokus S D U úplný plán Y , , , ,50 Tabulka č. 14: Druhá polovina plánu s vybranými faktory Tentokrát se efekty uvádějí pro rozdíl faktorů a interakcí jako S DU = 14, , ,85 15,50 2 = 0,275, D SU = 14, ,85 14, , = 0,375,
26 U SD = 14,75 14, , ,50 2 = 0, Shrnutí V první a druhé polovině plánu vidíme, že faktory a interakce mají odlišné efekty od úplného faktorového plánu. Je to proto, že faktory S, D, U jsou kontaminovány efektem interakce. Musíme určit, kolik z celkového efektu připadá na jednotlivé interakce v součtu, což získáme vyřešením rovnic v následující tabulce. S + DU = 1,675 D + SU = 1,125 U + SD = 0,325 S DU = 0,275 D SU = 0,375 U SD = 0,375 S = 0,975 D = 0,75 U = 0,35 DU = 0,7 SU = 0,375 SD = 0,025 Ukazuje se, že efekty jednotlivých faktorů a interakcí jsou stejné jako u úplného faktorového plánu, z čehož vyplývá, že při snížení počtu pokusů na polovinu nedochází ke ztrátě informací a tedy ani ke změně výsledků. 4. Regresní model Mějme deterministicky určené hodnoty délky křídla s 1,..., s n, d 1,..., d n, u 1,..., u n, a měřené hodnoty y 1,..., y n. Označme Y = (y 1,..., y n ), (viz [2]). Uvažujme model Y = β 0 + β 1 S + β 2 D + β 3 U + β 4 S 2 + β 5 D 2 + kde ɛ je bílý šum, t.j. ɛ N n (0, σ 2 I). + β 6 U 2 + β 7 S D + β 8 DU + β 9 U S + ɛ Odhad regresní parametrů najdeme pomocí známého parametru ˆβ = (X X) 1 X Y, kde 1, s 1, d 1, u 1, s 2 1, d 2 1, u 2 1, s 1 d 1, s 1 u 1, d 1 u 1, X = 1, s 2, d 2, u 2, s 2 2, d 2 2, u 2 2, s 2 d 2, s 2 u 2, d 2 u 2,..., 1, s n, d 1, u 1, s 2 1, d 2 1, u 2 1, s 1 d 1, s 1 u 1, d n u n, 25
27 varianční matice tohoto odhadu je dána vztahem var(ˆβ) = σ 2 (X X) Regresní model Box Behnken design Vzorový příklad V knize [1] je uveden příklad spouštění vrtulníku, kdy je použit plán nazývaný Box-Behnken design, který vypadá takto: pokus A B C Tabulka č. 15: Box-Behnken design v kódovaných proměnných Faktor A = {6,5; 7,5; 8,5} je šířka papíru, B = {9; 10; 11} délka papíru a C = { 90; 0; 90} startovací úhel. V tomto konkrétním příkladu naměřili hodnoty, které jsou uvedeny v následující tabulce. 26
28 pokus A B C Y 1 7, ,3 2 7, ,1 3 8, ,2 4 7, ,2 5 6, ,1 6 6, ,3 7 8, ,3 8 8, ,8 9 6, ,9 10 7, ,1 11 8, ,3 12 7, ,8 13 7, ,2 14 7, ,2 15 6, ,1 Tabulka č. 16: Faktory s úrovněmi a naměřenými hodnotami Box a Behnken vytvořili příslušný regresní model s parametry β 0,..., β 9. Tento model uvedeme s již vypočítanými parametry. Ŷ = 295, ,34A + 38,12B + 0,000139C 1,25A 2 1,48B 2 0,000127C 2 1,2AB 0,00778AC + 0,00639BC. Pomocí programu Matlab jsme vytvořili 3D graf, který vypadá stejně jako v knize [1]. 27
29 Obrázek č. 2: Graf doby letu vrtulníku Obrázek č. 3: Vrstevnice 28
30 Vlastní příklad Podle vzorového příkladu z knihy [1] jsme provedli stejný pokus s jinými hodnotami faktorů, abychom mohli porovnat výsledky měření a výsledný graf. Opět vytvoříme tabulku s faktory S = {8; 9,5; 11} šířka papíru, D = {13; 14,5; 16} délka papíru a U = { 90; 0; 90} startovací úhel. Y vyjadřuje průměrnou dobu letu vrtulníku. pokus S D U Y 1 9, ,4 2 9,5 14,5 0 15, , ,5 4 9, , , , , , , , ,5 10 9,5 14,5 0 15, ,9 12 9, ,9 13 9, ,1 14 9,5 14,5 0 13, , ,6 Tabulka č. 17: Box Behnken design Do programu Matlab jsme zadali příslušnou regresní funkci, jíž aproximujeme naměřená data. Regresní model vypadá následovně Ŷ = β 0 + β 1 S + β 2 D + β 3 U + β 4 S 2 + β 5 D β 6 U 2 + β 7 S D + β 8 DU + β 9 U S + β 10 S DU. 29
31 Obrázek č. 4: Aproximace doby letu vrtulníku Vidíme, že graf vypadá úplně jinak než graf ze vzorového příkladu, proto se v další části pokusíme pomocí zvýšení počtu měření přiblížit původnímu grafu. 30
32 4.2. Dodatečná měření K rozšíření počtu pokusů použijeme 15 pokusů z Box-Behnken designu a 8 pokusů z úplného plánu, což máme dohromady 23 pokusů, a opět vytvoříme 3D graf a pro lepší názornost i graf vrstevnic. Obrázek č. 5: Vrstevnice Obrázek č. 6: Aproximace doby letu 31
33 U vrstevnic se ukazuje, že kdybychom použili vrtulníky z papíru o šířce menší než 8 a délce mezi 10 a 20, pak bychom mohli získat maximální možnou dobu letu při daných faktorech. Byly vybrány faktory S = {4; 6; 8; 9; 10; 11}, D = {10; 13; 14; 16; 18; 20} a U zůstává stejný. Výběr hodnot a poté naměřené hodnoty jsou uvedeny v tabulce. pokus S D U Y 1 Y 2 Y ,4 19,1 19, ,5 16,7 17, ,3 19,5 19, ,1 22,0 22, ,7 17,5 17, ,7 14,4 14, ,4 12,2 12, ,1 13,1 13, ,6 14,0 14, ,0 17,9 17, ,3 16,7 16, ,7 14,2 14, ,7 15,0 14,85 Tabulka č. 18: Dodatečná měření Můžeme si všimnout, že rozsah doby letu vrtulníku je mnohem větší než v předchozích pokusech. V některých případech je skoro dvojnásobná. Pro lepší představu, jak jsme postoupili v experimentování, opět vytvoříme graf vrstevnic a 3D graf, ve kterých použijeme hodnoty z tabulek 5 (úplný plán), 17 a
34 Obrázek č. 7: Vrstevnice Obrázek č. 8: Aproximace doby letu 33
35 Je vidět, že doba letu vrtulníku se zvýší, ale nezískali jsme stejný graf jako v knize [1]. Ve vzorovém příkladu použili rozměry v palcích a my jsme použili své vlastní rozměry v centimetrech. V následující tabulce přepočteme hodnoty, abychom mohli porovnat výsledky. palce 6,5 7,5 8, cm 16,51 19,05 21,59 22,86 25,4 27,94 Z Tab. 16 vzorového příkladu vyplývá, že nejdelší doba letu (6,2 s) je u vrtulníku s faktory S = 7,5 palců = 19,05 cm, D = 10 palců = 25,4 cm, U = 0 a nejkratší doba (0,8 s) u vrtulníku s faktory S = 7,5 palců = 19,05 cm, D = 11 palců = 27,94 cm, U = 90. Doba letu se zvýšila o 675%. My jsme dospěli k výsledku, že zvýšíme dobu letu, jestliže budeme snižovat faktor S a zvyšovat faktor D, tj. jestliže rozdíl mezi délkou a šířkou papíru bude co největší, přičemž musí platit D > S. Pokud jsme totiž měli papír o rozměrech S = 4 a D = 20, mohli jsme si při experimentování všimnout, že vrtulník letí kolmo dolů a pravidelně točí vrtulemi. Na rozdíl od papíru s rozměry S = 11 a D = 10, kde vrtulník letěl po spirálovité trajektorii a celý rotoval, až skoro do vodorovné polohy. Maximální doby letu (22,05 s) jsme dosáhli s faktory S = 4, D = 20, U = 90 a minimální doby letu (12,35 s) s faktory S = 11, D = 13, U = 90, takže doba letu se zvýšila o 78,54%. Při porovnávání výsledků si nelze nevšimnout velice nápadného rozdílu v procentech zvýšení doby letu. Z našich pozorování vyplývá, že vrtulník z nápadně úzkého a dlouhého papíru letí déle než z papíru nápadně širokého a krátkého. V příkladu z knihy [1] použili vrtulníky z papíru o nevelkých rozdílech mezi šířkou a délkou a přesto zvýšily dobu letu o tolik procent. Zde se nabízí otázka, zda autor nepoužil k názornosti příkladu fiktivní data, která neodpovídají skutečnosti. 34
36 5. Závěr Cílem práce bylo především seznámení se základními principy při plánování experimentu a s různými typy faktorových plánů. Druhým cílem bylo jejich uplatnění na praktické úloze věnované výrobě papírových vrtulníků. Sledovaným znakem kvality byla doba letu. Užitím faktorových plánů při výrobě papírových vrtulníků jsem získala vhodný regresní model popisující závislost sledovaného znaku jakosti doby letu vrtulníku na výrobních faktorech. Použitelnost modelu jsem ověřila dalšími měřeními. Těmito faktory byly šířka a délka papíru, ze kterého byl vrtulník vyroben a dále úhel startu vrtulníku. Doba letu prvního vrtulníku byla 13,25 s. Po aplikaci designu experimentu a regresního modelu jsem získala hodnoty výrobních parametrů vrtulníku. Průměrná doba letu vrtulníku vyrobeného s vypočtenými parametry byla 22,05 s. Dosáhla jsem tedy zlepšení sledovaného znaku jakosti o 66,42 %. Na dosažených výsledcích je vidět, že design experimentu je mocný nástroj pro vylepšování jakosti výroby. Dosažené zlepšení u skutečných výrobků by mohlo znamenat obrovské finanční úspory. Při tvorbě práce jsem si vyzkoušela použití statistických metod na konkrétní aplikaci, získala nové vědomosti z designu experimentu a také si vylepšila programovací dovednosti v programu Matlab. 35
37 Literatura [1] ALLEN, T. T.: Introduction to Engineering statistics and Six Sigma. Springer Verlag. London [2] ANDĚL J.: Statistické metody. Matfyzpress. Praha [3] JAROŠOVÁ, E.: Navrhování experimentů. VŠE. Praha [4] MAROŠ B., TRÁVNÍČEK T.: Plánování experimentu. 5th International Conference Aplimat. Bratislava [5] MONTGOMERY D. C.: Design and Analysis of Experiments. Wiley [6] TAGUCHI G., CHOWDHURY S., WU Y.: Taguchi s Quality Engineering Handbook. Wiley. New Jersey [7] TOŠENOVSKÝ, J. - NOSKIEVIČOVÁ, D.: Statistické metody pro zlepšování jakosti. Ostrava. Montanex [8] Design of Experiments [online ] [9] DOE - statisticky navržený experiment tabid/64/default.aspx [online ] [10] Vliv neortogonality plánu experimentu na statistickou korektnost modelu matlab/matlab08/prispevky/ 073 moravka.pdf [online ] [11] Výroba vrtulníku [online ] 36
Národní informační středisko pro podporu jakosti
Národní informační středisko pro podporu jakosti 1 Dílčí 2 k faktoriální návrhy RNDr. Jiří Michálek, CSc. 2 Poloviční 2 k faktoriální návrh 3 Obsahuje 2 k-1 pokusů (runů) Často je také nazýván 2 k-1 dílčí
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Leptání plasmou. Ing. Pavel Bouchalík
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Leptání plasmou Ing. Pavel Bouchalík 1. ÚVOD Tato semestrální práce obsahuje písemné vypracování řešení příkladu Leptání plasmou. Jde o praktickou zkoušku znalostí získaných při přednáškách
VícePlánování experimentu
Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Autor: Ing. Radek Růčka Přednášející: Prof. Ing. Jiří Militký, CSc. 1. LEPTÁNÍ PLAZMOU 1.1 Zadání Proces
VícePlánování experimentu
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Plánování experimentu 05/06 Ing. Petr Eliáš 1. NÁVRH NOVÉHO VALIVÉHO LOŽISKA 1.1 Zadání Při návrhu nového valivého ložiska se v prvotní fázi uvažovalo pouze o změně designu věnečku (parametr
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení dvanácté aneb Regrese a korelace Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 18 V souboru 25 jedinců jsme měřili jejich výšku a hmotnost. Výsledky jsou v tabulce a grafu. Statistika (KMI/PSTAT)
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceCvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VícePříklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13
Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test
VíceZáklady navrhování průmyslových experimentů DOE
Základy navrhování průmyslových experimentů DOE cílová hodnota V. Vícefaktoriální experimenty Gejza Dohnal střední hodnota cílová hodnota Vícefaktoriální návrhy experimentů počet faktorů: počet úrovní:
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Ekonomická fakulta. Semestrální práce. Statistický rozbor dat z dotazníkového šetření školní zadání
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekonomická fakulta Semestrální práce Statistický rozbor dat z dotazníkového šetření školní zadání Skupina: 51 Vypracovaly: Pavlína Horná, Nikola Loumová, Petra Mikešová,
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceÚvod do analýzy rozptylu
Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
VíceDOE (Design of Experiments)
DOE - DOE () DOE je experimentální strategie, při které najednou studujeme účinky několika faktorů, prostřednictvím jejich testování na různých úrovních. Charakteristika jakosti,y je veličina, pomocí které
Více676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368
Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540
VíceIntervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr
StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule
VíceTesty dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests)
Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, např. hmotnost a pohlaví narozených dětí. Běžný statistický postup pro ověření závislosti dvou veličin je zamítnutí jejich
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceCVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
VíceOptimalizace provozních podmínek. Eva Jarošová
Optimalizace provozních podmínek Eva Jarošová 1 Obsah 1. Experimenty pro optimalizaci provozních podmínek 2. EVOP klasický postup využití statistického softwaru 3. Centrální složený návrh model odezvové
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceYou created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceKategorická data METODOLOGICKÝ PROSEMINÁŘ II TÝDEN 7 4. DUBNA dubna 2018 Lukáš Hájek, Karel Höfer Metodologický proseminář II 1
Kategorická data METODOLOGICKÝ PROSEMINÁŘ II TÝDEN 7 4. DUBNA 2018 4. dubna 2018 Lukáš Hájek, Karel Höfer Metodologický proseminář II 1 Typy proměnných nominální (nominal) o dvou hodnotách lze říci pouze
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.
Více12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 7: Autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Autokorelace - teorie Zopakujte si G-M
VíceProblematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceJana Vránová, 3. lékařská fakulta UK
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace
VíceTestování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test
Testování hypotéz 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz proces, kterým rozhodujeme, zda přijmeme nebo zamítneme nulovou hypotézu
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
VíceDesign of Experiment (DOE) Petr Misák. Brno 2017
Navrhování experimentů Design of Experiment (DOE) Petr Misák Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavebního zkušebnictví Brno 2017 Úvod - Experiment jako nástroj hledání slavné vynálezy
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceTESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě
VíceSTATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VícePŘÍKLAD 6: Řešení: Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29. Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34
Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29 PŘÍKLAD 6: Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34 Chceme-li vypočítat hodnotu výrazu za daného předpokladu, pak
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Více7. Analýza rozptylu.
7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 10: Heteroskedasticita LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Heteroskedasticita - teorie Druhý
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
VíceCVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Program semináře 1. Základní pojmy - metody měření, druhy chyb, počítání s neúplnými čísly, zaokrouhlování 2. Chyby přímých měření - aritmetický průměr a směrodatná odchylka,
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceTestování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině
VíceSOFTWARE STAT1 A R. Literatura 4. kontrolní skupině (viz obr. 4). Proto budeme testovat shodu středních hodnot µ 1 = µ 2 proti alternativní
ŘEŠENÍ PRAKTICKÝCH ÚLOH UŽITÍM SOFTWARE STAT1 A R Obsah 1 Užití software STAT1 1 2 Užití software R 3 Literatura 4 Příklady k procvičení 6 1 Užití software STAT1 Praktické užití aplikace STAT1 si ukažme
Více11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.
11 cvičení z PSI 12-16 prosince 2016 111 (Test dobré shody - geometrické rozdělení Realizací náhodné veličiny X jsme dostali následující četnosti výsledků: hodnota 0 1 2 3 4 5 6 pozorovaná četnost 29 15
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)
cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceNavrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová
Navrhování experimentů a jejich analýza Eva Jarošová Obsah Základní techniky Vyhodnocení výsledků Experimenty s jedním zkoumaným faktorem Faktoriální experimenty úplné 2 N dílčí 2 N-p Experimenty pro studium
Více6 Ordinální informace o kritériích
6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní
VíceKontrola: Sečteme-li sloupec,,četnost výskytu musí nám vyjít hodnota rozsahu souboru (našich 20 žáků)
Základní výpočty pro MPPZ Teorie Aritmetický průměr = součet hodnot znaku zjištěných u všech jednotek souboru, dělený počtem všech jednotek souboru Modus = hodnota souboru s nejvyšší četností Medián =
VíceCvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz
Vícea se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Více2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)
Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje
VíceStatistické vyhodnocení průzkumu funkční gramotnosti žáků 4. ročníku ZŠ
Statistické vyhodnocení průzkumu funkční gramotnosti žáků 4. ročníku ZŠ Ing. Dana Trávníčková, PaedDr. Jana Isteníková Funkční gramotnost je používání čtení a psaní v životních situacích. Nejde jen o elementární
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Podmínky získání zápočtu: Podmínkou pro získání zápočtu je účast na cvičeních (maximálně tři absence) a úspěšné splnění jednoho písemného testu alespoň na 50 % max. počtu
VíceJEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica
JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu
VíceNÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:
NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného
VíceZpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
Více63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
Více(motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination.
Neparametricke testy (motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination. Andrew Lang) 1. Příklad V následující tabulce jsou
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VíceRozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně
Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný
VíceMatematické modelování dopravního proudu
Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceProtokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:
Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále
Více